Đang tải... (xem toàn văn)
... 1 − x n =1 x = , x ∈ − 1,1 ( ) (1 − x) CHUỖI TAYLOR Nhận xét: chuỗi đạo hàm chuỗi lũy thừa có khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa hàm khả vi vơ hạn khoảng htụ f ( x) = a0... khai triển chuỗi 1.Vận dụng chuỗi Maclaurin 2.Viết dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n với hàm f cho trước 3.Chỉ miền hội tụ chuỗi tìm được, miền mà hàm f khai triển thành chuỗi Taylor Chuỗi Maclaurin...ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞ n D = x ∈ R : ∑ an
CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞ n D = x ∈ R : ∑ an ( x − x0 ) hội tụ n =1 ∞ n a X Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành ∑ n , n =1 nên không tính tổng quát ta xét chuỗi Định lý Abel Neáu ∞ n a x ∑ n hội tụ x0 ≠ hội tụ n =1 tuyệt đối ( − x0 , x0 ) Hệ quả: Nếu ∞ n a x ∑ n phân kỳ x0 phân kỳ n =1 x ∉ [ − x0 , x0 ] Chứng minh định lý ∞ Nếu n n a x hộ i tụ tạ i x ≠ lim a x ∑ n n =0 n→∞ n =1 ⇒ ∃M > : n an x = n an x0 n an x0 ≤ M , ∀n n x x ≤M ÷ x0 x0 n x ∀x ∈ ( − x0 , x0 ) : 0 cho ∞ n a x ∑ n hội tụ ( − R, R ) n =1 phân kỳ bên [ − R, R ] gọi bán kính hội tụ chuỗi ( − R, R ) gọi khoảng hội tụ chuỗi Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm ±R Trường hợp chuỗi tổng quát ∞ ∑ an ( x − x0 ) n n =1 Soá R >0 cho ∞ n a ( x − x ) hội tụ ∑ n n =1 ( x0 − R, x0 + R ) phân kỳ bên [ x0 − R, x0 + R ] gọi bán kính hội tụ chuỗi Khoảng hội tụ: ( x0 − R, x0 + R ) Cách tìm bán kính hội tụ Tính: α = lim n→∞ n an an +1 α = lim n→∞ an 0, α = +∞ ⇒ R = , < α < +∞ (BKHT) α +∞, α = R = : MHT ={ 0} ( { x0 } cho chuỗi TQ ) R = ∞ : MHT = ( −∞, +∞ ) Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ sau: an R = lim hay R = lim n→∞ n a x →∞ an +1 n Trường hợp R = hay R = ∞, khơng gọi bán kính hội tụ gọi tạm cho dễ sử dụng Ta tìm bán kính hội tụ để suy khoảng ht Sau xét thêm đầu khoảng để MHT Ví dụ ∞ n (−1) n / Tìm miền hội tụ ∑ x n =1 n (−1) an = n n n R = lim = lim n = ⇒ Khoảng ht: (−1,1) n→∞ n a n →∞ n ∞ (−1) n x = : chuỗi trở thành ∑ , ht theo tc L n =1∞ n x = −1: chuoãi trở thành ∑ , phân kỳ n =1 n Vậy miền hội tụ là: D = ( −1,1] ∞ (n!) n / Tìm bán kính hội tụ: ∑ x n =1 (2n)! (n!) an = (2n)! an R = lim n→∞ an +1 (n!) (2n)! = lim n→∞ [ ( n + 1)!] (2n + 2)! (2n + 1)(2n + 2) = lim =4 n→∞ (n + 1) ∞ ∑ n =0 ( x =3 ( −1) n x n ) n + 3n ∞ ∑ n =1 ( ( −1) n n ) n + 3n ∞ =∑ n =1 Chuỗi đan dấu với an = MHT : D = ( −3,3] (2 (2 Chuỗi ht theo tc Leibnitz ( −1) n n +5 n +5 ) ) ↓0 n n n+3 b) ∑ ÷ ( x − 1) n =1 2n + ∞ R=2 Khoảng hội tụ: ( − 2,1 + ) = ( −1,3) x = −1 n n ∞ n + n + n n ∑ ÷ ( −2 ) = ∑ ÷ ( −1) = ∑ an n =1 2n + n =1 2n + n =1 ∞ ∞ n n ∞ n + n + n n ∑ ÷ ( −2 ) = ∑ ÷ ( −1) = ∑ an n =1 2n + n =1 2n + n =1 ∞ n ∞ n 2n + ÷ = 1 + ÷ 2n + 2n + n +1 5 = 1 + ÷ 2n + ⇒ an → n n +1 n →∞ → e5/2 Chuỗi pk theo đk cần n n n+3 ∑ ÷ ( x − 1) n =1 2n + ∞ x =3 n n ∞ n + n + n ∑ ÷ = ∑ ÷ = ∑ an n =1 2n + n =1 2n + n =1 ∞ ⇒ an → ∞ Chuỗi pk theo đk cần MHT : D = ( −1,3) c) ∞ ∑ ( x + 5) n =0 n2 n R=0 Chuỗi hội tụ tại: x = −5 ∞ 2n 3n n +1 2n.n + 9n d ) ∑ n + ÷x = ∑ n n n n =1 n =1 ∞ R= x=− n +1 ÷x n n + ∑ − ÷ n n 3 n =1 ∞ n n n ( −1) n = ∑ − ÷ + n n =1 HT HT ∞ HT x= n n + ∑ ÷ n n 3 n =1 ∞ n n n = ∑ ÷ + n =1 n ∞ HT 1 MHT : D = − , 3 HT HT e) ( x − 8) ∑ 2n n =1 ( n !) ∞ n R = +∞ MHT : D = ( −∞, +∞ ) Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau: a) f ( x ) = sin x b) f ( x ) = c ) f ( x ) = ( − x ) ln ( − x ) 2x d) f ( x) = 3+ x 2x (1− x ) Hướng dẫn a) f ( x ) = sin x = ( − cos x ) 2n ∞ n ( 2x ) = 1 − ∑ ( −1) ÷ n =0 ( 2n ) ! ÷ b) f ( x ) = 2x (1− x ) − ) ( − 3) − ) ( − 3) ( − ) ( ( = x 1 − ( − x ) + ( − x) + ( − x ) + L 2! 3! = x ( + x + 3x + x + L + ( n + 1) x + L) ĐKKT: − x ∈ ( −1,1) n c ) f ( x ) = ( − x ) ln ( − x ) ∞ = ( − x ) ∑ ( −1) n =1 n −1 ( −2 x ) n n ∞ n +1 n n n +1 = ∑ ( −2 x + x ) n =1 n n +1 n −1 n ∞ −2 x n =∑ x +∑ n n =1 n =2 n − ∞ −1 < −2 x ≤ Tìm khai triển Taylor hàm số sau: a) f ( x ) = , x0 = x −1 π b) f ( x ) = sin x , x = π π c ) f ( x ) = arctan x − ÷, x = 4 Tính tổng chuỗi lũy thừa sau: ∞ n x 1) ∑ , x ∈ ( −1,1) n =1 n ( n + 1) ( n + ) x n x n +1 1 x n +2 = ∑ − + ÷ x n +1 x n + n =1 n ∞ 2) ∞ ∑ n ( x + 3) n =1 = X ∞ n −1 (n + 1)! n ∞ n X X − 2∑ ∑ X n =2 n ! n =1 n ! Tính tổng chuỗi số sau: 1) ∞ ∑ ( −3 ) n =1 3) n (n + 1)! ∞ n =1 ( −3) (2n + 1)! ∑ n ∞ 2) − 3n ∞ ∑ ( −7 ) n =1 4) ∞ ( −1) ∑6 n =1 5) ∑ n =1 n ( n + 1) ( n + ) n n n n!