Ñoà thò 7.5. Ñöôøng ñi Euler vaø ñöôøng ñi Hamilton Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc , K. H. Rosen, ngöôøi dòch: Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät, 1998. Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 1 Môû ñaàu Thaønh phoá Konigsberg thuoäc Phoå (Kaliningrad, Coäng hoaø Nga) ° Baøi toaùn caàu Konigsberg: Coù theå xuaát phaùt töø moät ñòa ñieåm naøo ñoù trong thaønh phoá ñi qua taát caû caùc caàu, moãi caàu khoâng qua nhieàu hôn moät laàn, roài laïi trôû veà ñieåm xuaát phaùt ñöôïc khoâng? ° Nhaø toaùn hoïc Leonhard Euler giaûi baøi toaùn naêm 1736. ° C A D B 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 2 Môû ñaàu C Moâ hình ña ñoà thò cuûa thaønh phoá Konigsberg A D B – Baøi toaùn caàu Konigsberg: Coù toàn taïi chu trình ñôn trong ña ñoà thò chöùa taát caû caùc caïnh? – Ñònh nghóa 1. Chu trình ñôn chöùa taát caû caùc caïnh cuûa ñoà thò G ñöôïc goïi laø chu trình Euler. Ñöôøng ñi Euler trong G laø ñöôøng ñi ñôn chöùa moïi caïnh cuûa G. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 3 Môû ñaàu – Ví duï 1. Ñoà thò naøo coù chu trình Euler? Neáu khoâng, coù ñöôøng ñi Euler khoâng? a b a e d G1 b a b c c d e c d G2 G3 e G1 coù chu trình Euler, ví duï a, e, c, d, e, b, a. ° G vaø G ñeàu khoâng coù chu trình Euler 2 3 ° G coù ñöôøng ñi Euler: a, c, d, e, b, d, a, b 3 ° G khoâng coù ñöôøng ñi Euler. 2 ° 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 4 Môû ñaàu – Ví duï 2. Ñoà thò naøo coù chu trình Euler? Neáu khoâng, coù ñöôøng ñi Euler khoâng? a b a b c d a b g f d c H1 c e d H2 H3 H2 coù chu trình Euler: a, g, c, b, g, e, d, f, a ° H vaø H khoâng coù chu trình Euler 1 3 ° H coù ñöôøng ñi Euler: c, a, b, c, d, b. 3 ° 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 5 Caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chu trình vaø ñöôøng ñi Euler – Ñònh lyù 1. Moät ña ñoà thò lieân thoâng coù chu trình Euler neáu vaø chæ neáu moãi ñænh cuûa noù ñeàu coù baäc chaün. – Giaûi baøi toaùn caàu Konigsberg: ° Ña ñoà thò bieåu dieãn caùc caàu naøy coù 4 ñænh baäc leû neân khoâng toàn taïi chu trình Euler. ° Khoâng coù caùch naøo ñeå moät ngöôøi coù theå xuaát phaùt töø moät ñòa ñieåm naøo ñoù trong thaønh phoá ñi qua taát caû caùc caàu, moãi caàu khoâng qua nhieàu hôn moät laàn, roài laïi trôû veà ñieåm xuaát phaùt. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 6 Caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chu trình vaø ñöôøng ñi Euler – Ví duï. a b c d c d f e e G 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler H 7 Caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chu trình vaø ñöôøng ñi Euler • • • • • • • • • • • • • • • Thuaät toaùn 1. Xaây döïng chu trình Euler procedure Euler(G: ña ñoà thò lieân thoâng vôùi taát caû caùc ñænh baäc chaün) chu_trình := chu trình trong G baét ñaàu taïi moät ñænh ñöôïc choïn tuyø yù vaø caùc caïnh ñöôïc theâm vaøo ñeå xaây döïng ñöôøng ñi qua caùc ñænh vaø cuoái cuøng quay laïi ñænh naøy. H := G vôùi caùc caïnh cuûa G sau khi boû ñi chu_trình while H coøn caùc caïnh begin chu_trình_con := chu trình trong H baét ñaàu taïi ñænh trong H cuõng laø ñænh ñaàu muùt cuûa moät caïnh thuoäc chu_trình. H := H vôùi caùc caïnh cuûa chu_trình_con, vaø taát caû caùc ñænh coâ laäp bò loaïi boû. chu_trình := chu_trình vôùi chu_trình_con ñöôïc cheøn vaøo taïi moät ñænh thích hôïp end 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 8 Caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chu trình vaø ñöôøng ñi Euler – Ñònh lyù 2. Moät ña ñoà thò lieân thoâng coù ñöôøng ñi Euler nhöng khoâng coù chu trình Euler neáu vaø chæ neáu noù coù ñuùng hai ñænh baäc leû. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 9 Caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chu trình vaø ñöôøng ñi Euler – Ví duï 4. Ñoà thò naøo coù ñöôøng ñi Euler? a b a g f a e f d c G1 b c d G2 b c g e d G3 G1 coù ñuùng hai ñænh baäc leû laø b vaø d, do ñoù coù ñöôøng ñi Euler nhaän b vaø d laø ñieåm ñaàu muùt, d, a, b, c, d, b. ° G coù ñuùng hai ñænh baäc leû laø b vaø d, do ñoù coù ñöôøng ñi Euler nhaän b vaø d 2 laø ñieåm ñaàu muùt, b, a, g, b, c, g, f, c, d, f, e, d. ° G coù 6 ñænh baäc leû neân khoâng coù ñöôøng ñi Euler. 3 ° 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 10 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton • Ñònh nghóa 2. Ñöôøng ñi x0, x1 ,…, xn − 1 , xn trong ñoà thò G = (V, E) ñöôïc goïi laø ñöôøng ñi Hamilton neáu V = {x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn} vaø xi ≠ xj vôùi 0 ≤ i < j ≤ n. Chu trình x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn , x0 (n > 1) trong ñoà thò G = (V, E) ñöôïc goïi laø chu trình Hamilton neáu x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn laø ñöôøng ñi Hamilton. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 11 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton a – Ví duï 5. Ñoà thò ñôn naøo coù chu trình Hamilton? Neáu khoâng, coù ñöôøng ñi Hamilton khoâng? b c e G1 d a b a b g d c d c e G2 f G3 G1 coù chu trình Hamilton a, b, c, d, e, a. ° G khoâng coù chu trình Hamilton vì baát cöù chu trình naøo chöùa moïi ñænh cuõng 2 phaûi chöùa caïnh {a, b} hai laàn, nhöng G2 coù ñöôøng ñi Hamilton: a, b, c, d. ° G khoâng coù chu trình Hamilton, khoâng coù ñöôøng ñi Hamilton, vì baát kyø 3 ñöôøng ñi naøo chöùa moïi ñænh cuõng phaûi chöùa moät trong caùc caïnh {a,b}, {c,d}, {e,f} quaù moät laàn. ° 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 12 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton – Ví duï 6. G vaø H ñeàu khoâng coù chu trình Hamilton. a d e a d c b c b G e H G khoâng coù chu trình Hamilton, vì coù ñænh baäc 1 (ñænh e). ° Caùc ñænh a, b, d, e coù baäc laø 2 neân moïi caïnh lieân thuoäc vôùi chuùng phaûi thuoäc chu trình Hamilton naøo ñoù. Khoâng toàn taïi chu trình Hamilton trong H vì neáu ngöôïc laïi thì chu trình ñoù phaûi chöùa caû 4 caïnh lieân thuoäc vôùi c, ñaây laø ñieàu khoâng theå. ° 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 13 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton – Ñònh lyù 3. Giaû söû G laø moät ñôn ñoà thò lieân thoâng vôùi n ñænh trong ñoù n ≥ 3, khi ñoù G coù chu trình Hamilton neáu baäc cuûa moãi ñænh ít nhaát baèng n/2. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 14 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton – Ví duï 8. Vò trí cuûa kim chæ thò xoay troøn coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng soá. ° Chia ñöôøng troøn thaønh 2 n cung, moãi cung öùng vôùi moät saâu nhò phaân chieàu daøi n. ° Bieåu dieãn soá cuûa vò trí cuûa kim chæ thò ñöôïc xaùc ñònh baèng n choå tieáp xuùc; moãi tieáp xuùc töông öùng vôùi moät bit. 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 15 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton – Ví duï 8. (tieáp theo) ° Coù theå laàm laãn khi kim ôû ranh cuûa cung, vì vò trí töông ñoái cuûa caùc cung vôùi nhau thöôøng khoâng chính xaùc! 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 16 Ñöôøng ñi vaø chu trình Hamilton – Ví duï 8. (tieáp theo) Maõ Gray ° Maõ Gray laø caùch gaùn nhaõn cho caùc cung cuûa ñöôøng troøn sao cho caùc cung keà nhau ñöôïc gaùn baèng caùc xaâu khaùc nhau ñuùng moät bit. ° Giaûi: – Moâ hình baøi toaùn baèng khoái n chieàu Qn , – Tìm chu trình Hamilton trong Qn . 111 110 100 101 011 010 000 10/01/15 001 7.5. Ñöôøng ñi Euler 17 10/01/15 7.5. Ñöôøng ñi Euler 18 [...].. .Đường đi và chu trình Hamilton • Đònh nghóa 2 Đường đi x0, x1 ,…, xn − 1 , xn trong đồ thò G = (V, E) được gọi là đường đi Hamilton nếu V = {x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn} và xi ≠ xj với 0 ≤ i < j ≤ n Chu trình x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn , x0 (n > 1) trong đồ thò G = (V, E) được gọi là chu trình Hamilton nếu x0 , x1 ,…, xn − 1 , xn là đường đi Hamilton 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 11 Đường đi và chu trình Hamilton. .. với c, đây là đi u không thể ° 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 13 Đường đi và chu trình Hamilton – Đònh lý 3 Giả sử G là một đơn đồ thò liên thông với n đỉnh trong đó n ≥ 3, khi đó G có chu trình Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng n/2 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 14 Đường đi và chu trình Hamilton – Ví dụ 8 Vò trí của kim chỉ thò xoay tròn có thể được biểu diễn dưới dạng số ° Chia đường tròn thành... đơn nào có chu trình Hamilton? Nếu không, có đường đi Hamilton không? b c e G1 d a b a b g d c d c e G2 f G3 G1 có chu trình Hamilton a, b, c, d, e, a ° G không có chu trình Hamilton vì bất cứ chu trình nào chứa mọi đỉnh cũng 2 phải chứa cạnh {a, b} hai lần, nhưng G2 có đường đi Hamilton: a, b, c, d ° G không có chu trình Hamilton, không có đường đi Hamilton, vì bất kỳ 3 đường đi nào chứa mọi đỉnh... tiếp xúc tương ứng với một bit 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 15 Đường đi và chu trình Hamilton – Ví dụ 8 (tiếp theo) ° Có thể lầm lẫn khi kim ở ranh của cung, vì vò trí tương đối của các cung với nhau thường không chính xác! 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 16 Đường đi và chu trình Hamilton – Ví dụ 8 (tiếp theo) Mã Gray ° Mã Gray là cách gán nhãn cho các cung của đường tròn sao cho các cung kề nhau được gán... {a,b}, {c,d}, {e,f} quá một lần ° 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 12 Đường đi và chu trình Hamilton – Ví dụ 6 G và H đều không có chu trình Hamilton a d e a d c b c b G e H G không có chu trình Hamilton, vì có đỉnh bậc 1 (đỉnh e) ° Các đỉnh a, b, d, e có bậc là 2 nên mọi cạnh liên thuộc với chúng phải thuộc chu trình Hamilton nào đó Không tồn tại chu trình Hamilton trong H vì nếu ngược lại thì chu trình... gán nhãn cho các cung của đường tròn sao cho các cung kề nhau được gán bằng các xâu khác nhau đúng một bit ° Giải: – Mô hình bài toán bằng khối n chiều Qn , – Tìm chu trình Hamilton trong Qn 111 110 100 101 011 010 000 10/01/15 001 7.5 Đường đi Euler 17 10/01/15 7.5 Đường đi Euler 18 ... 7.5 Đường Euler Các đi u kiện cần đủ cho chu trình đường Euler – Ví dụ Đồ thò có đường Euler? a b a g f a e f d c G1 b c d G2 b c g e d G3 G1 có hai đỉnh bậc lẻ b d, có đường Euler nhận b d đi m... lẻ b d, có đường Euler nhận b d đi m đầu mút, b, a, g, b, c, g, f, c, d, f, e, d ° G có đỉnh bậc lẻ nên đường Euler ° 10/01/15 7.5 Đường Euler 10 Đường chu trình Hamilton • Đònh nghóa Đường x0,... chu_trình_con chèn vào đỉnh thích hợp end 10/01/15 7.5 Đường Euler Các đi u kiện cần đủ cho chu trình đường Euler – Đònh lý Một đa đồ thò liên thông có đường Euler chu trình Euler có hai đỉnh