www.MATHVN.com THTT S Th s c tr c kì thi 405-3/2011 SS 0066 Th i gian làm bài 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Câu I: Cho hàm s : y  x 3  3x 2  9x  3. 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) c a hàm s . 2) Tìm các giá tr c a k đ t n t i hai ti p tuy n v i (C) phân bi t nhau và có cùng h s góc k, đ ng th i đ ng th ng đi qua các ti p đi m c a hai ti p tuy n v i (C) c t các tr c t a đ Ox, Oy t ng ng A và B sao cho OB = 2011.OA. Câu II:  x 3  2y 2  x 2 y  2xy 1) Gi i h ph ng trình:  2 3  2 x  2y  1  3 y  14  x  2. 2) Gi i ph Câu III: 2 ng trình: 23x  3 x  17. 3 Tính tích phân: I   x 3  3x 2  2  2011 dx. 1 Câu IV:   300. Hai m t ph ng Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, c nh BC = a và ABC 0 (SAB) và (SAC) cùng t o v i đáy m t góc 60 . Bi t r ng hình chi u c a đ nh S trên m t đáy thu c c nh BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a. Câu V: x 3 y3 Tính giá tr l n nh t bi u th c P  , trong đó x, y, z là các s d ng th a mãn 2  x  yz  y  zx  z  xy  x  y  1  z. PH N RIÊNG Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a: 1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi t ba chân đ ng cao ng v i các đ nh A, B, C l n l t là A ' 1;1 , B '  2;3 , C '  2; 4  . Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC. 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A 1; 2; 7  , B  4;0; 0  , C  5; 0; 1 và m t c u S : x 2  y2  z 2  2x  4y  7  0. Tìm t a đ đi m M thu c m t c u (S) sao cho th tích t di n MABC l n nh t, nh nh t. Câu VII.a: 2 Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z  3  i , bi t r ng 3z  i  zz  9. B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M  2; 1 và đ ng tròn  C1  : x 2  y 2  9. Vi t ph ng trình đ ng tròn (C2) có bán kính b ng 4 và c t (C1) theo m t dây cung qua M có đ dài nh nh t. www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang1 Th s c tr www.MATHVN.com c kì thi 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t giác ABCD v i A 1; 2;1 , C  2; 4; 1 . Hai đi m B, D x 1 y  2 z   sao cho BD = 4. G i I là giao đi m hai đ ng chéo c a t giác và 1 2 3  2011.SIAD . Tính kho ng cách t đi m D đ n đ ng th ng AC. thu c đ ng th ng bi t r ng SABCD Câu VII.b: Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z, bi t r ng z  2  z  2  6. H H N NG GD D N NG GII II V VÀ À Á ÁPP SS PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Câu I: 1) T gi i 2) k  y '  3x 2  6x  9  3x 2  6x  9  k  0 (*) (C) có hai ti p tuy n phân bi t, cùng h s góc k thì ph ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t    36  4.3.  9  k   0  k  6 Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua hai ti p đi m: 1 1 k  12 k y  x 3  3x 2  9x  3   3x 3  6x 2  9x    3x 2  6x  9   12x    kx  k  12x   x 3 3 3 3 k    k ;0  , B  0;  T a đ giao đi m c a (d) v i Ox, Oy t ng ng l n l t là A    k  12   3 k k  k  6021 Ta có: OB  2011.OA   2011. 3 k  12 V y k = 6021. Câu II:  x 3  2y 2  x 2 y  2xy (1) 1)  2 3  2 x  2y  1  3 y  14  x  2 (2) i u ki n: x 2  2y  1  x 2  2y  VN 0  T (1) suy ra:  x 2  2y   x  y   0   xy V i x = y t (2) ta có ph ng trình: 2 x 2  2x  1  3 x 3  14  x  2 x 3  14   x  2  3  2 x  2x  1  2 3 x 3  14  2  3 x 3   14  x  2    x  2  6x 2  12x  6  2 x 2  2x  1  3    2 x  2x  1 1     x 3  14  2    3 x 3  14  x  2    x  2  0 2   0 2 3 x  14  x  2    x  2    3 x 2  2x  1 2 3 x 3  14  2 3    2 x 2  2x  1  0  x 2  2x  1  0  x  1  2 V y h ph 0 2    ng trình có 2 nghi m: 1  2;1  2 , 1  2;1  2 . 2 2) 23x  3 x  17 (*) i u ki n: x  0 www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang2 www.MATHVN.com Th s c tr c kì thi 1 log8 9  8 xy  9 (1) y Ph ng trình (*)  8x  8y  17 (2) L y (1) tr (2) ta đ c: 8xy  8 x  8 y  8  8xy  8x  8y  8 (3) V i y = 1, (3) th a mãn  x  log 8 9 t x V i y  1 , đ t a  8y  8 Xét hàm s : f  x   a x  8 x , v i a > 8 Ta có: f '  x   a x ln a  8x ln 8  0  f  x  luôn t ng Mà t (3) ta có: f  x   f 1  x  1  y  log8 9  1 (th a mãn) V i y  1 , đ t a  8y  8 Xét hàm s : f  x   a x  8 x , v i a < 8 Ta có: f '  x   a x ln a  8x ln 8  0  f  x  luôn gi m Mà t (3) ta có: f  x   f 1  x  1  y  log8 9  1 (không th a mãn) V y ph ng trình có 2 nghi m: x = 1 ho c x  log8 9. Câu III: I 3  x 3  3x  2  2 2011 dx  1 3   x  1 1 2011 2 .  x  1  3   2011 dx t: t  x  1  dt  dx  x  1  t  2 i bi n:    t2  x 3 I 2 t 2011 .  t 2  3 2011 dt (1) 2 t: u   t  du  dt  t  2  u  2 i bi n:    u  2  t2 2  I     u  2 2011 2 .  u   3   2011 2 du    u 2011.  u 2  3  2011 du (2) 2 T (1) và (2) suy ra: I  I  I  0 V y I = 0. Câu IV: V HI  AB, HK  AC.  AB  HI Ta có:   AB   SHI   AB  SI  AB  SH  là góc t o b i (SAB) và đáy  SIH   600  SIH  là góc t o b i (SAC) và đáy  SKH   600 T ng t : SKH Hai tam giác vuông SHI và SHK b ng nhau  HI  HK  t giác AIHK là hình vuông a 3 a AB  BC.cos B  , AC  BC.sin B  2 2 www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang3 Th s c tr www.MATHVN.com c kì thi  HK HC  AB  BC HK / /AB  HK HI    1 Ta có:  AB AC  HI / /AC  HI  HB  AC BC    3 3 a 2x 2x  1 x  4 a 3 a  SH  HI.tan SIH SABC  3  3  a . 4 3 3   3 1 a 4 2 1 1a 3 a a 3 AB.AC  .  2 2 2 2 8     3  3 a3 1 1 3 3 1 a a 2 3  VS.ABC  SH.SABC  . . 3 3 4 8 32 Câu V: Ta có: x  yz  yz  y  z  1   y  1 z  1 y  zx  zx  x  z  1   x  1 z  1 z  xy  xy  x  y  1   x  1 y  1 z 1  x  y P x 3 y3  x  yz  y  zx  z  xy  2  x 3 y3  z  1  x  1  y  1 2 3 3  x 3 y3  x  y   x  1  y  1 2 3 3 Áp d ng b t đ ng th c Cô – si, ta có: 2 x  y  2 xy   x  y   4xy x 1  x x x2 27 2 3 x  1  33   x  1  2 2 4 4 y y y2 27 2 3  1  33   y  1  y 2 2 4 4 x 3 y3 4 Suy ra: P   27 27 4xy. x 2 . y 2 729 4 4 4 , khi đó: x  y  2, z  5. V y giá tr l n nh t c a P b ng 729 PH N RIÊNG A. Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a: 1) Ta d dàng ch ng minh đ c AA’ là phân giác trong c a tam giác ABC ' c a A 'B'C ' . Mà BC  AA '  BC là phân giác ngoài t i A   A ' B'   3; 2   véct pháp tuy n đ ng th ng A’B’: n A 'B'   2;3  y 1  Ph ng trình đ ng th ng A’B’: 2  x  1  3  y  1  0  2x  3y  5  0   A 'C '  1;3  véct pháp tuy n đ ng th ng A’C’: n A 'C'   3; 1 Ph ng trình đ ng th ng A’C’: 3  x  1   y  1  0  3x  y  2  0 www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang4 www.MATHVN.com Th s c tr ng trình đ ng phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) c a góc A’:  2 3  1  5 2  3  2x  3y  5 3x  y  2    0   x  y  10  10  13 10 13 10  13  13    2x  3y  5   3x  y  2  2  3  x   3  1  y  5  2  0     13 13 10  10  10  13 10  13  Ta th y B và C n m v cùng m t phía đ i v i BC. Thay t a đ B và C l n l t vào (1) và (2) ta th y (1) th a mãn.  2 3   3 1  5 2 V y ph ng trình c nh BC là:      0. x  y 10  10  13 10  13  13 2)   AB   5; 2; 7  , AC   4; 2; 6     Véct pháp tuy n m t ph ng (ABC): n  AB, AC   2;58;18  c kì thi Ph  Ph (1) (2)  ng trình m t ph ng (ABC): 2  x  4   58y  18z  0  x  29y  9z  4  0 M t c u (S) có tâm I 1; 2; 0  , bán kính R  1  4  7  2 3 Ta có: d  I,  ABC    1  29.2  4  63 R2 3 923 1  29 2  9 2  M t ph ng (ABC) c t m t c u (S)  MinVMABC  0 , khi đó t a đ đi m M là đ ng tròn giao tuy n c a m t ph ng (ABC) và m t c u (S) Th tích MABC l n nh t khi M là giao đi m c a đ ng th ng đi qua tâm m t c u (S) vuông góc m t ph ng (ABC) v i m t c u (S).  x  1 t  Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua I và vuông góc (ABC):  y  2  29t  z  9t  T a đ giao đi m c a M c a (d) v i m t c u (S): 12 2 3 2 2 t 2   29t    9t   12  t 2  t 923 923   2 3 58 3 18 3  2 3 58 3 18 3   M1 1  ;2 ; ;2  ;  ho c M 2 1   923 923 923  923 923 923     2 3 58 3  18 3 1  29  2  4   9. 923 923  923 63  d  M1 ,  ABC     2 3 923 923  2 3 58 3  18 3  29  2  4 1   9. 923 923  923 63   2 3 d  M 2 ,  ABC    923 923  d  M1 ,  ABC    d  M 2 ,  ABC    Th tích MABC l n nh t khi M  M1  2 3 58 3 18 3  ;2  ; V y t a đ đi m M đ th tích MABC l n nh t là: M 1  . 923 923 923   Câu VII.a: t z  a  bi  Z  2z  3  i  2a  3   2b  1 i www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang5 Th s c tr www.MATHVN.com S ph c Z đ c kì thi i d ng Z  x  yi c bi u di n d x 3  a    x 2a 3   2    y  2b  1 b  y 1  2 Ta có: 3z  i  zz  9  9a 2   3b  1  a 2  b 2  9  4a 2  4b 2  3b  4  0 2 2 3  y  1  4  0 2 7 3 2   x  3  y 2  y   0 2 2   x  3   y  1  2 2 2 7  73    x  3   y    4  16  V y t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z + 3 – i là các đi m n m bên trong và k c biên c a đ ng 7 73  tròn tâm I  3;   , bán kính R  . 4 4  B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Ta có: x M 2  y M 2  5  9  M n m trong đ ng tròn (C1) Xét các dây cung đi qua M ta th y dây cung vuông góc v i O1M t i M là dây cung có đ dài nh nh t. 2 Khi đó: O1M  5  MA  MB  R12  O1M 2  2  O 2 M  R 22  MA 2  2 3 T a đ tâm (C2) n m trên đ ng th ng OM nên t a đ O2 có d ng: O 2 2t;  t   O2M  2 3   2t  2     t  1 2  2 t  1  5 t 1  2 3    2 t  1  V y ta có hai ph ng trình đ 2 2 2 3   4 3 2 ; 1   O2  2  5    3  O  2  4 3 ; 1  2  2  5 5   ng tròn (C2) th a mãn: 3 5 2 3  5  3  5  2 2   4 3  2 3 4 3  2 3  x  2     y  1    16 ho c  x  2     y  1    16. 5   5  5   5    2)  x  1 t  Ph ng trình đ ng th ng AC:  y  2  2t  z  1  2t  Góc t o b i AC và BD: 1.1  2.2   2  .3 1 5 5  sin   cos    1  4  4. 1  4  9 3 14 3 14 AC  1  4  4  3 www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang6 www.MATHVN.com SABCD  Th s c tr c kì thi 1 1 5 5 10 5 AC.BD.sin   .3.4.  2 2 3 14 14 Ta có: SABCD  2011.SIAD  SIAD  10 5 2011 14 1   1 t  1 t ' t     6 12 3  5 T a đ giao đi m I c a AC và BD:  2  2t  2  2t '    I ; ;  5 5 5  t '  1  1  2t  3t '  5 2 2 2 3  6   12   3   IA   1     2    1    5   5 5  5  SIAD  2S 1 20 5 5 100 5 DH.AI  DH  IAD  .  2 AI 2011 14 3 6033 14 V y kho ng cách t D đ n đ ng th ng AC b ng 100 5 . 6033 14 Câu VII.b: t z  x  yi Ta có: z  2  z  2  6   x  2 2  y2   x  2 2  y2  6  x  2   y 2 , b   x  2   y2 2 2 Ta có: a 2  b 2   x  2   y 2   x  2   y 2  8x   a  b  a  b   8x t: a  2 2 4 x 3  ab 6 2 2 x 2 y2 2  2  2  1 Nh v y ta có h :  4  a  x  3   x  2  y   x  3   3 9 5 3  a  b  3 x x 2 y2  1. V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z là elíp (E):  9 5 Mà: a  b  6  a  b  www.MATHVN.com phamtuan_ khai20062000@yahoo.com Trang7  ... III: I  x  3x   2011 dx  1   x  1 1 2011  x  1  3   2011 dx t: t  x   dt  dx  x  1  t  2 i bi n:    t2  x 3 I t 2011  t  3 2011 dt (1) 2 t: u ... www.MATHVN.com phamtuan_ khai20 062 000@yahoo.com Trang6 www.MATHVN.com SABCD  Th s c tr c kì thi 1 5 10 AC.BD.sin   3.4  2 14 14 Ta có: SABCD  2011. SIAD  SIAD  10 2011 14   1 t  1 t ' t... V VÀ À Á ÁPP SS PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Câu I: 1) T gi i 2) k  y '  3x  6x   3x  6x   k  (*) (C) có hai ti p n phân bi t, h s góc k ph ng trình (*) có nghi m phân bi t    36