Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

Thông tin tài liệu

... hiểu lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan Tôi hi vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết đồng điều kỳ dị hy... khoa học, giảng tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao... nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan nhằm xây dựng tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Nguyễn Lê Phương Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 1 5. Đóng góp của đề tài .............................................................................. 2 6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2 CHƯƠNG 1 : NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN .......................................... 4 1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN ............................................................ 4 1.2. THỨ PHÂN TRỌNG TÂM ....................................................................... 8 1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH .................................... 11 1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ..................................................................... 13 1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO ............................................ 15 1.6. KHÔNG GIAN TOPO ............................................................................. 18 1.7. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG ..................... 18 1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH ....................................................................... 20 1.8.1. Các định nghĩa .............................................................................. 20 1.8.2. Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân .............................. 30 1.8.3. Đồng cấu cảm sinh ........................................................................ 34 1.8.4. Đồng điều tương đối ..................................................................... 37 CHƯƠNG 2 : ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ............................................................. 42 2.1. ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ .................................................... 42 2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị......................................................... 42 2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị ............................................................ 44 2.1.3. Nhóm tương đối, dãy khớp dài ..................................................... 52 2.2.TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ PHÂN TRỌNG TÂM….. .......................................................................................................... 61 2.3. ĐỊNH LÝ KHOÉT ................................................................................... 66 CHƯƠNG 3 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ ............................................................................................................. 86 3.1. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG. .................. 86 3.2. ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN. ................................................................ 100 KẾT LUẬN .................................................................................................. 102 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... 103 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Topo đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian topo. Có nhiều định lý về topo như định lý Jordan, định lý bất biến miền được phát biểu đơn giản nhưng việc chứng minh chúng rất phức tạp và thường phải dùng đến topo đại số. Định lý đường cong Jordan được mang tên nhà toán học người Pháp Camille Jordan, người đã đưa ra chứng minh đầu tiên cho định lý này. Định lý được phát biểu có vẻ như hiển nhiên nhưng để có được một chứng minh hoàn chỉnh thì thật sự không dễ chút nào. Trong nhiều thập kỉ chứng minh của Jordan được coi là có thiếu sót và chứng minh đầy đủ đầu tiên là của Oswald Veblen, tuy nhiên điều này gần đây đã bị Thomas C. Hales và những người khác nghi ngờ. Ngày nay đa số những chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ của tô pô đại số. Định lý đã được tổng quát hóa lên những không gian có số chiều cao hơn. Do vậy đề tài này tìm hiểu về lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan. Tôi hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ dị và hy vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục đích nghiên cứu Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị và ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong Jordan, định lý bất biến của miền”. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị. Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số. 2 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức 4.2. Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan. - Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài. - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn. Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Đóng góp của đề tài 1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị. 2. Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng đến topo đại số mới giải quyết được. 6. Cấu trúc của luận văn Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương: Chương 1: Những kiến thức cơ bản Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử, phép biến đổi tự nhiên...và về topo như tính liên thông, liên thông đường, topo thương, phép đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví dụ về không gian topo như quả cầu, mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm topo cổ điển...cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình. 3 Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ dị Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị. Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong Jordan và định lý bất biến của miền. 4 CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình Trong không gian n , cho tập hợp các điểm  p ,..., p  độc lập affine. Tập 0 k hợp tất cả các điểm  x n  x   i pi , i  0,1,  i  1 k k i 0 i 0 được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình. Ta ký hiệu    p0 ,..., pk  , trong đó p0 ,..., pk là các đỉnh của đơn hình  dim  k là chiều của đơn hình  . Nhận xét 1.1.1. Mỗi đơn hình là một tập đóng, compact. Với mọi x    p0 ,..., pk  , do  p ,..., p  độc 0 k lập affine nên x được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng k x   i ( x) p i i 0 Trong đó,   ( x)  1,  ( x)  0,1 với i  0, k k i 0 i i Định nghĩa 1.1.2. Phức đơn hình. Một phức đơn hình là họ hữu hạn K    gồm các đơn hình trong không gian n thỏa tính chất sau (i) Nếu  K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K . (ii) Nếu  ,  K thì hoặc  của  và     hoặc   là một mặt chung 5 Cặp ( K , K ) được gọi là một đa diện. Khi đó, K  sdK được gọi là phân tích đơn hình của đa diện, K  K được gọi là giá của K. Chiều của đa diện ( K , K ) , ký hiệu là dim( K , K ) được định nghĩa như sau dim( K , K )  max dim /   K Đường kính của K ký hiệu là meshK và đường kính này được định nghĩa như sau meshK  max  ( ) /   K Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con. Cho ( K , K ) là một đa diện, L  K . Nếu L cũng là phức đơn hình thì L được gọi là phức đơn hình con của K . Khi đó, ( L, L ) được gọi là đa diện con của đa diện ( K , K ) , với L là giá của L . Nhận xét 1.1.2. Cho K là một phức đơn hình và   L  K . Khi đó, L là phức đơn hình con của K khi và chỉ khi với mọi đơn hình  L , mỗi mặt của  cũng thuộc L . Nhận xét 1.1.3. Với mọi r  0 , ta đặt K r    K dim  r. Khi đó, K r là một phức đơn hình con của K. Nhận xét 1.1.4. Nếu  K , K  là một đa diện thì K 0 là một phức đơn hình con của K và được gọi là tập hợp các đỉnh của đa diện  K , K . Với mỗi đơn hình  K, đặt F ( ) là tập hợp tất cả các mặt của  . Khi đó,  , F ( )  là một đa diện con của  K , K . Định nghĩa 1.1.4. Cho ( K , K ) là một đa diện  K . Hợp của tất cả các mặt thật sự của  ký hiệu là Bd . 6 Định nghĩa 1.1.5. Cho ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,  K được gọi là giá của x , ký hiệu  ( x) , nếu  là đơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x .  ( x) là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng  ( x)    K , x  . Nhận xét 1.1.5. Cho  K với ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,    ( x) khi và chỉ khi x  \  . Nhận xét 1.1.6. Cho  K với ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó, x  khi và chỉ khi  ( x) là một mặt của  . Y liên tục Nhận xét 1.1.7. Với mọi không gian topo Y , ánh xạ f : K  khi và chỉ khi f  :   Y liên tục, với mọi  K Định nghĩa 1.1.6. Cho ( K , K ) là một đa diện. Với mọi đỉnh p K, tập hợp K\   K , p   được gọi là hình sao của p, ký hiệu là Stp. Nhận xét 1.1.8. Stp là một tập mở chứa p và không chứa bất kỳ đỉnh nào khác của đa diện ( K , K ). Định lý 1.1.1. Cho p0 , p1 ,..., pn là các đỉnh của đa diện ( K , K ). Khi đó (i) n i 0 Stpi   khi và chỉ khi  p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K . (ii) Nếu    p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K thì n i 0 Stpi là tập hợp gồm tất cả các điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt. Ta nhận xét rằng nếu  p0 , p1 ,..., pt  là các đỉnh của đa diện K thì với mỗi x K , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x  i 0 i ( x) pi , t trong đó i  0,1, với i  1, t. Ta có i ( x)  0,1 nếu pi  ( x). Khi đó, i ( x) được gọi là tọa độ của x đối với pi . Ngược lại, i ( x)  0 nếu pi  ( x). 7 Hàm số i :   0,1 , với mỗi  K , được gọi là hàm tọa độ trọng tâm của  . Ta có i là hàm liên tục. Nhận xét 1.1.9. Với mọi đỉnh pi của đơn hình trong K, ta có Stpi   x i ( x)  0 . Chứng minh x  Stpi  K \   K , p   , suy ra i x  nếu pi  . Do x  ( x) nên pi  ( x). Giả sử  ( x)  v0 , v1 ,..., vl  , x sẽ được biểu diễn như sau x  0v0  1v1    l vl Mặt khác x  0 ( x) p0  1 ( x) p1    i ( x) pi    t ( x) pt . Do cách biểu diễn là duy nhất nên  j 0,1,..., l sao cho pi  v j . Do đó i ( x)   j . Vì  ( x) là đơn hình có số chiều nhỏ nhất chứa x nên  j  i ( x)  0 hay x x i ( x)  0 . Do đó, Stpi  x i ( x)  0 . Ngược lại, nếu x x i ( x)  0, suy ra i ( x)  0 hay pi  ( x) . Do đó, x  Stpi hay x  ( x)  0  Stp . i i Vậy Stpi   x i ( x)  0. Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân Y liên tục. Hai ánh xạ f , g được gọi là đồng Cho hai ánh xạ f , g : X  luân, ký hiệu f g , nếu tồn tại ánh xạ H : X  I  Y thỏa H ( x,0)  f ( x); H ( x,1)  g ( x), x  X . Khi đó, H được gọi là đồng luân của f đối với g . Định lý 1.1.2. Cho ( K , K ) là một đa diện trong không gian n , Y là không gian topo bất kỳ và f , g là hai ánh xạ liên tục từ Y vào K . Nếu với mỗi 8 y  Y , tồn tại một đơn hình  K thỏa mãn f ( y), g ( y)  thì f và g đồng luân. Chứng minh. Cho H : Y  I   K xác định bởi H ( y, t )  (1  t ) f ( y)  tg ( y) y  Y thì f ( y), g ( y)  , với  là một đơn hình của K nên f ( x), g ( y)  K . Do đó (1  t ) f ( y)  tg ( y)  K , t  I . Do f , g liên tục nên H liên tục. Mặt khác, H ( y,0)  f ( y); H ( y,1)  g ( y), y Y nên f , g đồng luân. Nhận xét 1.1.8. Hai ánh xạ f , g thỏa điều kiện như trên được gọi là hai ánh xạ contigous. 1.2. THỨ PHÂN TRỌNG TÂM Cho một phân tích đơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một phân tích đơn hình K  khác của K , được gọi là thứ phân trọng tâm của K. Định nghĩa 1.2.1. Cho đơn hình    po , p1 ,..., pn  trọng tâm của  là một điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau b  1 n  pi n  1 i 0 Nếu   pi thì trọng tâm của  trùng với chính nó. Xét đa diện ( K , K ) và  là một đơn hình của K. Ta biết rằng ( , F ( )) là một đa diện con của ( K , K ). Ta đặt Sd 1 là tập hợp các đơn hình mà tất cả các đỉnh là trọng tâm của tất cả các mặt của  hay Sd 1 gồm tất cả các đơn hình b , b ,..., b  với  0   1     s là dãy tăng nghiêm 0 ngặt các mặt của  . 1 s 9 Định nghĩa 1.2.2. Cho ( K , K ) là một đa diện. Khi đó, Sd 1K gồm tất cả các đơn hình b , b ,..., b  , trong đó  0   1     s là dãy tăng nghiêm 0 1 s ngặt các mặt của K. Ta thấy rằng mỗi tập b , b ,..., b 0 1  độc lập afine và Sd K là một phức 1 s đơn hình, ( K , Sd 1K ) là một đa diện. Định lý 1.2.1. Cho ( K , K ) là một đa diện có đường kính là  . Khi đó, đường kính của Sd 1K  n . n 1 Chứng minh. Với mọi đơn hình [b , b ,..., b ]  Sd 1K với  0   1     s , 0 1 s ta chứng minh, i, j {0,..., s} thì b  b  i j n  n 1 (1) Nếu i  j, (1) đúng. Nếu i  j, giả sử  i   j , ta đặt  i  [p0 , p1 ,..., pm ] ;  j  [p0 , p1 ,..., pm ,..,pmk ] 1 1 ( p0  p1    pm ) và b  ( p0  p1    pm k ) m  k 1 m 1 Khi đó, b  j i 1 1 ( p0  p1    pm )  ( p0  p1    pm k ) m 1 m  k 1 Do đó: b  b  i  j k 1 ( p0  p1    pm )  ( pm1    pmk ) (m  1)(m  k  1) m  k 1  1  k  ( p  p    p )  ( p    p ) 0 1 m m  1 m  k  m  k  1  m  1 Nên b  b  i Ta lại có j 1  k  ( p  p    p )  ( p    p ) 0 1 m m  1 m  k  m  k  1  m  1 10 k ( p0  p1    pm )  ( pm1    pmk )  m 1  1 1 ( p0  p1    pm )  pm1  ( p0  p1    pm )  pm 2    m 1 m 1   1 ( p0  p1    pm )  pm k m 1 1 1 ( p0  p1    pm )  pm1  ( p0  p1    pm )  pm2 m 1 m 1    1 ( p0  p1    pm )  pm k m 1 ( k lần) mà i  1, k ta có 1 1 1 ( p0  p1    pm )  pmi  ( p0  pmi )    ( pm  pmi ) m 1 m 1 m 1  1 1 ( p0  pmi )    ( pm  pmi ) ( m+1 lần) m 1 m 1  1 1 ( p0  pmi )    ( pm  pmi ) m 1 m 1  1 1 m 1       m 1 m 1 m 1 nên k ( p0  p1    pm )  ( pm1    pm k )  k  m 1 Do đó b  b  i j hay meshSd 1K  k n   m  k 1 n 1 n . n 1 Đặt Sd 0K  K , Sd mK  Sd 1 (Sd m1K ) , với m  1. 11 m  n  Hệ quả 1.2.1. Cho dimK  n, khi đó meshSd K    meshK.  n 1 m 1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH Định nghĩa 1.3.1. Cho ( K , K ), ( L, L ) là hai đa diện trong n . Xét ánh xạ  : ( K , K )  ( L, L ),  được gọi là ánh xạ đơn hình nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:  Với mọi  p0 , p1 ,..., ps  K, các điểm  ( p0 ), ( p1 ),..., ( ps ) là các đỉnh của một đơn hình thuộc L . là ánh xạ afine với mỗi  K , nghĩa là  Ánh xạ     i pi     ( pi ) i s s  i 0 trong đó  s  i 0 i i 0  1 và i  0 với i  1, s. Lưu ý rằng  là ánh xạ afine từng khúc được xác định một cách duy nhất bởi các giá trị trên các đỉnh của K. Do đó, ta thường ký hiệu  : K  L Xét ánh xạ  : K  L với tương ứng tất cả các đỉnh của K đều cho ảnh là một đỉnh của L. Khi đó  là một ánh xạ đơn hình và được gọi là ánh xạ hằng. Hơn nữa, do các hàm tọa độ trọng tâm liên tục nên ánh xạ đơn hình liên tục trên mỗi đơn hình  K và do đó, ánh xạ đơn hình liên tục.  L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ đơn hình Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K   từ ( K , Sd rK ) vào ( L, L ) với r  0 được gọi là một xấp xỉ đơn hình của f nếu f (Stp)  St ( p) với mọi đỉnh p  Sd rK. 12 Định lý 1.3.1. Cho f : K   L là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn tại xấp xỉ đơn hình  : ( K , Sd rK )  ( L, L ) của f với r đủ lớn và mỗi xấp xỉ đơn hình của f đều đồng luân với f . Chứng minh. Cho   0 là số Lebesgue của phủ mở f 1 (Stq) q  ( L, L )0   của K . Dùng thứ phân trọng tâm, r0  0, r  r0 thì meshSd rK  . 2 Suy ra p  ( K , Sd rK )0 , diamStp   . Do đó,  q  ( L, L )0 thỏa mãn Stp  f 1 (Stq) nên f (Stp)  Stq Chọn q   ( p) suy ra f (Stp)  St ( p). Với mọi đơn hình  p0 , p1 ,..., pn   Sd rK n n i 0 i 0   f ( Stpi )  f ( Stpi )  n i 0 St ( pi ) nên ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) là một đơn hình trong L. Cho  : ( K , Sd rK )  ( L, L ) là một xấp xỉ đơn hình của f . Ta chứng minh f ,  đồng luân. Với mọi x  K , giả sử  ( x)   p0 , p1 ,..., pn  trong ( K , Sd rK ), suy ra  ( x)  ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) L n n i 0 i 0 Mặt khác f ( x)  f ( Stpi )  St ( pi ). Do đó, giá của f ( x) nhận ( ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn )) làm mặt, suy ra f ( x),  ( x) cùng thuộc một đơn hình trong L. Vậy f ,  đồng luân Nhận xét 1.3.1. Các xấp xỉ đơn hình của f nói chung không duy nhất mà phụ thuộc vào r và việc chọn  ( p) là đỉnh của L, với mỗi đỉnh p của Sd rK. Với mỗi r cố định, cho hai xấp xỉ đơn hình  , : Sd rK  L. 13 Với mọi x  Sd K , gọi  ( x)   p0 , p1 ,..., pn  là giá của x thì x  n r n n i 0 i 0 f ( x)  f ( Stpi )  f ( Stpi )  n i 0 i 0 Stpi suy ra St ( pi ) Do đó, giá của f ( x) nhận  ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn ) làm mặt. Tương tự, ta có: n n i 0 i 0 f ( x)  f ( Stpi )  f (Stpi )  n i 0 St ( pi ) hay giá của f ( x) nhận  ( p0 ), ( p1 ),..., ( pn ) làm mặt. Do đó, giá của f ( x) chứa  ( x),  ( x) hay  ( x),  ( x) cùng thuộc một đơn hình trong L nên hai ánh xạ  ,  là hai ánh xạ contiguous. 1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù. Một phạm trù P bao gồm:  Một lớp P gồm các vật A, B, C... được gọi là những vật của phạm trù P  Với mỗi cặp vật ( A, B) của phạm trù P cho một tập hợp gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A đến B , ký hiệu  A, B P . Mỗi phần tử của  A, B P được ký hiệu là f .  Với mỗi bộ ba vật ( A, B, C ), với mỗi cặp cấu xạ f   A, B P , g   B, C P , tồn tại gf được gọi là phép hợp thành của hai xạ g , f và gf   A, C P và thỏa mãn các tiên đề sau:  Phép hợp thành có tính chất kết hợp. 14  Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A   A, AP được gọi là cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi f   B, AP , g   B, C P , ta có 1A f  f , g1A  g Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con. Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu  Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù P .  Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của phạm trù P.  Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng nhất của phạm trù P.  Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù C đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm trù P. Một phạm trù con C của phạm trù P được gọi là đầy nếu  A, B C   A, B P , với mỗi cặp A, B trong phạm trù C . Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi đầu, vật tận cùng Mỗi vật A trong phạm trù P được gọi là vật khởi đầu nếu với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A . Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử Cho hai phạm trù P, P  . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm trù P đến phạm P  là một cặp ánh xạ gồm ánh xạ - vật và ánh xạ trù P , ký hiệu H : P  cấu xạ.  Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, một vật của phạm trù P  , ký hiệu là H ( A). 15  Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f   A, B P , một cấu xạ thuộc  H ( A), H ( B)P  , ký hiệu là H ( f ) và thỏa mãn các điều kiện sau:  H (1A )  1H ( A) , với mọi A P .  H ( gf )  H ( g )H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm trù P , nghĩa là A f g gf H(A) B H(f) H (g) H ( gf ) C H(B) H(C) 1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO Mệnh đề 1.5.1. A là tập hợp khác rỗng x, y,... là các phần tử thuộc A .Ta đặt: X   f : A    A hữu hạn, A  A : f ( x)  0, x  A \ A với mọi f , g  X , ta định nghĩa phép cộng trên X như sau f  g  x   f  x   g  x  , x  A Khi đó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel. Chứng minh. Ta chứng minh phép cộng được xác định đúng đắn trên X . Với mọi f , g  X suy ra tồn tại A1 , A2  A; A1 , A2 hữu hạn sao cho f ( x)  0 x  A \ A1 và g ( x)  0 x  A \ A2 Đặt A  A1 A2 suy ra A  A và A hữu hạn. Với mọi x  A \ A, do x  A'  x  A1 nên f ( x)  0 , do x  A2 nên g ( x)  0 . Do đó, f  g  x   f  x   g  x   0 , x  A \ A hay f  g  X . Với mọi f , g , h  X , x  A , ta có 16 ( f  g )  h  ( x)  ( f  g )( x)  h( x)   f ( x)  g ( x)   h( x)  f ( x)   g ( x)  h( x)   f ( x)  ( g  h)( x)   f  ( g  h)  ( x ) hay ( f  g )  h  f  ( g  h) . Vậy phép cộng có tính kết hợp. Đặt 0 X : A   xác định 0 X ( x)  0, x  A . Khi đó, 0 X  X . Với mọi f  X , x  A , ta có ( f  0 X )( x)  f ( x)  0 X ( x)  f ( x) (0 X  f )( x)  0 X ( x)  f ( x)  f ( x) hay f  0 X  0 X  f  f . Vậy 0 X là phần tử đơn vị của X Với mọi  f  X đặt ( f ) : A  xác định ( f )( x)   f ( x) , f  X . Khi đó  f  X . Với mọi x  A , ta có  f  (  f )  ( x)  f ( x)  (  f ) x  f ( x)  f ( x)  0 ( x) ( f )  f  ( x)  ( f )( x)  f ( x)   f ( x)  f ( x)  0 ( x) X X hay f  ( f )  ( f )  f  0 X Vậy mỗi phần tử trong X có phần tử đối. Với mọi f , g  X , x  A, ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  ( g  f )( x) hay phép cộng trong X có tính giao hoán. Vậy X là nhóm Abel. Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do Nhóm Abel X được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi A. 17 Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V  module,   S  R . Khi đó, S được gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S . Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V  module. Nếu S là cơ sở của R thì S là hệ sinh độc lập tuyến tính. Chứng minh. Do mỗi phần tử của R được biểu diễn tuyến tính qua các phần tử của S nên S là hệ sinh. Đặt S   x1 , x2 ,..., xn . Giả sử tồn tại 1 , 2 ,..., n V sao cho 1 x1   2 x2     n xn  0. Mặt khác, 0  0 x1  0 x2    0 xn . Do mỗi phần tử được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất nên 1   2     n  0 Vậy S độc lập tuyến tính. Mệnh đề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, x, y,... là các phần tử thuộc A; V là một vành,  ,  ,... là các phần tử thuộc V . Ta đặt X   f : A  V  A hữu hạn , A  A : f ( x)  0, x  A \ A Với mọi g , f  X , với mọi  V ta định nghĩa phép cộng, phép nhân ngoài trên X như sau : ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x), x  A ( f )( x)   f ( x), x  A Khi đó, X cùng với phép cộng và phép nhân ngoài lập thành một V  Module. Định nghĩa 1.5.2 Module tự do. Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A 18 1.6. KHÔNG GIAN TOPO Không gian topo là một cặp ( X ,T ) , trong đó X là một tập hợp, T là một họ các các tập con của X thỏa mãn (i) T , X T (ii) U1 ,U 2 T  U1  U 2 T (iii) U i  T (i  I )  iI Ui T Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X; họ T được gọi là một topo trên X. Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: a)  và X là những tập mở. b) Giao của hai tập mở là mở. c) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở. 1.7. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG Định nghĩa 1.7.1. Không gian liên thông Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở A và B khác  của X sao cho A  B  , X  A  B . Nói cách khác, không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một tập con thực sự A   vừa đóng vừa mở của X. Ví dụ 1.7.1. là không gian liên thông. Mệnh đề 1.7.1. Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ khi không tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho A  M  , B  M  , A  B  M  , M  A  B . Định lý 1.7.1. Nếu không gian topo X có một tập liên thông trù mật M thì X liên thông. Chứng minh. Chứng minh phản chứng Giả sử X không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở A, B khác  sao cho 19 A  B  , X  A  B . Vì M trù mật trong X, cho nên A  M  , B  M   Ta có : A  B  M  , M  A  B Suy ra M không phải là tập liên thông (theo mệnh đề 1.7.1) Điều này trái với giả thiết. Vậy X liên thông. Hệ quả 1.7.1. Giả sử A là tập liên thông của X, A  B  A . Khi đó B là tập liên thông. Chứng minh. Vì A là tập liên thông trù mật của không gian B, cho nên B liên thông. Nhận xét 1.7.1. Nếu A liên thông thì A cũng liên thông. Định nghĩa 1.7.3. Không gian liên thông đường Cho E là không gian topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ  :[0,1]  E liên tục sao cho  (0)  x,  (1)  y . Ví dụ 1.7.2. là không gian liên thông đường. Chứng minh. Ta xét ánh xạ f :[0,1]  sao cho với mọi x [0,1] thì f(x) = (b – a)x + a, với mọi a, b  R . Nhận thấy f liên tục và f(0) = a, f(1) = b. Suy ra là không gian liên thông đường. Mệnh đề 1.7.2. Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh xạ liên tục là không gian liên thông đường. Chứng minh. Giả sử f : X  Y liên tục, X liên thông đường. Ta đi chứng minh f(X) liên thông đường. Cho u, v  f ( X ) , tồn tại x, y  X sao cho u = f(x) và v = f(y). Vì X liên thông đường nên tồn tại một cung  :[0,1]  X sao cho  (0)  x và  (1)  y . 20 Khi đó f  :[0,1]  f ( X ) là một cung (vì f và  liên tục, do đó f  cũng liên tục) nối u và v, vì u  f ( x)  f ( (0))  ( f  )(0)  v  ( f  )(1) Mệnh đề 1.7.3. Cho E, F là hai không gian liên thông đường. Khi đó E  F cũng là không gian liên thông đường. Nhận xét 1.7.2. Nếu X là không gian liên thông đường thì X là không gian liên thông. Chứng minh. Vì X là liên thông đường nên với mọi a, b  X , tồn tại f :[0,1]  X liên tục sao cho f(0) = a, f(1) = b. Ta có [0,1] là khoảng đóng nên liên thông. Vì f liên tục nên theo mệnh đề 1.7.2 thì ảnh liên tục của một tập liên thông là liên thông nên suy ra f([0,1]) liên thông trong X. Có f(0) = a, f(1) = b suy ra tập liên thông này có chứa hai điểm a và b. Cho nên theo hệ quả 1.7.2 thì X liên thông. Nhận xét 1.7.3. Một không gian liên thông chưa chắc đã liên thông đường. 1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH 1.8.1. Các định nghĩa Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự tuyến tính. Khi đó, mỗi đơn hình  q0 , q1 ,..., qn  có thể được viết duy nhất thành  p , p ,..., p  với ( p 0 1 n 0  p1    pn ) và được gọi là n – đơn hình định hướng. Định nghĩa 1.8.1.1. Với mỗi n  0 , nhóm Abel tự do Cn (K ) sinh bởi các n – đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích n - chiều của K . Rõ ràng, Cn (K )  0 nếu n  dim K . Cn1 (K ) là đồng cấu xác định trên Với mỗi n  1 , toán tử biên  : Cn (K )  n mỗi phần tử sinh bởi công thức  p0 , p1 ,..., pn   (1)i p0 , p1 ,..., pi ,..., pn . i 0 21 Với n  0 , ta định nghĩa  0 : C0 (K )   0 là đồng cấu không. Ta thấy rằng  n  n1  0 . Điều này tương đương với Im  n1  Ker n . Hạt nhân của  n : Cn (K )  Cn1 (K ) được ký hiệu là Z n (K ) và được gọi là nhóm các n – chu trình của K . Ta thấy rằng Z0 (K )  C0 (K ) . Ảnh của  n1 : Cn1 (K )  Cn (K ) được ký hiệu là Bn (K ) và được gọi là nhóm các n – biên và nhóm thương H n (K )  Z n (K ) Bn (K ) được gọi là nhóm đồng đều thứ n của K . Các phần tử của H n (K ) được gọi là các lớp đồng đều, z  Bn (K ) là lớp đồng đều của n – chu trình Z . Hai n – chu trình z, z cùng thuộc một lớp đồng đều được gọi là đồng đều. Điều này xảy ra khi và chỉ khi z  z  Bn (K ) hay tồn tại (n+1) – xích cn 1 mà z  z  n1 (cn1 ) . Lưu ý rằng, H n (K )  0 nếu n  dim K và H n (K )  Z n (K ) nếu n  dim K . Một cách tổng quát, một phức xích là một họ bất kỳ C  (Cn ,  n ) n  1,2,... các nhóm Abel và các nhóm đồng cấu  n : Cn  Cn1 , với C1  0,  0 là đồng cấu không và  n  n1  0, n  0. Khi đó ta được dãy      Cn  Cn1  Cn2   C0  0 n n1 n2 1 0 các nhóm Abel và các đồng cấu, trong đó hợp thành của hai đồng cấu liên tiếp bất kỳ là đồng cấu không. Nhóm H n (C )  Ker n Im  n1 , n  0. Ta có thể xác định với mỗi phức đơn hình K các nhóm đồng đều trên một nhóm Abel bất kỳ hay trường G . Cho G là một nhóm Abel hay một trường cố định, tổng hữu hạn hình thức cn   gi  in với gi  G là một nhóm Abel Cn (K, G) và là không gian vector nếu G là một trường. 22 Ta xác định  n : Cn (K, G)  Cn1 (K, G) như sau, g  G, với mọi n – đơn hình định hướng p0 , p1 ,..., pn , ta được  n  g p0 , p1 ,..., pn   g p0 , p1 ,..., pn    g  p0 , p1 ,..., pn     1 g p0 , p1,..., pn n với quy ước rằng 1 g  g và (1) g   g Sau đó, thác triển  n lên Cn (K, G) bằng cách đặt n  g      g   i n i n n i i Do định nghĩa của các Cn (K, G),  n được xác định đúng đắn. Ta kiểm tra đây là một đồng cấu. Cho u   gi  in , v   gi  in , ta có u  v   ( gi  g1)  in  n (u  v)    n ( gi  g1)  in  nên          g       g   Mà  n (u)    n gi  in ;  n (v)    n gi  in , ta cần chứng minh hay  n  n ( gi  gi)  in n i  n i n  ' i  n i  ( gi  gi)  in     n gi  in   n gi  in    Với mọi  n  p0 , p1 ,..., pn ,  g , g   G  n ( g  g )  n    n ( g  n )   n ( g   n ) Mặt khác, g  G,   n1  p0 , p1 ,..., pn1 thì    n1 g  n1  g p0 , p1 ,..., pn    g  p0 , p1 ,..., pn     1 suy ra n 1 g p0 , p1,..., pn1 23     n 1  n  n1 g  n1   n g p0 , p1 ,..., pn   n   g  p0 , p1 ,..., pn      n  1 g p0 , p1 ,...    nên  n  n1  0 . Vì thế (Cn (K, G),  n ) n  0 là một phức xích các nhóm đồng điều H n (K,G) được gọi là các nhóm đồng điều của K trên G Nếu G là một trường thì H n (K,G) là thương của một không gian vector nên H n (K,G) cũng là một không gian vector trên trường G. Các nhóm đồng điều theo định nghĩa phụ thuộc vào tam giác phân và thứ tự các đỉnh. Ví dụ 1.8.1.1. Cho K là một phức đơn hình liên thông thì H 0 (K, G)  G . Một phức đơn hình liên thông là phức đơn hình thỏa mãn luôn tồn tại đường đi giữa hai điểm bất kỳ. Điều này tương đương với nếu có hai đỉnh bất kỳ p0 , pn , tồn tại dãy 1- đơn hình  1   p0 , p1 ,  2   p1 , p2 ,..,  n   pn1 , pn  nối p0 , pn . Nếu K liên thông, mỗi đỉnh của K đều có thể nối với n i 1 Stp0 Stpi  K , Stp0 , Do Stp0  0, n i 1 Stpi và 1 Stpi mở. Stpi  0, K liên thông nên Stp0 i1 1,2,..., n sao cho Stp0 Xét Stp0 n i 1 i  0,i  i1 p0 bởi n i 1 Stpi  0 hay tồn tại Stpi   1 Stpi , tương tự, tồn tại i2 1,2,..., n \ i1 thỏa  Stp 0 Stpi 1  Stpi   2 nên pi nối được với p0 . 2 Tồn tại i3 1,2,..., n \ i1 , i2  mà p0 nối được với pi . Cuối cùng, 3 in 1,2,..., n \ i1 ,..., in1 mà p0 nối được với pi . Do 1,2,..., n  i1 ,..., in  n nên các pi nối được với p0 . Ngược lại, giả sử các pi , p j nối được với nhau, ta chứng minh K liên thông. 24 x, y  K , 1 , 2  K : x  1; y   2 . Chọn pi là một đỉnh của  1 , pi là 1 0 một đỉnh của  2 . Do pi nối thẳng x, pi nối với pi và pi nối thẳng với y 0 0 1 1 nên x nối được với y . Từ đó suy ra K liên thông. Cố định một đỉnh p0  K, g  G , đặt tương ứng  ( g )  g p0  B0 (K, G)  H 0 (K, G). Đặt g p0  B0 (K, G)  g p0 . Ta kiểm tra đây là một đẳng cấu. g , g   G, ta có  ( g  g )  ( g  g ) p0  B0 (K, G )  ( g p0  g  p0 )  B0 (K, G )  g p0  g  p0  g p0  g  p0   ( g )   ( g ) g , g   G, ta có  ( gg ')  ( gg) p0  g ( g p0 )  gg( p0 )  g ( g) Vậy  là một đồng cấu. Với  T i 0 g mọi i pi  C0 (K, G) B0 (K, G), ta chứng minh rằng gi pi    gi  p0 i 0,1,...,T  , tồn tại các đơn hình  1   p0 , p j  ,..., n   pn1 , pi  (do 1 K liên thông)    g p  ( g ) p , g  G nếu p  p thì   g p , p   g p  ( g ) p , g  G suy ra    g p , p   ( g ) p  ( g ) p nếu p0  p j thì 1 g p0 , p j j1 1 0 1 j1 1 1 j1 j1 0 0 0 0 0 j1 j1 Với mọi g  G, u1  C1 (K, G), thỏa 1 (u1 )  g p j  ( g ) p0 1 u2  C1 (K, G) thỏa 1 (u2 )  g pi  ( g ) p j 2 1 25 … un  C1 (K, G) thỏa 1 (un )  g pi  ( g ) p j n1 Với mọi g  G, u  C1 (K, G) , thỏa 1 (u)  g pi  ( g ) p0 , suy ra u1 ,..., uT  C1 (K, G) thỏa 1 (ui )  gi pi  ( gi ) p0 , i  1,T . T T Suy ra 1 (u1    uT )   gi pi    ( gi )  p0 i 0  i 1  suy ra T T 1 (u1    uT )   gi pi    ( gi )  p0 i 0  i 0  T T   gi pi    gi  p0 i 0  i 0   T g  p   ( g    g ) nên  là toàn ánh. g p    i  0 i i 0 T i 0  i 0  T hay Với mọi g  G mà  ( g )  0 thì g p0  0 . Do đó, g p0  B0 (K, G) , ta chứng minh g  0 . T T Đặt    gi pi    gi .  i 0  i 0 T   gi pi  C0 (K, G) thì  là một đồng cấu nhóm từ C0 (K, G) vào G. i 0   g  G,   1 với mọi  1 là một đơn hình định hướng thì  1 g  1 nên   g j  1j  C1 (K )    g         g        g    0  1 j 1 j 1 1 1 j j j 1 j mà   g p0   g nên g  0. Vậy  là đơn ánh. Do đó,  là một đẳng cấu, suy ra G  H 0 (K, G)   0 26 Bổ đề 1.8.1.1. Cho G, G là các nhóm giao hoán; H , H  lần lượt là các nhóm con của G, G;  : G  G ; là đồng cấu nhóm thỏa  ( H )  H  . Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm  : G H  G H  Hơn nữa, nếu  là đẳng cấu và  ( H )  H  thì  là đẳng cấu và  được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi  . Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh  xác định đúng đắn. g1 , g2  G mà g1  H  g2  H suy ra g1  g2  H nên  ( g1  g2 )  H  . Do  là đồng cấu nên  ( g1  g2 )   ( g1 )   ( g2 )  H  hay  ( g1 )  H    ( g2 )  H  hay  ( g1 )   ( g2 ). g1 , g2  G , ta có  (( g1  H )  ( g 2  H ))   (( g1  g 2 )  H )   ( g1  g 2 )  H    ( g1 )   ( g 2 )  H    ( g1 )  H    ( g 2 )  H    ( g1  H )   ( g 2  H ) Do đó,  là đồng cấu. Nếu  là đẳng cấu và  ( H )  H  thì  1 cũng là đồng cấu và  1 ( H )  H . G H là đồng cấu cảm sinh bởi  1 . Đặt  : G H   Ta chứng minh    idG / H và    idG/ H  . Với mọi g  G,  ( g  H )   ( g )  H  , nên  ( ( g  H ))   ( ( g )  H )   1 ( ( g ))  H  g  H  idG H Với mọi g  H , ( g  H )   1 ( g)  H nên  ( ( g  H ))   ( 1 ( g ' ))  H   g  H   idG/ H  Từ đó, suy ra  là đẳng cấu. 27 Bổ đề 1.8.1.2. Cho X , X  là các không gian vector trên trường G; Y , Y  lần lượt là các không gian vector con của X , X  . Nếu  : X   X  là ánh xạ tuyến tính và  (Y )  Y  thì  : X Y   X  Y x Y  ( x)  Y  cũng là ánh xạ tuyến tính. Nếu  là đẳng cấu và  (Y )  Y  thì  cũng là đẳng cấu. Chứng minh. Theo bổ đề trên, ta chứng minh được  xác định đúng đắn. Ta chứng minh  là một ánh xạ tuyến tính. x, x  X ta có  (( x  Y )  ( x  Y ))   (( x  x)  Y )   ( x  x)  Y     ( x)   ( x)  Y    ( x)  Y    ( x)  Y     ( x  Y )   ( x  Y ) x  X , g  G thì g ( x  Y )  gx  Y nên  ( g ( x  Y ))   ( gx  Y )   ( gx)  Y    g ( x)  Y   g ( ( x)  Y )  g ( x  Y ) Vậy  là ánh xạ tuyến tính. Xét dãy Cn1 (K , G)  n1 n1 Cn1 (K , G) n Cn (K , G) Cn1 (K, G) n1 n  ' n1 Cn (K , G) 'n Cn1 (K , G) Cho g p0 , p1 ,..., pn  Cn (K, G) với p0  p1  ...  pn . 0,1,..., n là một hoán vị mà p  p    p . Cho  :0,1,..., n  0 1 n 28 Ta đặt tương ứng g p0 , p1 ,..., pn với n  g p0 , p1 ,..., pn    1 N ( ) g p0 , p1 ,..., pn trong đó, N ( ) là số nghịch thế của hoán vị  và 1 g  g , (1) g   g. Thác triển n lên toàn Cn (K, G) mà cũng là đồng cấu,   gi  in  Cn (K, G),   in , cho  in là đơn hình định hướng sắp xếp thứ tự lại của  in đối với thứ tự   ' và N i là số nghịch thế tương ứng, suy ra n   gi  in     1 gi  in Ni n   gi  in     1 gi  in Ni n   gi  in   gi  in   n   ( g  g)  in     1 g Ni i  gi   in n   gi  in   n   gi  in     1 gi  in    1 gi  in  Ni Ni     1 gi  in   1 gi  in Ni Ni Với mọi g  G , n  g  gi  in   n   ggi  in     1 ggi  in Ni gn   g    g    1 i n i Ni  gi  in   g  1 g i  in Ni Suy ra n là đồng cấu. Ta kiểm tra sơ đồ trên giao hoán, n  1. Cho g p0 , p1 ,..., pn  Cn (K, G), và pi  pi    pi 0 1 n  n  g p0 , p1 ,..., pn    (1)i g p0 , p1 ,..., pi ,..., pn n i 0  n1  n  p0 , p1 ,..., pn   n1 (1)i g p0 , p1 ,..., pi ,..., pn n i 0 n  g p0 , p1 ,..., pn   (1) N ( ) g p , p ,..., p 0 1 n   29 Với p  p    p ,  0 1 n n  g p0 , p1 ,..., pn    (1)i (1) N ( ) g p0 , p1 ,..., pn . n ' n i 0  i  1, n , đặt j   i , ta chứng minh  n1  (1)i g p0 , p1 ,..., pn   (1)i (1) N ( ) g p0 , p1,..., pn Ta so sánh số các nghịch thế của 0 ,1 ,...,i 1 ,i ,i 1 ,.., n (1.1) và 0 ,1 ,...,i 1 ,i 1 ,.., n với  i  j (1.2) Gọi a là số phần tử trong  0 ,1 ,...,i 1 mà nhỏ hơn j, b là số phần tử trong  i 1 ,.., n  mà nhỏ hơn j . Suy ra số nghịch thế của hoán vị (1.1) hơn số nghịch thế của hoán vị (1.2) là i  a  b , ta có a  b là số các phần tử nhỏ hơn j nên a  b  j , do đó số nghịch thế của hoán vị (1.1) hơn số nghịch thế của hoán vị (1.2) là i  a  j  a  i  j  2a nên n1  (1) j g p0 , p1 ,..., pn   (1) N ( )i  j 2 a (1) j g p , p ,..., p 0 mà 1 n (1)i (1) N ( )  (1) N ( )i  j 2 a (1) j nên n1  (1) j g p0 , p1 ,..., pn   (1)i (1) N ( ) g p0 , p1,..., pn Với mọi u  Zn (K, G)  Cn (K, G), ta có  n (u)  0 nên n1  n (u)   nn (u)  0 hay n (u)  Z n (K ', G) Với mọi u  Bn (K, G)  Cn (K, G),  v  Cn1 (K, G) , sao cho  n1 (v)  u nên n n1 (v)  'n1n1 (v)  n (u)   'n1n1 (v) nên n (u)  Bn (K ', G), n (Z n (K, G))  Z n (K, G). 30 Với mọi v  Z n (K G)  v  Z n (K, G), tồn tại duy nhất v  Cn (K, G) sao cho n (v)  v nên  'nn (v)   'nv  0 mà  'nn (v)  n1 n (v)   n (v)  0 (do các n là song ánh). Suy ra v  Z n (K, G) và n (v)  v nên Zn (K, G)  n (Zn (K, G)) . Do đó, Zn (K, G)  n (Zn (K, G)). Với mọi v  Bn (K, G),  v  Cn1 (K, G) sao cho  ' (v)  v n1 Suy ra, tồn tại duy nhất u  Cn1 (K, G) thỏa n1 (u)  v nên  'n1n1 (u)  n n1 (u)   'n1v  v mà  n1 (u)  Bn (K, G), n ( n1 (u))  v nên v n ( Bn (K, G)). Ta có, Bn (K, G) n ( Bn (K, G)) nên Bn (K, G) n ( Bn (K, G)) . Theo bổ đề 1.8.1.2 ta suy ra H n (K, G)  H n (K, G). 1.8.2. Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân Cho K , L là hai phức đơn hình. Định nghĩa 1.8.2.1 Một họ    n  các đồng cấu  n :Cn (K, G)  Cn (L, G), n  0 Sao cho  n1 n1   n n1 , n  0  n1 Cn (K, G) n Cn (L, G)  n1   1  n 1 n  n1 Cn1 (K, G) n Cn1 (L, G) C0 (K, G) 0 0  n1  1 C0 (L, G) 0 được gọi là một biến đổi xích hay một ánh xạ xích. Sử dụng bổ đề 1.8.1.1, 1.8.1.2 để chứng minh rằng các đồng cấu  n cảm sinh  H n (L, G) các đồng cấu  n : H n (K, G)  Với mọi u  Z n (K, G):  n (u)  0. 31 Với  n (u)  Cn (L, G) : n n (u)   n1 n (u) .  n :Cn (K, G)  Cn1 (K, G) Ký hiệu  n :Cn (L, G)  Cn1 (L, G) suy ra  n n (u)  0 nên  n (u)  Z n (L, G) hay  n (Z n (K, G))  Z n (L, G). Với mọi u  Bn (K, G),  v  Cn1 (K, G) thỏa  n1 (v)  u   n n1 (v)   n (u), nên  n1 n1 (v)   n n1 (v)   n (u) . Do đó,  n (u)  Bn (L, G) hay  n ( Bn (K, G))  Bn (L, G) . Mặt khác, z  Zn (K, G),  n ( z  ( Bn (K, G))   n ( z)  Bn (L, G) , là đồng cấu cảm sinh và được ký hiệu     n . Cho   n  là một biến đổi xích, n :Cn (K, G)  Cn (L, G) và    n  là một biến đổi xích,  n :Cn (L, G)  Cn (H, G). Trong đó K,H,L là các phức đơn hình. Khi đó,  n   nn  là phép biến đổi xích,  nn :Cn (K, G)  Cn (H, G)  n1 Cn (K, G) n n Cn (L, G) … 1 Cn1 (L, G) Cn (H, G) n Cn1 (H, G) C0 (K, G) 0 0 0  n1 … 1  n 1 n  n1  n1 n 1 n  n1 Cn1 (K, G) C0 (L, G) 0 0 0  n1 … 1 C0 (H, G) 0 u  Z n (K, G) : ( )n (u  Bn (K, G))   nn (u)  Bn (H, G) n (u  Bn (K, G))  n (u)  Bn (L, G) Do đó,  n (n (u  Bn (K , G)))   *n (n (u)  Bn (H, G))   nn (u)  Bn (H, G) 0 32 nên ( )n   nn  ( )    và ta quy ước ( )n   nn n  0 Định nghĩa 1.8.2.2. Cho  ,  :C (K, G)  C (L, G) là hai ánh xạ xích. Một đồng luân xích , nối là họ D  Dn  các đồng cấu Dn :Cn (K, G)  Cn1 (L, G) , n  0 thỏa  n  n   n1Dn  Dn1 n , n  1 Ta nói  ,  là các xích đồng luân nếu D tồn tại Cn1 (K, G) Dn 1  n1 , n1 Cn (K, G) Dn Cn1 (L, G)    n , n Cn (L, G)  C0 (K, G) D0 1 0  0 , 0 C0 (L, G)  0 0 Nhận xét rằng, đồng luân xích là quan hệ tương đương. C (L, G) là các ánh xạ xích đồng Ngoài ra, nếu  ,  :C (K, G)  luân và  ,  :C (L, G)  C (P, G) là các ánh xạ xích đồng luân thì   ,   là các ánh xạ xích đồng luân từ C (K, G) vào C (P, G).  H (L, G) là cùng Cho  ,  đồng luân, ta thấy rằng   ,  : H (K, G)  một ánh xạ. Thật vậy, z  Zn (K, G),  n ( z)  n ( z)   n1Dn ( z)  Bn (L, G) nên  n ( z ) đồng điều với n ( z ) . Định lý 1.8.2.1. Ta có C (K ) là ánh xạ đồng nhất trên C (K ) (i)  # Sd : C (K )  C (K) là đồng luân xích với ánh xạ đồng nhất trên (ii) Sd  # : C (K)  C (K ). Chứng minh C (K ) là ánh xạ đồng nhất trên C (K ) (i)  # Sd : C (K )  33 Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp Khi n  0, g  G, Sd  g p0   g p0  # Sd  g p0    #  g p0   g ( p0 )  gp0  g p0 nên (i) đúng . Giả sử (i) đúng với n  1, ta chứng minh (i) đúng với n . Cho g ( n )  Cn (K, G) , tồn tại   :  # Sd  g  n   (1 g   2 g     k g )  n với k  ; 1 ,..., k 1,1   Suy ra  n 1 g   2 g     k g   n    n  # Sd g  n       g     g     #  n Sd g  n   # Sd n n n n nên g  1 g   2 g     k g  .   Suy ra  # Sd g  n  g  n hay (i) đúng n C (K) là đồng luân xích với ánh xạ đồng nhất trên (ii) Sd  # : C (K)  C (K ) . Với mỗi   K ,   có dạng  0 ,...,  t  , trong đó  0     t . Đặt s( )   t , ta thấy rằng s( ) là một đơn hình của K chứa   . Ta sẽ xây dựng theo quy nạp một dãy đồng luân D :Cn (K, G)  Cn1 (K , G) mà giá D( ) của D( ) được chứa trong s( ) với mỗi   . C1 (K , G), với mỗi phần tử gp0 của Ta xác định D : C0 (K, G)  C0 (K , G) , ta có gp0  Sd # ( gp0 )  gp0   # ( gp0 )  gp0  g p0 34 ở đây,  p0 là một đỉnh của s( p0 ). Ta có ( g ( p0 , p0 ))  g p0  g p0 . Đặt D( g p0 )  g ( p0 , p0 ) suy ra D thác triển thành đồng cấu từ C0 (K , G) đến C1 (K , G) . D( gp0 )  g ( p0 , p0 )  gp0  g p0  gp0  Sd # ( gp0' )  id ( gp0 )  Sd  # ( gp0 ). Ta thấy D( gp0 )  s( p0 ), g  G Ci 1 (K , G) được xây dựng với tất cả các Giả sử D : Ci (K, G)  i  n , với D( g )  s( ) , với mỗi  . Với mọi g  G mà g   Ci (K, G), g n  Ci (K, G ) , ta xét cn  g n  Sd # g n  Dg n có giá nằm trong s( n ) . Ta có (cn )  ( g n )  Sd # ( g n )  D( g n )  ( g n )  Sd #( g n )  D( g n )  D( g n )  0 Do đó, tồn tại cn1  Cn1 (K, G) thỏa cn1  cn Đặt D( g n )  cn1 thì D( g n )  cn  g n  Sd # ( g n )  D( g n ) nên D( g n )  D( g n )  g n  Sd # g n và D( g n ) có giá nằm trong s( n ) 1.8.3. Đồng cấu cảm sinh Cho K, L là hai phức đơn hình. Một ánh xạ đơn hình  : K  L cảm sinh  H (L, G) . Ta sẽ xây dựng một đồng cấu một đồng cấu  : H (K m , G)  duy nhất 35 f : H (K, G)   H (L, G) đối với mỗi ánh xạ liên tục f : K  L Bổ đề 1.8.3.1. Cho ánh xạ f : K   L liên tục, hai xấp xỉ đơn hình  : K m  L ,  : K m s  L của f (m, s  0) . Khi đó, các đồng cấu   Sdm ;  Sdms : H (K, G)   H (L, G) trùng nhau. Chứng minh. Xét sơ đồ Sd m  H (K m , G)  H (L, G) H (K, G) Sdm s H (K ( m s ) , G)  K m là ánh xạ đồng nhất, suy ra Khi s  1 , cho  : K ( m s )   : K ( m s )  L  : K ( m s )  L là hai xấp xỉ đơn hình của f . Khi đó f  Stp  f  St p   St   p với mọi p là đỉnh của K ( m s ) nên  là xấp xỉ đơn hình của f . Do đó  ,  contigous nên        hay      nên  Sd s    Sds nên     Sds Do  , là xấp xỉ đơn hình của f nên  ,  là hai ánh xạ contigous nên      L là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa các đại Định nghĩa 1.8.3.1. Cho f : K  diện,  : K m  L là một xấp xỉ đơn hình của f . Khi đó, đồng cấu f : H (K, G)   H (L, G) 36 được ký hiệu Sd*m : H (K, G)   H (L, G) Định lý 1.8.3.1. Cho f g K   L   P . Khi đó, g f  ( gf ) và (id K )  id H (K, G ) .  Chứng minh. Cho  : K s  L( s ) là một P là một xấp xỉ đơn hình của g ,  : K ( m)  xấp xỉ đơn hình của f . Cho  : L( s )  L là ánh xạ giả đồng nhất thì  : K ( m)  L là một xấp xỉ đơn hình của f . Ta có g f   Sds  Sdm   Sdm  ( ) Sdm mà  : K ( m)  P là xấp xỉ đơn hình của gf nên ( gf )  ( ) Sdm  g f 0,1 là hai Bổ đề 1.8.3.2. Cho K là một đa diện. Giả sử  ,  :0,1  ánh xạ liên tục mà    và (id   )  (id   ) : H (P  I )   H (P  I ) . P cảm sinh Khi đó, với mỗi đa điện P , các ánh xạ đồng luân f , g : K  các đồng cấu f  g : H (K, G)   H (P, G) .  I là ánh xạ hằng k ( I )   . Chứng minh. Với mỗi   I , cho k : I   H (P, I ) Ta chỉ ra rằng: (id  k0 )  (id  k1 ) : H (P, I )  Từ    nên   I :  ( )   ( ) . Đặt    ( ),    ( ) Cho  : I   I là hàm xác định bởi  ( )  0,  ( )  1 Ta có id  k0  (id   ) (id   ) (id  k ) id  k1  (id   ) (id   ) (id  k ) nên (id  k0 )  (id   ) (id   ) (id  k ) 37 và (id  k1 )  (id   ) (id   ) (id  k ) Do (id   )  (id   ) nên (id  k0 )  (id  k1 ) . Cho  : f g : P  I   P và j : P   P  I là phép nhúng j ( p)  ( p,0), p  P. Ta có f   (id  k0 ) j; g   (id  k1 ) j , nên f   (id  k0 ) j ; g   (id  k1 ) j mà (id  k0 )  (id  k1 ) nên f   g Vậy f  g Định lý 1.8.3.2. Cho P, K là các đa điện hữu hạn; f , g : P   K là ánh  H (K ) xạ liên tục. Nếu f  g thì f  g : H (P )  Chứng minh. Số các đồng cấu từ H (P, I )   H (P, I ) không quá đếm được  I không quá đếm được nên tồn tại mà các ánh xạ liên tục từ I   ,  : I   I liên tục ,    và (id   )  (id   ) . Từ bổ đề 1.8.3.2 trên, ta được điều cần chứng minh  K đồng phôi thì Định lý 1.8.3.3. Cho P , K là các phức đơn hình, h : P   H (K, G) . ánh xạ sau đẳng cấu h : H (P, G)   P với g  h1 . Chứng minh. Cho g : K  Do g h  idP nên g h  id H (P ,G )  Tương tự cho h g  id H (K ,G ) nên g  h1 . Vậy h là đẳng cấu.   K là một tương Định lý 1.8.3.4. Cho P , K là các phức đơn hình, f : P   H (K ) là một đẳng cấu. đối đồng luân thì f : H (P )  1.8.4 Đồng điều tương đối Cho K là đa diện, L là đa diện con của K . Xét nhóm thương Cn (K ) Cn (L ) Cn1 (K ) Cn1 (L ) xác định bởi và đồng cấu biên  : Cn (K ) Cn (L )  38 (cn  Cn (L ))  (cn )  Cn1 (L ) hay ký hiệu  cn   cn  Ta có , nếu cn , dn  Cn (K ) mà cn  dn  Cn (L ) thì (cn  dn )  Cn1 (L ) , suy ra (cn )  (dn )  Cn1 (L ) hay (cn )  (dn )  Cn1 (L ) hay  cn   dn  . Do đó  xác định đúng đắn. Do  là đồng cấu nhóm nên  là đồng cấu nhóm. Với mọi cn  Cn (K ) Cn (L ),  cn   cn  , nên  cn    cn   cn   0. Ta được nữa dãy khớp sau : Cn (K ) Cn (L )    C0 (K ) C0 (L )  0   Đồng điều của xích phức Cn (K ) Cn (L ),  được ký hiệu là H (K , L ) và gọi là đồng điều của K mod L hay đồng điều của K tương đối với L . Các nhóm H (K , L ) được mô tả, ta đặt c  Cn (K ) c  Cn1 (L ), n  0 được gọi là nhóm n – chu trình của Z n (K,L )   n0 C0 (K ) K mod L Bn (K,L )  Bn (K )  Cn (L ) là nhóm con của Cn (K ) được sinh bởi Bn (K ) và Cn (L ) , được gọi là nhóm n – biên của K mod L . Ta chứng minh nhóm thương Zn (K,L ) Bn (K,L )  H n (K,L ) Khi n  0 , ta chứng minh Z0 (K,L ) B0 (K,L )  H 0 (K,L )  v  C0 (L )  C0 (K ) C0 (L ) , xét tương ứng sau:  : C0 (K ) C0 (L )   Z0 (K,L ) B0 (K,L ) Ta có, nếu v  C0 (L )  v  C0 (L ) thì v  v  C0 (L )   C0 (L )  B0 (K )  nên v  C0 (L )  B0 (K )  v  C0 (L )  B0 (K ) hay  xác định đúng đắn. 39 Hơn nữa,   v  C0 (L )  v  C0 (L )     v  v  C0 (L )   v  v  C0 (L )  B0 (K ) Mà   v  C0 (L )     v  C0 (L )   v  C0 (L )  B0 (K )  v  C0 (L )  B0 (K )  v  v  C0 (L )  B0 (K ) nên   v  C0 (L )  v  C0 (L )     v  C0 (L )     v  C0 (L )  hay  là đồng cấu. Với mọi v  C0 (L )  Ker ta có   v  C0 (L )   C0 (L )  B0 (K ) nên v  C0 (L )  B0 (K )  C0 (L )  B0 (K ) . Do đó, v  C0 (L )  B0 (K ) hay v  v1  u, trong đó, v1  C0 (L ), u  C1 (K ) . Xét u  C1 (L )  C1 (K ) C1 (L ),   u  C1 (L )   u  C0 (L ), nên v  C0 (L )  v1  u  C0 (L )  u  C0 (L )    u  C1 (L )  , suy ra u  C0 (L )  v  C0 (L ) nên v  C0 (L )   u  C1 (L )  hay Ker   u  C1 (L )  Ngược lại, với mọi v  C0 (L )   u  C1 (L )  , tồn tại u  C1 (K )  C1 (K ) / C1 (L ) mà   u  C1 (L )   v  C0 (L ) suy ra u  C0 (L )  v  C0 (L ) nên tồn tại v1  C0 (L ) thỏa v  v1  u Do đó,   v  C0 (L )   v  C0 (L )  B0 (L )  v1  u  C0 (L )  B0 (K )  C0 (L )  B0 (K ), nên v  C0 (L )  Ker hay   C1 (K ) C1 (L )   Ker Từ trên suy ra   C1 (K ) C1 (L )   Ker hay  là đơn cấu. Vậy  là đẳng cấu. Khi n  1 , ta chứng minh Zn (K,L ) Bn (K,L )  H n (K,L ) . 40  z  Cn (L )  Cn (K ) Cn (L ) , mà   z  Cn (L )   Cn1 (L ) thì z  Cn1 (L ). Đặt tương ứng  : Cn (K ) Cn (L )   Z n (K,L ) Bn (K,L )   v  Cn (L )   z   Cn (L )  Bn (K )  v  Cn (L ) Ta có, nếu z  Cn (L )  z  Cn (L ) thì z  z  Cn (L )   Cn (L )  Bn (K )  . nên z  Cn (L )  Bn (K )  z  Cn (L )  Bn (K ) hay  xác định đúng đắn. Hơn nữa,   z  Cn (L )  z  Cn (L )     z  z  Cn (L )   z  z  Cn (L )  Bn (K ) Mà,   z  Cn (L )     z  Cn (L )   z  Cn (L )  Bn (K )  z  Cn (L )  Bn (K )  z  z  Cn (L )  Bn (K ) nên   z  Cn (L )  z  Cn (L )     z  Cn (L )     z  Cn (L )  hay  là đồng cấu. Ta chứng minh Ker    Cn1 (K ) Cn1 (L ) . Với mọi z  Cn (L )  Ker , ta có   z  Cn (L )   Cn (L )  Bn (K ) nên z  Cn (L )  Bn (K )  Cn (L )  Bn (K ) Do đó, z  Cn (L )  Bn (K ) hay z  z1  u, với z1  Cn (L ), u  Cn1 (K ). Xét u  Cn1 (L )  Cn1 (K ) Cn1 (L ),   u  Cn1 (L )   u  Cn (L )  z  z1  Cn (L )  z  Cn (L ) nên z  Cn (L )   Cn1 (K ) Cn1 (L )  hay Ker   Cn1 (K ) Cn1 (L ) . Ngược lại, với mọi z  Cn (L )   Cn1 (K ) Cn1 (L )  , tồn tại u  Cn1 (K )  Cn1 (K ) Cn1 (L ) mà   u  Cn1 (L )   z  Cn (L ), suy ra u  Cn (L )  z  Cn (L ) nên tồn tại u1  Cn (L ) thỏa u  z  u1 nên u  z  u1 . Do đó, z  u1  Cn1 (L ) nên z  Cn (K,L ), 41   z  Cn (L )   z  Cn (L )  Bn (K )  u  u1  Cn (L )  Bn (K )  Cn (L )  Bn (K ) nên z  Cn (L )  Ker hay   Cn1 (K ) Cn1 (L )   Ker . Do đó,   Cn1 (K ) Cn1 (L )   Ker hay  đơn cấu. Suy ra  là đẳng cấu hay Zn (K,L ) Bn (K,L )  H n (K,L ) . 42 CHƯƠNG 2 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 2.1. ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ 2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị n  ; i  0, n  1, ei  (0,...0,1,0,...,0)  n 1 ,  n  e0 , e1 , e2 ,..., en  gọi là n – đơn hình chuẩn   n   t0 ,..., tn   n 1 n t i 0 i   1, ti  0 Với mỗi n  , i  0,1,..., n , ta đặt in  (t0 ,..., tn )  n ti  0 được gọi là mặt thứ i của  n đối diện với đỉnh ei Định nghĩa 2.1.1.1 Cho X là một không gian topo, một n – đơn hình kỳ dị trong X là một ánh xạ liên tục T : n  X. Đặt A  T :  n   X liên tục Xét F   f : A    F    hữu hạn con của A, f ( x)  0 x  A \  f , g  F  ,  hữu hạn con của A mà f  x   0 x  A \  g  x   0 x  A \   thì  f  g  x   f  x   g  x  ta suy ra f  g  F vì x  A \   f F   f  x   f  x   thì f  g  x   0 43 Với mọi f , g , h  F , ( f  g )  h  f  ( g  h) Vậy phép cộng có tính kết hợp Đặt 0F : A    0F  F  0F là phần tử đơn vị của F Với mọi f  F . Đặt  f : A   xác định bởi   f  x    f  x   f    f   0 X và    f   f  0 X Vậy mỗi phần tử trong F đều có phần tử đối. Hơn nữa f  g  g  f  F là nhóm Abel.  Với mọi T  A . Ta đặt fT : A  1 khi S  T  0 khi S  T S fT  F , f  F thì   A,  hữu hạn sao cho f  x   0  x  A \    A,  hữu hạn sao cho f  x   0,  x  A \  Ta chứng minh  f  x f x   f  x fx x x Thật vậy Ta có  f  x f x x   x   f  x fx  0  f  x fx x  x Tương tự  f  x f x f  x fx  x   x   f  x fx   f  x fx x x  f  x f x \  f  x fx x 44 Hơn nữa ta lại có f   f  x  f x . Ta gọi F là nhóm Abel sinh bởi A . x Khi ta đồng nhất x với f x thì nhóm Abel tự do này được ký hiệu là Cn  X  . Khi đó, c  Cn  X  thì c có thể viết dưới dạng k với Ti :  n   X là ánh xạ liên tục, ni  . c   nT i i i 0 Các phần tử của Cn  X  được gọi là n – xích. Y liên Định nghĩa 2.1.1.2. Cho X , Y là hai không gian topo, f : X  tục.  X là một n – đơn hình kỳ dị trong X thì hợp Nếu T :  n  f T : n   Y là một n – đơn hình kỳ dị trong Y và được ký hiệu bởi fT . Với mọi c   nT  Cn ( X ), ta đặt Cn ( f )(c)   ni ( fTi ) . Khi đó ta i i  Cn (Y ) cảm sinh bởi f . được một đồng cấu Cn ( f ) :Cn ( X )  2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị C ( X ) Với n  1 , xét di : n1    n là ánh xạ xác định bởi: di  t0 , t1 ,..., tn1    t0 ,..., ti 1 ,0, ti ,..., tn1  , i 0,1,..., n Định nghĩa 2.1.2.1. Xét đồng cấu biên  n : Cn ( X )  Cn1 ( X ) như sau  X ,  n  0  là một n – đơn hình kỳ dị thì Với T : n   n  nT   (1)i Tdi . i 0   Cn  X  thì  n  c    ni   nTi    n n1  0 Khi đó, với c   nT i i Kiểm tra  n n1  0 Với T : n1   X là (n + 1) đơn hình kỳ dị n 1 Ta có  n1T   (1)i Tdi i 0 (2.1) 45 Trong đó di :  n    n1 , i  0, n  1 Từ (2.1) suy ra:  n1T  Td0  Td1  Td2     1 Tdn   1 Tdn1 n 1 n      n   n1T    n Td0    n Td1    n Td 2      n  1 Td n   n  1 Tdn1   n   n1T    Td0  d0  Td0  d1  Td 0  d 2     1 n n 1  Td  d    1 Td  d    1 Td  d   Td  d   Td  d   Td  d      1 Td  d    1 Td  d    1 Td  d   Td  d   Td  d   Td  d      1 Td  d    1 Td  d    1 Td  d  n2 n 1 0 1 2 0 2 1 1 2 2 0 n 2 1 n 1 1 1 n 1 2 n2 2 n n 1 n n2 1 n 1 0 n 1 1 n n2 0 n n 2 n 1 2 n  n n 1 n2 2 n2   1 Td n  d 0   1 Td n  d1   1 Td n  d 2     1 Td n  d n2   1   1 n 1 Td  d    1 Td n2 n 1 0 Td  d    1 Td  d   d    1 Td  d      1 Td  d    1 Td  d    1 Td  d  2 n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n 1 1 n 1 2 n 1 n 1 (Với di :  n 2 2n n 1 n 2 n 1 n 1 n 1    , i  0, n ) n Trường hợp 1: 0  j  i  2,  i, j  0,1,..., n  1  0,1,..., n Suy ra Tdi  d j  Td j  di1 Thật vậy: Td  d  t , t ,..., t   Td  t ,..., t i j 0 n 1 1 i 0 j 1 ,0, t j ,..., tn1  (2.2)  T  t0 ,..., t j 1 ,0, t j ,..., ti 2 ,0, ti 1,..., tn1  Td  d  t , t ,..., t   Td  t ,..., t j i 1 0 n 1 1 j i 2 0 ,0, ti 1 ,..., tn1    T  t0 ,..., t j 1 ,0, t j ,..., ti 2 ,0, ti 1,..., tn1  (2.3) Từ (2.2) và (2.3)  Tdi  d j  Td j  di1   1 i j Td  d    1 i  j 1 i j Td  d  j i 1 0 n2 46 Trường hợp 2: j  i  2  j  2  i  i  j  1 Ta có Tdi  d j  Td j 1  di Thật vậy: Td  d  t , t ,..., t   Td  t ,..., t i j 0 n 1 1 i 0 j 1 ,0, t j ,..., tn1   T  t0 ,..., ti 1,0, ti ,...,0, t j ,..., tn 1  Td  d t , t ,..., t   Td  t ,..., t j 1 i 0 1 n 1 j 1 i 1 0 (2.4) ,0, ti ,..., tn1   T  t0 ,..., ti 1,0, ti ,...,0, t j ,..., tn 1  Từ (2.4) và (2.5)   1 i j Td  d    1 i  j 1 i j (2.5) Td  d   0 j 1 i Vậy  n n1  0 Từ  n n1  0 ta suy ra được Im  n1  Ker n . Kiểm tra Im  n1  Ker n . y  Im  n1   c   nT  Cn1 ( X ) sao cho  n1  c   y i i   n   n1  c     n y mà  n n1  0  n y  0  y  Ker n  Im  n1  Ker n . Ta định nghĩa  Z n  X   Ker n được gọi là nhóm n – chu trình của X  Bn  X   Im  n1 được gọi là nhóm của n – biên của X  H n  X   Z n  X  Bn  X  được gọi là nhóm đồng điều kỳ dị thứ n của X Với n  0 ta suy ra được C0  X   Z0  X  47 Định nghĩa 2.1.2.2. Cho không gian X bất kỳ, dãy C  X   Cn  X  ,  n n  0,1,2,... được gọi là phức kỳ dị của X và dãy   H  X   H n  X   H  C  X    H n  C  X   được gọi là nhóm đồng điều kỳ dị phân bậc của X . Y ,cho Đối với một ánh xạ liên tục f : X  H  f   H n  f  : H n  X    H n Y  là đồng cấu phân bậc của các nhóm đồng điều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích C  f  H n  f  : H n  X    H n Y  Định nghĩa 2.1.2.3. Cho X ,Y là không gian topo, f : X  Y liên tục f # n : Cn ( X )  Cn ( Y ) xác định bởi c   nT i i Cn  f  c    ni  f Ti  thì f là đồng cấu, từ đây ta suy ra sơ đồ sau giao hoán  n1 n  Cn1 ( X )  f #n f # n 1  Cn1 (Y ) n 1 Cn (Y ) Cn1 ( X ) Cn ( X ) n  f # n 1 Cn1 (Y ) C1 ( X ) 1 f #1  C1 (Y ) 1 C0 ( X )  0 0 f #0 C0 (Y )  0 0 nghĩa là f # n n1   n1 f # n1 Kiểm tra sơ đồ trên giáo hoán  X liên tục Thật vậy, lấy T : n1  f # n ( n1T )  f # n (Td0  Td1    (1)n1Tdn1 )  f # nTd0  f # nTd1    (1)n1 f # nTd n1  f Td0  f Td1    (1)n1  f Td n1  ( n1 f # n1 )T   n1 ( f T ) (2.6) 48  ( f T )d0  ( f T )d1    (1) n1 ( f T )Td n1  f (Td0 )  f (Td1 )    (1) n1 f (Td n1 ) (2.7) Từ (2.6) và (2.7)  f # n n1   n1 f # n1 Vậy sơ đồ trên giao hoán. Do sơ đồ trên giao hoán, do đó + Nếu c  Z n ( X ) thì f #n  c   Z n Y  Thật vậy: c  Z n ( X )   nc  0 Do f # n1 n   n f # n  f # n1 ( nc)   n ( f # n (c))  0   n ( f # n (c))  f # n (c)  Z n (Y ) + Nếu z  Bn ( X )  u  Cn1 ( X ) mà  n1u  z Do f # n n1   n1 f # n1  f # n ( n1u)   n1 ( f # n1 (u))  f # n ( z )   n1 ( f # n1 (u))  f # n ( z)  Bn (Y ) Suy ra f cảm sinh một đồng cấu giữa các nhóm đồng điều H n ( X ), H n (Y ) fn : H n ( X )   H n (Y ) c  Bn ( X ) Bổ đề 2.1.2.1. Cho  X  f # n (c)  Bn (Y )  là những thành phần liên thông đường của X thì Hn  X    Hn  X     Chứng minh. Ta có Cn  X    Cn  X      Cn  X  ( ni  0 thì Ti :  n   X liên tục ) do c   nT i i 49 do  X  là một họ các thành phần liên thông đường của X  i  mà Ti  X  i Đặt Ti :  n   X  là phép nhúng i Ti  X  x Xét  : Cn  X     Cn  X      nT  c   nT i i i i   là phép đẳng cấu  Cn  X    Cn  X     Hn  X    Hn  X     Bổ đề 2.1.2.2. Cho X   , X liên thông đường thì H 0  X   Chứng minh Xét  : Z0  X    c   nT i i Khi đó  là đồng cấu. n i +Ta phải chứng minh Ker  B0  X  (2.8) Kiểm tra Ker  B0  X  c   nT  Z0  X  mà   c   0   ni  0 i i  X xác định bởi Chọn x0  X , T : 0  1 do n i x0  0   nT   nT   nT   ni  Ti  T  i i i i i  X liên tục xác định bởi Do X liên thông đường  i : I  i  0   Ti 1 i 1  T 1  x0  X xác định bởi Chọn Si : 1  Si  t0 , t1   i  t0  50  Si liên tục 1Si  Si d0  Si d1 mà Si d0 1  Si  0,1  i  0   Ti 1  Si d0  Ti và Si d1 1  Si 1,0   i 1  T 1  Si d1  T  1Si  Ti  T  1   ni Si    ni  1Si    ni Ti  T    nT c i i  c  B0  X   Ker  B0  X  (2.9) Kiểm tra B0  X   Ker c  B0  X   C0  X    y   m j S j  C1  X  mà 1 y  c  c   m j  S j d0  S j d1     c    m j  m j  0  c  Ker  B0  X   Ker Từ (2.9) và (2.10)  B0  X   Ker +Ta phải chứng minh Im  Với mọi m chọn x0  X , xét T : 0  X Trường hợp m  0 Đặt c  T  T    T    c   m m lần (2.10) 51 Trường hợp m  0 Đặt c  T  T    T    c   m mL ần Trường hợp m  0    0.T   0   toàn ánh  Im  Vậy C0  X  Ker  Im Z0  X  B0  X   Im H0  X   Bổ đề 2.1.2.3. Cho p là một điểm của X thì H 0 ( p)  , H n ( p)  0, n  1 Chứng minh. Do  p liên thông đường, áp dụng bổ đề 2.1.2.2 suy ra H 0 ( p)  Ta chứng minh với n  1 thì H n ( p)  0 Với mọi c  Z n  p  ta chứng minh c  Bn  p  (Pcm  z   nT  Cn1 ( p) mà  n1 z  c i i với c   m j S j ( m j  0; S j :  n   p liên tục) Xét T :  n   p x p  Sj T  c    m j T Trường hợp n chẵn Do  nc  0   n    m T   0  j    m j Td0  Td1     1 Td n  0   m j Td0   0 n 52   mj  0 c0  c  Bn  p  Trường hợp n lẻ:  p xác định bởi Đặt S :  n1  x p z  mj  S     n1 z    m j    n1S     m j  Sd0  Sd1     1 Sd n1 n 1  (2.11) Do n lẻ  n  1 chẵn Từ  2.11   n1 z    m j  Sdn1    m j T  c ,  c  Bn  p  Vậy H n ( p)  0 2.1.3. Nhóm tương đối, dãy khớp dài Cho X là không gian topo, A  X ( A có thể bằng  ), n  ,  Cn ( A)  nT  Cn ( X ) Ti ( n )  A, khi ni  0 i i       Cn1 ( X )  Cn ( X )    C1 ( X )  C0 ( X )  0 n1 n 0 1  n  Cn ( A)   Cn1 ( A), n  1 Suy ra ta được dãy nữa khớp       Cn1 ( X ) / Cn1 ( A)  Cn ( X ) / Cn ( A)   C1 ( X ) / C1 ( A)  C0 ( X ) / C0 ( A)  0 n1 n 2 1 0 Đặt Cn ( X , A)  Cn ( X ) Cn ( A) Ta đặt Kn ( X , A)  Ker  n Im  n1 được gọi là nhóm đồng điều tương đối thứ n của X mod A. 53 c  Cn ( X ) c  Cn1 ( A) , n  0 Z n ( X , A)   n0 C0 ( X ) được gọi là nhóm các n – chu trình của X mod A.  Bn ( X , A)  Bn ( X )  Cn ( A) là nhóm con của Cn ( X ) sinh bởi Bn ( X ) và Cn ( A) . Rõ ràng Bn ( X , A)  Z n ( X , A).  H n ( X , A)  Z n ( X , A) Bn ( X , A) được gọi là nhóm đồng điều thứ n của X mod A. Ta sẽ chỉ ra rằng Kn ( X , A)  H n ( X , A) Thật vậy:  : Ker  n   H n ( X , A) xác định bởi Xét z  Cn ( A) z  Bn ( X )  Cn ( A) Ta có  là toàn cấu và Ker  Im  n1  Ker n / Im  n1 đẳng cấu  Kn ( X , A) đẳng cấu H n ( X , A)  H n ( X , A)  Chú ý rằng khi A   thì Cn ( X , )  Cn ( X ). Cho i : X  A là phép nhúng i : H n ( A)   Hn ( X ) n và j : ( X , )  ( X , A) là phép nhúng j : H n ( X )   H n ( X , A) ta chứng n minh được biểu diễn jn  zn  Bn ( X )   zn  Bn ( X )  Cn ( A) và cho  n : H n ( X , A)   H n1 ( A) xác định bởi cn  Bn ( X )  Cn ( A)  ncn  Bn1 ( A) là đồng cấu Định lý 2.1.3.1. Dãy đồng điều của một cặp Cho A là một tập con của X , thì dãy đồng điều của một cặp  X , A 54 i j     H n  A   H n  X    H n  X , A   H n1  A     H 0  A n n n i    H 0  X   H 0  X , A  0 j*0 *0 0 là khớp. Hơn nữa, một ánh xạ liên tục f :  X , A  Y , B  cảm sinh ra một đồng cấu của dãy khớp của  X , A tới dãy khớp của Y , B  tức là trong sơ đồ sau, mỗi hình vuông là giao hoán   H n ( X , A) Hn ( X ) H n ( A) f  A  *n H n ( B)i f  H n1 ( A) f  f 1 H n (Y ) j*n H n (Y , B) H 0 ( A) f  A 0 A n 1 H n1 ( B)  H 0 ( B) H 0 ( X ) 1 H 0 ( X , A) 0 0 f0 H 0 (Y ) 1 H 0 (Y , B) 0 0 f0 Chứng minh. Đầu tiên ta kiểm tra dãy dưới đây là dãy khớp i j     H n  A   H n  X    H n  X , A   H n1  A     H 0  A n n n i j    H 0  X    H 0  X , A  0 0 0 0 Ta có Ker  0  H 0  X , A Với mọi c  B0  X   C0  A  H 0  X , A ở đây c  Z0  X , A  C0  X  do C0  X   Z0  X   c  Z0  X   c  B0  X   H0  X  Ta có j0  c  B0  X    c  B0  X   C0  A  j0 toàn ánh  Im j0  H 0  X , A  Ker 0 Im i0  Ker j0 Bây giờ ta kiểm tra Thật vậy  c  B0  A  H 0  A   c  Z  A  0   ( j0 ) i0 (c  B0 ( A))  j0  i#0 (c)  B0 ( X )   i#0 (c)  B0 ( X )  C0 ( A) ở đây ta hiểu Cn ( A)  c   nT , ni  0, Ti :  n   A liên tục i i  Cn ( A)  c   nT , ni  0, Ti :  n   X liên tục Ti ( n )  A i i Do c  Z0 ( A)  C0 ( A)  i#0 (c)  C0 ( A) 55  i#0 (c)  B0 ( X )  C0 ( A)  B0 ( X )  C0 ( A) Do vậy Im i0  Ker j 0 Ta chứng minh chiều ngược lại, tức là Ker j 0 Imi0 Với mọi z  B0 ( X )  H 0 ( X ) mà j0  z  B0 ( X )   B0 ( X )  C0 ( A)  z  B0 ( X )  C0 ( A)  B0 ( X )  C0 ( A)   y B0 ( X ), x  C0 ( A) sao cho z  y  x x   nT , ni  0, Ti : 0   X liên tục, Ti (0 )  A i i Đặt Ti : 0  A Ti ' ( x) x    C ( A)  i ( x ' )  x x   nT i i 0 #0 ' Ta có   i#0 x'  B0 ( A)  i#0 ( x ' )  B0 ( X )  x  B0 ( X )  ( z  y)  B0 ( X )  z  B0 ( X ) Vậy z  B0 ( X )  Im i0  Kerj0  Im i0  Kerj0  Im i0 Bây giờ ta kiểm tra Im 1 =Ker i0 Với mọi z  B1 ( X )  C1 ( A)  H1 ( X , A)     i*0 1 ( z  B1 ( X )  C1 ( A)  i*0 (1 z )  B0 ( A)  i*0 (1 z )  B0 ( X )  Im 1  Ker i0    z  B0 ( A)  H 0 ( A) mà i*0 z  B0 ( A)  B0 ( X )  i#0 ( z )  B0 ( X )   y  C1 ( A) sao cho 1 y  i#0 ( z ) Do z  Z 0 ( A)  C0 ( A) 56  i#0 ( z )  A Do vậy, y  Z1 ( X , A), từ đó ta có   ( y  B ( X )  C ( A)  ( y)  B ( A)  z  B ( A) 1 1 Ở đây nếu 1 1 0 0 c   nT , ni  0, Ti : n   X liên tục i i Ti ( n )  A thì   c   nT i i với Ti: n   A xác định bởi x Ti ( x)  Ker i0  Im 1  Ker i0  Im 1 Để hoàn thành việc kiểm tra dãy trên là dãy khớp ta chỉ kiểm cần kiểm tra Với mọi n  1, Im in =Ker jn , Im jn =Ker  n , Im  n1 =Ker in , Ta chứng minh Im in =Ker jn   z  Bn ( A)  H n ( A)  jn in ( z  Bn ( A)   jn  i# n ( z )  Bn ( X )   i# n ( z )  Bn ( X )  Cn ( A)  Bn ( X )  Cn ( A)  Im in  Kerjn  z  Bn ( X )  H n ( X ) mà jn  z  Bn ( X )   Bn ( X )  Cn ( A)  z  Bn ( X )  Cn ( A)   y  Bn ( X ), x  Cn ( A) sao cho z  y  x   n z   n y   n x  0  x  Z n ( A) Khi đó   i*n ( x  Bn ( A)  i# n ( x)  Bn ( X )  x  Bn ( X )  z  y  Bn ( X )  z  Bn ( X )  z  Bn ( X )  Im in 57  Kerjn  Im in Vậy Im in = Kerjn Ta chứng minh Im jn =Ker  n  z  Bn ( X )  H n ( X )   n  jn ( z  Bn ( X )    n  z  Bn ( X )  Cn ( A)   ( n z )  Bn 1 ( A)  Bn 1 ( A)  Im jn  Ker  n  z  Bn ( X )  Cn ( A)  H n ( X , A) mà  n  z  Bn ( X )  Cn ( A)   Bn1 ( A)  ( n z )  Bn1 ( A)   t  Cn ( A) sao cho t  ( n z )   n  i# n (t )    n z  i# n (t )  z  Z n ( X ) Ta có jn  i# n (t )  z  Bn ( X )   i# n (t )  z  Bn ( X )  Cn ( A)  z  Bn ( X )  Cn ( A) (vì i# n (t )  Cn ( A) )  Ker n  Im jn Vậy Ker  n  Im jn Cuối cùng ta kiểm tra Im  n1 =Ker in  z  Bn1 ( X )  Cn1 ( A)  H n1 ( X , A)   in  n1  z  Bn1 ( X )  Cn1 ( A)   in  ( n1 z )  Bn ( A)   i# n ( n1 z )  Bn ( X )   n1z  Bn ( X )  Bn ( X )  Im  n1  Ker in . Ngược lại  z  Bn ( A)  Kerin 58    i# n z  Bn ( A)  Bn ( X )  i# n ( z )  Bn ( X )   y  Cn1 ( X ) sao cho  n1 ( y)  i# n ( z ) do z  Z n ( A)  z  Cn ( A)  i# n ( z )  Cn ( A)  y  Z n1 ( X , A)   n1  y  Bn1 ( X )  Cn1 ( A)   ( n1 y)  Bn ( A)  z  Bn ( A)  Ker in  Im  n1. Vậy Im  n1 =Ker in (Y , B) liên tục. Khi đó hình vuông sau giao hoán Bây giờ cho f : ( X , A)  in Hn ( X ) H n ( A) (f fn ) A n H n ( B) in H n (Y ) Thật vậy, sơ đồ sau giao hoán nên sơ đồ trên giao hoán z  Bn ( A) i# n ( z )  Bn ( X ) f # n  i# n ( z )  Bn (Y )  || (f ) ( z )  Bn ( B) A #n i# n ( f ) ( z )  Bn (Y ) A #n Kiểm tra tương tự cho các hình vuông còn lại giao hoán Định lý.2.1.3.2. (Dãy đồng điều của bộ ba) Cho A  B  X là không gian topo. Khi đó ta có dãy khớp    H n ( B, A)   H n ( X , A)   H n ( X , B)    H n1 ( B, A)     H 0 ( X , B)  0 59 ở đây các tự đồng cấu không được ký hiệu được hiểu là đồng cấu cảm sinh bởi các phép nhúng và  là hợp j  H n ( X , B)   H n1 ( B)   H n1 ( B, A) .  Chứng minh. Các bước chứng minh gần giống như dãy đồng điều của một cặp. Nhận xét. Xét  : C0 ( X )    nT với X   xác định bởi n i i i Khi đó ta có dãy sau là nửa khớp        Cn1 ( X )  Cn ( X )    C1 ( X )  C0 ( X )   n1 n 2 1 Kiểm tra dãy trên là nửa khớp:  n  n1  0 và  1  0 Ta chỉ cần kiểm tra  1  0 Thật vậy c   nT  C1 ( X ) i i  (1c)     niTi      ni (Ti d0  Ti d1 )    ni   ni  0   1  0 Vậy dãy trên là nửa khớp Ta ký hiệu H n ( X )  Ker n Im  n1 n  0 H 0 ( X )  Ker Im 1 n0 được gọi là nhóm đồng điều thu gọn  H0 ( X ) Hn ( X ) H0 ( X )  (2.12) H n ( X ), n  0 (hiển nhiên) (2.13) H0 ( X )  (2.14) Kiểm tra H 0 ( X ) Xét dãy khớp sau:      Cn1 ( X )  Cn ( X )    C1 ( X )  C0 ( X )  0 n1 1 0 60 Xét:  : H 0 ( X )    nT  B ( X ) i i xác định bởi n 0 i Kiểm tra  xác định đúng đắn Giả sử  nT  B ( X )  m S i i 0 j j  B0 ( X )   nT  m j S j  B0 ( X ) i i  c   ktU t  C1 ( X ) mà 1c   nT   mj S j i i   kt U t d0  U t d1    nT   mj S j i i   kt   kt   ni   m j   ni   m j Vậy  xác định đúng đắn. Kiểm tra Ker  H 0 ( X )    nT  B0 ( X )   Ker i i   ni  0     nT 0 i i   nT  Ker i i   nT  B0 ( X )  H 0 ( X ) i i  Ker  H 0 ( X ) (2.15)   nT  B0 ( X )   Ker   nT  B0 ( X )  H 0 ( X ) i i i i     nT 0 i i   ni  0    nT  B0 ( X )   0 i i   nT  B0 ( X )  Ker i i  H 0 ( X )  Ker (2.16) 61 Từ (2.15) và (2.16)  Ker  H 0 ( X ) Do Ker  H 0 ( X ) nên dãy sau khớp i  0   H 0 ( X )   H 0 ( X )    0 Chọn x0  X , xétT : 0  X x0 1 h :   H0 ( X ) nT  B0 ( X ) n  h   1z  H0 ( X )  H0 ( X )  2.2. TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ PHÂN TRỌNG TÂM Y là đồng luân. Khi đó  n  0 , Định lý 2.2.1. Cho f , g : X  fn  gn : H n ( X )   H n (Y )  X  I xác định bởi Chứng minh. Ta đặt i1 : X  x ( x,0) i2 : X   X  I xác định bởi x ( x,1)  i1 , i2 liên tục Y liên tục, mà Cho F : X  I  F ( x,0)  f ( x), x  X F ( x,1)  g ( x), x  X khi đó f  F i1 , g  F i2 . Nếu ta chứng minh được i1  i2  Fi1  Fi2  f  g . Do đó ta phải chứng minh i1n  i2n , n  0. Ta phải lập các đồng cấu nhóm Abel D0 , D1  0 sao cho  Cn1 ( X ) Dn Dn 1  62 Cn ( X )  n Cn1 ( X ) D1 Dn 1 Cn ( X  I ) Cn1 ( X  I ) n1 C1 ( X )  Cn1 ( X  I )  C1 ( X  I ) n1Dn  Dn1 n  Cn (i2 )  Cn (i1 ); n  0 C0 ( X ) 0 D0 C0 ( X  I ) 0 (2.17) Với mọi n cho các đỉnh e0 , e1 ,..., en1 n1 , v0  (e0 ,0), v1  (e1 ,0),..., vn1  (en1 ,0) w 0  (e0 ,1), w1  (e1 ,1),..., w n1  (en1 ,1) n1  I cho các đỉnh e0 , e1,..., en  n , v0  (e0 ,0), v1  (e1,0),..., vn  (en ,0) w0  (e0 ,1), w1  (e1,1),..., wn  (en ,1) n  I  : n   X liên tục. Ta đặt n Dn   (1)i (  id I )(v0 ,..., vi, wi ,..., wn ) i 0 Ta sẽ chỉ rằng (2.17) đúng. Với n  0,   : 0   X liên tục D0  (  id I )(v0 , w0 )  1D0 1 ((  id I )(v0 ,w0 ))  (  id I )(v0 ,w0 ) d0  (  id I )(v0 ,w0 ) d1 e0  1  0 Cho e0  (1,0)  1 e1  (0,1)  1 Ta thấy (  id I )(v0 , w0 ) d1 (e0 )  (  id I )(v0 , w0 ) e0  (  id I )(v0 )   (  id I )(e0 ,0)  ( (e0 ),0) C0 (i2 ) (e0 )  i2  (e0 )  ( (e0 ),1) 63 C0 (i1 ) (e0 )  i1  (e0 )  ( (e0 ),0)  1D0  D1 0  C0 (i2 )  C0 (i1 )  1D0  D1 0  C0 (i2 )  C0 (i1 )  (2.17) đúng với n  0 Với mọi n  1,  : n   X liên tục để đơn giản ta đặt Ei  (v0 ,..., vi' , wi ,..., wn ), i  0, n Fj  (v0 ,..., v j , w j ,..., w n1 )j  0, n  1  n1Dn ( )     id I ( E0 )d0    id I ( E0 )d1    id I ( E0 )d 2    id I ( E0 )d3    (1) n   id I ( E0 )d n  (1) n1  id I ( E0 )d n1    id I ( E1 )d0    id I ( E1 )d1    id I ( E1 )d 2    id I ( E1 )d3    (1) n1  id I ( E1 )d n  (1) n2  id I ( E1 )d n1   id I ( E2 )d0    id I ( E2 )d1    id I ( E2 )d 2    id I ( E2 )d3    (1) n2   id I ( E2 )d n  (1) n3  id I ( E2 )d n1   id I ( E3 )d0    id I ( E3 )d1    id I ( E3 )d 2    id I ( E3 )d3    (1) n3  id I ( E3 )d n  (1) n4  id I ( E3 )d n1 ........................................... (1)n1 (  id I )( En1 )d0  (1) n (  id I )( En1 )d1  (1) n1 (  id I )( En1 )d 2  (1) n 2 (  id I )( En 1 )d3    (1)n1 n (  id I )( En1 )d n  (1) n1 n1 (  id I )( En1 )d n1  (1)n (  id I )( En )d0  (1) n1 (  id I )( En )d1  (1) n 2 (  id I )( En )d 2  (1) n3 (  id I )( En1 )d3    (1)n n (  id I )( En )d n  (1) n n1 (  id I )( En )d n1. và Dn1 n   ( d0  id I )( F0 )  ( d1  id I )( F0 )  ( d 2  id I )( F0 )    (1) n1 ( d n1  id I )( F0 )  (1) n ( d n  id I )( F0 ) ( d0  id I )( F1 )  ( d1  id I )( F1 )  ( d 2  id I )( F1 )    (1) n ( d n1  id I )( F1 )  (1) n1 ( d n  id I )( F1 ) ( d0  id I )( F2 )  ( d1  id I )( F2 )  ( d 2  id I )( F2 )    (1) n1 ( d n1  id I )( F2 )  (1) n 2 ( d n  id I )( F2 ) ............................... 64 (1) n2 ( d 0  id I )( Fn2 )  (1) n 1 ( d1  id I )( Fn2 )  (1) n ( d 2  id I )( Fn2 )     (1) n2 n1 ( d n1  id I )( Fn2 )  (1) n2 n ( d n  id I )( Fn2 ) (1) n1 ( d 0  id I )( Fn1 )  (1) n ( d1  id I )( Fn1 )  (1) n1 ( d 2  id I )( Fn1 )     (1) 2 n2 ( d n1  id I )( Fn1 )  (1) 2 n1 ( d n  id I )( Fn1 ) Ta thấy   id I ( E0 )d0  Cn (i2 )   id I ( En )dn1  Cn (i1 )   id I ( Ei )di 1    id I ( Ei 1 )di 1 ; i  0, n  1 (  id I )( E0 )  (  id I )( E0 )di 1; i  1, n (  id I )( Ei )d j  ( d j 1  id I )( Fi ) với i  0, n  1, j  2, n  1 mà j  i  2 (  id I )( Ei )d j  ( d j  id I )( Fi 1 ) với i  0, n, j  0, n  1 mà i  j  1 Vậy (2.17) đúng với mọi n  1 Vậy i1  i2  f  g Định lý 2.2.2. Cho f , g : ( X , A)   (Y , B) liên tục, đồng luân, tồn tại F : X  I   Y liên tục sao cho: F ( x,0)  f ( x), x  X F ( x,1)  g ( x), x  X F (a, t )  B, a  A; t  I  H n (Y , B) Khi đó fn  gn : H n ( X , A)  Chứng minh. Đầu tiên ta xây dựng các H n ( X , ) , các đồng cấu  Cn ( X , A)  Cn ( X ) Cn ( A), n  0 Ta được dãy sau 65       Cn1 ( X , A)  Cn ( X , A)    C1 ( X , A)  C0 ( X , A)  0 n1 n 2 1 0 với  n (c  Cn ( A))   nc  Cn1 ( A) với c  Cn ( A)  Cn ( X ) Cn ( A) ta được dãy nửa khớp   H n ( X , A). Cho ( X , A), (Y , B) là các cặp không gian topo f : ( X , A)  (Y , B) ( f : X  Y liên tục, f ( A)  B ) Cn (Y ), Với mọi n  , Cn ( f ) :Cn ( X )  Cn ( f )(Cn ( A))  Cn ( B) Cn (Y ) Cn ( B)  Ta lập được Dn ( f ):Cn ( X ) Cn ( A)  Chứng minh sơ đồ sau giao hoán. Cn1 ( X ) Cn1 ( A) Cn1 (Y ) Cn1 ( B) Cn ( X ) Cn ( A) Cn1 ( X ) Cn1 ( A) Dn ( f ) Dn1 ( f ) Cn (Y ) Cn ( B) Cn1 (Y ) Cn1 ( B) c  Cn ( A)  C0 ( X ) C0 ( A) 0  C0 (Y ) C0 ( B) 0  n c  Cn1 ( A) Cn1 ( f ) n c  Cn1 ( B) || Cn ( f )c  Cn ( B)  nCn1 ( f )c  Cn1 ( B) sơ đồ trên giao hoán   fn : H n ( X , A)   H n Y , B  là các đồng cấu Xét g :(Y , B)  (Z , C ) Dn ( g ) Dn ( f )  Dn ( g f )  gn fn  ( g f )n , n  0 Bây giờ ta chứng minh Định lý Cho i1 :( X , A)  ( X  I , A  I ) xác định bởi i2 :( X , A)  ( X  I , A  I ) xác định bởi x ( x,1) F :( X  I , A  I )  (Y , B) 66  fn  Fn i1n , gn  Fn i2n n  0 Nếu ta chứng minh được i1n  i2n , n  0 thì định lý trên đúng Xét sơ đồ sau:   Cn1 ( X )  Cn ( X )  Cn1 ( X )    C2 ( X )  C1 ( X )  C0 ( X )  0 Dn 1 Dn Dn 1 D2 D0 D1 D1   Cn1 ( X  I )  Cn ( X  I )  Cn1 ( X  I )    C2 ( X  I )  C1 ( X  I )  C0 ( X  I )  0 Ta lập Dn : Cn ( X ) Cn ( A)  Cn1 ( X  I ) Cn1 ( A  I ) c  Cn ( A) Dn (c)  Cn1 ( A  I ) Dn được xác định đúng đắn do Dn (Cn ( A))  Cn1 ( A  I ) Cn1 ( X ) Cn1 ( A) Cn ( X ) Cn ( A) D n 1 Dn Cn1 ( X  I ) Cn1 ( A  I ) Cn ( X  I ) Cn ( A  I )   C n ( A)   Cn1 ( A) Dn  Cn1 ( A  I ) Dn  Cn ( A  I )   D n (  Cn ( A)  D n1(  Cn ( A))  (Cn (i2 )  Cn (i1 ))( )  Cn ( A  I )  Dn (i2 )  Dn (i1 )(  Cn ( A)) 2.3. ĐỊNH LÝ KHOÉT  X là n – đơn Định nghĩa 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , T : n  hình. Ta xây dựng (n+1)- đơn hình xuất phát từ T vào w, ký hiệu đơn hình này là T , w  . Khi đó T , w   Cn ( X ), ta ký hiệu liên tục với c   nT i i c, w    n T , w . i i Bây giờ ta sẽ tính biên của  c, w . 67 Bổ đề 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , c là n – xích kỳ dị của X . Tw : 0   X là 0 - đơn hình Cho w x với c   nT là w - đơn hình. i i n 1   c, w   (1) c Khi đó  n1 c, w      (c)Tw  c nếu n >0 nếu n=0 Chứng minh. Trường hợp n  0 n 1  n1  c, w    (1)i c, w  di i 0  c, w  d0  c, w  d1  c, w  d2    (1)n c, w  dn  (1) n1 c, w  d n1   ni Ti , w d 0   ni Ti , w d1   ni Ti , w d 2    k k k i 0 i 0 i 0  (1) n  ni Ti , w d n  (1) n1  ni Ti , w d n1 k k i 0 i 0  c, w    n  T , w  k n  i 0 i n i  k   ni Ti d0  Ti d1    (1)n Ti d n , w  i 0  n0 T0d0 , w   n0 T0d1 , w     (1)n n0 T0dn , w   n1 T1d0 , w   n1 T1d1 , w     (1) n n1 T1d n , w      nk Tk d0 , w   nk Tk d1 , w     (1)n nk Tk dn , w  68 Mà ta có:  n1  c, w    ni Ti , w  d 0   ni Ti , w  d1    (1) n  ni Ti , w  d n  k k k i 0 i 0 i 0  (1) n 1  n T , w  d  k i 0 i i n 1  n0 T0 , w  d0  n0 T0 , w  d1    (1)n n0 T0 , w  d n  (1) n1 n0 T0 , w  d n1  n1 T1 , w  d0  n1 T1 , w  d1    (1) n n1 T1 , w  d n  (1) n1 n1 T1 , w  d n1      nk Tk ,w  d0  nk Tk ,w  d1    (1) n nk Tk ,w  d n  ( 1) n1 nk Tk ,w  dn1 Dễ dạng thấy được T d , w   T , w  d  :  0 0 0 0 n   n1   t0 t t  , 1 ,..., n1  tn w  (1  tn )T0 d 0  1  tn  T0d0 , w    t0 , t1 ,..., tn     1  tn 1  tn w    t0 t t  , 1 ,..., n1  tn w  (1  tn )T0  0, 1  tn  T0d0 , w    t0 , t1 ,..., tn     1  tn 1  tn w  tn  1 tn  1 tn  1 tn  1 Ta có   t0 t t  , 1 ,..., n1  tn  1 tn w  (1  tn )T0  0, T0 ,w  d0 t0 , t1,..., tn   T0 ,w  0, t0 , t1,..., tn     1  tn 1  tn 1  tn  w tn  1  Do vậy T0 d0 , w   T0 , w  d0 Do đó:  n1  c, w    n1c, w   (1) n1 n0 T0 , w  d n1  (1) n 2 n1 T0 , w  d n2     (1)n 2 nk Tk , w  d n k   n1c, w   (1)n1  ni Ti , w d n1 k i 0 69 Ta có T0 , w  dn1  t0 , t1 ,..., tn   T0 , w  t0 , t1 ,..., tn ,0   T0  t0 , t1 ,..., tn   T0 , w  dn1  T0 T , w  d Tương tự 1   T1 n 1 … T , w  d k   Tk n 1   n1 c, w    n1c, w   (1)n1 c Trường hợp n  0, c   nT là 0 – đơn hình i i 1 c, w   c, w  d0  c, w  d1 c, w  d (1)  c, w  0,1 w= (c)T 0 w (2.18) c, w  d (1)  c, w 1,0  c 1 Vậy 1 c, w    (c)Tw  c Định nghĩa 2.3.2. Cho X là không gian Topo, A  U  là một phủ của X mà X  Int   Xét U thì A được gọi A - nhỏ. T :  n    n liên tục Cn ( X ) xác định như sau: Ta lập SdnX : Cn ( X )  C0 ( X ) đồng nhất xác định bởi Với n  0 , lập Sd0X : C0 ( X )  c   nT i i c  1 là ánh xạ đồng nhất Với n  1 , i1 : 1   Sd1 (i1 ) (1)(1)  Sd 0 (i1 ), b  1 1 1  (1) i1d 0 , b   i1d1 , b  1  1 Sd (T )  T#1 ( Sd1 (i1 )) X 1 1  2 là ánh xạ đồng nhất Với n  2, i2 : 2  70  Sd 2 (i2 ) (1)(2)  Sd1 (i2 ), b  2 2 2  Sd2X (T )  T#2 (Sd 2 (i2 )) 2  Với n  k , ik :k   k là ánh xạ đồng nhất  Sd k (ik ) (1)( k )  Sdk1 (ik ), b  k k k  Sd kX (T ) T# k (Sd k (ik )) k Với cách lập trên thì sơ đồ 1 sau giao hoán T#k Ck ( ) k Sd k Ck ( X ) k Sd kX Ck ( k ) Ck ( X ) T#k Hơn nữa Sd X  Sd nX  là biến đổi tự nhiên có nghĩa là: Y liên tục thì SdnY f # n  f # n SdnX là phép biến đổi tự nhiên. Với f : X  Kiểm tra Sd X  Sd nX  là phép biến đổi tự nhiên. Kiểm tra sơ đồ 2 giao hoán f #n Cn (Y ) Cn ( X ) Sd nX Sd nY Cn ( X ) f #n Xét sơ đồ 3: T Cn (Y ) f T ( f T )# n Sdn (in ) || n T# n (Sdn (in )) n f # n (T# n (Sdn (in )) n  giao hoán 71 sơ đồ 3 giao hoán  sơ đồ 2 giao hoán. Vậy Sd X  Sd nX  là phép biến đổi tự nhiên. Kiểm tra Sd X  Sd nX  là phép biến đổi xích: Phải chứng minh sơ đồ 4 giao hoán: X  n 1 Cn ( X ) Cn1 ( X ) Sd nX1 Sd nX Cn1 ( X ) X  n 1 Cn ( X ) Tức phải chứng minh: SdnX  nX1   nX1SdnX1 (2.19) Ta chứng minh (2.19) bằng phương pháp quy nạp Với n  0 , xét T : 0   X liên tục Ta có Sd0X 1X T  1X T (2.20) 1X Sd1X T  1X (T#1 ( Sd1 (i1 )) 1   1X T#1 i1d0 , b   i1d1 , b  1 1  (2.21) do sơ đồ 5 sau giao hoán 1 C1 (0 ) 0 C0 (0 ) T#1 T#0 C1 ( X ) (2.21)  1X C0 ( X )  T#0 1 i1d 0 , b   1 i1d1 , b   T#0 (i1d1  i1d 0 ) 0 0 1 1   T0 (i1d 0 )  T0 (i1d1 )  Td 0  Td1  1X T (2.22) 72 Từ (2.20) và (2.22)  Sd0X 1X T  1X Sd0X T Vậy khi n  0 sơ đồ 4 giao hoán Giả sử (2.19) đúng với n-1 Ta phải chứng minh SdnX  nX1   nX1SdnX1 . Với mọi T : n1   X liên tục n1 ta có SdnX1T  T# n1 (Sdn1 (in1 )) n1  nX1SdnX1T   nX1T# n1 (Sdn1 (in1 )) n1  T# n n1  1 n 1  Sdn    (1)n1T# n n1  Sdn n1   (1)n1T# n  n Sdn    (1)n1T# n  Sd n1  n  n1  n1 n1     , b    ,b  ,b in1 in1  n1 in1  n1  n1 n1  0  T# n Sd n n1 n1   i n 1 n 1 i n 1 n 1 n1     (1)n1 Sd n   n1  in1  , b   (1)n1 Sdn  n1  T# n Sdn n1 n1 n1  i n 1 n 1 n1  i n 1 n 1     (2.23) do Sd là tự nhiên tức là sơ đồ 6 sau giao hoán T#n Cn ( n1 ) Sd n Cn ( X ) n1 Sd nX Cn ( n1 )  SdnX T# n  T# n Sdn T#n Cn ( X ) n1 (2.24) Từ (23) và (24) suy ra T# n Sdn (2.25) n1  i n 1 n 1   Sd X n T# n   n1in1   SdnX  nX1T# n (in1 )  SdnX  nX1 (T ) Từ (2.23) và (2.25)   nX1SdnX1T  SdnX  nX1 (T ) 73 Vậy  nX1SdnX1  SdnX  nX1   ,    p0 ,..., pn  (là n – đơn hình) là phép Bổ đề 2.3.2. Cho T : n  đồng phôi tuyến tính. Khi đó mỗi thành phần T : n    của Sd nX T sẽ là phép đồng phôi tuyến tính từ  n đến Ti ( n ) là một thành phần trong thứ phân thứ nhất của  . Chứng minh. Khi n  0 ,  0 là một điểm,   p0 , Sd0X T  T hiển nhiên. Giả sử đúng với k  n với X là không gian topo bất kỳ Khi k  n  1thì X là không gian tuyến tính thì T : n1   X đồng phôi tuyến tính. n1 Sd Xn1T  T# n1 (Sdn (in1 ))  (1)n1T# n1  Sdn (i ), b  n1 n1  n1  (1) n1T# n1  Sd n (in1d0 ), b    Sd n (in1d1 ), b   n1 n1 n1 n1    (1) n1  Sd n (in1d n1 ), b  n1 n1 Chứng minh  Sdn (in1d0 ), b  là phép đồng phôi tuyến tính. n1 n1 Xét in1d0 :n   n1 Vậy (in1d0 ) :n   (in1d0 ), (n )  e1 , e2 ,..., en1  đồng phôi tuyến tính n1 Theo giả thuyết quy nạp thì mỗi thành phần Ti trong Sd n (in1d0 ) sẽ là một phép nhúng đồng phôi tới một đơn hình  s0 ,..., sn  nào đó trong thứ phân thứ nhất của e1 , e2 ,..., en1  . Khi đó Ti , b  sẽ là phép nhúng đồng phôi của n1  n1 vào  s1...s n1 , b    n1 74 Chứng minh tương tự cho  Sdn (in1d1 ), b  ,..., (1)n1  Sdn (in1dn1 ), b  là phép đồng phôi     n1 n1 n1 n1 tuyến tính. Vậy hợp của các đồng phôi tuyến tính và đồng phôi tuyến tính Định lý 2.3.2. Cho A là họ các tập con của X mà có phần trong phủ X A  U  X liên tục, khi đó m     , IntU  X  . Cho T : n       sao cho mỗi thành phần của Sd mT là A - nhỏ. Chứng minh. Xét T : n   X liên tục X  IntU  n   T 1 ( IntU ) có họ T 1  IntU  là một phủ mở của  n ,  n compact, theo bổ đề Lebesgue   0  0, A  n , ( A)   0    sao cho A  T 1IntU Ta có SdnX T  T# n (Sd n (in )) n  SdnX (SdnX T )  SdnX (T# n ( Sdn (in ))) n  T# n Sdn (Sd n (in )) n n  (SdnX )2 T  T# n ( Sdn )2 (in ) n  tương tự Vậy  (SdnX )l T  T# n (SdnX )l (in ), l  , l  1 Ta có  n là đơn hình nên n  , sao cho bất kỳ đơn hình trong thứ phân thứ n của  n thì đường kính của nó nhỏ hơn  0  n là phép đồng phôi affine Ta có in : n   theo bổ đề 2.3.2 mỗi thành phần trong ( Sdn )m (in ) sẽ đồng phôi affine với n một đơn hình nào đó trong Sd n n  giá của các đơn hình này có đường kính nhỏ hơn  0 75 Gọi U i là một thành phần trong ( Sdn )m (in ) n U i : n  n liên tục,  (U i (n ))      sao cho U i ( n )  T 1  IntU   T U i  IntU Vậy bổ đề được chứng minh Bổ đề 2.3.3. m  , X là không gian bất kỳ,  D X  DnX  :Cn ( X )  Cn1 ( X ) sao cho :  nX1DnX (T )  DnX1 nX (T )  SdnmX (T )  T (2.26) với T : n   X liên tục. Hơn nữa DnX là tự nhiên, nếu f : X  Y thì DnY1 f # n1  f # n2 DnX1 . Chứng minh. Xét dãy khớp sau  Cn1 ( X ) n1 Cn ( X ) DnX Sd nm1 X  Cn1 ( X  I ) Sd nm X Cn ( X  I )  n1 n Cn1 ( X )  n1 DnX1 Sd nm1 X n Cn1 ( X  I )  n1 D1 1 C ( X ) 0 D0 Sd1m X Sd0m X   C1 ( X ) C1 ( X  I ) 1 C0 ( X  I ) 0 0 D1 0 Ta chỉ cần chứng minh khi m  1 Cn1 ( X ) Thật vậy, giả sử bổ đề đúng với m  1 tức  D X  DnX  :Cn ( X )  mà  nX1 DnX (T )  DnX1 nX (T )  Sd Xn (T )  T  Sd nX   nX1 DnX (T )   Sd nX  DnX1 nX (T )   Sd n2 X (T )  Sd Xn (T )   nX1Sd nX1  DnX (T )   Sd nX  DnX1 nX (T )   Sd n2 X (T )  T   nX1DnX (T )  DnX1 nX (T )   nX1  Sd nX1 DnX (T )  DnX (T )   Sd nX  DnX1 nX (T )   DnX1 nX (T )  Sd n2 X (T )  T Cn1  X  xác định bởi Dn T    SdnX1DnX (T )  DnX (T )  Đặt Dn : Cn  X     nX1Dn X (T )  DnX1 (T ) nX (T )  Sdn2 X (T )  T 0 76 Vậy (2.26) đúng với m  1 Tương tự biểu thức (27) đúng với m  2,3,... Vậy biểu thức  nX1DnX (T )  DnX1 nX (T )  SdnmX (T )  T đúng với m  2,3,... Chứng minh DnX là tự nhiên T#n Cn ( n ) Ta lập sơ đồ 1 sau: Sd n Cn ( X ) n Sd nX Cn ( n ) T#n Cn ( X ) Với T : n  Cn1 ( X )  X là ánh xạ liên tục và ta lập DnX : Cn ( X )  Kiểm tra DnX (T )  T# n1Dn (in ) xác định n Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp C1 ( X ) Khi n  0 chọn D0X : C0 ( X )   1X D0X (T )  0  Sd0X (T )  T với quy ước DX1  0 Khi n  1 chọn c1  Sd1 (i1 )  i1 1   Sd  1X c1  1X Sd1 (i1 )  i1  1X c1  1X 1 1 1   (i1 )  1X i1  1X c1  Sd0 (1X i1 )  1X i1  1X i1  1X i1  0 1  c1  Z1 (1 ) do H1 (1 )  0  c1  B1 (1 ) suy ra tồn tại D1 (i1 )  c2 (1 ) sao cho 1  2 D1 (i1 )  c1  Sd1 (i1 )  i1 1 1 (2.27) Đặt D1X T  T#2 D1 (i1 ) 1   2 D1X T  D0X 1X T   2 D1X T   2T#2 D1 (i1 )  T#1 2 D1 (i1 ) 1 0 1 (2.28) 77 Từ (2.27) và (2.28) suy ra    2X D1X T  D0X 1X T  T#1 (c1 )  T#1 Sd1 (i1 )  i1    1  T#1 Sd1 (i1 )  T#1 (i1 ) 1  Sd1X T  T Vậy khi n = 1 thì  2X D1X T  D0X 1X T  Sd1X T  T Giả sử chọn được DnX với X là không gian topo bất kỳ, chọn n1 n1 cn1  Sdn1 (in1 )  in1  Dn  nn11in1 n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1   n1 cn1   n1 Sdn1 (in1 )   n1 (in1 )   n1 Dn  n1 (in1 ) n1 n1  n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1   Sdn  n1 (in1 )   n1 (in1 )  Sdn  n1 (in1 )   n1 (in1 )  Dn  n  n1 (in1 )  0 n1   n1 cn1  0  cn1  Z n1 ( n1 ) mà H n1 ( n1 )  0  cn1  Bn1 (n1 ) n1 n1 n1   Dn1 (cn1 )  Cn 2 ( n1 ) sao cho  n2 Dn1 (in1 )  cn1 n1 Đặt DnX1T  T# n2 Dn1 (in1 ) n1 Ta có:  nX2 DnX1T  DnX  nX1T   nX2T# n2 Dn1 (in1 )  DnX  nX1T n1  T# n1 nX2 Dn1 (in1 )  DnX  nX1T  T# n1 (cn1 )  DnX  nX1T  n1 n1   T# n1 Sd n1 (in1 )  in1  Dn  nn11 (in1 )  DnX  nX1T n1  Sd nX1T  T  T# n1Dn  nn11 (in1 )  DnX  nX1T Do giả thuyết quy nạp DnX là tự nhiên do đó sơ đồ 2 sau giao hoán Cn ( n1 ) Dn T#n n1 Cn1 ( n1 ) Cn ( X ) DnX T# n 1 Cn1 ( X ) 78 n1 Nên SdnX1T  T  T# n1Dn  nn11 (in1 )  DnX  nX1T   Sd nX1T  T  DnX T# n   nn11 (in1 )   DnX  nX1T  Sd nX1T  T  DnX  nX1T  DnX  nX1T  SdnX1T  T Vậy khi n=n+1 thì  nX2 DnX1T  DnX  nX1T  SdnX1T  T đúng. Vậy  nX1DnX (T )  DnX1 nX (T )  SdnmX (T )  T , m  Y thì DnY1 f # n1  f # n2 DnX1 . Chứng minh DnX là tự nhiên, nếu f : X  Với mọi f : X  Y liên tục Kiểm tra sơ đồ 3 sau giao hoán : f # n 1 Cn1 (Y ) Cn1 ( X ) DnX1 DnY1 Cn 2 ( X ) f # n2 Cn 2 (Y ) Xét sơ đồ 4 sau: T f T giao hoán n1 ( f T )# n 2 ( Dn1 (in1 )) || n1 T# n 2 ( Dn1 (in1 )) Sơ đồ 4 giao hoán  sơ đồ 3 giao hoán  DnY1 f # n1  f # n2 DnX1 Vậy bổ đề được chứng minh n1 f # n 2 (T# n 2 ( Dn1 (in1 )) 79 Cho X là không gian topo, A  U  là một họ các tập con của X mà  X   A  Cn ( X ) ni  0 thì    sao cho IntU , Cn ( X ) c   nT i i khi đó :       CnA1 ( X )  CnA ( X )    C1A ( X )  C0A ( X )  0 A n1 A n A 1 A 0 và       CnA1 ( X )  CnA ( X )    C1A ( X )  C0A ( X )   A n1 A n A 1 A 0 là nửa khớp. Định lý 2.3.3. Cho X là không gian topo, A  U  là một họ các tập con của X mà X    IntU . Khi đó ánh xạ nhúng i# n : CnA ( X )  Cn ( X ) c   nT i i c cảm sinh một đẳng cấu giữa các nhóm đồng điều H nA ( X ), H n ( X ) (cũng đúng cho đồng điều thu gọn) Chứng minh. in : H nA ( X )   H n ( X ) là phép đồng cấu z  BnA ( X ) i# n ( z )  Bn ( X ) với z  BnA ( X )  Z nA ( X ) Chứng minh i n là đơn ánh  Z nA ( X ) , nếu i# n ( z )  Bn ( X ) , ta phải chứng minh Với z   nT i i z  BnA ( X )  c   mi Si  Cn1 ( X ) mà  n1 (c)  z Ta chọn m đủ lớn sao cho Sdnm (c)  CnA ( X ) Ta có  n2 DnX1 (c)  DnX  n1 (c)  Sdnm1 (c)  c  c  Sdnm1 (c)   n2 DnX1 (c)  DnX  n1 (c) 80   n1 (c)   n1Sdnm1 (c)   n1DnX  n1 (c)   n1 (c)   n1Sdnm1 (c)   n1DnX z Do DnX là tự nhiên Cn ( n ) (2.29) T#n Cn ( X ) DnX n n D Cn1 ( n ) T# n 1 Cn1 ( X )  DnX T  T# n1Dn (in ) n  nếu T  CnA ( X ) thì DnX T  CnA1 ( X ) Từ (2.29)   n1 (c)   n1 (Sdnm1 (c)  DnX ( z )) vì z   nT  Z nA ( X ) i i  DnX ( z )  CnA1 ( X )  Sdnm1 (c)  DnX ( z)  CnA1 ( X )   n1 (c)   n1 ( Sdnm1 (c)  DnX ( z))  BnA ( X )  z  BnA ( X ) Chứng minh i n toàn ánh z  BnA ( X )  H n ( X ) Chọn m   sao cho Sdnm ( z )  CnA ( X ) Ta có  n1DnX ( z )  DnX1 n ( z )  Sdnm ( z )  z  z  Sdnm ( z )   n1DnX ( z )  DnX1 n ( z )  z  Sdnm ( z)   n1DnX ( z )  0  z  Sdnm ( z )   n1DnX ( z ) Đặt c  Sdnm ( z )  CnA ( X )  nA (c)   nA (Sdnm ( z))   n ( Sdnm ( z))  Sdnm1 n ( z)  0 (2.30) 81  z  c   n1 ( DnX ( z ))  Bn ( X )  in (c  BnA ( X ))  i# n (c)  Bn ( X )  z  Bn ( X )  in là toàn ánh Xét nửa khớp sau:       CnA1 ( X )  CnA ( X )    C1A ( X )  C0A ( X )    0 A n1 A n A 1       Cn1 ( X )  Cn ( X )     C1 ( X )   C0 ( X )    0 A A H 0 ( X )  Ker I m1 n1 n H 0 ( X )  Ker  I m1 Xét i0 : H 0A ( X )   H 0 ( X ) xác định bởi z  Im1A + z  Ker  z  Im1 do z  Im1  H 0 ( X )   ( z)  0   ( z)  0 mà z  C0 ( X )  z  C0A ( X )  i0 ( z  Im1A )  z  Im1  i0 toàn ánh +  z  Im1  H 0 ( X ) với z  Ker  mà z  Im1  y  C1 ( X ) mà 1 y  z Chọn m   sao cho Sd1m ( y)  C1A ( X )   2 D1X y  D0X  2 ( y)  Sd1m ( y)  y  1 ( 2 D1X y)  1D0X (1 ( y))  1Sd1m ( y)  1 y  0  1D0X (1 ( y))  1Sd1m ( y)  z  z  1 (Sd1m ( y)  D0X (1 ( y)) Vậy định lý được chứng minh 1 82 Định lý 2.3.4. Định lý khoét Cho A  X , U mở trong X sao cho U  IntA thì phép nhúng j : ( X \ U , A \ U )  ( X , A) cảm sinh một đẳng cấu trong đồng điều kỳ dị Chứng minh. n : H n ( X \ U , A \ U )   H n ( X , A) xác định bởi Xét (i# n (c)  CnA ( A))  BnA ( X , A) (c  Cn ( A \ U ))  Bn ( X \ U , A \ U ) Với i : X \ U   X là phép nhúng được xác định x x  i# n : Cn ( X \ U )  Cn ( X ) được xác định bởi c   nT i i i# n (c) Kiểm tra  n là đơn ánh Ta có: (i# n (c)  CnA ( A))  BnA ( X , A)   ( y  CnA1 ( A))  CnA1 ( X ) CnA1 ( A) Mà  n1 ( y  CnA1 ( A))  i# n (c)  CnA ( A)   n1 y  i# n (c)  CnA ( A)  n1 y  i# n (c)  u  CnA ( A) với u   ni  0 Ti X \U nT  i i đặt a   ni  0 Ti X \U y  ti  0 U i X \U tU  i i  m j 0 Si  X \U mjS j , nT ; i i  k j 0 Li  X \U k j Lj b  m j 0 Si  X \U mjS j 83  đặt e  ti  0 U i X \U  f  tU ; i i k j 0 Li  X \U k j Lj   n1 y   n1e   n1 f    n1e      k j 0 Li  X \U k j  n1 L j    n1e     i Wi    0  W X \U i i   n1e         jV j   0 V  X \U  j i   W    V i  0 i i Wi X \U a  đặt j 0 Vi  X \U j j  i# n (c)  a  b  W i  0 i i Wi X \U   n1e  a  i# n (c)  a Từ (2.31)  i# n (c)   n1e  a  a Đặt U i : n  X \U U i' (t ) t   v  Cn ( X \ U ) v   tU i i X \U Đặt Ti : n  Ti ' (t ) t   a  Cn ( X \ U ) a   nT i i Đặt Wi : n  X \U Wi' (t ) a  i Wi  a  Cn ( X \ U ) t  i# n (c   n1v  a  a )  i# nc   n1e  a  a  0  c   n1v  a  a  Cn ( A \ U ) (2.31) 84  c  Cn ( A \ U )   n1v  Cn ( A \ U ), v  Cn1 ( X \ U )  c  Cn ( A \ U )  Bn ( X \ U , A \ U )  n đơn ánh Kiểm tra  n là toàn ánh (c  CnA ( X )  BnA ( X , A))  H nA ( X , A) Phải chứng minh:  z  Cn ( A \ U )  Bn ( X \ U , A \ U )  H n ( X \ U , A \ U ) sao cho (i# n ( z )  c  CnA ( A))  BnA ( X , A) vì c  CnA ( A)  Z nA ( X , A)  c  CnA ( A) và  c  CnA1 ( A) c  ni  0 Ti X \U nT  i i  m j 0 Si  X \U mj S j Đặt Ti : n  X \U    z  Cn ( X \ U ) z   nT i i  n z  X \ U Từ (2.32)   nc   n ( nT )   n ( m j S j ) i i   n ( nT )  nc   n ( m j S j ) i i   n ( nT ) A i i   n ( ni (i Ti)  A với Ti  (i Ti)   ni# n ( z )  A   n ( z)  A   n ( z)  A  X \ U  A \ U  z  Cn ( A \ U )  Z n ( A \ U ) (2.32) 85 Ta có i# n ( z )  c   m j S j  CnA ( A)  i# n ( z )  c  CnA ( A)  a  a  0  (i# n ( z)  CnA ( A)  BnA ( X , A)  c  CnA ( A)  BnA ( X , A)  n là toàn ánh Vậy định lý được chứng minh Định nghĩa 2.3.3. Dãy Mayer - Vietoris Cho X  X1  X 2 , cho C ( X 1 )  C ( X 2 )  C A ( X ) với A   X 1 , X 2 . Ta nói  X 1 , X 2  là một cặp khoét nếu phép nhúng C ( X1 )  C ( X 2 )  C ( X ) cảm sinh một đẳng cấu các nhóm đồng điều. Định lý 2.3.5. Dãy Mayer – Vietoris Cho X  X 1 X 2 ,  X 1 , X 2  là một cặp khoét của X thì dãy sau đây khớp      H n ( A)   H n ( X1 )  H n ( X 2 )   H n ( X )   H n1 ( A)   n n gọi là dãy Mayer – Vietoris của  X 1 , X 2 . Định nghĩa  (a)   i (a),  j (a)    ( x1 , x2 )  k ( x1 )  l ( x2 ) với các ánh xạ A i X1 k j X2 l X cũng tồn tại một dãy tương tự cho các đồng diều thu gọn. Nếu A là khác rỗng cả hai dãy đều là tự nhiên đối với các đồng cấu cảm sinh từ các ánh xạ liên tục là các phép nhúng 86 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ Trong chương này ta sẽ sử dụng các tính chất của lý thuyết đồng điều để chứng minh một vài định lý tổng quát của định lý về đường cong Jordan và định lý bất biến miền của Brouwer Một tập con A của một không gian topo X được gọi và tách X nếu X \ A là tập không liên thông. Định lý Jordan phát biểu rằng mỗi tập con của 2 2 là đồng phôi với S 1 tách . Bằng cách sử dụng lý thuyết đồng điều ta có thể chứng minh định lý tổng quát hơn:”Mỗi tập con của n1 mà đồng phôi với S n tách n 1 (n  1) .” Từ định lý này ta có thể suy ra định lý bất biến miền của Brouwer: ”Cho U là tập mở trong f :U  n n thì f (U ) là tập mở trong , cho là các ánh xạ liên tục và đơn ánh n và f là phép nhúng đồng phôi”. 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG. Định nghĩa 3.1.1. Cho A là một tập con của một không gian topo X , ta nói rằng A tách X nếu X \ A là tập không liên thông. Ta cần có bổ đề sau: Bổ đề 3.1.1. Cho X là một không gian topo ; khi đó X liên thông đường khi và chỉ khi H 0 ( X ) là nhóm tầm thường. Chứng minh. "  " Cho X là một không gian topo liên thông đường ; cho  n x  C ( X ) mà  ( n x )  0 i i i 0 i   ni  0. Ta sẽ chỉ ra rằng P  C1 ( X ) : 1P   ni xi Ta có n x  n x  n x i i i i i 0   ni ( xi  x0 ) 87 Do X liên thông đường nên Ti : 1  X liên tục mà Ti (0,1)  xi , Ti (1,0)  x0 ; Ta thấy 1Ti (1)  Ti (0,1)  Ti (1,0)  xi  x0  1 ( nT )   ni ( xi  x0 )   ni xi i i  Ker  Im 1  Ker  Im 1  H 0 ( X ) là nhóm tầm thường. "  " Cho H 0 ( X ) là nhóm tầm thường, ta chứng minh rằng X liên thông đường : x, y  X , không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng x  y. Ta thấy  ( x  y)  1  (1)  0  x  y  Ker , do H 0 ( X )  {0}  x  y  Im 1   nT  C1 ( X ) : 1 ( nT )  x  y. i i i i Khi ni  0 , ta bỏ số hạng nT , i i Khi ni  0, nT  Ti  ...  Ti ( ni lần), i i Khi ni  0 , ta đặt Ti : 1  X xác định bởi Ti (1  t , t )  Ti (t,1  t ); t [0,1] thì 1Ti  1Ti , do đó ni 1Ti  (ni )1Ti  (ni )1Ti  1Ti  ...  1Ti ( ni lần) ; Vì thế ta có thể giả sử rằng  các S j : 1  X liên tục mà 1 ( S j )  x  y. Ta sẽ chỉ ra rằng  : 1  X liên tục mà  (0,1)  x,  (1,0)  y : Ta quy nạp theo các số hạng của tổng S j Nếu số hạng của tổng là 1  1S1  x  y  S1 (0,1)  S1 (1,0)  x  y  S1 (0,1)  x, S1 (1,0)  y 88 Giả sử k  * ,  S j  C1 ( X ) mà các số hạng nhỏ hơn hay bằng k và 1 ( S j )  x  y thì  : 1  X liên tục mà  (0,1)  x,  (1,0)  y. Bây giờ cho ta có S  C1 ( X ) , j S j có k  1 số hạng, 1 ( S j )  x  y,  (S (0,1)  S (1,0))  x  y j j  j0 : S j (0,1)  x nếu S j (1,0)  y 0 0 thì   S j : 1  X liên tục mà  (0,1)  x,  (1,0)  y. 0 Nếu S j (1,0)  y  i0 : S j (1,0)  Si (0,1) 0 0 0 Cho S : 1  X được xác định bởi 1   Si (1  2t ,2t ), t [0, 2 ] S (1  t , t )    S (2  2t ,2t  1), t [ 1 ,1]  j 2 0 0 do S j (1,0)  Si (0,1) nếu S được xác định đúng đắn, S liên tục thì 0 0 S (0,1)  S j (0,1)  x 0  1S  x  S (1,0)  x  Si (1,0) 0  S j (0,1)  Si (1,0)  S j (0,1)  S j (1,0)  Si (0,1)  Si (1,0) 0 0 0 0 0 0  1S j  1Si 0 0  1S  1 (S j  Si ) 0 0  1 (  S j  S )  1 ( S j )  x  y j  j0 j  i0 số các số hạng của (  S j  S ) có k số hạng nên theo giả thiết quy nạp j  j0 j  i0  :  k  X liên tục mà  (0,1)  x,  (1,0)  y Vậy X liên thông đường. 89 Ta xét X là không gian n (hoặc S n ), A là tập đóng trong X . Do X \ A là mở trong X nên X \ A liên thông đường địa phương. Từ đó X \ A là liên thông khi và chỉ khi X \ A liên thông đường. Sử dụng Bổ đề trên, việc chứng minh X \ A liên thông sẽ đồng nhất với việc chứng minh H 0 ( X \ A) là nhóm tầm thường.  ,i  n  i  0 Bổ đề 3.1.2. Cho n  1, H i ( S n )   0, i  n  i  0 Chứng minh. Cho X1  S n \ {(0,0,...,1n1 )} mở trong S n X 2  S n \ {(0,0,...,-1n1 )} mở trong S n X  X1  X 2  S n A  X1  X 2  S n \ {(0,0,...,1n1),(0,0,...,-1n1)} X 1 , X 2 mở trong X nên ta có thể sử dụng dãy Mayer-Vietoris: H i 1 ( X 1 )  H i 1 ( X 2 )  H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X 1 )  H i ( X 2 ) do X 1 , X 2 đồng phôi với n nên là acylic Suy ra, ánh xạ giữa là một đẳng cấu, mà A đồng phôi với S n1 nên H i 1 (S n )  H i (S n1 )  ...  H i n1 (S 0 ) Khi i  n, H i (S n )  H i n (S 0 )  0 Khi i  n, H i (S n )  H 0 (S 0 )  Khi i  0 , do S n liên thông nên H 0 ( S n )  Khi 0  i  n, H i (S n )  H i 1 (S n1 )  ...  H 0 (S ni ) do S ni liên thông đường nên H 0 ( S ni )  0  ,i  n  i  0 Vậy khi n  1, H i ( S n )   0, i  n  i  0. 90 Định nghĩa 3.1.2. Mỗi không gian đồng phôi với quả cầu đơn vị đóng k chiều, thì B k được gọi là k  cell . Định lý 3.1.1. Cho B là một k  cell trong S n thì S n \ B là acylic (có nghĩa là H p ( S n \ B)  0, p ). Trường hợp riêng B không tách S n . Chứng minh. Với mỗi n cố định, ta quy nạp theo k. Khi k  0 thì B là tập một điểm nên S n \ B là tập một điểm nếu n  0 , S n \ B đồng phôi với n nếu n  1 , do đó S n \ B là acylic. Bây giờ ta giả sử định lý đúng cho các k  1  cell trong S n . Cho B là một k  cell trong S n ; Cho h : I k  B là một đồng phôi (với I  [0,1] ). Cho B1 và B2 là 2 k  cell được xác định bởi   1 B1  h  I k 1  0,   ,  2   1   B2  h  I k 1   ,1  trong S n 2    1  Cho C là k  1  cell h  I k 1     trong S n . 2  Giả sử  là một phần tử của Zi ( S n \ B) mà   Bi ( S n \ B) ta đặt     Bi (S n \ B)  H i (S n \ B) Ta sẽ chỉ ra rằng ảnh của  qua một trong hai đồng cấu cảm sinh bởi các phép nhúng i : (S n \ B)  (S n \ B1 ) j : (S n \ B)  ( S n \ B2 ) là khác không. 91 Để chứng minh điều này ta đặt X  S n \ C , theo giả thiết X là acylic; Cho X 1  S n \ B1 X 2  S n \ B2  X1  X 2  (S n \ B1 )  (S n \ B2 )  S n \ ( B1  B2 )     1 1   S n \  h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1   do h là đơn ánh  2 2        1 1  nên h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1   2 2      1  1    h  I k 1  0,    I k 1   ,1    2  2     1   h  I k 1      C 2   X1  X 2  S n \ C  X . X1  X 2  (S n \ B1 )  (S n \ B2 )  S n \ ( B1  B2 )     1 1   S n \  h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1    2 2       1  1    S n \ h  I k 1  0,    I k 1   ,1    2  2     S n \ h  I k 1  0,1  S n \ B Ta đặt A  X1  X 2 Do X1 , X 2 , X , A là các tập mở trong S n , Sử dụng dãy khớp Mayer-Vietoris: H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X 1 )  H i ( X 2 )  H i ( X ) Do X là acyclic nên đồng cấu giữa là một đẳng cấu. Ta thấy đồng cấu giữa biến  thành (i* ( ),  j* ( )) do đó 92 i* ( )  0 hoặc  j* ( )  0  j* ( )  0 . * Trường hợp i* ( )  0 , ta đặt a1  0, b1  1 thì ảnh của  qua đồng cấu cảm 2 sinh bởi phép nhúng S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  là khác không. 1 * Trường hợp j* ( )  0 , ta đặt a1  , b1  1 thì ảnh của  qua đồng cấu cảm 2 sinh bởi phép nhúng S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  là khác không. Cứ tiếp tục quá trình này ta tìm được các dãy an  ,bn   [0,1] mà [a1 ,b1 ]  [a 2 ,b2 ]  [a 3 ,b3 ]  ..., bn  an  1 , n  2n * j0 : S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  j1 : S n \ h  I k 1  [a1 ,b1 ]  S n \ h  I k 1   a2 , b2  ....   j p : S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]  S n \ h I k 1  a p 1 , bp 1  , p  0 là các phép nhúng thì  j p * ... j0 * ( )  0. Sử dụng Định lý về dãy các đoạn thắt của Cantor, e [0,1]: e   p 1 [a p ,b p ] Cho j : S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1  e   là phép nhúng, do giả thiết quy nạp H i S n \ h  I k 1  e  0 93   j* ( )  0     nqTq  Ci 1 S n \ h  I k 1  e  mà i 1 ( nqTq )   . Do các ánh xạ Tq có ảnh compact nằm trong S n \ h  I k 1  e mà S n \ h  I k 1  e   p 1 S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] (do h là đơn ánh) nên ta tìm được một p  * mà các ánh xạ Tq có ảnh nằm trong S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] Cho T ' q : i 1  S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] mà T ' q (u)  Tq (u); u i 1  i 1 ( nqT 'q )  ( j p ) # ...( j0 ) # (  )  ( j p ... j0 ) # (  )  ( j p ... j0 )# (  )  Bi ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  ( j p ... j0 )# (  )  Bi ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]) là phần tử không trong H i ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  ( j p ... j0 )* ( )  ( j p ... j0 ) # (  )  Bi ( S n \ h  I k 1 [a p ,b p ] ) là phần tử không trong H i (S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  j p*... j0* ( )  ( j p ... j0 )* ( ) là phần tử H i ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]) . Đây là điều mâu thuẫn nên Zi (S n \ B)  Bi (S n \ B)  H i (S n \ B) là nhóm tầm thường, vì vậy ( S n \ B) là acylic. không trong 94 Định lý 3.1.2. Cho n  k  0, h : S k  S n là một phép nhúng đồng phôi. Khi đó  ,i  n  k 1 H i ( S n \ h( S k ))   0, i  n  k  1. Chứng minh. Cho n cố định ; Ta chứng minh qui nạp theo k : Đầu tiên cho k  0, h(S 0 ) là tập gồm hai điểm nên S n \ h( S 0 ) đồng phôi với n \ {0} và cấu với n \ {0} cùng kiểu đồng luân với S n1 do đó H i (S n \ h( S 0 )) đẳng khi i  n  1 và tầm thường khi i  n  1 Bây giờ ta giả sử Định lý đúng với k  1,(1  k  n) ta chứng minh Định lý cho k : Cho h : S k  S n là một phép nhúng đồng phôi. Ta sẽ xây dựng dãy Mayer_Vietories : Cho X 1 , X 2 là các tập mở trong S n như sau : X1  S n \ h( Ek ), X 2  S n \ h( Ek ) và X  X 1  X 2   S n \ h( Ek )    S n \ h( Ek )   S n \  h( Ek )  h( Ek )   S n \ h  Ek  Ek   S n \ h(S k 1 ) Ở đây Ek  x  ( x1 ,.., xk 1 )  S k / xk 1  0 Ek  x  ( x1 ,.., xk 1 )  S k / xk 1  0 A  X 1  X 2   S n \ h( Ek )    S n \ h( Ek )   S n \  h( Ek )  h( Ek )   S n \ h  Ek  Ek   S n \ h( S k ) 95 Do X 1 , X 2 mở trong S n nên X 1 , X 2 mở trong X. Sử dụng dãy Mayer_Vietories : H i 1 ( X1 )  H i 1 ( X 2 )  H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X 1 )  H i ( X 2 ) Cả hai X 1 , X 2 đều là acylic theo Định lý 3.1.1 nên ánh xạ giữa là một đẳng cấu. Vì thế H i 1 (S n \ h(S k 1 ))  H i ( S n \ h( S k )), i Theo giả thiết quy nạp, nhóm bên trái là cyclic vô hạn khi i  1  n  (k  1)  1 và tầm thường trong các trường hợp khác. Do đó nhóm bên phải là cyclic vô hạn với i  n  k  1 và tầm thường trong các trường hợp khác. Định lý 3.1.3. (Tổng quát hóa của Định lý đường cong Jordan) Cho n  0 . Cho C là một tập con của S n mà đồng phôi với (n  1) -mặt cầu. Khi đó S n \ C có đúng hai thành phần liên thông và hai thành phần liên thông này nhận C làm biên. Trước khi chứng minh Định lý này ta chứng minh Bổ đề sau : Bổ đề 3.1.3. Cho X là một không gian topo. Khi đó nếu H 0 ( X )  thì X có đúng hai thành phần liên thông đường, ngược lại nếu X có đúng hai thành phần liên thông đường thì H 0 ( X )  . Chứng minh. "  " Gọi U ,V là hai thành phần liên thông đường của X z   niui   m j v j  Z 0 ( X ) với n  m i j 0 ta đặt tương ứng với phần tử  ( z )   ni  Khi đó  là đồng cấu nhóm, toàn ánh, ta chỉ cần chỉ ra rằng Ker  B0 ( X ) thì H 0 ( X )  . 96 Thật vậy z   niui   m j v j  B0 ( X ) (ở đây các ui U , các vi V )   pkTk   ql Sl  C1 ( X ) mà 1 ( pkTk   ql Sl )   niui   m j v j (Tk : 1  U , Sl : 1  V )  1 ( pkTk )   niui   ni  0   ( z )  0  z  Ker. Ngược lại z   niui   m j v j  Ker   ( z )  0   ni  0   m j  0 Do U liên thông đường nên  pkTk , (Tk : 1  U  X ) liên tục mà 1 ( pkTk )   niui Do V liên thông đường nên  ql Sl , (Sl : 1  V  X ) liên tục mà 1 ( ql Sl )   m j v j 1   pkTk   ql Sl    niui   m j v j  z  z  B0 ( X )  B0 ( X )  Ker H 0 ( X )  Z0 ( X ) / B0 ( X )  . "  " Cho H 0 ( X )  . Sử dụng Bổ đề 3.1.1, ta thấy X không liên thông đường. Ta dùng phản chứng: Giả sử X không có đúng hai thành phần liên thông đường. Ta có các trường hợp sau:  Trường hợp số thành phần liên thông đường của X là hữu hạn, gọi n là số thành phần đường của X  n  3 . Gọi X1 , X 2 ,..., X n là các thành phần liên đường của X z   m x   m x  ...   m x  Z 0 ( X ) 1 k1 Với m 1k1 1 k1 2 k2 2 k2 nkn   m2 k  ...   mnk  0 2 n nkn 97 ( x  X 1 , x  X 2 ,..., x  X n ) 1 k1 2 k2 nkn  : Z0 ( X )   ...  z ( n  1 lần) ( m1k ,  m2 k ,...,  mnk ) 1 2 n Ta có thể chứng minh được  là đồng cấu nhóm, toàn ánh, Ker  B0 ( X )  H 0 ( X )   ...   H 0 ( X ) không đẳng cấu nhóm với  Vô lý  Trường hợp số thành phần liên thông đường của X là vô hạn, ta gọi  X    là họ tất cả các thành phần liên thông đường của X . Khi đó ta có thể chứng minh được rằng H0 ( X )   Z với Z    \{ 0 } và  0 là phần tử tùy ý của   H 0 ( X ) không thể đẳng cấu với  X có đúng hai thành phần liên thông đường. Bây giờ ta chứng minh Định lý 3.1.3: Áp dụng Định lý 3.1.2, cho k  n  1  H 0 (S n \ C )  . Do đó theo Bổ đề 3.1.3, S n \ C có đúng hai thành phần liên thông đường  S n \ C có đúng hai thành phần liên thông (ta biết rằng S n \ C mở trong S n , S n là không gian liên thông đường địa phương nên thành phần liên thông của S n \ C và thành phần liên thông đường của S n \ C là như nhau). Cho W1 , W2 là các thành phần liên thông đường này. Do S n liên thông đường địa phương nên W1 , W2 mở trong S n \ C nên W1 , W2 mở trong S n . Ta chứng minh điều này. x  W1 , do S n \ C liên thông đường địa phương nên tồn tại lân cận T của x trong S n \ C mà lân cận này liên thông đường, xét W1 hợp với lân 98 cận này liên thông đường do W1 và T liên thông đường và giao của chúng khác rỗng; Do đó W1  T  W1  T  W1  W1 mở trong S n \ C  W1 mở trong S n , tương tự như vậy ta chứng minh được rằng W2 mở trong S n . Do đó W1  W1 \ W1 , W2  W2 \ W2 Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức thứ nhất. x0  W1 \ W1 , giả sử x0  C  x0  W1  W2 mà x0  W1  x0  W2 do W2 mở và x0  W1  W1  W2   , do W1 , W2 liên thông đường nên W1  W2 cũng thế  S n \ C liên thông đường  Vô lý  W1 \ W1  C. Ta chứng minh C  W1 \ W1. x  C cho một lân cận mở U của x , ta chỉ cần chỉ ra rằng U giao với tập W1 \ W1 ( khi đó x thuộc bao đóng của W1 \ W1 mà W1 \ W1 đóng trong S n  x  W1 \ W1 ) Do C đồng phôi với S n1 , ta viết C dưới dạng hợp của 2_ cell C1 , C2 mà C1 đủ bé để nằm trong U . Do C2 không tách S n vì thế ta chọn đường  trong S n \ C2 nối một điểm p của W1 và một điểm q của W2 ; do W1 , S n \ W1 là các tập mở rời nhau p  W1 , q  W2 ; 99 do W2 mở  q  S n \ W1    W1  ,   S n \ W1   ,  liên thông nên   (  W1 )  (  S n \ W1 )  y  , y  W1 , y  S n \ W1  y  W1 \ W1  y  C y  S n \ C2  y  C1  U vậy U  W1 \ W1    C  W1 \ W1  C  W1 \ W1. Tương tự ta có  C  W2 \ W2 . Định lý 3.1.4. Cho n  1. C là tập con của n n đồng phôi với S n1 . Khi đó \ C có đúng hai thành phần liên thông và C là biên chung của hai thành phần liên thông này. Chứng minh. Ta chia chứng minh ra các bước như sau: 1. Cho U là tập mở liên thông bất kỳ trong S n (n  1) , p là một điểm bất kỳ của U thì U \  p liên thông: Giả sử U \  p không liên thông, chọn quả cầu mở B tâm p bán kính  nằm trong U . Ta có B \  p liên thông, do đó B \  p nằm trong một thành phần liên thông của U \  p , gọi C là thành phần liên thông này. Cho D là hợp thành của các thành phần liên thông khác, p không là một điểm giới hạn của D . C   p  , D  , C   p  D  U , C   p  D    U không liên thông đường  Vô lý  U \  p liên thông. 2. Chứng minh định lý. 100 Không giảm tổng quát ta có thể thay n bằng S n \  p với p là một điểm cố định trên mặt cầu S n . S n \ C có hai thành phần liên thông W1 , W2 . Cho p  W1. Do kết quả của bước 1, W1 \  p liên thông, từ đó W1 \  p , W2 là hai thành phần liên thông của ( S n \  p) \ C và C là biên của W1 \  p , W2 (trong không gian S n \  p ). 3.2. ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN. Định lý 3.2.1. (Định lý bất biến miền) Cho U là tập mở của f (U ) mở trong n n , f :U  n là ánh xạ liên tục và đơn ánh. Khi đó và f là một phép nhúng. Chứng minh. Không giảm tổng quát ta có thể thay thế n bởi S n . Ta chia chứng minh thành các bước 1. Với mỗi điểm y  f (U ) , ta sẽ chỉ ra rằng f (U ) chứa một lân cận của y . Điều này chứng tỏ rằng f (U ) mở trong S n . Cho x U mà f ( x)  y . Chọn một quả cầu mở B tâm x bán kính  mà bao đóng nằm trong U . Cho S  B \ B , f ( S ) đồng phôi với S n1 nên f ( S ) tách S n thành hai thành phần liên thông W1 , W2 , chúng mở trong S n . Tập f ( B ) liên thông và không giao với f ( S ) . Do đó f ( B ) nằm trong W1 hoặc nằm trong W2 . Giả sử f ( B ) nằm trong W1 . Ta sẽ chỉ ra rằng f ( B )  W1 . Thật vậy, giả sử ngược lại thì x0  W1 \ f ( B ). Ta có  S n \ f ( B )  \ f ( S )  S n \ f ( B ) do x0  W1  S n \ f (S ) 101  x0   S n \ f (S )  \ f ( B )   S n \ f ( B )  \ f (S )  S n \ f ( B )  W1  S n \ f ( B )   Chọn y0  W2 ,W2  S n \ f (S ), giả sử y0  f ( B )  y0  W1  Vô lý  y0  f ( B )  y0   S n \ f ( S )  \ f ( B )  S n \ f ( B )  W2  S n \ f ( B )    S n \ f ( B ) không liên thông, mà theo Định lý 3.1.1, S n \ f ( B ) liên thông  f ( B )  W1  f (U ) chứa một lân cận W1 của y  f (U ) mở trong S n 2. Cho V là một tập mở bất kỳ của U  V mở trong S n , theo phần trên f (V ) mở trong S n  f (V ) mở trong f (U )  f : U  f (U ) là phép đồng phôi. Nhận xét 3.1.1 Trong Định lý đường cong Jordan tổng quát W1 , W2 là các thành phần liên thông của S n \ C ( C là (n  1)  cell ) thì dường như W1 , W2 là các n  cell . Nhưng điều này không đúng, điều này không đúng ngay cả khi W1 , W2 đồng phôi với quả cầu mở n chiều. Có một ví dụ về một phép nhúng S 2 vào S 3 các tập Wi không là đơn liên. Về các tập Wi , trong trường hợp n  2 ; Nếu C là các tập con của S 2 đồng phôi với S 1 thì C tách S 2 thành hai thành phần W1 , W2 mà cả W1 , W2 là các 2  cell . 102 KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu đọc hiểu và làm rõ một số nội dung sau: 1. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm định nghĩa về phức đơn hình, phạm trù, hàm tử, nhóm Abel tự do, topo, liên thông, liên thông đường, đồng điều đơn hình. 2. Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, tính nhóm đồng điều của một số không gian topo đơn giản, định lý khoét và một số tính chất liên quan, dãy Mayer - Vietoris. 3. Trình bày về các ứng dụng của đồng điều kỳ dị để chứng minh định lý khát quát đường cong Jordan và định lý bất biến miền. 103 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Topo đại cương, độ đo và tích phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. Tiếng Anh: [2] Aleen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Copyright 2002 by Cambridge University Press [3] Dugundji – Granas (2002), Theory of Fixed point, Spinger. [4] Edwin H. Spanier (1966), Algebraic Topology, the United states of America. [5] Godbillon (1971), Éléments De topologie algébrique, Hermann Paris. [6] Marvin J.Greenberg – John R.Harper (1981), Algebraic Topology, the benjamin/cummings publishing company. [7] James R.Munkers, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. [...]... liên thông đường Chứng minh Ta xét ánh xạ f :[0,1]  sao cho với mọi x [0,1] thì f(x) = (b – a)x + a, với mọi a, b  R Nhận thấy f liên tục và f(0) = a, f(1) = b Suy ra là không gian liên thông đường Mệnh đề 1.7.2 Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh xạ liên tục là không gian liên thông đường Chứng minh Giả sử f : X  Y liên tục, X liên thông đường Ta đi chứng minh f(X) liên thông đường Cho... liên thông của X, A  B  A Khi đó B là tập liên thông Chứng minh Vì A là tập liên thông trù mật của không gian B, cho nên B liên thông Nhận xét 1.7.1 Nếu A liên thông thì A cũng liên thông Định nghĩa 1.7.3 Không gian liên thông đường Cho E là không gian topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ  :[0,1]  E liên tục sao cho  (0)  x,  (1)  y Ví dụ 1.7.2 là không gian liên. ..  B Định lý 1.7.1 Nếu không gian topo X có một tập liên thông trù mật M thì X liên thông Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử X không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở A, B khác  sao cho 19 A  B  , X  A  B Vì M trù mật trong X, cho nên A  M  , B  M   Ta có : A  B  M  , M  A  B Suy ra M không phải là tập liên thông (theo mệnh đề 1.7.1) Điều này trái với giả thiết Vậy X liên. .. một phức xích các nhóm đồng điều H n (K,G) được gọi là các nhóm đồng điều của K trên G Nếu G là một trường thì H n (K,G) là thương của một không gian vector nên H n (K,G) cũng là một không gian vector trên trường G Các nhóm đồng điều theo định nghĩa phụ thuộc vào tam giác phân và thứ tự các đỉnh Ví dụ 1.8.1.1 Cho K là một phức đơn hình liên thông thì H 0 (K, G)  G Một phức đơn hình liên thông là... liên thông đường thì X là không gian liên thông Chứng minh Vì X là liên thông đường nên với mọi a, b  X , tồn tại f :[0,1]  X liên tục sao cho f(0) = a, f(1) = b Ta có [0,1] là khoảng đóng nên liên thông Vì f liên tục nên theo mệnh đề 1.7.2 thì ảnh liên tục của một tập liên thông là liên thông nên suy ra f([0,1]) liên thông trong X Có f(0) = a, f(1) = b suy ra tập liên thông này có chứa hai điểm a và... họ các các tập con của X thỏa mãn (i) T , X T (ii) U1 ,U 2 T  U1  U 2 T (iii) U i  T (i  I )  iI Ui T Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X; họ T được gọi là một topo trên X Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: a)  và X là những tập mở b) Giao của hai tập mở là mở c) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở 1.7 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG Định nghĩa 1.7.1 Không gian liên. .. được xác định một cách duy nhất bởi các giá trị trên các đỉnh của K Do đó, ta thường ký hiệu  : K  L Xét ánh xạ  : K  L với tương ứng tất cả các đỉnh của K đều cho ảnh là một đỉnh của L Khi đó  là một ánh xạ đơn hình và được gọi là ánh xạ hằng Hơn nữa, do các hàm tọa độ trọng tâm liên tục nên ánh xạ đơn hình liên tục trên mỗi đơn hình  K và do đó, ánh xạ đơn hình liên tục  L là ánh xạ liên. .. có 1A f  f , g1A  g Định nghĩa 1.4.2 Phạm trù con Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu  Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù P  Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của phạm trù P  Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng nhất của phạm trù P  Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù C đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm... nhân của  n : Cn (K )  Cn1 (K ) được ký hiệu là Z n (K ) và được gọi là nhóm các n – chu trình của K Ta thấy rằng Z0 (K )  C0 (K ) Ảnh của  n1 : Cn1 (K )  Cn (K ) được ký hiệu là Bn (K ) và được gọi là nhóm các n – biên và nhóm thương H n (K )  Z n (K ) Bn (K ) được gọi là nhóm đồng đều thứ n của K Các phần tử của H n (K ) được gọi là các lớp đồng đều, z  Bn (K ) là lớp đồng đều của. .. Cn  Cn1  Cn2   C0  0 n n1 n2 1 0 các nhóm Abel và các đồng cấu, trong đó hợp thành của hai đồng cấu liên tiếp bất kỳ là đồng cấu không Nhóm H n (C )  Ker n Im  n1 , n  0 Ta có thể xác định với mỗi phức đơn hình K các nhóm đồng đều trên một nhóm Abel bất kỳ hay trường G Cho G là một nhóm Abel hay một trường cố định, tổng hữu hạn hình thức cn   gi  in với gi  G là

Ngày đăng: 28/09/2015, 13:32

Xem thêm: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan, Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan