TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ BÍCH PHƢƠNG NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƢỞNG TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của cô PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè những ngƣời đã luôn giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp. Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên đƣợc làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trính thực hiện khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Bích Phƣơng LỜI CAM ĐOAN Đây là công trình khoa học của riêng em dƣới sự hƣớng dẫn của cô PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong vật lý thống kê khí lý tƣởng” đƣợc hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Bích Phƣơng MỤC LỤC A. PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1 1.Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1 2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài ................................................................ 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2 B.NỘI DUNG........................................................................................................ 3 CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN ....................... 3 1.1 Mô hình về khí lý tƣởng ....................................................................... 3 1.1.1 Khái niệm khí lý tƣởng .................................................................. 3 1.1.2 Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ....................................... 4 1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tƣởng với khí thực. .................................. 7 1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển. ................................ 8 1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển. ..................... 17 1.3.1. Năng lƣợng tự do ........................................................................ 22 1.3.2. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng. ................................... 22 1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tƣởng. ............................................ 23 1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tƣởng đơn nguyên tử ............................................................................................... 23 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 24 CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ .................................................... 25 2.1. Khí Boltzmann ................................................................................... 25 2.1.1. Phân bốBoltzmann ...................................................................... 25 2.1.2 Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng Boltzmann lƣỡng nguyên tử ............................................................................................... 25 2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose................................................................ 33 2.2.1.Khí lý tƣởng Fermi....................................................................... 33 2.2.2. Khí lý tƣởng Bose ....................................................................... 33 2.2.3. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng Fermi và Bose ........... 34 2.3 Khí electron tự do trong kimloại......................................................... 37 2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng ........................................................ 42 Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 44 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG ................................... 45 3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển ........................................................... 45 3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử ......................................................... 48 Kết luận chƣơng 3 ............................................................................................... 54 C. KẾT LUẬN .................................................................................................... 55 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý. Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tƣởng tƣợng , các nhà vật lý lý thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Để biết đƣợc cấu tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích đƣợc nhƣng tính chất vĩ mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cứu các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất. Muốn nghiên cứu đƣợc chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cứu các trạng thái có tính chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn. Các trạng thái rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau. Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn giản hơn cả, nhƣng để đơn giản hơn ngƣời ta đã đƣa ra mô hình khí lý tƣởng. Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí thực, chất lỏng, chất rắn. Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác. Nhƣ vậy việc tìm hiểu về khí lý tƣởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết. Vì vậy em chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tƣởng trong vật lý thống kê ”. 2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài - Nắm đƣợc các khái niệm về khí lý tƣởng. 1 - Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tƣởng,đƣa ra đƣợc các hàm phân bố từ đó tính đƣợc năng lƣợng và một số đại lƣợng nhiệt động của khí lý tƣởng. - Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê về khí lý tƣởng: Khí Fermi, khí Bose, từ đó đƣợc năng lƣợng và nhiệt dung của các khối khí đó. - Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tƣởng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Các hàm phân bố thống kê. 4. Phạm vi nghiên cứu Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tƣởng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết.Đọc và tra cứu tài liệu. - Sử dụng thống kê cổ điển, lƣợng tử và phƣơng pháp toán trong vật lý. 2 B.NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN 1.1 Mô hình về khí lý tƣởng 1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng Để vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của chất khí. Trƣớc hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những yếu tố thứ yếu không ảnh hƣởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm những đặc điểm cơ bản của chất khí gọi là mẫu khí lý tƣởng. [5] - Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tƣởng có chứa một số rất lớn phân tử, có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng . - Lực tƣơng tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi. Ở đây chúng ta chỉ xét khí lý tƣởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lƣu hoặc chênh lệch do áp suất. Nhờ mẫu khí lý tƣởng này bằng việc đơn giản hóa sự chuyển động của các phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lƣợng giữa các đại lƣợng đặc trƣng cho tính chất của chất khí nhƣ: Áp suất, nhiệt độ, phƣơng trình trạng thái, các hiện tƣợng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma sát,…nhƣng nhờ những kết quả thu đƣợc dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần đúng và chỉ phản ánh đƣợc những nét cơ bản nhất của chất khí. Khi ở nhiệt độ 3 thấp và áp suất cao mẫu khí lý tƣởng không dùng đƣợc cho việc tính toán trên vì lúc này phải xét đến lực tƣơng tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay nguyên tử ) có ảnh hƣởng đáng kể trong các tính chất của khí. 1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích đƣợc gọi là các thông số trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3 của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ) . Phƣơng trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích của một khối khí xác định gọi là phƣơng trình trạng thái có dạng tổng quát sau: p = f (V, T) [5] Đối với khí lý tƣởng phƣơng trình trạng thái của một khối khí chứa N phân tử trong thể tích V sẽ là p = nkT Với n  N => PV = NkT V (*) Với k là hằng số Boltzman Số phân tử khí N của khối khí đƣợc xác định N  M  N0 Với M là khối lƣợng của chất khí  là khối lƣợng của 1 mol khối khí N 0 là số Avogradro N 0 = 6,02.10 26 kmol-1 => Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng pV  M  N 0 kT  M  RT (1.1) Đây là phƣơng trình Clapâyrôn – Menđelêep Trong đó R = Nok = 6,02.1026.1,38.10-23 = 8,31.103 J/ kmol.độ là hằng số khí * Đối với 1kmol khí thì phƣơng trình trạng thái có dạng pVo = RT 4 Trong đó Vo là thể tích của 1 kmol khí Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ta có thể dễ dàng suy ra các định luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tƣởng. Sau khi so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu đƣợc do thực nghiệm ta thấy hai kết quả này trùng nhau - Định luật Bôilơ – Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý tƣởng ) nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí xác định. Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng nhiệt + Định luật Bôilơ – Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thƣờng trong phòng và chịu áp suất không khác xa với áp suất khí quyển lắm. Ở áp suất cao của chất khí ít chịu nén hơn so với định luật Bôilơ – Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu đƣợc từ thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch. Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ – Mariốt đƣợc thành lập trên cơ sở tính toán định lƣợng theo thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng, nghĩa là không xét đến sự tƣơng tác giữa các phân tử , nhƣng ở áp suất cao thì không thể không chú ý đến ảnh hƣởng của sự tƣơng tác này. - Định luật Sáclơ Định luật xét đến trƣờng hợp của thể tích của một khối lƣợng khí xác định đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất và nhiệt độ. Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng pV  M  RT Khi V= const => p M R   const đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng T  V tích và biểu thị định luật Sác lơ 5 Gọi Po là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0oC ( T=273oK ). Khi biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T Ta có p p  o T To po p (t  273) T  o To 273 => p  => p  po (1   p t ) Trong đó  p  1 gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí 237 - Định luật Gay – Luytxac xét trƣờng hợp áp suất của một khối lƣợng khí cho trƣớc đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa thể tích và nhiệt độ. Từ phƣơng trình trạng thái Khi p = const => pV  M  RT V M R   const T  p => V  Vo (1   V t ) Trong đó  V  1 gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí 273 Định luật Sác lơ và định luật Gay – Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng nhƣ định luật Bôi lơ – Mariốt - Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn hợp khí Giả sử trong một bình thể tích V có chứa một hỗn hợp gồm N1, N2, N3,…là số phân tử của các khí thành phần tƣơng ứng của hỗn hợp Phƣơng trình trạng thái : pV = ( N1+N2+N3+….)kT Trong đó N1+N2+N3+….= N là tổng số phân tử khí trong bình => Áp suất của hỗn hợp khí là p N N1 N kT  2 kT  3 kT  .... V V V P = p1 + p2 + p3 +… 6 Với p1 , p2 , p3 ,…là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của hỗn hợp Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn hợp. Vì định luật này đƣợc thiết lập dựa vào phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn hợp khí thực. Trong khí lý tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác. Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các định luật quy định tính chất của khí . Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác các định luật Bôilơ – Mariốt 1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực. Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng: p v2 3  2 đ 3 Trong đó  đ là mật độ động năng trung bình Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối là thƣớc đo động năng trung bình của hạt ) mv 2 3  kT 2 2 Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm nhiệt độ ta tìm đƣợc phƣơng trình trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3] pV = kTN đối với N hạt trong thể tích V Vậy khí thực nào tuân theo phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép có thể coi nhƣ là khí lý tƣởng 7 Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tƣởng khi chúng càng loãng. Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem nhƣ khí lý tƣởng. Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân tử Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tƣởng, các phân tử thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tƣơng tác với nhau không chỉ là do va chạm trực tiếp , thế tƣơng tác của chúng có dạng rất phức tạp Ở trƣờng hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của khí lý tƣởng không phải là căn bản.Ví dụ nhƣ: ở nhiệt độ không quá ca ova chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tƣơng tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể. Trong trƣờng hợp đó khí thực có tính chất nhƣ khí lý tƣởng Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tƣởng mà ta khảo sát. Các khí thực sẽ không còn tuân theo phƣơng trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo các phƣơng trình trạng thái khác. 1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển. Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thƣờng đƣợc giới hạn xét các hệ hạt có số hạt rất lớn và bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt với nhau, xem chúng nhƣ các hạt tự do. Nhƣ vậy chúng ta có thể coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các “khí lý tƣởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Để tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phƣơng pháp nổi tiếng gọi là phƣơng pháp Gipxơ. Cơ sở của phƣơng pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tƣơng ứng với các hệ đã cho. 8 Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại đƣợc các phƣơng trình trạng thái và các đại lƣợng nhiệt động học nhƣ: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,… của khí lý tƣởng. Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta). Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhƣng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3] Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là C1 và hệ điều nhiệt là C2 có các số hạt tƣơng ứng là X1 và X2, đồng thời N1>>N2 Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với hệ chung đó ta có phân bố chính tắc ( X 1 , X 2 )  1  E  H ( X 1 , X 2 ) ( E ) Trong đó H(X1,X2) = H(X1) + H(X2) + U12(X1,X2) (1.2) (1.3) U12(X1,X2) là năng lƣợng tƣơng tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể bỏ qua Hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 đƣợc tính theo công thức ( X1 )   ( X2 )  ( X 1 , X 2 )dX 2 (1.4) Để tìm  ( X 1 ) trong trƣờng hợp tổng quát ta dựa vào giả thiết sau: Ta coi rằng H1(X1) ln f H1  H1  ln f ( H1 )  ln f ( H1 ) ' '' ' '' - Lấy vi phân 2 vế ta có  d ln f H1  H1 ln f (H ' 1  '' '  d ln f (H )  d ln f (H ' '' 1 '   ' 1 )   '  H1 ) (dH '1  dH1 )  ln f ( H1 ) dH1  ln f ( H1 ) dH1 '' '' ' ' '' '' Coi rằng dH1’, dH1’’ có thể tiến đến 0 một cách độc lập    '   '  ' Ta tìm đƣợc ln f ( H1  H1 )  ln f ( H1 )  ln f ( H1 )   ' '' ' '' (1.5) Trong đó β là một hằng số nào đó vì các đạo hàm của một hàm số với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số Ta đặt dấu “ - ” trƣớc β để cho thuận tiện khi xét điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố Lấy tích phân đẳng thức (1.5) ta có f ( H )  D exp  H  10 Từ điều kiện vật lý khi chuẩn hóa, β là số dƣơng Đặt     , D  exp   với θ>0    Ta có   H  f ( H )  exp      Do đó   H   ( X 1 )  exp      1 (1.6) (1.7) Với θ,  là hằng số Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt C2 và ta chỉ cần nghiên cứu hệ C1 mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số 1 Khi đó (1.7) có dạng  ( , a)  H ( X , a)   ( X )  exp      (1.8) (1.8) đƣợc gọi là phân bố chính tắc Gipxơ Thông số đƣợc gọi là môđun của phân bố chính tắc  đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố  ( .a)  H ( X , a)  dX  1    ( X )d ( X )   exp  (X ) (X )  ( , a)    H ( X , a)    exp  dX  1 => exp     ( X )     ( , a)    H ( X , a)     exp  dX => exp      (X )   Lấy logarit 2 vế ta có   ( , a)    H ( X , a)   ln  exp  dX      H ( X , a)  dX    => ( , a)   ln  exp  11 (1.9)  ( X )   ln Z ( , a) Đại lƣợng   H ( X , a)  Z ( , a)   exp  dX    (1.10) (1.10) đƣợc gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê) Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của một hệ, vì phép tích phân đƣợc thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói cách khác, Z là hàm trạng thái và phụ thuộc vào a và θ Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của các hạt đó sẽ không đƣa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng sẽ đƣợc biểu diễn bằng các điểm khác nhau của một không gian pha. Vì vậy đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất nhƣ nhau ta cần phải loại trừ tất cả các điểm của không gian pha tƣơng ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt. Bởi vì, với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị, cho nên không gian pha của một hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau phải giảm đi N! lần. Khi đó phân bố chính tắc đƣợc viết dƣới dạng ( X )  1  ( , a)  H ( X , a)  exp   N!    (1.11) Thiết lập phƣơng trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố chính tắc Từ điều kiện chuẩn hóa.  ( , a)  H ( X .a)  dX  1     ( X )d ( X )   exp  (X ) (X ) Lấy vi phân hai vế theo ak  ak  ( , a)  H ( X , a)  exp  dX  1    (X )  =>   ( , a)  H ( X , a)  exp dX  0  ak    (X ) 12 =>  1 H  ( , a)  H ( X , a)    H  exp  exp  dX   0  ( X ) a k   ( X ) a k      1  Theo định nghĩa của trị trung bình ta có  H H   H  exp  dX   a k    (X )  a k    Từ đó =>   a k  H        a k         Đạo hàm cơ năng của hệ theo thông số ngoại chính là lực suy rộng với dấu( - )  H   a k     Ak  (1.12) Từ điều kiện chuẩn hóa   ( X )d ( X )   (X ) exp (X )  H dX  1  Lấy đạo hàm theo θ có:     H  exp  dX  0    (X ) =>   (X ) =>  (X )    H  exp  dX  0        (  H )   H   exp  dX  0 2     Bởi vì θ và  không phụ thuộc vào X nên       H    a  Ta đi tính biểu thức dH   Ak da k k 13 (1.13) (1.14) Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)   Ta có: dH   Ak dak  d    k   => dH   Ak dak  d  d  k        k ak    dak    k ak        d     .d  d   da k       k a k k a k         .d     .d          Nhƣ vậy    .d       dH   Ak dak   k (1.15) So sánh với phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học TdS  dU   Ai dai i Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phƣơng trình hoàn toàn tƣơng tự với nhau, vì trong vế phải của hai phƣơng trình đều có độ biến thiên năng lƣợng của hệ và tổng các công nguyên tố đã đƣợc thực hiện. Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái niệm năng lƣợng đƣợc hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lƣợng E ta dùng trị trung bình H của năng lƣợng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai giá trị trên thực tế là trùng nhau. Hơn nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động lực học cũng đƣợc thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực. Sự giống nhau của vế phải của hai phƣơng trình cho phép ta xét sự tƣơng tự của vế trái của chúng. Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phƣơng trình thống kê (1.15) ta có nhiệt độ thống kê θ. Ta sẽ có sự hoàn toàn tƣơng tự nhau của hai phƣơng trình    là đại lƣợng tƣơng tự của vi    đó nếu nhƣ ta công nhận rằng vi phân d   phân dS của entropi nhiệt động lực học 14 Từ đó ta nói rằng đại lƣợng     chính là entropi của thống kê S  S     H     (1.16) =>  H   .S (1.17) So sánh các phƣơng trình (1.12), (1.13), (1.16), (1.17) với các phƣơng trình của nhiệt động lực học: U  TS  F  F  S     T V  F  P     V T Ta thấy rằng thông số  có ý nghĩa của năng lƣợng tự do F và phƣơng trình (1.13) phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi nhiệt động lực học S. Với θ = kT      S  kS  T V Ta có: S   Hay S  s k Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học. Không những nhƣ vậy mà còn tìm ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội năng và năng lƣợng tự do của hệ. Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ trong đó không những năng lƣợng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học ngƣời ta đƣa vào thế hóa học µ biểu thị qua năng lƣợng tự do  : 15      N V ,T   (1.18) Lấy tích phân không định hạn N ta suy ra   N   ,V , T  (1.19) Trong đó Ω là thế nhiệt động mới Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa nột số hạt nhất định. Nhƣng tại thời điểm này tiếp sau số hạt này trong hệ sẽ thay đổi. Ta biết rằng một hệ có số hạt nhất định N các hạt đồng nhất nhƣ nhau sẽ nghiệm đúng phân bố chính tắc, cụ thể là sự phân bố của hệ có dạng dW ( X )   1   H  exp  dX N!  kT  1    N  H  exp  dX N! kT   (1.20) Đối với hệ có số hạt thay đổi    N ,  H  1 dW ( X )  exp  dX N! kT   , , Hàm :  ( N , X )  1    N  H  exp   N!  kT  (1.21) Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó đƣợc gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, Ω( µ,V,T) là thế nhiệt động lớn. Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi là biến số pha) của tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc tạo thành tập hợp chính tắc lớn hơn nghĩa là  1    N  H  dX  1 kT   N!  exp  N 0 (X ) (1.22) 16 * Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lƣợng bất kỳ F(N,X) đƣợc xác định theo công thức 1    N  H  F ( N , X ) exp  dX  kT   N 0 N !( X )  F (1.23) Bởi vì thế nhiệt động lớn Ω không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dƣới dạng    N  1  H exp    exp  exp   dX  1   kT N 0  kT  N! ( X )  kT    N  1  H   kT ln  exp  exp   dX  Do đó: kT N ! kT     N 0 (X ) (1.24) (1.25) Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Ω có   1 1        N  H    U    T  T V , M T       S  T V            P  T  T ,M  V  T        N   V ,T Đối với phân bố chính tắc lớn ta có   N  1  H Z   exp  exp   dX   kT  N! ( X )  kT  N 0 sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái 1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển. a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động Biểu thức liên hệ giữa năng lƣợng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z: 17   kT ln Z (1.26) Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái Z, điều đó cho phép ta xác định nhiều tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm nhiệt động lực học thống kê Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p đƣợc xác định qua năng lƣợng tự do Ψ theo công thức:    p     V  T (1.27) Áp dụng công thức (1.26) ta thu đƣợc:   ln Z  p  kT    V T (1.28) Đó là phƣơng trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V và T.Ta có thể viết lại phƣơng trình trạng thái của (1.28) dƣới dạng sau Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta đƣợc:     ln Z    ln Z   PV  kTV    kT  V   V T    V T   ln Z  PV  kT     ln V  T (1.29) Từ phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ:   H  S Ta tìm đƣợc nội năng U:    2   ln Z  U   T    kT ln Z  k  ln Z  T  kT    T V  T V   ln Z   kT 2    T V 18 (1.30) Tƣơng tự ta có thể tính các hàm nhiệt động khác: * Thế nhiệt động Gipxơ     pV Với   kT ln Z  ln Z    P     kT V  V  T    kT ln Z  kTV  ln Z V   ln Z     kT   ln Z    ln V  Với z là tích phân trạng thái Z   H ( X , a)  dX    exp  (X ) * Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng: Z   H  X , a  dX    exp  (X )    Ta có S    T  V    ln( , a)  S    kT ln Z ( , a)  ln Z ( , a)  T T  S  k ln Z  kT  ln Z T * Tìm biểu thức Entanpi theo tích phân trạng thái Ta có Entanpi H    TS  ln Z    ln Z    kT   ln Z   kT  ln Z  T  T    ln V   19  ln Z    ln Z  H  kT  T   ln T    ln V   ln Z    ln Z    H  kT        ln V T   ln T V  Nhƣ vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái Z. Nhƣng thực tế dù có biết đƣợc hàm phân bố trong không gian pha thì việc tính tích phân trạng thái cũng tƣơng đối khó vì Z đƣợc xác định bằng một biểu thức phức tạp [3]   H (q1 , q2 ....q3 N , p1 , p2 ,... p3 N , a  Z    ... exp  dq1dq2 ...dq3 N dp1 ...dp3 N     Vì vậy trong trƣờng hợp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức tạp b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lý tưởng Áp dụng hàm phân bố chính tắc  ( , a)  H ( X , a)   ( X )  exp      Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tƣởng. Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa là: N  P2  H    k  U k ( x)  k 1  2m  (1.31) Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đƣa vào xuất phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tƣởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý bên trong bình có thể tích V nhƣng chúng không thể ra khỏi giới hạn của bình. Điều đó tƣơng đƣơng với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế năng vô cùng lớn. 20 Nhƣ vậy chúng ta có thể đƣa thông số ngoại V vào hàm Hamintơn H(X,a) thông qua thế năng U(x,y,z) mà ta có thể biểu thị dƣới dạng 0 đối với X ở bên trong V U(x,y,z) = ∞ đối với X ở bên ngoài V Bởi vì các hạt là độc lập, chúng ta có thể viết tích phân trạng thái dƣới dạng Zo  H  dX  1  Pk2  1 1   e  exp   U k dX     N! ( X ) N! ( X )    k  2m N    1  Pk2  1  1    exp   U ( x , y . z )  dp dp dp dx dy dz  Z kN    k kx ky kz k k k   N!   N!     2m  (1.32) Với Zk là tích phân trạng thái đối với một hạt.Xét biểu thức Zk Zk     2    1  Pk   exp       2m  U k   dpk x dpk y dpk z dxk dy k dz k    (1.33) Do tính độc lập của các hàm chiếu px, py, pz chúng ta có thể viết lại (1.33) dƣới dạng: 2   Pk2y      Pk x   Z k   exp  dpk x  exp  dpk y  2m        2m    2    Pk z    U ( x, y , z )   exp  2m   exp   dxdydz    (1.34) Sử dụng tích phân Poátxông có:   P2  exp  2m dp  2m  và  U ( x, y , z )  dxdydz   1dxdydz  V   V  exp   Thay (1.35) và (1.36) vào (1.34) ta đƣợc 21 (1.35) (1.36) 2m  Zk  3 V (1.37) Vậy tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là: Zo  2m  3N VN 1 N! (1.38) 1.3.1. Năng lượng tự do Dựa vào biểu thức Ψ = -kTlnZ để tìm năng lƣợng tự do Ta tính Zo:   ln Z o  ln  2m   3N VN 1  3N ln 2  ln m  ln    N ln V  ln N!  N!  2 (1.39) Nhân đẳng thức này với (-θ) và áp dụng công thức Stiếclinh đối với N lớn ln( N!)  N ln N Thay vào ln Zo  3N (ln 2  ln m  ln   N ln V  N ln N ) 2 3  ln Z o  N  ln( 2m )  ln V  ln N  2  Áp dụng biểu thức Ψ = -kTlnZo Ta tìm đƣợc biểu thức của năng lƣợng tự do của khí lý tƣởng 3 2     N  ln( 2m )  ln V  ln N  (1.40) 1.3.2. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng.    P     V T  P   P  N  V  3   N  ln( 2m )  ln V  ln N   2   1 N  V V Đối với 1mol khí lý tƣởng phƣơng trình đó cần phải trùng với phƣơng trình 22 Clapâyrôn – Menđêlêép: P  NkT .Từ đó ta suy ra rằng môđun θ của phân bố V chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: θ=kT Trong đó k  R  1.37.1023 J/độ là hằng số Bônzơman No 1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tưởng.    S     T V Thay biểu thức (1.40) vào S ta đƣợc   3   N  ln(2 m )  ln V  ln N   T  2    3    kTN  ln(2 mkT )  ln V  ln N   T  2  S    T (1.41) 3     kTN ln 2  mkT  kTN ln V     kTN ln N    2 T   T  S  kN ln V  3 kN ln T  So 2 (1.42) Ở đây hằng số tùy ý So có chứa các số hạng So  3 3 kN ln( 2mk )  kN  kN ln N 2 2 1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tưởng đơn nguyên tử U    TS 3    kT  N ln V  N (ln T  ln 2mk )  N ln N   2   3 3 3    T kN ln V  kN ln T  kN ln 2mk  kTN  2 2 2   3 3  U  CV     kN  R 2  T V 2 23 (1.43) Kết luận chƣơng 1 Trong chƣơng này em đã trình bày về mô hình khí lý tƣởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tƣởng cổ điển và từ đó rút ra đƣợc các đại lƣợng nhiệt động đặc trƣng cho hệ KLT nhƣ Entropi, áp suất, năng lƣợng tự do,…Mô hình khí lý tƣởng cổ điển tuy không có thực nhƣng từ việc nghiên cứu mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều. 24 CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ 2.1. Khí Boltzmann 2.1.1. Phân bốBoltzmann Về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tƣơng tác giữa các phân tử khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc lập ). 1 n Ta có:   e 1 kT Xét trƣờng hợp     kT ta có   e => n  e    1  e kT kT   kT (2.1): biểu thức này gọi là phân bố Boltzmann Ta biết rằng số hạt trung bình có năng lƣợng  bằng tổng số hạt nhân N nhân với xác suất của mức năng lƣợng  (điều nay xuất phát từ phân bố Gibbs) Xác suất tìm hạt khí ở mức năng lƣợng ɛ, theo phân bố Gibbs bằng n  N ( )  N e   kT (2.2) Z Đối chiếu (2.1) và (2.2) ta đƣợc  N  e kT Z Từ đó ta tính đƣợc   kT ln N Z (2.3) Đây là hệ thức cho ta mối liên hệ giữa thế hóa và tổng thống kê Z trong trƣờng hợp cổ điển [1] 2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử Phân tử khí lƣỡng nguyên tử A – B nằm trên trục AB có 6 bậc tự do: ba bậc tự do của chuyển động tịnh tiến của khối tâm O, hai bậc tự do của chuyển động quay(quay xung quanh trục Ox và Oy) và một bậc tự do của chuyển động ( dao động dọc theo trục AB). 25 Năng lƣợng chuyển động của phân tử gồm 3 phần: Năng lƣợng chuyển động tịnh tiến  t , năng lƣợng chuyển động quay  q và năng lƣợng của chuyển động dao động  d . Gọi ɛ là năng lƣợng của phân tử khí.   t  q  d Ta có: (2.4) Năng lƣợng trung bình của hệ N phân tử khí lý tƣởng bằng E  N   N ( t   q   d ) (2.5) Để tính  t ,  q ,  d ta dùng định lý nhân xác suất: W ( )  WtWqWd  e z (2.6) Trong đó Wt, Wq, Wd là xác suất phân tử khí có năng lƣợng tịnh tiến  t , có năng lƣợng chuyển động quay  q và có năng lƣợng của chuyển động dao động  d . Biểu thức các xác suất Wt, Wq, Wd có dạng:  t  e Wt  zt ; zt   e q Wq  zq  ; zq  d  e Wd  zd e  e ; zd  t   q  (2.7) e  d  Với z = ztzqzd Đặt   1  ,ta có  t    tWt   e  t  t e   t   26  (ln z t )   q    qWq   q e e  d    d Wd   q   q    e d e  d   (ln z q )     d  (2.8)  (ln z d )  Để tính  t ,  q ,  d ta cần tính zt , zq, và zd. Chuyển động tịnh tiến của phân tử khí trong hình hộp chữ nhật có các cạnh là L1, L2, L3 đƣợc khảo sát nhƣ hạt chuyển động tự do trong giếng thế ba chiều. Từ cơ học lƣợng tử ta biết rằng năng lƣợng tự do của hạt trong giếng thế ba chiều có dạng:  t  En n n 1 2 3  2 h 2  n12 n22 n32       2m  L12 L22 L23  (2.9) Trong đó m là khối lƣợng của phân tử khí , n1,n2,n3 = 1,2,3,… Biểu thức của zt có dạng: zt   e 1n12 n1 1  e  2 n22 n2 1 Trong đó  i    e 3n3 2 (2.10) n3 1  2h2 2mLi i = 1,2,3 2 2 2 Ở nhiệt độ phòng và Li lớn thì αi = 1.khi đó 1n1 ,  2 n2 ,  3 n3 sẽ thay đổi rất ít khi thay đổi các số n1,n2,n3 một đơn vị. Vì lí do này ta có thể các tổng trong biểu thức zt bằng các tích phân tƣơng ứng.  zt  e 1n12  dn1  e 0 0 Chú ý rằng    2  dn2  e 3n3 dn3 2 0 h , L1L2L3 = V là thể tích chứa khí 2 n dn  Và  e 0  2n22  1 1 n 2 e dn  2  2 27   Ta nhận đƣợc 3 (2m ) 2 zt  V h3   3 3 zt  (ln z t )   2 (ln z t )    kT   2 2 (1.11) Năng lƣợng và nhiệt dung của chuyển động tịnh tiến là 3 kT 2 3  Et  Ct     Nk 2  T V Et  N  t  (1.12) Ta tính zq và  q . Nếu bỏ qua sự thay đổi của mômen quán tính của phân tử do chuyển động dao động thì phân tử khí có 2 nguyên tử đƣợc khảo sát nhƣ một hệ hai chất điểm có khối lƣợng m1 và m2 gắn chặt với nhau và cách nhau một khoảng bằng r. Hệ 2 chất điểm nhƣ vậy có thể quay xung quanh 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau và đi qua khối tâm O. Từ cơ học, ta biết rằng phân tử đồng thời quay quanh trục Ox và Oy vuông góc với nhau đi qua khối tâm có thể khảo sát nhƣ phân tử quay xung quanh một trục tức thời Δ đi qua khối tâm và cũng vuông góc với trục AB. Mômen quán tính của phân tử đi qua khối tâm bằng: I  m1r12  m2 r22      Vì m1r1  m2 r2  0 và r  r2  r1 nên biểu thức của I đƣợc viết dƣới dạng I  r 2 Trong đó   m1 m 2 là khối lƣợng thu gọn của phân tử khí m1  m2 Từ cơ học lƣợng tử ta biết rằng năng lƣợng chuyển động quay có dạng:  q  1  L2 h 2 l (l  1)  2I 2I ; l = 0,1,2,3,… (2.13) Trong đó L2 là trị riêng của toán tử mômen xung lƣợng và l là số lƣợng tự do quỹ đạo 28 Ứng với một giá trị l cho trƣớc có (2l +1) hàm sóng tƣơng ứng với (2l +1) giá trị có thể có của hình chiếu mômen xung lƣợng trên trục Z (m = 0,  1,2 ,..)Vì vậy bội số suy biến trong chuyển động quay là gl = 2l +1 Tổng trạng thái Zq trong chuyển động quay bằng: Zq  e  l 0 h 2l ( l 1) 2 I gl   e  h 2l ( l 1) 2 I (2l  1) (2.14) l Tính Zq trong trƣờng hợp tổng quát rất khó nên ta chỉ khỏa sát Z trƣờng hợp h2 h2 h2  kTq và khi   kT   kTq  Tq  giới hạn sau:   kT ; 2I 2 Ik 2I Với Tq là nhiệt độ đặc trƣng cho phân tử có 2 nguyên tử trong chuyển động quay. Khi T>>Tq thì hàm dƣới dấu tổng Zq thay đổi rất ít khi l thay đổi 1 đơn vị Vì vậy ta có thể thay tổng tích phân trong biểu thức Zq  Z q   (2l  1)e  h2 l ( l 1) 2 IkT dl 0 Đặt x = l(l+1) =>dx = (2l+1)  Z q   (e 0  h2 x 2 IkT 2 I 2 I dx  2  e  y dy  2 h 0 h y (2.15) Năng lƣợng trung bình của chuyển động quay q     (ln Z q )   2 (ln Z q )     (2.16) Kết quả này trùng với kết quả trong thống kê cổ điển. Năng lƣợng tƣơng ứng với hai bậc tự do của chuyển động quay   kT Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng khi T>>Tq bằng 29 E q  N  q  NkT  E q    Nk C q    T  V (2.17) Khi T=Tq thì những số hạng với giá trị của l bé đóng vai trò chủ yếu trong tổng của Zq(các số hạng l có giá trị rất bé có thể bỏ qua).Khi đó ta có Z q  1  3e  h2 I h  h      ln Z q  ln 1  3e I   3e I     2 2 (2.18) h2  3h 2  I q   (ln Z q )  e  I 2 Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng khi T = Tq h2 eNh 2  I Eq  N  q  e I  E q C q    T   h2   3 Nk   I V 2 2   hI  e  Khi T->0 thì Cq->0 Bây giờ ta tính Zd và  d . Dao động của hai nguyên tử của phân tử có thể khảo sát nhƣ dao động của một chất điểm có khối lƣợng thu gọn µ. Năng lƣợng dao động điều hòa theo cơ học lƣợng tử bằng  1  d  h  n   , n =0,1,2,3..  2 Trong đó    Zd  e 2  2v là tần số dao động .Tổng thống kê bằng: T  1 h  n   2    e  h  2 e n 0 Đặt q  e (2.19)  h n  (2.20) n 0  h   và q n 0 n  1 1 q 30 e Ta đƣợc: Z d   h 2 1 e  h  Năng lƣợng ứng với một bậc tự do của chuyển động dao động là: d  h  ln Z d   h  hh  nh   2 2  2 e  1 (2.21) 1 n h e  1 Đặt hω = kTd. Đối với phân tử H2 có Td = 61000K và đối với O2 có Td = 22400K Khi T>>Td ta có  d  kT, Ed  N  d  NkT (2.22)  E  Cd   d   Nk  T V Kết quả này trùng với lí thuyết cổ điển Khi T = Td ta có d  h  h  he kT 2 h  Nh Ed  N  d   Nhe kT 2 (2.23) h  E   h   kT Cd     Nk   e  T V  kT  2 Khi T->0 thì Cd ->0 Năng lƣợng và nhiệt dung của chuyển động dao động trong trƣờng hợp tổng quát có dạng 31 Ed  N  d  Nh Nh  h 2 e kT  1 h e kT  E   h  C d   d   Nk   2  kT   h  T V   e kT  1     2 Năng lƣợng trung bình và nhiệt dung đẳng tích của khí lý tƣởng lƣỡng nguyên tử có dạng: E = Et +Eq +Ed CV = Ct +Cq +Cd  F   , E  F  ST  T V Ta biết S    F   F  E  F  T    T 2    T V  T V E (T )  F  T  2 dT T Biết đƣợc E là hàm của T ta tìm đƣợc F và S Năng lƣợng tự do của hệ cũng đƣợc tính từ tổng thống kê Z F = - θlnZ Trong đó Z   e n  En   e   (1)  ( 2 ) ... ( N )   (1) ( 20... ( N ) Vì các hạt là giống nhau nhƣng phân biệt đƣợc nên biểu thức của Z có dạng:     Z    e  N    z t z q z d N   Năng lƣợng tự do của khí Boltzmann đƣợc tính theo công thức F   ln Z   N ln zt  ln z q  ln z d  Áp suất của khí lý tƣởng : (ln z t ) N  F  P    N V V  V  T 32 Phƣơng trình này không phụ thuộc vào zq và zd nên pV = Nθ = NkT là phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng nói chung. 2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose 2.2.1.Khí lý tưởng Fermi. - Khí lý tƣởng Fermi mang đầy đủ các đặc điểm của khí lý tƣởng - Là một hệ đồng nhất của các hạt Fermi có spin bán nguyên - Trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng - Là khí lý tƣởng nhƣng ở nhiệt độ thấp thì khí Fermi khác hẳn khí Bose.Các hạt có spin bán nguyên tuân theo cái này gọi là nguyên lí loại trừ pauli nguyên lí đó khẳng định hai hạt Fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử vào cùng một thời điểm Ví dụ nhƣ khí điện tử tự do trong kim loại có nhiệt độ T =0 (K) các hạt lần lƣợt chiếm các trạng thái có năng lƣợng từ 0 tới Fermi dẫn đến năng lƣợng của cả hệ khác Hay ở kim loại các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng. Do đó tập hợp các electron tự do này đƣợc coi nhƣ một chất khí Các ion dƣơng ở nút mạng đƣợc sắp sếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tƣơng tác giữa các electron yếu đi dần, song các electron tự do này vẫn di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể, nếu bỏ qua tƣơng tác tập hợp các electron tự do trong kim loại đƣợc coi là khí lí tƣởng Fermi 2.2.2. Khí lý tưởng Bose - Khí lý tƣởng Bose mang đầy đủ các đặc điểm của khí lý tƣởng - Là một hệ đồng nhất các hạt Bozon có spin nguyên - Trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng đối xứng 33 - Khối khí Bose gồm vô số các phân tử khí, các phân tử này có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng. Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn không ngừng và chỉ tƣơng tác với nhau khi va chạm và sự va chạm này hoàn toàn đàn hồi. Sự va chạm của phân tử khí lên thành bình gây lên áp suất, do đó áp suất chất khí bằng áp suất va chạm các phân tử với thành bình. - Các định luật với khí lý tƣởng Bose chỉ đúng trong điều kiện nhiệt độ và áp suất thƣờng, đối với chất khí có áp suất cao thì không hoàn toàn đúng. - Khí Bose tuân theo các định luật thực nghiệm của lý tƣởng, vì các phân tử khí có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng nên chúng có thể coi những chất điểm, khi đó thể tích bình chứa chính là thể tích chuyển động của các phân tử. 2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và Bose Số hạt trung bình có năng lƣợng  bằng: 1 n e    (2.24) 1 Ở đây  là năng lƣợng của hạt, µ là thế hóa học Dấu “+” ứng với thống kê Fermi – Dirac [1] “ – ”ứng với thống kê Bose – Einstein Xét một hệ lí tƣởng gồm N hạt cơ bản Fermion hay Bozon. Năng lƣợng của hạt chỉ là năng lƣợng của chuyển động tịnh tiến  ( p)  p x2  p y2  p z2 2m  p2 2m (2.25)  Trong đó m là khối lƣợng của hạt và P là xung lƣợng của hạt Số hạt có xung lƣợng và tọa độ nằm trong thể tích không gian pha dpx dpy dpz dV bằng dN: dN  ng dp x dp y dp z h3 34 Trong đó g là bội suy biến của năng lƣợng   p  2 Tích phân theo thể tích V và chuyển từ dp x dp y dp z  4p dp ,ta nhận dƣợc biểu thức số hạt cơ bản trong thể tích V có xung lƣợng nằm giữa p và p + dp bằng 1 dN p  e    g 1 4Vp 2 dp  ndG ( p) h3 p2 Vì   nên số hạt ở trong thể tích V có năng lƣợng từ  đến   d bằng 2m dNɛ 3 dN   4Vgm 2 2 e    1 1 2  d  ndG( ) h3 Số hạt toàn phần của khí lý tƣởng 4Vg 2m N   dN   h3 Đặt x  3 2   d  0 e    1  ta đƣợc:   3 N 4g 2 2  ( m  ) 3 0 V h x dx e x   1 Công thức này xác định thế hóa học µ phụ thuộc vào nhiệt độ θ và mật độ hạt N V Năng lƣợng của khí lý tƣởng:  3 4Vg 2 3 2 5 2 x 2 dx E   dN   m    x h3 0  e 1 Thế nhiệt động     k có dạng: k 35 (2.26)   k    k   ln 1  e   Đối với khí Fermi – Dirac     k    k   ln 1  e         Đối với khí Bose – Einstein Chuyển từ tổng theo năng lƣợng đến tích phân theo năng lƣợng ta có:      k  m  ln 1  e  dG ( )   4gVm k  m h3 3 2 2   0      ln 1  e  d   Dấu” +” ứng với khí Fermi “ –“ ứng với khí Bose Thực hiện phép tích phân đoạn ta đƣợc:  3 2 4g 2V 3 2  2 d  m    3 h3 0 e  1  Hay 3 3 5 2 4g 2 x 2 dx 2 2  Vm  0 x    pV 3 h3 e  1 (2.27) So sánh biểu thức của Ω và E thấy rằng: 2 2    E hay pV  E 3 3 2 Phƣơng trình pV  E là phƣơng trình trạng thái của KLT hạt cơ bản 3 Những kết quả ở trên đối với hạt chuyển động với vận tốc bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không c. 36 2.3 Khí electron tự do trong kimloại Electron là hạt Fermion có spin s = . Mỗi mức năng lƣợng của electron có bội suy biến g = 2s + 1 = 2.Đó là trạng thái lƣợng tử có hình chiếu spin ngƣợc chiều với electron. Số electron trung bình trong một trạng thái lƣợng tử theo thống kê Fermi – Dirac có dạng: 1 n    f    e Ở đây    = k T và 1 phụ thuộc vào nhiệt độ. là thế hóa học. Thế hóa học Khi T  0 thì   0   F . Mức năng lƣợng gọi là mức Fermion. [1] Ta hãy tính thế hóa học , năng lƣợng E và nhiệt dung đẳng tích Cv của khí lý tƣởng electron trong kim loại. Số hạt electron toàn phần N năng lƣợng E của khí electron đƣợc tính theo công thức: 1  4 Vg 2 32  2 d  N   dN  m    3 h 0 0 e  1  3 4 Vg 2 32  2 d  E    dN   m    h3 0   1 Công thức (2.28) cho ta xác định đƣợc (2.28) (2.29) là hàm của nhiệt độ T và nồng độ electron n= . Biết đƣợc của nhiệt độ.Đặt   là hàm của T ta thay 4g 2 3 2 m ta có: h3 37 vào (2.29) ta xác định E là hàm 1 N  2 d n      V 0 e  1   E  V  0 Để tính 3  2 d   e  1 và E ta cần tính phân Ip có dạng sau:  IP   F   d 0   e    1 3 1 Trong đó F      p  , p   2 2 p  Đƣa vào biến số mới z = , ta có:      z, d    dz  Ip  F    z  e 1 z 0 dz   0   F    z  e 1 z  dz    F    z  0  ez 1 Trong tích phân đầu thay biến số z bằng –z, ta đƣợc: 1 1  1  e z  1 ez  1 Ta viết lại biểu thức của Ip nhƣ sau:   I p    F    z  dz           hayI p   F    d     0 Ta hãy tính 0 F    z  e 1 z F    Z  ez  1  dz    0    0 F    z  ez 1 F    z  ez  1 dz và E ở vùng nhiệt độ rất thấp. Khi đó z bé và Biểu thức của Ip ở vùng có nhiệ độ rất thấp có dạng: 38 (2.30)   .   F    z   F    z  I p   F   d     dz z e  1 0 0   Đặt x = z , ta khai triển các hàm F    Z  và F    Z  theo x và chỉ giữa đến số hạng bậc nhật của x: p  F  F    x      x   F   ,0     x  x 0 F    z    p  p    .z p 1 p  F  F    x      x   F   ,0     x  x 0 F    Z    p  p    .z p 1 Đặt các biều thức F     p và F   z   F   z   2 p  z vào (2.30) p 1  và chú ý zdz  2 0 e z  1  12 Ta tìm đƣợc:  p 1  2 p 1 Ip   p    . 2 p 1 6 Dễ thấy rằng: 2 32   2    I 1   1    3 8  2  2    (2.31) khi T  0 thì   0 và E  E0 . Khi đó ta có: V 2 32 n   .  N 3 5 2 E0  V . .  2 3 (2.32) 3 hay 2 2 2  3 n 2 h  3 3 3    n    2m  8  2  39 (2.33) E0  3 0 N 5 Chú ý rằng khi T  0 thì n  f    1 khi   0 và n  0 khi   0 nên các hệ thức (2.32) hay (2.33) đƣợc nhận từ các hệ thức đơn giản sau: 0 1 2 3 2 n     d   02 3 0 0 5 2 E0  V    d   V 02 5 0 Để tính thấy 3 2 và E phụ thuộc vào T ở vùng nhiệt độ thấp, gần đúng ta trong các công thức của và 2 2        1     8  0      2 2 2 52   5      I 3   1     5 8  0   2    2 12 I1   3 2 (2.34) Từ các hệ thức (2.28) và (2.33) suy ra: n 2 32 2 32   2      0  I 1   1      3 3  8  0   2     0 1   8 2 Dễ thấy rằng      0  2 2 3    2   2    0 1       8  0   Năng lƣợng khí electron trong kim loại bằng: 40 (2.35) 5  2  5   E  VI 3  V  2 1   2   5 2  8  0  2 2 5  2  2   5    2       2   V 01 1     1       5  12  0    8  0   5    5 5   V 02 1   2   2  24  0  2   5    2  2  1        8  0   2 4  5 25 4     2    E0 1           12  0  192  0   5 4 2 3   Bỏ qua số hạng bé chứa   và chú ý E0  V 02  0 N ,   kT , ta đƣợc: 3 5  0  2  3 5 2  kT     E  0 N 1      5 12  0      (2.36) Nhiệt dung đẳng tích của khí electron bằng:  E  Nk 2  kT  CVe        (khi nhiệt độ thấp)  T V 2  0  (2.37) Nhƣ vậy ở nhiệt độ thấp nhiệt dung của khí electron trong kim loại tỉ lệ bậc nhất với nhiệt độ. Entropi của khí electron đƣợc tính từ phƣơng trình: T S 0 CV T  T  2 Nk  kT  dT    2  0  (2.38) Năng lƣợng tự do của khí electron trong kim loại đƣợc tính từ hệ thức:  5  kT 2  3 F  E  TS  N 0 1   2    5  12  0   (2.39) Trong đóphụ thuộc vào V theo công thức: 2  F  p   hay pV  E  3  V T 41 2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng Photon có spin bằng đơn vị và do đó khí photon tuân theo thống kê Bose – Einstein. Ta khảo sát một hệ hạt photon ở trạng thái cân bằng nhiệt với vật bức xạ và vật hấp thụ photon( vật hấp thụ và bức xạ photon đóng vai trò tesmost).Các hạt photon không bức xạ với nhau nên khí photon giống với khí lý tƣởng. Tuy nhiên khí photon có những điểm khác với khí lý tƣởng nhƣ sau: trong chân không mọi photon đều chuyển động với vận tốc c và số hạt photon trong hệ không phải không đổi vì tesmosta luôn luôn bức xạ và hấp thụ photon. Khi khí photon ở trạng thái cân bằng thì năng lƣợng tự do của hệ đạt giá trị cực tiểu nghĩa là  F     0  N V ,T Số hạt photon trung bình có năng lƣợng bằng theo thống kê Bose – Einstein bằng: 1 n   e 1 Mỗi hạt photon có năng lƣợng, có khối lƣợng m  p  mc   và có xung lƣợng c2  h  . Số photon ở trong thể tích V cóxung lƣợng nằm giữa p và c c p + dp hay có tần số nằm giữa và  +d bằng dN : 4 gp 2 dp 4 V 2 d dN  n n  ndG   h3 C3 Ở đây g = 2 là bội suy biến của (p). Vì ứng với một giá trị của p hay (p) xác định có hai photon ứng với hai sóng phân cực cùng tần số (phân cực phải và phân cực trái). 42 Năng lƣợng của những photon có tần số nằm giữa  và   d trong thể tích V dE : bằng dE   dN  h dN  8 Vh 3d h e  1 Mật độ hàm phân bố năng lƣợng của khí photon theo tần số đƣợc xác định bằng hệ thức: dE 8 Vh  3 f     d C 3 h e 1 Hàm f   có cực đại tại   0 ở đây 0 đƣợc xác định điều kiện h 0 Từ điều kiện này suy ra: Dễ thấy rằng khi tăng  f 0   2,822 thì vị trí cực đại của f   dịch chuyển về tần số lớn. Đó là định luật dịch chuyển tần số Bây giờ ta hãy tính các đại lƣợng nhiệt động của khí photon . Ta biết năng lƣợng tự do F liên hệ với thế nhiệt động Ω bằng hệ thức: F      N   Đối với khí photon ta có Ω. Sử dụng các biểu thức của Ω và E của khí lý tƣởng các hạt cơ bản chuyển động với vận tốc c với chú ý 4 gV  4 F  3c3 h3 E 4 gV  4 3c 3 h3 , ta đƣợc:  x 3 dx 4 gV  4  4   0 e x  1 3c 3 h3 15  x 3 dx 4 gV  4  4  0 e x  1 3c3h3 15 2 5 k 4  5, 67.105 Trong đó g = 2 đặt   3 2 15h c Ta viết đƣợc: 43 đ F  E 4 4  F  16 3 VT , S      VT 3c  T V 3c 4 4  E  16 3 VT , CV     VT 3c  T V 3c Áp suất của khí photon cân bằng :  F  4 p     T 4  V T 3c Kết luận chƣơng 2 Khi mỗi hạt vi mô trong hệ nhiều hạt tuân theo các quy luật của cơ học lƣợng tử, tức là chúng ta chú ý đến các đặc tính lƣợng tử của chúng nhƣ: các spin, tính đồng nhất nhƣ nhau, sự suy biến của các mức năng lƣợng,…Thì hệ nhiều hạt tuân theo các phân bố chính tắc lƣợng tử và hệ KLT lúc này là hệ KLT lƣợng tử. Mô hình này đã có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các hệ lƣợng tử khí electron trong kim loại, khí Bose lƣợng tử, bức xạ cân bằng của photon…Đó là vấn đề đƣợc đề cập đến trong chƣơng 1 44 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG 3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển Bài tập 1: Biểu diễn nhiệt dung đẳng tích và thế nhiệt động Gipxơ theo tích phân trạng thái [4] Bài giải Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái là Z có dạng Z  H ( X , a)  exp     (X ) Nhiệt dung đẳng tích đƣợc xác định bằng công thức  Q   TS   S  CV        T   T V  T V  T V Mà S đƣợc xác định    S     T V    ln Z ( , a)  S    ln Z ( , a)  k ln Z  kT  ln Z T T   ln Z  ln Z  2 ln Z   S    CV  T    T  k k  kT T T 2   T V  T  ln Z  2 ln Z  2kT  kT 2 T T 2   ln Z  2 ln Z     kT  2 T 2   T  T   Tính thế nhiệt động Gipxơ     pV      ln Z    kT    V  T  V T Mà p     ln Z     kT ln Z  kTV    V T   ln Z    kT    ln Z   V T  45 Bài tập 2: Thiết lập hàm phân bố Gibbs theo vận tốc của KLT.Từ đó tính giá trị trung bình, giá trị toàn phƣơng của KLT Bài giải Áp dụng phân bố Mắcxoen ta có Xác suất tìm thấy hạt của KLT là: dW ( p x , p y , p z )  (2mkT) 3 2  p x2  p y2  p z2  exp  dp x dp y dp z 2mkT    m(v x2  v y2  v z2   m  2  dW (v x , v y , v z )    exp  dv x dv y dv z 2kT    2kT  3 3  mv 2   m  2  dW (v)   exp   dX v 2 kT  2kT    (1) Ta chọn dXv là giới hạn bởi 2 mặt cầu có bán kính là v  v  dv . Vậy dX v  4v 2 dv (2) 3  mv 2  2  m  2 dW ( v )  4  exp   Thay (2) vào (1) ta đƣợc :  v dv 2 kT  2kT    3  mv 2  2 dW (v)  m  2 W (v )   4   exp  v dv  2kT   2kT  Đây là phân bố Gibbs theo vận tốc của KLT - Giá trị trung bình của vận tốc  3 2  mv 2  3  m   m  v   v (v)dv   4  exp    v dv  4   2kT   2kT   2kT  0  2 2 n 1 Áp dụng tích phân Poát xông :  exp( ax ) x dx  0 46 3  2 n! 2a n1  mv 2  3 exp 0  2kT v dv  m   Ta có v  4   2kT  3 2 1  m  2   2kT  2 8kT m  - Giá trị toàn phƣơng trung bình của vận tốc    m  v 2   v 2 (v)dv   4    2kT  0 0  m   4    2kT  3 2  mv 2  4 exp  v dv 2 kT   3  2  mv 2  4 0 exp  2kT v dv Áp dụng công thức tích phân poát xông   exp(ax 2 ) x 2 n1dx  0 (2n  1)!!  2a n1 a 2 n1 Ta tính đƣợc  m  v  4    2kT  2 3 2 3!!   3 2  m 5    2kT  3kT m Bài tập 3: Trong một bình lớn có thể tích V chứa N hạt khí lý tƣởng ở nhiệt độ T. tìm phân bố góc của hạt bay ra môi trƣờng ngoài chân không trong một đơn vị thời gian qua một lỗ hổng nhỏ ở thành bình có diện tích S. Bài giải Áp dụng phân bố Mắcxoen theo các thành phần của vận tốc Ta có Xác suất tìm thấy hạt của KLT là 3 2   m v x2  v y2  v z2  m  dW (v x , v y , v z )    exp  2kT   2kT  dv dv dv   x y z Chuyển sang tọa độ cầu trong không gian vận tốc ta có: dv x dv y dv z  v 2 sin ddvd 47 3   mv 2  2  m 2  exp  v dv sin dd Vậy ta có dW (v, ,  )    2kT   2kT  Lấy tích phân 2 vế theo  ta đƣợc: 3   mv 2  2  m 2 dW (v, )  2   exp  v dv sin d  2kT   2kT  Gọi n  N là mật độ hạt trung bình thì số hạt bay ra khỏi lỗ trong một đơn vị v thời gian là: dN (v, )  nSv cos dW (v, ) 3   mv 2  3  m 2  nS 2  exp   v dv sin  cos d 2 kT  2kT    Lấy tích phân 2 vế theo v 3    mv 2  3   m 2  dN (  ) nS 2  exp   =>  v dv  sin  cos d  2 kT  2kT   0    3   mv 2  3 8kT  m 2   0 exp  v dv  Ta có 4  m  2kT   2kT  Vậy ta có: dN ( )  1 8kT nS sin  cos d 2 m 3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử Bài tập 1: Giả sử chất khí lƣợng tử tuân theo thống kê Bose – Einstein và Fermi – Dirac và giả sử độ suy biến g   không đổi bằng g [4] Đặt B  exp    1 x 2 dx 4 F ( B )  ; và G( B)    0 B 1 3  2 Chứng minh rằng ta có 48  3 x 2 dx 0 Be x  1 3 (2mkT ) 2 N gVF ( B) h3 3 G ( B) E  NkT 2 F ( B) Bài giải Chất khí tuân theo thống kê Bose – Einstein và Fermi – Dirac là các phân bố nên khí lý tƣởng lƣợng tử Số các ô pha nguyên tố trong không gian µ của một phần tử là do 2V (2m)  3 h h3 3 2  1 2 d Số hạt có năng lƣợng trong khoảng  đến   d dn  n( ) do h3 Theo thống kê Bose – Einstein và Fermi – Dirac n( )  g ( )     exp   1  kT  Tích phân dN  N 2V (2m) dN  h3 2V (2m) N h3 Đặt x   kT 3 3 2 2 1 g ( )e 2 d     exp   1  kT  1  g ( )  0  2 d     exp   1  kT  => d  kTdx 49 2V (2m) N h3 3 2 2V (2m) => N  2h 3 3 2 1   2 g 2  1 x 2 (kT ) 2 kTdx 0    exp  x   1 kT   1  x 2 dx g  0 exp( x) exp     1    kT  2     Be  kT  Đặt exp  3 1 (2mkT ) 2 Vg 2 => N  h3  Đặt x 2 Be x  1  1 x 2  F ( B)   Be x  1 2 3 (2mkT ) 2 Vg F ( B) => N  h3 => đpcm (1)  Năng lƣợng trung bình E   dn 0 3 2V (2m) 2 E   g ( ) h3 2V (2m) = h3 3 2 1  2 d     exp   1  kT  3   2 d g ( )    0 exp    1 kT   2V (2m) => E  h3 3 2  3 3 x 2 kT 2 kTdx g ( )  e x e  1 0 2V (2m) =E  h3 3 2  3 5 x 2 kT 2 dx g ( )  Be x  1 0 50 2V (2m) E h3 Đặt  3 2 3  4 kT 2 g ( ) 4 3  5  3 x 2 dx 0 Be x  1 3 x 2 dx  x  G ( B) 3  0 Be  1 4 3V (2mkT) => E  2h 3 3 2 kTgG( B) (2mkT) Từ (1) => h  N 3 3 (2) 2 gVF ( B) Thay vào (2) ta đƣợc 3 3 N E  (2mkT) 2 gVkTG( B) 3 2 (2mkT) 2 gVF ( B) => E  3 G ( B) kTN 2 F ( B) => đpcm Bài tập 2: Chứng minh rằng đối với phân bố Bôzơ – Anhxtanh,đạo hàm của thế hóa học theo nhiệt độ luôn âm. Bài giải   0 0 Ta có N   dn( )   n( )dN ( ) dN(ɛ) là các mức năng lƣợng trong khoảng     d dN ( )  (2m) 3 V 2 2  3  d Áp dụng phân bố Bôzơ – Anhxtanh ta có n( )  51 1     exp   1  kT   N   0  ( 2 m) 3 V 2 2  3  ( 2 m) 3 V 2 2  3  0      exp   1  kT   d     exp   1  kt  Ta có ( 2 m) V  N  T 2 2  3 T 3   0      exp   1  kT  d  3 ( 2 m) V 2 2  3   0        exp    2  kT   kT  2        exp    1  kT         1  ( 2 m) V N kT  kT   2  2 2  3 0        exp    1  kT    3 (  N  T   N   exp      kT 2     ) exp    kT  2 0         exp    1  kT        1  exp    kt  kT  0       exp    1  kT      T 2 Do các biểu thức dƣới dấu tích phân ( +) nên  0 T => đpcm Bài tập 3: Hãy tính entropi và năng lƣợng tự do đối với hệ các dao động tử tuyến tính lƣợng tử. 52 Bài giải Ta có tổng trạng thái đối với dao động tử là  En   h    h    exp  n   exp   exp   2kT  n0  kT   kT  n 0  Z dd (*) Vế phải của (*) có chứa một cấp số nhân vô hạn giảm dần Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân và vô hạn giảm dần S a 1 q   h  exp    2kT  Z   h  1  exp    kT  Hay  h  exp   2kT   Z  h  exp   1  kT  Năng lƣợng tự do của hệ gồm N dao động tử là   kT ln Z Với Z là tổng tích phân trạng thái của hệ : Z = ZN   kT ln Z N   h   exp    2kT        NkT ln   h    exp    1   kT      h   h     NkT   ln  exp    1 2 kT kT       h   Nh  NkT ln 1  e kT 2      Entropi của hệ có N dao động tử là 53    S     T V   h      Nk ln 1  e kT      h  h 1   Nk  ln 1  e kT h  kT kT  e 1  h  h  kT NkT   e  kT    h   1  e kT           Kết luận chƣơng 3 Trên cơ sở lí thuyết ở trên em đã giới thiệu một số bài tập cơ bản của mô hình khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử để có thể hiểu sâu hơn về mô hình khí lý tƣởng. 54 C. KẾT LUẬN Trên đây là kết quả mà em đã đạt đƣợc bằng sự cố gắng của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của cô PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Qua đề tài này em đã đƣa ra đƣợc các hàm phân bố thống kê của khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử và một số các đại lƣợng nhiệt động của chúng, sau đó em đã vận dụng phân bố thống kê để giải một số bài tập về khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử. Từ đó đã có đƣợc cái nhìn tƣơng đối đầy đủ và hệ thống về mô hình khí lý tƣởng. Qua nghiên cứu đề tài này đã giúp em hiểu sâu hơn về mô hình khí lý tƣởng và em hi vọng rằng đề tài này sẽ giúp một phần nào đó trong việc học tập và nghiên cứu bộ môn vật lý lý thuyết. 55 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] : Nguyễn Quang Báu – Bùi Bằng Đoan – Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lý thống kê, NXBĐHQG Hà Nội. [2]: Nguyễn Quang Báu – Hà Huy Bằng, Lý thuyết trƣờng lƣợng tử cho hệ nhiều hạt, NXBĐHQG Hà Nội. [3]: Vũ Thanh Khiết (2002), Nhiệt động lực và vật lý thống kê, NXBĐHQG Hà Nội. [4]: Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh - Lê Trọng Trƣờng (2003), Bài tập vật lý lý thuyết, NXB Giáo dục. [5]: Lê Văn (1978), Vật lý phân tử và nhiệt học,NXB Giáo dục. 56 [...]... Entropi, áp suất, năng lƣợng tự do, Mô hình khí lý tƣởng cổ điển tuy không có thực nhƣng từ việc nghiên cứu mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều 24 CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ 2.1 Khí Boltzmann 2.1.1 Phân bốBoltzmann Về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tƣơng tác giữa các phân tử khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc... hàm phân bố trong vật lý thống kê thƣờng đƣợc giới hạn xét các hệ hạt có số hạt rất lớn và bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt với nhau, xem chúng nhƣ các hạt tự do Nhƣ vậy chúng ta có thể coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các khí lý tƣởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê Để tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs... trình trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3] pV = kTN đối với N hạt trong thể tích V Vậy khí thực nào tuân theo phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép có thể coi nhƣ là khí lý tƣởng 7 Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tƣởng khi chúng càng loãng Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem nhƣ khí lý tƣởng Muốn vậy khí thực cần phải... CV của khí lý tưởng đơn nguyên tử U    TS 3    kT  N ln V  N (ln T  ln 2mk )  N ln N   2   3 3 3    T kN ln V  kN ln T  kN ln 2mk  kTN  2 2 2   3 3  U  CV     kN  R 2  T V 2 23 (1.43) Kê t luận chƣơng 1 Trong chƣơng này em đã trình bày về mô hình khí lý tƣởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tƣởng... của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học Không những nhƣ vậy mà còn tìm ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội năng và năng lƣợng tự do của hệ Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ trong đó... chất gần đúng đối với các hỗn hợp khí thực Trong khí lý tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các định luật quy định tính chất của khí Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác các định... 1.1.3 Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng: p v2 3  2 đ 3 Trong đó  đ là mật độ động năng trung bình Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối là thƣớc đo động năng trung bình của hạt ) mv 2 3  kT 2 2 Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm... bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tƣơng tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể Trong trƣờng hợp đó khí thực có tính chất nhƣ khí lý tƣởng Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tƣởng mà ta khảo sát Các khí thực sẽ không... nhiệt động của khí lý tƣởng Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa là: N  P2  H    k  U k ( x)  k 1  2m  (1.31) Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đƣa vào xuất phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tƣởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý bên trong bình... của năng lƣợng tự do của khí lý tƣởng 3 2     N  ln( 2m )  ln V  ln N  (1.40) 1.3.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng    P     V T  P   P  N  V  3   N  ln( 2m )  ln V  ln N   2   1 N  V V Đối với 1mol khí lý tƣởng phƣơng trình đó cần phải trùng với phƣơng trình 22 Clapâyrôn – Menđêlêép: P  NkT Từ đó ta suy ra rằng mô un θ của phân bố V chính ... Thị Kim Thanh Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong vật lý thống kê khí lý tƣởng” đƣợc hoàn thành sở nghiên cứu giáo trình tài liệu nhiệt động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn Hà Nội, tháng... thống kê cần thiết Vì em chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tƣởng vật lý thống kê ” Mục đích, nhiệm vụ đề tài - Nắm đƣợc khái niệm khí lý tƣởng - Đƣa đƣợc phân bố thống kê cổ điển khí lý tƣởng,đƣa... tài Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mô hình vật lý nhà khoa học xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý hiểu biết tổng quát ngƣời lĩnh vực, phạm vi vật lý