Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 92 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” COÂNG THÖÙC TOAÙN LÔÙP 10 - 11 – 12 & LTÑH CHỦ ĐỀ 1: TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2,3,4 I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 i  Xét phương trình: ax 2  bx  c  0 (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  a  0     0 (hay  '  0)   với Đặt b c S  x 1  x 2   ; P  x 1 .x 2  a a Phương trình (*) có 2 nghiệm trái   b2  4ac Phương trình (*) có nghiệm kép  a  0     0 (hay  '  0)   Phương trình (*) có 2 nghiệm  a  0     0 ( hay  '  0)   Phương trình ( * ) có nghiệm Xét hai trường hợp Trường hợp 1: a =0  bx  c  0 (Xét cụ thể) Trường hợp 2: a  0 Phương trình (*) có nghiệm  a  0     0 ( hay  '  0)    ax 2  bx  c  0 (a  0) (*) có 2 nghiệm x , x 1 2 Cho phương trình bậc hai dấu (x 1  0  x 2 )  P  0 Phương trình (*) có 2 nghiệm dương   0    (0  x 1  x 2 )  P  0   S 0    Phương trình (*) có 2 nghiệm âm   0    (x1  x 2  0)  P  0   S 0    Phương trình (1) có 2 nghiệm dương PHÂN BIỆT   0    (0  x 1  x 2 )  P  0    S 0   “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 1 Phương trình (1) có 2 nghiệm âm PHÂN BIỆT   0    P  0   S 0    * Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu    0    P 0    f (x )  ax 2  f (x )   a  0 0, x       0    f (x )   a  0 0, x       0    bx  c (a  0) không đổi dấu trên .   a  0  f (x )  0, x      0   Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn   a  0  f (x )  0, x      0   Chú ý nhe các em: Nếu hệ số a chứa tham số, thì xét thêm trường hợp a = 0  Định lí vi – ét Cho phương trình ax 2  bx  c  0 (a  0) (*) có 2 nghiệm x1 , x 2 Theo định lí vi - et ta có: S  x 1  x 2   b ; P  x 1 .x 2  c a  CHÚ Ý : 2 x12  x22   x1  x2   2x1x2  S2  2P  x1  x2  2 2   x1  x 2   4x1x 2  S2  4P x x 1 1 S   1 2  x1 x 2 x1x 2 P 1 x12 2  1 x 22  x12  x 22  x1x2  2  S2  2P P2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” a Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn BỔ SUNG CÔNG THỨC 91 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 2. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CSN Cho un là cấp số nhân, công bội là q  1 . Khi đó, ta có: Tổng của n số hạng  CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH đầu tiên: u1 (1  q n ) Sn  u1  u2  ....  un  1 q BỔ SUNG THÊM CÔNG THỨC CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 1. (a  b)2  a2  2ab  b2 a 2  b 2  (a  b) 2  2ab 2. (a  b)2  a2  2ab  b2 a 2  b 2  (a  b) 2  2ab 3. a2  b2  (a  b)(a  b) 4. (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a 3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) 5. (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 6. a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) 7. a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) 2 8.  a+b+c  =a 2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc 90 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn ax 2  bx  c  0 1 (a  0) Bieät soá   b2  4ac ( hoaëc '  b '2  ac vôùi b'  b ) 2 Bieän luaän:  Neáu   0 thì pt (1) voâ nghieäm  Neáu   0 thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1  x 2   ( x1  x2   b 2a b' ) a  Neáu   0 thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2  ( x1,2  b   2a  b'   ' ) a  CHÚ Ý : Neáu coù hai soá  ,  maø     S vaø  .  P ( S 2  4 P ) thì  ,  laø nghieäm cuûa phöông trình x2 - Sx + P = 0  Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai c nghieäm laø x1  1 vaø x2  a  Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai c nghieäm laø x1  1 vaø x 2   a II. Phöông trình truøng phöôngï 1.Daïng : ax 4  bx 2  c  0 (a  0) (1) 2.Caùch giaûi: “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 3 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 2 III . Phöông trình baäc ba 1. Daïng: ax 3  bx 2  cx  d  0 (1) ( a  0 ) 2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1) Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0 Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : Sô ñoà x0 a A b B c C d 0 (soá 0) Trong ñoù: a  A, x 0 .A  b  B, (1) x 0 .B  c  C, x 0 .C  d  0  x  x0  (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0   2  Ax  Bx  C  0 (2) Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù). CHÚ Ý 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức). 4 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường”  CHÚ Ý: Công sai d  un1  un Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Ñaët aån phuï : t = x ( t  0 ). Ta ñöôïc phöông trình: at 2  bt  c  0 (2) Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm cuûa phöông trình (1)  Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d ( n  2)  Tính chất: Nếu un là cấp số cộng, công sai là d. Khi đó ,ta có u u uk  k 1 k 1 với k  2 2  Tổng của n số hạng đầu :Đặt S n  S1  S 2  ....  Sn thì Sn  n (u1  un ) n[2u1  (n  1)d ]  2 2  Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ac b  a  c  2b 2 a  c  2b  Bốn số a,b,c,d theo thứ tự lập thành cấp số cộng   b  d  2c CẤP SỐ NHÂN ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn) mà kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng tích của một số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là: (un ) là cấp số nhân  n  N * , u n1  un  q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Cho un là cấp số nhân, công bội là q. Khi đó, ta có: Số hạng tổng quát: un  u1  q n1 (n  2) ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA SỐ LÀ CSN  89 a,b,c theo thứ tự là CSN  a.c  b 2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn x  DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 f ( x) với lim f ( x )  lim g ( x)  0 x  x0 x  x0 x  x0 g ( x ) 0 Khử dạng vô định 0 Tìm lim  Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau: f ( x) ( x  x0 ) f1 ( x) f ( x ) f1  x0  lim  lim  lim 1  x  x0 g ( x ) x  x0 ( x  x ) g ( x) x  x0 g ( x ) g1  x0  0 1 1 f ( x) 0 Nếu lim 1 có dạng thì lại phân tích tử và mẫu thành x  x0 g ( x ) 0 1 tích các nhân tử và giản ước.  Nếu f(x) và g(x) có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước. GIỚI HẠN MỘT BÊN lim f ( x )  L  lim f ( x)  lim f ( x )  L x  x0 x  x0 x  x0 CẤP SỐ CỘNG  Định nghĩa (un ) là cấp số cộng  n  N * , un 1  un  d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng 88 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284   neáu k chaün lim x k   x  - neáu k leû  lim x k   Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức (khác không). c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó. Lưu ý: + Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm. + Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm CHỦ ĐỀ 2: ĐẠI    A  0  hoaëc B  0 A B    AB      A0    A  B  B  0    A  B2     x2  0  x  0  x2  0  x   A  B  | A || B |  A  B  | A | B  B  A  B SỐ  B  0  AB    A  B2     B  0    A  0  A  B   B  0     A  B2    x2  0  x   ;  x2  0  x  0   B0    | A | B  A  B   A  B    A  B  | A | B   A  B “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 5 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn CHỦ ĐỀ 3: ĐẠO HÀM   xα '    α.x α1 uα ' '  α.u α1 .u' ' 1      1  x  x2 1      1  u'  u  u2  x  u ' 1  sin x  ' cos x  ' tan x  ' 2 x ' '  cos x sinu   sin x cos u ' tanu ' 1  2 cos x 2 u'  2 u  u'.cos u  u'.sinu u'  2 cos u  1  tan x 1 ' cot x    2 sin x  u'.(1  tan 2 u) u' ' cot u   2 sin u   1  cot 2 x  u'. 1  cot 2 u   ' e x   e x ' a x   a x lna ln|x| ' 1 x  log a |x| '   e u   e u  u' ' a u   u' a u ln a ' ln|u| 1 x lna  '  log a |u| u' u '  u' ulna 6 KHAI GIẢNG LỚP TOÁN NĂM 2015  xem mặt sau Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn   2  m  2 2  m  2 m2  4  0         1  m  1      m  1 m  1 x  m  ;1        VÍ DỤ 5: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Ta có y '  3 x 2  6 x  m có   9  3m . + Nếu m ≥ 3 thì y  0, x  R  hàm số đồng biến trên R  m ≥ 3 không thoả mãn. + Nếu m < 3 thì y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn  x1; x2  với độ dài l  x1  x2 . Ta có: x1  x2  2; x1 x2  m . 3 YCBT  l  1  x1  x2  1  ( x1  x2 )2  4 x1x2  1  m  9 . 4 CHỦ ĐỀ 14 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN. Giả sử lim f ( x )  a và lim g ( x)  b . Khi đó x  x0 ◘ ◘ x  x0 lim  f ( x)  g ( x )  a  b lim  f ( x)  g ( x )  a  b x  x0 x  x0 lim  f ( x).g ( x)   a.b lim x  x0  lim c  c x  87 x  x0 f ( x) a  b  0 g ( x) b c 0 x  x k lim “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 2m  1  4m 2  m  5  0  2m  1  4 m2  m  5  0 3  1 m  2 1  2 m  0   2   m  1 2  4m  m  5  1  2m   4 m  m  5  0   5  m  1 2  2   m  4 m  2 4 m  m  5  1  2m     Vậy m  15 là giá trị cần tìm. 4 VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  3m  1 (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Tập xác định: D = R, ta có y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m ) + m  0 , y  0, x  (0; )  m  0 thoả mãn. + m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( m ; 0),( m ; ) . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)  m  1  0  m  1 . Vậy m   ;1 . VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  mx  4 xm (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) . HƯỚNG DẪN: Tập xác định: D = R \ {–m}. y  m2  4 ( x  m)2 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1)  y '  0, x  ;1 . Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn u  v '  u' v ' u  v '  u' v ' uv '  u' v  uv '  u  ' u' v  uv '     v  v2 CHỦ ĐỀ 4 NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN  dx  x  C  α1 x x dx   C α  1 α 1 α  ax  b α α1 1 ax  b dx   a α1 C α  1  cos xdx  sin x  C 1 cos ax  b dx  sin ax  b  C  a  sin xdx   cos x  C 1 sin ax  b dx   cos ax  b  C  a 1  cos x dx  tan x  C 1 1 dx  tan ax  b  C  cos ax  b a 2 2 86 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 7 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 1  sin x dx   cot x  C 1  x dx  ln|x|C NCT 1 1 dx  ln|ax  b|C  ax  b a  e dx  e  C 1 e dx  e C  a 2 x x ax b  ax b x a a dx   C 0  a  1 lna x BẢNG “KĨ THUẬT” TÍNH TÍCH PHÂN (PHIÊN BẢN MỚI) DẤU HIỆU CÁCH TÍNH TC1: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ P( x)  Q( x) dx trong đó P(x),Q(x) là các đa thức  NẾU BẬC CỦA P(x)  BẬC CỦA Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức  Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta “tách ra”, phân tích Q(x) thành nhân tử. 8 Lập BBT của hàm g( x ) trên (0; ) 1 P ( x)  2  ( ax  b) 2  cx  dx e   mx  n   VN   A1 A2 A x  A4 A5   3  2   ax  b  ax  b cx 2  dx  e mx  n “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  1 dx   cot ax  b  C a sin 2 ax  b Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn x 1 2 0 g ' x   g x   0 +  2 1 g    2  Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn 1 5  g   m   m . 4 2 CÁCH 2: Tập xác định: D = R. y  3 x 2  2(1  2 m) x  (2  m ) Hàm đồng biến trên khoảng (0; )  y  0 với x  (0; )  3x 2  2(1  2m )x  (2  m )  0, x  (0; ) (*) y có   4m 2  m  5 . 5 thì   0  y  0, x    hàm số đồng biến trên 4 5 R  Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 0;   1  m  4 + Nếu 1  m  thoả YCBT.  m  1 5 thì   0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt m   4 + Nếu  2 m  1  4m 2  m  5 2 m  1  4m 2  m  5 , x2  ( x1  x2 ) 3 3 Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1),( x2 ; ) . x1  Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 0;   x1  x2  0 85 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn + Nếu m  3 thì   0  y  0, x    hàm số đồng biến trên R  Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ; 0  m  3 thoả YCBT. + Nếu m  3 thì   0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1  3  3  m  3  3 , x2  3  3  m  3 3 ( x1  x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1),( x2 ; ) . Do đó hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0)  0  x1  x2  0 3  3  m  3 3  0  3  3  m  3 (Vô nghiệm) Vậy m  3 là giá trị cần tìm. VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m ) x  m  2 .Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  (0; ) . HƯỚNG DẪN CÁCH 1: Tập xác định: D = R. y  3 x 2  2(1  2 m) x  (2  m ) Hàm đồng biến trên khoảng (0; )  y  0 với x  (0; )  3x 2  2(1  2m )x  (2  m )  0, x  (0; )  3x 2  2x  2  m 4x  1  0, x  (0; )  3x  2x  2  m 4x  1 , x  (0; ) 2 2  3x  2x  2  m, x  (0; ) vì 4x  1  0, x  0 4x  1 g( x )  Xét g ( x )  84 3x 2  2 x  2 với 4x  1 6(2 x 2  x  1) (4 x  1)2 x  (0; ) Ta  x  1  0  2x2  x  1  0   1 x   2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” có: Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 y có   3(m  3) .  DẠNG 1: TC2: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc n  Nếu 2 < n lẻ thì thực hiện biến đổi. dx Với tích phân I : Đặt t = cosx Với tích phân J : Đăt t = sin x n I   sin x  J   cos x dx  2  4 J   cos 4 xdx ; I   sin 4 2 xdx  2 0 J   cos5 xdx ; 0 0  2 I   sin 3 xdx ; 0  DẠNG 2 I1   sin m x  cosn xdx I2   sin m x dx cosn x n ; I  cos x dx 3  sinm x  m, n    m , n     Nếu số mũ của sin lẻ thì ĐẶT t = cosx.  (Nếu m lẻ, n lẻ thì ta có thể ĐẶT t = sinx hoặc t = cosx đều được) Nếu m, n chẵn thì đối với I1 dùng công thức m, n  lại số mũ của cos lẻ thì ĐẶT t = sinx. Ngược hạ bậc, còn đối với I 2 , I 3 ta có thể ĐẶT t = tanx hoặc t = cotx  2  2 J   cos5 x.sin 2 xdx ; J   0  DẠNG 3: I   F (sin x ,cos x )dx Trong đó F  sin x, cos x  là hàm hữu tỉ đối với sinx và cosx 9  4 cos5 x dx sin 2 x  Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì ĐẶT t = sinx  Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì ĐẶT t = cosx  Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (sinx) mà hàm số không đổi dấu thì ĐẶT t = tanx hoặc t = cotx  Nếu không thỏa mãn 3 dấu hiệu trên thì ĐẶT “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Khi đó: I   F (sin x ,cos x )dx  2t 1  t 2 2t F( , ) dt 1  t2 1  t2 1  t 2  CÓ NHỮNG BÀI PHẢI LIÊN KẾT DẤU HIỆU  DẠNG 4:   sin ax  cos bxdx; sin ax  sin bxdx; 1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 2 1 cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b) 2 sin a.sin b   cos ax  cos bxdx Ví dụ:  2 J   s in5x.cos xdx ; 0 CÁCH TÍNH Dùng công thức biến đổi lượng giác tích thành tổng.  Lấy nguyên hàm của một tổng  2 J   s in 2 5x.cos 2 xdx 0  DẠNG 5: I1   tan n xdx (n  2) 2  Tách tan x ra và thay tan 2 x  I 2   cot n xdx (n  2)  3 Ví dụ: J   tan 5 xdx ; 1 1 cos 2 x 1 Tách cot x ra và thay cot x  1 sin 2 x 2 2  4 10 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Bảng biến thiên Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 x 2tdt  dx  2 1 t2 2t 1 t2 sin x  , cos x  1 t2 1  t2 t  tan Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn x g ' x   g x   1  0 0 + 0 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn  m  g 1  m  3 CÁCH 2: ( PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2) Tập xác định: D = R. y  3 x 2  6 x  m Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ; 0  y '  0, x  ; 0  3x 2  6x  m  0, x  ; 0 (*) y có   3(m  3) . + Nếu m  3 thì   0  y  0, x    hàm số đồng biến trên R  Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ; 0  m  3 thoả YCBT. + Nếu m  3 thì   0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1  x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1 ),( x2 ; ) . Do đó hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0)  0  x1  x2    0 m  3   P  0  m  0 (Vô nghiệm) S  0 2  0 Vậy m  3 là giá trị cần tìm. CÁCH 3: ( PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGHIỆM) Tập xác định: D = R. y  3 x 2  6 x  m Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ; 0  y '  0, x  ; 0  3x 83 2  6x  m  0, x  ; 0 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” (*) Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 3 1 = (x +5)  phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 4 1 11  y x 4 4 1 b. y /  x  32 x2  0  x  2 x3 Suy ra, giao điểm với trục hoành là: A( - 2; 0) y / (2)  1  phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = 1(x + 2)  y  x  2 Cho y = 0  NHÓM 5 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 3 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3 x  mx  4 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0) . HƯỚNG DẪN CÁCH 1: ( PHƯƠNG PHÁP CHIỀU BIẾN THIÊN) Tập xác định: D = R. y  3 x 2  6 x  m Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ; 0  y '  0, x  ; 0  3x  6x  m  0, x  ; 0 2  3x  6x  m, x  ; 0 2 Xét g x   3x 2  6x với x  ; 0 . Ta g ' x   6x  6; g ' x   0  x  1 82 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” có Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  3 I   cot 4 xdx  4  DẠNG 6:  Đối với I1 nếu n lẻ thì đặt t = sinx; nếu n 1 I1   dx cosn x 1 I 2   n dx sin x chẵn thì tách  Đối với I 2 nếu n lẻ thì đặt t = cosx ; nếu n Ví dụ: J  chẵn thì tách 1 ra rồi đặt t = cotx sin 2 x 1 1 1 dx;K   dx; I   4 dx 3 sin x cos x sin x DẠNG 7 I  1 ra rồi đặt t = tanx cos 2 x I  dx 2 a  sin x   b sin x cos x  c  cos x  2   Ví dụ: dx 2 a  sin x   b sin x cos x  c  cos x  2 dx  2 cos 2 x a  tan x   b tan x  c  ĐẶT t = tanx J  1 dx sin x  2sin x cos x  3cos 2 x 2  DẠNG 8: 1 I  dx a cos x  b sin x  c Ví dụ: I   2 1 dx sin x  cos x  1 0 J  1 dx a cos x  b sin x  c dx x x x x x  2x   a  cos  sin 2   2b sin cos  c  sin 2  cos2  2 2 2 2 2 2   ĐẶT t = tan  DẠNG 9: I1   dx sin  ax  c  sin  ax  d  I2   dx cos  ax  c  cos  ax  d  I3   dx sin  ax  c  cos  ax  d  11 I1     x ( giống dạng 7) 2 dx sin  ax  c  sin  ax  d  sin  ax  c    ax  d   sin  ax  c  sin  ax  d  dx “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” I2       DẤU HIỆU  DẠNG 10: m cos x  n sin x  p I  dx a cos x  b sin x  c dx cos  ax  c  cos  ax  d  sin  ax  c    ax  d   cos  ax  c  cos  ax  d  I3   Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn dx dx sin  ax  c  cos  ax  d  cos  ax  c    ax  d   sin  ax  c  cos  ax  d  dx CÁCH TÍNH Nhớ khẩu hiệu TS   A  MS   B  MS  ' C Ví dụ:  2 3sin x  5cos x  2 dx sin x  cos x  1 0 J   DẠNG 11: Nhớ khẩu hiệu m cos x  n sin x TS   A  a sin x  b cos x   B  a sin x  b cos x  ' I  dx 2  a cos x  b sin x  Ví dụ:  2 J  sin x  5cos x 2 0  sin x  cos x  dx  DẠNG 12: I m cos x  n sin x  a cos x  b sin x  3 dx Nhớ khẩu hiệu TS   A  a sin x  b cos x   B  a sin x  b cos x  ' Ví dụ: 12 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn y / (0)  0 ; y / (3)  9 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2. phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)  y = 9x – 25 . Ví dụ 6. Cho hàm số y  x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của x3 đồ thị hàm số a. Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 b. Tại giao điểm với trục hoành. Giải: a. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. 1 y/  x  32 Hệ số góc của tiếp tuyến là: y / ( x0 )   x0  3  2   x 0  3  2  x 0  3 2  4   * Với x0  1  y 0  1 1  2 x0  3 4  x 0  1   x 0  5 1 2  phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – y 1 1 = (x + 1) 2 4 1 3 x 4 4 * Với x0  5  y 0  81 3 2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” + Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 nên 1 y   x0  .k   1  y   x0  .   1  y  x0  .  8 8  x0  1 2  3x0  4 x0  1  8    x0  7  3 + Với x0 = -1 suy ra y0 = -7 ta có phương trình tiếp tuyến y = 8( x + 1) – 7 hay y = 8x + 1. 7 781 + với x0   y0  ta có phương trình tiếp tuyến 3 27 7  781 177  y  8 x    hay y  8 x  . 3  27 27  177 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = 8x + 1 và y  8 x  . 27 Ví dụ 5: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a) . Tại giao điểm với trục tung. b) Tại giao điểm với đường thẳng y = 2 Giải: / 2 a) . y  3x  6 x Cho x = 0  y  2 Suy ra giao điểm với trục tung là A(0; 2) y / 0   0  phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 0( x – 0) + 2  y = 2. b) . y /  3x 2  6 x phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) với đường thẳng y = 2. x  0 x 3  3x 2  2  2  x 3  3x 2   x  3 Vậy có hai giao điểm: A 0;2 , B 3;2 80 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  2 J  0 7sin x  4 cos x  2sin x  cos x  3 dx  DẠNG 13: I   R  cos2 k x, tan x dx Nhớ khẩu hiệu Với I: t  tan x Với J: t  cot x J   R  sin 2 k x, cot x dx Ví dụ  3 Ví dụ:  4 J  1 dx 0 cos x 3tan x  1 I   4 4 cot x  1 dx sin 4 x TC3: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ DẤU HIỆU  R x, a 2  x 2  ( Biểu thức f chứa x,  R x, a 2  x 2  1 a  x2 13 2 2 a x )    t   ;   2 2 ĐẶT x = |a| tant và 2 2 a x )  ( Biểu thức f chứa x, f ( x)  2  ( Biểu thức f chứa x, R x, x 2  a 2 CÁCH CHỌN ĐẶT x = |a| sint và x2  a 2 )    t   ;   2 2 |a| ĐẶT x = và cos t  t  0;   \ { } 2 ĐẶT x = |a| tant và    t   ;   2 2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  a  x    f   a  x   ĐẶT x = acos2t  x  a x  b   R  x, ĐẶT x = a+(b-a) sin 2 t ax  b  dx cx  d  n  ĐẶT t  n ax  b cx  d DẠNG : CHỨA NHIỀU CĂN  Chứa 2 căn cùng bậc nhân lượng liên hợp  Chứa nhiều căn bậc khác nhau : Bậc m, bậc n … mà biểu thức trong căn giống nhau thì ĐẶT căn bậc r là t với r là bội số chung nhỏ nhất của m,n…. TC4: DẠNG ĐẶC BIỆT  Tích phân có cận  2  dạng thì có thể 0  đặt t   x 2  Tích phân có cận  4 dạng  thì có thể 0  x 4  Tích phân có cận dạng ĐỐI XỨNG đặt t  a  thì có thể đặt  sin U ( x)  cos U ( x)    U ( x ) Thấy  e  thì nên ĐẶT t   n U ( x)  = U(x)  Nếu tích phân có dạng A( x ) , thì nên B( x) thử xem “ ĐẠO HÀM DƯỚI MẪU B’(x) có bằng A(x) trên tử hay không”??  nên ĐẶT t = B(x).  Hàm chứa e x thông thường đặt t  ex a x  t 14 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 f Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  x  3 có đồ thị ( C ). a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2015 b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2014 = 0. Giải a) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm + y   3x 2  4 x  1; y   x0   3 x0 2  4 x0  1 + đường thẳng y = x + 2015 có hệ số góc k = 1. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2015  x0  0 2 nên y   x 0   1  3 x 0  4 x 0  1  1    x0  4  3 + Với x0 = 0 suy ra y0 = - 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1(x – 0) - 3 hay y = x – 3 4 77 + Với x0  suy ra y0  ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – 3 27 4 77 113 )  y= x  27 3 27 113 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x – 3 và y = x  . 27 b) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm + y   3x 2  4 x  1; y   x0   3 x0 2  4 x0  1 1 2014 + đường thẳng 2x + 16y – 2014= 0 hay y   x  có hệ số góc 8 2 1 k=  8 79 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 2  3x  2 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ là 6 Giải Gọi M ( x0; 6) là tiếp điểm khi đó ta có  x0  1 y  2 x  3 6  x0 2  3x0  2  x0 2  3x0  4  0   x  4  0 + Với M ( -1; 6) ta có y (1)   5 suy ra pttt là y  5( x  1)  6  y  5 x  1 + Với M (4; 6) ta có y   4   5 suy ra pttt là y  5( x  4)  6  y  5 x  14 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = -5x + 1 và y = 5x – 14. Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x 1 y biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. x 1 Giải + Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm với x0  1 1 1 + y  ; y  x0   2 2  x  1  x0  1 ta có 1 2 y   x0   k   1   x0  1  1 2  x0  1  x0  0   x0  2 + Với x0 = 0 suy ra y0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – 0 ) + 1  y = x + 1. + Với x0 = - 2 suy ra y0 = 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x + 2 ) + 3  y = x + 5. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu y = x + 1 và y = x + 5. 78 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn y  0( x  2)  2  y   2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 phương trình tiếp tuyến cần tìm là  TC 5 Các dạng tích phân từng phần cơ bản và cách chọn u, dv. DẠNG TÍCH PHÂN CÁCH CHỌN u , dv Đặt  P  x  sin(ax  b)dx du  P '( x)dx u  P ( x)    1 dv  sin(ax  b)dx v   cos( ax  b)  a (với P(x) là đa thức theo biến x.) Ví dụ 1 : Tìm các nguyên hàm sau a) x s in2xdx b) x sin  2 x  1 dx c)   x DẠNG TÍCH PHÂN u  P ( x ) dv  cos( ax  b) dx Đặt  (với P(x) là đa thức theo biến x.) Ví dụ 2 : Tìm các nguyên hàm sau a) (1  x ) cos 3 xdx b) x 2 cos 4 xdx c)  DẠNG TÍCH PHÂN  P  x e ax  b  1 s inxdx CÁCH CHỌN u , dv  P  x  cos(ax  b)dx  2  x cos 2 xdx CÁCH CHỌN u , dv u  P ( x ) dx Đặt  dv  e ( với P(x) là đa thức.) ax b dx Ví dụ 3 : Tìm các nguyên hàm sau a) x  xe dx b) x 2 2  2 x  1 e x dx c)  x 3e  x dx DẠNG TÍCH PHÂN  P  x  ln(ax  b)dx (với P(x) là đa thức theo biến x.) 15 CÁCH CHỌN u , dv Đặt a  u  ln( ax  b) du  ax  b dx   dv  P ( x) dx v  P ( x) dx   “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Ví dụ 4 : Tìm các nguyên hàm sau  x ln xdx b)  x ln xdx c)  ln  x  1  x  TC6: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 2 a) 2 DẤU HIỆU DẠNG 1:  y  f ( x)  y  0  x  a, x  b  CÁCH TÍNH y xa xb (C) : y  f ( x) (a  b) O a y0 x b b S   | f ( x) | dx a DẠNG 2:  y  f ( x)   y  g ( x)  x  a; x  b (a  b)  b S   | f ( x)  g ( x) | dx a DẠNG 3: 16  BƯỚC 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm f  x   g  x  tìm nghiệm. “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  Trong đó:  M  x0 ; y0  gọi là tọa độ của tiếp điểm tiếp điểm  k  f '  x0  là hệ số góc của tiếp tuyến. 2) Ghi nhớ  Đường thẳng d: y  a x  b (a  0) thì có hệ số góc là k = a  Cho đường thẳng d : y  ax  b  a  0  ; d ' : y  a ' x  b '  a '  0  . Khi đó:  k  kd ' a  a '  d / /d '   d  b  b ' b  b '  d  d '  kd .kd '  1  a.a '  1  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì có hệ số góc k = a. (NHỚ THỬ LẠI)  Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì 1 có hệ số góc k =  . a  Trục hoành ( trục Ox): y = 0  Trục tung ( trục Oy ): x = 0. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 ( C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M( -1; -2); b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ 2. Giải b) Ta có y   3x  6 x, y   1  9 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9( x  1)  2  y  9 x  7 c) Giả sử M ( 2 ; y0) là tiếp điểm khi đó ta có y0  23  3.22  2  2 y   3x 2  6 x, y  2   0 77 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Dựa vào đồ thị ta có: + m  2 : Phương trình vô nghiệm; + m  2 : Phương trình có 2 nghiệm kép ; + 2  m  0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + m  0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. NHÓM 4: TIẾP TUYẾN  Kiến thức cần thiết y (C): y=f(x) y0 M 0 x0  x 1) Cho hàm số y  f ( x)  C  ; M  x0 ; y0    C   Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M  x0 ; y0  là ( d ) : y  f '  x0  x  x0   y0 76 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  BƯỚC 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC DẠNG 1, DẠNG 2.  y  f  x  S  :   y  g  x  TC7: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY DẤU HIỆU CÁCH TÍNH CÁCH TÍNH b V     f ( x)  dx 2 y x a O a x b (C) : y  f ( x) y 0 a x b CHỦ ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb tan(a + b) = tana  tanb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 1  tana.tanb tana  tanb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a - b) = sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb 1  tana.tanb Ngược lại ta có: cosa.cosb – sina.sinb = cos(a + b) cosa.cosb + sina.sinb = cos(a - b) sina.cosb + cosa.sinb = sin(a + b) sina.cosb - cosa.sinb = sin(a - b) 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI 17 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn cos2x – sin2 x = cos 2x 1 1  sin2x = 2.sinx.cosx; sinx .cosx  sin 2x , sin2x .cos2 x  sin2 2x 2 4 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1  cos2 x  cos2x =  sin2x = 2 1  cos2 x 2 2 NGƯỢC LẠI TA CÓ: 1  cos 2x  2 sin x;1  cos 2x  2 cos2 x 4.CÔNG THỨC NHÂN BA  sin3x = 3sinx – 4sin3x  cos3x = 4cos3x – 3cosx 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH ab ab .cos 2 2 ab ab  cosa - cosb = -2.sin .sin 2 2 ab ab  sina + sinb = 2.sin .cos 2 2 ab ab  sina - sinb = 2.cos .sin 2 2 6.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1  cosa.cosb = [cos(a +b) + cos(a - b)] 2 1  sina.sinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)] 2 1  sina.cosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] 2  cosa + cosb = 2.cos 7. CÔNG THỨC CƠ BẢN  sin2 x  cos2 x  1  tan x   cot x  cosx sin x  1  cot2 x  18 sin x cos x  1  tan2 x  1 sin2 x 1 cos2 x  tan x. cot x  1 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn y Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x –1 = 1 – 2sin2x NGƯỢC LẠI: 1 – 2sin2x = cos2x ; 2cos2x –1 = cos2x f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 5 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 2 2. Ta có x  2 x  2  x  1 m  2 x 1  x  1 x  2 x  2   m Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C/) của hàm số y  ( x 2  2 x  2) x  1 với x  1 và đường thẳng y = m  x 3  3 x 2  2 khi x  1 Ta có y  ( x  2 x  2) x  1    x 3  3x 2  2 khi x  1 Nên đồ thị (C/) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  1 + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < 1. 2  75  “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 8. CUNG LIÊN KẾT 8 6 4 2 I 10 5 1 O 5 10 2 4 Ví dụ 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x  2 x  2  Giải: 1. Tự khảo sát Đồ thị 74 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” m x 1 Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 10  2  Đổi cos thành sin : cos   sin      Làm mất dấu trừ trước sin :  sin   sin() Đổi sin thành Làm mất cos: sin   cos      2  dấu trừ trước cos :  cos   cos(   ) 9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  u  v  k2  sin u = sin v    u    v  k2  (kZ) cos u = cos v  u =  v + k2. tanu = tanv  u = v + k cotu = cotv  u = v + k (kZ) (kZ) (kZ) 10. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT sinx = 0  x = k, (kZ) sinx = 1  x =  2 sinx = -1  x = cosx = 0  x =  2 + k2,( k  Z )  2 + k2 ,( k  Z ) + k , ( k  Z ) cosx = 1  x = k2, ( k  Z ) cosx = -1  x =  + k2, ( k  Z ) 11. KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  8 câu “ Thần chú” nguyên tắc chung thường được sử dụng trong các phép biến đổi giải phương trìnhlượng giác  Đưa về chung góc  Thấy bình phương hạ bậc  Tích thành tổng, tổng thành tích 19 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn sin x cos x cos x Gặp cot x THÌ THAY cot x  sin x Gặp tan x THÌ THAY tan x   Hướng suy nghĩ để giải phương trình lượng giác Khi gặp một phương trình lượng giác, bạn có thể suy nghĩ cách giải bài toán theo các bước sau đây:  Bước 1: Xem phương trình có chứa ẩn ở mẫu không, có chứa các hàm tanx và cotx hay không. Nếu có, hãy đặt điều kiện ngay: Đối với mẫu số là biểu thức f  x  thì đặt f  x   0 .  Khi gặp tan x thì đặt cos x  0 . Khi gặp cot x thì đặt sin x  0 . Nếu có nhiều điều kiện đồng thời thì dùng dấu ngoặc nhọn “{“ để biểu diễn điều kiện.  Bước 2: Xét xem trong phương trình có những nhóm biểu thức quen thuộc nào có thể áp dụng được công thức. Ta dùng phép biến đổi và các công thức để chuyển phương trình ban đầu về một trong các dạng sau:  Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.  Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.  Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng mở rộng.  Phương trình chứa  sin x  cos x  & sin x cos x     20 Phương trình dạng tích A.B  0 . “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 8 Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Biểu thức chứa mẫu THÌ Quy đồng, cộng trừ phân thức, triệt tiêu mẫu Thấy (a+b)(c-d) THÌ nhân phân phối vào Thấy sự gấp đôi công thức nhân đôi 6 4 2 I 10 5 O 1 5 2 4 6 x  2 khi x  1 x  2  x  1 c. y   x 1  x  2  x  1 khi x  1 Nên đồ thị (C3) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  1 + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < 1. 73 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 10 x  2 khi x  0 x  2  x  1 b. Ta có: y   x 1  x  2   x  1 khi x  0 x2 Ta lại có y  là hàm số chẵn x 1 Nên đồ thị (C2) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  0 + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ được. 72 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Và khi biến đổi về được các dạng phương trình này, công việc còn lại là tùy thuộc vào nơi bạn. Nhưng, vấn đề khó khăn lớn nhất ở đây là ở bước 2: “ làm sao để nhận ra các nhóm biểu thức có thể áp dụng được công thức và biến đổi . ????? CÂU HỎI NÀY TỰ MỖI BẢN THÂN CÁC EM HÃY TÌM CÂU TRẢ LỜI NHÉ. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG 1) 1  sin 2 x  (sin x  cos x) 2 ; 1  sin 2 x  (sin x  cos x) 2 sin x  cos x cos x  sin x 2) 1  tan x  , 1  cot x  , cos x sin x sin 2 x 3) sin x cos x  2 2 4) cos 2 x  cos x  sin 2 x   cos x  sin x  .  cos x  sin x  5) cos 2 x  1  sin 2 x  1  sin x  . 1  sin x  sin 2 x  1  cos 2 x  1  cosx  . 1  cos x  6) t anx+ cot x  t anx  c ot x  sin 2 x  cos 2 x 2 ,  sin x.cosx sin 2x sin 2 x  cos 2 x 2cos2x  sin x.cosx sin 2x 7) sin 3 x  cos 3 x  (sin x  cos x)(1  sin x.cos x) , sin 3 x  cos 3 x  (sin x  cos x)(1  sin x.cos x) 8) cos4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1 1  1  cos 4 x  3 1 sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x.cos 2 x  1  .sin 2 2 x  1  .     .cos 4 x 2 2  2  4 4 3 3  1  cos 4 x  5 3 sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos2 x  1  .sin 2 2 x  1  .   8  8 .cos 4 x 4 4  2  3 3  3  9) sin   x   sin .cos x  cos .sin x   cos x 2 2  2  7 7  7  cos   x   cos .cos x  sin .sin x  sin x 2 2  2     2  sin  x    sin x.cos  cos x.sin  .  sin x  cos x  4 4 4 2  21 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Bảng “ NHÓM CÔNG THỨC” QUEN THUỘC PHẢI NHỚ CÔNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG NHÓM BIỂU THỨC HƯỚNG BIẾN ĐỒI TRONG ĐỀ BÀI CHO sin  a  b  sin  a  b   sin a.cos b  sin b.cos a cos  a  b  cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b 1  cos 2a 1  cos 2a 1 sin a.cos a  sin 2a ( Công thức nhân đôi) 2 1 2 sin 2 x 4 2sin 2 a 2cos 2 a 1  sin 2a 1  sin 2a   sin a  cos a  1  sin 2a 1  sin 2a   sin a  cos a  2cos2 x  1 1  2sin 2 x cos 2x cos 2x sin a.cos a sin 2 x.cos 2 x Công thức nhân đôi cos 2x cos a  cos b cos a  cos b sin a  sin b sin a  sin b cos a.cos b 22 2 2 cos2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x a b ab cos a  cos b  2 cos cos 2 2 ab ab cos a  cos b  2sin sin 2 2 a b a b sin a  sin b  2 sin cos 2 2 a b ab sin a  sin b  2 cos sin 2 2 1 cos a  cos b   cos(a  b)  cos(a  b)  2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 2. x2 x  2 khi 0  x  2  x 1 x 1 a. y   x2 x 1  x  2  x  1 khi x  1  0 Nên đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  0 + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < 0. 71 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” x2 x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau x 2 x2 a. y  (C1) b. y  (C 2 ) x 1 x 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y  c. y  x2 (C 3 ) x 1 Giải 1. Tự khảo sát 70 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn sin a.sin b sin a.cos b sin 4 a  cos 4 a sin 6 a  cos 6 a sin 2 u  sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos2 x sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x cos2 x Đôi khi số “1” có thể phải biến đổi thành 1  sin 2 a  cos 2 a 1  cos 2u 2 sin 3 a cos3 a tan a  tan b cot a  cot b tan a  cot b Đổi cos thành sin :   cos   sin     2  Làm mất dấu trừ trước sin :  sin   sin( ) 23 1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a  cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  2 sin a  sin b  cos 2 u  1  cos 2u 2 3sin a  sin 3a 4 3cos a  cos 3a cos3 a  4 sin 3 a  sin x cos x ; cot x  cos x sin x Rồi quy đồng mẫu số, sử dụng công thức cộng   Đổi sin thành cos: sin   cos      2  Thay tan x  Làm mất dấu trừ trước cos :  cos   cos(  ) “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn CHỦ ĐỀ 6: HÌNH HỌC PHẲNG  Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC2  AB2  AC2 b) BA2  BH.BC; CA2  CH.CB A c) AB. AC = BC. AH b c d) 1 2  1 2  1 2 AH AB AC e) BC = 2AM f) sin B  A Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA BC sin A  AC sin B C a b c b c , cosB  , tan B  , cot B  a a c b  Định lý hàm số Sin: M H B b c  AB sin C M H B a  2R  Các công thức tính diện tích: a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 a.b.c S  a.ha= a.b sin C   p.r  p.(p  a)(p  b)(p  c) 2 2 với p  a  b  c 2 Đặc biệt : ABC 4R vuông ở A : S 1 AB.AC 2 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo ngắn) 2 24 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” C Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 10 8 6 4 2 10 5 -1 O 5 2 2 4 x 3  3x  2  0  c.Ta có: y  x 3  3 x  2   y  x 3  3 x  2  3  y   x  3x  2 Nên đồ thị (C3) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  0 (phần phía trên trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ được.  69  “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 10 8 6 4 2 10 5 5 -2 10 1 2 4 6  x 3  3x  2 khi x  0 b. Ta có y  x  3 x  2   3  x  3 x  2 khi x  0 3 3 Ta lại có y  x  3 x  2 là hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  0 (phần phía bên phải trục Oy) + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ được. 68 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn d/ Diện tích hình thang : 1 S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 e/ Diện tích hình tròn : S  .R2 CÁC ĐƯỜNG VÀ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC a. Trọng tâm của tam giác A  Trọng tâm G của tam giác là giao điểm của 3 N đường trung tuyến. G  Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì xét trên 1 B M trung tuyến AM ta có GM  AM và 3 2 GA  AM . Ta cũng có được điều tương tự trên hai trung tuyến 3 còn lại. b. Trực tâm của tam giác C A  Trực tâm của tam giác là giao điểm 3 đường cao.  Nếu H là trực tâm của ABC thì ta có AH  BC , BH  AC , CH  AB . B H C A c. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác Tâm I của đường tròn nội tiếp ABC là giao O điểm của 3 đường phân giác trong của ABC . B d. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABC là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnhAB, BC và CA. B  CHÚ Ý QUAN TRỌNG :  Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền và bán kính là một nửa cạnh huyền 25 C O A “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” C Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn CHỦ ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG d d  (P)  d / /a  d / /(P) a a  (P)  (P) HAI MẶT PHẲNG SONG SONG a,b  (P)   (P) / /(Q) a  b  I a/ /(Q),b / /(Q)  Hệ quả (P) / /(Q)  a / /(Q)  a  (P)  P a b I Q a P Q ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG d  a ,d  b  a ,b  mp(P) d  mp(P) a,b caét nhau  26 d b P “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” a Giải: Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp TRÙNG NHAU 1. Tự khảo sát 12 10 8 6 4 2 10 5 5 10 2  x 3  3x  2 khi x 3  3x  2  0 2. a. Ta có y  x 3  3 x  2    x 3  3x  2 khi x 3  3x  2  0 Nên đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  0 (phần phía trên trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y  0 ( phần phía dưới trục Ox)  67  “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 2 b   S  x1  x2   a   P  x .x  c 1 2  a 2 x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  S 2  2 P và nhớ  x1  x2  2  x12  x22  2 x1 x2  S 2  4 P “ PHƯƠNG PHÁP 3 CỬA ”  Trục Ox: y = 0 Trục Oy: x = 0 Khoảng cách d  M , Ox   yM Khoảng cách d  M , Oy   xM  x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng  x2  x1  x3  x2  x4  x3  x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng  2x2  x1  x3  NHÓM 3: ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3 x  2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau 3 a. y  x 3  3 x  2 (C1) b. y  x  3 x  2 (C 2 ) c. y  x 3  3 x  2 (C 3 ) 66 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Định lí vi- ét : ax  bx  c  0 có 2 nghiệm x1 , x2 thì ta có: a  mp(P) a  b  b  mp(P)  a HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q)  Q P c a (P)  (Q)  Công thức 1: (P) (Q)  d a  (Q) a  (P),a  d  P P a Q d (P)  (Q)  a  (P)  (R)  a  (R) Công thức 2:  (Q)  (R)  P Q a R GÓC Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng    Nếu d    thì góc giữa d và   bằng 900.  Nếu d không vuông góc với   thì góc giữa d và   là góc giữa d và hình chiếu d’ của d lên   .  Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn. 27 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  Nếu d không vuông góc với   và d cắt d thì ta xác định góc giữa d và Giả sử hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C1 ) và hàm số y  g ( x ) có đồ A   theo các bước: d' O  Bước 1: Xác định giao điểm O  d    .  Bước 2: Chọn điểm A tùy ý trên d khác với điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên   .  Bước 3: Góc giữa d và   là  AOH . H Góc giữa hai mặt phẳng  Phương pháp 1: Tìm hai đường a và b sao cho a    và b     . Khi đó, góc giữa   ,    là góc giữa a và b.  Phương pháp 2:  Bước 1: Tìm giao tuyến c        .  Bước 2: Tìm 2 đường thẳng a    và b     sao cho a  c, b  c . b a I Khi đó, góc giữa   và    là góc giữa 2 đường thẳng a và  b. Lưu ý: ta nên chọn a, b sao cho a, b, c đồng quy. Trường hợp khó tìm hai đường a, b thì ta tìm đường thẳng d vuông góc với giao tuyến c. Cho d     A , d      B . Vẽ AI  c tại I. Suy ra BI  c . Khi đó 28   ,       AI , BI  .  “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 d     O Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn thị (C2 ) . Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và  C2  f ( x )  g ( x ) (1) NHẬN XÉT:  Số giao điểm của (C1 ) và  C2  chính là số nghiệm của phương trình (1)  Nghiệm của phương trình ( 1 ) chính là hoành độ của các giao điểm. Giải phương trình (1) tính hoành độ giao điểm, thay vào y  f ( x) ( hoặc ) y  g ( x) ) để có tung độ giao điểm. Chuù yù : * Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2). Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0). y y0 x0 O 65 x “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn AB.BC. AC thức diện tích: S  4R  Đề bài cho bán kính đường tròn nội tiếp là r, nghĩ tới công thức diện tích: S  p.r với p  AB  BC  AC 2 LƯU Ý  Cho phương trình : ax 2  bx  c  0  a  0  ( *)   0   pt(*) có hai nghiệm dương phân biệt   P  0 pt(*) có hai S  0    0  nghiệm âm phân biệt   P  0 S  0  pt(*) có hai nghiệm trái dấu  P  0 pt(*) có hai nghiệm   0 cùng dấu   P  0 NHÓM 2: SỰ TƯƠNG GIAO Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá (C ) : y  f(x) : 1 (C2 ) : y  g(x) y y (C 1 ) M 1 y 2 2 y1 x O (C 64 2 y (C 1 ) M (C 2 ) M (C 1 ) 0 x x1 O x2 x O (C ) “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 2 ) Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Đề bài cho bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, nghĩ tới công KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng M Cho điểm M và mặt phẳng   , gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp   . Độ dài đoạn MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mp   , kí H α hiệu d  M ,    . d  M ,     MH (P) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG CÁCH  Phương pháp 1:  Tìm mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với   .  Xác định giao tuyến c   P     .   Trong mp(P), vẽ MH  c tại H. Suy ra MH    , tức là d  M ,     MH . M c H α M  Phương pháp 2: Xác định d  M ,    N dựa vào d  N ,    . α H I K  Ta đã có NK    .  Vẽ MH  NK , H    .  Khi đó MH    . Suy ra d  M ,     MH . Ta tính d  M ,    trong 2 trường hợp:  TH1: Nếu MN    thì d  M ,     d  N ,    .  TH2: Nếu MN cắt    tại giao điểm I thì I  MN    d  M ,    d  N ,    MI NI , với . a Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến 29  P O H “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn mp(P).d(a;(P)) = OH Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.d((P);(Q)) = OH  Một số công thức thường sử dụng: O P Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường a và b nếu M  a, N  b và MN  a, MN  b . H Q M Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d  a, b   MN a N Phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b  Phương pháp 1: Nếu xác định được đoạn vuông góc chung MN của a và b thì d  a, b   MN .  Phương pháp 2:  Tìm mặt phẳng   chứa a và   song song với b. Khoảng cách giữa a và b sẽ bằng khoảng cách từ b đến mp   . b a M H α Khi đó ta chọn điểm M  b và tính d  a , b   d  b,     d  M ,    CHỦ ĐỀ 8 HÌNH HỌC OXY ĐIỂM VÀ VECTƠ  Trong mặt phẳng Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; yC ) . Khi đó ta có: 30 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” b Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn I  d A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d   với  là đường   d thẳng đi qua A,B; I là trung điểm của AB.  A, B cách đều đt   d  A,    d  B,    A,B cách đều điểm O thì OA = OB.   Diện tích ABC S  1 d  A, BC  .BC  1 d  C , AB  . AB 2  Cho 2 d1 : y  k1 x  b1 ; d 2 : y  k 2 x  b2 . k1  k2  d1  d 2  k1.k2  1 b1  b2 Khi đó:  d1 / / d 2    Khoảng cách từ M đến đt  d  M ,    | AxM  ByM  C | 2 2 A B    Đt d1 VTPT n1 , d1 VTPT n2 . Góc giữa hai đường thẳng:   | n1.n2 | cos  d1 , d 2     | n1 | .| n2 | HÀM BẬC 4  Hàm số luôn nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị.  Hàm số có 1 cực trị  pt y’ = 0 có 1 nghiệm.  Hàm số có 3 cực trị  pt y’ = 0 có 3 nghiệm.  Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A  0; c  , B  x1; y1  , C  x2 ; y2  thì ABC cân tại A. ( A thuộc trục Oy, B và C đối xứng nhau qua trục tung)  Một số điều kiện hay sử  dụng     ABC vuông tại A  AB  AC  0  AB  BC  AB  AC   ABC đều    Cách tính diện tích tam giác ABC cân tại A: Kẻ đường cao AH, khi đó: S  63 1 AH .BC 2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Đặt t  log a f ( x ) 2.2. Dạng phương trình, bất phương trình vừa có hàm mũ vừa có hàm lôgarit. Thường đặt ẩn phụ theo hàm lôgarit. 3. Phương pháp 3: Nhóm vế trái thành tích, vế phải bằng 0. CHỦ ĐỀ 13 KHẢO SÁT HÀM SỐ NHÓM 1: CỰC TRỊ Hàm bậc 3  Hàm số có CĐ, CT  pt y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  Hoành độ x1 , x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của pt y’ =0.  Để tính nhanh tung độ các điểm cực trị y1 , y2 ta là như sau: Chia y cho y’ y  q  x  . y ' h  x  . Suy ra y1  h  x1  , y2  h  x2  . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là y  h  x  62 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 1 .Nhận xét : (a  b)(a  b)  1  a  b  ab f (x) .Đặt t  (a  b) . Tìm điều kiện của t. .Biến đổi về phương trình, bất phương trình theo t. MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT THƯỜNG GẶP. Chú ý: Khi giải phương trình, bất phương trình lôgarit thì đầu tiên phải chú ý là đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa. +Nếu cơ số chứa ẩn thì ĐK là: cơ số dương và khác 1. +Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương. 1. Phương pháp 1: Biến đổi đưa về cùng cơ số. Biến đổi đưa về cùng một cơ số, thường cơ số là hằng số sau đó biến đổi về phương trình , bất phương trình cơ bản để giải. 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ. 2.1 . Dạng: F [ log a f ( x )]  0(, , , )  AB  (x B  x A ; y B  y A )  Độ dài: AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó trung điểm I của AB có xA  xB   x I  2 tọa độ là:  y  y A  yB  I 2  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G có tọa độ là: xA  xB  xC  x  G  3  y  y A  yB  yC  G 3    3 điểm A,B,C thẳng hàng  AB, AC cùng phương.   Cho 2 vectơ a  (x; y) và b  (x '; y ') và số thực k. Khi đó:    a  b  (x  x '; y  y ')    a  b  (x  x '; y  y ')   ka  (kx; ky)   x  x ' y  y '  ab 31 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường”       a cùng phương b  k   : a  kb (hoặc a cùng phương  x y b   (x '  0; y '  0) ) x ' y'    ABCD là hình bình hành  AB  DC VECTƠ Để làm được bài tập về vectơ các em cần nhớ và hiểu 10 lưu ý sau đây: 1)Vectơ đối: 6)Qui tắc hiệu hai vectơ cùng   gốc.   a  b    *     a  b  AB  AC  CB a || b | |      * AB  BA ; CB  BC     OA  OB  BA 2)Hai vectơ bằng nhau.     a  b  a b   | a |  | b |  7)Qui tắc trung điểm. 3)Tích của vectơ với một số:   Cho a  0 và số k  0 . Tích   của số k với a  0 , kí hiệu là:  k  a được xác định như sau:   Cùng hướng với a nếu k >0 8) Qui tắc trọng tâm của tam giác.    IA  IB  0   Ngược hướng với a nếu     GA  GB  GC  0 k 0 là  a . Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là i a . 9. Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C   , A  0 ). * Tính   B 2  4AC   2 ,  là 1 căn bậc hai của . *   0 : pt(*) có hai nghiệm phân biệt z  B   . 2A *   0 : pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) z   57 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” B . 2A Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn a  bi   a ' b ' i   a  a '  b  b ' i . MF1  a  ex M ; MF2  a  ex M M   E  Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số phức z là –z . Vậy –z = -a – bi. 4. Nhân hai số phức. a  bi a ' b ' i   aa ' bb '  ab '     ba ' i . Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  y b B2 -b 5. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số z  a  bi z z ; z z '  z z ' ;  z  z z .z '  z .z ';  1   1  z 2  z 2 z .z  a 2  b 2 . z là số thực  z  z ; z là số ảo  z  z . 6. Môdul của số phức. Số thực z  a 2  b 2   gọi là môdul của số phức z = a + bi.  z  a  b  zz  OM với M a;b  là điểm biểu 2 2 y diễn số phức z. z  0, z  C , z  0  z  0 . z .z '  z . z ' ; 56 z z  . z' z' b M x O “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” a z = a + bi M b O k (a  bi )  ka  kbi (k  R) .  A1 -a x F1(-c; 0) A2 F2(c; 0) a O x a -b B1 M' z = a - bi CHỦ ĐỀ 9 HÌNH HỌC OXYZ BÀI 1: Hệ tọa độ trong không gian 1. Heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc trong khoâng gian: Cho ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâ  ng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø chung moät ñieåm goác O. Goïi i, j, k laø caùc vectô ñôn vò, töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi laø heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz hoaëc ñôn giaûn laø heä toïa ñoä Oxyz. 2  2  2     Chuù yù: i  j  k  1 vaø i. j  i.k  k . j  0 . 2. Toïa ñoä cuûa vectô:     a) Ñònh nghóa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk 37 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường”   b) Tính chaát: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1     a  b  a2  b2 a  b 3  3      0  (0; 0; 0), i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1)        a cuøng phöông b (b  0)  a  kb (k  R) a1  kb1   a2  kb2 a  kb 3  3  a1 b1  a2 b2 a3 , (b1, b2 , b3  0) b3    a  b  a1b1  a2 b2  a3b3  0   a  a12  a22  a22    a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3   a 2  a12  a22  a32  a1b1  a2 b2  a3b3 a.b       cos(a , b )     (vôùi a, b  0 ) a.b a 2  a 2  a2 . b 2  b2  b 2 1 2 3 1 2 3 3. Toïa ñoä cuûa ñieåm:  a) Ñònh nghóa: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoaønh ñoä, y : tung ñoä, z : cao ñoä) Chuù yù:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0  M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0 b) Tính chaát: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )   AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA )  AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  zA )2  Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: 38 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn CHỦ ĐỀ 11 SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức Số Phức (dạng đại số) có dạng z  a  bi với a, b  R , a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, i là số ảo, i2 = –1. z là số thực  phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0). z là số thuần ảo  phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0). Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo. Hai số phức  a  a ' a  bi  a ' b ' i   (a, b, a ', b '  R) .   b  b '   Tập hợp các số phức kí hiệu là  và    . 2. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức z = a + bi (a, b  R) xác định một điểm  M(a; b) hay xác định một véctơ u  (a; b) trong mặt phẳng y (oxy). M(a; b) b O a x 3. Tổng hai số phức, hiệu hai số phức a  bi   a ' b ' i   a  a '  b  b ' i . 55 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 4. C¸c hÖ sè nhÞ thøc c¸ch ®Òu hai sè h¹ng ®Çu vµ cuèi b»ng nhau v×: Ckn = Cnn k , 0  k  n. Mét sè d¹ng ®Æc biÖt D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (1), ta ®­îc: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + ... + Cnn 1 xn -1 + Cnn xn. (2) D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (1), kta ®­îc: n (1x)n = C0n  C1n x + C2n x2... + (1)k Cn xk + ... + (1)n Cn xn. (3) Khi ®ã:  Thay x = 1 vµo (2), ta ®­îc: C0n + C1n + C2n + ... + Cnn = 2n.  Thay x = 1 vµo (3), ta ®­îc: n nC C0n  C1n + C2n ... + (1) n = 0.  x  x B y A  y B zA  zB  M A ; ;   2 2 2   Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC:  x  x B  xC y A  yB  yC zA  zB  zC  G A ; ;  3 3 3    Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD:  XÁC SUẤT 1. Biến cố  Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.  Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  .  Biến cố không:   Biến cố chắc chắn:   Biến cố đối của A: A   \ A  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)  Hai biến cố xung khắc: A  B =   Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 2. Xác suất n( A)  Xác suất của biến cố: P(A) = n( )  0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0  Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B)  P( A ) = 1 – P(A)  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) 54 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  x  x B  xC  x D y A  y B  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;   4 4 4  4. Tích coù höôùng cuûa hai  vectô:  a) Ñònh nghóa: Cho a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) .    a2  a , b   a  b   a3 ; a3 a1 ; a1 a2   b1 b2    b2 b3 b3 b1   a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1      Chuù yù: Tích coù höôùng cuûa hai vectô laø moät vectô, tích voâ höôùng cuûa hai vectô laø moät soá. b) Tính chaát:           i , j   k ; k , i   j  j , k   i ;       [a, b]  a; [a, b]  b       [a, b]  a . b .sin  a, b       a, b cuøng phöông  [a, b]  0 c) ÖÙng duïng cuûa tích coù höôùng:     Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: a, b vaø c ñoàng phaúng     [a, b].c  0    Dieän tích hình bình haønh ABCD: S ABCD   AB, AD  39 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn S ABC     Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD: VABCD . A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ]. AA '  Theå tích töù dieän ABCD: VABCD 1     [ AB, AC ]. AD 6 Chuù yù: – Tích voâ höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc, tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng. – Tích coù höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå tính dieän tích tam giaùc; tính theå tích khoái töù dieän, theå tích hình hoäp; chöùng minh caùc vectô ñoàng phaúng – khoâng ñoàng phaúng, chöùng minh caùc vectô cuøng phöông.    a  b a.b  0      a vaø b cuø n g phöông  a ,b  0       a, b , c ñoàng phaúng   a , b  .c  0 40 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  TỔ HỢP Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Dieän tích tam giaùc ABC: 1     AB, AC  2 §Þnh nghÜa 3: Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö. Mét tËp con cña E, gåm k phÇn tö ph©n biÖt (1  k  n), ®­îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cña A. §Þnh lÝ 3: NÕu kÝ hiÖu sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö lµ Ckn , th× ta cã: Ckn = n! A kn = k! ( n  k )!k ! 0 k  n, (1) víi 0  k  n vµ quy ­íc C0n = 1. Tõ kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 3 suy ra: 1. Ckn = Cnn k , víi 0  k  n. 2. Ckn = Ckn 1 + Ckn 11 , víi 0  k  n. (2) (3)  C«ng thøc NhÞ thøc Newton ë líp 8 chóng ta ®· ®­îc lµm quen víi c¸c h»ng ®¼ng thøc: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02 a2  0b0 + C12 a2  1b1 + C22 a0b2, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C30 a3  0b0 + C13 a3  1b1 + C32 a3  2b2 + C33 a0b3. Tæng qu¸t: Víi mäi cÆp sè a, b vµ mäi sè n nguyªn d­¬ng, ta cã: (a + b)n = C0n an + C1n an1b + C2n an2b2 + ... + Cnn 1 abn1 + Cnn bn (1) C«ng thøc trªn ®­îc gäi lµ c«ng thøc nhÞ thøc Niu  t¬n (gäi t¾t lµ nhÞ thøc Niu  t¬n) NhËn xÐt c«ng thøc nhÞ thøc niut¬n 1. Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc b»ng n + 1, n lµ sè mò cña nhÞ thøc ë vÕ tr¸i. 2. Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng b»ng n. 3. Sè h¹ng tæng qu¸t cã d¹ng: Tk + 1 = Ckn an  kbk, víi k = 0, 1, ..., n. ®ã lµ sè h¹ng thø k + 1 trong sù khai triÓn cña nhÞ thøc (a + b)n. Nh­ vËy, víi yªu cÇu "T×m hÖ sè cña an  kbk" th× cÇu tr¶ lêi lµ Ckn . 53 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công đoạn Ak có thể làm bằng nk cách Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1  n 2  n k ( cách)  HOÁN VỊ §Þnh nghÜa 1: Cho tËp hîp A, gåm n phÇn tö (n  1). Mét c¸ch s¾p thø tù n phÇn tö cña tËp hîp A ®­îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®ã. §Þnh lÝ 1: NÕu kÝ hiÖu sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ Pn, th× ta cã: Pn  n  n  1 n  2  ....2.1  n ! Qui ước: 0!  1  CHỈNH HỢP §Þnh nghÜa 2: Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö. Mét bé gåm k (1  k  n) phÇn tö s¾p thø tù cña tËp hîp A ®­îc gäi lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö cña A.  NhËn xÐt: 1. Hai chØnh hîp kh¸c nhau khi vµ chØ khi: hoÆc cã Ýt nhÊt mét phÇn tö cña chØnh hîp nµy mµ kh«ng lµ phÇn tö cña chØnh hîp kia, hoÆc c¸c phÇn tö cña hai chØnh hîp gièng nhau nh­ng ®­îc s¾p xÕp theo thø tù kh¸c nhau. §Þnh lÝ 2: NÕu kÝ hiÖu sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö lµ A kn , th× ta cã: Ank  n( n  1)( n  2).....( n  k  1)   Chó ý: NÕu k 52 = n th×: A nn = n! (n  k )! 1 k  n n! n! = = n! = Pn. 0! 1 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn BÀI 2: Phương trình mặt phẳng  Phương trình tổng quát Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng   luôn có dạng: Ax  By  Cz  D  0 trong đó A2  B 2  C 2  0 . Chú ý:  Nếu mặt phẳng   có phương trình Ax  By  Cz  D  0  thì   nhận n   A; B; C  làm vectơ pháp tuyến của nó.  Mặt phẳng qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ pháp  tuyến n   A; B; C  thì có phương trình tổng quát: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 .   : Ax  By  Cz  D  0 và    / /   thì phương trình mặt phẳng    có dạng    : Ax  By  Cz  D '  0 (  Nếu D '  D ) trong đó, ta cần xác định hằng số D’.    Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông neáu caùc giaù cuûa chuùng song song    hoaëc naèm treân () thì n   a , b  laø moät VTPT cuûa (). ( BÍ QUYẾT TÌM VTPT)  Các trường hợp riêng Phöông trình maët phaúng () Ax  By  Cz  0 By  Cz  D  0 Ax  Cz  D  0 Ax  By  D  0 Cz  D  0 By  D  0 Ax  D  0 41 Tính chaát maët phaúng () () ñi qua goác toaï ñoä O () // Ox hoaëc ()  Ox () // Oy hoaëc ()  Oy () // Oz hoaëc ()  Oz () // (Oxy) hoaëc ()  (Oxy) () // (Oxz) hoaëc ()  (Oxz) () // (Oyz) hoaëc ()  (Oyz) “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Chuù yù: Neáu trong phöông trình cuûa () khoâng chöùa aån naøo thì () song song hoaëc chöùa truïc töông öùng.  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Nếu mặt phẳng ( ) cắt ba trục tọa độ Ox, Oy,Oz lần lượt tại A  a;0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  thì phương trình ( ) là: x y z    1 phương trình này được gọi là phương trình mặt a b c phẳng theo đoạn chắn. BÀI 3 Phương trình đường thẳng & mặt cầu  Phöông trình tham soá & chính TẮC cuûa ñöôøng thaúng  Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP  x  xo  a1t   a  (a1; a2 ; a3 ) : (d ) :  y  yo  a2t z  z  a t o 3   Neáu a1a2 a3  0 thì (d ) : x  x0 a1 ( t  R)  y  y0 a2  z  z0 a3 ñgl phöông trình chính taéc cuûa d d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q)  Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP. 42 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn CHỦ ĐỀ 10 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  QUY TẮC CỘNG Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1 , A 2 ,...., A k ( mỗi phương án đều thực hiện xong công việc A). Nếu:  Phương án A1 có thể làm bằng n1 cách  Phương án A2 có thể làm bằng n2 cách  ….  Phương án Ak có thể làm bằng nk cách Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi: ( cách). n1  n 2    n k  QUY TẮC NHÂN Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn liên tiếp A1 , A 2 ,...., A k (A chỉ có thể hoàn thành sau khi thực hiện toàn bộ k công đoạn). Nếu  Công đoạn A1 có thể làm bằng n1 cách  Công đoạn A2 có thể làm bằng n2 cách  …. 51 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn     a1 , a2  .M1M2 d (d1, d2 )     a1, a2  Chuù yù: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2 baèng khoaûng caùch giöõa d 1 vôùi maët phaúng () chöùa d2 vaø song song vôùi d1.  Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng naøy ñeán ñöôøng thaúng kia.  Khoaûng caùch giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song song Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng ( ) song song vôùi noù baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm M baát kì treân d ñeán maët phaúng ().  Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng   Cho hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït coù caùc VTCP a1, a2 .   a1.a2 Goùc giöõa d1, d2 là  thì cos     a1 . a2  Goùc giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng  Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) vaø maët phaúng () coù  VTPT n  ( A; B; C ) .Khi đó, nếu gọi  là góc giữa  và   thì:  Aa1  Ba2  Ca3 | a.n | sin      | a|.| n| A2  B 2  C 2 . a12  a22  a32    có vectơ pháp tuyến a   a1 ; a2 ; a3  và mặt  phẳng    có vectơ pháp tuyến b   b1 ; b2 ; b3  .Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   và    , ta có:  Mặt phẳng  a.b a1b1  a2 b2  a3b3 cos =    a.b a12  a22  a32 b12  b22  b32 50 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284  VTCP a2 ( P) – Tìm toaï ñoä moät ñieåm A  d: baèng caùch giaûi heä phöông trình  (Q) (vôùi vieäc choïn giaù trò cho moät aån)    – Tìm moät VTCP cuûa d: a   nP , nQ   Caùch 2: Tìm hai ñieåm A, B thuoäc d, roài vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm ñoù.  Phương trình mặt cầu DẠNG 1: Mặt cầu (S) có tâm 2 I  a; b; c  2 và bán kính R có phương 2 trình  x  a    y  b    z  c   R 2 DẠNG 2: Nếu mặt cầu (S) có phương trình x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 ( với a 2  b 2  c 2  d  0 ) thì mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  và bán kính R  a 2  b 2  c 2  d . BÀI 4: HÌNH CHIẾU, ĐỐI XỨNG  BAØI TOAÙN 1: HÌNH CHIẾU  Bài toán đặc trưng 1: Cho trước đường thẳng d và một điểm M. Gọi H là hình chieáu vuông góc cuûa ñieåm M trên ñöôøng thaúng d và M’ là điểm đối xứng của M qua d. Tìm tọa độ các điểm H và M’. Phương pháp giải (d)  Phương pháp tìm tọa độ H: Bước 1: – Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi d. H   Bước 2: – Khi ñoù: H = d  (P) M' M  Phương pháp tìm tọa độ M’: P) Bước 1:– Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân d.  43 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Bước 2: – Xaùc ñònh ñieåm M sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho đđường thẳng  vaø mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  và bán kính R .  Bài toán đặc trưng 2: Cho trước mặt phẳng (P) và một điểm M. Gọi H là hình chieáu vuông góc cuûa ñieåm M trên mp(P)và M’ là điểm đối xứng của M qua (P). Tìm tọa độ các điểm H và M’. d Hình ảnh:  M P  H  M – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M vaø vuoâng goùc vôùi (P). – Khi ñoù: H = d  (P) – Xaùc ñònh ñieåm M sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM.  Bài toán đặc trưng 3: Cho trước mặt phẳng (P) và một đường thẳng d. Tìm phương trình đường thẳng d’ là hình chieáu vuông góc cuûa đường thẳng d trên mp(P). Phương pháp giải  Trường hợp 1: d cắt (P) Bước 1: Tìm giao điểm A của d với (P). Bước 2: Chọn trên d một điểm M khác A. 44 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên  và d = IH là khoảng cách từ I đến  + Nếu d < R: Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B và AB  2 R 2  IH 2 + Nếu d = R, đường thẳng  và mặt cầu (S) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. +) Nếu d > R: đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu. BÀI 6: KHOẢNG CÁCH & GÓC  Khoảng cách giữa hai điểm AB AB  x B 2 2  x A    y B  y A   z B  z A  2  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M  xM ; y M ; z M  và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng d  M ,       là: AxM  ByM  CzM  D A2  B 2  C 2  Khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng d   Caùch 1: Cho ñöôøng thaúng d ñi qua M0 vaø coù VTCP a .   M M , a   0  d (M , d )   a  Caùch 2: – Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa M treân ñöôøng thaúng d. – d(M,d) = MH.  Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2.  d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP a1 , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù 49 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Bài toán số 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU. Cho maët phaúng (): Ax  By  Cz  D  0 vaø maët caàu (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2  () vaø (S) khoâng coù ñieåm chung () tieáp xuùc vôùi (S)  d ( I ,( ))  R  d ( I ,( ))  R () laø tieáp dieän Ñeå tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (). H laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (). () caét (S) theo moät ñöôøng troøn  d ( I ,( ))  R Ñeå xaùc ñònh taâm H vaø baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (). H laø taâm cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa (S) vôùi (). Baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán: r  R 2  IH 2 r I r M d r’ H Bước 3: Tìm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). Bước 4: Khi đó d’ đi qua A và có VTCP là AH . Từ đó tìm d’.  Trường hợp 2: d // (P)  Bước 1: d song song d’ nên VTCP a của d cũng là một VTCP của d’. Bước 2: Chọn trên d một điểm M, tìm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).  Bước 3: Đường thẳng d’ qua H và có một VTCP là a  Bài toán đặc trưng 4: Cho trước mặt phẳng (P) và một đường thẳng d. Tìm phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d trên mp(P). Phương pháp giải  Trường hợp 1: d cắt (P) Bước 1: Tìm giao điểm A của d với (P). Bước 2: Chọn trên d một điểm M khác A. Bước 3: Tìm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). Bước 4: Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (P), Bước 5: Khi đó d’ là đường thẳng đi qua hai điểm A và M’ .  Trường hợp 2: d // (P)  Bước 1: d song song d’ nên VTCP a của d cũng là một VTCP của d’. Bước 2: Chọn trên d một điểm M, tìm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). Bước 3: Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (P),  Bước 4: Đường thẳng d’ qua M’ và có một VTCP là a  Bài toán đặc trưng 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 . Viết phương trình của đường thẳng  là đường vuông góc chung của d1 , d 2 . Phương pháp giải Bước 1: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của  với d1 , d 2 Bài toán số 5: 48 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” 45 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Bước 2: MN là đường vuông góc chung của d1 , d 2 ta phải có:    MN  d   MN .ad  0 1    1 (*)  MN  d 2  MN .ad 2  0 Bước 3: Giải hệ (*) ta tìm được M,N. Viết đường vuông góc chung  đi qua hai điểm M,N. BÀI 5: CÁC LOẠI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Bài toán số 1: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng Cho hai ñöôøng thaúng d, d coù phöông trình tham soá laàn löôït laø:  x  x0  ta1  x  x0  t a1   d :  y  y0  ta2 vaø d  :  y  y0  t a2  z  z  ta  z  z  t a  0 3  0 3  ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP  a  (a1; a2 ; a3 ) :  ñöôøng thaúng d’ ñi qua ñieåm M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) vaø coù VTCP  a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) : Khi đó : d // d    a, a  0       a , M0 M0   0          d  d   a, a    a, M0 M0   0  d, d caét nhau   d, d cheùo nhau  46   a, a  0      a , a .M0 M0  0   a, a .M0 M0  0 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn Thầy Ninh Công Tuấn - ĐT 0983.363.284 Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn  d  d    a  a   a.a  0 Bài toán số 2: Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): A1x  B1y  C1z  D1  0 (): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  (), () caét nhau  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  () // ()  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2    ()  ()  n .n  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0  ()  ()  Bài toán số 3: Vò trí töông ñoái giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng Cho maët phaúng (): có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  vaø ñöôøng thaúng d đđi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương  a   a1 ; a2 ; a3        n.a  0 d song song với ()    M 0      n.a  0 d nằm trong ()    M 0     d cắt ()  n.a  0   d vuông góc với ()  n cùng phương a 47 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” [...]...  x 2  ( Biểu thức f chứa x,  R x, a 2  x 2  1 a  x2 13 2 2 a x )    t   ;   2 2 ĐẶT x = |a| tant và 2 2 a x )  ( Biểu thức f chứa x, f ( x)  2  ( Biểu thức f chứa x, R x, x 2  a 2 CÁCH CHỌN ĐẶT x = |a| sint và x2  a 2 )    t   ;   2 2 |a| ĐẶT x = và cos t  t  0;   \ { } 2 ĐẶT x = |a| tant và    t   ;   2 2 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH **... rồi sẽ thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Thầy Ninh Cơng Tuấn - ĐT 0983.363.284 Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Và khi biến đổi về được các dạng phương trình này, cơng việc còn lại là tùy thuộc vào nơi bạn Nhưng, vấn đề khó khăn lớn nhất ở đây là ở bước 2: “ làm sao để nhận ra các nhóm biểu thức có thể áp dụng được cơng thức và biến đổi ????? CÂU HỎI... với sinx và cosx  Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng mở rộng  Phương trình chứa  sin x  cos x  & sin x cos x     20 Phương trình dạng tích A.B  0 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn 8 Thầy Ninh Cơng Tuấn - ĐT 0983.363.284  Biểu thức chứa mẫu THÌ Quy đồng, cộng trừ phân thức, triệt tiêu mẫu Thấy (a+b)(c-d) THÌ nhân phân phối vào Thấy... P c a (P)  (Q)  Cơng thức 1: (P) (Q)  d a  (Q) a  (P),a  d  P P a Q d (P)  (Q)  a  (P)  (R)  a  (R) Cơng thức 2:  (Q)  (R)  P Q a R GĨC Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng    Nếu d    thì góc giữa d và   bằng 900  Nếu d khơng vng góc với   thì góc giữa d và   là góc giữa d và hình chiếu d’ của d lên    Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn... H Góc giữa hai mặt phẳng  Phương pháp 1: Tìm hai đường a và b sao cho a    và b     Khi đó, góc giữa   ,    là góc giữa a và b  Phương pháp 2:  Bước 1: Tìm giao tuyến c         Bước 2: Tìm 2 đường thẳng a    và b     sao cho a  c, b  c b a I Khi đó, góc giữa   và    là góc giữa 2 đường thẳng a và  b Lưu ý: ta nên chọn a, b sao cho a, b, c đồng quy Trường... điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnhAB, BC và CA B  CHÚ Ý QUAN TRỌNG :  Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vng là trung điểm của cạnh huyền và bán kính là một nửa cạnh huyền 25 C O A “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” C Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn CHỦ ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG d d  (P)  d /... 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI 17 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn cos2x – sin2 x = cos 2x 1 1  sin2x = 2.sinx.cosx; sinx cosx  sin 2x , sin2x cos2 x  sin2 2x 2 4 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC: 1  cos2 x  cos2x =  sin2x = 2 1  cos2 x 2 2 NGƯỢC LẠI TA CĨ: 1  cos 2x  2 sin x;1  cos 2x  2 cos2 x 4.CƠNG THỨC NHÂN BA  sin3x = 3sinx – 4sin3x  cos3x = 4cos3x – 3cosx 5.CƠNG THỨC... thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn  Nếu d khơng vng góc với   và d cắt d thì ta xác định góc giữa d và Giả sử hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C1 ) và hàm số y  g ( x ) có đồ A   theo các bước: d' O  Bước 1: Xác định giao điểm O  d     Bước 2: Chọn điểm A tùy ý trên d khác với điểm O Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên    Bước 3: Góc giữa d và   là ... điều kiện ngay: Đối với mẫu số là biểu thức f  x  thì đặt f  x   0  Khi gặp tan x thì đặt cos x  0 Khi gặp cot x thì đặt sin x  0 Nếu có nhiều điều kiện đồng thời thì dùng dấu ngoặc nhọn “{“ để biểu diễn điều kiện  Bước 2: Xét xem trong phương trình có những nhóm biểu thức quen thuộc nào có thể áp dụng được cơng thức Ta dùng phép biến đổi và các cơng thức để chuyển phương trình ban đầu về... phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2) Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0) y y0 x0 O 65 x “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn AB.BC AC thức diện tích: S  4R  Đề bài cho bán kính đường tròn nội tiếp là r, nghĩ tới cơng thức diện tích: S  p.r với p  AB  BC  AC 2 LƯU ... x k   Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác khơng) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: +... Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn AB.BC AC thức diện tích: S  4R  Đề cho bán kính đường tròn nội tiếp r, nghĩ tới cơng thức. .. Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn Thầy Ninh Cơng Tuấn - ĐT 0983.363.284 Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT