TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGÔ THỊ MINH NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Minh LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Minh Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Phương pháp nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Dao động cưỡng bức gần cộng hưởng với kích thích yếu . . . . 24 2.5. Phương trình biên độ cho con lắc không tắt dần . . . . . . . . . . . 27 2.6. Phương trình biên độ cho con lắc tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7. Lò xo mềm và lò xo cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8. Sự nhiễu biên độ-pha đối với phương trình con lắc . . . . . . . . . 35 2.9. Nghiệm tuần hoàn của phương trình autonom (phương pháp Lindstedt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 2.10. Dao động cưỡng bức của phương trình tự kích thích . . . . . . 40 2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 MỞ ĐẦU Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng trong toán học hiện đại. Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế số phương trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói riêng giải được không nhiều. Với lòng say mê toán học sẵn có, đặc biệt là mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai em đã mạnh dạn chọn đề tài: "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu". Đây là một đề tài có phạm vi quy mô nhỏ trong ngành giải tích toán học. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai, khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom trong mặt phẳng pha, chu trình giới hạn. Chương 2: Trình bày về việc nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này của em khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x, y, y , y ) = 0, (1.1) ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng y = f (x, y, y ). (1.2) Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (1.2). Nếu ∂f ∂f (x, y, y ) và f (x, y, y ), (x, y, y ) liên tục trong một miền D nào đó trong ∂y ∂y R3 và nếu (x0 , y0 , y0 ) là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 . 6 (1.3) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2). Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), trong đó C1 ,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 ,C2 , (ii) Với mọi (x0 , y0 , y0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 = C10 ,C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn (1.3). Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) nhận được bằng cách cho C1 ,C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C10 ,C20 . Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. 1.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha Xét phương trình autonom cấp hai x¨ = f (x, x). ˙ (1.4) Để nghiên cứu định tính của phương trình này ta đặt y = x. ˙ Khi đó phương trình (1.4) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một  x˙ = y (1.5) y˙ = f (x, y). Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (1.4). Từ hệ (1.5) ta có mối liên hệ giữa x và y xác định bởi phương trình vi phân cấp 7 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh một dy f (x, y) = . dx y (1.6) Mỗi đường cong biểu diễn nghiệm của (1.6) được gọi là một đường cong pha của phương trình vi phân (1.3) hoặc của hệ phương trình vi phân cấp một (1.4). Do đó (1.6) còn được gọi là phương trình vi phân xác định đường cong pha. Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biến đổi của x theo thời gian t. Có thể thấy, nếu y = x˙ > 0 thì x tăng khi t tăng, nếu y = x˙ < 0 thì x giảm khi t giảm. Do đó, hướng của đường cong pha luôn từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên và từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng thái vật lý (x, x) ˙ chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.3) mô tả, do đó P được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó. Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theo thời gian, tức là ta có x˙ ≡ 0. Khi đó ta cũng có x¨ ≡ 0. Do đó, trong mặt phẳng pha, trạng thái cân bằng được biểu diễn bởi điểm P(x, 0), với x là nghiệm của phương trình x¨ = x˙ = 0 hay f (x, 0) = 0. (1.7) Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.7) được gọi là điểm cân bằng của (1.3) và của (1.4). Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng của chúng được gọi là lược đồ pha. Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha để đưa ra các tính chất của nghiệm x = x(t) của phương trình vi phân cấp hai (1.3), cũng như mô tả tính chất vật lý của hệ xác định bởi phương trình đó. Giả sử A, B là hai điểm trên một đường cong pha. Khi đó thời gian để trạng thái P(x, y) từ A tới B dọc theo đường cong pha đó được gọi là thời 8 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh gian chuyển từ A tới B. Đó là một đại lượng không phụ thuộc vào thời điểm P xuất phát ở A và xác định bởi: dx . AB y TAB = (1.8) Các tính chất có thể quan sát được qua lược đồ pha bao gồm: i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của (1.3). Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (1.3) tương ứng với đường cong pha không kín. ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (1.3). iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ra tính chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý. Chẳng hạn: +) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường cong kín bao quanh nó thì được gọi là một tâm và đó là một điểm cân bằng ổn định (tức là, theo thời gian hệ sẽ tiến tới trạng thái đó nếu xuất phát từ trạng thái gần với điểm cân bằng). +) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng đều có hướng về điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng ổn định. +) Nếu dịch khỏi trạng thái cân bằng một chút đều có thể rới vào một đường cong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng không ổn định,... 1.3. Chu trình giới hạn Xét hệ autonom x¨ = f (x, x), ˙ trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng f (x, x) ˙ = −h(x, x) ˙ − g(x), 9 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh khi đó phương trình vi phân, trở thành x¨ + h(x, x) ˙ + g(x) = 0 (1.9) và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là  x˙ = y (1.10) y˙ = −h(x, y) − g(x). Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng hệ có một điểm cân bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó h(0, 0) + g(0) = 0 và nghiệm duy nhất của h(x, 0) + g(x) = 0 là x = 0. Chúng tôi tiếp tục giả định rằng g(0) = 0, (1.11) h(0, 0) = 0. (1.12) khi đó Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (1.9) dưới dạng x¨ + g(x) = −h(x, x), ˙ (1.13) chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển động tự do được điều khiển bởi phương trình x¨ + g(x) = 0 (một hệ bảo toàn), nhưng bị tác động bởi một ngoại lực −h(x, x) ˙ đóng vai trò là nguồn cung cấp hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì hệ đó mô tả dao động được điều khiển bởi ngoại lực −h(x, x). ˙ Trạng thái cân bằng xảy ra khi x = x˙ = 0. Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi V (x) = g(x)dx, 10 (1.14a) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh và động năng của hạt bởi 1 T = x˙2 . (1.14b) 2 Năng lượng toàn phần ε cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là: 1 ε = T +V = x˙2 + 2 g(x)dx, (1.15) do đó có quy tắc biến đổi năng lượng dε = x˙x¨ + g(x)x. ˙ dt Khi đó, từ (1.9) ta có dε = x(−g(x) ˙ − h(x, x) ˙ + g(x)) = −xh(x, ˙ x) ˙ = −yh(x, y) dt (1.16) trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn cung cấp năng lượng sinh bởi −h(x, x) ˙ hay đại diện cho ngoại lực. Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm cân bằng (0, 0), dε/dt là âm: dε = −yh(x, y) < 0 dt (1.17) (ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Hãy xét đường cong pha bất kì sau một điểm nằm trong R tại mọi thời điểm. Khi đó, ε liên tục giảm dọc theo đường cong pha đó. Ảnh hưởng của h tương tự như giảm tốc hoặc điện trở; năng lượng liên tục bị rút khỏi hệ, và điều này dẫn tới việc giảm biên độ cho đến khi hết năng lượng ban đầu. Chúng ta nên mong đợi các đường cong pha tiếp cận với điểm cân bằng. Nếu dε = −yh(x, y) > 0 (1.18) dt trong R (với y = 0 ), thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy, và biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn trong miền R. Ở đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trong R. 11 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Đường tròn trong Hình 1.1 là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’ được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới hạn trong Hình 1.1 là một chu trình giới hạn ổn định, vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong pha mới. Hình 1.1: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y2 = 1 sinh bởi hệ x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì . 12 Chương 2 Phương pháp nhiễu Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình autonom. Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguyên của một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian. Có một số quyền tự do trong viêc gán các hệ số phụ thuộc thời gian, điều này được sử dụng để tạo ra các xấp xỉ chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các giá trị của các tham số chính của phương trình. Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự. Các quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ. 13 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh 2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức Cho đến thời điểm hiện tại, cơ bản chúng ta đã xét các hệ autonom. Phương trình vi phân có dạng x¨ = f (x, x,t), ˙ (2.1) và các hệ cấp một có dạng tổng quát x˙ = X(x, y,t), y˙ = Y (x, y,t), (2.2) ở đó thời gian t xuất hiện một cách rõ ràng, được gọi là không autonom và là đối tượng chính của chương này. Trạng thái của hệ được xác định bởi cặp giá trị (x, x) ˙ hoặc (x, y), và như trước (với phương trình (2.1), ta thường định nghĩa y = x). ˙ Nếu một hệ autonom đi qua một trạng thái (x0 , y0 ) tại t = t0 thì điều kiện ban đầu này sẽ xác định những trạng thái kế tiếp trong chuyển động duy nhất độc lập với t0 và chúng tạo thành một đường cong pha duy nhất qua điểm (x0 , y0 ). Tuy nhiên, các phương trình không autonom có thể sinh ra vô hạn đường cong pha qua một điểm (x0 , y0 ); một điểm khác nữa là nói chung, đối với mọi giá trị của t0 . Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách đánh giá độ dốc của một đường cong pha đi qua (x0 , y0 ) tại t0 . Từ (2.2) dy dx = (x0 ,y0 ,t0 ) y˙ Y (x0 , y0 ,t0 ) = . x˙ X(x0 , y0 ,t0 ) Độ dốc phụ thuộc vào giá trị của t0 , trong khi đối với các phương trình autonom thì nó không phụ thuộc vào t0 . Điều này làm giảm đáng kể tính hữu ích của việc biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa. Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt. Hai ví dụ về phương 14 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức sau x¨ + kx˙ + ω02 x + εx3 = F cos ωt và x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + ω02 x = F cos ωt ở đó ε là một tham số nhỏ. Khi ε = 0, những phương trình đó trở thành tuyến tính. Số hạng bên phải, F cos ωt được gọi là lực cưỡng bức điều hoà và có thể xem như là một ngoại lực với biên độ F và tần số vòng ω tác động lên hạt đơn vị trên lò xo phi tuyến. Số hạng lực cưỡng bức cố gắng điều khiển hệ thống ở tần số ω chống lại khuynh hướng dao động tự do hoặc các chuyển động khác được mô tả bởi các phương trình thuần nhất x¨ + kx˙ + ω02 x + εx3 = 0 hoặc x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + ω02 x = 0. Để thuận tiện cho việc tham khảo, chúng tôi tóm tắt các tính chất của các nghiệm của phương trình đại diện cho dao động tuyến tính tắt dần với số hạng cưỡng bức điều hoà: x¨ + kx˙ + ω02 x = F cos ωt, (2.3a) ở đó k > 0, ω0 > 0, ω > 0 và F là các hằng số và hệ số tắt dần k không quá lớn: 0 < k < 2ω0 . (2.3b) Đó là phương trình chuyển động của hệ cơ học trong Hình 2.1. Khối có khối lượng đơn vị, độ cứng của lò xo bằng ω02 , và lực ma sát tỉ lệ với vận tốc thông qua hằng số k. Toạ độ x là khoảng cách từ vị trí của khối lượng đến vị trí cân bằng, tức là khi lò xo có độ dài tự nhiên. Nghiệm tổng quát của (2.3a) cho trong công thức sau: 15 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Hình 2.1: Nghiệm riêng + các hàm bù (Các hàm bù là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng x¨ + kx˙ + ω02 x = 0) là x(t) = F cos(ωt − γ) 1 [(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2 − 12 kt +Ce cos ω02 − 1 2 1 2 k 4 t − φ . (2.4) Trong số hạng đầu, γ bằng góc cực của số phức (ω02 − ω 2 ) + ikω trên lược đồ Argand. Trong số hạng thứ hai (các hàm bù) C và φ là các hằng số tuỳ ý được điều chỉnh để phù hợp với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , x(t ˙ 0 ) = y0 . Số hạng đó luôn tiến đến 0 khi t → ∞ do nhân tử e−(1/2)kt , nó được mô tả như số hạng nhất thời. Do đó tất cả các nghiệm của (2.3) đều tiến đến trạng thái của dao động ổn định, được mô tả bởi nghiệm riêng x p (t), ở đó 1 x p (t) = F cos(ωt − γ)/[(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2 16 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh mà có cùng tần số như ngoại lực F cos ωt, nhưng có độ chậm pha xác định bởi góc γ. Số hạng này trong (2.4) cũng được gọi là dao động cưỡng bức, còn số hạng thứ hai là dao động tự do. Biên độ A của (2.5) được cho bởi 1 A = |F|/[(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2 . Giả sử ta tiến hành thí nghiệm trên hệ trong Hình 2.1 bằng cách biến đổi tần số của ngoại lực ω và theo dõi cách biến đổi của biên độ A. Với giá trị cố định của k, A đạt được giá trị lớn nhất khi (ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 mang giá trị nhỏ nhất đối với ω 2 , xuất hiện khi 1 ω 2 = ω02 − k2 2 và do đó 1 1 A = Amax = |F|/ k(ω02 − k2 ) 2 . 4 Bây giờ giả sử k là rất nhỏ. Biểu thức này cho thấy khi ω có giá trị gần với ω0 thì Amax trở nên rất lớn và hệ được gọi là ở trong trạng thái được cộng hưởng. Phân tích kỹ hơn cho thấy, dưới những điều kiện này, sự chậm pha γ trong (2.4) gây ra bởi ngoại lực F cos ωt, với ω 2 = ω02 − 12 k2 , là thời gian để nó có tác động cực đại vào khuynh hướng dao động tự do của hệ. Do đó biên độ đạt giá trị lớn hơn. Trường hợp khi k = 0 ở (2.3a) là đặc biệt theo nghĩa số hạng thứ hai ở nghiệm tổng quát (2.4) là không nhất thời, nó không giảm theo thời gian. Các nghiệm là tuần hoàn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt của ω và ω0 (khi ω = (p/q)ω0 , ở đó p và q là các số nguyên). Có trạng thái thường xuyên hay thất thường của dao động còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu. Nghiệm tổng quát của (2.3a) khi k = 0 là x(t) = F cos ωt +C cos(ω0t + φ ) ω02 − ω 2 17 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Nếu k = 0 và ω = ω0 thì (2.4) trở nên vô nghĩa, vì vậy chúng ta quay trở lại phương trình vi phân (2.3) mà trong trường hợp đó, phương trình có dạng x¨ + ω02 x = F cos ω0t. Nghiệm tổng quát là x(t) = F t sin ω0t +C cos(ω0t − φ ) 2ω0 (2.6) Số hạng đầu có dạng khác trong (2.4). Các nghiệm bao gồm các dao động với tần số ω0 và biên độ tăng vô hạn khi t → ±∞, đây là trường hợp cực đại của hiện tượng cộng hưởng, khi không còn sự điều khiển tắt dần. Phương trình chuyển động của con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức điều hoà là dễ hình dung và dẫn đến việc xem xét một họ quan trọng của các phương trình phi tuyến được gọi là phương trình Duffing tổng quát. Dạng chuẩn của phương trình con lắc là x¨ + kx˙ + ω02 sin x = F cos ωt (2.7) ở đó, x là độ lệch góc so với phương thẳng đứng, k = α/(ma2 ), ở đó m là khối lượng và a là độ dài, α x˙ là mômen của lực ma sát với giá treo; ω02 = g/a; F = M/(ma2 ), ở đó M là biên độ của mômen điều khiển quanh giá treo. Thứ nguyên vật lý của các hệ số trong (2.7) là [T −2 ]. Để dự tính mức độ tác động của mômen ngoại lực đối với con lắc tại giá của nó, ta xét Hình 2.2. Con lắc được cấu tạo gồm một con quay (giá) và được gắn chặt vào một trụ đỡ. Con quay được điều khiển ma sát bởi một vỏ che sát ngoài, vỏ này được gây quay một cách độc lập quanh con quay với vận tốc góc A cos ωt. Giả sử mặt tiếp xúc được làm trơn bằng chất lỏng nhớt, mômen điều khiển M tỉ lệ thuận với vận tốc góc tương đối giữa con quay và vỏ che ngoài: M = α(A cos ωt − x) ˙ 18 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh ở đó A là hằng số. Bằng cách điều chỉnh (trong tưởng tượng) hằng số α và A, phương trình (2.7) có thể được tạo ra cho giá trị bất kì của F và giá trị bất kì của k > 0. Hình 2.2: Con lắc có điều khiển ma sát 2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt dần Xem xét dao động cưỡng bức của con lắc không tắt dần x¨ + ω02 sin x = F cos ωt (2.8) trong đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ω0 > 0, ω > 0 và F > 0. Đặt 1 sin x ≈ x − x3 6 19 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh để cho phép dao động lớn ôn hoà, với độ chính xác 1% khi |x| < 1 radian (hay 570 ). Khi đó phương trình (2.8) trở thành, xấp xỉ 1 x¨ + ω02 x − ω02 x3 = F cos ωt. 6 (2.9) Chuẩn hoá dạng (2.9) bằng cách đặt τ = ωt, Ω2 = ω02 /ω 2 (Ω > 0), Γ = F/ω 2 . (2.10) Khi đó ta được 1 x + Ω2 x − Ω2 x3 = Γ cos τ (2.11) 6 ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến τ. Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình Duffing, được đặc trưng bởi số hạng phi tuyến bậc ba. Nếu phương trình (2.11) đó thực sự sinh ra khi xem xét con lắc, thì các hệ số và các biến là không thứ nguyên. Các phương pháp đã mô tả đều yêu cầu sự phụ thuộc vào số hạng phi tuyến là không đáng kể nên ở đây ta giả thiết rằng 61 Ω2 là nhỏ và viết 1 2 Ω = ε0 . 6 (2.12) x + Ω2 x − ε0 x3 = Γ cos τ. (2.13) Khi đó (2.11) trở thành Thay vì xét (2.13) với Ω, Γ, ε0 là các hằng số, ta sẽ xét họ các phương trình vi phân x + Ω2 x − εx3 = Γ cos τ. (2.14) ở đó ε là một tham số thuộc khoảng Iε chứa giá trị ε = 0. Khi ε = ε0 ta có (2.13) và khi ε = 0 ta thu được phương trình tuyến tính tương ứng với họ (2.14) x + Ω2 x = Γ cos τ. (2.15) Nghiệm của (2.14) được xem là hàm số của cả ε và τ, ta viết là x(ε, τ). 20 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Phiên bản sơ cấp nhất của phương pháp nhiễu là cố gắng biểu diễn nghiệm của (2.14) dưới dạng chuỗi luỹ thừa của ε: x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ε 2 x2 (τ) + ..., (2.16) với các hệ số xi (τ) là các hàm chỉ của τ. Để lập phương trình xác định xi (τ), i = 0,1,2,..., ta thế chuỗi (2.16) vào phương trình (2.14): (x0 + εx1 + ...) + Ω2 (x0 + εx1 + ...) − ε(x0 + εx1 + ...)3 = Γ cos τ. Vì điều này được giả thiết đúng đối với mọi phương trình của họ (2.14), tức là với mọi ε ∈ Iε nên các hệ số của các luỹ thừa của ε phải cân bằng và ta được x0 + Ω2 x0 = Γ cos τ (2.17a) x1 + Ω2 x1 = x03 (2.17b) x2 + Ω2 x2 = 3x02 x1 , ... (2.17c) Chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới các nghiệm tuần hoàn có chu kì 2π là chu kỳ số hạng cưỡng bức (còn có các nghiệm tuần hoàn với các chu kỳ khác). Khi đó, với tất cả ε ∈ Iε và với mọi τ x(ε, τ + 2π) = x(ε, τ) (2.18) xi (τ + 2π) = xi (τ), i = 0, 1, 2, .. (2.19) Từ (2.16), ta chỉ cần chỉ ra Phương trình (2.17) cùng với điều kiện (2.19) là đủ để đưa ra các nghiệm cần thiết. Chi tiết hơn sẽ được trình bày ở Mục 2.3, lúc này chú ý rằng (2.17a) cũng giống như phương trình tuyến tính hoá (2.15): Do đó, đặt ε0 = 0 trong (2.13) tương ứng với đặt ε = 0 trong (2.16). Do đó, số hạng chính trong (2.16) là nghiệm tuần hoàn của phương trình tuyến tính hoá (2.15). Từ đây, định hướng cho ta tìm nghiệm của phương trình phi tuyến mà gần với nghiệm 21 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh (hoặc một nhánh nghiệm) của phương trình tuyến tính hoá. Phương pháp này sẽ không khám phá ra bất kỳ nghiệm tuần hoàn nào khác. Nghiệm bậc 0, x0 (τ) được biết đến như nghiệm sinh của họ phương trình (2.14). 2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng Giả sử rằng Ω=Z (2.20) Ta giải (2.17) với điều kiện tuần hoàn (2.19). Nghiệm của (2.17a) là a0 cos Ωτ + b0 sin Ωτ + Γ cos τ Ω2 − 1 (2.21) ở đó a0 , b0 là các hằng số. Vì Ω không là số nguyên, nghiệm duy nhất có chu kỳ 2π thu được bằng cách đặt a0 = b0 = 0 trong (2.21), đó là x0 (τ) = Γ Ω2 − 1 (2.22) cos τ. Phương trình (2.17b) khi đó trở thành 3 2 x1 + Ω x1 = Γ 2 Ω −1 τ3 cos τ = 2 (Ω − 1)3 3 3 1 cos τ + cos 3τ . 4 4 Nghiệm duy nhất với chu kỳ 2π được cho bởi 3 Γ3 1 Γ3 x1 (τ) = cos τ + cos 3τ 4 (Ω2 − 1)4 4 (Ω2 − 1)3 (Ω2 − 9) từ phương trình (2.20). 22 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Hai số hạng đầu tiên của khai triển (2.16) cho bởi xấp xỉ x(ε, τ) = Γ 3 Γ3 cos τ + ε cos τ Ω2 − 1 4 (Ω2 − 1)4 Γ3 1 cos 3τ + 4 (Ω2 − 1)3 (Ω2 − 9) + O(ε 2 ). (2.23) Chuỗi sẽ tiếp tục với các số hạng của ε 2 , ε 3 và hàm điều hoà cos 5τ, cos 7τ,...Đối với con lắc, từ (2.12) có ε = ε0 = 61 Ω2 . Hiển nhiên phương pháp không thực hiện được nếu Ω2 nhận một trong các giá trị 1, 9, 25, ..., vì các số hạng ở vế phải (2.23) sẽ vô hạn, và khả năng đó được loại bỏ bởi điều kiện (2.20). Tuy nhiên, chuỗi có thể không hội tụ tốt nếu Ω2 gần bằng với một trong các giá trị đó, và vì vậy có một vài số hạng của chuỗi sẽ mô tả x(ε, τ) kém đi. Các giá trị đó của Ω tương ứng với các điều kiện gần cộng hưởng. Ω ≈ 1 là một trường hợp, như vậy ta không ngạc nhiên vì Ω = 1 là một giá trị cộng hưởng của phương trình tuyến tính hoá. Các giá trị lẻ khác của Ω tương ứng với sự cộng hưởng phi tuyến, gây nên do các hàm điều hoà bậc cao có mặt trong x3 (ε, τ). Điều đó có thể coi như tác động trở lại với phương trình tuyến tính giống như các số hạng ngoại lực. Nếu Ω là số nguyên chẵn, phương pháp nhiễu trực tiếp không thực hiện được bởi vì (2.21) có chu kỳ 2π với mọi giá trị của a0 , b0 . Các giá trị của chúng chỉ có thể được thiết lập bằng cách đưa các số hạng thẳng tới bước hai (2.17b), tương tự như tình huống sẽ trình bày trong Mục 2.4 sau đây. Ví dụ 2.1. Tìm xấp xỉ của phản hồi ngoại lực, có chu kỳ 2π, đối với phương trình x + 14 x + 0.1x3 = cos τ. Xét họ x + 14 x + εx3 = cos τ: đây là phương trình (2.13) với Ω = 1 2 và ε0 = −0.1. Giả sử rằng x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ..., có chu kỳ 2π. Các 23 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh phương trình đối với x0 , x1 là (quan sát 2.17a, b): 1 x0 + x0 = cos τ, 4 1 x1 + x1 = −x03 . 4 Nghiệm 2π-tuần hoàn của phương trình thứ nhất là 4 x0 (τ) = − cos τ, 3 và phương trình thứ hai trở thành 1 16 16 x1 + x1 = cos τ + cos 3τ 4 9 27 Nghiệm 2π-tuần hoàn là x1 (τ) = − 64 64 cos τ − cos 3τ. 27 945 Do đó 4 64 64 x(ε, τ) = − cos τ − ε( cos τ + cos 3τ) + O(ε 2 ) 3 27 945 . Với ε = 0.1, x(ε, τ) ≈ −1.570 cos τ − 0.007 cos 3τ. 2.4. Dao động cưỡng bức gần cộng hưởng với kích thích yếu Ta xét phương trình của con lắc xấp xỉ: 1 x¨ + kx˙ + ω02 x − ω02 x3 = F cos ωt. 6 (2.24) Tương ứng với phương trình (2.13) ta có x + Kx + Ω2 x − ε0 x3 = Γ cos τ 24 (2.25a) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh ở đó 1 τ = ωt, Ω2 = ω02 /ω 2 , ε0 = Ω2 , K = k/ω, Γ = F/ω 2 . 6 (2.25b) Giả sử rằng Γ là nhỏ (kích thích yếu) và K là nhỏ (tắt dần nhỏ) và do đó đặt Γ = ε0 γ, K = ε0 κ(γ, κ > 0). (2.26) Giả thiết thêm rằng Ω gần với một trong các giá trị cộng hưởng tới hạn 1, 3, 5, ... Xét trường hợp đơn giản nhất là Ω ≈ 1, là trường hợp gần cộng hưởng của phương trình tuyến tính hoá và viết Ω2 = 1 + ε0 /β . (2.27) x + x = ε0 (γ cos τ − κx − β x + x3 ). (2.28) Phương trình (2.25) trở thành Bây giờ xét họ phương trình x + x = ε(γ cos τ − κx − β x + x3 ) (2.29) với tham số ε, còn γ, κ, β vẫn là các hằng số xác định bởi (2.26) và (2.27). Khi ε = 0, ta được phương trình tuyến tính hoá mới x + x = 0. Phương trình đó có vô số nghiệm với chu kỳ 2π, nó cho ta một phạm vi lựa chọn rộng rãi của các nghiệm sinh (so với (2.15) chỉ có duy nhất một nghiệm). Bây giờ giả sử rằng x(ε, τ) có thể khai triển thành x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ε 2 x2 (τ) + ..., (2.30) ở đây (lập luận giống như khi dẫn đến (2.19)), với mọi τ xi (τ + 2π) = xi (τ), i = 0, 1, 2, .... (2.31) Thế (2.30) vào (2.29). Lập luận giống như khi dẫn đến (2.17) ta được x0 + x0 = 0, 25 (2.32a) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh x1 + x1 = γ cos τ − κx0 − β x0 + x03 (2.32b) x2 + x2 = −κx1 − β x1 + 3x02 x1 , ... (2.32c) Nghiệm của (2.32a) là x0 (τ) = a0 cos τ + b0 sin τ (2.33) với mọi a0 , b0 . Bây giờ đặt (2.33) vào (2.32b), sử dụng cos3 τ = 3 1 3 1 cos τ + cos 3τ, sin3 τ = sin τ − sin 3τ 4 4 4 4 và rút gọn ta có x1 + x1 = {γ − κb0 3 + a0 [−β + (a20 + b20 )]} cos τ 4 3 + {κa0 + b0 [−β + (a20 + b20 )]} sin τ 4 1 + a0 (a20 − 3b20 ) cos 3τ 4 1 + b0 (3a20 − b20 ) sin 3τ. 4 (2.34) Nghiệm x1 (τ) cần phải có chu kỳ 2π, nhưng trừ khi các hệ số của cos τ và sin τ trong (2.34) bằng 0, không có các nghiệm tuần hoàn, vì bất kỳ nghiệm nào cũng đều chứa các số hạng dạng τ cos τ, τ sin τ (so sánh với phương trình (2.6)). Các nghiệm không tuần hoàn hoặc các nghiệm không phù hợp khác thường được gọi là các số hạng thế tục (secular terms). Chúng ta loại trừ các số hạng thế tục bằng cách yêu cầu các hệ số của cos τ và sin τ bằng 0: 3 (2.35a) κa0 − b0 {β − (a20 + b20 )} = 0, 4 3 κb0 + a0 {β − (a20 + b20 )} = γ. (2.35b) 4 Những phương trình này xác định các giá trị của a0 và b0 . Để giải chúng, gọi r0 là biên độ của nghiệm sinh: r0 = (a20 + b20 ) > 0. 26 (2.36) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Bình phương và cộng (2.35a) với (2.35b), ta được phương trình biên độ bậc ba đối với r02 : 3 r02 κ 2 + β − r02 4 2 = γ 2. (2.37) Giải (2.37) tìm r0 , sau đó a0 và b0 có thể nhận được từ (2.35) và (2.36). Phương trình (2.37) sẽ được phân tích trong mục tiếp theo. Bây giờ chú ý rằng có thể có ba giá trị dương của r02 (do đó r0 > 0) thoả mãn (2.37). Điều đó chỉ ra rằng, trong miền nhất định của κ, β , γ có thể có ba nghiệm 2π tuần hoàn phân biệt của (2.24), (2.28) hoặc (2.29), mỗi nghiệm đó là một nhánh của một trong ba nghiệm sinh phân biệt. Chọn một cặp của giá trị a0 và b0 thoả mãn (2.35), ta giải (2.28) x1 (τ) = a1 cos τ + b1 sin τ − 1 1 a0 (a20 − 3b20 ) cos 3τ − b0 (3a20 − b20 ) sin 3τ, 32 32 ở đó a1 và b1 là các hằng số tuỳ ý. Thế biểu thức đó vào phương trình (2.32c), yêu cầu rằng x2 (τ) có chu kỳ 2π, sẽ cho ta phương trình xác định a1 , b1 như trước. Có thể thấy ai , bi đều được xác định bởi cặp phương trình vi phân tuyến tính. 2.5. Phương trình biên độ cho con lắc không tắt dần Giả sử hệ số tắt dần bằng 0; khi đó trong (2.24), (2.25), (2.29) ta có k = K = κ = 0. (2.38) Thay cho việc tìm r0 trong (2.37), các hệ số a0 , b0 có thể tìm trực tiếp từ (2.35): nghiệm duy nhất được cho bởi b0 = 0, (2.39a) 3 a0 (β − a20 ) = γ. 4 (2.39b) 27 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Chúng ta chỉ xét chi tiết con lắc với trường hợp ε = ε0 = 16 Ω2 . Các tham số gốc ω, ω0 và F của phương trình (2.24) có thể khôi hồi qua (2.25) đến (2.27). Phương trình (2.39b) trở thành 1 a0 (ω 2 − ω02 + ω02 a20 ) = −F. 8 (2.40) Nghiệm a0 có thể thu được bằng cách vẽ đường cong bậc ba 1 z = a0 (ω 2 − ω02 + ω02 a20 ) = f (a0 ) (2.41) 8 Trên đồ thị với các trục a0 , z cho một vài giá trị cố định của ω và ω0 , sau đó tìm các giao điểm với đường thẳng z = −F với F > 0, như Hình 2.3. Một số đặc điểm chính được đưa ra dưới đây: (i) Khi ω 2 > ω02 (Hình 2.3(a)), có chính xác một dao động tuần hoàn có thể. Khi F nhỏ, biên độ xấp xỉ với phản hồi tuyến tính (2.22), và với phản hồi tuyến tính đã sửa chữa (2.23), trừ khi ω ≈ ω02 (rất gần với trường hợp cộng hưởng) là trường hợp khác nhau đáng kể (Hình 2.3(b)). Những phản hồi này ngoài pha 1800 với số hạng cưỡng bức. (ii) Khi ω 2 < ω02 (Hình 2.3(c)), có một phản hồi đơn, ngoài pha 1800 khi F tương đối lớn. Khi F nhỏ hơn có ba phản hồi tuần hoàn phân biệt, hai trong pha và một ngoài pha so với số hạng cưỡng bức. Phản hồi được ghi chữ ’A’ trong Hình 2.3(c) tương ứng với phản hồi (2.22) của phương trình tuyến tính hoá, và với phản hồi tuyến tính đã sửa (2.23). (iii) Toàn bộ ba phản hồi được mô tả ở (ii) sẽ có biên độ nhỏ nếu giao điểm của đường cong z = f (a0 ) với trục a0 (Hình 2.3(c)) gần gốc toạ độ. √ Các giao điểm này là a0 = 0, a0 = ±2 2(1−ω 2 /ω02 )1/2 . Ba giao điểm thực sự đạt được với điều kiện là: F< 4 3 2 2 ω0 (1 − ω 2 /ω02 )3/2 3 Kết quả đó có thể nhận được từ các tính chất của phương trình bậc ba của a0 . Do đó bằng cách chọn ω 2 /ω02 đủ gần 1 (gần cộng hưởng) và F tương ứng nhỏ, các biên độ của cả ba phản hồi có thể được làm nhỏ tuỳ ý. 28 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Hình 2.3: Minh họa phương trình (2.41) (iv) Mặc dù không có tắt dần nhưng vẫn có các dao động ổn định bị chặn cả khi ω = ω0 (không giống với trường hợp tuyến tính). Biên độ tăng vô hạn nếu lực cưỡng bức còn lại sau dao động tự nhiên và tăng cường vào chu trình liên tục. Tuy nhiên, tần số của dao động tự nhiên (phi tuyến) biến đổi theo biên độ nên không còn lại trong bước với số hạng cưỡng bức. (v) Không biết là dao động ổn định có đạt được hoặc gần đạt tới hay không, nếu có thì mô hình này tương ứng với nó còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu của bài toán. (vi) Có hay không một phương thức đặc biệt có thể được duy trì trong thực hành còn phụ thuộc vào tính ổn định của nó. Nếu trong lân cận của biên độ a0 , biên độ cưỡng bức F được yêu cầu duy trì tăng/giảm khi a0 tăng/giảm thì chúng ta có nghiệm ổn định, trong tình huống đó nhiễu nhỏ ngẫu nhiên của biên độ không thể duy trì và khuếch đại. Tuy nhiên nếu F tăng/giảm khi a0 giảm/tăng, thì các điều kiện này làm tăng nhiễu và kết quả là không ổn định. Phân tích sâu hơn có thể chỉ ra các nhánh ổn định và không ổn định 29 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trong Hình 2.3 và 2.4. Hình 2.4: Đường cong biên độ-tần số của con lắc không tắt dần (phương trình (2.40)) Bản chất của các nghiệm trong (2.40) như một hàm số của các tham số ω, ω0 với F đã cho, có thể được thể hiện trên ’lược đồ phản hồi’ đơn trong Hình 2.4. Hình vẽ có thể vẽ trực tiếp bằng việc viết (2.40) dưới dạng ω= 1 {ω02 (1 − a20 ) − F/a0 }. 8 Cho mỗi giá trị F > 0, biên độ nằm trên hai nhánh trơn, một cặp điển hình được chỉ ra trên hình vẽ. F tăng trên chu tuyến cách xa dần so với đường cong F = 0 (là đường cong biên độ tần số của dao động tự do và là một phần của ellip) trên cả hai phía của nó. Chú ý rằng dω 1 = da0 2ω 1 F − a0 ω02 + 2 . 4 a0 30 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Do đó, nếu a0 < 0 (và F > 0), dω/da0 không bao giờ bằng 0, trong khi nếu a0 > 0 (và F > 0), dω/da0 bằng 0 với mọi giá trị của a0 và ω < ω0 như Hình 2.4. Ví dụ 2.2. Nghiên cứu các nghiệm tuần hoàn cưỡng bức của phương trình x + (9 + εβ )x − εx3 = Γ cos τ, ở đó ε là nhỏ và β , Γ không quá lớn. Phương trình đã cho có thể được viết lại như sau x + 9x = Γ cos τ + ε(x3 − β x). Viết x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ..., ở đó x0 (τ), x1 (τ), ... có chu kỳ 2π. Khi đó x0 + 9x0 = Γ cos τ, x1 + 9x1 = x03 − β x0 , ... Phương trình đầu tiên có nghiệm 2π-tuần hoàn dạng 1 x0 (τ) = a0 cos 3τ + b0 sin 3τ + Γ cos τ. 8 Khi thay thế vào phương trình xác định x1 , các số hạng trong cos 3τ, sin 3τ xuất hiện ở mặt bên phải, ngăn chặn các nghiệm tuần hoàn trừ khi các hệ số của chúng bằng 0. Cách đơn giản nhất để thực hiện phép thế bằng cách viết x0 (τ) = A0 e3iτ + A0 e−3iτ + 1 1 iτ Γe + Γe−iτ , 16 16 ở đó A0 = 12 a0 − 12 ib0 . Ta thấy được x03 − β x0 = Γ3 6Γ2 + A0 + 3A20 A0 − β A0 e3iτ + liên hợp đầy đủ 3 2 16 16 +Các hàm điều hoà khác. 31 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Do đó, ta cần A0 6Γ2 3A0 A0 − β + 2 16 Γ3 = − 3. 16 Điều đó cho thấy rằng A0 là số thực, b0 = 0, A0 = 21 a0 và phương trình đối với a0 là 1 3 2 6Γ2 a0 a −β + 2 2 4 0 16 Γ3 + 3 = 0. 16 2.6. Phương trình biên độ cho con lắc tắt dần Phương trình biên độ (2.37) chuyển qua các tham số của phương trình (2.24) bởi (2.25), (2.26) và (2.27), trở thành 1 r02 k2 ω 2 + ω 2 − ω02 + ω02 r02 8 2 = F2 (2.42) Chỉ các nghiệm với r0 > 0 là hợp lý (quan sát phương trình (2.36)). Giải phương trình bậc hai đối với ω 2 cho bởi (2.42) ta có ω2 = 1 1 2ω02 1 − r02 − k2 ± 2 8 1 k4 − 4ω02 k2 1 − r02 + 4F 2 /r02 8 . Phản hồi điển hình trình bày trong Hình 2.5 với các giá trị cố định của k và ω0 , và chọn các giá trị của F > 0, k được chọn khá nhỏ để có thể so sánh với trường hợp không tắt dần được trình bày trong Hình 2.4. Hình tương tự với Hình 2.4 với một vài sự khác biệt quan trọng. Không còn hai nhánh cách biệt tương ứng với mỗi giá trị của F: Các nhánh gặp nhau và tạo thành các đường cong liên tục. Trong lân cận gần của ω = ω0 , r0 = 0 các đường cong không quay lên trên: tức là F có giá trị nhỏ nhất trước khi nó có thể có ba phản hồi cưỡng bức luân phiên. Các phản hồi với F nhỏ đại diện cho phản hồi xấp xỉ tuyến tính, như có thể quan sát từ (2.35). 32 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Hình 2.5: Đường cong biên độ (r0 )−tần số (ω) đối với con lắc tắt dần (phương trình (2.42)) 2.7. Lò xo mềm và lò xo cứng Ta đã quan tâm tới phương trình có dạng x¨ + kx˙ + cx + εx3 = F cos ωt Phương trình xuất hiện từ một xấp xỉ của phương trình con lắc. Trong trường hợp tổng quát nó được gọi là phương trình Duffing với số hạng cưỡng bức. Bây giờ ta xét x¨ + kx˙ + cx + εg(x) = F cos ωt ở đó k > 0, c > 0 và |ε| (2.43) 1. Nó được xem như phương trình của chuyển động cưỡng bức với giảm dần của một hạt trên lò xo, lò xo cung cấp một lực phục hồi, lực này gần như nhưng không hẳn tuyến tính. Đó là mô hình Vật lý hữu ích vì nó cho ta hy vọng rằng các đặc điểm của chuyển động tuyến 33 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh tính sẽ bảo tồn tới một chừng mực nào đó, chẳng hạn, nếu k = 0 và F = 0, ta dự đoán rằng các nghiệm với biên độ đủ nhỏ sẽ là dao động, và ảnh hưởng của xung nhỏ sẽ khiến dao động ổn định tới 0. Các lớp quan trọng của các trường hợp được biểu diễn bởi ví dụ g(x) = x3 với ε > 0 và ε < 0. Lực đàn hồi (đối xứng) tương ứng được minh hoạ trong Hình 2.6(a) và 2.6(b). Khi ε < 0, lực phục hồi trở nên yếu hơn khi dãn so với lò xo tuyến tính. Lò xo như vậy được gọi là lò xo mềm. Con lắc là mô hình bằng hệ lò xo mềm. Khi ε > 0, lò xo trở nên cứng hơn khi nó dãn và được gọi là lò xo cứng. Hình 2.6: Các hàm lực phục hồi của (a) lò xo mềm, (b) lò xo cứng, (c) trường hợp không đối xứng. Bản chất của lược đồ phản hồi cho dao động cưỡng bức chu kỳ 2π/ω của (2.43) trong trường hợp của lò xo mềm (ε < 0), lò xo tuyến tính (ε = 0) và lò xo rắn (ε > 0) được thể hiện ở Hình 2.7. Có nhiều cách khác nhau trong đó lực phục hồi có thể không đối xứng: Trường hợp quan trọng biểu 34 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh 3= Hình 2.7: Đường cong biên độ - tần số cho phương trình Duffing x+k ¨ x+cx+εx ˙ F cos ωt, k>0, c>0. diễn trong Hình 2.6(c) ở đó g(x) = −x2 và ε > 0. Lò xo là mềm khi x > 0 và cứng khi x < 0. Bài toán (2.22) cho thấy với dao động tự do (F = 0 trong (2.43)) có tác dụng là để dịch chuyển tâm của dao động đến giá trị dương nhỏ x, như gợi ý từ lược đồ. 2.8. Sự nhiễu biên độ-pha đối với phương trình con lắc Trong Mục 2.4, chúng ta đã dừng lại ở xấp xỉ bậc nhất của nghiệm vì tính phức tạp nảy sinh từ đại số. Phương pháp sau cho phép một xấp xỉ bậc cao hơn để đạt được hiệu quả tốt hơn. 35 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Lại xét họ (2.29): x + x = ε0 (γ cos τ − κx − β x + x3 ). (2.44) Thay vì tìm kiếm như trong Mục 2.4, nghiệm có dạng (a0 + εa1 + ...) cos τ + (b0 + εb1 + ...) sin τ + điều hòa bậc cao hơn. Ta sẽ sắp xếp cho chúng để xuất hiện dạng x(ε, τ) = (r0 + εr1 + ....) cos(τ + α0 + εα1 + ...) + điều hoà bậc cao hơn, (2.45) ở đó α = α0 + εα1 + ... là độ lệch pha giữa phản hồi và số hạng cưỡng bức. Ta muốn α0 là pha của nghiệm sinh và r0 là biên độ của nó. Nó tiện lợi hơn vì sử dụng pha chưa biết α, xuất hiện trong phương trình đó. Do đó, ta thảo luận phương trình thay thế X + X = ε(γ cos(s − α) − κX − β X + X 3 ), (2.46) ở đó ta đặt s = τ + α và X(ε, s) = x(ε, τ) = x(ε, s − α) trong (2.44) và đạo hàm được hiểu là theo biến s. Giả sử rằng với mỗi ε đủ nhỏ X(ε, s) = X0 (s) + εX1 (s) + ... (2.47) α = α0 + εα1 + ... Ta cần nghiệm X(ε, s) có chu kỳ 2π của lực cưỡng bức, nên với mọi s, Xi (s + 2π) = Xi (s), i = 1, 2, ... (2.48) Cuối cùng chúng ta sẽ áp đặt điều kiện bổ sung X (ε, 0) = 0. Đây không phải là một sự hạn chế thực: ta chỉ đơn giản là điều chỉnh gốc thời gian, pha là được. Do đó Xi (0) = 0, i = 0, 1, ... 36 (2.49) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Thế (2.47) vào (2.46), sử dụng chuỗi Tayor cos(s − α) = cos(s − α0 ) + εα1 sin(s − α0 ) + .... Bằng việc nhóm theo luỹ thừa của ε rồi cân bằng các hệ số của chúng ta được X0 + X0 = 0, (2.50a) X1 + X1 = γ cos(s − α0 ) − κX0 − β X0 + X03 (2.50b) X2 + X2 = γα1 sin(s − α0 ) − κX1 − β X1 + 3X02 X1 , ... (2.50c) Nghiệm tuần hoàn của (2.50a) thoả mãn (2.49) là X0 (s) = r0 cos s, r0 > 0 (2.51) ở đó ta chọn r0 > 0 bằng việc điều chỉnh pha α0 sau. Từ (2.50b) 3 1 X1 + X1 = (γ cos α0 − β xr0 + r03 ) cos s + (κr0 + γ sin α0 ) sin s + r03 cos 3s, 4 4 (2.52) vì cos3 s = 34 cos s + 14 cos 3s. Để có nghiệm tuần hoàn số hạng thế tục (trong cos s và sin s) phải triệt tiêu, vì vậy 3 β r0 − r03 = γ cos α0 4 (2.53a) κr0 = −γ sin α0 . (2.53b) Bằng cách bình phương và cộng vào ta lại thu được phương trình (2.37): r02 3 κ + β − r02 4 2 2 = γ 2. (2.54) Khi đó α0 sẽ thu được từ (2.53). Ta chỉ xét với − 12 π ≤ α0 ≤ 12 π α0 = − sin−1 (κr0 /γ). Phương trình (2.52) trở thành 1 X1 + X1 = r03 cos 3s. 4 37 (2.55) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh có nghiệm 1 3 r cos 3s, r1 > 0 32 0 thoả mãn (2.48) và (2.49). Thế (2.56) vào (2.50c): X1 (s) = r1 cos s − (2.56) 9 3 5 X2 + X2 = − γα1 sin α0 − β r1 + r02 r1 − r cos s + (γα1 cos α0 + κr1 ) sin s 4 128 0 3 3 1 3 3 5 + r02 r1 − r05 + β r03 cos 3s − κr03 sin 3s − r sin 5s, 4 64 32 32 128 0 (2.57) vì cos2 s cos 3s = 14 cos s + 21 cos 3s + 14 cos 5s. Tính tuần hoàn đòi hỏi các hệ số của cos s và sin s phải bằng 0, điều đó dẫn tới kết quả r1 = 3 5 9 2 r / r − β + κ tan α0 , 128 0 4 0 κr05 3 α1 = − 128 γ cos α0 9 2 r − β + κ tan α0 . 4 0 (2.58a) (2.58b) Nghiệm phương trình (2.44) là x(ε, τ) = (r0 + εr1 ) cos(τ + α0 + εα1 ) − εr02 cos 3(τ + α0 ) + O(ε 2 ). (2.59) 2.9. Nghiệm tuần hoàn của phương trình autonom (phương pháp Lindstedt) Xét dao động của phương trình autonom kiểu con lắc (một dạng của phương trình Duffing) d2x + x − εx3 = 0. 2 dt (2.60) Với lò xo mềm ε > 0 và lò xo cứng ε < 0. Giả thiết rằng ω = 1 + εω1 + ..., (2.61) x(ε,t) = x0 (t) + εx1 (t) + .... (2.62) 38 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Chúng ta thế điều này vào (2.60) và tìm kiếm nghiệm có chu kỳ 2π/ω. Sẽ đơn giản hơn về mặt kỹ thuật khi để ω xuất hiện trong phương trình vi phân bằng cách viết ωt = τ. (2.63) ω 2 x + x − εx3 = 0. (2.64) Khi đó (2.60) trở thành Bằng cách thế đó ta đã thay thế phương trình (2.60) chưa biết chu kỳ bởi phương trình (2.64) có chu kỳ đã biết là 2π. Do đó, như trước, với mọi τ xi (τ + 2π) = xi (τ), i = 0, 1, ... (2.65) Phương trình (2.64) trở thành (1 + ε2ω1 + ...)(x0 + εx1 + ...) + (x0 + εx1 + ...) = ε(x0 + εx1 + ...)3 và bằng việc nhóm theo luỹ thừa của ε, đồng nhất hệ số ta được x0 + x0 = 0, (2.66a) x1 + x1 = −2ω1 x0 + x03 , ... (2.66b) Để đơn giản việc tính toán, ta có thể áp đặt điều kiện x(ε, 0) = 0, x (ε, 0) = 0 (2.67) x0 (0) = a0 , x0 (0) = 0, (2.68a) xi (0) = 0, xi (0) = 0, i = 1, 2, ... (2.68b) Điều đó suy ra và Nghiệm của (2.66a) thoả mãn (2.68a) là x0 = a0 cos τ. 39 (2.69) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Phương trình (2.66b) trở thành 3 1 x1 + x1 = (2ω1 a0 + a30 ) cos τ + a30 cos 3τ. 4 4 (2.70) Nghiệm chỉ tuần hoàn nếu như 3 ω1 = − a20 . 8 (2.71) Từ (2.70), (2.71) x1 (τ) = a1 cos τ + b1 sin τ − 1 3 a cos 3τ, 32 0 và (2.68b) suy ra b1 = 0, a1 = Do đó x1 (τ) = 1 3 a . 32 0 1 3 a (cos τ − cos 3τ). 32 0 (2.72) Cuối cùng, từ (2.69) và (2.72) x(ε, τ) ≈ a0 cos τ + 1 3 εa0 (cos τ − cos 3τ) + O(ε 2 ). 32 (2.73) Quay trở lại biến t (phương trình (2.63)) ta có xấp xỉ x(ε, τ) ≈ a0 cos ωt + 1 3 εa (cos ωt − cos 3ωt) 32 0 (2.74a) ở đó 3 ω ≈ 1 − εa20 , 8 cho thấy sự phụ thuộc của tần số vào biên độ. (2.74b) 2.10. Dao động cưỡng bức của phương trình tự kích thích Xét phương trình Van der Pol với số hạng cưỡng bức x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = F cos ωt 40 (2.75) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Phương trình tự do có chu trình giới hạn với bán kính xấp xỉ 2 và chu kỳ xấp xỉ 2π. Chu trình giới hạn được tạo ra bởi việc cân bằng giữa sự mất năng lượng nội tại và sự sinh ra năng lượng, và số hạng cưỡng bức sẽ thay đổi sự cân bằng này. Nếu F là nhỏ (kích thích yếu), tác dụng của nó phụ thuộc vào liệu ω có gần tần số tự nhiên hay không. Nếu gần thì sẽ ra một dao động là nhiễu của chu trình giới hạn. Nếu F không nhỏ (kích thích lớn) hoặc nếu tần số tự nhiên và tần số ấn định không gần nhau thì dao động tự nhiên có thể mất đi vì nó xảy ra với phương trình tuyến tính tương ứng. Đầu tiên, viết ωt = τ (2.76) ω 2 x + εω(x2 − 1)x + x = F cos τ (2.77) thì (2.75) trở thành ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến τ. Kích thích mạnh, xa cộng hưởng Giả thiết rằng ω là không gần với số nguyên. Trong (2.77), giả sử x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ... (2.78) Dãy các phương trình đối với x0 , x1 ,... ω 2 x0 + x0 = F cos τ (2.79a) ω 2 x1 + x1 = −(x02 − 1)x0 (2.79b) x0 (τ), x1 (τ) có chu kỳ 2π. Nghiệm duy nhất của (2.79a) có chu kỳ 2π là x0 (τ) = và do đó x(ε, τ) = F cos τ 1 − ω2 F cos τ + O(ε). 1 − ω2 41 (2.80) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Nghiệm là một nhiễu của phản hồi tuyến tính thông thường và chu trình giới hạn bị lấn át như đã dự kiến. Kích thích yếu, xa cộng hưởng Trường hợp này cũng giống như kích thích mạnh ở trên nhưng với F = εF0 . Tuy nhiên, nghiệm đó thường không ổn định và không có chu trình giới hạn. Kích thích yếu, gần cộng hưởng Với kích thích yếu viết trong (2.77) F = εγ (2.81) ω = 1 + εω1 (2.82) x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ... (2.83) và với gần cộng hưởng Giả sử khai triển: Phương trình (2.80), (2.81) và (2.82) dẫn đến x0 + x0 = 0, (2.84a) x1 + x1 = −2ω1 x0 − (x02 − 1)x0 + γ cos τ, ... (2.84b) Chúng ta đòi hỏi nghiệm có chu kỳ 2π. Phương trình (2.84a) có nghiệm x0 (τ) = a0 cos τ + b0 sin τ. (2.85) Sau một vài thao tác, (2.84b) trở thành 1 x1 + x1 = {γ + 2ω1 a0 − b0 ( r02 − 1)} cos τ 4 1 + {2ω1 b0 + a0 ( r02 − 1)} sin τ 4 + hàm điều hoà cao hơn (2.86) 42 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh ở đó r0 = (a20 + b20 ) > 0. (2.87) Để nghiệm tuần hoàn ta cần 2ω1 a0 − b0 1 2 r − 1 = −γ 4 0 (2.88a) 2ω1 b0 − a0 1 2 r − 1 = 0. 4 0 (2.88b) Bình phương và cộng hai phương trình này ta được r02 4ω12 + 1 2 r −1 4 0 2 = γ2 (2.89) là phương trình xác định biên độ có thể r0 của phản hồi ứng với ω1 và γ đã cho. 2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier Trong các ví dụ ở Mục 2.3 và 2.4, các nghiệm xuất hiện như chuỗi của sin và cosin với các tần số là bội nguyên của tần số cưỡng bức. Chúng xuất hiện khi ta tái tổ chức các số hạng giống như x3 , nhưng bằng cách tác động trực tiếp nhờ sử dụng chuỗi Fourier ta có thể chỉ ra dạng này luôn xảy ra, thậm chí cả khi không có các số hạng đa thức hoặc điều hoà cưỡng bức. Xét phương trình cưỡng bức tổng quát hơn x + Ω2 x = F(τ) − εh(x, x ) (2.90) ở đó ε là tham số nhỏ. Giả sử rằng F là tuần hoàn với biến số thời gian đã lấy tỷ lệ để có chu kỳ 2π; và giá trị trong hình của nó bằng 0 để sao cho có số hạng hằng số bằng 0 trong chuỗi Fourier (có nghĩa là giá trị trung bình theo thời gian của F bằng 0 trên toàn bộ chu kỳ) nên ta có thể khai triển F 43 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh thành chuỗi Fourier ∞ F(τ) = ∑ (An cos nτ + Bn sin nτ) (2.91) n=1 trong đó các hệ số Fourier được cho bởi An = 1 π 2π 0 F(τ) cos nτdτ, Bn = 1 π 2π F(τ) sin nτdτ. 0 Ta cho phép Ω có thể gần với một số nguyên N bằng cách viết Ω2 = N 2 + εβ (2.92) (N=1 trong Mục 2.4). Phương pháp nhiễu đòi hỏi có các nghiệm tuần hoàn được tổng hợp từ các nghiệm tuần hoàn của một vài phương trình tuyến tính thích hợp. Nếu (2.91) có một số hạng bậc N khác 0 thì (2.90) với ε = 0, rõ ràng không là phương trình tuyến tính thích hợp, vì số hạng cưỡng bức có một thành phần bằng với tần số tự nhiên N nên sẽ không có nghiệm tuần hoàn. Tuy nhiên nếu ta viết AN = εA, BN = εB (2.93) thì số hạng trong F gây cộng hưởng sẽ được bỏ đi từ phương trình tuyến tính hoá và ta có thể có một họ nghiệm sinh. Bây giờ sắp xếp lại (2.90), tách số hạng phức tạp trong F bằng cách viết f (τ) = F(τ) − εA cos Nτ − εB sin Nτ = ∑ (An cos nτ + Bn sin nτ). (2.94) n=N Phương trình (2.90) trở thành x + N 2 x = f (τ) + ε−h(x, x ) − β x + A cos Nτ + B sin Nτ (2.95) Phương trình tuyến tính hoá là x + N 2 x = f (τ), không có cộng hưởng. Ta viết như thông thường x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ..., 44 (2.96) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh ở đó x0 , x1 ,... có chu kỳ 2π. Bằng cách khai triển h trong (2.90) theo luỹ thừa của ε ta có h(x, x ) = h(x0 , x0 ) + εh1 (x0 , x0 , x1 , x1 ) + ... (2.97) ở đó h1 có thể tính toán bằng cách thế (2.96) vào (2.97) và (2.95) ta thu được dãy x0 + N 2 x0 = ∑ (An cos nτ + Bn sin nτ) (2.98a) n=N x1 + N 2 x1 = −h(x0 , x0 ) − β x0 + A cos Nτ + B sin Nτ x2 + N 2 x2 = −h1 (x0 , x0 , x1 , x1 ) − β x1 , ... (2.98b) (2.98c) Nghiệm của (2.98a) là x0 (τ) = a0 cos Nτ + b0 sin Nτ + An cos nτ + Bn sin nτ = a0 cos Nτ N 2 − n2 n=N ∑ + b0 sin Nτ + φ (τ) (2.99) với a0 , b0 là các hằng số được xác định như sau: β a0 = − 1 π 2π h(a0 cos Nτ + b0 sin Nτ + φ (τ)), 0 − a0 N sin Nτ + b0 N cos Nτ + φ (τ)) cos Nτdτ + A (2.100a) β b0 = − 1 π 2π 0 h(a0 cos Nτ + b0 sin Nτ + φ (τ)), − a0 N sin Nτ + b0 N cos Nτ + φ (τ)) sin Nτdτ + B. (2.100b) 45 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh BÀI TẬP 2.1 Tìm tất cả các nghiệm tuần hoàn của x¨ + Ω2 x = Γ cost với mọi giá trị của Ω2 . 2.2 Tìm hai điều hoà đầu tiên của nghiệm có chu kỳ 2π của các phương trình dưới đây. (i) x¨ − 0.5x3 + 0.25x = cost; (ii) x¨ − 0.1x3 + 0.6x = cost; 2.3. Tìm một xấp xỉ đầu tiên đối với chu trình giới hạn của phương trình Rayleigh’s 1 x¨ + ε( x˙3 − x) ˙ + x = 0, |ε| 3 1. sử dụng phương pháp của Mục 2.9 2.4. Sử dụng phương pháp của Mục 2.9 với bậc của ε để thu được các nghiệm với chu kỳ 2π và quan hệ biên độ - tần số đối với (i) x¨ − εxx˙ + x = 0; (ii) (1 + ε x) ˙ x¨ + x = 0. 2.5. Phương trình Duffing gần cộng hưởng tại Ω = 3 với kích thích yếu là x¨ + 9x = ε(γ cost − β x + x3 ). Chứng tỏ rằng có các nghiệm 2π - tuần hoàn nếu biên độ của nghiệm có bậc 0 là 0 hoặc 2 (β /3) 2.6. Áp dụng phương pháp Lindstedt, Mục 2.9 đối với phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0, |ε| 1. 1 2 Chứng tỏ rằng tần số của chu trình giới hạn được cho bởi ω = 1− 16 ε + O(ε 3 ). 2.7. Nghiên cứu các nghiệm cưỡng bức tuần hoàn có chu kỳ 23 π đối với phương trình Duffing có dạng x¨ + (1 + εβ )x − εx3 = Γ cos 3t. 2.8. Tìm một vài hàm điều hoà đầu tiên của nghiệm tuần hoàn chu kì 2π 46 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh của x¨ + Ω2 x + εx2 = Γ cost, bằng phương pháp trực tiếp của Mục 2.2. Giải thích sự có mặt của số hạng tự do trong khai triển. 2.9. Dùng phương pháp nhiễu biên độ - pha (Mục 2.8) để xấp xỉ các nghiệm có chu kì 2π của x¨ + x = ε(γ cost − xx˙ − β x). 2.10. Nghiên cứu các nghiệm có chu kì 2π của x¨ + 9x + εx2 = Γ cost bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp của Mục 2.2. Nếu x = x0 + εx1 + ..., chứng tỏ rằng các số hạng thế tục xuất hiện đầu tiên với x2 . 2.11. Cho phương trình con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức 1 x¨ + kx˙ + ω02 x − ω02 x3 = F cos ωt. 6 Chứng tỏ rằng đường cong biên độ - tần số đạt cực đại trên 1 1 ω 2 = ω02 (1 − r02 ) − k2 . 8 2 2.12. Chứng tỏ rằng điều hoà đầu tiên với lực cưỡng bức phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = F cos ωt là giống nhau đối với kích thích yếu và kích thích mạnh xa từ cộng hưởng. 47 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu".Trong khóa luận tốt nghiệp này, em đã trình bày những hiểu biết của mình một cách hệ thống, rõ ràng về việc sử dụng phương pháp nhiễu để nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến. Điều này làm rõ thêm vai trò quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân nói chung và của toán học nói riêng trong các ứng dụng thực tế. Khóa luận đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra. Tuy nhiên, do nội dung nghiên cứu còn khá mới mẻ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế, một phần vì đây là lần đầu tiên thực hiện nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến người thầy Trần Văn Bằng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để em hoàn thành bài khóa luận này. 48 Tài liệu tham khảo [] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970), Phương trình vi phân, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [2] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, Nxb Giáo dục. [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán học cao cấp, Nxb Giáo dục. [] Tài liệu tiếng Anh [5] D. W. Jordan, P. Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press. 49 [...]... cũng giống như phương trình tuyến tính hoá (2.15): Do đó, đặt ε0 = 0 trong (2.13) tương ứng với đặt ε = 0 trong (2.16) Do đó, số hạng chính trong (2.16) là nghiệm tuần hoàn của phương trình tuyến tính hoá (2.15) Từ đây, định hướng cho ta tìm nghiệm của phương trình phi tuyến mà gần với nghiệm 21 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh (hoặc một nhánh nghiệm) của phương trình tuyến tính hoá Phương pháp này sẽ... được phương trình tuyến tính tương ứng với họ (2.14) x + Ω2 x = Γ cos τ (2.15) Nghiệm của (2.14) được xem là hàm số của cả ε và τ, ta vi t là x(ε, τ) 20 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Phi n bản sơ cấp nhất của phương pháp nhiễu là cố gắng biểu diễn nghiệm của (2.14) dưới dạng chuỗi luỹ thừa của ε: x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ε 2 x2 (τ) + , (2.16) với các hệ số xi (τ) là các hàm chỉ của τ Để lập phương. .. gần cộng hưởng của phương trình tuyến tính hoá và vi t Ω2 = 1 + ε0 /β (2.27) x + x = ε0 (γ cos τ − κx − β x + x3 ) (2.28) Phương trình (2.25) trở thành Bây giờ xét họ phương trình x + x = ε(γ cos τ − κx − β x + x3 ) (2.29) với tham số ε, còn γ, κ, β vẫn là các hằng số xác định bởi (2.26) và (2.27) Khi ε = 0, ta được phương trình tuyến tính hoá mới x + x = 0 Phương trình đó có vô số nghiệm với chu... A0 = 21 a0 và phương trình đối với a0 là 1 3 2 6Γ2 a0 a −β + 2 2 4 0 16 Γ3 + 3 = 0 16 2.6 Phương trình biên độ cho con lắc tắt dần Phương trình biên độ (2.37) chuyển qua các tham số của phương trình (2.24) bởi (2.25), (2.26) và (2.27), trở thành 1 r02 k2 ω 2 + ω 2 − ω02 + ω02 r02 8 2 = F2 (2.42) Chỉ các nghiệm với r0 > 0 là hợp lý (quan sát phương trình (2.36)) Giải phương trình bậc hai đối với ω 2... của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì 12 Chương 2 Phương pháp nhiễu Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần hoàn theo thời gian của các phương trình vi. .. dung và dẫn đến vi c xem xét một họ quan trọng của các phương trình phi tuyến được gọi là phương trình Duffing tổng quát Dạng chuẩn của phương trình con lắc là x¨ + kx˙ + ω02 sin x = F cos ωt (2.7) ở đó, x là độ lệch góc so với phương thẳng đứng, k = α/(ma2 ), ở đó m là khối lượng và a là độ dài, α x˙ là mômen của lực ma sát với giá treo; ω02 = g/a; F = M/(ma2 ), ở đó M là biên độ của mômen điều khiển... làm giảm đáng kể tính hữu ích của vi c biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt Hai ví dụ về phương 14 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức... các xấp xỉ của nghiệm tuần hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình autonom Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguyên của một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian Có một số quyền tự do trong vi c gán các hệ số phụ thuộc thời gian, điều này được sử dụng để tạo... hằng số tuỳ ý Thế biểu thức đó vào phương trình (2.32c), yêu cầu rằng x2 (τ) có chu kỳ 2π, sẽ cho ta phương trình xác định a1 , b1 như trước Có thể thấy ai , bi đều được xác định bởi cặp phương trình vi phân tuyến tính 2.5 Phương trình biên độ cho con lắc không tắt dần Giả sử hệ số tắt dần bằng 0; khi đó trong (2.24), (2.25), (2.29) ta có k = K = κ = 0 (2.38) Thay cho vi c tìm r0 trong (2.37), các hệ... các xấp xỉ chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các giá trị của các tham số chính của phương trình Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự Các quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ 13 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh 2.1 Hệ không autonom: Dao động ... "Nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến phương pháp nhiễu" .Trong khóa luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng vi c sử dụng phương pháp nhiễu để nghiên. .. bị Trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp hai, khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom mặt phẳng pha, chu trình giới hạn Chương 2: Trình bày vi c nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân. .. bị 1.1 Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng F(x, y, y , y ) = 0, (1.1) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y (x), y (x) đạo hàm Nếu giải phương trình (1.1)