TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN CAO THỊ THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN CAO THỊ THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Cao Thị Thoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ dị” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và sự nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Cao Thị Thoa Mục lục 1 2 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . 5 1.4 Chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Phương pháp nhiễu kì dị 22 2.1 Sự xấp xỉ không đều của các hàm số trên một đoạn . . . . . 22 2.2 Nhiễu tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Phương pháp Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình autonom 36 2.5 Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút . . 47 2.6 Kết hợp các xấp xỉ trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7 Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân . . 67 2 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa MỞ ĐẦU Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi phân tuyến tính có thể thực hiện được nhưng đối với phương trình vi phân phi tuyến, không có công thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng. Thay vào đó, họ thường nghiên cứu các xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ở các bài toán có điều kiện ban đầu. Do vậy chúng ta phải có một hướng mới để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, đó là nghiên cứu nghiệm của nó bằng phương pháp nhiễu kỳ dị. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân phi tuyến hay cụ thể hơn là phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến, em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ dị”. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai và một số khái niệm liên quan đến phương trình autonom trong mặt phẳng pha, chu trình giới hạn của phương trình vi phân. Chương 2: Trình bày về sự xấp xỉ không đều của hàm số trên một đoạn, các phương pháp nhiễu kỳ dị: phương pháp nhiễu tọa độ, phương pháp Lighthill, 1 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa phương pháp sử dụng thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình autonom, phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút, phương pháp kết hợp xấp xỉ trên một đoạn và kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x, y, y, ˙ y) ¨ = 0, (1.1) ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y(x), ˙ y(x) ¨ là các đạo hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y, ¨ nó có dạng y¨ = f (x, y, y). ˙ (1.2) Định lý 1.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Cho phương trình (1.2) ∂f ∂f Nếu f (x, y, y), ˙ (x, y, y) ˙ và (x, y, y) ˙ liên tục trong một miền D nào đó ∂y ∂ y˙ trong R3 và nếu (x0 , y0 , y˙0 ) là một điểm liên tục thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương 3 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện y|x=x0 = y0 , y| ˙ x=x0 = y˙0 . (1.3) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2). Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), trong đó C1 ,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 ,C2 , (ii) Với mọi (x0 , y0 , yy˙0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 = C10 , C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn y|x=x0 = y0 , y| ˙ x=x0 = y˙0 . Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) nhận được bằng cách cho C1 ,C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C10 ,C20 . Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. 1.2 Phương trình tuyến tính Đó là phương trình vi phân có dạng y¨ + p(x)y˙ + q(x)y = f (x), 4 (1.4) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục. Phương trình vi phân không tuyến tính thì được gọi là phương trình vi phân phi tuyến. 1.3 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha Ta phân biệt giữa hai loại phương trình vi phân: (1) Loại autonom ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t; (2) Loại không autonom ứng với f phụ thuộc tường minh vào t. Trong chương này, ta sẽ chỉ đề cập tới các hệ autonom, được cho bởi phương trình vi phân x¨ = f (x, x), ˙ (1.5) trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha, ta đặt   x˙ = y (1.6)  y˙ = f (x, y). Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.5). Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm t0 bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này tương ứng với một điểm P nào đó trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi phân cấp một (1.6), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi 5 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa phương trình tham số x = x(t), y = y(t), (1.7) vạch ra một đường cong qua điểm đầu P : (x(t0 ), x(t ˙ 0 )), gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là: dy f (x, y) = . dx y (1.8) Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một điểm cụ thể P : (x, y), tương ứng với trạng thái ban đầu (x0 , y0 ), trong đó y0 = y(x0 ). (1.9) Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng của phương trình (1.5), hoặc của hệ tương đương (1.6). Chúng xảy ra khi đồng thời x, ˙ y˙ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn: y = 0, và f (x, 0) = 0. (1.10) Trong biểu diễn mặt phẳng pha, thời gian t không được chỉ rõ về định lượng nhưng ta có thể đặc trưng bởi các yếu tố sau đây. Hình 1.1(a) cho thấy một cung AB của đường cong pha. Giả sử rằng hệ đang ở trạng thái A tại thời điểm t = tA . Điểm chuyển động P biểu diễn các trạng thái tại các thời điểm t ≥ tA ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng y > 0 ) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB. 6 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 1.1: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha. (b) Một đường cong pha đóng: P đi từ A và trở về A vô hạn lần. Vận tốc của P dọc cung AB được cho dưới dạng từng thành phần (x(t), ˙ y(t)) ˙ = (y, f (x, y)) chỉ phụ thuộc vào vị trí P(x, y), mà không phụ thuộc vào cả t và tA (điều này chỉ đúng đối với các phương trình autonom). Nếu tB là thời điểm P tới B, thì TAB là khoảng thời gian P đi từ A tới B TAB = tB − tA , (1.11) không phụ thuộc vào thời điểm đầu tA . TAB gọi là thời gian chuyển từ A tới B dọc theo đường cong pha. Từ quan sát trên ta thấy, nếu x(t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x), ˙ thì họ nghiệm x(t − t1 ), với t1 là giá trị bất kì, sẽ biểu diễn cùng một đường cong pha và cùng một điểm biểu diễn. Đồ thị của các hàm x(t), x(t − t1 ), và của y(t) = x(t), ˙ y(t − t1 ) sẽ có hình dáng giống nhau, nhưng được dịch theo trục thời gian một khoảng t1 , giống như cùng một hệ nhưng được mở vào hai thời điểm khác nhau trong ngày. 7 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Trường hợp khi một đường cong pha là một đường cong kín, như trong Hình 1.1(b). Một đường cong pha kín biểu diễn một chuyển động tuần hoàn theo thời gian. Ngược lại nói chung là không đúng, 1 đường cong pha không kín cũng có thể biểu diễn một chuyển động tuần hoàn. Thời gian chuyển TAB = tB − tA của điểm biểu diễn P từ trạng thái A tới trạng thái B dọc theo 1 đường cong pha có thể được tính theo nhiều cách: tB tB TAB = ( dt = tA tA dx −1 dx ) dt = dt dt dx = AB x˙ dx . AB y(x) (1.12) Ví dụ 1.1. Các đường cong pha của một hệ được cho bởi họ x + y2 = C, trong đó C là một hằng số tùy ý. Trên đường cong pha ứng với C = 1 điểm biểu diễn √ di chuyển từ A : (0, 1) tới B : (−1, − 2). Tính TAB ? Lời giải Đường cong pha được biểu thị trong Hình 1.2. Nó cắt trục x tại điểm C : (1, 0). Trên cung AC, y = (1 − x)1/2 và trên cung CB, y = −(1 − x)1/2 , có −1 1 dx dx dx dx TAB = + = + = 1/2 ] [−(1 − x) AC y CB y 1 0 (1 − x)1/2 √ [−2(1 − x)1/2 ]01 + [2(1 − x)1/2 ]1−1 = 2 + 2 2. Sau đây chúng ta tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom x¨ = f (x, x), ˙ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình   x˙ = y (1.13)  y˙ = f (x, y). 8 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 1.2: Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển. (i) Phương trình cho các đường cong pha: f (x, y) dy = . dx y (1.14) (ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. (iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với x là nghiệm của phương trình f (x, 0) = 0; đại diện cho các nghiệm hằng. (iv) Giao điểm với trục x: các đường cong pha cắt trục x theo các góc vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)). (v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường TAB = dx . AB y (1.15) (vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần hoàn theo thời gian. 9 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x) ˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn. Ví dụ 1.2. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn giản x¨ + ω 2 x = 0. Lời giải Phương trình này xấp xỉ với phương trình con lắc có biên độ nhỏ. Với phương trình này thì hệ (1.13) trở thành:   x˙ = y (1.16)  y˙ = −ω 2 x, có 1 điểm cân bằng, tại (0, 0). Các đường cong pha là các nghiệm của (1.14): dy x = −ω 2 . dx y Hình 1.3: (a)Tâm dao động điều hòa đơn giản. (b) Nghiệm điển hình. Đây là một phương trình tách biến, và ta dễ dàng có tích phân tổng quát: y2 + ω 2 x2 = C, 10 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó C là tùy ý, điều kiện C ≥ 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 1.3 (a)). Hình 1.3(b) biểu diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường cong pha kín. Ví dụ 1.3. Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong pha của x¨ + sin x = 0. Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban đầu (a) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = x(t ˙ 0 ) = 1; (b) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = 2. Lời giải Hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng pha là:   x˙ = y (1.17)  y˙ = − sin x. Điểm cân bằng nằm trên trục x tại các điểm mà sin x = 0; hay x = nπ (n = 0, ±1, ±2, ...). Khi n chẵn chúng là tâm, khi n là lẻ chúng là điểm yên ngựa. Phương trình vi phân cho các đường cong pha là: dy sin x =− . dx y Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm: √ y = ± 2(cos x +C)1/2 , đó là phương trình của các đường cong pha với C là tham số của các đường cong pha. Do y phải là số thực nên C ≥ −1. Xem Hình 1.5, ở đó phạm vi của C được chia ra như sau: 11 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 1.4: Đường cong pha của x¨ + sin x = 0. Giá trị của C Loại chuyển động C = −1 Các điểm cân bằng tại điểm (nπ, 0) −1 < C < 1 Các đường cong pha kín (chuyển động tuần hoàn) C=1 Các đường cong pha kết nối các điểm cân bằng C>1 Chuyển động quay tít 1 1 (a) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = 1. Từ (i) ta có = 1 + C hay C = − . Các đường 2 2 √ 1 1/2 cong pha tương ứng là y = 2(cos x − ) là đường P1 trong Hình 1.4. Đó 2 là đường cong kín, nên biểu diễn một chuyển động tuần hoàn. (b) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = 2. Từ (i) ta có 2 = 1 +C hay C = 1. Đường cong pha √ 1 tương ứng là y = 2(cos x + )1/2 . Trên đường này y = 0 tại x = ±nπ, do đó, 2 nó kết nối hai điểm cân bằng (lưu ý rằng nó không vượt ra khỏi hai điểm cân bằng đó). Vì t → ∞, đường đó tiến tới điểm (π, 0) và xuất phát từ (−π, 0) tại t = −∞. Đường này được gọi là một đường phân lập, vì nó phân biệt hai chế độ chuyển động, dao động và quay tít. Nó cũng kết nối hai điểm yên ngựa. 1.4 Chu trình giới hạn Xét hệ autonom x¨ = f (x, x), ˙ 12 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng f (x, x) ˙ = −h(x, x) ˙ − g(x), khi đó phương trình vi phân, trở thành x¨ + h(x, x) ˙ + g(x) = 0 (1.18) và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là   x˙ = y (1.19)  y˙ = −h(x, y) − g(x). Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó h(0, 0) + g(0) = 0 và nghiệm duy nhất của h(x, 0) + g(x) = 0 là x = 0. Chúng ta tiếp tục giả định rằng g(0) = 0, (1.20) h(0, 0) = 0. (1.21) khi đó Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (1.18) dưới dạng x¨ + g(x) = −h(x, x), ˙ 13 (1.22) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển động tự do được điều khiển bởi phương trình x¨ + g(x) = 0 (một hệ bảo toàn), nhưng bị tác động bởi một ngoại lực −h(x, x) ˙ đóng vai trò là nguồn cung cấp hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì chúng ta mong đợi một xu hướng dao động điều khiển bởi ngoại lực −h(x, x). ˙ Trong cả hai trường hợp tự do và cưỡng bức, trạng thái cân bằng xảy ra khi x = x˙ = 0. Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi V (x) = g(x)dx, (1.23a) và động năng của hạt bởi 1 T = x˙2 . 2 (1.23b) Năng lượng toàn phần ε cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là: 1 ε = T +V = x˙2 + 2 g(x)dx, (1.24) do đó có quy tắc biến đổi năng lượng dε = x˙x¨ + g(x)x. ˙ dt Khi đó, từ (1.18) ta có dε = x(−g(x) ˙ − h(x, x) ˙ + g(x)) = −xh(x, ˙ x) ˙ = −yh(x, y) dt (1.25) trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn cung cấp năng lượng sinh bởi −h(x, x) ˙ hay đại diện cho ngoại lực. Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm cân bằng (0, 0), 14 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa dε/dt là âm: dε = −yh(x, y) < 0 dt (1.26) (ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Nếu dε = −yh(x, y) > 0 dt (1.27) trong R (với y = 0 ) thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy, biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn trong miền R. Ở đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trong R. Ví dụ 1.4. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bổ sung và giảm tốc qua phương trình x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0. Lời giải Đặt x˙ = y, khi đó h(x, y) = (x2 + x˙2 − 1)x, ˙ dε = −yh(x, y) = −(x2 + y2 − 1)y2 . dt Do đó năng lượng trong hệ hạt - lò xo có tính chất: và từ (1.25), có dε >0 dt dε 1. Các miền có liên quan được biểu thị trong Hình 1.5. Ta có thể kiểm tra rằng x = cost thỏa mãn phương trình vi phân đã nêu ở trên. Vì vậy x˙ = y = − sint 15 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa và do đó ranh giới giữa hai miền là đường tròn x2 + y2 = 1, nó là một đường cong pha. Dọc theo nó 1 1 1 1 T +V = x˙2 + x2 = (x2 + y2 ) = 2 2 2 2 không đổi nên nó là một đường cong với năng lượng ε không đổi, được gọi là một mức năng lượng . Đường tròn trong Hình 1.5 là một đường cong cô lập kín: "cô lập" được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Hình 1.5: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y2 = 1 sinh bởi hệ x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn. Phương trình có dạng x¨ = f (x), 16 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa không thể dẫn tới một chu trình giới hạn. Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp cận đối với phương trình có dạng: x¨ + h(x, x) ˙ + g(x) = 0, (1.28) mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào: (i) Tọa độ cực Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 1.4 bằng cách sử dụng tọa độ cực. Khi đó, lược đồ pha được thể hiện rõ ràng hơn cùng với các phương trình liên quan. Gọi r, θ là tọa độ cực, trong đó x = r cos θ , y = r sin θ , ta có: y tan θ = . x r2 = x2 + y2 , Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t, 2rr˙ = 2xx˙ + 2yy, ˙ xy˙ − xy ˙ . θ˙ secθ 2 = 2 x Từ đó, ta có r˙ = xy˙ − xy ˙ θ˙ = . r2 xx˙ + yy˙ , r (1.29) Tiếp theo, chúng ta sẽ thay x = r cos θ , x˙ = y = r sin θ và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực. Ví dụ 1.5. Biểu diễn phương trình (xem Ví dụ 1.4) x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0 17 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trên mặt phẳng pha, trong tọa độ cực r, θ . Lời giải Chúng ta có x = r cos θ và x˙ = y = r sin θ , và y˙ = −(x2 + x˙2 − 1)x˙ − x = −(r2 − 1)r sin θ − r cos θ . Bằng cách thay các hàm này vào (1.29) chúng ta có được r˙ = −r(r2 − 1)sin θ 2 , θ˙ = −1 − (r2 − 1) sin θ cos θ . Một nghiệm riêng là θ = −t r = 1, tương ứng với chu trình giới hạn, x = cost, y = − sint đã quan sát thấy trong Ví dụ 1.4. Ngoài ra (trừ khi sin θ = 0, có nghĩa là, ngoại trừ trên trục x) r˙ > 0 r˙ < 0 khi khi 0 < r < 1, r > 1, nên các đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn r = 1 từ cả hai phía. Phương trình xác định θ˙ cũng cho thấy một chuyển động xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ ổn định cho các điểm biểu diễn, xung quanh chu trình giới hạn. (ii) Đường cong trắc địa Ví dụ 1.6. Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối với phương trình vi phân x¨ + |x| ˙ x˙ + x3 = 0. 18 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Lời giải Hệ này chỉ có một điểm cân bằng tại (0, 0). Viết phương trình dưới dạng x¨ + x3 = − |x| ˙ x˙ , và nhân hai vế với x: ˙ x˙x¨ + x3 x˙ = − |x| ˙ x˙2 . Theo các biến mặt phẳng pha x, y phương trình này trở thành y dx dy + x3 = − |y| y2 . dt dt Xét một đường cong pha đi qua một điểm tùy ý A vào thời điểm tA , và đến một điểm B tại thời điểm tB > tA . Bằng cách tích phân phương trình trên từ tA tới tB chúng ta có được 1 B 1 [ y2 + x4 ]tt=t =− A 2 4 tB |y| y2 dt. tA Do vế bên phải là âm khắp mọi nơi nên 1 1 1 1 ( y2 + x4 )t=tB > ( y2 + x4 )t=tA 2 4 2 4 dọc theo đường cong pha. Do đó, các giá trị của biểu thức trong ngoặc vuông, 1 2 1 4 y + x liên tục giảm dần theo đường cong pha. Nhưng họ các đường cong 2 4 pha 1 2 1 4 y + x = hằng số 2 4 là một họ hình bầu dục quanh gốc khi hàm số giảm. Họ các đường cong kín đó, có thể được sử dụng để vạch các đường cong pha đến một phạm vi nhất định, được gọi là đường cong trắc địa. Các đường năng lượng không đổi, hoặc các đường mức năng lượng, là một trường hợp 19 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 1.6: Lược đồ pha cho x˙ = y, y˙ = − |y| y − x3 : các đường nét đứt là các đường mức. đặc biệt của đường cong trắc địa. (iii) Phương trình chuyển động trong hệ tọa độ tổng quát Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều, và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn được xác định bởi giá trị của một biến x. Biến không nhất thiết là độ dịch chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát. Nói chung, động năng và thế năng T và V sẽ có dạng: T = p(x)x˙2 + q(x), V = V (x), ở đó p(x) > 0. Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử dụng phương trình Lagrange. d ∂T ∂T ∂V ( )− =− . dt ∂ x˙ ∂x ∂x Thế T và V ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theo x: 2p(x)x¨ + p (x)x˙2 + (V . (x) − q (x)) = 0. 20 (1.30) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Phương trình này không có dạng x¨ = f (x). Để rút gọn phương trình này ta xét u= p1/2 (x)dx. 1 ¨ Khi đó u˙ = p1/2 (x)x˙ và u¨ = p−1/2 (x)p (x)x˙2 + p1/2 (x)x. 2 Sau khi có được x˙ và x¨ từ các phương trình và thế vào (1.30) ta có: u¨ + g(u) = 0, 1 ở đó g(u) = p−1/2 (x)(V (x) − q (x)). 2 21 (1.31) Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ 2.1 Sự xấp xỉ không đều của các hàm số trên một đoạn Các nghiệm của phương trình vi phân: x¨ = f (x, x,t, ˙ ε) là các hàm số của t và ε. Một vài vấn đề nó có thể này sinh trong khi xấp xỉ, các nghiệm có thể được minh họa bằng cách xét các hàm đơn giản, thậm chí nó không nhất thiết phải liên quan tới các phương trình vi phân. Chẳng hạn: Xét hàm số: x(ε,t) = e−εt , (2.1) với t ≥ 0, ở đây ε nằm trong lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của khai triển Taylor theo lũy thừa của ε là: 1 1 − εt + ε 2t 2 2 22 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa với sai số là O(ε 3 ). (2.3) Hình 2.1: Sự so sánh hàm số e−εt và ba số hạng trong chuỗi Taylor của nó với ε = 0, 05 và ε = 0, 01 Ước lượng sai số (2.3) suy ra rằng với t cố định bất kỳ, tuy nhiên lớn thì ta có thể chọn ε đủ nhỏ để sai số nhỏ tới mức cần thiết, thực tế, sai số nhỏ hơn 1 số hạng nhỏ nhất trong xấp xỉ là: ε 2t 2 . Bây giờ, xét hàm đã xuất hiện trong 2 Mục 2.4 như là một phần nghiệm của một phương trình vi phân: x(ε,t) = cos (1 − ε)1/2t, 0 ≤ t < ∞, (2.4) ở đó ε nằm trong một lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của chuỗi Taylor với ε nhỏ, cho là: 1 1 cost + εt sint + ε 2 (t sint − t 2 sint), 2 8 (2.5) với sai số O(ε 3 ). Một lần nữa, khi t đủ lớn thì sự xấp xỉ này không tốt. Ta có thể thấy rằng nó không tốt khi t rất lớn để εt không nhỏ. Do đó (2.5) chỉ là một xấp xỉ với ε cố định khi : t ε −1 . 23 (2.6) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Kết luận đó vẫn đúng bất kể ta lấy bao nhiêu số hạng trong chuối Taylor. Chú ý rằng các chuỗi chỉ tiệm cận chứ không hội tụ. Khi đó, ta nói rằng (2.5) không cung cấp một xấp xỉ tốt đều trên khoảng t ≥ 0. Phương pháp nhiễu thông thường không cho ta một xấp xỉ đều của nghiệm của một phương trình vi phân. Khi đó, bài toán đó được gọi là bài toán nhiễu kỳ dị. Về mặt hình thức, chúng ta cần tìm một xấp xỉ x∗ (ε,t) của hàm x(ε,t), thường là trên một khoảng vô tận của t: x(ε,t) = x∗ (ε,t) + E(ε,t), t0 ≤ t < ∞, với sai số E(ε,t), trong đó limε→0 E(ε,t) = 0 đều trên t0 ≤ t < ∞. Tức là với bất kỳ δ > 0, tồn tại η > 0 không phụ thuộc t sao cho: ε < η ⇒ E(ε,t) < δ . 2.2 Nhiễu tọa độ Xét họ phương trình Duffing với tham số ε: x¨ + x = εx3 . Khai triển x(ε,t) = x0 (t) + εx1 (t) + ... dẫn đến x¨0 + x0 = 0, x¨1 + x1 = x0 3 . 24 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Nghiệm tổng quát của phương trình đầu có thể được viết: x0 (t) = Acos (t − α) , ở đó A và α là các hằng số bất kỳ. Đối với phương trình thứ hai: 3 1 x¨1 + x1 = x03 = A3 cos (t − α) + A3 cos3 (t − α), 4 4 (2.8) mà các số hạng thế tục (secular) có dạng t cos (t − α) bắt đầu xuất hiện trong nghiệm. Chúng không thể bị triệt tiêu, chỉ khi A = 0 thì chúng mới không tồn tại. Vì thế, một chuỗi giống như dạng (2.5) xuất hiện, và chuỗi đã ngắt không xấp xỉ đều x(ε,t) trên khoảng t ≥ 0. Ở đó khó khăn được khắc phục bằng 2π theo t, ω là ẩn số, ta cách đoán trước một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ ω đặt: ω = 1 + εω1 + ε 2 ω2 + ..., ở đó ω1 , ω2 ,. . . là những hằng số chưa biết, sau đó đổi biến số từ t thành τ: τ = ωt (2.9) để phương trình theo τ đã biết là có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2π (phương pháp Lindstedt). Phương trình (2.9) đưa vào đủ các hằng số tự do ωi để khử các số hạng thế tục. Chúng ta có thể nhìn nhận phương pháp này theo cách khác. Viết (2.9) dưới dạng: t= τ τ = = τ 1 + ετ1 + ε 2 τ2 + ... , 2 ω 1 + εω1 + ε ω2 + ... 25 (2.10) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ở đó τ1 , τ2 , ... là những hằng số chưa biết. Cũng đặt như phương pháp trước: x (ε,t) = X (ε, τ) = X0 (τ) + εX1 (τ) + ε 2 X2 (τ) + ... (2.11) và thay (2.10) và (2.11) vào (2.7) Ta biết điều này dẫn đến một khai triển đều trên t ≥ 0 vì nó tương đương với phương pháp Lindstedt. Do đó, chúng ta hãy thay các hằng số τ1 , τ2 , ... bởi một tập hàm chưa biết T1 , T2 , ... của τ và quan sát xem điều gì xảy ra. Ta có: x (ε,t) = X (ε, τ) = X0 (τ) + εX1 (τ) + ε 2 X2 (τ) + ... (2.12a) và t = T (ε, τ) = τ + εT1 (τ) + ε 2 T2 (τ) + ... (2.12b) Số hạng đầu tiên trong khai triển của t là τ, và điều đó phù hợp khi ε → 0: τ được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp tọa độ biến dạng của Poincaré. Ta chỉ ra một cách tiếp cận khác: cho một chuỗi dạng: x (ε,t) = x0 (t) + εx1 (t) + ε 2 x2 (t) + ... (2.13) Một số hữu hạn các số hạng của chuỗi này nói chung không cho ta một xấp xỉ đều của x(ε,t) với mọi t, nhưng khi (2.12b) được thế vào (2.13), ta có thể chọn T1 (τ) , T2 (τ) để buộc (2.13) trở thành một xấp xỉ đều. Quá trình này được gọi là nhiễu tọa độ và sẽ được thực hiện trong hai ví dụ sau: 26 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Ví dụ 2.1. Tìm một nghiệm xấp xỉ của họ các phương trình autonom: x¨ + x = εx3 , với x (ε, 0) = 1; x˙ (ε, 0) = 0 và sai số O(ε 3 ) đều trên t ≥ 0 bằng phương pháp nhiễu tọa độ. Lời giải Khai triển (2.13) với điều kiện ban đầu, ta có: x¨0 + x0 = 0, x0 (0) = 1, x˙0 (0) = 0; x¨1 + x1 = x03 , x1 (0) = 0, x˙1 (0) = 0; x¨2 + x2 = 3x02 x1 , x2 (0) = 0, x˙2 (0) = 0. Khi đó: 1 3 1 cost + t sint − cos 3t 32 8 32 3 9 3 23 cost + t sint − t 2 cost − cos 3t +ε 2 ( 1024 32 128 128 9 1 − t sin 3t + cos 5t) + O ε 3 . 256 1024 x (ε,t) = cost + ε (2.14) Khai triển này hiển nhiên là không đều trên t ≥ 0 Bây giờ, đặt: t = τ + εT1 (τ) + ε 2 T2 (τ) + ... 27 (2.15) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa vào (2.14), khai triển các số hạng theo lũy thừa của ε và sắp xếp lại: 1 3 1 cos τ − T1 sin τ + τ sin τ − cos 3τ 32 8 32 1 11 23 cos τ − T1 2 cos τ + T1 sin τ − T2 sin τ +ε 2 ( 1024 2 32 3 3 9 2 3 + τT1 cos τ + τ sin τ − τ cos τ − cos 3τ 8 32 128 128 9 2 3 3 3 τ cos τ − cos 3τ + T1 sin 3τ + T1 sin τ − 32 128 128 32 1 9 3 τ sin 3τ + cos 5τ) + O ε . − 256 1024 X (ε, τ) = cos τ + ε Để loại bỏ thành phần τ sin τ trong hệ số của ε, thành phần gây ra tính không đều, ta xác định T1 bởi: 3 T1 (τ) = τ. 8 (2.16) Khi đó, hệ số của ε 2 trở thành: 23 57 3 1 cos τ − T2 sin τ + τ sin τ − cos 3τ + cos 5τ 1024 256 128 1024 và ta phải có: T2 (τ) = 57 τ 256 (2.17) để khử tác nhân không đều τ sin τ. Giả thiết là theo từng bước của quá trình này ta có thể tiếp tục mãi, ta có: 1 ε (cos τ − cos 3τ) + ε 2 32 23 3 1 cos τ − cos 3τ + cos 5τ + O ε 3 . 1024 128 1024 x = X (ε, τ) = cos τ + (2.18a) 28 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 2.2: Sự so sánh giữa nghiệm số của x¨ + x = 14 x3 (ε = 1 trong (2.7)) và nhiễu tọa độ cho bởi (2.8): một sự sai lệch nhỏ giữa các chu kỳ bắt đầu xuất hiện từ khoảng t ≈ 50 Ở đó: 3 57 2 t = τ 1+ ε + ε + O ε3 . 8 256 (2.18b) Trong hình 2.2 số của phương trình vi phân khi ε = 1 với 0 ≤ t ≤ 50 được chỉ ra. Trong khoảng này thì sai số của xấp xỉ (2.18a) gần như không thấy được. Ví dụ 2.2. (Phương trình Lighthill): Tìm một xấp xỉ đều trong đoạn 0 ≤ t ≤ 1 của nghiệm x(ε,t) của phương trình: (εx + t) x˙ + (2 + t) x = 0, ε ≥ 0, (2.19) thỏa mãn x (ε, 1) = ε −1 . Lời giải Bắt đầu bằng việc chú ý những đặc điểm nổi bật của đường cong nghiệm trên (2 + t) x dx =− và x (ε, 1) = ε −1 nên ta đoạn 0 ≤ t ≤ 1 (xem Hình 2.3). Do dt εx + t có: x > 0 và x˙ < 0 tại t = 1. Chúng ta chứng tỏ rằng x bị chặn trên đoạn [0, 1] bằng cách chứng minh dx rằng là bị chặn trên đoạn [0, 1]. Tính vô hạn có thể chỉ xảy ra khi εx +t = 0 dt hay t = −εx. Di chuyển từ t = 1 về phía trái, giả sử t = t0 là điểm đầu tiên mà tại đó đường cong nghiệm đi qua trục t và chuyển thành số âm. Ở bên phải 29 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 2.3: Nghiệm số của phương trình trong Ví dụ 2.1 và nghiệm xấp xỉ với ε = 0.15. Chú ý rằng sự mở rộng của nghiệm kết thúc với độ dốc vô hạn tại điểm mà εx + t = 0 điểm này, x khả vi liên tục. Tuy nhiên x không giảm và dương trên t0 ≤ t ≤ 1 (hướng về trái) vì nó tăng và dương tại t = 1, và điểm thay đổi đầu tiên là nơi dx = 0, đó là tại t = −2 nằm ngoài đoạn [0, 1]. Do đó t0 ở ngoài khoảng. Do dt đó x bị chặn trên 0 ≤ t ≤ 1 và không tăng khi ta dịch chuyển từ t = 0 tới t = 1. Tiếp cận trực tiếp, viết: x (ε,t) = x0 (t) + εx1 (t) + ε 2 x2 (t) + ... (2.20) dẫn đến dãy các phương trình tuyến tính: t x˙0 + (2 + t) x0 = 0, x0 (1) = e−1 ; t x˙1 + (2 + t) x1 = −x0 x˙0 , x1 (1) = 0; t x˙2 + (2 + t) x2 = −x˙0 x1 − x0 x˙1 , x2 (1) = 0. (2.21a) (2.21b) (2.21c) Nghiệm của (2.21a) là: x0 (t) = 30 e−t t2 (2.22) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (ta đã dự đoán sai rằng x (0) = ∞). Phương trình (2.21b) trở thành: 2 2 1 + 1 x1 = e−2t 6 + 5 . t t t x˙1 + Do đó, t e−t x1 (t) = 2 t e−u 1 2 + du u4 u3 (2.23) 1 1 tại t = 0, và nó thậm chí còn kỳ dị hơn (2.22). Xử lý tương tự với t5 1 (2.21c) ra bậc kỳ dị O 8 khi t → 0. Sự xấp xỉ (2.20): t có bậc x (ε,t) ≈ x0 (t) + εx1 (t) , với sai số O ε 2 . Với t cố định và rõ ràng là không đều trên 0 < t ≤ 1, bị phá hoàn toàn tại t = 0. Như trong ví dụ cuối, viết phép biến đổi gần đồng nhất: t = T (ε, τ) = τ + εT1 (τ) + ε 2 T2 (τ) + ... (2.24) Khi đó: e−t e−τ = 2 t2 τ 1 − εT1 (τ) 31 2 +1 τ + O ε2 (2.25) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (O ε 2 để chỉ τ cố định, không cố định t) và: t e−u τ 1 2 + du = u4 u3 2 1 + du u4 u3 e−u 1 1 τ+εT1 (τ)+... 2 1 + 3 du 4 u u e−u + (2.26) τ τ 1 2 + du + O (ε) . u4 u3 e−u = 1 Từ (2.22), (2.23), (2.25) và (2.26) ta tìm được với bậc O ε 2 (để chỉ τ cố định)    x = 2 1+ε  τ  τ e−τ e−u   2  + O ε2 . +1 du − T1 (τ)  τ 1 2 + u4 u3 1 (2.27) Điều tốt nhất ta có thể làm là chọn T1 để khử bỏ tính kỳ dị nhất, với τ nhỏ, nảy sinh từ tích phân. Điều này đến từ số hạng: τ 2 1 τ e−u 2 du = − 4 3 u e−u 1 du u3 d du 1 2 e−u =− 3 u3 =− 2e−τ 3τ 3 τ τ 2 + 3 1 +O e−u du u3 1 1 . τ2 Khi τ → 0. Chọn: T1 (τ) = − 1 3τ 2 (2.28) khử tính kỳ dị này (đương nhiên chúng để lại một số hạng bậc τ −2 . Cuối 32 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa cùng, từ (2.27), (2.24) và (2.28): e−τ x= 2 τ (2.29a) cùng với t =τ− ε 3τ 2 (2.29b) cho một xấp xỉ đều với 0 ≤ t ≤ 1 (Hình 2.3). Từ (2.29b), t = 0 tương ứng với ε 1/3 ε −2/3 τ= , và do đó x (0) có giá trị xấp xỉ . Sai số trong (2.29a), 3 3 (2.29b) là O ε 2 với τ cố định, nhưng chỉ với O ε 1/3 thì t cố định. Bài tập 2.1. Tìm một nghiệm xấp xỉ của: x¨ + x = εxx˙2 , x (ε, 0 = 1), x˙ (ε, 0) = 0 với sai số O ε 2 đều trên t ≥ 0 bằng phương pháp nhiễu tọa độ. 2.3 Phương pháp Lighthill Ta lại xét phương trình (xem Ví dụ 2.2): (εx + t) x˙ + (2 + t) x = 0, (2.30a) x (ε, 1) = ε −1 , (2.30b) 33 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trên 0 ≤ t ≤ 1, sử dụng cách tiếp cận trực tiếp đã nêu trong mục trước. Cách làm đó còn được gọi là phương pháp Lighthill. Thay : x = X (ε, τ) = X0 (τ) + εX1 (τ) + ... (2.31a) t = T (ε, τ) = τ + εT1 (τ) + ... (2.31b) vào phương trình vi phân và điều kiện biên. Đầu tiên, chúng ta không hi vọng rằng t = 1 sẽ tương ứng với τ = 1. Giả sử t = 1 tương ứng với τ = τ ∗ (ε). Sau đó, ta phải giải (2.31b) với τ ∗ , đó là: 1 = τ ∗ + εT1 (τ ∗ ) + ... (2.32) Lúc này (2.30b), (2.31a) cho ta một điều kiện biên: e−1 = X0 (τ ∗ ) + εX1 (τ ∗ ) + ... (2.33) Để giải (2.32), giả thiết τ ∗ gần 1 (với ε nhỏ), nó có sự khai triển: τ ∗ = 1 + ετ1 + ..., (2.34) ở đó τ1 ,. . . là các hằng số. Phương trình (2.32) thành: (viết T1 (τ ∗ ) = T1 (1) + ετ1 T1 (1) + ...: 1 = 1 + ε (τ1 + T1 (1)) + ... nên c1 = −T1 (1) và từ (2.34), biên t = 1 tương ứng với τ = τ ∗ , ở đó: τ ∗ = 1 − εT1 (1) + ... 34 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Do đó, từ khai triển X0 (τ ∗ ) và X1 (τ ∗ ) trong (2.33), điều kiện biên (2.33) trở thành: e−1 = X0 (1) + εX1 (1) − X0 (1) T1 (1) + ... (2.35) Tiếp đó, đạo hàm trong (2.30a) được biến đổi bởi: X + εX1 + ... dx dX dT = X0 + ε X1 − X0 T1 + ... = / = 0 dt dτ dτ 1 + εT1 + ... (2.36) Như vậy, phương trình (2.30a) trở thành: (εX0 + τ + εT1 ) X0 + ε X1 − X0 T1 + (2 + τ + εT1 ) (X0 + εX1 ) = 0. (2.37) Phương trình (2.35) và (2.37) đưa ra: τX0 + (2 + τ) X0 = 0, X0 (1) = e−1 ; (2.38a)   τX + (2 + τ) X1 = −T1 X + X0 + τX T − X0 X 1 0 0 1 0 (2.38b)  X (1) = X (1) T (1) . 1 1 0 Từ (2.38a) xấp xỉ bậc 0 là: X0 (τ) = e−τ . τ2 (2.39) Khi đó (2.38b) trở thành: 2e−τ τX1 + (2 + τ) X1 = 3 T1 − e−τ τ 2 1 − T1 + e−2τ 2 τ τ với điều kiện ban đầu: X1 (1) = −3e−1 T1 (1) . 35 2 1 − , (2.40) τ5 τ4 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Bây giờ ta có thể tùy ý chọn T1 (τ): Chẳng hạn ta chọn sao cho vế phải của (2.40) bằng 0, điều này sẽ dẫn đến một nghiệm của (2.40) có dạng (2.39) , nhưng trong trường hợp bất kỳ không thực hiện được. Chúng ta sẽ chọn T1 để 1 triệt tiêu tính kỳ dị cao nhất nhìn thấy ở vế phải của (2.40), có bậc 5 . Chúng τ −τ −2τ ta thử điều này bằng cách viết e , e ≈ 1 với τ nhỏ và giải: 2 2 2 T − T + = 0. 1 1 τ3 τ2 τ5 Nghiệm đơn giản nhất là: T1 (τ) = − 1 3τ 2 (2.41) (so sánh (2.28). Do đó, chúng ta đạt được kết quả tương tự như trong mục trước, mặc dù, trong ví dụ này, phải nỗ lực nhiều hơn đáng kể. Chú ý rằng trong toàn bộ lập luận chúng ta đã xem phương trình như là một thành viên của họ các phương trình với tham số ε. Bài tập 2.2. : Tìm nghiệm tổng quát của: (εx + t) x˙ + (2 + t) x = 0, x (ε, 1) = e−1 khi ε = 0. Nghiệm sẽ như thế nào khi t gần 0? 2.4 Thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình autonom Để minh họa, xét họ các phương trình vi phân tuyến tính với tham số ε: x¨ + εx + x = 0,t ≥ 0, 36 (2.42a) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa và điều kiện ban đầu x (0) = 1, x˙ (0) = 0, ở đó, |ε| (2.42b) 1. Nghiệm đúng là: x (t, ε) = cos(1 + ε)1/2t. (2.43) Phương trình (2.42a) có dạng x¨ + εh (x, x) ˙ + x = 0 (ở đó h (x, x) ˙ = x và sự thảo luận dẫn đến một biểu diễn nghiệm xấp xỉ trên phạm vi rộng của phương trình dạng này. Chúng ta có thể sử dụng quá trình nhiễu với ε nhỏ để thu được nghiệm của (2.43) như một chuỗi lũy thừa của ε bằng cách thế chuỗi: x (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + ... vào phương trình vi phân và điều kiện ban đầu, đồng nhất các hệ số của εn, n = 0, 1, . . . để có một dãy của các phương trình vi phân xác định x0 (t) , x1 (t),. . . Quá trình này cho ta kết quả tương tự như khi ta khai triển nghiệm chính xác (2.43) thành một chuỗi Taylor theo lũy thừa của ε. Lấy đến ε 2 ta có: 1 1 1 x (t, ε) = cos (1 + ε) 2 t ≈ cost − εt sint + ε 2 t sint − t 2 cost . 2 8 (2.44) Độ chính xác của xấp xỉ này phụ thuộc vào sự cân bằng giữa khoảng biến thiên của ε gần 0, và khoảng biến thiên của t, và ta đều muốn các khoảng đó càng lớn càng tốt. Xấp xỉ đó sẽ không tốt đối với giá trị cố định bất kỳ ε khi t đủ lớn sao cho ba số hạng trên ngừng giảm nhanh chóng về độ lớn. Sự tổ hợp của ε và t xuất hiện trong (2.44) là εt,ε 2t và ε 2t 2 . Xấp xỉ không tốt xảy ra khi 37 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa εt không còn nhỏ nên xấp xỉ (2.44) chỉ tốt khi: (2.45) 1. εt Nếu ε giảm thì thời điểm xấp xỉ không tốt sẽ chậm lại, nhưng nói chung sẽ không có một số cố định của các số hạng trong chuỗi và cũng không có giá trị cố định của ε để ta có một xấp xỉ tốt với tất cả t ≥ 0. Tuy nhiên, tồn tại một biểu diễn khác của x (t, ε) dưới dạng chuỗi để có xấp xỉ tốt trên một khoảng lớn hơn nhiều của t. Khai triển Taylor (1 + ε)1/2 : 1 1 1 (1 + ε)1/2 = 1 + ε − ε 2 + ε 3 + O ε 4 . 2 8 16 Sử dụng các số hạng đầu để khai triển x (t, ε) trong một chuỗi Taylor tại điểm 1 + 12 ε t thì: 1 1 1 1 + ε t − ε 2t + ε 3t 2 + O ε 4t 2 8 16 1 1 1 1 = cos 1 + ε + ε 2t sin 1 + ε t − ε 3t sin (1 + εt) 2 8 2 16 1 42 1 − ε t cos 1 + ε t + O ε 4t . 128 2 x (t, ε) = cos (2.46) Với các giá trị đã cho của ε trong khoảng |ε| 1, xét giá trị của nó có thể rất lớn nhưng vẫn bị hạn chế bởi khoảng hữu hạn: k 0≤t ≤ , ε 38 (2.47a) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ở đó k là một hằng số, tức là ta có thể viết: t = O(1/ε), hoặc εt = O (1) khi ε → 0. (2.47b) Bây giờ, ta đưa vào một tham số mới η được gọi là thời gian chậm xác định bởi: η = εt = O (1) . (2.47c) Khi t = O(1/ε), bởi (2.47b). Khi đó, chuỗi (2.46) có thể được viết dưới dạng: 1 1 1 x (t, ε) = cos t + η + εη sin t + η 2 8 2 1 1 1 1 − ε 2 η sin t + η − η 2 cos t + η 6 2 8 2 (2.48) +O ε 3 . Một chuỗi lũy thừa của ε xuất hiện với các hệ số của nó là O (1) khi khoảng biến thiên của t là O ε −1 . Bây giờ, chỉ ra cách nhận được dạng của một nghiệm như vậy bằng cách thực hiện trực tiếp từ một phương trình vi phân mà không dựa vào nghiệm chính xác. Để minh họa ta sẽ vẫn sử dụng phương trình (2.42a) như trước đó. Lại xét bài toán giá trị đầu: x¨ + εx + x = 0; x (0, ε) = 1; x˙ (0, ε) = 0. (2.49) Ở đây, bài toán này được xem như một họ các bài toán với tham số ε, |ε| 1. Như đã thảo luận ở trên ta sẽ tìm xấp xỉ hợp lệ trên một khoảng t cho bởi: t = O ε −1 . 39 (2.50a) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Đưa ra một tham số thời gian chậm η: η = εt = O (1) . (2.50b) Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm dạng: x (t, ε) = X (t, η, ε) = X0 (t, η) + εX1 (t, η) + ε 2 X2 (t, η) + O ε 3 , (2.51a) trong đó, X0 (t, η) , X1 (t, η) , X2 (t, η) , ... = O (1) , (2.51b) miễn là t = O ε −1 khi ε → 0. Vì η = εt nên các biến số η và t không độc lập trong bài toán gốc. Tuy nhiên, X (t, η, ε) thực sự là một nghiệm riêng của một phương trình đạo hàm riêng, trong đó η và t được hình dung như các biến độc lập. Ta thu được phương trình đó theo cách dưới đây. Ta có, với mọi t và ε: x (t, ε) ≡ X (t, εt, ε) (2.52a) khi x (t, ε) là nghiệm cần tìm. Do đó, d ∂X ∂X dx = X (t, εt, ε) = +ε dt dt ∂t ∂η (2.52b) 2 d 2x ∂ 2X ∂ 2X 2∂ X = 2 + 2ε +ε . ∂ η∂t dt 2 ∂t ∂ η2 (2.51c) và Do x (t, ε) thỏa mãn (2.49) nên X (t, η, ε) thỏa mãn: 2 ∂ 2X ∂ 2X 2∂ X + 2ε + ε + (1 + ε) X = 0. ∂t∂ η ∂t 2 ∂ η2 40 (2.53) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Đây là phương trình đạo hàm riêng cần tìm. Sử dụng (2.52a), (2.52b), các điều kiện ban đầu trong (2.49) trở thành: ∂X ∂X (0, 0, ε) + ε (0, 0, ε) = 0. ∂t ∂η X (0, 0, ε) = 1; (2.54) Điều kiện ban đầu (2.54) cùng với các điều kiện (2.51a) và (2.51b) là đủ để xác định nghiệm cần tìm của phương trình đạo hàm riêng (2.53) đối với mọi |ε| 1. Ta sẽ sử dụng một ký hiệu cho các đạo hàm riêng: X (t) ∂ X (t,η) ∂ 2 X (t,t) ∂ 2 X ,X = ,X = 2. = ∂t ∂t∂ x ∂t Thay thế chuỗi (2.51a) vào phương trình vi phân (2.53), điều này phải đúng với mọi ε nên các hệ số của lũy thừa của ε phải bằng 0. Với các hệ số cho đến của ε 2 , ta thu được dãy: (t,t) X0 (t,t) X1 (t,t) X2 + X0 = 0, (t,η) + X1 = −2X0 (t,η) + X2 = −2X1 (2.55a) − X0 , (η,η) − X1 − X0 (2.55b) . (2.55c) Một cách tương tự, từ (2.54) ta có dãy: X0 (0, 0) = 1; (t) X0 (0, 0) = 0; (2.56a) (t) (η) (2.56b) (t) (η) (2.56c) X1 (0, 0) = 0; X1 (0, 0) + X0 (0, 0) = 0; X2 (0, 0) = 0; X2 (0, 0) + X1 (0, 0) = 0. Hơn nữa, chúng ta đòi hỏi theo (2.56b) rằng X0, X1 , X2 sẽ là O (1) khi t = O ε −1 . Điều này sinh ra một điều kiện bổ sung: các hệ số ở vế phải của 41 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (2.55b) và (2.55c) (và trong bất kỳ trong các phương trình tiếp theo) bằng 0. Bắt đầu với (2.55a) nghiệm tổng quát là: X0 (t, η) = a0 (η) cost + b0 (η) sint, (2.57a) ở đó, a0 , b0 là các hàm tùy ý của η. Điều kiện ban đầu (2.56a) được thỏa mãn nếu: a0 (0) = 1, b0 (0) = 1. (2.57b) Thay thế (2.57a) vào vế phải của (2.55b), nó trở thành: (t,t) X1 + X1 = 2a 0 − b0 sint − 2b 0 + a0 cost. Trừ khi, bên phải là 0 với mọi t, nghiệm X1 sẽ chứa các số hạng dạng t sint,t cost là các số hạng không thể là O (1) khi t = O ε −1 . Do đó, 2a 0 − b0 = 0 và 2b 0 + a0 = 0. Nghiệm của các phương trình này với điều kiện ban đầu (2.57b) là: 1 a0 (η) = cos η, 2 1 b0 (η) = − sin η. 2 (2.57c) Cuối cùng, từ (2.57c) và (2.57a), ta thu được: 1 1 1 X0 (t, η) = cos η cost − sin η sint = cos t + η . 2 2 2 Bây giờ, ta có (2.55b) có dạng: (t,t) X1 + X1 = 0. 42 (2.57d) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Nghiệm tổng quát là: X1 = a1 (η) cost + b1 (η) sint. (2.58a) Điều kiện ban đầu (2.56b) dẫn ra: a1 (0) = 0, b1 (0) = 0. (2.58b) Xem xét xa hơn nữa, phương trình (2.55c) xác định X2 chắc chắn không sinh ra số hạng thế tục, nên vế phải phải bằng 0. Bằng cách thay (2.58a) và (2.57a) vào vế phải ta thu được: (t,η) 2X1 (η,η) + X1 − X0 = (−2a 1 + b1 ) sint + (2b 1 + a1 ) cost 1 1 1 1 − cos η cost + sin η sint. 4 2 4 2 Biểu thức này phải bằng 0 với mọi t, nên: 1 1 1 1 −2a 1 + b1 = − sin η, 2b 1 + a1 = cos η. 4 2 4 2 Nghiệm của các phương trình này với điều kiện ban đầu (2.58b) là: 1 1 a1 = η sin η, 8 2 1 1 b1 = η cos η. 8 2 (2.58c) Do đó, từ (2.58a), X1 (t, η) = 1 1 1 1 η sin η cost + η cos η sint 8 2 8 2 1 1 = η sin t + η . 8 2 43 (2.58d) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Từ (2.57d) và (2.58d) chúng ta thu được xấp xỉ: x (t, ε) =X (t, η, ε) ≈ X0 (t, η) + εX1 (t, η) 1 1 = cos t + εt + ε 2t sin (t + εt) . 2 8 (2.59) Điều này phù hợp với hai số hạng đầu của khai triển Taylor của nghiệm chính xác của phương trình (2.46). Hy vọng rằng, không cần phải tính toán, từ các điều kiện về X2 và X3 , ta có thể chỉ ra sai số trong (2.59) là O ε 3 với t = O ε −1 . Trong ví dụ dưới đây, phương trình vi phân là phi tuyến. Một biến thể của phương pháp trước được sử dụng trước hết ta tìm một xấp xỉ nghiệm tổng quát sau đó sử dụng điều kiện ban đầu. Cũng như vậy, bài toán đại số liên quan được đơn giản hóa nhờ biểu diễn nghiệm của (2.55a) dưới dạng: A0 (η) eit + A¯ 0 (η) e−it , với A0 là một hàm số phức. Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Rayleigh: x¨ + ε 1 3 x˙ − x˙ + x = 0, 3 (i) với sai số O (ε) miễn là t = O ε −1 . Từ đó, tìm nghiệm riêng thỏa mãn x (0, ε) = a; x˙ (0, ε) = 0. Tìm xấp xỉ bậc 0 của chu trình giới hạn. Lời giải 44 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Giả sử rằng, x (t, ε) có khai triển dạng: x (t, ε) = X (t, η, ε) = X0 (t, η) + εX1 (t, η) + O ε 2 (ii) khi ε → 0 và t = O ε −1 . Thay (2.52b) và (2.51c) vào phương trình (i), giữ lại các số hạng đến bậc ε sau đó thay vào khai triển (ii) và đồng nhất các hệ số theo lũy thừa của ε ta thu được: ∂ 2 X0 + X0 = 0, ∂t 2 ∂ 2 X1 ∂ X0 1 ∂ X0 + X = − 1 ∂t 3 ∂t ∂t 2 (iii) 3 ∂ 2 X0 −2 . ∂t∂ η (iv) Phương trình (iii) nghiệm tổng quát: X0 (t, η) = A0 (η) eit + A¯ 0 (η) e−it , (v) ở đó, A0 là một hàm phức bất kỳ của η. Phương trình (iv) trở thành: 1 3 3it ∂ 2 X1 it 2¯ + X = ie A − A A − 2A + iA e + liên hợp phức. 1 0 0 0 0 3 0 ∂t 2 (vi) Để tính toán kết quả này, chú ý rằng (z + z¯)3 = (z3 + 3z2 z¯)+ liên hợp phức. Số hạng thế tục chỉ có thể nảy sinh khi các số hạng trong (vi) eit và e−it . Chúng bị khử từ yêu cầu rằng: 1 1 A 0 − A0 + A20 A¯ 0 = 0 2 2 45 (vii) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (phương trình liên hợp khi đó tự động thỏa mãn). Để giải (vii), viết: A0 (η) = ρ (η) eiα(η) , (viii) ở đó, ρ và α là thực. Từ (vii) ta thu được bằng cách cho phần thực và phần ảo bằng 0: dρ 1 1 = ρ − ρ3 dη 2 2 và dα = 0. dη Các nghiệm là: ρ (η) = 1 + a0 e−η − 12 , α (η) = α0 , ở đó, a0 và α0 là các hằng số thực bất kỳ. Phương trình (v) và (vii) cho ta xấp xỉ bậc 0 của X (t, η, ε): thay η bởi εt, ta có: x0 (t, ε) ≡ X0 (t, εt) = 2 1 + a0 e−εt −1/2 cos (t + α0 ) , (ix) ở đó, a0 và α0 là bất kỳ. Đây là xấp xỉ của nghiệm tổng quát thỏa mãn với t = O ε −1 . Từ điều kiện ban đầu x (0, ε) = a; x˙ (0, ε) = 0, ta thu được: 1 a = 2(1 + a0 )− 2 cos α0 ; 0 = −2(1 + a0 )−1/2 sin α0 . Do đó, α0 = 0; a0 = −1 + nên 4 x (t, ε) = 2 1 − 1 − 2 e−εt a 4 , a2 −1/2 cost + O (ε) , khi t = O ε −1 , chu trình giới hạn tương ứng với a = 2 . 46 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Bài tập 2.3. Sử dụng thời gian chậm η = εt, tìm nghiệm tổng quát của: x¨ + ε x2 + x˙2 − 1 x˙ + x = 0 với sai số 0 (ε) miễn là t = O ε −1 . Giả thiết điều kiện ban đầu x (0, ε) = a > 0; x˙ (0, ε) = 0 để tìm xấp xỉ bậc 0 của chu trình giới hạn. 2.5 Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút Như một mẫu cho phương pháp, ta xét phương trình tuyến tính: x¨ + ε x˙ − x = 0, 0≤ε 1. (2.60) Gốc trong mặt phẳng pha với x˙ = y là một điểm yên ngựa. Vấn đề thảo luận là tính xấp xỉ của các nghiệm tương ứng với hai đường phân tách qua gốc. Các đường phân tách đến được cho chính xác bởi: y = mx, (một trong hai bên của gốc), ở đó: 1 m=− ε + 4 + ε2 2 − 21 . (2.61) Hai đường cong pha này tương ứng các họ nghiệm: x (t, ε) = Cemt . 47 (2.62) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ở đó C là một hằng số bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm một xấp xỉ mà nó thỏa mãn khi t ≥ 0 và t = O ε −1 khi t → 0+, (2.63) tức là khi 0 ≤ t ≤ kε −1 với một giá trị hằng của k. Khai triển biểu thức (2.61) xác định m thành chuỗi Talor, ta thu được: 1 1 m = −1 − ε − ε 2 + O ε 4 . 2 8 Nghiệm (2.62) trở thành: 1 1 2 x (t, ε) = Ce−t− 2 εt− 8 ε t + O ε 4t . (2.64) Bây giờ, ta xét hai mức của thời gian chậm xác định bởi: η1 = εt; η2 = ε 2t. (2.65) Khi t = O ε −1 , η1 = O (1) và η2 = O (ε) khi ε → 0 . Nghiệm (2.64) có thể được viết là: 1 1 1 1 x (t, ε) = Ce−t− 2 η1 − 8 η2 + 0 ε 3 η1 = Ce−t− 2 η1 − 8 η2 + O ε 3 , (2.66) đúng với t = O ε −1 . Từ (2.66), ta phải giải (2.60) bằng phương pháp tương tự như trong Mục 1.4, nhưng sử dụng hai mức của thời gian chậm η1 và η2 . Ta tìm các nghiệm có dạng: x (t, ε) = X (t, η1 , η2 , ε) , 48 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ở đó: X (t, η1 , η2 , ε) = X0 (t, η1 , η2 ) + εX1 (t, η1 , η2 ) + ε 2 X2 (t, η1 , η2 ) + ... (2.67a) và X0 , X1 , X2 , ... = O (1) khi t = O ε −1 (2.67b) Hàm X (t, η1 , η2 , ε) trong đó t, η1 , η2 được xử lý như các biến số độc lập thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng xác định như dưới đây. Bằng cách đặt dx (t, ε) = dX t, εt, ε 2t, ε /dt ta thu được toán tử vi phân: dt d x (t, ε) = dt d2 x (t, ε) = dt 2 ∂ ∂ ∂ +ε + ε2 X (t, η1 , η2 , ε) ; ∂t ∂ η1 ∂ η2 ∂ ∂ ∂ +ε + ε2 ∂t ∂ η1 ∂ η2 2 X (t, η1 , η2 , ε) ; ở đó, chỉ số (. . . )2 chỉ phép toán lặp lại: Đặt theo bậc ε 2 , ta thu được: x˙ = X (t) + εX (η1 ) + ε 2 X (η2 ) + O ε 3 , x¨ = X (t,t) + 2εX (t,η1 ) + ε 2 2X (t,η2 ) + X (η1 ,η2 ) + O ε 3 . (2.68a) (2.68b) (Công thức này được sử dụng lặp lại trong mục này và mục tiếp theo). Thế khai triển (2.67a) vào phương trình vi phân ban đầu: x¨ + ε x˙ + x = 0, 49 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa giữ lại các số hạng đến O ε 2 . Do phương trình dẫn ra phải tốt với mọi 0 1, nên các hệ số của ε 0 , ε 1 , ... phải bằng 0. Sau khi rút ta thu được: ε (t,t) X0 (t,t) X1 (t,t) X2 (t) + X1 (2.69a) (t,η1 ) + X0 (t,η2 ) + X0 − X1 = − 2X0 (t,η1 ) − X2 = − 2X1 − X0 = 0, − 2X0 (t) , (η1 ,η1 ) (2.69b) (η1 ) + X0 . (2.69c) Chú ý dạng của phương trình, chẳng hạn dạng của phương trình tiếp theo là: (t,t) X3 (t,η1 ) + X2 − 2X1 (t,η3 ) + 2X0 − X3 = − 2X2 − 2X0 (t,η2 ) (η1 ,η2 ) (η1 ,η1 ) + X1 + X (η1 ) + X0η2 , (t,η3 ) trong đó, η3 = ε 3t. Nếu ta không muốn có η3 thì số hạng X0 không xuất hiện. Nghiệm của (2.69a) thỏa mãn điều kiện bị chặn (2.67b) là: X0 = a0 (η1 , η2 ) e−t , (2.70a) ở đó, hàm bất kỳ a0 (η1 , η2 ) được xác định khi ta khử số hạng thế tục ở vế phải của (2.69b) và (2.69c): (t,η1 ) 2X0 (t) + X0 = 0. Từ (2.70a) ta thu được điều tương đương: (η1 ) 2a0 + a0 = 0, 50 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa nên 1 a0 (η1 , η2 ) = b0 (η2 ) e− 2 η1 . Do đó, 1 X0 = b0 (η2 ) e−t− 2 η1 , (2.70b) ở đó b0 sẽ bị hạn chế bổ sung ở bước tiếp theo. Nghiệm của (2.69b) với 0 ở vế phải, có dạng: X1 = a1 η1, η2 e−t . (2.71) Ta đòi hỏi vế phải của (2.69c) đồng nhất bằng 0. Từ (2.71) và (2.70b) ta thu được: (η1 ) − 2a1 (η2 ) + a1 − 2b0 1 1 + b0 e− 2 η1 = 0. 4 Do a1 = a1 (η1 , η2 ) và b0 = b0 (η2 ) nên các số hạng trong ngoặc đơn phải bằng 0 nếu các số hạng thế tục không xuất hiện. Do đó, (η1 ) 2a1 (η2 ) + a1 = 0, 2b0 + b0 = 0, hay 1 1 a1 = b1 (η2 ) e− 8 η1 , b0 = C0 e− 8 η2 , ở đó, C0 là một hằng số. Từ (2.70b)và (2.71) ta thu được: 1 1 X0 = C0 e−t− 2 η1 − 8 η2 , và vế phải của (2.69c) cần phải bằng 0: (t,η1 ) 2X1 (t) + X1 = 0. 51 (2.72) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Do đó, từ (2.72) (η2 ) 2b1 1 1 − b1 = 0, nên b1 = C1 e− 8 η2 , 4 với C1 là một hằng số. Cuối cùng, ta có được: X (t, η1 , η2 , ε) = X0 (t, η1 , η2 ) + εX1 (t, η1 , η2 ) + O ε 2 −t− 12 η1 − 18 η2 = Ce (2.73) +O ε 2 , với C = C0 + εC1 . Do vế phải của các phương trình từ (2.69a) đến (2.69c) không có hạn chế nào đối với C0 và C1 , nên C là một hằng số bất kỳ. Phương trình (2.73) có thể được viết thành: 1 1 2 x (t, ε) = Ce−t− 2 εt− 8 ε t + O ε 2 , (2.74) t = O ε −1 . (2.75) miễn là Do đó, ta thu lại được biểu thức (2.66) nhận được từ nghiệm chính xác của (2.60). Phương pháp này có thể được mở rộng để nhận thêm các số hạng trong chuỗi (2.67a) đối với X, với t = O ε −1 như trước. Bằng cách đưa ra thêm các mức của thời gian chậm, η3 = ε 3t, v..v.., khoảng biến thiên của t có thể được mở rộng tới O ε −2 ,v..v. . . Ta chọn tùy ý giá trị của x (0, ε), nhưng cũng cần tìm giá trị của x˙ (0, ε) đối với đường cong đặc biệt này. Ví dụ 2.4. Phương trình: x¨ + ε 1 − x2 x˙ − x = 0, 52 (2i) Khóa luận tốt nghiệp với 0 ≤ ε Cao Thị Thoa 1, có một điểm yên ngựa tại gốc. a) Tìm nghiệm theo thời gian tổng quát của hai đường cong pha tiến về gốc, với sai số 0 ε 2 khi t = O ε −1 . b) Tại t = 0, một điểm với hoành độ x (0, ε) = x0 (cho trước) và tung độ x˙ (0, ε) = y (0, ε) = y0 + εy1 (chưa biết), nằm trên một trong hai đường ở phần a). Tìm y0 , y1 và nghiệm theo thời gian tương ứng theo x0 . Lời giải a) Sử dụng các biến tỷ lệ với thời gian: η1 = εt, η2 = ε 2t, (2ii) và đặt: x (t, ε) ≡ X (t, η1 , η2 , ε) = X0 (t, η1 , η2 ) + εX1 (t, η1 , η2 ) + O ε 2 , (2iii) với giả thiết: t = O ε −1 khi ε → 0, (2iv) và các hệ số trong (2iii) là O (1). Sử dụng (2.68a) và (2.68b) để biểu diễn x˙ và x¨ theo X0 và X1 rồi thay vào phương trình vi phân đã cho (2i). Bằng cách kết hợp các hệ số của ε 0 , ε 1 , ε 2 và sắp xếp lại, ta thu được dãy: (t,t) X0 (t,t) X1 − X0 = 0, (t,η1 ) − X1 = − 2X0 53 (2v) (t) + X0 (t) + X0 X02 , (2vi) Khóa luận tốt nghiệp (t,t) X2 Cao Thị Thoa (t,η2 ) − X2 = − 2X0 + (t) X0 (η1 ) + X0 (t,η1 ) (t) − 2X1 X02 + 2X0 X1 (η1, η1 ) + X1 + X1 (η ) + X0 1 X02 (2vii) . Nghiệm của (2v) đến 0 và có dạng: X0 = a0 η1, η2 e−t . (2viii) (t) Số hạng X0 X02 ở vế phải của (2vi) trở thành: (t) X0 X02 = −a30 η1, η2 e−3t , (2ix) nên nó không ảnh hưởng đến bậc của độ lớn của X1 khi t = O ε −1 . Các số (t,η1 ) hạng trong ngoặc phải triệt tiêu, nên 2X0 (η1 ) 2a0 (t) + X0 = 0. Do đó, theo (2viii): + a0 = 0, nên: 1 a0 = b0 (η2 ) e− 2 η1 . Do đó, 1 X0 = b0 (η2 ) e−t− 2 η1 . (2x) Phương trình xác định X1 trở thành (sử dụng (2ix)): (t,t) X1 3 − X1 = −b30 e−3t− 2 η1 . Các nghiệm xấp xỉ cho bởi: 3 1 X1 = a1 η1, η2 e−t − b0 (η2 ) e−3t− 2 η1 . 8 54 (2xi) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Lập luận tương tự đối với vế phải của (2vii), ta thu được: 1 b0 (η2 ) = C0 e− 8 η2 , 1 a1 (η1 , η2 ) = b1 (η2 ) e− 2 η1 , (2xii) ở đó, C0 là một hằng số. Cuối cùng, ta có: X =X0 + εX1 − O ε 2 1 1 1 3 1 = C0 e−t− 2 η1 − 8 η2 + ε b1 (η2 ) e−t− 2 η1 − C03 e−3t− 2 η1 + O ε 2 . 8 (2xiii) Khi t = O ε −1 , và: 3 1 2 1 1 1 x (t, ε) = C0 e−t− 2 εt− 8 ε t + ε b1 ε 2t e−t− 2 εt − C03 e−3t− 2 εt , 8 (2xiv) với sai số O ε 2 khi t = O ε −1 . b) Để áp dụng các điều kiện ban đầu, ta yêu cầu x (0, ε) và x˙ (0, ε) giữ lại với sai số O ε 2 . Chú ý rằng, db1 /dt = O ε 2 , viết: b1 (0) = C1 , thì từ (2xiv), ta thu được: 1 x (0, ε) = C0 + ε C1 − C03 = x0 , 8 1 3 y (0, ε) = −C0 + ε −C1 − C0 + C03 = y0 + εy1 . 2 8 Trong đó, C0 và C1 là các hằng số cho trước và giá trị ban đầu là x0 và y0 +εy1 . 55 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Từ phương trình thứ nhất, ta thu được: C0 = x0 ; 1 1 C1 = C03 = x03 . 8 8 (2xv) Và từ phương trình thứ hai: 1 1 y1 = − x0 + x03 . 2 4 y0 = −C0 = −x0 ; (2xvi) Các hằng số trong (2xv) cho ta nghiệm theo thời gian nhờ (2xiii) và (2xvi) xác định tung độ cần tìm tới O ε 2 . Đồ thị của 1 1 y = y0 + εy1 = −x0 + ε − x02 + x03 2 4 được chỉ ra trong Hình 1.4, ở đó còn có sự so sánh với đường phân tách đã tính bằng phương pháp số của nó. Hình 2.4: Đường phân tách ổn định trong miền x > 0, y < 0 được tính bằng phương pháp số và vẽ các giá trị ban đầu xác định bởi (2xv):y = y0 + εy1 = −x0 + ε − 12 x02 + 14 x03 với ε = 0, 2. Sau đây ta xét một phương trình vi phân không phải dạng x+εh (x, x)±x ˙ = 0. Phương trình tuyến tính x¨ + x˙ + εx = 0, ở đó ε nhỏ và dương (khác 0), được 56 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa đưa ra để minh họa cho quy tắc. Ví dụ 2.5. : a) Bằng cách tính từ nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu: x¨ + x˙ + εx = 0, x (0, ε) = x0 , x˙ (0, ε) = 0, 0 0 cố định: 1 y (ε, x) ≈ e− 2 x = yO , (2.77) với sai số O (ε n ) với mọi n > 0. Nhưng quan sát lại (2.76), ta thấy x càng lấy giá trị nhỏ thì ε càng phải nhỏ hơn nữa để (2.77) trở thành một xấp xỉ chấp nhận được. Nói chung, xấp xỉ đó không tốt tại x = 0 vì vế trái (2.77) bằng 0, còn vế phải bằng 1. Do đó, (2.77) không là một xấp xỉ đều trên 0 ≤ x ≤ 1, và ta cần một dạng khác ở gần x = 0. Hàm số yO xác định trong (2.77) được gọi là xấp xỉ ngoài của y. Để nhận được xấp xỉ gần x = 0, ta không thể xét với x 61 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa cố định do (2.77). Do đó, ta phải xét x tiến tới 0 cùng với ε bằng cách đặt: x (ε) = ξ ε, (2.78) ở đó, ξ có thể lấy giá trị bất kỳ. ξ được gọi là một biến giãn: theo quan điểm nó khuyếch đại lớp biên thành độ dày O (1). Khi đó, 1 1 y (ε, x) = e− 2 ξ ε − e 2 ξ ε e−2ξ ≈ 1 − e−2ξ , (2.79) 1 với e± 2 ξ ε = 1 + O (ε). Sai số là O (ε) với mỗi ξ cố định. Hiển nhiên, nó được thể hiện tốt hơn khi ξ không quá lớn. Ta cần biểu thị ý tưởng này theo cách khác bằng cách nói: y (ε, x) ≈ 1 − e−2x/ε = yI , (2.80) với sai số O (ε) miễn là x = O (ε) (bao gồm cả trường hợp x = O (ε)). Điều này khá giống với tình huống đã miêu tả với t > 0 ở đầu Mục 2.1. Xấp xỉ (2.80) được chỉ ra trong Hình 2.5. Hàm yI xác định trong (2.80) được gọi là xấp xỉ trong của y. Với một giá trị của x và ε đã cho chúng ta cần phải quyết định chọn xấp xỉ nào vì một sai số bậc thấp của ε không nhất thiết nhỏ với bất kỳ giá trị nhỏ đã cho của ε. Ta có thể thấy miền nào xấp xỉ tốt hơn qua biểu diễn trên mặt phẳng ε, x. Miền trong (2.77) và (2.80) có sai số nhỏ hơn 0.05 và 0.01 được chỉ ra trong Hình 2.6. Cận sai số của miền ngoài được cho bởi: 1 |y (x, ε) − y0 | = e 2 x e−2x/ε = E, 62 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Hình 2.6: Các vùng xấp xỉ tốt với (2.77) (xấp xỉ ngoài) và (2.80) (xấp xỉ trong) với sai số E: (a) E=0.05; (b) E=0.01 với sai số O (ε) miễn là x = O (ε) (bao gồm cả trường hợp x = O (ε)). trong đó, E > 0 là một sai số dự kiến. Do vậy, biên C0 được cho bởi: x= 2ε ln E . ε −4 Cận sai số của miền trong được cho bởi: 1 1 |y (x, ε) − yI | = e− 2 x − 1 + e−2x/ε 1 − e 2 x = E. Phương trình này có thể được giải tìm ε (nhưng không tường minh với x) và suy ra biên sai số trong CI xác định bởi: 1 ε = −2x/ln 1 − E − e− 2 x 1−e 1 2x . Hai biên được chỉ ra trong Hình 2.6 với các sai số E=0.05 và E=0.01. Các 63 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa hình vẽ cho thấy có một miền trong mặt phẳng ε, x; trong đó, cả (2.77) và (2.80) đều có sai số nhỏ. Do đó, ta cho rằng có thể có trường hợp “giữa” trường hợp x bằng hằng số và x = O (ε), trong đó, cả hai xấp xỉ đều có một sai số nhỏ. Chẳng hạn, nếu: √ x = η ε, η − hằng số, (2.81) y (ε, x) trở thành: 1 e− 2 η √ ε 1 − e− 2 η √ 2η ε − √ε e = 1+O √ ε , (2.82) và (2.77) trở thành: y0 = e √ − 12 η ε = 1+O √ ε , (2.83) và (2.80) trở thành: √ ε yI = 1 − e−2η/ = 1+O √ ε , (2.84) √ ε ). Như vậy, hàm ban đầu và cả hai xấp xỉ đều có √ sai số tiến đến 0 cùng với ε khi x = η ε với η cố định. Ta nói rằng hàm số (chính xác là 1 + O “khớp” tới O (1) trong “miền chồng chéo”. Hình 2.7 cho biết diễn biến của √ một điểm ε, η ε = (ε, x) khi nó di chuyển vào các miền mà tại đó cả hai xấp xỉ (2.77) và (2.80) đều có sai số tiến tới 0 cùng với ε. Ta mong muốn chỉ ra rằng không có khoảng trống trong “miền chung”. Do đó, thay vì (2.81), ta 64 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa xét trường hợp tổng quát hơn: x (ε) = ς ψ (ε) , trong đó, ς là hằng số bất kỳ và ψ tiến đến 0, nhưng chậm hơn ε, nên: √ Hình 2.7: Khi ε → 0, điểm ε, η ε (η- hằng số) luôn nằm sau cùng trong vùng chồng chéo với các xấp xỉ (2.77)và (2.80). Ở đây, đường cong pha được chỉ ra với η ≈ 0.4 và với các sai số E = 0.05; 0.03; 0.01. ε = 0. ε→0 ψ (ε) lim Khi đó, y từ (2.76) trở thành: 1 1 y (ε, x) = e− 2 ς ψ(ε) − e 2 ς ψ(ε) e−2ς ψ(ε)/ε = 1 + o (1) . 65 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Xấp xỉ ngoài (2.77) cho ta: 1 1 e− 2 x = e− 2 ς ψ(ε) = 1 + o (1) . Xấp xỉ trong (2.80)cho ta: 1 − e−2x/ε = 1 − e−2ς ψ(ε)/ε = 1 + o (1) . Những điều này trùng nhau tới o (1). Ví dụ dưới đây cho ta thấy cách giả thiết về “miền chung” được sử dụng cùng với phương trình vi phân để xác định một hằng số chưa biết. Trong trường hợp này, ta đã đặt: ψ (ε) = e1−δ , 0 < δ < 1, để cho một sự tổng quát nhất định. Ví dụ 2.6. Một hàm y có hai xấp xỉ trên 0 ≤ x ≤ 1: một xấp xỉ trong : x y (ε, x) ≈ A + (1 − A) e− ε = yI , (2.85) với sai số O (ε) khi x = O (ε), và một xấp xỉ ngoài: y (ε, x) ≈ e1−x = yO , (2.86) với sai số O (ε), cho x hằng số. Tìm giá trị của A. Lời giải Giả thiết rằng cả hai xấp xỉ đều đồng thời đúng (mặc dù sai số có thể lớn), 66 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa với: x = ηε 1−δ , η − hằng số, 0 ≤ x ≤ 1, 0 < δ < 1, Ta phải có ít nhất: −η lim A + (1 − A) e ε δ = lim e1−ηε ε→0 1−δ , ε→0 η− hằng số. Do đó, A = e1 = e. Bài tập 2.4. Tìm xấp xỉ trong và ngoài của: 1 0 ≤ x ≤ π, 2 −x y = 1 − e ε cos x, 0 0, 0 2 ε, (2.117) và phân loại các xấp xỉ tuyến tính của chúng. Xét bài toán giá trị đầu x (0) = 1 α 0, x˙ (0) = khi 0 < α ≤ . Tìm các xấp xỉ trong, ngoài và kết hợp với ε 2 0[...]... chứ không hội tụ Khi đó, ta nói rằng (2.5) không cung cấp một xấp xỉ tốt đều trên khoảng t ≥ 0 Phương pháp nhiễu thông thường không cho ta một xấp xỉ đều của nghiệm của một phương trình vi phân Khi đó, bài toán đó được gọi là bài toán nhiễu kỳ dị Về mặt hình thức, chúng ta cần tìm một xấp xỉ x∗ (ε,t) của hàm x(ε,t), thường là trên một khoảng vô tận của t: x(ε,t) = x∗ (ε,t) + E(ε,t), t0 ≤ t < ∞, với sai... có được x˙ và x¨ từ các phương trình và thế vào (1.30) ta có: u¨ + g(u) = 0, 1 ở đó g(u) = p−1/2 (x)(V (x) − q (x)) 2 21 (1.31) Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ 2.1 Sự xấp xỉ không đều của các hàm số trên một đoạn Các nghiệm của phương trình vi phân: x¨ = f (x, x,t, ˙ ε) là các hàm số của t và ε Một vài vấn đề nó có thể này sinh trong khi xấp xỉ, các nghiệm có thể được minh họa bằng cách xét các hàm... giải Hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng pha là:   x˙ = y (1.17)  y˙ = − sin x Điểm cân bằng nằm trên trục x tại các điểm mà sin x = 0; hay x = nπ (n = 0, ±1, ±2, ) Khi n chẵn chúng là tâm, khi n là lẻ chúng là điểm yên ngựa Phương trình vi phân cho các đường cong pha là: dy sin x =− dx y Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm: √ y = ± 2(cos x +C)1/2 , đó là phương trình của. .. xung quanh chu trình giới hạn (ii) Đường cong trắc địa Ví dụ 1.6 Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối với phương trình vi phân x¨ + |x| ˙ x˙ + x3 = 0 18 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Lời giải Hệ này chỉ có một điểm cân bằng tại (0, 0) Vi t phương trình dưới dạng x¨ + x3 = − |x| ˙ x˙ , và nhân hai vế với x: ˙ x˙x¨ + x3 x˙ = − |x| ˙ x˙2 Theo các biến mặt phẳng pha x, y phương trình này trở... bất kỳ δ > 0, tồn tại η > 0 không phụ thuộc t sao cho: ε < η ⇒ E(ε,t) < δ 2.2 Nhiễu tọa độ Xét họ phương trình Duffing với tham số ε: x¨ + x = εx3 Khai triển x(ε,t) = x0 (t) + εx1 (t) + dẫn đến x¨0 + x0 = 0, x¨1 + x1 = x0 3 24 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Nghiệm tổng quát của phương trình đầu có thể được vi t: x0 (t) = Acos (t − α) , ở đó A và α là các hằng số bất kỳ Đối với phương trình. .. đoán trước một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ ω đặt: ω = 1 + εω1 + ε 2 ω2 + , ở đó ω1 , ω2 , là những hằng số chưa biết, sau đó đổi biến số từ t thành τ: τ = ωt (2.9) để phương trình theo τ đã biết là có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2π (phương pháp Lindstedt) Phương trình (2.9) đưa vào đủ các hằng số tự do ωi để khử các số hạng thế tục Chúng ta có thể nhìn nhận phương pháp này theo cách khác Vi t (2.9) dưới... các nghiệm tuần hoàn theo thời gian 9 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x) ˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn Ví dụ 1.2 Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn giản x¨ + ω 2 x = 0 Lời giải Phương trình này xấp xỉ với phương. .. + q(x), V = V (x), ở đó p(x) > 0 Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử dụng phương trình Lagrange d ∂T ∂T ∂V ( )− =− dt ∂ x˙ ∂x ∂x Thế T và V ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theo x: 2p(x)x¨ + p (x)x˙2 + (V (x) − q (x)) = 0 20 (1.30) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Phương trình này không có dạng x¨ = f (x) Để rút gọn phương trình này ta xét u= p1/2 (x)dx 1... T2 (τ) để buộc (2.13) trở thành một xấp xỉ đều Quá trình này được gọi là nhiễu tọa độ và sẽ được thực hiện trong hai ví dụ sau: 26 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Ví dụ 2.1 Tìm một nghiệm xấp xỉ của họ các phương trình autonom: x¨ + x = εx3 , với x (ε, 0) = 1; x˙ (ε, 0) = 0 và sai số O(ε 3 ) đều trên t ≥ 0 bằng phương pháp nhiễu tọa độ Lời giải Khai triển (2.13) với điều kiện ban đầu, ta có: x¨0... Sự so sánh giữa nghiệm số của x¨ + x = 14 x3 (ε = 1 trong (2.7)) và nhiễu tọa độ cho bởi (2.8): một sự sai lệch nhỏ giữa các chu kỳ bắt đầu xuất hiện từ khoảng t ≈ 50 Ở đó: 3 57 2 t = τ 1+ ε + ε + O ε3 8 256 (2.18b) Trong hình 2.2 số của phương trình vi phân khi ε = 1 với 0 ≤ t ≤ 50 được chỉ ra Trong khoảng này thì sai số của xấp xỉ (2.18a) gần như không thấy được Ví dụ 2.2 (Phương trình Lighthill): ... nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, nghiên cứu nghiệm phương pháp nhiễu kỳ dị Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình vi phân phi tuyến hay cụ thể phương trình vi phân thường cấp hai phi. .. hai phi tuyến, em mạnh dạn chọn đề tài: Nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến phương pháp nhiễu kỳ dị Nội dung đề cập khóa luận trình bày hai chương: Chương 1: Trình. .. THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG