UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài (5 điểm ): a) Tìm số phương có bốn chữ số chia hết cho 55. b) Tìm n ∈ Z để n + 26 n – 11 lập phương số nguyên dương. Bài (4 điểm ): a) Cho hàm số f (x) = (x + 12x − 31) 2010 Tính f (a) a = 16 − + 16 + b) Giải hệ phương trình: 1 1 x + y + z =    − =4  xy z Bài (4 điểm ): a2 b2 a) Cho a > 1; b > 1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + a−1 b−1 b) Cho ba số x, y, z ≠ thoã mãn đẳng thức 1 + + =0 Chứng minh rằng: x y z x+ y = x+ z + y+ z. Bài (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên cạnh BC CD lấy · điểm M N tùy ý cho MAN = 450. Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD E. 1 + = a) Chứng minh: 2 AM AE a b) Chứng minh: a.(BM + DN) + BM.DN = a2 Bài (3 điểm): Gọi G tâm tam giác ABC. Một đường thẳng qua G cắt AB AC + =3 hai cạnh AB, AC M N. Chứng minh rằng: AM AN ĐÁP ÁN TOÁN Bài (5 điểm ): a) ( điểm): Gọi số phương có bốn chữ số cần tìm abcd . Đặt abcd = A2 . Theo đề bài: A 5 A 5 A 55 ⇒  ⇒ ⇒ A 25.121 (25;121) = 1. A  11 A  11   Hay A2 3025 => A2 = 3025.t2 (t∈ N) Mặt khác 1000 ≤ abcd ≤ 9999 nên < t2 < ⇒ t2 = Vậy abcd = 3025 b) (3 điểm): Đặt: n + 26 = a3 n – 11 = b3 với a > b a, b ∈ N* ⇒ a3 – b3 = 37 ⇔ (a2 + ab + b2)(a – b) = 37. Ta có số 37 số nguyên tố a > b ∈ N* nên (a2 + ab + b2) > (a – b) số tự nhiên ⇒ a + ab + b =37 a − a − 12=0 ⇔ ⇔ a = b = (còn a = – b = – bị loại).  a − b=1 a − 1=b Thay vào đẳng thức n + 26 = a3 n – 11 = b3, ta có n = 38 Bài (4 điểm ): a) (2 điểm): a = 16 − + 16 + ⇒ a = 32 + 3 (16 − 5)(16 + 5).( 16 − + 16 + ) ⇒ a = 32 + 3.(−4).a ⇒ a = 32 − 12a ⇒ a + 12a − 32 = ⇒ a + 12a − 31 = ⇒ f (a ) = 12010 = b) (2 điểm): ĐK x; y; z ≠ . Đặt X = 1 , Y = , Z = , ta có hệ: y x z  X + Y + Z = ( 1)   XY − Z = ( ) Từ (1) => X2 + Y2 + Z2 + 2XY + 2YZ + 2ZX = vào (2) ta X2 + Y2 + 2Z2 + 2YZ + 2ZX =  (X + Z)2 + (Y + Z)2 =  X = Y = – Z thay vào (1) => X = Y = – Z = => x = y = – z = 1 2 (thỏa ĐK) Vậy Hệ có nghiệm (x; y; z) = ( ; ; − ) Bài (4 điểm ): a) (2 điểm): Đặt x = a – , y = b – ( với x, y > 0) ( x + 1) ( y + 1) 1 + = (x + ) + ( y + ) + ≥ + + = A= x y x y Ta có: A=8 ⇔x=y=1 ⇔ a=b=2 Vậy GTNN A = ⇔ a = b = b) (2 điểm): Điều kiện: x + y; y + z ; x + z ≥ Xét: x + y = x + z + y + z (1) Bình phương hai vế của(1) ta được: ( x + z ) ( y + z ) = – z (2). Do đó: z < => x, y > x y Bình phương hai vế (2) ta được: (x + z)(y + z) = z2  xy + xz + yz =  + + =0 z Bài (4 điểm ): 1 + = 2 AM AE a Trên tia đối tia DC lấy điểm F cho FD = BM Ta có ∆ ABM = ∆ ADF ( c – g – c) · · => AF = AM (1), DAF (2) = BAM · · · · · · Từ (2) => EAF = MAD + DAF = MAD + BAM = BAD = 900 => ∆ EAF vuông A có AD đường cao a) (2 điểm): Chứng minh: => 1 1 1 + = (đpcm) + = 2 2 => AM AE a AF AE AD b) ( điểm): Chứng minh: a.(BM + DN) + BM.DN = a2 · · Ta có: ·NAF = EAF − MAN = 900 − 450 = 450 · => ·NAF = NAM (3) Từ (1) (3) => ∆ NAF = ∆ NAM ( c – g – c) => MN = NF = FD + DN = BM + DN Xét tam giác vuông CMN có: MN2 = CM2 + CN2 ⇔ (BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 ⇔ a.(BM + DN) + BM.DN = a2 (đpcm) Bài (3 điểm): Chứng minh rằng: AB AC + =3 AM AN Gọi AD trung tuyến => AG = 2GD Kẽ BE // MN, CF // MN (E, F ∈ AD ) AB AE AC AF = ; = AM AG AN AG AB AC AE + AF + = => (1) AM AN AG Mặt khác: ∆ BED = ∆ CFD (g – c – g) => => DE = DF => AE + AF = 2AG + 2GE + 2DE = 2AG + 2DG = 2AG + AG = 3AG (2) AB AC AG + = = (đpcm) Từ (1) (2) => AM AN AG . c nh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 3 AB AC AM AN + = 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN TOÁN 9 Bài. UBND HUYỆN HOÀI NH N PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề ch nh thức Bài 1 (5 điểm ): a) Tìm số ch nh phương có bốn chữ số và chia hết cho 55. b) Tìm n ∈ Z để n + 26 và n – 11 đều là lập. trị nh nh t của biểu thức: A = 11 22 − + − b b a a b) Cho ba số x, y, z ≠ 0 thoã mãn đẳng thức zyzxyx +++=+ . Chứng minh rằng: zyx 111 ++ = 0 Bài 4 (4 điểm): Cho h nh vuông ABCD có cạnh