Ñoà thò 7.3. Bieåu dieãn ñoà thò vaø söï ñaúng caáu Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc , K. H. Rosen, ngöôøi dòch: Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät, 1998. Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 1 Bieåu dieãn ñoà thò – Ví duï 1. Duøng danh saùch lieàn keà ñeå moâ taû ñoà thò ñôn: lieät keâ taát caû caùc ñænh lieàn keà vôùi moãi ñænh cuûa ñoà thò. b a c e 10/01/15 d Ñænh a b c d e 7.3. Bieåu dieãn ñoà Ñænh lieàn keà b, c, e a a, d, e c, e a, c, d 2 Bieåu dieãn ñoà thò – Ví duï 2. Bieåu dieãn ñoà thò coù höôùng: lieät keâ taát caû caùc ñænh cuoái cuûa caùc cung xuaát phaùt töø moãi ñænh cuûa ñoà thò. b c a e 10/01/15 d Ñænh ñaàu a b c d e 7.3. Bieåu dieãn ñoà Ñænh cuoái b, c, d, e b, d a, c, e b, c, d 3 Ma traän lieàn keà • • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän: Ma traän lieàn keà. Cho G = (V, E) laø ñoà thò ñôn coù n ñænh, caùc ñænh cuûa G laø v1, v2,…, vn . Ma traän lieàn keà A hay AG cuûa G laø ma traän khoâng-moät (0-1) caáp n × n coù phaàn töû haøng i coät j laø aij baèng ° 1 neáu vi vaø vj lieàn keà nhau, 0 neáu chuùng khoâng ñöôïc noái vôùi nhau. Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh. – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò ñôn laø ñoái xöùng. Ñoà thò ñôn khoâng coù khuyeân neân aii = 0 vôùi i = 1, 2,…, n. ° • 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 4 Ma traän lieàn keà • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän: Ma traän lieàn keà. – Ví duï 3. Caùc ñænh ñöôïc saép xeáp theo thöù töï: a, b, c, d. a 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 c 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà d 5 Ma traän lieàn keà – Ví duï 4. Cho ma traän lieàn keà vôùi thöù töï caùc ñænh laø a, b, c, d. Veõ ñoà thò töông öùng. a 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 d 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà c 6 Ma traän lieàn keà • • Ma traän lieàn keà coù theå duøng ñeå bieåu dieãn ñoà thò voâ höôùng coù khuyeân vaø (hay) coù caïnh boäi. – Khuyeân taïi ñænh ai ñöôïc bieåu dieãn baèng 1 taïi vò trí (i, i) cuûa ma traän lieàn keà. – Khi coù caïnh boäi, phaàn töû ôû vò trí (i, j) cuûa ma traän baèng soá caùc caïnh noái caùc ñænh ai vaø aj . Nhaän xeùt: Taát caû caùc ñoà thò voâ höôùng (ñôn ñoà thò, ña ñoà thò, giaû ñoà thò) ñeàu coù ma traän lieàn keà ñoái xöùng. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 7 Ma traän lieàn keà – Ví duï 5. Duøng ma traän lieàn keà ñeå bieåu dieãn giaû ñoà thò . ° Thöù töï caùc ñænh laø a, b, c, d. a 0 3 0 2 3 0 1 1 0 2 1 1 1 2 2 0 d 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà c 8 Ma traän lieàn keà • • Cho G = (V, E) laø ñoà thò coù höôùng coù n ñænh, caùc ñænh cuûa G laø v1, v2, …, vn . Ma traän lieàn keà A hay AG cuûa G laø ma traän khoâng-moät (0-1) caáp n × n coù phaàn töû haøng i coät j laø aij baèng ° 1 neáu coù caïnh ñi töø vi tôùi vj , 0 trong caùc tröôøng hôïp khaùc. Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh. – Ma traän lieàn keà cuûa ñoà thò coù höôùng khoâng coù tính ñoái xöùng. – Cuõng coù theå duøng ma traän lieàn keà ñeå bieåu dieãn ña ñoà thò coù höôùng. Khi ñoù aij baèng soá caùc cung ñi töø ñænh vi tôùi ñænh vj . ° • 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 9 Ma traän lieân thuoäc • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän lieân thuoäc. Cho G = (V, E) laø ñoà thò voâ höôùng coù n ñænh vaø m caïnh: ° caùc ñænh cuûa G laø v , v ,…, v , 1 2 n ° • Ma traän lieân thuoäc M hay MG cuûa G laø ma traän M = [mij ] trong ñoù mij baèng ° 1 neáu caïnh e noái vôùi ñænh v , j i ° • caùc caïnh cuûa G laø e1, e2,…, em . 0 neáu caïnh ej khoâng noái vôùi ñænh vi . Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn thuoäc cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh vaø caùc caïnh. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 10 Ma traän lieân thuoäc • Ma traän lieân thuoäc – Ví duï 6. Xaùc ñònh ma traän lieân thuoäc. v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 1 0 e2 1 0 0 0 1 10/01/15 e3 0 1 0 1 0 e4 0 1 0 0 1 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 1 0 0 v2 v1 e6 v3 e3 e4 e1 e5 e2 v4 7.3. Bieåu dieãn ñoà v5 11 Ma traän lieân thuoäc – Ví duï 7. Bieåu dieãn caïnh boäi vaø khuyeân baèng ma traän lieân thuoäc. e2 v1 e1 v2 e4 v3 e3 e7 v4 v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 e3 1 1 0 0 0 10/01/15 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 0 0 1 e7 0 1 0 1 0 e8 0 0 0 1 0 e8 7.3. Bieåu dieãn ñoà e6 e5 v5 12 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ñònh nghóa 1. Caùc ñoà thò ñôn G1 = (V1, E1) vaø G2 = (V2, E2) laø ñaúng caáu neáu coù haøm song aùnh f töø V1 leân V2 sao cho caùc ñænh a vaø b laø lieàn keà trong G1 neáu vaø chæ neáu f(a) vaø f(b) laø lieàn keà trong G2 vôùi moïi a vaø b trong V1. Haøm f nhö theá ñöôïc goïi laø moät ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 13 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 8. Caùc ñoà thò G = (V, E) vaø H = (W, F) laø ñaúng caáu u1 u3 u2 G u4 v1 v2 v3 v4 H Ñinh nghóa haøm f nhö sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2 . Haøm f laø 1-1 giöõa V vaø W. Haøm f baûo toaøn quan heä lieàn keà vì: ° trong G caùc ñænh lieàn keà laø u vaø u , u vaø u , u vaø u , u vaø u 1 2 1 3 2 4 3 4 ° moãi caëp f(u ) = v vaø f(u ) = v , f(u ) = v vaø f(u ) = v , f(u ) = v vaø 1 1 2 4 1 1 3 3 2 4 f(u4) = v2 , f(u3) = v3 vaø f(u4) = v2 laø lieàn keà trong H. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 14 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 9. Caùc ñoà thò G vaø H laø khoâng ñaúng caáu. b b c a e G d c a e H d Caû G vaø H ñeàu coù 5 ñænh vaø 6 caïnh. Tuy nhieân H coù ñænh e baäc 1 coøn G thì khoâng coù ñænh naøo baäc 1 caû. Vaäy G vaø H laø khoâng ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 15 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò • Nhaän xeùt: – Soá ñænh, soá caïnh, baäc cuûa ñænh laø caùc baát bieán ñoái vôùi pheùp ñaúng caáu: neáu hai ñoà thò laø ñaúng caáu thì ° chuùng coù cuøng soá ñænh, soá caïnh ° hai ñænh töông öùng nhau trong pheùp ñaúng caáu coù cuøng baäc. – Neáu caùc baát bieán cuûa hai ñoà thò laø khaùc nhau thì chuùng laø khoâng ñaúng caáu. – Tuy nhieân, neáu caùc baát bieán cuûa hai ñoà thò laø nhö nhau thì chöa chaéc raèng chuùng laø ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 16 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 10. Caùc ñoà thò G vaø H coù ñaúng caáu hay khoâng? a b e f g h d s G c t w x z y v H u Xeùt caùc baát bieán: Caû hai ñoà thò ñeàu coù 8 ñænh, 10 caïnh, 4 ñænh baäc 2, vaø 4 ñænh baäc 3. Tuy nhieân G vaø H laø khoâng ñaúng caáu: vì deg(a) = 2 neân a phaûi öùng vôùi moät trong caùc ñænh baäc 2 cuûa H laø t, u, x, y; nhöng caû 4 ñænh naøy ñeàu coù noái vôùi moät ñænh baäc 2 khaùc cuûa H, trong khi a chæ noái vôùi ñænh baäc 3 cuûa G maø thoâi. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 17 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 10. (tieáp theo) Caùch khaùc: G vaø H laø khoâng ñaúng caáu vì caùc ñoà thò con cuûa G vaø H taïo neân töø caùc ñænh baäc 3 vaø caùc caïnh noái chuùng laø khoâng ñaúng caáu. b s f w z h d 10/01/15 v 7.3. Bieåu dieãn ñoà 18 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Duøng ma traän lieàn keà ñeå chöùng toû haøm f laø baûo toàn caùc caïnh: ° Ma traän lieàn keà cuûa G, (vôùi moät thöù töï caùc ñænh) ° Ma traän lieàn keà cuûa H, vôùi haøng vaø coät ñöôïc gaùn nhaõn töông öùng vôùi aûnh qua f cuûa caùc ñænh trong G. ° Neáu caùc ma traän lieàn keà treân gioáng nhau thì G vaø H laø ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 19 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 11. Ñoà thò G vaø H coù ñaúng caáu khoâng? u1 u2 v1 u5 v2 u6 u4 G v3 u3 v5 v6 H v4 Caû hai ñoà thò ñeàu coù 6 ñænh, 7 caïnh, 4 ñænh baäc 2, 2 ñænh baäc 3. ° Ñònh nghóa f nhö sau: f(u1) = v6 , f(u2) = v3 , f(u3) = v4 , f(u4) = v5 , f(u5) = v1 , f(u6) = v2 ° 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 20 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 11. (tieáp theo) ° Caùc ma traän lieàn keà cuûa G vaø H laø u1 u2 AG = u3 u4 u5 u6 ° u1 0 1 0 1 0 0 u2 1 0 1 0 0 1 u3 0 1 0 1 0 0 u4 1 0 1 0 1 0 u5 0 0 0 1 0 1 u6 0 1 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH neân f baûo toàn caùc caïnh. Vaäy f laø moät pheùp ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 21 [...]... của H, trong khi a chỉ nối với đỉnh bậc 3 của G mà thôi 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 17 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G và H là không đẳng cấu vì các đồ thò con của G và H tạo nên từ các đỉnh bậc 3 và các cạnh nối chúng là không đẳng cấu b s f w z h d 10/01/15 v 7.3 Biểu diễn đồ 18 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Dùng ma trận liền kề để chứng tỏ hàm f là bảo tồn các cạnh: °... G và H là không đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 15 Sự đẳng cấu của các đồ thò • Nhận xét: – Số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh là các bất biến đối với phép đẳng cấu: nếu hai đồ thò là đẳng cấu thì ° chúng có cùng số đỉnh, số cạnh ° hai đỉnh tương ứng nhau trong phép đẳng cấu có cùng bậc – Nếu các bất biến của hai đồ thò là khác nhau thì chúng là không đẳng cấu – Tuy nhiên, nếu các bất biến của hai đồ. .. trong G các đỉnh liền kề là u và u , u và u , u và u , u và u 1 2 1 3 2 4 3 4 ° mỗi cặp f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và 1 1 2 4 1 1 3 3 2 4 f(u4) = v2 , f(u3) = v3 và f(u4) = v2 là liền kề trong H 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 14 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 9 Các đồ thò G và H là không đẳng cấu b b c a e G d c a e H d Cả G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh Tuy nhiên H có đỉnh... các bất biến của hai đồ thò là như nhau thì chưa chắc rằng chúng là đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 16 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 10 Các đồ thò G và H có đẳng cấu hay không? a b e f g h d s G c t w x z y v H u Xét các bất biến: Cả hai đồ thò đều có 8 đỉnh, 10 cạnh, 4 đỉnh bậc 2, và 4 đỉnh bậc 3 Tuy nhiên G và H là không đẳng cấu: vì deg(a) = 2 nên a phải ứng với một trong các đỉnh bậc 2 của... cho các đỉnh a và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếu f(a) và f(b) là liền kề trong G2 với mọi a và b trong V1 Hàm f như thế được gọi là một đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 13 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 8 Các đồ thò G = (V, E) và H = (W, F) là đẳng cấu u1 u3 u2 G u4 v1 v2 v3 v4 H Đinh nghóa hàm f như sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2 Hàm f là 1-1 giữa V và W Hàm f bảo... e2 v4 7.3 Biểu diễn đồ v5 11 Ma trận liên thuộc – Ví dụ 7 Biểu diễn cạnh bội và khuyên bằng ma trận liên thuộc e2 v1 e1 v2 e4 v3 e3 e7 v4 v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 e3 1 1 0 0 0 10/01/15 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 0 0 1 e7 0 1 0 1 0 e8 0 0 0 1 0 e8 7.3 Biểu diễn đồ e6 e5 v5 12 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Đònh nghóa 1 Các đồ thò đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là đẳng cấu nếu có... G, (với một thứ tự các đỉnh) ° Ma trận liền kề của H, với hàng và cột được gán nhãn tương ứng với ảnh qua f của các đỉnh trong G ° Nếu các ma trận liền kề trên giống nhau thì G và H là đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 19 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 11 Đồ thò G và H có đẳng cấu không? u1 u2 v1 u5 v2 u6 u4 G v3 u3 v5 v6 H v4 Cả hai đồ thò đều có 6 đỉnh, 7 cạnh, 4 đỉnh bậc 2, 2 đỉnh bậc 3 ° Đònh... 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 20 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 11 (tiếp theo) ° Các ma trận liền kề của G và H là u1 u2 AG = u3 u4 u5 u6 ° u1 0 1 0 1 0 0 u2 1 0 1 0 0 1 u3 0 1 0 1 0 0 u4 1 0 1 0 1 0 u5 0 0 0 1 0 1 u6 0 1 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng cấu 10/01/15... 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 21 ... bất biến hai đồ thò khác chúng không đẳng cấu – Tuy nhiên, bất biến hai đồ thò chưa chúng đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 16 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ 10 Các đồ thò G H có đẳng cấu hay không?... 7.3 Biểu diễn đồ 17 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G H không đẳng cấu đồ thò G H tạo nên từ đỉnh bậc cạnh nối chúng không đẳng cấu b s f w z h d 10/01/15 v 7.3 Biểu diễn đồ. .. Biểu diễn đồ 14 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ Các đồ thò G H không đẳng cấu b b c a e G d c a e H d Cả G H có đỉnh cạnh Tuy nhiên H có đỉnh e bậc G đỉnh bậc Vậy G H không đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu