Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Nguyen Minh Hai Với mọi a, b, c dương. CMR: ∑ ab a2 + ab + b2 6 ∑ 2a a + b Lời giải (hoanglong2k) Áp dụng BĐT CauchySchwarz ta có : ∑ a 2a + b ≥ (a + b + c)2 2 ∑ a2 + ∑ ab Nên ta cần chứng minh (a + b + c)2 2 ∑ a2 + ∑ ab ≥ ∑ a2 + ab ab + b2 ⇔ (a + b + c)2 2 ∑ a2 + ∑ ab − 1 ≥ ∑ a2 + ab ab + b2 − 1 3 ⇔ − ∑(a − b)2 4 ∑ a2 + 2 ∑ ab ≥ −∑ 3(a2(a +− ab b) + 2 b2) ⇔∑(a − b)2. 3a2 + 31 ab + 3b2 − 4 ∑ a2 + 1 2 ∑ ab ≥ 0 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 4∑ a2 + 2∑ ab ≥ 3(a2 + b2 + ab) ⇔ a2 + b2 + 4c2 + ac + bc ≥ ab Mà theo AMGM a2 + b2 + 4c2 + ac + bc ≥ 2ab + 4c2 + ac + bc > ab Nên ta có điều cần chứng minh. Dấu “ =00 xảy ra khi a = b = c Lời giải (dogsteven) Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz: ∑ 2b 2b + a = 3 − ∑ 2b a + a 6 3 − a2 + b2 +(c a2+ +b2+ (ab c)+ 2 bc + ca) = 2 ⇒ ∑ b 2b + a 6 1 ⇒ ∑ 2a a + b > ∑ 2a a + b + 2b b + a − 1 Vậy là ta cần chứng minh: ∑ 2a a + b + 2b b + a > ∑ a2 + ab ab + b2 − 1 Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: a 2a + b + b 2b + a > ab a2 + ab + b2 + 1 3 ⇔ a2 + b2 + 4ab (2a + b)(2b + a) > a2 + b2 + 4ab 3(a2 + ab + b2) ⇔ (a − b)2 > 0 Lời giải (hoanglong2k) Ta có : ∑ ab a2 + ab + b2 ≤ ∑ 2a a + b ⇔ ∑ a 1 b + 1 + b a ≤ ∑ 2 + 1 b a Đổi biến b a , b c , a c = (x, y, z) → xyz = 1 Ta cần chứng minh
Những toán bất đẳng thức VMF ĐỀ BÀI Bài 1. Với a, b, c dương. CMR: ab a ∑ a2 + ab + b2 ∑ 2a + b Bài 2. Cho số không âm a, b, c chứng minh ∑ 5a2 + 4bc ∑ a2 + ∑ √ ab Bài 3. Cho a; b; c không âm, chứng minh rằng: ∑ √ a2 + bc ≥ b2 + bc + c2 Bài 4. Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có: ∑ a2 + b2 ≥ a+b 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc ∑ b + c − 2a a(b + c) Bài 5. Cho a, b, c > . Chứng minh : a a+b + b b+c + c c+a ≤ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Bài 6. Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN biểu thức: A= y2 + z2 + x2 + + + y2 + z2 + x +1 Bài 7. Cho a, b, c số thực không âm thỏa a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3( a4 + b4 + c4 ) + a2 + b2 + c2 + ≥ 6( a3 + b3 + c3 ) Bài 8. Cho a1 ; a2 ; ; an thuộc [0, 1] . Chứng minh : + ∑ a1 ≥4 ∑ a21 Bài 9. Cho a, b, c không âm thỏa mãn : a + b + c = . Chứng minh : ∑ a2 + ∑ ab ≥6 ∑ a2 b Bài 10. Tìm số thực k lớn thỏa mãn bất đẳng thức sau a3 k 1 16 + 4k + 3+ ≥ +b a b ( a + b)3 Bài 11. Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : a3 + b3 + c3 + 12 ≥ ( a + b + c) √ abc + +3 Bài 12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a2 2abc a + b+c b + c+a ∑ ( a + b)2 + ∏( a + b) Bài 13. Cho a, b, c > . Tìm Min 1+ P= c a+b Bài 14. Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực dương a, b, c : 3 √ 11( a + b + c) a +b +c ≥ abc + 3 Bài 15. Cho a, b, c số thực không âm thõa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh 1 1 1 + + + + + ≥9 2 − ab − bc − ca 1−a 1−b 1−c Bài 16. 1) Cho a, b, c thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh a2 + 2ab ≥ 2 b + 2c a + b2 + c2 ∑ 2) Cho a, b, c thực dương thỏa a + b + c = 3. Chứng minh a ∑ b3 + ab ≥ Bài 17. Cho số thực dương a, b, c . Chứng minh : 3( a2 + b2 + c2 )( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≥ ( a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ac + a2 ) ( a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ac + a2 ) ≥ 3( ab + bc + ca)( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Bài 18. Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3a2 b2 c2 . Chứng minh rằng: ab + bc + ca − abc ≥ Bài 19. Cho số thực dương a, b, c .Chứng minh rằng: a8 + b8 + b8 + c8 + c8 + a8 ≤ ( a + b + c)10 1 + + 9a 9b 9c Bài 20. Cho a, b, c số thực không âm, số đồng thời không.Chứng minh rằng: 1 10 28abc( a + b + c) + + ≥ + a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 ( a + b + c)2 27( a2 + b2 )(b2 + c2 )( a2 + c2 ) Bài 21. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác. Chứng minh rằng: √ √ √ √ abc( a + b + c) ≥ ( a − b + c)( a + b − c) + (− a + b + c)( a + b − c) + (− a + b + c)( a − b + c) Bài 22. Chứng minh bất dẳng thức với tam giác ABC : √ A B C 2 sin + sin + sin 2 A−B B−C C−A > cos √ + cos √ + cos √ 15 15 15 Bài 23. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh: a+b + c + ab b+c + a + bc c+a ≥3 b + ca Bài 24. Cho a, b số x, y ẩn. Tìm GTLN biểu thức √ f ( x; y) = a2 + b2 + ( a − x)2 + y2 x2 + y2 + b2 Bài 25. Cho x, y thỏa ≤ xy < 1.Chứng minh rằng: 2x + x2 + 2y + y2 ≤ 1 − xy Bài 26. Cho a, b, c cạnh tam giác, abc = 1. Tìm Min biểu thức: c( a + b − c)3 + a(b + c − a)3 + b(c + a − b)3 Bài 27. Chứng minh √ a2 b3 + +√ b2 c3 + +√ c2 a3 + ≤1 Với a, b, c > 0, a3 + b3 + c3 = Bài 28. Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 ≤ . Chứng minh : + bc + ac + ab + + ≥3 c + ab a + bc b + ac Bài 29. Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. CMR a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ab( a3 + b3 ) bc(b3 + c3 ) ca(c3 + a3 ) Bài 30. Cho x, y, z số dương. CMR: ( x + 1) ( y + 1)2 ( y + 1) ( z + 1)2 ( z + 1) ( x + 1)2 √ + + ≥ x+y+z+3 3 x2 y2 + 3 y2 z2 + z2 x2 + Bài 31. Cho số a, b, c thực dương. Chứng minh a2 + ab + 2b2 b2 + 2c2 + bc c2 + 2a2 + ac 36( ab + bc + ac) + + ≥ 2 b + 2ab c + 2bc a + 2ac (2 + a2 )(2 + b2 )(2 + c2 ) Bài 32. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức ( a2 b + b2 a + a2 c + c2 a + b2 c + c2 b)2 ≥ 4( ab + bc + ba)( a2 b2 + b2 c2 + b2 a2 ) Bài 33. Cho a, b, c ≥ thỏa mãn: ( a + b)(b + c)(c + a) > Chứng minh rằng: a + b2 + c2 = 2( ab + bc + ca) a2 ab + + b2 b2 bc + + c2 c2 ca ≥√ +a Bài 34. Cho số a, b, c dương,thỏa mãn:a2 + b2 + c2 = CMR: √ 1 3+9 + + ≥ 1−a 1−b 1−c Bài 35. Cho a, b, c > Chứng minh: 3· 9a( a + b) + 2( a + b + c)2 6bc ≤4 ( a + b)( a + b + c) Bài 36. Cho a, b, c số thực dương . Chứng minh rằng: (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 (2a + b + c)2 + + ≤8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + ( a + b)2 Bài 37. Cho a, b, c, d ∈ R phân biệt: Chứng minh có số x, y ∈ a, b, c, d ( x = y) cho: √ + xy + x2 + y2 > Bài 38. Cho a, b, c không âm.Chứng minh rằng: a2 + bc + b2 + ca + c2 + ab ≤ ( a + b + c) Bài 39. Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + x2 1 + + +1 y +1 z +1 ≥ 10 Bài 40. Cho a, b, c ∈ [0, 1].Tìm GTLN : P= a3 + b3 + c3 + + + b2 + c2 + a2 + Bài 41. Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn xy + xz + yz = 1. Chứng minh − x2 + x2 + − y2 + y2 +2 − z2 + z2 ≤ Bài 42. Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi 2. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a3 + b3 + c3 + 15abc Bài 43. Cho x, y, số thực x ≥ y ≥ z ≥ 1, 3x2 + 3y2 + 8z2 = 32.Tìm giá trị lớn của: √ √ P = x y − z + y x − z + xyz Bài 44. Cho a, b, c số dương thỏa mãn:a + b + c = √ abc.Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≥ 9( a + b + c) Bài 45. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ abc.Chứng minh rằng: ∑ 10a + b + c ≤ 12 Bài 46. Cho x, y ≥ 1.Chứng minh rằng: √ x + x2 + y + y2 √ xy ≤ + xy Bài 47. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : 4abc 1 a+c b+c c+a + + + + + ≥9 2 b a b ( a + b) c (b + c) a (c + a) b Bài 48. Cho x1 , x2 , ., xn số thực dương thỏa mãn điều kiện x21 + x22 + . + x2n = . Tìm GTNN biểu thức : n xi5 ∑ x + x2 + . + xn + xi i =1 Bài 49. Cho x, y, z dương. Chứng minh bất đẳng thức: √ y z x + + +4 y+z z+x x+y xy + yz + zx ≥6 x2 + y2 + z2 Bài 50. Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : b( a + b) c(c + b) a(c + a) + + ≥ 2 2 (c + a) ( a + b) (b + c) Bài 51. Cho a, b, c ≥ số đồng thời 0. Chứng minh: ab bc ca 4abc + + ≤ + 2 ( a + b)(b + c)(c + a) ( a + b) (b + c) (c + a) Bài 52. Cho a, b > thỏa mãn a2 + b2 = 5. Chứng minh a3 + b6 ≥ Bài 53. Cho x + y + z = 9.Tìm giá trị nhỏ của: T = x+1 + y + z Bài 54. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ab ∑ a + 2a2 + a3 + 2b4 + 2c8 + 10 < Bài 55. Cho số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = xy . Chứng minh rằng: z ( y + z)4 + ( x + z)4 < ( x + y)4 Bài 56. Chứng minh với n ≥ 1, n ∈ N ta có 1 + + . + < n+1 n+2 2n 10 Bài 57. Cho a, b, c số thực dương thoã mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a b c + + ≥ ( a + b + c − 1) b c a Bài 58. Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn ≤ a ≤ c ≤ x ≤ d ≤ b. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= ( x − a) (b − x) + ( x − c) (d − x) Bài 59. Cho số x, y, z không âm thoả mãn: x + y + z = 1. Chứng minh BĐT sau: x + y2 + y + z2 + z + x2 ≥ 2. Bài 60. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : ( a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 a3 − b3 b3 − c3 c3 − a3 ≤ + + a+b b+c c+a Bài 61. Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x y z x+ y + + ≤ + y+ z + z+ x y x z 3 Bài 62. Cho a, b, c > 0, abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 .( + + ) + + − ≥ 2 a b c a+b+c a +b +c a b c Bài 63. Cho x, y, z, a, b, c số thực dương với x + y + z = 1.Chứng minh rằng: ax + by + cz + ( xy + yz + zx) ( ab + bc + ca) ≤ a + b + c Bài 64. Cho a; b; c ba số thực dương thỏa mãn: a.b.c + 6.a + 3.b + 2.c = 24. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = a.b.c.( a2 + 3).(b2 + 12).(c2 + 27) Bài 65. Cho số a, b, c số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: a+b+c a b c + + ≥ √ b c a abc Bài 66. Tìm x+ 11 + 2x Bài 67. Cho số thực x, y thay đổi thõa mãn: P= 4( + 1) x2 x > 1; y > x+y ≤ x4 ( x − 1)3 + y4 ( y − 1)3 . Tìm GTNN biểu thức Bài 68. Cho số a, b, c dương. Chứng minh ( a2 b + b2 c + c2 a) ( ab2 + bc2 + ca2 ) ≥ abc + ( a3 + abc) (b3 + abc) (c3 + abc) Bài 69. Cho a; b; c ∈ R+ thỏa mãn a + b + c + d = . Tìm của: P= a4 + b4 + c4 + d4 a3 + b3 + c3 + d3 Bài 70. Cho x, y, z ∈ 0; , c/m 2( x3 + y3 + z3 ) − ( x2 y + y2 z + z2 x) ≤ Bài 71. Cho số thực dương a, b, c.Cmr: 1+ a + 1+ b + 1+ c ≥ 1+ + abc Bài 72. Cho x, y, z > chứng minh rằng: 4( xy + yz + zx) ≤ ( x + y)( y + z)( z + x)( x+y+ y+z+ √ x + z) Bài 73. Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a + (b − c)2 + b + (c − a)2 + c + ( a − b)2 ≥ √ Bài 74. Chứng minh rằng, với số thực dương a, b, c : 3a2 − 2ab − b2 3b2 − 2bc − c2 3c2 − 2ca − a2 + + ≥0 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Bài 75. Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : a+b b+c c+a + + −4 c a b a b c + + b+c c+a a+b ≥ 1− 8abc ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 76. Chứng minh với x, y, z > ta có: x+y z+ ( x3 + y3 ) + y+z x+ ( y3 + x3 ) + z+x y+ ( z3 + x3 ) ≤2 Bài 77. Cho số dương x1 , x2 số thực y1 , y2 , z1 , z2 x1 y1 > z21 , x2 y2 > z22 . Chứng minh : 1 + ≥ 2 ( x1 + x2 )( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 )2 x1 y1 − z1 x2 y2 − z2 Bài 78. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : a b c + + b c a ≥ ( a + b + c) 1 + + a b c Bài 79. C/m bất đẳng thức: ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ ( ab + ac + bc − 1)2 Bài 80. Cho a, b, c, d, e, f số thực không âm thoả mãn ab = cd = e f = 1. Chứng minh : b c 2d e a + + + + + c + d + b − be + 2a + f − ce + 2d + f − 3c + a + b + d + e + f − b + d + c + a + f − f + ≤ a+b+c+d+e+ f −3 a f + b + 2e − Bài 81. Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : 1 + + − 27 a b c ab bc ca + + c a b −2 ≥ 1 − a b + 1 − b c + 1 − c a Bài 82. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: ( a + b)(b + c)(c + a) ≥ ( a + b + c) ( abc)2 Bài 83. Cho a, b, c số không âm, thỏa mãn số đồng thời 0. a 10abc 1/ ∑( ) + ≥2 b+c ( a + b)(b + c)(c + a) 9abc a a ) + ≥∑ 2/ ∑( b+c ( a + b)(b + c)(c + a) b+c Bài 84. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + ≥ . 2 2 3a − ab + 7b 3b − bc + 7c 3c − ca + 7a Bài 85. Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : 1 + + ≥ √ √ 3 a(b + 1) b(c + 1) c( a + 1) abc + abc Bài 86. Cho a, b, c dương. CMR √ a2 3a2 + 8b2 + 14ab +√ b2 3b2 + 8c2 + 14bc +√ c2 3c2 + 8a2 ≥ ( a + b + c) + 14ac Bài 87. Cho số thực dwong a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a+b+1 ∑ a + b2 + c3 ≤ ( a + 1)(b + 1)(c + 1) + a+b+c Bài 88. Cho x1 , x2 , ., xn số thực dương thoả mãn x1 x2 .xn = 1. Chứng minh : nn ∏ ( xn1 + 1) ≥ x1 + x2 + . + xn + 1 + + . + x1 x2 xn n Bài 89. Cho a, b, c số thực dương.Chứng minh rằng: (b + c)2 (c + a)2 ( a + b)2 + + ≥1 7a2 + 4ab + b2 7b2 + 4bc + c2 7c2 + 4ca + a2 Bài 90. Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN : P = 27 a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2 + 2012 ( ab + bc + ca) Bài 91. Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : a3 + b3 + c3 ab + bc + ca + ≥2 ab( a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) a + b2 + c2 Bài 92. Cho a, b, c > .CMR: ( a2 + 2bc)(b2 + 2ac)(c2 + 2ab) ≥ abc( a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) Bài 93. Chứng minh với a, b, c > : √ 1 1 ( a + b + c + abc)2 + + + √ ≥ a + b b + c c + a abc ( a + b)(b + c)(c + a) √ √ √ Bài 94. Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh : ( x − 1)2 ( y − 1)2 ( z − 1)2 ≥ 215 xyz( x + y)( y + z)( z + x) Bài 95. Cho a, b, c thực dương. Chứng minh ( a + b)2 + ( a + b + 4c)2 ≥ 100abc a+b+c Bài 96. Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh : x y z 36xyz + + ≥ xy + yz + zx + 13xyz + Bài 97. Cho a, b, c > 0. CMR √ √ + 13 abc( a + b + c + a2 + b2 + c2 ) ≤ 18 2( a2 + b2 + c2 )( ab + bc + ca) Bài 98. Cho a, b, c > 0, chứng minh BĐT sau: 4( a3 + b3 + c3 ) 9( a + b)(b + c)(c + a) 1) + ≥ 4( a + b + c) a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 4( ab + bc + ca) ( a + b)(b + c)(c + a) 2) + ≥ 12 abc a2 + b2 + c2 Bài 99. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : ∑ a+b < a+b+c + Bài 100. Cho a, b, c số dương thoả mãn a + b + c = ab + bc + ca 1) Tìm GTNN P = a2 + b2 + c2 + a b + b2 c + c2 a a b c 2) CMR: + + ≥ b +1 c +1 a +1 LỜI GIẢI Bài Với a, b, c dương. CMR: Nguyen Minh Hai ab ∑ a2 + ab + b2 a ∑ 2a + b Lời giải (hoanglong2k) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có : ( a + b + c)2 a ≥ ∑ 2a + b ∑ a2 + ∑ ab Nên ta cần chứng minh ab ( a + b + c)2 ≥∑ 2 ∑ a + ∑ ab a + ab + b2 ( a + b + c)2 ab ⇔ − ≥ − ∑ ∑ a2 + ∑ ab a2 + ab + b2 ( a − b)2 ∑( a − b)2 ⇔− ≥ − ∑ 3(a2 + ab + b2 ) ∑ a2 + ∑ ab 1 − ⇔ ∑( a − b)2 . 2 3a + 3ab + 3b ∑ a + ∑ ab ≥0 Vì ta cần chứng minh ∑ a2 + ∑ ab ≥ 3( a2 + b2 + ab) ⇔ a2 + b2 + 4c2 + ac + bc ≥ ab Mà theo AM-GM a2 + b2 + 4c2 + ac + bc ≥ 2ab + 4c2 + ac + bc > ab Nên ta có điều cần chứng minh. Dấu “ = xảy a = b = c Lời giải (dogsteven) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: a 2b ∑ 2b + a = − ∑ 2b + a ⇒∑ b 2b + a 1⇒ 3− ( a + b + c)2 =2 a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca) a ∑ 2a + b a b + 2a + b 2b + a ∑ −1 Vậy ta cần chứng minh: a b + 2a + b 2b + a ∑ ab ∑ a2 + ab + b2 − Thấy hệ bất đẳng thức: a b + 2a + b 2b + a Lời giải (hoanglong2k) Ta có : ab a2 + b2 + 4ab + ⇔ (2a + b)(2b + a) a2 + ab + b2 ab ∑ a2 + ab + b2 ≤∑ a ⇔ 2a + b a2 + b2 + 4ab ⇔ ( a − b)2 2 3( a + ab + b ) ∑ a +1+ b b a ≤∑ 2+ b a Bài 20 longatk08 Cho a, b, c số thực không âm, số đồng thời không.Chứng minh rằng: 1 10 28abc( a + b + c) + + ≥ + a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 ( a + b + c)2 27( a2 + b2 )(b2 + c2 )( a2 + c2 ) Lời giải (dogsteven) Chuẩn hóa a + b + c = đặt q = ab + bc + ca, r = abc 82 ( I NEQ) ⇐⇒ f (r) = 10r2 + 20(1 − 2q) − r + (1 − 2q)2 + q2 − 10q2 (1 − 2q) 27 Dễ thấy hàm số đơn điệu theo r. Vậy ta có hai trường hợp cần xét: 14a(2a + 1) 10 + + Trường hợp b = c = ta cần chứng minh 2 a +1 ( a + 2) 27( a2 + 1)2 1 10 Trường hợp c = 0, b = ta cần chứng minh + +1 a +1 a ( a + 1)2 Hai bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương khảo sát hàm số. Bài 21 tác giả Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác. Chứng minh rằng: √ √ √ √ abc( a + b + c) ≥ ( a − b + c)( a + b − c) + (− a + b + c)( a + b − c) + (− a + b + c)( a − b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 22 tác giả Chứng minh bất dẳng thức với tam giác ABC : √ B C A 2 sin + sin + sin 2 A−B B−C C−A > cos √ + cos √ + cos √ 15 15 15 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 23 tác giả Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh: a+b + c + ab b+c + a + bc c+a ≥3 b + ca Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 24 tác giả Cho a, b số x, y ẩn. Tìm GTLN biểu thức √ f ( x; y) = a2 + b2 + ( a − x)2 + y2 x2 + y2 + b2 21 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 25 tác giả Cho x, y thỏa ≤ xy < 1.Chứng minh rằng: 2x + x2 + 2y + y2 ≤ 1 − xy Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 26 tác giả Cho a, b, c cạnh tam giác, abc = 1. Tìm Min biểu thức: c( a + b − c)3 + a(b + c − a)3 + b(c + a − b)3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 27 tác giả Chứng minh √ a2 b3 + +√ b2 c3 + +√ c2 a3 + ≤1 Với a, b, c > 0, a3 + b3 + c3 = Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 28 tác giả Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ . Chứng minh : + ab + bc + ac + + ≥3 c + ab a + bc b + ac Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 29 tác giả Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. CMR a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ab( a3 + b3 ) bc(b3 + c3 ) ca(c3 + a3 ) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 22 Bài 30 tác giả Cho x, y, z số dương. CMR: ( x + 1) ( y + 1)2 ( y + 1) ( z + 1)2 ( z + 1) ( x + 1)2 √ + + ≥ x+y+z+3 3 x2 y2 + 3 y2 z2 + z2 x2 + Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 31 tác giả Cho số a, b, c thực dương. Chứng minh a2 + ab + 2b2 b2 + 2c2 + bc c2 + 2a2 + ac 36( ab + bc + ac) + + ≥ b2 + 2ab c2 + 2bc a2 + 2ac (2 + a2 )(2 + b2 )(2 + c2 ) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 32 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức ( a2 b + b2 a + a2 c + c2 a + b2 c + c2 b)2 ≥ 4( ab + bc + ba)( a2 b2 + b2 c2 + b2 a2 ) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 33 Cho a, b, c ≥ thỏa mãn: tác giả ( a + b)(b + c)(c + a) > Chứng minh rằng: a + b2 + c2 = 2( ab + bc + ca) a2 ab + + b2 b2 bc + + c2 c2 ca ≥√ +a Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 34 tác giả Cho số a, b, c dương,thỏa mãn:a2 + b2 + c2 = CMR: √ 1 3+9 + + ≥ 1−a 1−b 1−c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 35 tác giả 23 Cho a, b, c > Chứng minh: 3· 9a( a + b) + 2( a + b + c)2 6bc ≤4 ( a + b)( a + b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 36 tác giả Cho a, b, c số thực dương . Chứng minh rằng: (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 (2a + b + c)2 + + ≤8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + ( a + b)2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 37 tác giả Cho a, b, c, d ∈ R phân biệt: Chứng minh có số x, y ∈ a, b, c, d ( x = y) cho: √ + xy + x2 + y2 > Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 38 tác giả Cho a, b, c không âm.Chứng minh rằng: a2 + bc + b2 + ca + c2 + ab ≤ ( a + b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 39 tác giả Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + x2 1 + + +1 y +1 z +1 ≥ 10 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 40 Cho a, b, c ∈ [0, 1].Tìm GTLN : tác giả P= a3 + b3 + c3 + + + b2 + c2 + a2 + 24 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 41 tác giả Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn xy + xz + yz = 1. Chứng minh − x2 + x2 + − y2 + y2 +2 − z2 + z2 ≤ Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 42 tác giả Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi 2. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a3 + b3 + c3 + 15abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 43 tác giả Cho x, y, số thực x ≥ y ≥ z ≥ 1, 3x2 + 3y2 + 8z2 = 32.Tìm giá trị lớn của: √ √ P = x y − z + y x − z + xyz Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 44 Cho a, b, c số dương thỏa mãn:a + b + c = √ tác giả abc.Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≥ 9( a + b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 45 tác giả Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ abc.Chứng minh rằng: ∑ 10a + b + c ≤ 12 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 25 Bài 46 tác giả Cho x, y ≥ 1.Chứng minh rằng: √ x + x2 + y + y2 ≤ √ xy + xy Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 47 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : 4abc 1 a+c b+c c+a + + + + ≥9 + b a b ( a + b)2 c (b + c)2 a (c + a)2 b Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 48 tác giả Cho x1 , x2 , ., xn số thực dương thỏa mãn điều kiện x21 + x22 + . + x2n = . Tìm GTNN biểu thức : n xi5 ∑ x + x2 + . + xn + xi i =1 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 49 tác giả Cho x, y, z dương. Chứng minh bất đẳng thức: √ x y z + + +4 y+z z+x x+y xy + yz + zx ≥6 x2 + y2 + z2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 50 tác giả Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : b( a + b) c(c + b) a(c + a) + + ≥ 2 2 (c + a) ( a + b) (b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 26 Bài 51 tác giả Cho a, b, c ≥ số đồng thời 0. Chứng minh: 4abc ab bc ca + + ≤ + 2 ( a + b)(b + c)(c + a) ( a + b) (b + c) (c + a) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 52 tác giả Cho a, b > thỏa mãn a2 + b2 = 5. Chứng minh a3 + b6 ≥ Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 53 tác giả Cho x + y + z = 9.Tìm giá trị nhỏ của: T = x+1 + y + z Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 54 tác giả Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ab ∑ a + 2a2 + a3 + 2b4 + 2c8 + 10 < Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 55 tác giả Cho số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = xy . Chứng minh rằng: z ( y + z)4 + ( x + z)4 < ( x + y)4 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 56 tác giả Chứng minh với n ≥ 1, n ∈ N ta có 1 + + . + < n+1 n+2 2n 10 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 27 Bài 57 tác giả Cho a, b, c số thực dương thoã mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a b c + + ≥ ( a + b + c − 1) b c a Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 58 tác giả Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn ≤ a ≤ c ≤ x ≤ d ≤ b. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= ( x − a) (b − x) + ( x − c) (d − x) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 59 tác giả Cho số x, y, z không âm thoả mãn: x + y + z = 1. Chứng minh BĐT sau: x + y2 + y + z2 + z + x2 ≥ 2. Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 60 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : a3 − b3 b3 − c3 c3 − a3 ( a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 + + ≤ a+b b+c c+a Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 61 tác giả Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x y z x+ y + y+ z ≤ + y+ z + z+ x x 3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 62 tác giả Cho a, b, c > 0, abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 + + ) + + − ≥ . ( a b c a+b+c a + b2 + c2 a2 b2 c2 28 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 63 tác giả Cho x, y, z, a, b, c số thực dương với x + y + z = 1.Chứng minh rằng: ax + by + cz + ( xy + yz + zx) ( ab + bc + ca) ≤ a + b + c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 64 tác giả Cho a; b; c ba số thực dương thỏa mãn: a.b.c + 6.a + 3.b + 2.c = 24. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = a.b.c.( a2 + 3).(b2 + 12).(c2 + 27) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 65 tác giả Cho số a, b, c số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: a+b+c a b c + + ≥ √ b c a abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 66 Tìm tác giả x+ 11 + 2x 4( + 1) x2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 67 tác giả Cho số thực x, y thay đổi thõa mãn: x > 1; y > x+y ≤ P= x4 ( x − 1)3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 29 + . Tìm GTNN biểu thức y4 ( y − 1)3 Bài 68 tác giả Cho số a, b, c dương. Chứng minh ( a2 b + b2 c + c2 a) ( ab2 + bc2 + ca2 ) ≥ abc + ( a3 + abc) (b3 + abc) (c3 + abc) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 69 tác giả + Cho a; b; c ∈ R thỏa mãn a + b + c + d = . Tìm của: P= a4 + b4 + c4 + d4 a3 + b3 + c3 + d3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 70 tác giả Cho x, y, z ∈ 0; , c/m 2( x3 + y3 + z3 ) − ( x2 y + y2 z + z2 x) ≤ Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 71 tác giả Cho số thực dương a, b, c.Cmr: 1+ a + 1+ b + 1+ c ≥ 1+ + abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 72 tác giả Cho x, y, z > chứng minh rằng: 4( xy + yz + zx) ≤ ( x + y)( y + z)( z + x)( x+y+ y+z+ √ x + z) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 73 tác giả Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a + (b − c)2 + b + (c − a)2 + Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 30 c + ( a − b)2 ≥ √ Bài 74 tác giả Chứng minh rằng, với số thực dương a, b, c : 3a2 − 2ab − b2 3b2 − 2bc − c2 3c2 − 2ca − a2 + + ≥0 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 75 tác giả Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : a+b b+c c+a + + −4 c a b a b c + + b+c c+a a+b ≥ 1− 8abc ( a + b)(b + c)(c + a) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 76 Chứng minh với x, y, z > ta có: tác giả x+y z+ ( x3 + y3 ) + y+z x+ ( y3 + x3 ) + z+x y+ ( z3 + x3 ) ≤2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 77 tác giả Cho số dương x1 , x2 số thực y1 , y2 , z1 , z2 x1 y1 > z21 , x2 y2 > z22 . Chứng minh : + ≥ 2 ( x1 + x2 )( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 )2 x1 y1 − z1 x2 y2 − z2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 78 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : a b c + + b c a ≥ ( a + b + c) 1 + + a b c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 79 tác giả C/m bất đẳng thức: ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ ( ab + ac + bc − 1)2 31 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 80 tác giả Cho a, b, c, d, e, f số thực không âm thoả mãn ab = cd = e f = 1. Chứng minh : b c 2d a + + + c+d+b−1 be + 2a + f − ce + 2d + f − 3c + a + b + d + e + f − e f + + ≤ a+b+c+d+e+ f −3 b + d + c + a + f − a f + b + 2e − + Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 81 tác giả Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : ab bc ca + + c a b 1 + + − 27 a2 b2 c2 −2 ≥ 1 − a b + 1 − b c + 1 − c a Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 82 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: tác giả ( a + b)(b + c)(c + a) ≥ ( a + b + c) ( abc)2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 83 tác giả Cho a, b, c số không âm, thỏa mãn số đồng thời 0. a 10abc 1/ ∑( ) + ≥2 b+c ( a + b)(b + c)(c + a) 9abc a a 2/ ∑( ) + ≥∑ b+c ( a + b)(b + c)(c + a) b+c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 84 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ . 2 2 2 3a − ab + 7b 3b − bc + 7c 3c − ca + 7a Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 32 Bài 85 tác giả Cho a, b, c số thực dương. Chứng minh : 1 + + ≥ √ √ 3 a(b + 1) b(c + 1) c( a + 1) abc + abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 86 Cho a, b, c dương. CMR √ tác giả a2 3a2 + 8b2 + 14ab +√ b2 3b2 + 8c2 + 14bc +√ c2 ≥ ( a + b + c) 3c2 + 8a2 + 14ac Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 87 tác giả Cho số thực dwong a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a+b+1 ∑ a + b2 + c3 ≤ ( a + 1)(b + 1)(c + 1) + a+b+c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 88 tác giả Cho x1 , x2 , ., xn số thực dương thoả mãn x1 x2 .xn = 1. Chứng minh : n n ∏ ( xn1 + 1) ≥ 1 x1 + x2 + . + xn + + + . + x1 x2 xn n Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 89 tác giả Cho a, b, c số thực dương.Chứng minh rằng: ( a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 + + ≥1 7a2 + 4ab + b2 7b2 + 4bc + c2 7c2 + 4ca + a2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 90 tác giả Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN : P = 27 a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2 + 2012 ( ab + bc + ca) 33 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 91 tác giả Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh : a3 + b3 + c3 ab + bc + ca + ≥2 ab( a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) a + b2 + c2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 92 Cho a, b, c > .CMR: tác giả ( a2 + 2bc)(b2 + 2ac)(c2 + 2ab) ≥ abc( a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 93 tác giả Chứng minh với a, b, c > : √ 1 ( a + b + c + abc)2 ≥ + + + √ a + b b + c c + a abc ( a + b)(b + c)(c + a) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 94 Cho x, y, z số thực dương thoả mãn √ x+ √ y+ √ tác giả z = 1. Chứng minh : ( x − 1)2 ( y − 1)2 ( z − 1)2 ≥ 215 xyz( x + y)( y + z)( z + x) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 95 Cho a, b, c thực dương. Chứng minh tác giả ( a + b)2 + ( a + b + 4c)2 ≥ Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 34 100abc a+b+c Bài 96 tác giả Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh : y z 36xyz x + + ≥ xy + yz + zx + 13xyz + Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 97 Cho a, b, c > 0. CMR tác giả √ √ + 13 abc( a + b + c + a2 + b2 + c2 ) ≤ 18 2( a2 + b2 + c2 )( ab + bc + ca) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 98 Cho a, b, c > 0, chứng minh BĐT sau: 4( a3 + b3 + c3 ) 9( a + b)(b + c)(c + a) 1) + ≥ 4( a + b + c) a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 4( ab + bc + ca) ( a + b)(b + c)(c + a) ≥ 12 2) + abc a2 + b2 + c2 tác giả Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 99 tác giả Cho a, b, c > 0. Chứng minh : ∑ a+b < a+b+c + Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 100 ThuyNguyeLy Cho a, b, c số dương thoả mãn a + b + c = ab + bc + ca 1) Tìm GTNN P = a2 + b2 + c2 + a b + b2 c + c2 a b c a 2) CMR: + + ≥ b +1 c +1 a +1 Lời giải (noname) 1) dạng giống Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán trường THPT Lê Hồng Phong TPHCM. Ý tưởng: CHứng minh: ( a + b + c)( a2 + b2 + c2 ) ≥ 3( a2 b + b2 c + c2 a). Rồi đặt x = a2 + b2 + c2 , áp dụng AM − GM, kết hợp điểm rơi. a a(b2 + 1) − ab2 ab2 ab2 ab 2) Cauchy ngược dấu: = = a − ≥ a − = a− 2 2b b +1 b +1 b +1 ( a + b + c)2 Thiết lập tương tự xong cộng lại với ý: ab + bc + ca ≤ 35 2) Kĩ thuật Co-si ngược dấu. Đặt a(b2 + 1) − ab2 b(c2 + 1) − bc2 c( a2 + 1) − ca2 + + b2 + c2 + a2 + bc2 ca2 ab2 + + = a+b+c− = 3−H b +1 c +1 a +1 S= a ∑ b2 + = ab2 ab2 ab ⇐⇒ H ≤ . Ta lại có b + ≥ 2b =⇒ ≤ = Ta có S ≥ 2 2b b +1 ab + bc + ac ( a + b + c)2 Tương tự bất đẳng thức lại cộng lại ta H ≤ ≤ = Vậy ta có đpcm ? 36 [...]... dương Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: a+b+c a b c + + ≥ √ 3 b c a abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 66 Tìm min của tác giả x+ 11 + 2x 4( 7 + 1) x2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 67 tác giả Cho các số thực x, y thay đổi thõa mãn: x > 1; y > 1 x+y ≤ 4 P= x4 ( x − 1)3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 29 + Tìm GTNN của biểu thức y4 ( y − 1)3 Bài 68 tác giả Cho các... b − c) 0 nên (b + c)3 b + c+a 2.39354 và chắc chắn có dấu đẳng thức 2(b + c) a+b+c b c Nếu 2a b + c thì + , chú ý là c+a a+b a+b+c b+c Khảo sát ra VT 2.55808 và không có dấu đẳng thức c a+b b+c a Khảo sát ra VT 3 2 Bài 14 hoanglong2k Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực dương a, b, c : 3 3 3 √ 11( a + b + c) 3 a +b +c 3 ≥ 8 abc + 3 3 3 Lời giải (Hoang Nhat Tuan) Trước tiên chứng minh bổ đề:... đương hoặc Cauchy-Schwarz Lời giải (Thao Huyen) ∑ 1 ab − 2 3 a + ab + b2 +∑ a = 2a + b ( a − b)2 a2 ∑ 3.(a2 + ab + b2 ) + ∑ 2a2 + ab 4 2 3 ( a − c) + ( a + b + c)2 2 ∑ a2 + ∑ ab Bài 2 1(true) Quoc Tuan Qbdh Cho các số không âm a, b, c chứng minh rằng ∑ 5a2 + 4bc 3 ∑ a2 + 2 ∑ √ ab Lời giải (dogsteven) Bất đẳng thức có tích rời rạc, việc đầu tiên của ta là gom lại 5a2 √ Bất đẳng thức trên tương đương với:... ) − ( z1 + z2 )2 x1 y1 − z1 x2 y2 − z2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 78 tác giả Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng : a b c + + b c a 2 ≥ ( a + b + c) 1 1 1 + + a b c Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 79 tác giả C/m bất đẳng thức: ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ ( ab + ac + bc − 1)2 31 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 80 tác giả Cho a, b, c, d, e, f là... GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 49 tác giả Cho x, y, z dương Chứng minh bất đẳng thức: √ x y z + + +4 2 y+z z+x x+y xy + yz + zx ≥6 x2 + y2 + z2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 50 tác giả Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng : b( a + b) c(c + b) a(c + a) 3 + + ≥ 2 2 2 2 (c + a) ( a + b) (b + c) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 26 Bài 51 tác giả Cho a, b, c ≥ 0 và không có 2 số nào đồng... (b + c) (c + a) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 52 tác giả Cho a, b > 0 thỏa mãn a2 + b2 = 5 Chứng minh a3 + b6 ≥ 9 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 53 tác giả Cho x + y + z = 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của: T = 2 x+1 + 3 y + 4 z Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 54 tác giả Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: ab 1 ∑ a + 2a2 + a3 + 2b4 + 2c8 + 10 < 4 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG... 3xy( x + y) 4 Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì 9x2 y2 + ( x + y)2 ≥2 4 9x2 y2 · ( x + y)2 = 3xy | x + y| ≥ 3xy( x + y) (4) 4 Đẳng thức xảy ra khi (3) và (4) trở thành đẳng thức, tức x, y là nghiệm của hệ x = y 27x2 y2 = 3 ( x + y)2 4 1 Giải hệ này ta được x = y = 0 hoặc x = y = , 3 4 1 suy ra a = b = c = 1, hoặc a = b = , c = cùng các hoán vị Bài toán được chứng minh 3 3 14 Bài 8 Quoc Tuan Qbdh... 24 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 41 tác giả Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xy + xz + yz = 1 Chứng minh rằng 1 − x2 1 + x2 + 1 − y2 1 + y2 +2 1 − z2 1 + z2 ≤ 9 4 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 42 tác giả Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4 a3 + b3 + c3 + 15abc Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài. .. c a 2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 58 tác giả Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn 0 ≤ a ≤ c ≤ x ≤ d ≤ b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= ( x − a) (b − x) + ( x − c) (d − x) Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 59 tác giả Cho các số x, y, z không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh BĐT sau: x + y2 + y + z2 + z + x2 ≥ 2 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 60... 2y 1 + y2 2 ≤ 1 1 − xy Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 26 tác giả Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác, abc = 1 Tìm Min của biểu thức: c( a + b − c)3 + a(b + c − a)3 + b(c + a − b)3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 27 tác giả Chứng minh rằng √ a2 b3 + 8 +√ b2 c3 + 8 +√ c2 a3 + 8 ≤1 Với a, b, c > 0, và a3 + b3 + c3 = 3 Lời giải (noname) GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Bài 28 tác giả 2 2 2 Cho