Đang tải... (xem toàn văn)
Mặc dầu biến đổi furie đã thành cơ sở chính của biến đổi –nền tảng của xử lí ảnh từ cuối thập kỉ 1950, thêm một sự biến đổi gần đây ,được gọi là biến đổi sóng nhỏ ,đang phát triển nó ,thậm chí dễ dàng hơn để nén ,truyền ,phân tích nhiều hình ảnh .Không giống như biến đổi furie,các đặc trưng cơ bản của nó là các hình sin
Tìm hiểu tóm lược nội dung tài liệu xử lý ảnh số Xử lý ảnh số Mục Lục Nội dung Trang Chương 7: Tổng quan ……………………2 7.1: Nền …… ……………………… 7.1.2:Những hình chóp ảnh …………… 7.1.3:Mã hóa dải ………………… .8 7.1.4: Sự biến đổi sương mù …………….12 7.4: Sự biến đổi sóng nhanh …………….14 7.5: Sự biến đổi sóng nhỏ theo thời gian…21 2/28 Xử lý ảnh số Chương Các sóng nhỏ xử lý đa độ phân giải Tổng quan Mặc dầu biến đổi furie thành sở biến đổi –nền tảng xử lí ảnh từ cuối thập kỉ 1950, thêm biến đổi gần ,được gọi biến đổi sóng nhỏ ,đang phát triển ,thậm chí dễ dàng để nén ,truyền ,phân tích nhiều hình ảnh Khơng giống biến đổi furie,các đặc trưng hình sin ,biến đổi sóng lăn tăn dựa sóng nhỏ ,gọi sóng nhỏ tần số giới hạn thời gian khác Điều cho phép chúng cung cấp điểm nhạc tương đương cho ảnh ,cho thấy không lưu ý (hay tần số ) để chạy vào lúc bật chúng Thường biến đổi furie mặt khác cung cấp ghi hay thông tin tần số ; thông tin thời gian bị xử lý biến đổi Vào năm 1987, sóng nhỏ thấy trở thành sở tác động mạnh tới phương pháp báo hiệu xử lí phân tích gọi thuyết đa độ phân giải (Mallat [1987]) Thuyết đa độ phân giải kết hợp chặt chẽ hợp kĩ thuật từ quy tắc khác ,bao gồm mã hóa phân dải từ xử lý tín hiệu ,sự lọc gương cầu phương từ nhận dạng tiếng nói số ,và xử lý ảnh có hình chóp Trong tên hàm ý, thuyết đa độ phân giải có liên quan với trình bày phân tích tín hiệu (hay ảnh) nhiều độ phân giải Sự kêu gọi phương pháp hiển nhiên- đặc tính mà có lẽ chưa bảo vệ phương pháp dễ dàng để nhận phương pháp khác Mặc dầu cộng đồng tạo ảnh theo phân tích đa độ phân giải hạn chế cuối năm 1980, khó giữ vững với số giấy tờ, luận đề, sách cống hiến cho đề tài Trong chương ,chúng ta khảo sát biến đổi sóng lăn tăn từ quan điểm đa độ phân giải Mặc dầu chúng có mặt cách khác, phương pháp đơn giản hóa tốn học lẫn giải thích vật lý Chúng ta bắt đầu với tổng quan kỹ thuật tạo ảnh mà gây ảnh hưởng trình bày rõ ràng thuyết đa độ phân giải Mục tiêu giới thiệu khái niệm thuyết bên văn cảnh xử lý ảnh đồng thời cung cấp hồ sơ tóm tắt viễn cảnh lịch sử phương pháp ứng dụng Phần chủ yếu chương tập trung vào phát triển đa độ phân giải- dụng cụ tảng cho trình bày xử lý ảnh Để chứng minh hữu dụng công cụ , ví dụ xếp từ mã hóa ảnh đến loại bỏ tạp nhiễu nhận dạng cạnh cung cấp Trong chương tiếp theo, lằn sóng lăn tăn sử dụng cho nén ảnh, ứng dụng mà chúng có nhận ý đáng kể 3/28 Xử lý ảnh số 7.1 Nền Khi quan sát ảnh, nói chung nhìn thấy vùng kết cấu tương tự mức xám nối mà kết hợp với đối tượng lớp Nếu đối tượng nhỏ kích thước hay nhỏ tương phản, bình thường khảo sát chúng độ phân giải cao; chúng lớn kích thước hay cao tương phản, nhìn thơ thứ mà u cầu Nếu đối tượng nhỏ lẫn lớn hay đối tượng tương phản thấp cao có mặt đồng thời, thật ích lợi để nghiên cứu chúng vài phân giải Điều này, tất nhiên, động lực cho xử lý đa độ phân giải Từ quan điểm toán học, ảnh mảng hai chiều giá trị cường độ với việc thay đổi cục số liệu thống kê mà kết từ kết hợp khác đặc tính bất ngờ giống mép tương phản vùng đồng Như minh họa hình 7.1—một ảnh mà khảo sát nhiều lần phần dư mục -thống kê thứ tự chí thay đổi cách đáng kể từ phận ảnh sang ảnh khác Chúng khơng tn theo mơ hình thống kê đơn giản qua tồn ảnh 7.1.1 Những hình chóp ảnh Một tác động mạnh , mà cấu trúc đơn giản dựa khái niệm để đại diện cho ảnh nhiều độ phân giải hình chóp ảnh (Burt Adelson [ 1983]) Bản chính-phát minh cho nhìn ứng dụng nén ảnh máy, ảnh hình chóp tập hợp việc giảm bớt độ phân giải ảnh xếp hình dạng hình chóp Như nhìn thấy hình 7.2 (a),Đáy hình chóp chứa trình bày độ phân giải cao ảnh xử lý; đỉnh chứa xấp xỉ độ phân giải thấp Như bạn chuyên lên hình chóp, hai kích thước độ phân giải giảm bớt Từ mức sở J kích thước J × 2J hay N × N , nơi mà J = log N ,mức trung gian j kích thước j × j nơi mà 0≤j≤J Hồn tồn hình chóp gồm có mức phân giải từ 2J × 2J tới × ,nhưng đa số hình chóp bị chặt cụt tới P+1 mức ,ở j = J − P, , J − 2, J −1, J ≤ P ≤ J Nghĩa ,chúng ta bình thường giới hạn tới P giảm bớt xấp xỉ độ phân giải ảnh nguyên 1×1 hay xấp xỉ điểm đơn ảnh 512 × 512 ,chẳng hạn ,của giá trị nhỏ Tổng số phần tử mức chóp P +1 với P>0 : Hình 7.2(b) cho thấy hệ thống đơn giản cho vẽ hình chóp ảnh Mức j −1 xấp xỉ đầu dùng để tạo hình chóp xấp xỉ Hình 7.2 4/28 Xử lý ảnh số (a) Một cấu trúc ảnh có hình chóp (b) Khối hệ thống sơ đồ tạo Mà chứa đựng nhiều xấp xỉ ảnh nguyên Cả hai ảnh nguyên bản, mà đáy hình chóp, giá trị P giảm xấp xỉ độ phân giải truy nhậpvàthaotáctrựctiếp.Dự đốn số dư mức jđược hiển thị hình 7.2 ( b) Được dùng để xây dựng cho số dư dự đốn hình chóp Những hình chóp chứa đựng xấp xỉ độ phân giải-thấp ảnh nguyên mức J - P Và Thông tin cho việc xây dựng xấp xỉ độ phân giải - cao P mức khác Thông tin mức j khác mức xấp xỉ j hình chóp xấp xỉ tương ứng ước lượng xấp xỉ dựa vào số dư mức J dự đốn Sự khác mã hóa- lưu giữ truyền- hiệu xấp xỉ Như sơ đồ khối hình 7.2 ( b) gợi ý, Sự xấp xỉ dự đốn dư hình chóp tính tốn kiểu cách lặp lặp lại Một mức hình chóp P + xây dựng việc thực thao tác sơ đồ khối P lần Trong thời gian lặp lặp lại hay chuyển qua đầu tiên, j = - J 2J × 2J ảnh áp dụng mức J nhập vào ảnh Cái đưa xấp xỉ mức J - kết mức J dự đoán dư Cho chuyển qua j = J - 1, J 2, , J - P + (theo thứ tự đó), lặp lặp lại trước mức j - đầu xấp xỉ sử dụng đầu vào Mỗi chuyển qua bao gồm ba bước tuần tự: Tính toán xấp xỉ độ phân giải giảm ảnh đầu vào Điều làm việc lọc đầu vào lấy mẫu xuống ( thí dụ, lấy mẫu) kết lọc hệ số Các thao tác lọc đa dạng sử dụng, bao gồm lấy trung bình khu lân cận, mà đưa hình chóp trung gian , lọc tần thấp Gauxơ (xem mục 4.2.4), mà đưa 5/28 Xử lý ảnh số hình chóp Gauxơ, hay khơng lọc dẫn đến hình chóp lấy mẫu Chất lượng xấp xỉ tạo ra, gán cho mức xấp xỉ j - hình 7.2(b),là chức lọc chọn.Khơng có lọc, sai số lấy mẫu trở nên rõ thấy mức hình chóp, điểm lấy mẫu khơng thể tốt vùng từ chúng lấy Lấy mẫu lên đầu lại bước trước hệ số 2- Và lọc kết Cái tạo ảnh dự đoán với độ phân giải đầu vào Bằng việc chèn thêm cường độ điểm đầu bước 1,cái lọc phép nội suy xác định đắn dự đoán xấp xỉ đầu vào tới bước Nếu lọc phép nội suy bị bỏ sót, dự đốn phiên lấy mẫu lên đầu bước hiệu ứng trở ngại tái tạo điểm trở nên rõ ràng Tính tốn khác dự đoán bước đầu vào tới bước Sự khác này, gán cho mức j Số dư dự đốn, sử dụng sau để xây dựng lại nấc ảnh nguyên bản(xem Ví dụ 7.1) Theo thiếu sai số lượng tử hóa, hình chóp dư dự đốn thường phát sinh tương ứng hình chóp xấp xỉ, bao gồm ảnh ngun bản, khơng có lỗi Thực thủ tục P lần đưa hai mật thiết Liên quan Mức xấp xỉ P + 1và hình chóp dư dự đốn Mức j - xấp xỉ đầu sử dụng để hình chóp xấp xỉ; mức j dự đoán dư đầu đầu đặt hình chóp dư dự đốn Nếu hình chóp dư dự đốn khơng cần ,các bước ,cùng với lấy mẫu lên , phép lọc nội suy ,và cộng hình 7.2 ( b)có thể bị bỏ sót Hình 7.3 cho thấy xấp xỉ số dư dự đốn hình chóp cho trường hợp hình 7.1 Hình chóp xấp xỉ hình 7.3 (a) Một hình chóp Gauxơ Sự lọc thực miền không gian sử dụng tần thấp x5 Khúc cuộn chủ yếu Gauxơ kiểu miêu tả hình 4.9(c) Mục4.2.4 Như nhìn thấy, Hình chóp kết chứa đựng độ phân giải ảnh gốc 512 x 512 (tại đáy nó) ba xấp xỉ độ phân giải thấp ( Của độ phân giải 256 X 256,128 X 128, 64 x 64) Điều đó, P = hình chóp chặt cụt tới bốn mức-mức 9,8, 7, ngồi mức 1092 (512)+ hay 10 mức Ghi nhớ giảm chi tiết mà có độ phân giải thấp hình chóp Mức (thí dụ, 64 x 64) xấp xỉ thích hợp để định vị bậc trèo cửa sổ, chẳng hạn, cho thân kết tìm kiếm ráy thơm Tổng quan, hình chóp thấp hơn- mức độ phân giải sử dụng để phân tích cấu trúc lớn hay văn cảnh toàn ảnh ; ảnh có độ phân giải cao thích hợp cho phân tích đặc trưng đối tượng riêng biệt Như chiến lược phân tích xác đặc biệt hữu ích nhận dạng Hình 7.3 6/28 Xử lý ảnh số Hai ảnh hình chóp thống kê chúng : (a) Một hình chóp (xấp xỉ ) Gauxơ (b) Một Laplacian (số dư dự đốn )hình chóp Hình chóp Laplacian hình 7.3 ( b) chứa số dư dự đốn cần để tính tốn Gauxơ 7.3 (a) Để xây dựng hình chóp Gauxơ ,chúng ta bắt đầu với mức hình chóp Laplacian 64 X 64 ảnh xấp xỉ,dự đốn mức hình chóp Gauxơ 128 X 128 xấp xỉ độ phân giải ( lấy mẫu lên lọc), thêm mức Laplacian số dư dự đoán Quá trình sử dụng lặp lại liên tiếp tính tốn ảnh xấp xỉ ảnh gốc 512 X 512 tạo Ghi nhớ đầu tiên- thống kê thứ tự dự đoán số dư mơ tả hình chóp Laplacian cao có đỉnh gần điểm thấp Không giống Gauxơ chúng, ảnh nàyđược nén việc gán bit tới giá trị cao ( xem mã độ dài biến đổi mục 8.1.1) Cuối cùng, ghi nhớ số dư dự đốn hình 7.3 ( b) Được chia tỉ lệ để làm cho dự đoán độ sai lệch nhỏ xác định ; biểu đồ dư dự đoán, nhiên, dựa sở số dư chia tỉ lệ trước, với mức 128 tương ứng với sai số điểm thấp 7.1.2 Mã hóa dải 7/28 Xử lý ảnh số Kỹ thuật tạo ảnh quan trọng khác với liên kết tới phân tích đa độ phân giải mã hóa dải Trong mã hóa dải con, ảnh phân hủy vào tập hợp thành phần hạn chế , gọi dải, mà ráp lại để xây dựng lại ảnh ngun khơng có lỗi Trước phát triển cho tiếng nói ảnh nén , dải tạo lọc thông dải đầu vào Từ dải thông kết dải nhỏ ảnh gốc, dải lấy mẫu xuống mà khơng có mát thơng tin Xây dựng lại ảnh gốc hồn thành lấy mẫu lên , lọc, tổng dải riêng lẻ Hình 7.4 (a) Cho thấy thành phần thiết yếu mã hóa dải có hai dải hệ thống giải mã Đầu vào hệ thống chiều,dải bị giới hạn riêng rẽ -tín hiệu thời gian x (n) cho n = 0, 1, 2, ; chuỗi đầu ra, thành lập qua phân tích x (n) vào y0(n) y1(n) qua phân tích lọc h0(n) h1(n), kết hợp qua tổng hợp lọc g0(n) g1(n).Ghi nhớ lọc h0 (n) h1 (n) lọc nửa dải số lý tưởng chuyển đặc trưng, Ho H1, hiển thị hình 7.4 ( b) Lọc H0 lọc tần thấp mà đầu xấp xỉ x(n); lọc H1 lọc tần cao mà có đầu phần tần số cao hay chi tiết x (n) Tất lọc thực miền thời gian cách chập lọc nhập vào với đáp lại xung lực nó-sự đáp lại tới biên độ đơn vị hàm ẩn, δ(n) Chúng ta muốn chọn h1 (n), h0 (n), g0(n) g1(n) (hay, xen kẽ, Ho , H1 G0 Và G1)Vì điều đầu vào xây dựng lại hồn hảo Điều đó, Vì Hình 7.4 (a) Một dãy lọc hai dải cho mã hóa dải chiều giải mã (b) Phạm vi chia phần thuộc tính Z - Sự biến đổi, khái quát biến đổi Fourier 8/28 Xử lý ảnh số riêng biệt công cụ lý tưởng để nghiên cứu thời gian riêng biệt , lấy mẫu- hệ thống liệu giống hình 7.4 (a) Z - Sự biến đổi chuỗi x(n)cho n=0, 1, Ở z biến phức [Nếu e ω thay cho z, ví dụ (7.1-1) thành biến đổi Fourier riêng biệt x (n)] Sự quan tâm Z - Những thân biến đổi từ dễ dàng mà xử lý lấy mẫu đánh giá thay đổi Lấy mẫu xuống hệ số miền thời gian tương ứng tới thao tác miền Z đơn giản Nơi mũi tên đôi mà biểu thức bên trái phải hình thành cặp biến đổi Z Trong cách tương tự, lấy mẫu lên lần hệ số xác định cặp biến đổi: Nếu chuỗi x(n) lấy mẫu xuống lấy mẫu lên sau để sinh i(n), ví dụ (7.1-2) Và (7.1-3) kết hợp để sinh : Ở chuỗi kết lấy mẫu lên lấy mẫu xuống Thuật ngữ X (- z) phương trình Z - biến đổi biệt hiệu hay phiên vận dụng chuỗi x (n) Sự biến đổi Z đảo ngược là: Với lời giới thiệu ngắn gọn tới biến đổi Z cho lần mã hóa dải hệ thống giải mã hình 7.4 ( a) Theo ví dụ (7.1-4), chúdujcta biểu thị đầu hệ thống Ở đây,cho thấy đầu lọc h0 (n) hình 7.4(a)được xác định cặp biến đổi : Như với biến đổi Fourier, khúc cuộn thời gian (hay không gian) 9/28 Xử lý ảnh số Miền tương đương tới nhân miền z Những thuật ngữ xếp lại ví dụ (7.1-6),khi có: thành phần thứ 2- tác dụng thực tế mà chứa phụ thuộc - z đại diện cho đặt biệt danh mà giới thiệu trình xử lý lấy mẫu lên ,lấy mẫu xuống Cho xây dựng lại khơng lỗi đầu vào, đó, áp đặt điều kiện sau : Do Phương trình (7.1-9) loại trừ đặt biệt danh việc bắt buộc thuật ngữ thứ hai ví dụ (7.1-8) tới 0; ví dụ (7.1-10) Loại trừ biến dạng biên độ việc giảm bớt thuật ngữ tới X (z) Cả hai sáp nhập vào biểu thức ma trận đơn: ma trận điều biến phân tích : Giả định khơng đơn lẻ (thí dụ ,nó có bên trái chung nghịch đảo bên phải ) đổi chỗ ví dụ (7.1-11) bên trái nhân lên nghịch đảo để có: Ở biểu thị xác định Phương trình (7.1-9) đến (7.1-13) bộc lộ vài đặc tính quan trọng riêng biệt dãy lọc xây dựng lại hồn hảo Ma trân ví dụ (7.1-13) ,ví dụ nói hàm ,trong hàm Các lọc phân tích tổng hợp vận dụng qua Lờ trì hỗn, giả sử cho a= 2, lấy biến đổi nghịch đảo Z ví dụ (7.1-13), Ví dụ, Chúng ta có: 10/28 Xử lý ảnh số 7.4 Sự biến đổi sóng nhanh Biến đổi sóng nhanh thực có hiệu phép biến đổi sóng rời rạc (DWT) mà khai thác mối liên hệ hệ số DWT phạm vi kề Phép biến đổi gọi thuật toán herringbone Mallat (Mallat [1989a,b]) ,biến đổi sóng nhanh (FWT)giống dải lược đồ mã hóa dải phần 7.1.2 Xem lại phương trình làm mịn nhiều độ phân giải: Chia tỷ lệ x /2 ,biến đổi theo hệ số k cho m=2k+n được: Lưu ý vecto co giãn hφ,có thể coi “quyền số ” sử dụng để mở rộng tổng tỷ lệ j+1 hàm co giãn Trình tự hoạt động tương tự -bắt đầu với công thức (7.2-28)— đưa kết tương tự cho là: Nơi vecto co giãn hφ(n) công thức (7.4-2) thay sóng hΨ(n) cơng thức (7.4-3) Bây xem xét ví dụ(7.3-5) (7.3-6) phần 7.2.2 Chúng định nghĩa biến đổi sóng rời rạc Thay ví dụ (7.2-19)-phương trình định nghĩa sóng vào ví dụ (7.3-6) có: Sau thay bên phải cơng thức (7.4-3) trở thành : Sự hốn đổi tổng thuật ngữ số nguyên xếp lại số hạng sau được: 15/28 Xử lý ảnh số số đặt dấu ngoặc đơn đồng công thứ (7.3-5) với Để xem kết ,thay công thức (7.2-10) vào công thức (7.3-5) cho jo j+1.Cho nên viết : Và lưu ý hệ số chi tiết DWT với tỉ lệ j hàm hệ số xấp xỉ DWT với tỉ lệ j+1 Nhận công thức (7.4-2)và (7.3-5) điểm bắt đầu đạo hàm tương tự gồm hệ số xấp xỉ DWT ,chúng ta tìm thấy tương tự là: Các phương trình (7.4-7)và (7.4-8) bộc lộ mối liên hệ đáng ý hệ số DWT tỉ lệ gần kề So sánh kết với công thức (7.1-7),chúng ta thấy ,tỉ lệ xấp xỉ j hệ số chi tiết tính cách chập ,các hệ số tỉ lệ j+1 với tỉ lệ thời gian đảo ngược ,và vecto sóng hφ(-n)và hΨ(-n) mẫu kết Hình 7.15 giảm thao tác tới mẫu biểu đồ khối Lưu ý giống với phần phân tích dải lược đồ mã hóa dải convà hệ thống giải mã hình 7.4 với Cho nên viết : Và phép cuộn ước tính với n=2k cho k≥0.Sự ước tính cuộn khơng âm ,ngay tương đương để lọc lấy mẫu xuống Để kết luận khai triển FWT ,chúng ta đơn giản nhận xét dãy lọc hình 7.15 lặp để tạo nhiều nấc cấu trúc để tính hệ số DWT với Hình 7.15 dãy phân tích FWT 16/28 Xử lý ảnh số Hay nhiểu tỉ lệ Cho ví dụ ,hình 7.16(a ) tầng dãy lọc để tạo hệ số với tỉ lệ cao biến đổi Lưu ý hệ số tỉ lệ cao lấy để thành mẫu hàm riêng nó.Đó là, nơi mà j với tỉ lệ cao Để phù hợp với phần 7.2.2 f(x) Є Vj, nơi Vj phạm vi không gian mà f(x)thường trú Dãy lọc hình 7.16(a) tách chức gốc vào tần thấp,phần tử xấp xỉ ,mà tương ứng với hệ số tỉ lệ tần cao ,thành phần chi tiết ,tương ứng với hệ số Đây biểu đồ minh họa hình 7.16(b) ,nơi mà phạm vi không gian Vj tách thành không gian sóng nhỏ khơng gian phạm vi Hình ảnh chức ban đầu tách làm nửa dải thành phần Dãy lọc thứ hình 7.16(a) tách hình ảnh khơng gian nửa dải thấp ,thành ¼ dải khơng gian ,, với hệ số DWT tương ứng ,một cách tách biệt Hai tầng dãy lọc hình 7.16 dễ dàng mở rộng tỉ lệ số Dãy lọc thứ ,cho ví dụ ,sẽ hoạt động hệ số thành 2/8 dải không gian ,tách không gian phạm vi Thông thường ,chúng ta chọn mẫu f(x) tận dụng ngân hàng lọc P (hình 7.15) để tạo P- tỉ lệ FWT miền Miền cao (ví dụ J-1) hệ số tính ; miền thấp (ví dụ J - P) tính sau Nếu hàm f(x ) thử tỉ lệ Nyquist ,như trường hợp bình thường ,các mẫu hệ số tỉ lệ xấp xỉ mẫu phân tích sử dụng khởi đầu hệ số tỉ lệ độ phân giải cao nhập vào Trong phát biểu khác ,khơng có sóng nhỏ hay hệ số chi tiết cần thiết phạm vi lấy mẫu Các hàm tỉ lệ độ phân giải cao hoạt động “hàm delta ” ví dụ (7.3-5) (7.3-6) ,cho phép f(n )sử dụng tỉ lệ xấp xỉ j hay hệ số nhập vào đầu dải lọc 17/28 Xử lý ảnh số Để minh họa khái niệm ,hãy xem xét hàm riêng biệt f(n)={ 1,4,-3,0} từ ví dụ 7.8.Như ví dụ ,chúng ta tính lại chuyển đổi tỉ lệ Haar hàm sóng nhỏ Tại điểm ,dù đến đâu ,chúng ta không không sử dụng trực tiếp hàm sở ,như thực thuật DWT ví dụ 7.8,nhưng với tỉ lệ tương ứng vecto sóng nhỏ từ ví dụ 7.5 7.6: Và Đây hàm sử dụng để xây dựng dãy lọc FWT ;chúng cung cấp hệ số lọc Kể từ thuật DWT tính ví dụ 7.8 gồm phần tử ,chúng ta tính tương ứng miền FWT với miền J={0,1} Đó ,J=2 (có mẫu) P=2 (chúng ta làm việc với miền J-1 =2-1=1 J-P=2-2=0 theo thứ tự ).Sự chuyển đổi tính cách dùng tầng dãybộ lọc hình 7.16(a).Hình 7.17 cho thấy dãy kết chập lấy mẫu FWT quy định Lưu ý hàm f(n)chính gần hay tỉ lệ nhập vào dãy lọc cực tả Để tính hệ số xuất cuối nhánh hình hình 7.17,cho ví dụ ,Đầu tiên chập f(n) với hΨ(-n) giải thích phần 4.6.3 Điều đòi hỏi phải lật hàm gốc ,trượt qua khác tính tổng kết hàm Cho dãy {1,4,-3,0} ,kết Ở đó, số hạng thứ tương ứng với số k=2n=0.(trong hình 7.17 gạch giá trị đại diện ,các số âm ,ví dụ n