ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Thị Thuỳ Dương NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 1/2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Thị Thuỳ Dương NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM Chuyên ngành: Vật lý địa cầu Mã số: 60.44.0111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Đức Vinh Hà Nội – 1/2015 MỤC LỤC Mở đầu Các ký hiệu chữ viết tắt i Danh mục hình vẽ ii Danh mục bảng biểu iv Chương Các phương pháp nội suy thông dụng 1.1 Nội suy xác điểm nút 1.1.1 Nội suy Lagrange 1.1.2 Nội suy Newton 1.1.3 Nội suy Gauss 13 1.1.4 Nội suy Sterling 14 1.1.5 Nội suy Bessel 14 1.1.6 Nội suy Spline 15 1.2 Nội suy xấp xỉ nút 16 1.2.1 Phương pháp điểm lụa chọn 17 1.2.2 Phương pháp trung bình 18 1.2.3 Phương pháp bình phương nhỏ 19 Chương Các phép nội suy phần mềm SURFER 24 2.1 Vài nét phần mềm SURFER 24 2.2 Các phương pháp nội suy phần mềm SURFER 27 2.2.1 Phương pháp nghịch đảo khoảng cách (Inverse Distance to a 2.2.2 Power) 28 Phương pháp Shepard (Shepard`s Method) 32 2.2.3 Phương pháp lân cận gần (Nearest Neighbor ) 33 2.2.4 Phương pháp trung bình cửa sổ trượt (Moving Average ) 33 2.2.5 Phương pháp hồi qui đa thức (Polynomial Regression ) 34 2.2.6 Phương pháp đa thức địa phương (Local Polynomial ) 35 2.2.7 Phương pháp độ cong tối thiểu (Minimum Curvature ) 36 2.2.8 Phương pháp hàm xuyên tâm (Radial Basic Function) 37 2.2.9 Phương pháp Kriging 39 Chương Thử nghiệm số phép nội suy 41 3.1 Trường hợp nội suy hồi qui đa thức 41 3.1.1 Trường hợp toán biến 41 3.1.2 Trường hợp toán hai biến 45 3.2 Trường hợp nội suy không sử dụng hồi qui 52 Kết luận Tài liệu tham khảo Các ký hiệu chữ viết tắt  - độ dẫn điện [đơn vị Siemens/m]  - số điện môi  - độ thẩm từ  - độ suy giảm sóng điện từ [dB/m2] E - cường độ điện trường [Volt/m] D - véc tơ cảm ứng điện i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1. Mô tả phương pháp hồi qui xác nút . Hình 1.2. Kết nội suy Spline phần mềm Maple . 16 Hình 1.3. Ví dụ nội suy xấp xỉ . 17 Hình 1.4. Các điểm thực nghiệm đương cong hàm thực nghiệm . 21 Hình 2.1: Cửa sổ phần mềm Surfer 24 Hình 2.2. Các tiểu thực đơn chức Grid 25 Hình 2.3. Các tiểu thực đơn chức Map . 26 Hình 2.4. Ví dụ đồ dạng đường đẳng trị 26 Hình 2.5 Ví dụ hình vẽ dạng 3D 27 Hình 2.6. Sơ đồ mô tả phương pháp nghịch đảo khoảng cách 28 Hình 2.7. Cửa sổ thực đơn Grid . 30 Hình 2.8. Cửa sổ Option nội suy Inverse Distance to a Power . 30 Hình 2.9. Minh hoạ sử dụng đường Breakline . 31 Hình 2.10. Minh hoạ dùng đường Fault . 32 Hình 2.11. Minh hoạ việc điều chỉnh thông số Anisotropy 32 Hình 2.12. Cửa sổ điều chỉnh thông số phương pháp hàng xóm gần 33 Hình 2.13. Cửa sổ phương pháp trung bình cửa sổ trượt 34 Hình 2.14. Cửa sổ chọn thông số phương pháp đa thức địa phương 36 Hình 2.15. Cửa sổ chọn thông số phương pháp độ cong tối thiểu 37 Hình 2.16. Cửa sổ chọn thông số phương pháp Radial Basic Function 38 Hình 2.17. Cửa sổ chọn thông số phương pháp Kriging 39 Hình 3.1. Đường cong trước hồi qui . 42 Hình 3.2. Đường cong trước sau hồi qui 43 Hình 3.3. Đường cong trước hồi qui 44 Hình 3.4. Đường cong trước sau hồi qui 45 Hình 3.5. Bản đồ đẳng trị theo số liệu bảng 3.3 47 Hình 3.6. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.3 . 47 ii Hình 3.7. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.4 . 49 Hình 3.8. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.5 . 51 Hình 3.9a. Bản đồ đảng trị mảng số liệu a 52 Hình 3.9b Bản đồ đảng trị mảng số liệu b . 52 Hình 3.10. Dùng phương pháp nghich đảo khoảng cách với số liệu hình 3.9 53 Hình 3.11. Dùng phương pháp Kriging với số liệu hình 3.9 53 Hình 3.12. Dùng phương pháp độ cong tối thiểu với số liệu hình 3.9 54 Hình 3.13. Dùng phương pháp Shepard với số liệu hình 3.9 . 54 Hình 3.14. Dùng phương pháp lân cận gần (Nearest neighbor) 55 Hình 3.15. Dùng phương pháp hàm xuyên tâm (Radial Basic Function) .55 Hình 3.16. Dùng phương pháp trung bình cửa sổ trượt 56 Hình 3.17. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 56 Hình 3.18. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 57 Hình 3.19. Sơ đồ điểm số liệu ban đầu mảng số liệu hình 3.9 57 Hình 3.20. Dùng phương pháp nghịch đảo khoảng cách Kriging 58 Hình 3.21. Dùng phương pháp độ cong nhỏ phương pháp Shepard 59 Hình 3.22.Phương pháp lân cận gần phương pháp xuyên tâm bản. . 59 Hình 3.23. Phương pháp nội suy đa thức bậc . 59 iii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Trang Bảng 1.1. . Bảng 1.2. . Bảng 1.3. . 11 Bảng 1.4. . 15 Bảng 1.5. . 20 Bảng 2.1. Ví dụ tệp số liệu chuẩn bị cho Grid 25 Bảng 3.1. Số liệu mô hình tuyến tính . 42 Bảng 3.2. Số liệu mô hình phi tuyến 44 Bảng 3.3. Số liệu tính lý thuyết 46 Bảng 3.4. Số liệu tính lý thuyết cắt bớt 48 Bảng 3.5. Số liệu cài nhiễu 50 Bảng 3.6. Hàm lượng chì khu vực X 58 iv MỞ ĐẦU Xử lý số liệu công việc tránh khỏi công tác khảo sát, thực nghiệm. Một khâu xử lý số liệu nội suy giá trị theo mạng lưới cần thiết. Toán học tính toán cung cấp cho lĩnh vực xử lý số liệu nhiều thuật toán nội suy khác nhau. Việc tìm hiểu để ứng dụng cách hiệu thuật toán bước quan trọng qui trình xử lý số liệu. Tin học máy tính phát triển góp phần đẩy mạnh việc ứng dụng thuật toán phức tạp hơn, mạnh mẽ hơn. Các hãng sản xuất phần mềm ngày đưa phần mềm hoàn thiện hơn, chuyên nghiệp để phục vụ nhu cầu nhà xử lý. Cũng nhiều quốc gia giới, Việt Nam hàng năm đầu tư khoản tiền khổng lồ cho công tác điều tra, khảo sát nói chung. Một số lượng lớn thông tin thu nhập, thông tin đòi hỏi xử lý tốt hơn, nhanh hơn, xác rẻ hơn. Những năm gần Viện, Trường, có Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, nhiều đơn vị Trường đóng góp phần đáng kể nghiên cứu, xây dựng chương trình phục vụ công tác xử lý số liệu. Lĩnh vực nghiên cứu Trái đất thăm dò khoáng sản quan tâm phát triển mảng nghiên cứu này. Trong khuôn khổ luận văn , thời gian có hạn hạn chế mặt kiến thức, học viên giao đề tài “Nghiên cứu thử nghiệm số phương pháp nội suy xử lý số liệu thực nghiệm”. Nội dung luận văn tóm tắt hệ thống phép nội suy thông dụng, phép nội suy cài đặt phần mềm xử lý số liệu phần mềm SURFER. Bản luận văn chia làm ba phần: phần thứ trình bày phép nội suy dạng đường thông dụng, phần thứ hai trình bày phép nội suy dạng mặt cài đặt phần mềm SURFER. Phần cuối trình bày số kết thử nghiệm. Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo môn Vật lý địa cầu. Xin cảm ơn bạn khóa tận tình giúp đỡ để hoàn thành luận văn này. Hình 3.6. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.3 Kết hàm hồi qui SURFER tìm thấy sau: z(x,y) = -4.9 -1.35971e-007y + 1.2y^2 -4.28044e-008x -1.3xy + 1.5x^2 Ta thấy hệ số gần trùng khít với hệ số lý thuyết. Chúng thử loại bỏ số liệu dải (coi gặp chướng ngại vật không đo được), số liêu bảng 3.4 đây: Bảng 3.4. Số liệu tính lý thuyết cắt bớt -3.5 -0.3 5.9 15.1 27.3 42.5 60.7 81.9 ffff 0.7 5.6 13.5 24.4 38.3 55.2 75.1 ffff ffff 7.7 14.3 23.9 36.5 52.1 70.7 10.6 ffff ffff 17.5 25.8 37.1 51.4 68.7 20.1 18.1 ffff ffff 30.1 40.1 53.1 69.1 32.0 28.7 28.4 ffff ffff 45.5 57.2 71.9 46.3 63.0 41.7 57.1 40.1 54.2 41.5 54.3 ffff 57.4 ffff ffff 63.7 ffff 77.1 84.7 82.1 74.9 70.7 69.5 71.3 76.1 ffff ffff 106.1 98.0 92.3 89.0 88.1 89.6 93.5 99.8 108.5 Với mảng số liệu SURFER vẽ đẳng trị ta phải nội suy lưới vuông chữ nhật cần thiết. Hàm hồi qui SURFER tìm thấy sau: z(x,y) = -4.9 -2.99823e-007y + 1.2y^2 -1.90028e-007x -1.3xy + 1.5x^2 Kết tốt không so với chưa cắt bớt liệu. Bản đồ đẳng trị theo mảng số liệu trình bày hình 3.7. Bản đồ gần trùng khít với đồ hình 3.6. 52 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 Hình 3.7. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.4 Tiếp tục khảo sát, dùng số liệu bảng 3.4 có cài thêm nhiễu ngẫu nhiên có nhiều chỗ đến 10% giá trị nguyên gốc. Để tiện theo dõi, đưa phần tệp .DAT bảng 3.5. Với mảng số liệu phải nội suy SURFER theo qui trình lần trước. Kết SURFER tìm thấy hàm hồi qui sau: z(x,y) = -4.575 -0.03130y + 1.222y^2 + 0.01850x -1.322xy + 1.448x^2 Quan sát kết so sánh ta thấy xuất thêm hai hệ số (in nghiêng) mức đáng kể, hai hệ số trước mức phần triệu, lên tới phần trăm. Các hệ số trước hoàn toàn trùng lý thuyết bị méo đôi chút. Bản đồ đẳng trị theo mảng số liệu trình bày 53 hình 3.8. Nhìn chung, hình dáng đường đẳng trị giữ độ uốn hình không bị nhiễu. Sai số bình phương trung bình mảng số liệu lý thuyết nội suy mảng số liệu bị nhiễu nội suy là: ss=0.1165. Có thể khẳng định sai lệch nhỏ. Bảng 3.5. Số liệu cài nhiễu X 1.0 1.0 1.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 5.0 5.0 5.0 Y 7.0 8.0 9.0 1.0 2.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 1.0 2.0 3.0 6.0 7.0 8.0 9.0 1.0 2.0 3.0 4.0 7.0 8.0 9.0 1.0 2.0 3.0 Z 6.30 63.00 82.10 -0.30 0.70 18.10 28.70 41.70 57.10 74.90 5.90 5.60 7.70 28.40 40.10 54.20 70.70 15.10 13.50 14.30 17.50 41.50 54.30 69.50 27.30 24.40 23.90 54 Z (nhiễu) 48.62 59.43 87.30 -0.31 0.63 19.01 25.93 39.34 61.48 80.64 5.41 5.73 7.88 30.58 41.04 58.36 68.58 14.04 13.10 12.92 17.68 38.60 51.22 68.34 27.57 22.69 24.46 5.0 5.0 5.0 5.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 7.0 7.0 7.0 7.0 7.0 7.0 9.0 4.0 5.0 8.0 9.0 1.0 2.0 3.0 6.0 9.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 4.0 25.80 30.10 57.40 71.30 42.50 38.30 36.50 45.50 76.10 60.70 55.20 52.10 51.40 53.10 57.20 89.00 22.96 27.99 51.85 75.82 39.53 37.15 37.35 47.78 68.74 57.26 52.07 52.62 49.86 47.97 61.59 82.77 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 Hình 3.8. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu bảng 3.5 55 Nhận xét: Với thử nghiệm vừa trình bày ta thấy hiệu phép nội suy thông qua việc thực phép hồi quy. Với số liệu lý thuyết, dù cài thêm nhiễu ngẫu nhiên (không lớn), kết nội suy trì chất số liệu ban đầu. Có thể kết luận qui luật hàm thực nghiệm giống với hàm lý thuyết việc hồi qui để nội suy thuận lợi. 3.2. Trường hợp nội suy không sử dụng hồi qui Phần lớn số liệu thực nghiệm dùng hàm đơn giản để hồi qui được. Đa số phép nội suy phần mềm SURFER tính đến chuyện này. Để thử với phép nội suy không dùng hồi qui sử dụng hai mảng số liệu sau: mảng a lấy tệp số liệu DEMOGRID phần mềm SURFER, mảng b tạo từ việc giải toán thuận trọng lực, gồm vật thể dạng cầu phía góc phải hình vật thể dạng trụ tròn nằm ngang phía góc trái (hình 3.9. a ,b). 30 25 20 15 10 0 Hình 3.9. a.Bản đồ đảng trị mảng 10 15 20 25 b.Bản đồ đảng trị mảng 56 30 số liệu a số liệu b Để tiện theo dõi hiệu ứng phép nội suy ta xem xét kết nội suy theo phương pháp theo cặp số liệu dùng để thử nghiệm (hình 3.9). Cần phải nói thêm mảng số liệu b dùng làm đầu vào cho phép nội suy rút gọn từ mảng lý thuyết 32x32 mảng 8x8, nghĩa mảng số liệu đầu vào thưa. Các kết trình bày hình từ 3.10 đến 3.18. 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.10. Dùng phương pháp nghich đảo khoảng cách với số liệu hình 3.9 57 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.11. Dùng phương pháp Kriging với số liệu hình 3.9 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 Hình 3.12. Dùng phương pháp độ cong tối thiểu với số liệu hình 3.9 58 30 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.13. Dùng phương pháp Shepard với số liệu hình 3.9 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.14. Dùng phương pháp lân cận gần (Nearest neighbor) 59 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.15. Dùng phương pháp hàm xuyên tâm (Radial Basic Function) 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 Hình 3.16. Dùng phương pháp trung bình cửa sổ trượt 60 30 30 25 20 15 10 0 10 15 20 25 30 Hình 3.17. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 30 25 20 15 10 0 10 15 20 Hình 3.18. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 61 25 30 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 30 30 Hình 3.19. Sơ đồ điểm số liệu ban đầu mảng số liệu hình 3.9 Trên kết thử nghiệm nội suy với mảng số liệu lý thuyết. Dưới mảng số liệu thực tế, mảng số liệu hàm lượng nguyên tố chì (Pb) khu vực X Việt nam. Số liệu đưa bảng 3.6 kết nội suy trình bày hình từ 3.20 đến 3.23. Bảng 3.6. Hàm lượng chì khu vực X stt X 0.0 0.3 0.8 2.0 3.2 2.8 4.5 6.4 Y 11.0 10.0 8.3 7.0 5.7 3.8 2.7 0.0 PB 5.2 7.8 10.4 2.6 2.6 6.2 5.2 5.2 62 stt 21 22 23 24 25 26 27 28 X 9.6 10.3 10.2 10.0 8.6 11.6 10.9 11.0 Y 7.0 5.7 4.7 3.6 2.9 9.0 8.0 7.4 PB 5.2 5.2 7.8 5.2 5.2 10.4 7.8 6.2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.1 7.6 7.9 8.1 7.2 7.8 8.4 9.1 9.6 9.9 9.9 9.7 8.6 8.3 7.7 6.9 12.3 11.4 10.5 10.0 9.8 9.2 8.5 7.8 5.2 5.2 5.2 5.2 7.8 6.2 6.2 5.2 5.2 10.4 15.6 5.6 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 12 12 10 10 11.1 11.9 14.6 16.9 16.5 16.1 16.2 16.6 16.3 8.7 15.3 22.0 6.3 5.3 4.2 8.0 7.2 6.2 5.1 8.7 9.3 13.0 9.8 5.5 5.2 5.2 5.2 5.2 10.4 5.2 7.8 13.0 5.2 5.2 2.1 3.8 0 10 12 14 16 18 20 22 10 12 14 16 18 20 22 20 22 Hình 3.20. Dùng phương pháp nghịch đảo khoảng cách Kriging 12 12 10 10 0 10 12 14 16 18 20 63 22 10 12 14 16 18 Hình 3.21 Dùng phương pháp độ cong nhỏ phương pháp Shepard 12 12 10 10 0 10 12 14 16 18 20 22 10 12 14 16 18 20 22 Hình 3.22. Phương pháp lân cận gần phương pháp xuyên tâm 12 12 10 10 0 10 12 14 16 18 20 22 10 12 14 16 18 20 22 Hình 3.23. Phương pháp nội suy đa thức bậc Nhận xét: Điều đáng ghi nhận phép nội suy lân cận gần trung bình cửa sổ trượt tưởng dễ sử dụng thật không dễ. Chúng nhiều thời gian để thay đổi thông số cửa sổ chưa chọn thông số cho kết tốt hơn. Trong trường hợp thử nghiệm trên, kết theo hai phương pháp xấu. Phương pháp nghịch đảo khoảng 64 cách cho hiệu ứng “mắt trâu” rõ. Kết xấu, khó chấp nhận. Phương pháp đa thức địa phương “là trơn” số liệu mạnh. Như vậy, cần ý bậc đa thức, trường hợp trường quan sát biến đổi có max có rõ ràng nên chọn bậc cao hơn. Các phương pháp nội suy khác ta thấy hầu hết chấp nhận được. Có thể xếp theo thứ tự ưu tiên sau: phương pháp Kriging, phương pháp hàm xuyên tâm bản, phương pháp Shepard, phương pháp độ cong tối thiểu, phương pháp đa thức địa phương. Mật độ phân bố điểm quan sát (các điểm có số liệu) có ảnh hưởng đến kết nội suy. Hình 3.19 sơ đồ điểm số liệu gốc (điểm quan sát hay điểm số liệu gốc chấm tô đen). Mảng số liệu lấy theo tệp Demogrid.dat có 47 điểm số liệu diện tích 7x9, mảng số liệu lý thuyết có 64 điểm diện tích 32x32. Chính mật độ mau nên phân bố không kết nội suy theo tệp số liệu Demogrid.dat nói tốt hơn. Các nhận xét dù cảm nhận số ỏi thử nghiệm mà học viên thực hiện. Các phương pháp nội suy bị coi chưa tốt hiệu với mảng số liệu có đặc thù khác. 65 KẾT LUẬN Qua việc thực luận văn rút số nhận xét sau: - Có hệ thống phong phú phương pháp nội suy lĩnh vực xử lý số liệu. Nhiều phép nội suy chương trình hoá chuyên nghiệp phần mềm SURFER. - Với số liệu có qui luật biến đổi đơn giản nên nội suy thông qua hồi qui dùng hàm đa thức. - Các thử nghiệm cho thấy phần mềm SURFER thực phép tính nội suy nhanh. Phương pháp nội suy Kriging, phương pháp hàm xuyên tâm bản, phương pháp Shepard, phương pháp độ cong tối thiểu, phương pháp đa thức địa phương cho độ tin cậy cao. - Cần tiếp tục thử nghiệm với mảng số liệu có qui luật phân bố khác để làm rõ tính hiệu phương pháp nội suy. 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Tạ Văn Đĩnh. Phương pháp tính. Nhà xuất Giáo dục, 1994. 2. Dương Thuỷ Vỹ. Phương pháp tính. Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2001. Tiếng Anh 3. Golden Sofware Inc. SURFER User’s Guide. 4. Mathews J.H. Numerical methods Using Matlab. Prentice Hall, 2001. Tiếng Nga 5. Ivanova I.А., Chekansev V.А Giải toán địa chất với phần mềm Surfer. Nhà xuất Đại học bách khoa Tômxk, 2008. 6. Kalitkin N. N, Samarxki А.А. Phương pháp số. Nhà xuất "BKV- Peterbua", 2011. 7. Palovko А., Butusov P. Phép nội suy. Nhà xuất "BKV- Peterbua", 2004. 8. Sinkin К.J. Hệ thông tin địa lý với Golden Software Surfer. Nhà xuất Bách khoa, 2008. 9. Sirkerov S.A. Thăm dò từ trọng lực. Nhà xuất Nedra, 1999. 10. Slepak Z.M. Sử dụng phương pháp trọng lực dầu khí. Nhà xuất Nedra, 1980. 11. Trukhachep A.A. Thực hành phương pháp số. Nhà xuất MIFI Moxcva, 2010. 12. Uchômôv E.V. Thăm dò trọng lực. ĐH Tổng hợp Kazan, 1999. 67 [...]... (1.14) Công thức (1.14) được gọi là công thức nội suy Gauss thứ nhất Cũng như nội suy Newton, còn có công thức nội suy Gauss thứ 2 như sau [7]: 14 (1.15) Nội suy Gauss cũng như nội suy Newton được khuyến cáo dùng tốt cho khoảng giữa của bảng số liệu [7] Yếu điểm của nội suy này là chỉ dùng trong trường hợp nút nội suy cách đều 1.1.4 Nội suy Sterling Công thức nội suy Sterling chính là trung bình của hai... bộ đoạn có chứa các giá trị đối số đã có giá trị hàm Nói đơn giản hơn, nội suy là xác định hàm tại vị trí không đo được hoặc chưa đo được dựa vào các giá trị đã đo được xung quanh nó Trong thực nghiệm nói chung và vật lý địa cầu nói riêng, số liệu đo đạc là những bảng số liệu như bảng 1.1 Bài toán nội suy rất quan trọng trong lĩnh vực mô hình hóa, xử lý số liệu thực nghiệm, chuyển các hàm phức tạp... và số điểm n – (m + k) hay (n – m – k) trong khoảng 3 Ta có 3 phương trình sau: 19 (1.18) Giải hệ 3 phương trình này ta sẽ có được hàm (x) cần tìm Kết quả nội suy bằng phương pháp trung bình này không tồi tuy nhiên nó đòi hỏi số điểm thực nghiệm đủ lớn, nhất là với trường hợp hàm nội suy bậc cao 1.2.3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất Phương pháp bình phương nhỏ nhất dựa trên tiêu chí là tổng bình phương. .. thực nghiệm được cho dưới dạng bảng như bảng 1.4 Tìm hàm nội suy thực nghiệm theo các phương pháp xấp xỉ vừa trình bày 21 Bảng 1.4 Vẽ các điểm thực nghiệm (như trên hình 1.4) ta thấy có thể xấp xỉ chúng bằng một đa thức bậc n Với n = 2, ta có thể tìm đa thức nội suy dạng (x)= a0 + a1x + a2x2 Chúng ta sẽ tìm các hệ số a0, a1, a2 bằng cả ba phương pháp nội suy xấp xỉ vừa xem xét Hình 1.4 Các điểm thực. .. 1.1.6 Nội suy Spline Có thể tăng độ chính xác đáng kể với một đa thức nội suy bậc không cao trong từng khoảng (a,b) khá nhỏ Đa thức nội suy đáp ứng yêu cầu như vậy gọi là Spline Nội suy Spline trong những năm gần đây rất được quan tâm nghiên cứu ứng dụng, rất nhiều ứng dụng có cài đặt nội suy Spline Có Spline bậc 2, bậc 3 và đôi khi bậc 4, thông dụng nhất vẫn là bậc 3 [4, 7] Ví dụ 1.4 Số liệu được cho trong. .. nội suy xấp xỉ Trong hình trên, điểm tròn đen là giá trị thực nghiệm, i là độ lệch giữa giá trị đo và hàm nội suy, (x) là hàm thực nghiệm Câu hỏi đặt ra là tiêu chuẩn nào để lựa chọn hàm thực nghiệm Có thể dựa vào các tiêu chuẩn sau [7]: - Trung bình của độ lệch nhỏ nhất, nghĩa là - Tổng các bình phương độ lệch nhỏ nhất, nghĩa là Trong lịch sử phát triển của khoa học tính toán và xử lý số liệu, phương. .. (1.18) ta có: Đưa các số liệu trong bảng đã cho (bảng 1.4) vào các phương trình trên: Giải hệ này ta được cũng được: a0 =0.8 , a1 = 1.2 , a2 = 3.1, hàm thực nghiệm cần tìm là: c Phương pháp bình phương nhỏ nhất: Vì hàm thực nghiệm được lựa chọn là đa thức bậc 2, áp dụng công thức (1.21) ta có : 23 (1.22) Theo bảng số liệu thực nghiệm 1.4 ta có: Thay các số liệu này vào (1.22) ta có hệ phương trình: Hệ này... viết các phương trình Giải hệ phương trình có được để xác định các hệ số của hàm nội suy thực nghiệm Điểm yếu tất nhiên của cách làm này là yếu tố chủ quan 1.2.2 Phương pháp trung bình Phương pháp này chỉ dựa trên tiêu chuẩn tổng các độ lệch (bậc nhất) nhỏ nhất, nghĩa là: (1.17) Trong trường hợp hàm hồi qui chỉ có một hệ số (ví dụ (x)=ax) thì một phương trình là đủ Nhưng nếu cần xác định n hệ số của... dụng công thức nội suy nút không cách đều (1.11) qua ví dụ dưới đây Ví dụ 1.3 Giả sử số liệu đã cho trong bảng 1.2 (như ví dụ 1.1) Ta tính các gia số bậc 1 và 2 - Các gia số bậc 1: - Các gia số bậc 2: Các gia số bậc 2 bằng nhau, không có đa thức bậc cao hơn, đa thức cần tìm có bậc là 2 Đưa các gia số và số liệu trong bảng 1.2 vao (1.11) ta nhận được: Kết quả nội suy trùng với kết quả trong các ví dụ... trị thực nghiệm tương ứng với các đối số x1 , x2 , x3 , …, xn Hàm nội suy thực nghiệm có thể tìm dưới dạng đa thức : Tiêu chuẩn đánh giá hàm thực nghiệm này là : (1.19) Lấy đạo hàm theo các biến a0, a1, a2, …, an và cho nó bằng không như dưới đây: 20 (1.20) Qua một số biến đổi, ta có hệ các phương trình: (1.21) Ví dụ 1.5 Chúng ta xem xét các phương pháp nói trên thông qua ví dụ dưới đây Giả sử số liệu . tài Nghiên cứu thử nghiệm một số phương pháp nội suy trong xử lý số liệu thực nghiệm . Nội dung chính của bài luận văn này là tóm tắt hệ thống các phép nội suy thông dụng, nhất là các phép nội. Hà Nội – 1/2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thuỳ Dương NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thuỳ Dương NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM LUẬN VĂN