TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THIÉT MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C h u y ên n gàn h : H ìn h h ọc N gư òi hưótầg dẫn khoa học ThS. ĐINH THỊ KIM THUÝ HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Khi thực hiện đề tài này em chỉ mong góp thêm một tiếng nói, một sự khơi gợi rất khiêm tốn để học sinh thêm hứng thú khi học toán nói chung và giải các bài toán tìm tập hợp điểm nói riêng. Trước sự bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến cô giáo Đinh Thị Kim Thúy đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em có cơ hội đế tập dượt với việc nghiên cứu. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thiết LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan rằng khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khóa luận là trung thực. Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thiết MỤC LỤC MỞ Đ Ầ U .................................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................... 1 3. Đối tượng, phạm vi nghiên c ứ u ......................................................................... 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứ u ......................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................... 2 6. Cấu trúc khoá lu ậ n ..............................................................................................2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC LIÊN QUAN........................................................ 3 1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp đ iế m ..................................3 1.1.1. Định nghĩa tập hợp điếm ..............................................................................3 1.1.2. Các yếu tố đặc trưng của bài toán tìm tập họp điểm................................ 3 1.2. Một số phương pháp tìm tập hợp điểm ....................................................... 3 1.2.1. Phương pháp vectơ....................................................................................... 3 1.2.2. Phương pháp toạ độ...................................................................................... 5 1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ b ản .................................................................... 7 1.3.1. Tập hợp điểm là đường thẳng.....................................................................7 1.3.2. Tập họp điểm là đường tròn........................................................................ 7 1.3.3. Tập hợp điểm là E lip.................................................................................... 7 1.3.4. Tập họp điểm là Hypebol.............................................................................8 1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol..............................................................................8 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẨNG..........................................................................................................9 2.1. Một số bài toán tìm tập họp điểm bằng phương pháp v e ctơ ..................... 9 2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điếm M thoả mãn một đắng thức vectơ....... 9 2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng ................................................................................................................................... 14 2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài...........19 2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ đ ộ .................... 25 2.2.1. Phương pháp chung...................................................................................... 25 2.2.2. Các dạng tập hợp điếm cơ bản giải được bằng phương pháp toạ độ.... 26 2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đường th ẳn g ............................................................ 26 2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đường tròn............................................................... 30 2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng E lip........................................................................... 34 2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol....................................................................38 2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol.....................................................................43 2.2.2.6. Bài tập đề n g h ị.......................................................................................... 46 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỌP ĐIẺM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG G IA N .............................................................................. 47 3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp v e ctơ ...... 47 3.2. Một số bài toán tìm tập họp điểm bằng phương pháp toạ đ ộ .....50 3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp khác........ 54 KẾT L U Ậ N .............................................................................................................58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................... 48 MỞ ĐÀU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán “Tìm tập họp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyến sinh vào các trường chuyên, Đại học, Cao đẳng... một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho người học yêu thích môn hình học hơn. Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán tìm tập họp điểm trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy trong giải bài tập. Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán tìm tập họp điểm trong đó phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ là một phương pháp hiệu quả. Nó cho ta lời giải một cách chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán tìm tập họp điểm. Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Đinh Thị Kim Thúy em chọn đề tài: “Một số bài toán tìm tập họp điểm” 2. Mục đích nghiên cún • Hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập họp điểm. • Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thiết thực của lí thuyết phương pháp vectơ, toạ độ đối với các dạng bài toán tìm tập hợp điểm. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cún • Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán sử dụng phương pháp vectơ, toạ độ để giải bài toán tìm tập hợp điểm. 1 • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán tìm tập hợp điếm. 4. Nhiệm yụ nghiên cún Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp vectơ, toạ độ đế rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán tìm tập hợp điểm. 5. Phương pháp nghiên cún Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình tài liệu liên quan đến các bài toán tìm tập họp điếm giải bằng phương pháp vectơ, toạ độ. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ kinh nghiệm bản thân tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khoá luận. 6. Cấu trúc khoá ỉuận Khoá luận gồm 2 phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Kiến thức liên quan. Chương 2: Một số bài toán tìm tập họp điểm trong hình học phang. Chương 3: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học không gian. 2 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập họp điểm 1.1.1. Định nghĩa tập họp điểm • Một tập hợp khác rỗng gồm những điểm gọi là tập hợp điểm hay hình. • Định nghĩa quỹ tích: Quỹ tích là tập họp những điểm, đường thẳng, mặt phang thoả mãn điều kiện nhất định nào đó. 1.1.2. Các yếu tố đặc trưng của bài toán tìm tập họp điểm Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: • Loại yếu tố cố định: thường là các điểm. • Loại yếu tố không đối: như độ dài đoạn thắng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v... Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”. • Loại yếu tố thay đối: thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đối thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v... 1.2. Một số phương pháp tìm tập họp điễm 1.2.1. Phương pháp vectơ 1.2.1.1. Khái niệm Vectơ là một đoạn thắng có: • Một đầu được xác định là gốc còn đầu kia là ngọn. • Hướng từ gốc đến ngọn là hướng của vectơ. • Độ dài của đoạn thẳng là độ dài của vectơ. Kí hiệu: AB : Gốc là A và ngọn là B. Hướng từ A và B. Độ dài của vectơ AB kí hiệu 3 chính là AB. 1.2.1.2. Phép cộng vectơ Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điêm в và С sao cho AB = a,BC = b . Khi đó vectơ AC được gọi là tông của hai vectơ a và b . Kí hiệu: A C = a + b. Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. 1.2.1.3. Hiệu hai vectơ Hiệu của hai vectơ a và Ế», ký hiệu a —b, là tông của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , tức là: a - b = a + ( - Ỉ ) Phép lấy hiệu cuả 2 vectơ gọi là phép trừ vectơ. Qui tắc ba điểm: Neu M N là một vectơ đã cho thì với mỗi điểm о bất kì, ta luôn có: Ш = Ш - О М . 1.2.1.4. Tích của một vectơ với một số Tích của vectơ a với sô thực к là một vectơ, kí hiệu là k a , được xác định như sau: • Nêu к > 0 thì vectơ к a cùng hướng vói vectơ a. •N êu к < 0 thì vectơ к a ngược hướng với vectơ a. • Độ dài vectơ ka băng \k\. а . Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số. 1.2.1.5. Tích vô hướng của hai vectơ Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một sô, kí hiệu là a b , được xác định bởi: a b = a .ĩ? cos^a,/?j. 4 1.2.1.6. Giải bài toán bằng phương pháp vectơ Giải bài toán bằng phương pháp vectơ là ta sẽ phiên dịch bài toán ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ. Sau khi giải xong ta lại phiên dịch ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học để phù hợp với yêu cầu của bài toán. 1.2.2. Phương pháp toạ độ 1.2.2.1. Định nghĩa hệ toạ độ Trong không gian ơclit n chiều En gọi e = ịe19e2,...,enJ là một cơ sở trực chuẩn của E" tức là er ej = ệị. , trong đó ệị. = 1 khi i = j, ệ.. = 0 khi i Ф) thì tập hợp {0,e} hay ị o , e r e2,...,e Ị gọi là hệ toạ độ trực chuẩn hay là hệ toạ độ Đêcac vuông góc. 1.2.2.2. Toạ độ của điểm Trong không gian ơclit n chiều En cho toạ độ trực chuấn { 0 , e } . Với mỗi điêm M 6 E" ta có OM e E n và do đó có duy nhât n phần tử x ĩ, x 2,...,xn e R sao cho O M = x.e. 11 + x~e~ 2 2 + . . . + Xnen . Bộ n phần tử (х,,л:2,...,х я) được gọi là toạ độ của điểm M đối với các hệ toạ độ đã cho. 1.2.2.3. Toạ độ của vectơ Trong không gian ơclit n chiều En. Neu Y = — X = ( x r x 2,...,xn^ €: E " , thì XỶ = OỶ - ОХ = (>’, - X, )e\ +(y 2- x 2)e 2+... + (>’„ - xn) e H '. Khi đó X Y c ó to ạ đ ộ ( y x —x {, ỵ 2 —x 2, . . . , y n—л;и). 1.2.2.4. Một vài tính chất trong E2 và E3 +) Trong E 2 Trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxy cho и (x,, у ị ) ; V(x2, 5 ) ; k G R. . u + v = ( x , + x 1, y , + y 2) • ũ - v = (x, - x ^ y . - y ^ • k.u = ( kx i,kyi) • u7v = xlx 2 + yìy 2 .ỉ/ 2_ 2 . 2 , ~ I 2! 2 = Xj + ^ do đỏ u =yỊx] + yỊ • « _L V M.v = 0 JtjJt2 + 3^2 = 0. +) Trong E 3 Trong hệ toạ độ Oxyz cho u (xị,yxZị,);v(x2, y 2, z 2);k e/?. . u + v = { x í + x 1, y l + y ỉ , z í + z ỉ ) . ũ - v = (xl - x 2, y l - y 2, zl - z 2) • k.u = ( k x ],k ỵ ị,k z]) • u.v = x ]x 2 + y ]y 2 + z]z2 9 9 9 9 • u 2 = x f + y ỉ + zĩ do đó _ / 2 . 2~ 2~ = + >71 + Z1 • li -L V II.V = 0 XịX, + y, J 2 + Zị = 0. 1.2.2.5. Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ Các bước giải bằng phương pháp toạ độ: Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bước 3: Giải các bài toán bang kiến thức toạ độ Bước 4: Phiên dịch các kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình hoc. 6 1.3. Các dạng tập họp điểm cơ bản 1.3.1. Tập họp điểm là đường thẳng • Tập hợp những điếm cách đều hai đầu của một đoạn thắng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. • Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó. • Tập họp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước. • Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho. 1.3.2. Tập hợp điểm là đường tròn • Tập hợp những điếm cách đều một điếm cố định cho trước một khoảng cho trước là đường tròn tâm o bán kính R. • Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. 1.3.3. Tập họp điểm là Elip • Cho hai điểm cố định Fi, F2. Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F 1 và F2 là một số không đổi 2a. (E): MFi + M F2 = 2a và F i F2 = 2C, (a > c). Hai điểm Fi, F2 gọi là hai tiêu điếm của elip. Khoảng cách F!F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. • X 2 y 2 Phương trình chính tăc của Elip: — + — = l , ( a > b > 0 ) . a b 1 1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol • Cho hai điểm cố định Fi, F2 có khoảng cách F!F2 =2c (c > 0). Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập họp các điểm M sao cho IMFX- M F 21= 2ứ, trong đó a là số dương cho trước nhở hon c. Hai điếm Fi và F2 gọi là cắc tiêu điếm của hypebol. Khoảng cách F]F 2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol. 2 • 2 Phương trình chính tắc của Hypebol: —— — = 1 với a > 0, b > 0. a b 1.3.5. Tập họp điểm là Parabol • Cho một điểm F cố định và một đường thắng (À) cố định không đi qua F. Đường Parabol là tập hợp những điểm M cách đều F và (A). Điểm F gọi là tiêu điếm của parabol. Đường thắng À được gọi là đường chuấn của parabol. Khoảng cách từ F đến A được gọi là tham số tiêu của parabol. • Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, 8 p > 0. CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ 2.1.1. Lóp bài toán tìm tập họp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ 2.1.1.1. Phương pháp chung Đe tìm tập họp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập họp điểm cơ bản: Một số tập hợp điểm cơ bản: +) Nếu MA = MB với A, B cho trước thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB. +) Nếu MC = k AB với A, B, đường tròn tâm c bán kính cho trước thì tập họp điểm M là \k . AB (k Ỷ 0). +) Nếu MA = k B C với A, B, • c c cho trước k > 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC cùng hướng với BC. • k < 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC ngược hướng với BC. • k bất kì thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC. 2.1.1.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho ÀABC. Tìm tập họp những điểm M thoả mãn: a. MẢ + kM B = kM C (1) b. ( \ - k ) M Ả + ~ M B - k M C = 0 (2) 9 Lời giải: a. Ta có (1) o MÀ + kM B - k M C = Õ tồn tại duy nhất điểm J. Ta được: AMA + MB + MC 6MJ (*) Mặt khác: 2MA - MB - MC = MA - MB + MA - MC = BA + CA = -2AI (**) Từ (*) và (**) suy ra (2) 6M J = 2ỈA MJ =--IA= const. 3 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R = - IA. Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho AM CN AB CA Dựng hình bình hành MNCP. Tìm tập hợp những điểm p. Lời giải: 11 Đặt A M = к A B , к > о => N C = к AC. Gọi D là đỉnh của hình bình hành ABCD. Khi đó ta có: ÃD = J b +ÃC (1) АР = Ш + М Р = ~ÃM + N C (do MNCP là hình bình hành) = к A B + к AC = ị Ã B + ~Ãc) (2) Từ (1) và (2) => A P = k A D , к > о => р thuộc tia AD. Ngược lại, với mọi p0 thuộc tia AD ta có: ÃP0 = /c0Ã D , ко > 0 =>CP0- C Ẵ = k0ịÃỖ + Ã c ) =>CPa = k 0Ä B + ( \ - k „ ) Ä C (3) Trên tia AB, AC lấy điểm Mo, No sao cho A M = k 0A B , N 0C = k 0A C . Ta có N 0M 0 = A M 0 —A N 0 — —k {)^)AC (4) Từ (3) và (4) => N 0M 0 = CP0 tứ giác M()NoC()Po là hình bình hành. Vậy tập họp điểm p chính là tia AD. Ví dụ 4 Trên hai tia Ox, Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN. Lời giải: Lấy 2 điểm Mo, No thuộc Ox, Oy sao cho OM„ = ONo = 12 X Giả sử O M = k = > O N = a —k , với 0 < k < a . 2(a —k ) 2k Khi đó OM = ——O M ữ, ON = 0Nn ứ a Vì I là trung điểm của MN ta được: 0 1 = - ị o M + o n )= 2* õ F , + 2 (“ _ * )ỡ w ứ ứ ỠM0 + M ữĩ = —O M 0 + a í\ a- - l ì) 0 M ữ + a ON a-k a a M J = { a - k ) [ O N B- O M ^ >MJ = a-k a M „N 0 • » / e M 0N0. Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M0N0 trong đó M„, N „ là 2 điểm thoả mãn OM„ = O N „ = f . 2.1.1.3. Bài tập đề nghị 13 Bài tập 1: Cho AABC. Tìm tập họp những điểm M thoả mãn: a. ĂỈÃ + ( \ - k ) M B - k Ă í C = Õ , k s R b. V = MA + MB + 2M C cùng phương với BC. Bài tập 2: Cho AABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a. 2MẢ + ÍM B = 3MB + 2MC b. 3M A -2M Ỗ + MC M B -M A Bài tập 3: Cho AABC, các điểm M, N, p di động trên các cạnh BC, CA, AB MB PA NC sao cho—— = —— = —— . Dựng hình bình hành MNPỌ. Tìm tập hợp những MC PB NA điểm Q. 2.1.2. Lóp bài toán tìm tập họp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hưóng 2.1.2.1. Phương pháp chung Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau: • M A 2 = k > 0 thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R = \[k. • MAMB = k với A, B cố định và k không đối. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta được: k = ~MẢMỖ = {M Ì + m ) ( m 7 +7Ỗ ) = ị W i - ĩ b \( m ĩ + Ĩ B \ = MI2- I B 2 Afí2 = k + IB2 = k + — . AB2 Đăt m = k-\--------. Khi đó: +) Nếu m < 0 thì tập hợp M là tập rỗng. 14 +) Neu m = 0 thì tập hợp M chỉ gồm một điếm I. +) Nếu m > 0 thì tập hợp M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R = л/m . Đặc biệt nếu к = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB. • M A . B C = к với А, В, С cố định. Khi đó: Gọi H, К lần lượt là hình chiếu vuông góc của А, M lên BC. Áp dụng định lí hình chiếu ta có ------------- ----- »---- * ----- - MA.BC = K H .ВС = к K H = = = (giá trị không đổi). BC Mà H cố định nên К cố định. Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại K. Đặc biệt khi к = 0 thì M thuộc đường thắng qua A và vuông góc với BC. 2.1.2.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho 3 điểm А, В, С không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho М А М В - Ш М С = M C 2 - M B 2 + В С 2. ( 1) Lời giải: А Gọi G là trọng tâm của AABC. Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ ta có: M A + M B + M C = 3M G . Ta biến đổi ( 1) về dạng: M A . M B —M A . M C + M B 2 —M C 2 = В С 2 ш . ( м в - л / с ) + ( м в +Ш ) ( м в - лТс) = в с 2 15 ^ Ш в -м с )(Ш +мв+мс) = в с 2 o C B M G = B C 2. Gọi G ’, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của G, M lên BC. Ta được: 30 Н Ж = B C 2 Do G ’ cố định, ìV Ẽ = — . 3 không đồi nên H cố định. Vậy tập hợp điểm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại H. Ví dụ 2 Cho AABC đều cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho Ш Ш + Ш м с+ м сШ = — . (1) 2 Lời giải: Gọi G là trọng tâm của AABC, với mỗi điểm M bất kì ta có: Ш + ж + м с = з М } (' Ш + Ш + M C )2 = 9 M G 2 MA2+ MB2+ M ơ + 2( Ш Ш + Ш м с + М С Ш ) = 9MG2 (2) Lại có M A2+ M B 2+ M ơ = M Ã2+ M B 1+ l ữ ỡ = { m g + G 4)2 + ( m g + Õ ẽỴ + ( m g + G c J = 3 MG'- +GA2+GB2+ GC2 + 2MÕÍGĂ + GB + GC ) = Ĩ M G 2 + GA2 + G B 2 + G C 2 = 3 M G 2 + a 2. 16 => MA2 + M B 2+ M C 2 = 3 M G 2 + a 2. Thay (3) vào (2) ta được: 2{m Ả M Ễ + M B M C + M C M Ả \ = 9 M G Ì - 3 M G 2- a 2 • » M Ẫ M B + ~MBMC + M C M Ả = 3 M ơ 1 - 2 Vậy ( 1 ) 0 3MG1- — = - - MG2 = 3a2 MG = (1^3. 2 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R = «V 3 . Ví dụ 3 Cho AABC. Tìm tập hợp những điếm thoả mãn: a) A M A B = A C .A B (1) b) 2M B 2 + M B . M C = a \ a = B C (2) Lời giải: a) ( l ) < » ( Ã M - Ã c ) .Ã £ = 0 M thuộc đường thẳng qua c vuông góc AB. Vậy tập họp điểm M là đường thẳng qua c và vuông góc với AB. b) (2) o a 2 =2MB2 + M BM C {m I + ỉk \ { m I + I B \ = ?>(m I - m \ [m i + IB) a2 = 3ÍÃĨĨ2- Ĩ B 2] oM Ĩ a 3 Tù 2 K B + K C = ữ ^ > K B = - nên (3) » M / 2 = — 3 36 Vậy tập họp điểm M là đường tròn tâm o, bán kính 6 í2'\/v3 R =— — . 6 Ví dụ 4 Cho n điểm Ai, A2, A3,..., An và n số ki, k2,..., kn với k!+ k2+ ...+ kn = k (k ^ 0). Tìm tập họp những điểm M sao cho: kxMÁf + k2MÁị +... + knMAi2t = m , với m là một số không đổi. Lời giải: Với mọi điểm M, ta có k.1MA 1 + k2 A//4“ +... + k nMẢ u « —Ĩ71 k, (Ỡ Ậ - G M )2 + k2( g ạ , - G M )2 + ... + k n( g ã - G M )2 = m « • kf}£ị + k f i / ị +... ■+kfiA] + kGM2- 2GM ịklGẤl +k1GÃỉ +...+k„GÃ\ = m. Đặt kịGAf + k 2GÁị + ... + k nGÁ^ = s thì đẳng thức trên tương đương với s + k G M 2 = m hay GM2 = —— Ấ: Từ đó suy ra: 18 m —5 , • Neu — — > 0 thì tập hợp các điêm M là đường tròn tâm G, bán kính •N ếu m —s = 0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G. , m -s • Nêu —-— < 0 thì tập hợp các điêm M là tập rông. /c 2.1.2.3. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho AABC. Tìm tập họp những điểm M thoả mãn: a. Ш а -М В \(2М В -~М С \ = 0 b. 2M A 2 + М А М В = М А .М С Bài tập 2: Tìm tập họp những điểm M thoả mãn: MA2 + MB2 + MC2 +MD2 =k , к > 0 với А, В, С, D là bốn điểm cố định cho trước. Bài tập 3: Cho ДАВС, biện luận theo tập họp những điểm M thoả mãn: MAMB + Ш М А +M C M A =k. 2.1.3. Lóp bài toán tìm tập hợp điếm M thoả mãn đắng thức về độ dài 2.1.3.1. Phương pháp chung Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a 2 = a 'a = 2.1.3.2. Yí dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho AABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điếm M di động trong góc ВАС sao cho A B .A K + A C . A H = A I 2 trong đó К, H là hình chiếu của M lên AB và AC. Lời giải: 19 Từ giả thiết ta có A B .A M = A B A M .cosị^AB,AM^I = A B . A M . c o s Z B A M AB.AK = AB A K . c os (Ã ẽ , Ã K ] = A B .A K . c os0° AB.AM = AB.AK = AB.AK. Tương tự ta có: A C . A M = A C . A H = A C . A H . Kết hợp với giả thiết ta có: A I 2 = A B . A M + A C . A M = ~ÃM ịÃB + Ã c ) = 2ÃM ÃỈ. Gọi M() là hình chiếu vuông góc của M lên AI thì tương tự như trên ta có: A M .AI = A M 0.AI = A M ữ.AI. AI Khi đó ta có: AI - 2 AI .AM 0 A M 0 - —ị M() là trung điểm của AI. Vậy tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong z B AC. Ví dụ 2 Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập họp những điểm M thoả mãn a M A 2 + /3MB2 = k (1) (k là số không đổi cho trước) trong 2 trường hợp: a. a + p = 0 b. a + 0 Lời giải: 20 A I Mq в Gọi I là trung điểm của AB ta bien đổi (1 ) về dạng: к = a M A 2 + ß M B 2 = а ( м А 2 - M B 2) =а[Ш + Ш }(м А -М В } —2 a . B A . M I (vì Ci + ß = о ) oB Ả M Ì=— . 2а к Đặt т ~ 2 ’ Gọi М() là hình chiếu vuông góc của M trên AB ta có: m = MI.BA = M qĨ.BA о M 0ĩ = m BA Ta thấy vế phải là một số không đổi, I cố định nên M() xác định duy nhất. Vậy tập hợp điếm M là đường thắng vuông góc với AB tại M(). b. Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức: a I A + ß l B = 0 a(/B + Ä 4 )+ 7 ß = 0 О ( a + ß ) J B + ÖBÄ = 0 21 /5 = a a +ß .AB. Khi đó ta luôn tìm được điểm I và nó tồn tại duy nhất. Từ (1) ta có k = a M A 2 + ß M B 2 = а . ш +1Ả)2 + ß ü ü i + Ĩ B Ỹ = ( a + ß ) M I 2 + a l A 2 + ß l B 2 + 2MI [alA + ß w \ = (cc + ß ) M I 2+ a l A 2 + ß l B 2 О М /2= a +ß Đăt m k - { a ỉ A 2 + ß l B 2) “ к - í a I A 1 + ß I B 2\ ta có kết luân sau: a +ß L v /J • Neu m < 0thì tập hợp điểm M là tập rỗng. • Neu m = 0thì tập họp điếm M là 1 điếm chính là điểm I. • Nếu m > 0thì tập họp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = \fm . Ví dụ 4 Cho AABC. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a M A 2 + ß M B 2 + / M C 2 = k (1) (k là số không đổi cho trước) trong hai trường hợp sau : a. a + ß + y = 0 b. a + ß + ỵ Ф 0 Lời giải: a.Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC ta có: MA2 = MA2 =( M Õ + Õ Ă Ỹ = M O 2 + OA2 + Í M Õ Õ Ả MB1 = MB1 = {m õ + Õ B Ỹ = MO2 + OB2 + 2MÖÖ B MC2 = MC2 = { m õ + õ c ) 2 = MO2+ ОС 2+ 2MÕ.ÕC 22 Thay vào (1) ta có: k = ( a + p + ỵ ).M O 2 + a.OA2 + p .OB1 + ỵ .o c 2 + Ĩ M Õ ị a Õ Ả + f ĩ Õ B + ỵ . õ c ì = ( a + /? + ỵ ) . R 2+2ĨữÕịa.ÕÃ + /ỉ.ịÕÃ + ÃBj + ỵ.ịÕÃ + Ãc'j'j = 2 M Õ Í Õ Ã ( a + j0 + ỵ)+ /3.Ã B + ỵ . Ã c ) = 2MÔipÃB + ỵÃ cỴ Dựng vectơ V = /3AB + / A C . Gọi M(), Oo lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, o lên đường thẳng chứa vectơ V ta được: k = 2MỠ.V = 2 M nO0.v c* M 0O0 = — . 2v A Do A, B, c cố định nên vế phải có giá trị không đổi, 0() cố định nên M 0 cố định. Vậy M thuộc đường thắng qua Mo vuông góc với V. b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức: a ỉ A + Ị31B + ỴỈC = 0 a l Ẵ + p ị ĨẢ + Ă s U ỵ ị ĨẢ + Ă c ) = õ 23 {a + p + ỵ ) . I A = ß.BA + ỵ.CA ^ Т л - ß J Ü + rC Ä О IА ——— — -----. a +ß +Y Do А, В, С cố định và CL,ß,y là các số cho trước nên ta luôn tìm được I và nó là duy nhất. Ta biến đổi (1) về dạng: к = CC.MA2 + ß.M B2 + ỵ.MC2 = а . ( ш + ĨĂ)2 + ß.Crn + Ĩb Ỵ + ỵ . Ị M + ĩ c Ỵ = (a + ß + y ) M I 2+ a.IA2 + ß.IB2 + ỵ.rc2 + 2 M ịa lẴ + ßJB + ỵ l c ) = ( a + ß + r ) M I 2 + a . ỈA2 + ß . I B 2 + Ỵ.1C o M /2= Đặt m = 1 a +ß +Y I____ a +ß +y k - ị a . IA2+ ß . l B 1 + ỵ.IC2) k - ( a . \ A 2+ ß.IB2 + Ỵ.IC1) • Neu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng. • Neu m = 0 thì tập họp điếm M chính là điếm I. • Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = Ví dụ 4 Cho ЛАВС đều có cạnh là 2a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2+ M B 2+ M C 2 =%a. Lời giải: Gọi G là trọng tâm của AABC. Khi đó ta có MA2+ MB2+ M C2 = 8 a2 24  MA2 + M B 2 + M C 2 = 8a 2 ( m G + GĂ)2 + ( m Õ + G b )2 + ( m G + GC)2 = 8 a3MG2 + I M G ( g a + GB + G c ) + GA2 + GB2 + G C 2 = 8a' « •3 M C 2 + 3 . z /7!,2 = 8íí2 9 ° M G 2 = - ữ 2 3 2 MG —ị= a. ■Jĩ Ta thấy vế phải là số dương không đối nên M thuộc đường tròn tâm G bán 2 kính R = —ĩ=a. s n 2 Vậy tập hợp điêm M là đường tròn tâm G bán kính R = ~ ^ a' 2.I.3.3. Bài tập đề nghị Bài tậ p l: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2 + MB2 + MC2 = AB2 + BC2. Bài tập 2: Cho ÀABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập họp những điểm M di động trong góc BAC sao cho AB.AH + AC.AK = A I 2 trong đó H, K là hình chiếu của M lên AB và AC. Bài tập 3: Cho AABC, BC = a, CA = b, AB = c. Tim tập hợp điểm M thoả mãn 2MA2 + 2MB2 - M C 2 = /. 2.2. Một số bài toán tìm tập họp điểm bằng phương pháp toạ độ 2.2.1. Phương pháp chung Trong mỗi bài toán tìm tập hợp có 2 yếu tố: yếu tố cố định và yếu tố chuyến động, bằng phương pháp toạ độ ta tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố 25 đó. Dựa vào đó ta có thể kết luận tập hợp của điểm cần tìm. Ta thường thực hiện theo các bước sau: Thiết lập hệ trục toạ độ thích họp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm tập hợp điếm. Từ đó suy ra tập hợp của nó. Với dạng toán này cần lun ý các tập hợp điếm cơ bản sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập họp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập họp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm dạng Parabol. 2.2.2. Các dạng tập họp điếm cơ bản giải được bằng phương pháp toạ độ 2.2.2.1. Tập họp điểm dạng đường thẳng Ví dụ 1 Cho hai điểm А, в cố định và một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB nhưng không đi qua A và B. Một điểm M chạy trên d. Tìm tập họp các giao điếm N của các đường thắng vuông góc với MA, MB tại А, B. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho о = d n A B , tia Ox 26 Si AB và tia Oy = d. Ta có toạ độ các điểm A(a; 0), B(b; 0), M(0; m).Gọi N(x; y) Khi đó MA = (a ; - m), MB = (b ; -m) N A = (a - X ; -y), NB = (b- X ; -y) Theo giả thiết ta có: MA.NA = 0 Ị a(a - x) + my = 0 MB.NB = 0 ị b ( b - x ) + my = 0 . . b (x -b ) ( a - x ) n — —-—.y = 0 X = a + b. _ b (x -b ) m= Do m là giá trị luôn thay đổi ta khử m từ phương trình trên thay vào phương trình dưới suy ra phương trình đường thắng cần tìm là X = a + b. Vậy tập họp các điểm N là đường vuông góc chung với Ox tại H có hoành độ ÕH = a + b. Ví dụ 2 Cho A(a, 0); B(0, b); M(m, 0); N(0, n) với a, b không đổi; m, n thay đổi sao cho 2 Ì Ĩ + 2 Ỉ Ỉ = 2. Tìm tập hợp giao điểm của AN và BM. OA OB Lời giải: Phương trình đường thẳng AN có dạng: - 1 nx + ay - na. Phương trình đường thẳng BM có dạng: ■“ H— - 1 bx + my = mb. Toạ độ giao điểm của AN và BM là nghiệm của hệ sau: m na - m ba X = nx + ay = na bx + m y = mb Do OA + OB y __ X m n b -m b a ^ y= a b 2 m n - ( m b + na) mn - a b mn - a b = 2 nên— f —- 2 mb + na - 2ab thế vào (1) ta được: a b 27 (1) X y 2mn - 2ab => — + — = -------------- a b mn - ab Vậy tập hợp giao điểm của AN và BM chính là đường thẳng có phương trình x a y b ^ - +- = 2 Ví dụ 3 » ’ ^ X Đường thắng (d) có phương không đối và cắt (H): - y a y -7 7 b = l,(0 b. Khi đó F!(-c, 0), F2(c, 0). 36 Lấy điểm T(x0, y0) e (E), ta có a b = 1. Phương trình tiếp tuyến tại T có dạng: xx0 ỵyQ a b —ệ- + 2 2 _ 2í 2 ^ = 1 b~xx0 + a~yyQ-a~b~ = 0. Toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình sau: x = —a b x0x + a ỵ0y - a b =0 b2(a + x0) ỵ = --------------L x = —a ay0 í M = -a, b2 (a + x0) ayữ và AịM = \yMI= b2(a + x„) Toạ độ của N là nghiệm của phương trình sau: x —a x =a b2(ữ —x0) b2x0x + a2ỵ0ỵ - a 2b2 = 0 í y = 7-2 N = a,V ay0 b2(a - x 0) ay0 ayữ a) Ta có: A,M ■A2N = \yM•yN\ Z?2(ứ + Jt0) /72(ứ - x 0) ay0 ay0 b\ Vậy tích A]M.A 2N không phụ thuộc vào T. b) Phương trình đường thắng AiN có dạng: ~r~~ = .2 / T ^ b 2( a - x 0)(x + a) = 2a2y0y. 2a b ( a - x 0) ay0 Phương trình đường thẳng A2M có dạng: x-a y -2a b (a + x0) 12/ \/ \ ^2 (a + x0) ( x - a ) = -2a yQy. aỵ0 37 Toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình sau: b2 (a - x0) (x + a) = 2a2y0y Xl = XQ b2 (ứ + Jt0) ( ; c - ứ ) = - 2 a 2ỵ0ỵ yi = 2 yo 2 Vì T(x0, yo) e (E) nên ta có: ~ ị + ~ ỳ = 1 a b (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được: 2 + ^0 _ = 1. fb Ỵ Ie(E): 4 + T ẳ r = ' 1^1 2 Vậy tập họp giao điểm I chính là elip có phương trình dạng: X 2 +■ f b_ v2 2.2.2.4. Tập họp điểm dạng Hypebol Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điếm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC. Lời giải: 38 Chọn hệ trục toạ độ Oxy với o là trung điểm của BC, Ox trùng với đoạn thẳng BC. Đặt BC = 2a > 0. Khi đó tọa độ B (-a , 0); C (a, 0). Giả sử A(x0, y0), y0 ^ 0. Khi đó trọng tâm G Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: X = X(). Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh c xuống cạnh AB là: (x + a ) ( a - x 0) - y 0y = 0. Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau: X= xn X = X, (x + a ) ( a - x 0) - y 0y = 0 Trung điểm K y- a 2 í 2 2 's a -X o H = x0’------— 2 -X n V y0 y0 2x0.3a -3 x ;+ y ; V3 6y Điểm K thuộc đường thẳng BC: y = 0 khi và chỉ khi: 3a2- 3 x ỉ + y ữ 2 2 2 2 xị —0 o 3 a 3x0 + —0 o 2 oỵ0 a Vây tâp hop A là hypebol X a 2 2 ỵ 2 yl 0 2— 3a (yo '~f~0). ■> “ 3a "=1 bỏ đi hai điêm B, c. 2 Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB cố định. M là điểm di động (M khác A và B). H là hình chiếu của M trên AB. Tìm tập hợp điểm M biết = = k , k > 0. HAHB Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho tia Ox qua A và B, Oy là đường trung trực của đoạn AB. 39 Giả sử AB = 2a (a > 0). Khi đó A(-a, 0), B(a, 0). Gọi М(хм, У м ) => H(xM, 0). Ta có : M H 2 = ị^Ị(x M - X M) + =yị HA = Ặ x ~ ¥ a f HB = Ặ x ~ ã f Theo giả thiết ta có HAHB = £ 7-------Ặ~7-------"Т = [xM+a){xM- a ) o k x ị - k a 2= y ị a x„-a b 2 X =к = у 2 Vậy tập hợp điêm M là hypebol có phương trình dạng: T - ~TT ũ. Kữ (k > Ví dụ 3 Cho (Н): Jt2 a 2 “ y2 b 2 , , 9 Г = 1(0< a< b). Đường thăn (d) đi qua điêm M cô đinh không thuộc hai đường tiệm cận của (H) và cắt (H) tại л , B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB chạy trên một hypebol cố định. 40 Lời giải: , Giả sử M(xM, Ỵm ) và I(x0, y0). Khi đó: x = x0+(xJÍ- x 0)í < y^o+UV -yo)' ,t e R X = X0 + ( XM - * o ) t y = y0 + { y M - y 0)t Xét sự tương giao giữa (d) và (H) là: b 2X 2 - a 2 y 2 = a„ 2 b7 .2 => ~(*M-* o)2/?2-(>'a/ ->'o)2fl2^ 2+2~(*A/ -* o)V>2-(>’m-J(,)2>o«2^ +^ 2->’Ổ«2-« 2^ =0 (1) Vì (d) n (H) = {A, B} nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn: -2 {XM - x ữ)xữb2- ( y M- y ữf yữalA + t B - (*w -Xo f b 2- ( y M - y „ ) a ’ x0 ~ y 0. a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho OM2 = MA.MB. b. Tìm tập hợp điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN co tích hệ số góc bằng k2. Bài tập 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm (0, 1). Tìm tập hợp tâm đường tròn đó. Bài tập 4: Cho đường d trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương a, b sao cho a > b. Xét tất cả các điểm p, Q sao cho AP = a, AQ = b và đường thẳng d là phân giác của ZPAQ. ứ n g với mỗi cặp điểm p, Q xét điểm sao cho AM = AP + AQ. Tìm tập hợp điểm M. 46 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ 3.1.1. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho đường tròn (O; R) và AAiA2A3,với mỗi điếm M thuộc đường tròn dựng điểm N sao cho M N = + M \ + M A ^ . Tìm tập hợp điểm N. Lời giải: Gọi G là trọng tâm của AAị A2A3 nên CÓ3O G = 0 \ + OẠ, + OAy Theo giả thiết ta có: M N = M \ + MẠ, + M A Ì o M N = M O + OAl + M O + OA2 + M O + OA3 ^ > M N = 3 M O + OAi + OA2 + OA3 M O + O N = 3 M O + 3 Ơ G ( 1) Đặt O K = 3O G nên K cố định. < y)o2M O = O N -O K o KN KN = 2M O = 2 M O = 2R mà K cố định. Suy ra tập hợp nhũng điểm N là đường tròn (K, 2R), K cố định xác định bởi OK = 3 0 G . 47 Ví dụ 2 Trong không gian cho hai thẳng (a), (b) chéo nhau. M, N là hai điểm lần lượt di động trên (a) và (b). Tìm tập hợp các điểm I sao cho IM = к ĨN với к là к là hằng số và к ф о, к ф 1. Lời giải: (а) Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi а ( а ф о ) là vectơ chỉ phương của (a). В là một điểm bất kì trên (b) và gọi b ( b Ф 0 ) là vectơ chỉ phương của (b). Gọi I0 là điểm chia đoạn AB theo tỉ số к hay / 0A = k I 0B . Vì M G (a), N G (b) nên có hai số thực m, n để: AM = ma,BN = n b . Với mọi I trong không gian ta có, IM —IIữ + I 0A + A M = —I qI + ỉcỉqB + ỈTICI ĨN =1TÜ+ J ß + Ш = - Ĩ J + J ß + nb Ta có ĨM = k Ĩ N —I J + k ĩ 0B + ma = —k l j + k ĩ 0B + knb (l —& )/0/ = ma —knb 48 —r m -* //.. = + G0B0 + G0C0') + ị ị ( a + c m ) p + (b + cn)q~ GẨj —- ( a + c m ) p + (í> + c n ) ặ l G0G e ( /? ) với (/?) là mặt phẳng qua Go và nhận p , q làm cặp vectơ chỉ phương hay ((2 ), (/?) cùng phương. Suy ra tập hợp điểm G là mặt phang qua Go cùng phương với ( M(x, y, 0). Ta có MA = (x, y ,-ứ ) MB = ( x - c , ỵ , - b ) Từ giả thiết MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P) ta được: ịaị \b\ yjx2 + y 2 + a 2 ^ ( x - c ) 2+ ỵ 2+ b2 (я2 —b2^x2 + ( a 2 - b 2^ y 2 - 2 ca x + a c 1 = 0 52 (1) Trường hợp 1: Neu a = b thì (1) có dạng: 2x c - c 2= 0 < ^ > 2 x - c = 0. Suy ra tập họp những điểm M thuộc đường thẳng (d) có dạng 2x - c = 0 trong (xOy). Trường họp 1: Neu a Ỷ b thì (1) có dạng: 2ca2x 2 2 X +ỵ a 2 —b1 2 a 2c2 _ a 2 —b7 2 Suy ra tập họp những điểm M thuộc đường tròn tâm I 4 R= a c 2 2 a c ( V - b 2) ' 4 2 —b h 2' 0 J Ka 7 ’ bán kính 2 trong (xOy). a -b : Ví dụ 3 Cho hai đường thẳng (di), (d2) cố định chéo nhau và vuông góc với nhau. Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi với 2 đầu mút nằm trên hai đường thẳng (di), (d2). Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Lời giải: Giả sử d((di), (d2)) = a và MN = d (d > a). x =u Ta có (di): y =0 ,u e R z= 0 X= 0 (d 2): y =t ,t GR z =a Do M G (di), N e (d2) nên M(u, 0, 0) và N(0, t, a) => MN = ( - u , t , a ) - >d2 = M N 2 = u + t 2+a (1) Vì I là trung điểm của MN nên toạ độ của I là: 53 u x =— 2 u=2x t y - _ i t = 2y 2 a a z =— z =— 2 2 (2) Thay (2) vào (1) ta được: a z =— 2 d 2- a : ( a\ \ld2- a Suy ra tập hợp điêm I thuộc đường tròn tâm E 0,0,— bán kính R = ---------\ 2) 2 trong (P): z = a 3.2.2. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tứ diện OABC vuông ở điểm A, B, o có OA = a, OB = b, o c = c. Ba c di động sao cho a +b +c = 31 (1 là hằng số). Tìm tập hợp tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài tập 2: Cho ba điểm cố định A, B, c. Tìm tập hợp những điểm M sao cho a. A M 2+b.B M 2 + c.CM 2 = d với a, b, c cho trước thoả mãn: a + b +c = 0. 3.3. Một số bài toán tìm tập họp điếm sử dụng phương pháp khác. 3.3.1. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phang (ABC) tại A ( M Ỷ A). Tìm tập hợp trọng tâm G và trực tâm H của AMBC. Lời giải: 54 M Gọi E là trung điểm của BC. Trên ME lấy G sao cho MG = 2GE. Khi đó G là trọng tâm của AMBC. Trong ÀAME kẻ GD II MA (D nằm trên AE) thì D là trọng tâm của ÀABC (bởi vậy D cố định) và DG II MA. => G nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trọng tâm D của tam giác này (không kể điểm D). Quỹ tích trực tâm H của ÀMBC. M Do AB = AC nên MB = MC. Từ đó ME _L BC. Bởi vậy H nằm trên ME. 55 Gọi О là trực tâm của AABC thì о Ta có ВС 1 (MAE) => ВС 1 о н nằm trên AE. (1) Mặt khác: c o _L AB => c o _L MB Lại có: CH 1 MB nên MB 1 (СОН) => MB _L о н (2) Từ (1 ) và (2) => OH _L (MBC) => OH _L HE. => H nằm trên đường tròn đường kính OE (không kế о, E) trong mặt phang trung trực của BC. Ngược lại, từ он _L HE => H là trực tâm của ДМВС. Vậy tập hợp trực tâm H là đường tròn đường kính OE (không kể о, E) trong mặt phẳng trung trực của BC. Ví dụ 2 Ba tia Ox, Oy, Oz từng đôi một tạo thành góc 60°. Trên ba tia đó lấy lần lượt các điểm А, В, С sao cho OA = OB không đổi và с di động trên Oz. Tìm tập họp chân H của đường vuông góc hạ từ о xuống (ABC). Lời giải: О Giả sử OA = OB = а. Gọi M là trung điểm của AB thì ЛВ _L (OMz). Do M là điếm cố định nên (OMz) cố định. 56 Kẻ о н 1 (ABC) thì OH e (OMz) và Z O H M = 90°. => H thuộc đường tròn đường kính OM trong (OMz). Do С thay đổi trên tia Oz nên H chỉ thuộc cung OMN (không kể cácđiểm o, N) của đường tròn trên, ở đó N là giao điểm thứ hai của đường thẳng M Ì với đường tròn đó. Đảo lại, trên cung tròn nói trên lấy một điểm H tuỳ ý. Nối MH cắt Oz tại c . Do AB 1 (MOz) nên AB _L он. Lại có: MH _L о н => о н _L (ABC). Vậy tập hợp những điếm H là cung tròn OMN nói trên. 3.3.2. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho AABC và hình bình hành BCDE nằm trong hai mặt phang khác nhau. Trên cạnh BC ta lấy điểm M. Mặt phang (P) đi qua M và giao tuyến hai mặt phẳng (ACD), (ABE) cắt DE tại N. Tìm tập hợp trọng tâm AAMN. Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB AM AN và AC sao cho ~Ãr' phăng (P) thay đôi luôn luôn đi qua MN, nD /\ L cắt CD và BD lần lượt tại E và F. a. Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF. b. Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE. Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các IA JB cạnh AD, BC sao cho luôn có: — = a. Chứng minh rang: IJ luôn song song với một mặt phang cố định. b. Tìm tập họp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số к cho trước. 57 KÉT LUẬN Khoá luận đã hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập họp điểm thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh hoạ của từng dạng toán nhằm bước đầu giúp học sinh biết đưa ra cách giải phù hợp cho các bài toán tìm tập hợp điểm. Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy cô tận tình chỉ dạy, các bạn sinh viên góp ý để khoá luận ngày càng hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! 58