1 PHẦN :HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ I : KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN A. KHOẢNG CÁCH. 1) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a không gian độ dài đọan thẳng MH, MH  a với H  a. 2) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) độ dài đọan MH, MH  (P) với H  (P). 3) Nếu đường thẳng a // (P) khỏang cách từ a đến (P) khỏang cách từ điểm M a đến (P). 4) Nếu hai mặt phẳng song song khỏang cách chúng khỏang cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5) Hai đường thẳng chéo a b luôn có đường thẳng chung  . Nếu  cắt a b A B độ dài đọan thẳng AB gọi khỏang cách a b chéo nói trên. Muốn tìm khỏang cách hai đường thẳng chéo người ta có thể: a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung. b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ nhất. c) Hoặc tìm khỏang cách hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau. B. GÓC 1) Góc  (0    90 ) hai đường thẳng không gian góc hai đường thẳng qua điểm tùy ý không gian song song với hai đường thẳng cho. 2) Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vuông góc mặt phẳng. 3) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó. VẤN ĐỀ II : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1. Thể tích khối hộp chữ nhật. V = abc 2. Thể tích khối lập phương. V = a3 3. Thể tích khối lăng trụ. V = B.h 4. Thể tích khối chóp. ( a, b, c kích thước) V = B.h ( B diện tích đáy ) Chú ý : Tỉ số thể tích S I’ C’ A’ B’ I C A B VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l 2. Thể tích khối trụ: V =  .R .h ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) ( h : độ dài đường cao ) 3. Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  .R.l . .R .h 4. Thể tích khối nón: V = 5. Diện tích mặt cầu: S = 4. .R  .R 6. Thể tích khối cầu: V = Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. Tọa độ điểm véctơ :      Tọa độ điểm: M  x;y;z   OM  xi  y j  zk  Tọa độ véctơ : a  a1 ;a ;a  a  a1 i  a j  a k        CÔNG THỨC : Cho A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; Z C    a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  ta có:  1. Toạ độ véc tơ : AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A    2. Tổng – Hiệu hai véc tơ : a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  3. Nhân số với véc tơ :  k .a   ka1; ka2 ; ka3  a1  b1   4. Điều kiện hai véc tơ : a  b  a  b  2 a  b  3    a  kb ; k  R  a1:a : a  b1:b : b3   5. Điều kiện hai véc tơ phương : a / / b   a1 a a     b1 b b3        a, b     6. Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng  AB // AC 7. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước . ( k  )   ĐN : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k .MB Khi đó: xM  x1  kx2 y  ky2 z  kz2 ; yM  ; zM  1 k 1 k 1 k 8. Toạ độ trung điểm I đoạn AB : xI  x A  xB y  yB z z ; yI  A ; zI  A B 2  xM '  xI  xM 8. Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I :   yM '  y I  yM z  2z  z I M  M' 9. Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : x  x A  xB  xC ; y  y A  yB  yC ; z  z A  z B  zC G G G 10. Toạ độ trọng tâm K tứ diện ABCD : xK  x A  xB  xC  xD y  yB  yC  yd z  z  z  zD ; yK  A ; zk  A B C 4 11. Tích vô hướng hai véc tơ :  12. Độ dài véc tơ : a   a.b  a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 13. Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách hai điểm AB ) :  AB  AB   xB  x A  14. Góc hai véc tơ :   Gọi   a, b     0;      yB  y A    zB  z A   a.b  cos     a.b Lưu ý: Góc hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác . 15. Điều kiện hai véc tơ vuông góc :    a  b  a.b  Công thức tích có hướng tích hỗn tạp 1/ 2/   a, b, c      a, b  .c  đồng phẳng      a, b, c không đồng phẳng   a, b  .c  3/ A,B,C,D đồng phẳng  4/ ABCD tứ diện  5/ Diện tích tam     A B , A C  .A D              A B , A C  .A D    giác ABC : S ABC     AB , AC       V   AB, AC  . AA ' 6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 7/ Thể tích tứ diện ABCD : VABCD      AB, AC  . AD  6 Chú ý: † Một số điểm đặc biệt : 1. M  Ox  M( x;0;0 ) , M  Oy  M( 0;y;0 ) , M  Oz  M( 0;0;z ) 2.M  Oxy  M( x;y;0 ), M  Oxz  M( x;0;z ), M  Oyz  M( 0;y;z) II. Mặt phẳng : Định lý : Mp  qua điểm  x0; y0; z0  có phương trình tổng quát :  n   A; B; C  làm VTPT nhận A x  x0   B y  y0   C z  z0   Chú ý:  MpOxy có phương trình : z =  MpOxz có phương trình : y =  MpOyz có phương trình : x =  k   0;0;1 có VTPT  j   0;1;0  có VTPT  i  1;0;0  có VTPT Định lý :mặt phẳng  chắn trục Ox , Oy , Oz A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c  có pttq : x y z   1 a b c III. Đường thẳng:  Định lý: Đường thẳng d qua điểm M  x ; y ; z  nhận a   a1; a2 ; a3  làm VTCP có x  x0  a1t  phương trình tham số :  y  y  a 2t z  z  a t  t  phương trình tắc : Chú ý: R x  x0 y  y z  z ( a1 , a2 , a3  )   a1 a2 a3 x  t Trục Ox có phương trình y  z   x   có VTCP i  1;0;0  , Trục Oy có phương trình y  t z   x    , Trục Oz có phương trình y  có VTCP k   0;0;1  z  t   VTCP j   0;1;0  IV. Vị trí tương đối đường thẳng - mặt phẳng: 1. Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  1  : A1x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  TH1 :  1  cắt  2   TH2 :  1  song song TH3 :  1   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  2    2   A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 2. Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng Đường thẳng TH1:  d1  TH2:  d1   d2   d1   có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  có VTCP b   b1; b ; b  qua điểm B   a // b a1 : a2 : a3  b1 : b : b3 cắt  d             a, b  .AB      a, b  .AB        song song  d   a // b không phương AB có TH3:  d1  TH4:  d1  ,  d    d2      a // b // AB chéo      a, b  .AB       , đồng phẳng d d a   1    , b  .AB  Chú ý: 3. Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cách 1: Cho đường thẳng  d có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  x ; y ; z   Mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n   A; B; C  TH1:   d cắt (  )  n.a    (a  n)   n.a=0 n.a=0 TH2: d // (  )     A.x o +B.y o +C.z o +D   A  mp     n.a=0 TH3: d  (  )    A  mp     n.a=0   A.x o +B.y o +C.z o +D=0 Cách : Tìm giao điểm đưa kết luận   n Chú ý: d  (  )  // a  a1 : a2 : a3 = A : B : C V. Khoảng cách: 1. Khoảng cách từ điểm M đến mp (  ) Cho điểm M  x ; y ; z  mp(  ) : Ax + By + Cz + D = Ta có : d  M;   Chú ý : Ax0  By  Cz  D A  B  C2 d  M; mpOxy   z , d  M; mpOxz   y , Các dạng khoảng cách khác : i. Khoảng cách hai mặt phẳng song song Phương pháp: Lấy điểm M  mp     d  ,    d  M,   ii. Khoảng cách đường thẳng  song song mặt phẳng Phương pháp: Lấy điểm M  đường thẳng   d  M; mpOyz   x0  d  ,    d  M,   2. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  Phương pháp : Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M đt  B1: Lập mặt phẳng B2: H =    qua điểm M vuông góc đt   B3: d  M,    MH  Công thức:  có véctơ a qua điểm A     a ,A M    d M ,    a Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vuông góc H điểm M trục tương ứng tính MH Hệ quả: Khoảng cách hai đường thẳng song song d1 d  d1 có véctơ a qua điểm A  d có véctơ b qua điểm B  d    a, AB    d1 , d      a 3. Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d  d1 có véctơ a qua điểm A  d có véctơ b qua điểm B Phương pháp: Lập phương trình mặt phẳng  chứa d1 song song d2 .  d  d1; d   d  B,       a, b  .AB Công thức: d d , d      2   a, b   VI. Góc : 1. Góc hai mặt phẳng  1  va        n1.n2  cos     n1 . n2    Gọi    ,      ,90  Hệ quả:  1     n1.n2   2   2. Góc hai đường thẳng d1 d :     d2      Gọi   d , d     ,90  Hệ quả:  d1   a.b  cos     a.b  a.b       Chú ý : Trong tam giác ABC ta có : A  AB, AC 3. Góc đường thẳng d mặt phẳng    Gọi   d ,      00 ,900  Hệ quả: d      n // a   AB. AC  cosA= AB. AC     n.a  sin     n.a VII. Mặt cầu: ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) bán kính R có phương trình:  x  a   y  b   z  c  R2 ĐL2: Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= đk: a2 + b2 + c2 – d > phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) bán kính R  a  b  c  d Vị trí tương đối mặt phẳng TH1:  cắt ( S )  TH2:  TH3:  tiếp xúc ( S )  d  I ;   R không cắt ( S ) Thường hợp   mặt cầu ( S ) :  d  I ;   R d  I ;   R gọi tiếp diện MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp: Tìm điểm véctơ pháp tuyến ( cặp VTCP ). VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình mặt đường thẳng Phương pháp : Tìm điểm véctơ phương (hoặc cặp VTPT) . VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng. Dạng 1: Hình chiếu vuông góc điểm M mặt phẳng  Phương pháp: Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M mp  B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vuông góc mp  B2: H = d   Chú ý: Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp   M’ đối xứng với điểm M qua điểm H  x M /  2x H  x M  y /  2y H  y M M  z  M /  2z H  z M Dạng 2: Hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng d Phương pháp: Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M đt d B1: Lập mặt phẳng B2: H = d   qua điểm M vuông góc đt d  Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có: + Hình chiếu vuông góc điểm M trục Ox có tọa độ ( x;0;0 ) ---------------------------------------M trục Oy có tọa độ ( 0;y;0 ) ---------------------------------------M trục Oz có tọa độ ( 0;0;z ) +Hình chiếu vuông góc điểm M Mp(Oxy) có tọa độ (x;y;0 ) ---------------------------------------M Mp(Oxz) có tọa độ (x;0;z ) --------------------------------------M Mp(Oyz) có tọa độ (0;y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ M’( x;-y;-z ) -----------------------------------M qua trục Oy có tọa độ M’( -x;y;-z ) -----------------------------------M qua trục Oz có tọa độ M’( -x;-y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ M’(x;y;-z) ------------------------------------M qua Mp(Oxz) có tọa độ M’(x;-y;z) ------------------------------------- M qua Mp(Oyz) có tọa độ M’(-x;y;z) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ M’( -x;-y;-z ) Dạng 3: Hình chiếu vuông góc đường thẳng d xuống mặt phẳng Phương pháp: Gọi d’ hình chiếu vuông góc đtd xuống mp   10 B1: Tìm giao điểm I đt d mp  B2 : Lấy điểm A  đường thẳng d tìm hình chiếu H A mp  KL : Đt d’ qua hai điểm I A . x  x0  a1t Đặt biệt: Hình chiếu vuông góc đường thẳng d : y  y  a t  z  z  a t  x  x0  a1t y  y  a 2t z   mặt phẳng tọa độ Oxy có pt :  x  x0  a1t y  z  z  a t  mặt phẳng tọa độ Oxz có pt :  x  y  y  a 2t z  z  a t  mặt phẳng tọa độ Oyz có pt :  VẤN ĐỀ 4: Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 d   d1 có véctơ a qua điểm A   d có véctơ b qua điểm B Phương pháp : Gọi  đường vuông góc chung d1 d  B1: Gọi u VTCP đường vuông góc chung       d1  u   a, b     d2 Vì  B2: Lập mặt phẳng    chứa  d1   qua điểm A có cặp VTCP a, u B3: Tìm giao điểm I  với d  KL: Đường vuông góc chung  qua điểm I có VTCP u VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước thỏa điều kiện khác . Dạng 1: Lập đường thẳng  qua điểm M cắt hai đường thẳng d1 , d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  B2: Tìm giao điểm I qua điểm M chứa đường thẳng d1 .  với d 11  Đường thẳng  qua hai điểm M I B3: So sánh VTCP  VTCP đường thẳng d1  Kết luận . Dạng 2: Lập đường thẳng  qua điểm M , vuông góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M vuông góc đường thẳng d1 . B2: Tìm giao điểm I  với d  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  qua điểm M , vuông góc cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M vuông góc đường thẳng d . B2: Tìm giao điểm I  với d  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M song song mặt phẳng ( P ) B2: Tìm giao điểm I  với d .  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước. Phương pháp: B1: Tìm giao điểm A B d1 , d2 mp( P ) B2:  đường thẳng qua hai điểm A B .   VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng  nằm mp( P ) cách đường thẳng d  P cho trước khoảng L . Phương pháp : Cho đường thẳng Mặt phẳng  n   A; B; C  B1: Lập mặt phẳng   d có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  x ; y ; z  P : Ax + By + Cz + D = có VTPT vuông góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d cách điểm A 12 khoảng L . B2: Lấy điểm M   P       Đường thẳng  qua điểm M có VTCP a   a1; a2 ; a3  VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng  nằm mp (P) vuông góc đường thẳng d cho trước giao điểm I d mp (P). Phương pháp: B1: Tìm giao điểm I d mp( P )       P   B2: Vì   d có VTCP u   n P , ad    d   Đường thẳng  qua điểm I có VTCP u VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S ).  Phương pháp1: Tìm tâm bán kính  Phương pháp2: (Có kiện mặt cầu qua điểm) B1 : Chỉ dạng  Nếu có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2  Nếu kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= B2 : Khai thác kiện để lập hệ phương trình . VẤN ĐỀ 9: Đường tròn giao tuyến 1. Phương trình đường tròn giao tuyến: Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường tròn giao tuyến có pt : Ax+By+Cz+D=0    2 2 (x-a) +(y-b) +(z-c) =R  S 1.1. Tâm đường tròn giao tuyến: Gọi K tâm đường tròn giao tuyến  K hình chiếu vuông góc tâm I mặt phẳng B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vuông góc mp  B2: H = d    13  IA2  IB  Chú ý: Toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ :  IA2  IC       AB, AC  . AI  1.2. Bán kính đường tròn giao tuyến r = R - IK r = R - d  I ,  VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S). (Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc) Dạng 1: Tiếp diện điểm M thuộc (S) Phương pháp :  Tiếp diện điểm M vuông góc IM  có véctơ pháp tuyến IM Dạng 2: Tiếp diện song song mặt phẳng song song hai đường thẳng không phương vuông góc đường thẳng cho trước. Phương pháp:  Phương trình tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc d  I ,tieáp dieän  = R [...]... điểm I và có VTCP u VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S )  Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính  Phương pháp2: (Có dữ kiện mặt cầu qua điểm) B1 : Chỉ dạng  Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2  Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0... A; B; C  B1: Lập mặt phẳng   d có VTCP a   a1; a2 ; a3  và qua điểm A  x 0 ; y 0 ; z 0  P : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT vuông góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d và cách điểm A một 12 khoảng L B2: Lấy một điểm M   P       Đường thẳng  qua điểm M và có VTCP a   a1; a2 ; a3  VẤN ĐỀ 7 : Lập đường thẳng  nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d cho trước tại giao điểm...11  Đường thẳng  qua hai điểm M và I B3: So sánh VTCP của  và VTCP của đường thẳng d1  Kết luận Dạng 2: Lập đường thẳng  qua điểm M , vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M và vuông góc đường... thẳng d qua điểm M và vuông góc mp  B2: H = d    13  IA2  IB 2   Chú ý: Toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ :  IA2  IC 2        AB, AC  AI  0   1.2 Bán kính của đường tròn giao tuyến r = R 2 - IK 2 hoặc r = R 2 - d 2  I ,  VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) (Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc) Dạng 1: Tiếp diện tại điểm M thuộc .  ;d I R   TH3:  tiếp xúc ( S )    ;d I R   Thường hợp này  gọi là tiếp diện MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp: Tìm một điểm và một véctơ pháp. trình mặt cầu ( S ).  Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính  Phương pháp2: (Có dữ kiện mặt cầu qua điểm) B 1 : Chỉ dạng  Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc  Phương trình mặt cầu.  Hệ quả:   d      //n a   VII. Mặt cầu: ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) và bán kính R có phương trình:       2 2 2 2 x a y b z c R      ĐL2: Mọi phương trình có