Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2010-2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: x > 0, x ≠ . 2. Chứng minh rằng:  x −9  A= + ÷× x +3 x  x−3 x với   × + ÷ = 10 +2  5−2 Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k − 1) x + n hai điểm A(0;2), B(-1;0). 1. Tìm giá trị k n để: a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A B. b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) : y = x + − k . 2. Cho n = . Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm C cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Bài 3. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x − 2mx + m − = (1) (với m tham số). 1. Giải phương trình (1) với m = −1 . 2. Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m. 3. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: 1 + = 16 . x1 x2 Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN H (H nằm O B). Trên tia MN lấy điểm C nằm đường tròn (O;R) cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) điểm K khác A, hai dây MN BK cắt E. 1. Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp ∆CAE đồng dạng với ∆CHK. 2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK F. Chứng minh ∆NFK cân. GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN KM2 + KN2 = 4R2. Bài 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a + b + c = . Chứng minh 3 3 rằng: ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − --- HẾT --- KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Năm học 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1. (2,0 điểm)  x −9  A= + ÷× x +3 x  x−3 x 1. Rút gọn biểu thức: x > 0, x ≠ . với   × + ÷ = 10 +2  5−2 2. Chứng minh rằng: Ý Nội dung Điểm Với ĐK: x > 0, x ≠ . Ta có:  A= +  x x −3  ⇔ A= 1. (1,25đ) ⇔ A=  ÷ x−9 × x +3÷ x  ( ) ( x +3 + x ) ( x ( x − 9) x +9+ x−3 x x GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) x −3 0,25 ) ×x − x 0,25 0,25 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH ⇔ A= 9+ x x 0,25 Kết luận: Vậy với x > 0, x ≠ A = 2. (0,75đ) Ta có:     5.  + ÷ = 5.  − +    = 5. 9+ x x ( 0,25  +2+ −2 ÷ 5−2 5+2 ÷  )( ) 5−4 0,25 0,25 = 10 Vậy:   5.  + ÷ = 10 5+2  5−2 0,25 Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k − 1) x + n hai điểm A(0;2), B(-1;0). 1. Tìm giá trị k n để: a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A B. b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) : y = x + − k . 2. Cho n = . Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm C cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Ý Nội dung Điểm (d): y = (k-1)x + n qua A(0;2), B(-1;0) nên ta có hệ phương trình: (k − 1).0 + n =  (k − 1).(−1) + n = 1a 0,25 (1,0 đ) n = n = ⇔ ⇔ 1 − k + = k = GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) 0,5 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH 1b (0,5 đ) 2. (0,5 đ) Kết luận: Vậy k = 3, n = (d) qua hai điểm A(0;2), B(-1;0) 0,25 k − = k = ⇔ + (d ) //( ∆ ) ⇔  n ≠ − k n ≠ 0,25 k = Kết luận: Vậy (d ) //( ∆ ) ⇔  n ≠ 0,25 Với n = 2, ta có (d): y = (k-1)x + 2. Suy đường thẳng (d) cắt trục Ox C   ;0 ÷ ⇔ k − ≠ ⇔ k ≠ toạ độ điểm C  1− k  0,25 Ta có: OC = xC = B(-1;0) nên OB = 1. 1− k Vì tam giác OAC OAB vuông O chung đường cao AO nên suy ra: SOAC = 2SOAB ⇔ OC = 2OB ⇔ =2 |1 − k | 0,25 k = ⇔ (thoả mãn đk k ≠ ) k = Kết luận: k = k = 2. Bài 3. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x − 2mx + m − = (1) (với m tham số). 1. Giải phương trình (1) với m = −1 . 2. Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m. 3. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: 1 + = 16 . x1 x2 Ý 1. Nội dung Với m = -1, phương trình (1) trở thành: GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) Điểm 0,25 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH (0,75đ) x2 + 2x − = ∆ ' = 1+ = ⇒ ∆ ' = Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: −1 −   x = = −4   x = −1 + =  0,25 Vậy với m = -1 pt (1) có hai nghiệm phân biệt x = - 4, x = 2. 0,25 Pt (1) có ∆ ' = m − (m − 7) 0,25 2. = m2 − m +  27  = m − ÷ + > với m. 2  (0,75đ) Vậy với giá trị m (1) có hai nghiệm phân biệt. 0,25 0,25 Theo câu 2, ta có (1) có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 với giá trị m. Theo định lý Vi ét ta có:  x1 + x2 = 2m   x1 x2 = m − 3. (0,5 đ) Theo giả thiết ta có: 0,25 x x ≠ 1 + = 16 ⇔  x1 x2  x1 + x2 = 16 x1 x2 m − ≠ ⇔ 2m = 16 ( m − ) m ≠ ⇔ m = ⇔ m=8 Vậy m = giá trị cần tìm. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN H (H nằm O B). Trên tia MN lấy điểm C nằm đường GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) 0,25 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH tròn (O;R) cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) điểm K khác A , hai dây MN BK cắt E. 1. Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp ∆CAE đồng dạng với ∆CHK. 2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK F. Chứng minh ∆NFK cân. 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK // MN KM2 + KN2 = 4R2. a f k o m h e c n b A O P M H K E N C B Ý Nội dung • 1. (2,0đ) Ta có: + ·AHE = 900 (theo giả thiết AB ⊥ MN ) 0,5 + ·AKE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,5 ⇒ ·AHE = ·AKE = 900 ⇒ H, K thuộc đường tròn đường kính AE. Vậy tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp. • Điểm Xét hai tam giác ∆ CAE ∆ CHK: + Có chung góc C · · + EAC (góc nội tiếp chắn cung EK) = EHK ∆ CHK (g - g) Suy ∆ CAE ¼ suy ta có Do đường kính AB ⊥ MN nên B điểm cung MN · · MKB = NKB (1) GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) 0,25 0,25 0,5 0,25 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH 3. (0,5 đ) · ·  NKB = KNF (2) Lại có BK // NF (vì vuông góc với AC) nên  · · = MFN (3)  MKB 0,5 · · · · Từ (1), (2), (3) suy MFN . Vậy ∆ KNF cân K. = KNF ⇔ KFN = KNF 0,25 · * Ta có ·AKB = 900 ⇒ BKC = 900 ⇒ ∆KEC vuông K Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân K · · · BEH = KEC = 450 ⇒ OBK = 450 0,25 Mặt khác ∆ OBK cân O ( OB = OK = R) nên suy ∆ OBK vuông cân O dẫn đến OK // MN (cùng vuông góc với AB) * Gọi P giao điểm tia KO với đường tròn ta có KP đường kính KP // MN. Ta có tứ giác KPMN hình thang cân nên KN = MP. 0,25 Xét tam giác KMP vuông M ta có: MP2 + MK2 = KP2 ⇔ KN2 + KM2 = 4R2. Bài 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a + b + c = . Chứng minh 3 3 rằng: ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − Ý Nội dung Ta có: Điểm (a − 1)3 = a − 3a + 3a − = a ( a − 3a + 3) − 0,5 đ Tương tự: 3 3  = a  a − ÷ + a − ≥ a − (1) (do a ≥ 0) 2 4  3 (b − 1)3 ≥ b − ( ) , (c − 1)3 ≥ c − ( 3) 4 GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) 0,25 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH Từ (1), (2), (3) suy ra: ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ ( a + b + c) − = − = − 4 Vậy BĐT chứng minh. Dấu đẳng thức xảy   3  a  a − ÷ = a = ∨ a =  2     a = 0, b = c =    b  b − ÷ = b = ∨ b = ⇔ ⇔ b = 0, a = c = 2       c  c −  = c = ∨ c =  c = 0, a = b =  ÷    2   a + b + c = a + b + c = GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) 3 0,25 . Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2 010- 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài:. MK tại F. Chứng minh ∆NFK cân. GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN và KM 2 + KN 2 = 4R 2 . Bài 5. (0,5. − − ⇔ = × − 0,25 3 9 3x x x A x + + − ⇔ = 0,25 GV: LÊ TRUNG HỌC(0168 995 4843) Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Tỉnh THÁI BÌNH 9 x A x + ⇔ = 0,25 Kết luận: Vậy với 0, 9> ≠x x thì 9 x A x + = 0,25 2. (0,75đ) Ta