Đang tải... (xem toàn văn)
Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp §2. Phương trình vi phân cấp …………………………… Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng quát F (x , y, y ) (*). Nếu từ (*) ta giải theo y (*) trở thành y f (x , y ). • Nghiệm (*) có dạng y y(x ) chứa số C gọi nghiệm tổng quát. Khi điều kiện y y(x ) cho trước (thường gọi điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta giá trị C cụ thể nghiệm lúc gọi nghiệm riêng (*). VD 1. Cho phương trình vi phân y x (*). x2 C , ta có: Xét hàm số y y x thỏa phương trình (*). x2 Suy y C nghiệm tổng quát (*). x2 Thế x 2, y vào y C , ta được: x2 nghiệm riêng (*) ứng với điều kiện đầu y(2) . C 1 y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1.2.1. Phương trình vi phân cấp với biến phân ly Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx g(y )dy (1). Ø Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế (1) ta nghiệm tổng quát: f (x )dx g(y )dy C . VD 2. Giải phương trình vi phân Giải. Ta có: xdx ydy 0 x y2 xdx x2 xdx ydy y2 0. ydy x y2 C VD 4. Giải ptvp x (y 1)dx (x 1)(y 1)dy . x2 y 1 Giải. pt dx dy y 1 x 1 d(x 1) 1 dy C y x 1 ln x y ln y C x3 1 ln 3C 3y x C (y 1)6 e3y . (y 1)6 d(1 x ) d(1 y ) 2C 1x y2 ln(1 x ) ln(1 y ) 2C ln (1 x )(1 y ) ln C . Vậy (1 x )(1 y ) C . VD 3. Giải phương trình vi phân y xy(y 2). dy Giải. y xy(y 2) xy(y 2) dx 1 dy xdx dy 2xdx y y y(y 2) Ø Chương 8. Phương trình vi phân y y ln x2 C C .e x . y2 y2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 5. Giải ptvp xy y y thỏa điều kiện y(1) dy y y2 dx dy dx 1 dy x y y y y Giải. xy y y x . dx x y 1 y 1 ln x C ln ln Cx y y y Cxy (*). ln Thay x 1, y vào (*) ta y xy . 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp b) Phương trình vi phân đẳng cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến f (x , y ) gọi đẳng cấp bậc n • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng: y f (x , y ) (2). với k f (kx , ky ) k n f (x , y ). Trong đó, f (x, y ) hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Chẳng hạn, hàm số: y Bước 1. Biến đổi (2) y . x y Bước 2. Đặt u y u xu . x du dx Bước 3. (2) u xu (u ) (u ) u x (u ) u x (đây ptvp có biến phân ly). x y f (x , y ) đẳng cấp bậc 0, 2x 3y 4x 3xy đẳng cấp bậc 1, 5x y f (x , y ) 3x 2xy đẳng cấp bậc 2. f (x , y ) Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân x xy y . xy y y 2 x x x xy y y . Giải. y xy y x y Đặt u y u xu . x u u2 du u pt u xu x u dx u udu dx dx 1 C du u 1 x u x VD 6. Giải phương trình vi phân y Ø Chương 8. Phương trình vi phân arctgu ln(1 u ) ln x C ln x x y2 x2 arctg y C (*). x Thay x 1, y vào (*) ta C . Vậy x x y2 x2 e arctg y x. y y u ln x (u 1) C x 1 C .e x . x Vậy y x C .e y x . VD 7. Giải phương trình vi phân y với điều kiện đầu y(1) . x y x y x y 1u y u xu , u x y 1u x du u u dx x du 2 dx 1u x 1 u 1u Giải. y Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D , thỏa điều kiện Qx/ Py/ , (x , y ) D . Nếu tồn hàm u(x , y ) cho du(x , y ) P (x , y )dx Q(x , y )dy phương trình vi phân có dạng: P(x , y )dx Q(x , y )dy (3) gọi phương trình vi phân toàn phần. • Nghiệm tổng quát (3) u(x , y ) C . Nhận xét ux/ (x, y ) P(x, y ), uy/ (x , y ) Q(x , y ). 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có ux/ P (3a) uy/ Q (3b). Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: u(x, y ) P(x, y )dx (x , y ) C (y ) (3c). Trong đó, C (y ) hàm theo biến y . Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: uy/ y/ C (y ) (3d). Bước 4. So sánh (3b) (3d) ta tìm C (y ). Thay C (y ) vào (3c) ta u(x, y ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân (a ) u (3y 2xy 2x )dx Giải P 3y 2xy 2x P / 6y 2x y 1) đpcm. / Q x 6xy Qx 2x 6y u / 3y 2xy 2x (a ) x 2) Ta có: / x 6xy (b) u y Ø Chương 8. Phương trình vi phân (a ) u 3xy x 2y x C (y ) uy/ 6xy x C (y ) Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 8. Cho phương trình vi phân: (3y 2xy 2x )dx (x 6xy 3)dy (*). 1) Chứng tỏ (*) phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*). uy/ x C (y ) (c). So sánh (b) (c), ta được: C (y ) C (y ) 3y . Vậy (*) có nghiệm 3xy x 2y x 3y C . VD 9. Giải ptvp (x y 1)dx (e y x )dy . x2 xy x C (y ) (c). (x y 1)dx So sánh (b) (c), ta được: C (y ) ey C (y ) ey . Vậy phương trình có nghiệm x2 xy x e y C . / u x y (a ) Giải. Ta có: x/ u e y x (b ) y Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng: y p(x )y q(x ) (4). • Khi q(x ) (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất. Phương pháp giải (phương pháp biến thiên số Lagrange) p(x )dx Bước 1. Tìm biểu thức A(x ) e . Bước 2. Tìm biểu thức B(x ) q(x ).e p(x )dxdx . Bước 3. Nghiệm tổng quát y A(x ) B(x ) C . Ø Chương 8. Phương trình vi phân p(x )dx q(x ) Nhận xét. B(x ) q(x ).e dx dx . A(x ) Chú ý • Khi tính tích phân trên, ta chọn số 0. • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm p(x )dx . tổng quát (4) dạng: y C (x )e VD 10. Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm y nghiệm tổng quát y 4x ln x dạng: x C (x ) C (x ) A. y ; B. y ; x x3 C (x ) C (x ) C. y ; D. y . x x 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân p(x )dx Giải. y C (x )e C (x )e 2 dx x Ø Chương 8. Phương trình vi phân C (x ) x A. VD 11. Giải phương trình vi phân y x 2y e . thỏa điều kiện y x 3 Giải. Ta có: p(x ) x , q(x ) . A(x ) e B(x ) y x3 Ce p(x )dx e x 2dx x3 e p(x )dx q(x ).e dx x3 Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng y e . VD 12. Giải phương trình y y cos x e sin x . Giải. Ta có: p(x ) cos x , q(x ) e sin x . cos xdx A(x ) e e sin x . cos xdx B(x ) e sin x .e dx x . . Vậy y e sin x (x C ). nghiệm tổng quát phương trình. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: y p(x )y q(x )y (5). Bước 2. Đặt z y 1 z (1 )y y , ta được: (5) z (1 )p(x )z (1 )q(x ) (đây phương trình tuyến tính cấp 1). • Khi (5) tuyến tính cấp 1. • Khi p(x ) q(x ) (5) pt có biến phân ly. VD 13. Giải phương trình vi phân y Phương pháp giải (với α khác 1) Bước 1. Với y , ta chia hai vế cho y : y y (5) p(x ) q(x ) y y y y p(x )y1 q(x ). với điều kiện đầu x 1, y . y Giải. Ta có: y xy y y 2 .y 1 x . x x Đặt z y 1 z y y 2 , ta được: 1 pt z .z x z .z x . x x Ø Chương 8. Phương trình vi phân A(x ) e dx x x , B(x ) x .e z x (x C ) dx x dx y xy x Ø Chương 8. Phương trình vi phân x x Cx . y 6xdx A(x ) e e 3x , B(x ) 3x .e Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm x 2y 2xy . VD 14. Giải phương trình vi phân y 2xy x 3y . Giải. y 2xy x 3y y y 4 2xy 3 x . Đặt z y 3 z 3y y 4 . pt z 2xz x z 6xz 3x . Vậy dx 3x 3e 3x dx 1 3x 2e 3x d(3x ) e 3x (3x 1) . 6 e 3x y 6xdx 3x e (3x 1) C . 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2.1.1. Phương trình khuyết y y’ • Phương trình vi phân khuyết y y có dạng: y f (x ) (1). Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: y f (x ) y f (x )dx (x ) C y (x )dx C1x (x ) C1x C . VD 1. Giải phương trình vi phân y x . Ø Chương 2. Phương trình vi phân Thay x 0, y(0) vào (b) ta C 2 . Vậy phương trình có nghiệm riêng y e 2x x . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: y f (x , y ) (2). Phương pháp giải • Đặt z y đưa (2) phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân y x y . x Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y ta có: pt z z x (x 1). x 1 A(x ) e B(x ) dx x 1 x 1, x(x 1)e dx x 1dx 1 y (x 1) x C . y (2) 1 y x Ø Chương 8. Phương trình vi phân x3 C1 x C dx y x C x C . 1 12 Giải. y x y y x dx VD 2. Giải ptvp y e 2x với y(0) , y (0) . Giải. y e 2x y e 2x C (a). Thay x 0, y (0) vào (a) ta C 2x y e y e 2x x C (b). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y ta có: y y x z z x . x x dx dx 1 A(x ) e x , B(x ) xe x dx x . x C1 Suy z x C y x . x 3 x Vậy y x C ln x C . y VD 4. Giải pt vi phân y x (x 1) x 1 với điều kiện y(2) 1, y (2) 1. Ø Chương 8. Phương trình vi phân y x x 3x 3x C . y(2) y x x 3x 3x . x x 3x 2 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz 2zdz dy z2 dy y z2 d(z 1) dy ln(z 1) ln Cy y z2 pt 2yz 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: y f (y, y ) (3). Phương pháp giải • Đặt z y ta có: z Cy (*). dz dz dy dz y z . z . dx dy dx dy Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. Đạo hàm hai vế (*) theo x : 2zz Cy y C y C 1x C . Vậy y C 1x C 2x C . VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy y . Giải. Đặt z y y z VD 6. Giải phương trình vi phân y 2y (1 2y ) với điều kiện y(0) 0, y (0) . dz . dy Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz Giải. Đặt z y y z . dy dz pt z 2z (1 2y ) dy dz 2(2y 1)dy z 2y 2y C (a). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thay x 0, y vào (b) C . Vậy phương trình có nghiệm (x 1)(2y 1) . 1 vào (a) C 2 2dy y 2y 2y (2y 1)2 dx 2dy dx x C (b). 2y (2y 1) Thay x 0, y 0, y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 e kx , y2 xekx 2.2. Phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số 2.2.1. Phương trình • Phương trình có dạng: y a1y a2y 0, a1, a2 ¡ (4). kx kx nghiệm tổng quát y C 1e C 2xe . Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng (4): k a1k a2 (5). Ø Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2 . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 e nghiệm tổng quát y C 1e k1x k1x C 2e , y2 e k2 x . k 2x Ø Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k i . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y1 e x cos x , y2 e x sin x nghiệm tổng quát là: y e x C cos x C sin x . 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân y 2y 3y . Giải. Phương trình đặc trưng: k 2k k1 1, k2 3 . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1 e x , y e 3x nghiệm tổng quát y C 1e x C 2e3x . VD 8. Giải phương trình vi phân y 6y 9y . Giải. Phương trình đặc trưng: k 6k k (nghiệm kép). Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân y 2y 7y . Giải. Phương trình đặc trưng k 2k có: 6 6i k1,2 1 i 1, . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1 e x cos x , y2 ex sin x nghiệm tổng quát: y e x C cos x C sin x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2.2.2. Phương trình không • Phương trình không có dạng: y a1y a2y f (x ), a1, a2 ¡ (6). a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) (6) có nghiệm tổng quát y C 1(x )y1(x ) C (x )y2 (x ). • Để tìm C 1(x ) C (x ), ta giải hệ Wronsky: C 1(x )y1(x ) C 2(x )y2 (x ) C (x )y1(x ) C 2(x )y2 (x ) f (x ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1 e 3x , y2 xe 3x nghiệm tổng quát y C 1e 3x C 2xe 3x . VD 9. Giải phương trình vi phân y 16y . Giải. Phương trình đặc trưng: k 16 k 16i k1,2 4i 0, . Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: y1 cos 4x , y2 sin 4x nghiệm tổng quát y C cos 4x C sin 4x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y y y . Giải. Phương trình đặc trưng k k có: 1i 3 3i k1,2 , . 2 Vậy phương trình cho có nghiệm tổng quát: x 3 y e C cos x C sin x . 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân y y (a). cos x Giải. Xét phương trình y y (b) ta có: k k i 0, y1 cos x , y2 sin x nghiệm riêng (b). Nghiệm tổng quát (a) có dạng: y C 1(x ).cos x C (x ).sin x . Ta có hệ Wronsky: cos x .C (x ) sin x .C (x ) sin x .C (x ) cos x .C (x ) 1 cos x 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân sin x cos x .C (x ) sin2 x .C (x ) sin x cos x .C (x ) cos2 x .C (x ) 1 C (x ) ln cos x C C (x ) sin x 1 cos x C (x ) C (x ) x C . Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: y ln cos x C cos x x C sin x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Ø Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát phương trình không (6) tổng nghiệm tổng quát phương trình (4) với nghiệm riêng (6). VD 13. Cho phương trình vi phân: y 2y 2y (2 x )e x (*). 1) Chứng tỏ (*) có nghiệm riêng y x 2e x . 2) Tìm nghiệm tổng quát (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1) VT (*) (x 4x 2)e x 2(2x x )e x 2x 2e x VD 14. Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y y sin 2x cos 2x , biết nghiệm riêng y cos 2x . 2) Xét phương trình y 2y 2y (**): Giải. Phương trình y y có: k k k1 0, k2 1 (2 x )e x VP(*) đpcm. k 2k k1,2 i . Suy (**) có nghiệm tổng quát: y e x (C cos x C sin x ). Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: y x 2e x e x (C cos x C sin x ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: y a1y a2y f1(x ) f2 (x ) (7). Nếu y1(x ) y2 (x ) nghiệm riêng y a1y a2y f1(x ), y a1y a2y f2 (x ) nghiệm riêng (7) là: y y1(x ) y2 (x ). y y có nghiệm tổng quát y C C 2e x . Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: y C C 2ex cos 2x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát y y cos2 x (*). Cho biết y y y y cos 2x có nghiệm riêng y1 x , y2 cos 2x sin 2x . 10 10 Giải. Ta có: y y cos2 x y y cos 2x . Suy (*) có nghiệm riêng là: y x cos 2x sin 2x . 10 10 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Mặt khác, phương trình y y có nghiệm tổng quát y C C 2e x . Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: y C C 2e x x cos 2x sin 2x . 10 10 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình y a1y a2y f (x ) (6) y a1y a2y (4). • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) (Pn (x ) đa thức bậc n ). Bước 1. Nghiệm riêng (6) có dạng: y x me xQn (x ) (Qn (x ) đa thức đầy đủ bậc n ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : 1) Nếu không nghiệm phương trình đặc trưng (4) m . 2) Nếu nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4) m 1. 3) Nếu nghiệm kép phương trình đặc trưng (4) m . Bước 3. Thế y x m .e xQn (x ) vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng cần tìm. Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 16. Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân: y 2y 3y e 3x (x 1). Giải. Ta có f (x ) e 3x (x 1), 3, P2 (x ) x 1. Suy nghiệm riêng có dạng: y x me 3x (Ax Bx C ) . Do nghiệm đơn phương trình đặc trưng k 2k nên m 1. Suy nghiệm riêng có dạng y xe 3x (Ax Bx C ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thế y xe (Ax Bx C ) vào phương trình cho, đồng thức ta được: 1 A , B ,C . 12 16 32 VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y 2y y xe x 2e x . 3x 1 9 Vậy nghiệm riêng y xe 3x x x . 12 16 32 Giải. Xét phương trình y 2y y xe x (1). Ta có f (x ) xe x , 1, P1(x ) x . Dạng nghiệm riêng (1) y1 x me x (Ax B ). Do không nghiệm phương trình đặc trưng k 2k nên m y1 e x (Ax B ). 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình y 2y y 2e x (2). Ta có f (x ) 2e x , 1, P0 (x ) . Nghiệm riêng (2) có dạng y Cx me x . Do 1 nghiệm kép phương trình đặc trưng k 2k nên m y2 Cx 2e x . Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy nghiệm riêng phương trình cho có dạng: y y1 y2 e x (Ax B ) Cx 2e x . 10 . 32 11 (2)133 22 yyxxx ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân 432 2 3 3 86 2 xxx yxC . 432 31 (2)13 86 23 xxx yyx . 10/13/2012 6 ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi. 2 21 21 (21) dy dxxC y y (b). ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân Thay 0,0 xy vào (b) 1 C . Vậy phương trình có nghiệm (1)(21)10 xy . ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi. /2 /2 322() 63() x y uyxyxa uxxyb VD 8. Cho phương trình vi phân: 22 (322)(63)0 yxyxdxxxydy (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2 ) Giải p hương trình (*). ØØ ChươngChương 8. 8. PhươngPhương trìnhtrình vi