Đang tải... (xem toàn văn)
... x2 − y π γ ≤ 2 2 hc S = Dxy : x + y ≤ R Oxy I= ∫∫S zdxdy = + ∫∫ D π γ ≤ I= R − x − y dxdy R ∫ ∫ dϕ xy 2 Dxy 2 R − r rdr = R 2 2/ Cho S phía nửa mặt cầu 2 z= R −x −y tính I= ∫∫ xdydz S I = I2... − Dyz ∫∫ 2 − R − y − z dydz Dyz π 2 ≥ π α1 ≤ ∫∫ Dyz S2 Dyz =2 ∫∫ xdydz π 2 R ∫ ∫ R − y − z dydz = dϕ 0 2 R − r rdr 3/ Cho S phía mặt cầu 2 x +y +z =R tính I= ∫∫S xz dxdy 2 S = S ∪ S2 : z = ±... (cos α ,cos β ,cos γ ) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Cho hàm P, Q, R liên tục mặt định hướng S.Gọi pháp vector đơn vị S r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) Tích phân mặt loại P, Q, R S định nghĩa ∫∫ S
TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S •L là đường cong trong S đi r n qua M. Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M. •Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M. PHÁP TUYẾN MẶT CONG Giả sử L ⊂ S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L Vt chỉ phương của tiếp tuyến tại M là : r u = ( x ′(t 0 ), y ′( y 0 ), z′(t 0 ) ) M∈ S: F(x,y,z) = 0, ta có: Fx′ (M ) x ′(t 0 ) + Fy′ (M ) y ′(t 0 ) + Fz′ (M )z′(t 0 ) = 0 ⇒ ( x ′(t0 ), y ′(t0 ), z′(t 0 ) ) ⊥ ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) ) ( x′(t0 ), y ′(t0 ), z′(t0 ) ) ⊥ ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) ) (đúng với mọi đường cong trong S và qua M) r ⇒ n = ± ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) ) và các vector tỷ lệ là pháp vector của S tại M Một ký hiệu khác: gradF (M ) = ( Fx′ (M ), Fy′ (M ), Fz′ (M ) ) (gradient của F tại M) Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2 a/ Mặt cầu S : x + y + z = R 2 uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,2z0 ) (và các vector tỷ lệ) ur n uuur OM ( x0 , y 0 , z0 ) ur n Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 a/ Mặt trụ S : x + y = R M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , M 2 uuuuur n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 ) (và các vector tỷ lệ) ur n uuuur OM ′ = ( x0 , y 0 , 0) Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2 a/ Mặt nón S : x + y = z ⇔ z = ± x 2 + y 2 uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 , −2z0 ) uuuuur n (M ) z0 M ( x0 , y 0 , z0 ) M ′ = ( x0 , y 0 ,0) −z0 ( x0 , y 0 , − z0 ) MẶT ĐỊNH HƯỚNG S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu cho pháp vector tại M∈S di chuyển dọc theo 1 đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm xuất phát vẫn không đổi chiều. Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi là mặt không định hướng (mặt 1 phía ). Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector hướng từ chân lên đầu. (Chương trình chỉ xét mặt 2 phía) Mặt một phía Mặt hai phía Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong 2 2 2 a/ Mặt cầu S : x + y + z = R 2 M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , ur n = ( x0 , y 0 , z0 ) ur n uuur OM ( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT ngoài ur n = −( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT trong 2 2 b/ Mặt trụ S : x + y = R M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , PVT trong 2 uuuuur n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 ) M ur n = ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoài M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , c/ Mặt nón z0 PVT trong ur n = ( x0 , y 0 , − z0 ) PVT ngoài −z0 Pháp vector đơn vị z ur n γ α x β y r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi ∫∫ S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ S r (P ,Q, R ).nds ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∫∫ S (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2 z = R − x − y , tính I= ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy S Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là ur ( x , y , z ) n= R r ( x , y , z) I = ∫∫ (P ,Q, R ).nds = ∫∫ ( x , y , z ). ds R S S = ∫∫ S 2 2 2 x +y +z ds = R ∫∫ S 2 R ds = R R ∫∫ S ds = 2π R 3 2/ Cho S là của phần mp x + y + z = 1 bị chắn bởi các mặt tọa độ, lấy phía trước nhìn từ phía dương trục Oz, tính I= ∫∫ ( x − y )dydz + zdxdy S ur 1 1 1 n= , , ÷ 3 3 3 ur 1 1 1 hay n = − , , ÷ 3 3 3 Phía trên nhìn từ Oz+ ⇒ thành phần thứ 3 của n phải không âm ur 1 1 1 n= , , ÷ 3 3 3 I= ∫∫ ( x − y )dydz + zdxdy S = ∫∫ ur ( x − y ,0, z ).nds S =− ∫∫ S 1 1 1 ( x − y ,0, z ). , , ÷ds 3 3 3 1 =− 3 ∫∫ S ( x − y + z )ds S: z = 1 – x – y , hc S = D : x = 0, y = 0, x + y = 1 Oxy 1 1 1 I=− 3 ∫∫ ( x − y + z )ds 1 =− 3 ∫∫D ( x − y + 1 − x − y ) 3dxdy S 1 1− y ∫ ∫ = − dy 0 0 1 (1 − 2 y )dx = − 6 CÁCH TÍNH TP MẶT LOẠI 2 Vì pháp vector đơn vị thông thường rất phức tạp nên ta có thể dùng cách tính sau để thay thế: I= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∫∫ S Pdydz + ∫∫ S Qdzdx + ∫∫ S Rdxdy = I1 + I 2 + I3 Tính I3 = ∫∫ R ( x , y , z )dxdy S γ : góc hợp bởi Oz+ với n •Viết pt S dạng: z = z(x,y) (bắt buộc) •Tìm hình chiếu Dxy của S lên mp z = 0 (Oxy) ( bắt buộc) π γ ≤ ⇒ I3 = + 2 π γ ≥ ⇒ I3 = − 2 ∫∫ R ( x , yz ( x , y ))dxdy Dxy ∫∫ Dxy R ( x , yz ( x , y ))dxdy Lưu ý Nếu γ = π/2 (S//Oz hoặc S chứa Oz) ⇒ I3 = 0 Dấu + (−) nếu pháp vt hợp với chiều dương Oz một góc nhọn ( tù ) + : nếu S lấy phía trên nhìn từ Oz+ Hay – : nếu S lấy phía dưới nhìn từ Oz+ (áp dụng với I3) Pt của S: x = x(y, z) Tương tự: I : 1 Dyz = hc của S lên Oyz Góc của PVT so với Ox+ Pt của S: y = y(x, z) I2 : Dzx = hc của S lên Ozx Góc của PVT so với Oy+ S // Ox (hoặc chứa Ox) ⇒ I1 = 0 S // Oy (hoặc chứa Oy) ⇒ I2 = 0 S // Oz (hoặc chứa Oz) ⇒ I3 = 0 VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 z= R −x −y 2 tính I= ∫∫ zdxdy ∫∫ zdxdy S z n I = I3 = S 2 z = R − x2 − y 2 π γ ≤ 2 2 2 2 hc S = Dxy : x + y ≤ R Oxy I= ∫∫S zdxdy = + ∫∫ D π γ ≤ 2 I= 2 R − x − y dxdy R ∫ ∫ dϕ 0 2 xy 2π Dxy 2 0 2π 3 R − r rdr = R 3 2 2 2/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 z= R −x −y 2 tính I= ∫∫ xdydz S I = I2 S = S 1 ∪ S2 : x = ± R 2 − y 2 − z 2 2 2 2 hc S1,2 = Dyz : y + z ≤ R , z ≥ 0 Oyz Dyz Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp x = 0 z r nS2 r nS1 π π α1 ≤ ,α 2 ≥ 2 2 α là góc của Ox+ với n y x I= ∫∫ xdydz = ∫∫ 2 S =+ ∫∫ xdydz + S1 2 2 R − y − z dydz − Dyz ∫∫ 2 2 2 − R − y − z dydz Dyz π α2 ≥ 2 π α1 ≤ 2 ∫∫ Dyz S2 Dyz =2 ∫∫ xdydz π 2 2 2 R ∫ ∫ R − y − z dydz = 2 dϕ 0 0 2 2 R − r rdr 3/ Cho S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 x +y +z =R 2 tính I= ∫∫S xz dxdy 2 2 2 S = S 1 ∪ S2 : z = ± R − x − y 2 π π γ1 ≤ , γ2 ≥ 2 2 2 2 2 hc S1,2 = Dxy : x + y ≤ R Oxy Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 I= ∫∫ 2 xz dxdy = S =+ ∫∫ xz dxdy + 2 ) 2 S1 ∫∫ ( x 2 S2 R −x −y 2 Dxy − ∫∫ ( 2 2 x − R −x −y Dxy =0 ∫∫ 2 2 ) dxdy 2 dxdy 2 xz dxdy Lưu ý về tính đối xứng S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 • R(x, y, z) chẵn theo z : I3 = 0 • R(x, y, z) lẻ theo z: ∫∫ S R ( x , y , z )dxdy = 2 ∫∫ S1 R ( x , y , z )dxdy Tương tự cho I1(xét P và mp x=0), I2(xét Q và mp y=0) 4/ Cho S là phía trên của phần mặt trụ z = y 2 bị chắn bởi mặt trụ x2 + y2 = 1, tính I= ∫∫ 2 ( x + y )dydz + 2z cos ydzdx + zdxdy S I = I1 + I2 + I3 • S chứa Ox ⇒ I1 = 0 • S đối xứng qua mp y = 0, Q = 2z cosy chẵn theo y ⇒ I2 = 0 I = I3 = =+ ∫∫ Dxy Dxy ∫∫ S 2 zdxdy y dxdy ĐỊNH LÝ GAUSS - OSTROGRATXKI Cho Ω là miền đóng và bị chận trong R3, S là phía ngoài mặt biên của Ω (S là mặt cong kín). P, Q, R là các hàm liên tục trên Ω. Tích phân mặt loại 2 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∫∫∫ Ω ∂P ∂Q ∂R ∂x + ∂y + ∂z ÷dxdydz Tích phân bội ba VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài mặt bao khối Ω : x2 + y2 ≤ z ≤ 1. Tính I= ∫∫ 2 2 zy dydz + ( y + y )dzdx + x dxdy S G −O I = ∫∫∫ Ω = ∫∫∫ Ω 2 ∂P ∂Q ∂R ∂x + ∂y + ∂z ÷dxdydz (0 + 1 + 2 y + 0)dxdydz I= ∫∫∫ (1 + 2 y )dxdydz Ω: x2 + y2 ≤ z ≤ 1 Ω 2π = 1 1 0 r π dϕ dr (1 + 2r sin ϕ )rdz = 2 2 ∫ ∫ ∫ 0 2/ Cho S là phía ngoài phần mặt paraboloid z = x2 + y2 bị chắn bởi mp z = 1. Tính I= ∫∫ 2 2 2 zy dydz + ( y + y )dzdx + x dxdy S S là mặt hở. Thêm S1 vào để tạo thành mặt kín uur n1 S1 là phía trên phần mp z = 1 bị chắn trong paraboloid. Gọi Ω là vật thể được bao bởi S ∪ S1. Áp dụng công thức G-O: ∫∫ 2 2 zy dydz + ( y + y )dzdx + xdxdy S ∪S1 = ∫∫∫ Ω ⇒ π ∂P ∂Q ∂R ∂x + ∂y + ∂z ÷dxdydz = 2 (xem ví dụ trước) ∫∫ ∫∫ + S S1 π = 2 π = 2 ∫∫ ∫∫ + S S1 π ⇒I = − 2 ∫∫ S1: z = 1, trong trụ x2+y2 =1 2 2 zy dydz + ( y + y )dzdx + x dxdy S1 =0 =0 (Vì S // Ox, Oy) π ⇒I = − 2 2 ∫∫ x 2 + y 2 ≤1 2 x dxdy π = 4 3/ Cho S là phía trong mặt bao khối Ω giới hạn bởi:z = 4 – y2 , x = 0, x = 4, z = 0. Tính: I= ∫∫ zxdydz + xdzdx + zydxdy S I =− ′ + Qy′ + Rz′ ) dxdydz P ( x ∫∫∫ Ω =− ∫∫∫ Ω 4 (z + 0 + y )dxdydz 2 ∫ ∫ = − dx dy 0 −2 4− y 2 ∫ 0 (z + y )dz CÔNG THỨC STOKES Cho đường cong C là biên của mặt định hướng S. C được gọi là định hướng dương theo S nếu khi đứng trên S(pháp tuyến hướng từ chân lên đầu) sẽ nhìn thấy C đi ngược chiều kim đồng hồ. C S C S CÔNG THỨC STOKES Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm riêng liên tục trên S, C là biên định hướng dương của S. Khi đó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz Tích phân đường 2 C ∂P ∂R ∂R ∂Q ∂Q ∂P = − ÷dydz + − ÷dzdx + − ÷dxdy ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x S ∫∫ Tích phân mặt 2 VÍ DỤ 1/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1 và trụ z = y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương Oz. Tính: ∫ 2 2 I = ( x + y )dx + (2 x − z )dy + xy dz C Chọn S là phía trên mặt trụ z = y2 P=x+y Q = 2x2 – z R = xy2 I= ∫∫ S = ∂P ∂R ∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂ y − ∂ z ÷dydz + ∂ z − ∂ x ÷dzdx + ∂ x − ∂ y ÷dxdy 2 xy + 1 dydz + 0 − y dzdx + 4 x − 1 dxdy ( ) ( ) ( ) ∫∫ 2 S z = y2 bị chắn trong trụ x2+y2=1 I= 2 xy + 1 dydz − y dzdx + 4 x − 1 dxdy ( ) ( ) ∫∫ 2 S =0 (Vì S chứa Ox) =0 (tính đối xứng) I = I3 = ∫∫ (4 x − 1)dxdy S =+ ∫∫ x 2 + y 2 ≤1 (4 x − 1)dxdy = −2π 2/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1 và mặt phẳng x + z = 1 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ. Tính: ∫ 2 2 2 I = ( y − z )dx + (z − x )dy + ( x − y )dz C ∫ 2 2 2 I = ( y − z )dx + (z − x )dy + ( x − y )dz C Chọn S là phía dưới phần mặt phẳng x + z = 1, bị chắn bên trong trụ. ∂R ∂Q I = − ÷dydz ∂y ∂z S ∫∫ ∂P ∂R + − ÷dzdx ∂z ∂x ∂Q ∂P + − ÷dxdy ∂x ∂y I = ∫∫ ( −2 y − 1) dydz + ( −2z − 1) dzdx + ( −2 x − 1) dxdy S I= − 2 y − 1 dydz + − 2 z − 1 dzdx + − 2 x − 1 dxdy ( ) ( ) ( ) ∫∫ S Chuyển sang tp mặt loại 1 ur (1,0,1) S: x + z = 1, n = − 2 I= ∫∫ ur ( −2y − 1, −2z − 1, −2 x − 1) .nds S 2 = 2 ∫∫S ( y + x + 1)ds S: z = 1 – x , bị chắn trong trụ x2+y2=1 2 2 hc S = D : x + y ≤ 1 Oxy 2 I= 2 ∫∫ 2 = 2 ∫∫ 2 2 ′ ′ ( y + x + 1) 1 + zx + zy dxdy 2 = 2 ∫∫ ( x + y + 1) 2dxdy = 2π ( y + x + 1)ds S D D [...]... = ± R 2 − y 2 − z 2 2 2 2 hc S1 ,2 = Dyz : y + z ≤ R , z ≥ 0 Oyz Dyz Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp x = 0 z r nS2 r nS1 π π α1 ≤ ,α 2 ≥ 2 2 α là góc của Ox+ với n y x I= ∫∫ xdydz = ∫∫ 2 S =+ ∫∫ xdydz + S1 2 2 R − y − z dydz − Dyz ∫∫ 2 2 2 − R − y − z dydz Dyz π 2 ≥ 2 π α1 ≤ 2 ∫∫ Dyz S2 Dyz =2 ∫∫ xdydz π 2 2 2 R ∫ ∫ R − y − z dydz = 2 dϕ 0 0 2 2 R − r rdr 3/ Cho S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 x +y... I2 = 0 S // Oz (hoặc chứa Oz) ⇒ I3 = 0 VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 z= R −x −y 2 tính I= ∫∫ zdxdy ∫∫ zdxdy S z n I = I3 = S 2 z = R − x2 − y 2 π γ ≤ 2 2 2 2 hc S = Dxy : x + y ≤ R Oxy I= ∫∫S zdxdy = + ∫∫ D π γ ≤ 2 I= 2 R − x − y dxdy R ∫ ∫ dϕ 0 2 xy 2 Dxy 2 0 2 3 R − r rdr = R 3 2 2 2/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 z= R −x −y 2 tính I= ∫∫ xdydz S I = I2 S = S 1 ∪ S2... phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 x +y +z =R 2 tính I= ∫∫S xz dxdy 2 2 2 S = S 1 ∪ S2 : z = ± R − x − y 2 π π γ1 ≤ , 2 ≥ 2 2 2 2 2 hc S1 ,2 = Dxy : x + y ≤ R Oxy Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 I= ∫∫ 2 xz dxdy = S =+ ∫∫ xz dxdy + 2 ) 2 S1 ∫∫ ( x 2 S2 R −x −y 2 Dxy − ∫∫ ( 2 2 x − R −x −y Dxy =0 ∫∫ 2 2 ) dxdy 2 dxdy 2 xz dxdy Lưu ý về tính đối xứng S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 • R(x, y, z) chẵn.. .Mặt một phía Mặt hai phía Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong 2 2 2 a/ Mặt cầu S : x + y + z = R 2 M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , ur n = ( x0 , y 0 , z0 ) ur n uuur OM ( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT ngoài ur n = −( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT trong 2 2 b/ Mặt trụ S : x + y = R M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , PVT trong 2 uuuuur n (M ) = ± ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 ) M ur n = ( x0 , y 0 ,0)... = ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoài M ( x0 , y 0 , z0 ) ∈ S , c/ Mặt nón z0 PVT trong ur n = ( x0 , y 0 , − z0 ) PVT ngoài −z0 Pháp vector đơn vị z ur n γ α x β y r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi ∫∫ S Pdydz + Qdzdx +... γ )ds VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2 z = R − x − y , tính I= ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy S Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là ur ( x , y , z ) n= R r ( x , y , z) I = ∫∫ (P ,Q, R ).nds = ∫∫ ( x , y , z ) ds R S S = ∫∫ S 2 2 2 x +y +z ds = R ∫∫ S 2 R ds = R R ∫∫ S ds = 2 R 3 2/ Cho S là của phần mp x + y + z = 1 bị chắn bởi các mặt tọa độ, lấy phía trước nhìn từ phía dương... 1 (1 − 2 y )dx = − 6 CÁCH TÍNH TP MẶT LOẠI 2 Vì pháp vector đơn vị thông thường rất phức tạp nên ta có thể dùng cách tính sau để thay thế: I= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∫∫ S Pdydz + ∫∫ S Qdzdx + ∫∫ S Rdxdy = I1 + I 2 + I3 Tính I3 = ∫∫ R ( x , y , z )dxdy S γ : góc hợp bởi Oz+ với n •Viết pt S dạng: z = z(x,y) (bắt buộc) •Tìm hình chiếu Dxy của S lên mp z = 0 (Oxy) ( bắt buộc) π γ ≤ ⇒ I3 = + 2 π γ... ⇒ I3 = − 2 ∫∫ R ( x , yz ( x , y ))dxdy Dxy ∫∫ Dxy R ( x , yz ( x , y ))dxdy Lưu ý Nếu γ = π /2 (S//Oz hoặc S chứa Oz) ⇒ I3 = 0 Dấu + (−) nếu pháp vt hợp với chiều dương Oz một góc nhọn ( tù ) + : nếu S lấy phía trên nhìn từ Oz+ Hay – : nếu S lấy phía dưới nhìn từ Oz+ (áp dụng với I3) Pt của S: x = x(y, z) Tương tự: I : 1 Dyz = hc của S lên Oyz Góc của PVT so với Ox+ Pt của S: y = y(x, z) I2 : Dzx =... ) dxdy 2 dxdy 2 xz dxdy Lưu ý về tính đối xứng S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 • R(x, y, z) chẵn theo z : I3 = 0 • R(x, y, z) lẻ theo z: ∫∫ S R ( x , y , z )dxdy = 2 ∫∫ S1 R ( x , y , z )dxdy Tương tự cho I1(xét P và mp x=0), I2(xét Q và mp y=0)