CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI * Ôn tập kiến thức: + Nhân hai lũy thừa số ta giữ nguyên số cộng hai số mũ. am . an = a m + n VD: 22 . 23 = 22 + = 25 ; . 53 = 51 + = 54 + Chia hai lũy thừa số ta giữ nguyên số, lấy số mũ lũy thừa bò chia trừ cho số mũ lũy thừa chia. am : an = a m – n (m ≥ n ) VD: 57 : 55 = 57 – = 52 + Lũy thừa tích tích lũy thừa. (x . y)n = xn . yn VD: (2.3)2 = 22. 32 = . = 36 ; 32 . 52 = (3 . 5)2 + Tính lũy thừa lũy thừa ta giữ nguyên số nhân hai số mũ. (xn)m = xn . m VD: (32)3 = 32 . ; 210 = (22)5 = (25)2 + Lũy thừa thương thương lũy thừa. n  x xn   = n y  y ( y ≠ 0) 32 33    3 VD:   = ; =   15  15  5 + Căn bậc hai số a không âm số x, cho x = a, kí hiệu bậc hai “ ” VD: Số có hai bậc hai = − = −2 . Vì 22 = (- 2)2 = 4. Số có hai bậc hai − . + Số a không âm, số a gọi bậc hai số học số a. VD: Căn bậc hai số học 16 4. Căn bậc hai số học 19 19 . + So sánh hai bậc hai số học. Đònh lý: Với hai số a b không âm, ta có: a 15 = 16 mà 16 < 15 ( 16 > 15) 11 >3 = mà 11 > + Căn thức bậc hai : - Người ta gọi A thức bậc hai A, với A biểu thức đại số. - Điều kiện để A xác đònh ( hay có nghóa) A phải không âm (A ≥ 0) VD: 3x có nghiã 3x ≥ hay x ≥ − x xác đònh – 2x ≥ 0. ⇔ - 2x ≥ - ⇔ x ≤ −5 ⇔ x≤ −2 (Nhắc lại giải bất phương trình bậc ẩn: + Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử từ vế sang vế bất đẳng thức ta đổi dấu hạng tử (cộng thành trừ, trừ thành cộng), chiều bất đẳng thức không đổi. + Quy tắc nhân: - Nếu nhân hay chia hai vế bất đẳng thức cho số lớn chiều bất đẳng không đổi. - Nếu nhân hay chia hai vế bất đẳng thức cho số nhỏ chiều bất đẳng thức thay đổi.) + Các đẳng thức đáng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a – b)(a + b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Hằng đẳng thức: A2 = A Đònh lí: Với số a, ta có: VD: 32 = = 3; (2 − ) = − = −(−5) = a a ≥ a2 = a =  - a a < Tổng quát: VD: ( − 5) a2 = a . = − = − (vì > 2) + Liên hệ phép nhân với phép khai phương ( phép chia với phép khai phương) - Đònh lí: Với số a b không âm, ta có: VD: a.b = a . b 4.9 = . = 2.3 = ; 810.40 = 81.10.4.10 = 81. . 100 = 9.2.10 = 180 5. 20 = 5.20 = 100 = 10 = 10 . 1,3. 52 . 10 = 1,3.52.10 = 13.13.4 = 132 . = 13.2 = 26 - Đònh lí: Với số a không âm số dương b, ta có: a a = b b VD: 25 25 52 25 25 = = = ; : = : = : = ⋅ = 121 11 16 36 16 36 10 121 11 999 999 52 52 = = =3; = = = 111 117 111 117 + Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai. - Đưa thừa số dấu căn: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có: A B = A . B , tức : Nếu A ≥ 0, B ≥ A B = A B Nếu A < 0, B ≥ A B = − A B VD: a) 28a b với b ≥ 0. Ta có: 7.4(a ) b = 2 . ( a ) . b . = 2a b với b ≥ 0. 28a b = b) 72a b với a < 0. Ta có: ( ) 72a b = 36.2a b ( ) = 2.a . b .2 = 6.(− a).b 2 = −6ab 2 với a < 0. - Đưa thừa số vào dấu căn: Nếu A ≥ 0, B ≥ A B = A B Nếu A < 0, B ≥ A B = − A B VD: a) = 32.5 = 9.5 = 45 ; b) 1,2 = 1,2 2.5 = 1,44.5 = 7,2 . c) ab4 a với a ≥ 0. Ta có: ab4 a = ( ) a b a = a 3b . d) – 2ab2 5a với a ≥ 0.Ta có: – 2ab2 5a = − 2.a ( b ) .5.a = − 20a 3b . - Khử thức mẫu: Với A, B mà A.B ≥ B ≠ 0, ta có: A = B VD: * * A.B = B.B 4.5 20 = = 5.5 AB B2 = AB B 3 3.5 15 15 = = = = 125 25.5 25.5.5 25.25 25 ; * với a > 0. Nhân tử mẫu phân thức cho 2a, ta được: 2a 3.2a = 2a .2a 6a 6a = 4a 2a + Trục thức mẫu: - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có: A A. B A B = = B B B. B - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ A ≠ B, ta có: ( C C A B = A− B A± B ) - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B2, ta có: ( C C A B = A − B2 A±B VD: a ) = ) 5 5 = = = 12 8. 16 3.4 ; 2. b b b = = = với b > 0. b b b. b b2 b) 5(5 + ) 25 + 10 25 + 10 = = = ; 25 − 12 13 − − (2 ) 2a 2a (1 + a ) 2a + 2a a = = (với a ≥ a ≠ 1) 1− a − a (1 − a )(1 + a ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7− 7− 7− 7− = = = ; 2 7−5 7+ 7− − 6a 6a a + b 6a a + b 6a a + b = = = (với a > b > 0). 2 4a − b a− b a− b a+ b a − b c) = 7+ ( ( ( )( ) ) )( ( ) ( ) ) ( ) * Bài tập vận dụng: 1) Tìm x để thức sau có nghóa: a) x b) − x c) − x d) − 3x + −1 + x e) g) + x 2) Tính: a) ( − 0,3) b) − e) 16 . 25 + 196 : 49 i) 15 735 65 k) ( − 1,3) f) 36 : 2.32.18 − 169 ⋅ ⋅ 0,01 16 m) 3.35 3) Rút gọn biểu thức: a) x − x + 27 − 3 x ( b) 18 − c) ) c) − 0,4 ( − 0,4 ) ; ; ( 14 25 165 − 124 164 l) 289 225 h) 18 149 − 76 457 − 384 x − x + 18 x + 28 3− 8−2 33 48 − 75 − +5 ; 11 n) g) d) 2+ 1+ ; ) + − 120 1 + 20 + 5 1 + 2+ 2− ; ; 4) Tìm x, biết: a) .x − 50 = b) 3.x − 12 = x2 − 20 = c) d) ( x − 1) =3 CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT *Đònh nghóa: Hàm số bậc hàm số có dạng (được cho công thức) y = ax + b, a, b số cho trước (a ≠ 0). + Hàm số y = ax + b, b = có dạng y = ax. (Hàm số y = ax, có đồ thò đường thẳng qua gốc tọa độ O(0; 0)) *Tính chất: Hàm số y = ax + b xác đònh với giá trò x thuộc R có tính chất sau: + Nếu a > hàm số đồng biến R. (Hàm số có đồ thò đường thẳng, x tăng y tăng.) + Nếu a < hàm số nghòch biến R. (Hàm số có đồ thò đường thẳng, x tăng y giảm) VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến R. (vì a = > 0). Hàm số y = - 2x + 5, nghòch biến R. (vì – < 0) *Đồ thò hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thò hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b. - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax, b = 0. ( Đồ thò hàm số y = ax + b (a ≠ 0) gọi đường thẳng y = ax + b; b tung độ gốc đường thẳng; a hệ số gốc) * Cách vẽ đồ thò: - Khi b = y = ax có đồ thò qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A (1; a). - Khi b ≠ y = ax + b có đồ thò đường thẳng qua hai điểm. Ta tìm hai điểm thuộc đồ thò để vẽ đường thẳng sau: Cho x = 0, ta y = b, ta có điểm P(0; b) nằm trục Oy. Cho y = 0, ax + b = ⇔ x = −b −b , ta có điểm Q ( ; 0) thuộc trục Ox. a a Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thò hàm số y = ax + b. Ví dụ: Vẽ đồ thò hàm số y = 2x + 1. Giải: Cho x = y = 1, ta điểm P(0; 1) thuộc đồ thò. Cho y = 2x + = ⇔ 2x = -1 ⇔ x = −1 −1 , ta điểm Q( ; 0) thuộc đồ thò. 2 Đồ thò hàm số y = 2x + đường thẳng PQ. ^ y y = 2x + -2 O -1 > x -1 * Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thò hàm số . + Điểm M(xM; yM) điểm thuộc đồ thò hàm số y = ax + b, với x = xM y = yM. Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thò hàm số y = 2x + 1, với x = -1 ta có: y = 2.(-1) + = -1. + Điểm M(xM; yM) điểm không thuộc đồ thò hàm số y = ax + b, với x = x M y ≠ y M. Ví dụ: Điểm B(2; 3) không thuộc đồ thò hàm số y = 2x + 1, với x = ta có: y = 2.2 + = ≠ 3. * Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) y = a’x + b’(a’ ≠ 0) cắt hay song song hay trùng qua hệ số. + Cắt khi: a ≠ a’. + Song song khi: a = a’; b ≠ b’. + Trùng khi: a = a’; b = b’. * Tìm giao điểm hai đường thẳng cắt nhau: + Nếu hai đường thẳng cắt có tung độ gốc giao điểm điểm nằm trục tung có tung độ tung độ gốc. + Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng. Giải phương trình tìm hoành độ, thay vào hai hàm số để tìm tung độ giao điểm. VD: Cho hai hàm số y = 2x – y = 4x + 2. Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng vẽ đồ thò hệ trục tọa độ. Giải: ^y + Đồ thò hàm số y = 2x – đường thẳng qua hai điểm A(0; - 1) B( ; 0). C + Đồ thò hàm số y = 4x + đường thẳng qua hai điểm C(0; 2) D( − ; 0). + Tìm hoành độ giao điểm: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2x – = 4x + ⇔ 4x – 2x = - – -2 -1 D 1/2 -1/2 O B1 A -1 -2 -3 -4 > x ⇔ 2x = - ⇔ x = −3 −3 vào y = 2x – 1, ta được: −3 y = 2.( ) – = - – = - 4. −3 Vậy: giao điểm có tọa độ ( ; - 4) giao điểm cần tìm. Thay x = * Các tập rèn luyện: 1) Cho hàm số y = ax + 3. a) Xác đònh hệ số góc a, biết đồ thò hàm số qua điểm A(2; 6). b) Vẽ đồ thò hàm số trên. 2) Xác đònh hàm số y = ax + b trường hợp sau: a) a = đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 1,5. b) a = đồ thò hàm số qua điểm A = (2; 2). c) Đồ thò hd song song với đường thẳng y = .x qua điểm B(1; + ). 3)+ Với giá trò m hàm số bậc y = (m – 1)x + đồng biến. + Với giá trò k hàm số bậc y = (5 – k)x + nghòch biến. 4) Với giá trò m đồ thò hàm số y = 2x + (3 + m) y = 3x + (5 – m) cắt điểm trục tung. 5) + Tìm giá trò a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + (a ≠ 1) y = (3 – a)x + (a ≠ 3) song song với nhau. + Xác đònh k m để hai đường thẳng sau trùng nhau: y = kx + (m – 2) (k ≠ 0) ; y = (5 – k)x + (4 – m ) (k ≠ 5). Giải: 1a) Đồ thò hàm số y = ax + qua điểm A(2; 6), ta có: = a.2 + ⇔ 2a = – ⇔ a = = 1,5 Vậy hàm số cho y = 1,5x + 3. b) Vẽ đồ thò hàm số y = 1,5x + 3. + Với x = y = 3, ta điểm P(0; 3) thuộc đồ thò. + Với y = ⇒ 1,5x + = ⇔ 1,5x = - ⇔ x = - 2, ta điểm Q(-2; 0) thuộc đồ thò. + Đồ thò hàm số y = 1,5x + đường thẳng PQ. 2a) Với a = hàm số có dạng y= 2x + b, đồ thò cắt trục hoành điểm có hoành độ 1,5 nên ta có: y = 1,5x + P = 2.1,5 + b ⇔ b = - 3. Vậy hàm số cho: y = 2x – 3. b) Với a = 3, hàm số có dạng y = 3x + b, đồ thò qua điểm A(2; 2), ta có: = 3.2 + b ⇔ b = – = - 4. x Q Vậy hàm số cho: y = 3x – 4. > O -1 -2 c) Đồ thò hàm số song song với đường thẳng y = x, -1 nên ta có a = đồ thò qua điểm B(1; +5), ta -2 có: +5 = .1+ b ⇔ b = + – = -3 m số x+ 5. m > 1. 3a) Hàm số y = (m – 1)x + đồngVậ biếynhà chỉcho: :ym= – 13 > hay b) Hàm số y = (5 – k)x + nghòch biến khi: – k < hay k > 5. 4) Hàm số y = 2x + (3 + m) y = 3x + (5 – m) có đồ thò cắt điểm trục tung ta có: + m = – m ⇔ 2m = – ⇔ m = 1. Vậy: Với m = đồ thò hai hàm số cho cắt điểm trục tung. “I(0; 4)” 5a) Hai đường thẳng y = (a – 1)x + (a ≠ 1) y = (3 – a)x + (a ≠ 3) song song với ta có: a – = – a ⇔ 2a = ⇔ a = 2. Vậy: với a = hai đường thẳng cho song song với nhau. b) Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) (k ≠ 0) y = (5 – k)x + (4 – m) (k ≠ 5) trùng ^y  k = − k 2 k = k = ⇔ ⇔ ta có:  m − = − m 2 m = m = Vậy: với k = 2,5 m = hai đường thẳng cho trùng nhau. * Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN * Ôn tập kiến thức: + Phương trình bậc hai ẩn: - Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức có dạng: ax + by = c, a, b, c số cho trước. (a ≠ b ≠ 0) - Trong phương trình ax + by = c, giá trò x = x y = y0 cho vế trái vế phải phương trình cặp số (x0; y0) gọi nghiệm phương trình trên. - Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c. - Trong phương trình ax + by = c; a ≠ 0, b ≠ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm a b c b đồ thò hàm số y = − x + . VD: Phương trình 5x + 4y = 8, cặp số (0; 2); (4; -3) hai nghiệm phương trình. Vì: 5.0 + 4.2 = = VP 5.4 + 4.(-3) = 20 – 12 = = VP − 5x =− x+2 4    Tập nghiệm phương trình: S =  x;− x +  x ∈ R     8− 4y =− y+ Hay 5x + 4y = ⇔ 5x = – 4y ⇔ x = 5    Tập nghiệm phương trình: S =  − y + ; y  y ∈ R     Ta có 5x + 4y = ⇔ 4y = – 5x ⇔ y = * Bài tập vận dụng: Tìm tập nghiệm phương trình sau: a) 3x – y = b) x + 5y = c) 4x – 3y = - e) 4x + 0y = – g) 0x + 2y = Giải: a) 3x – y = ⇔ – y = – 3x ⇔ y = 3x – 2. Tập nghiệm phương trình: S = {( x;3x − 2) x ∈ R} b) x + 5y = ⇔ x = – 5y Tập nghiệm phương trình: S = {( − y; y ) y ∈ R} d) x + 5y = 3y −1  y −   ; y  y ∈ R Tập nghiệm phương trình: S =     d) x + 5y = ⇔ x = – 5y c) 4x – 3y = – ⇔ 4x = 3y – ⇔ x = Tập nghiệm phương trình: S = {( − y; y ) y ∈ R}    Tập nghiệm phương trình: S =  − ; y  y ∈ R     g) 0x + 2y = ⇔ 2y = ⇔ y = 2,5 e) 4x + 0y = – ⇔ 4x = – ⇔ x = − Tập nghiệm phương trình: S = {( x;2,5) x ∈ R} * Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: + Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng: ax + by = c a ' x + b ' y = c ' (I)  Số nghiệm hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ hai đường thẳng hệ. Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0. a b ≠   a ' b'  - Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có nghiệm.  a b c = ≠   a ' b' c '  - Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vô nghiệm.  a b c = =   a ' b' c '  - Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm.  * Cách giải hệ phương trình: + Giải phương pháp thế: Quy tắc thế: ( xem SGK trang 13)  x − y = (1) − x + y = (2) Ta có: (1) ⇔ x = 3y + . Thay x = 3y + vào (2), ta được: – 2.(3y + 2) + 5y = ⇔ – 6y – + 5y = ⇔ – y = + ⇔ y = – VD:  Thay y = – vào (1), ta được: x – 3. (– 5) = ⇔ x = – 15 ⇔ x = – 13. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (– 13; –15) ( trình bày giải theo hệ phương trình tương đương) x − y = x = y + x = y + x = y +  x = 3.(−5) +  x = −13 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  − x + y = − x + y = − 2.(3 y + 2) + y = − y = +  y = −5  y = −5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (– 13; –15) 2 x − y = x + y = 2 x − y = 2.(−2 y + 4) − y = − y = −  x = −2.1 + x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (*) ⇔   x = −2 y +  x = −2 y +  x = −2 y + y =1 y =1 + Giải hệ phương trình: (*)  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (2; 1) 4 x − y = 3 x − y = 16 + Giải hệ phương trình:  Giải: − 77  =7 4 x − y = 4 x − y = 4 x − 5.(3x − 16) = − 11x = − 80 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − 11  3 x − y = 16  y = x − 16  y = x − 16  y = x − 16  y = 3.7 − 16 = Phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (7; 5) + Giải hệ phương pháp cộng đại số: Quy tắc cộng đại số: (xem SGK trang 16) ( Chú ý: Sử dụng phương pháp cộng đại số hệ phương trình có hệ số chung với biến đối nhau. Nếu đối cộng vế với vế hai phương trình hệ; trừ vế với vế hai phương trình hệ.) 2 x − y = (1)  x + y = ( 2) + Ghpt:  Giải: Cộng vế với vế phương trình (1) (2), ta được: (2x – y) + (x + y) = + ⇔ 3x = ⇔ x = 1. Thay x = vào (2), ta được: (2) ⇔ + y = ⇔ y = 1. Hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (1; 1) ( giải theo hệ phương trình tương đương) 2 x − y =  x + y = 1 + y = x = ⇔ ⇔ ⇔  x + y = 3 x = x = y =1 Vậy: (1; 1) nghiệm hệ phương trình cho. 2 x + y = 2 x − y = +Ghpt:  Giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ, ta được: (2x + 2y) – (2x – 3y) = – ⇔ 2x – 2x + 2y + 3y = ⇔ 5y = ⇔ y = 1.  2 x + y = 2 x + y = 2 x + 2.1 = 2 x = − x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 x − y = y =1 y =1 y =1  y = Vậy: Hệ có nghiệm (x; y) = (3,5 ; 1) ( Với hệ phương trình mà hệ số chung biến khong không đối nhau, ta nhân hay chia số cho hai vế phương trình hay hai phương trình hệ để làm cho hệ số đối nhau) 3 x + y = 2 x + y = + Ghpt:  Giải: ( ). 3 x + y = 6 x + y = 14 2 x + y = 2 x + 3.( −1) = 2 x = +  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2x + 3y = 6 x + y = − y =  y = −1  y = −1  y = −1 ( 3).  Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; – 1) * Giải hệ phương trình sau: 3 x + y = 3 x + y = 3.2 + y =  x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − y = 5 x = 10 x =  y = − = −3 a)  Vậy: (2; – 3) nghiệm hệ phương trình. 4 x + y = 4 x + y =  − x = −6 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y = − x − y = −12 2 x + y = 2.3 + y =  y = − = −2 b)  Vậy: (3; – 2) nghiệm hệ phương trình. 1 x − y =1  c)  3 + =  x y Đặt a = a − b = 1 ; b = y , ta được:  x 3a + 4b =   a = + a =  a − b = a = b + a = b +   7 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3a + 4b = 3.(b + 1) + 4b = 7b = − b = b = 7   *a = 9 ⇔ = ⇔x= x *b = ⇔ y = ⇔ y = 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 2 x + y = 2 x + y = 2 x + y =  ⇔ ⇔ d)  − x − y = −5 0 x + y = −3  x + y = Phương trình 0x + 0y = – vô nghiệm. Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm. ( hai đường thẳng hệ song song) 0,2 x + 0,1 y = 0,3 2 x + y = 2 x + y =  x = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x + y = 3x + y =  − x = −2  y = − 2.2 = −1 e)  Vậy: (2; – 1) nghiệm hệ phương trình cho. * Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN * Hàm số y = ax2 (a ≠ 0). + Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) - Nếu a > hàm số nghòch biến x < đồng biến x > 0. - Nếu a < hàm số đồng biến x < nghòch biến x > 0. - Nếu a > y > ∀x ≠ , y = x = 0. Giá trò nhỏ hàm số y = 0. - Nếu a < y < ∀x ≠ , y = x = 0. Giá trò lớn hàm số y = 0. + Đồ thò hàm số y = ax (a ≠ 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong gọi Parabol với đỉnh O. - Nếu a > đồ thò nằm trục hoành, O điểm thấp đồ thò. - Nếu a < đồ thò nằm dưỡi trục hoành, O điển cao đồ thò. + Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax2 (a ≠ 0) . - Tìm số điểm thuộc đồ thò cách cho x số giá trò để tìm giá trò y tương ứng. ( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …) - Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn điểm thuộc đồ thò tìm trên. - Nối điểm để đường cong Parabol. VD: Hàm số y = 2x2. Giải: Các điểm thuộc đồ thò chho theo bảng sau: x -3 -2 -1 y = 2x 18 2 18 Đồ thò hàm số y = 2x đường cong Parabol qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A(- 3; 18); B(- 2; 8); C(- 1; 2); A’(3; 18); B’(2; 8); C’(1; 2). * Các tập rèn luyện: 1) Cho hàm số y = x2 . a) Vẽ đồ thò hàm số đó. b) Tìm giá trò f(- 8), f(- 13),f(1,5). 2) Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thò hàm số. a) Tìm hệ số a. b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thò không? c) Tìm tung độ điểm thuộc Parabol có hoành độ x = -3. d) Tìm điểm thuộc Parabol có tung độ y = 8. 3) Cho hai hàm số y = x y = - x + 6. a) Vẽ đồ thò hai hàm số hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thò (nếu có) * Hướng dẫn giải: 1) a) Đồ thò hàm số y = x2 đường cong Parabol qua điểm có tọa độ: O(0; 0), A(1; 1), B(2; 4),C(-1; 1), D(-2; 4). b) f(-8) = (-8)2 = 64 f(-13) = (-13)2 = 169 f(1,5) = 1,52 = 2,25 2)a) Điểm M(2; 1) thuộc đồ thò, ta có: 1 . Hàm số cho y = x2. 4 1 b) Với x = 4, ta có y = . 42 = .16 = 4. Vậy điểm A(4; 4) thuộc đồ thò hàm số y = x2. 4 1 c) Với x = -3, ta có y = . (-3)2 = .9 = 2,25. 4 = a. 22 ⇔ 4a = ⇔ a = Vậy: y = 2,25 tung độ điểm cần tìm. d) Với y = 8, ta có: 8= x ⇔ x2 = 32 ⇔ x = x = − 4 Vậy: điểm ( ; 8) ( − ; 8) thuộc Parabol y = x Parabol qua điểm O(0; 0), A(1; ), B(3; 3), A’(-1; ), B’(-3; 3), C(6; 12), C’(-6; 12). 3) - Đồ thò hàm số y = x. - Đồ thò hàm số y = - x + đường thẳng qua hai điểm M(0; 6) N(6; 0). b) Phương trình hoành độ giao điểm: x = −x + ⇔ x2 + x − = ⇔ x + 3x − 18 = Giải phương trình ta được: x = - x = 3. Với x = - 6, ta có: y = - (- 6) + = 12 ⇒ Điểm (- 6; 12) giao điểm thứ nhất. Với x = 3, ta có: y = - + = ⇒ Điểm (3; 3) giao điểm thứ hai. * Phương trình bậc hai ẩn: - Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c = 0, x ẩn; a, b, c số cho trước a ≠ 0. VD: x2 + 5x + 50 = 0; -2x2 + 5x = 0; x2 – = 0; - 3x2 = 0; 2x2 = phươngn trình bậc hai ẩn. - Các ví dụ giải phương trình bậc hai ẩn: + Phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1). - Nếu b ≠ c = 0, ta giải sau: (1) ⇔ ax2 + bx = ⇔ x(ax + b) = ⇔ x = ax + b = 0. * ax + b = ⇔ ax = - b ⇔ x = − b a Vậy phương trình có nghiệm x1 = x2 = − VD: Gpt: a) 2x2 + 5x = 0. b a b) 2x2 + 10x = a) 2x2 + 5x = ⇔ x(2x + 5) = ⇔ x = 2x + = ⇔ x = − Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = 0; x2 = − b) 2x2 + 10x = ⇔ 2x(x + 5) = 2 x = x = ⇔ ⇔ Vậy: phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = - 5. x + =  x = −5 - Nếu b = c ≠ 0, ta giải sau: (1) ⇔ ax2 + c = 0. c ⇔ ax2 = - c ⇔ x2 = − a ( Nếu − Nếu − c < phương trình vô nghiệm; a c > phương trình có nghiệm: x1 = a − c c ; x2 = − − a a VD: Gpt: a) x2 – = b) 2x2 + = c) 5x2 – 20 = Giải: a) x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = x = − Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = − . b) 2x2 + = ⇔ 2x2 = - ⇔ x2 = - Vì – < , nên phương trình cho vô nghiệm. c) 5x2 – 20 = ⇔ 5x2 = 20 ⇔ x2 = ⇔ x = x = - 2. Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = - 2. - Nếu b ≠ c ≠ 0, ta giải sau: Phương trình ax2 + bx + c = 0. ( Sử dung công thức nghiệm tìm ∆ ) Ta có: ∆ = b2 – 4ac. * ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ 2a ; x2 = −b− ∆ 2a * ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a * ∆ < 0, phương trình vô nghiệm. VD: Gpt: 2x2 + 5x + = 0. Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4. 2. = 25 – 16 = > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: −b+ ∆ −5+ −5+3 = =− = 2a 2.2 −b− ∆ −5− −5−3 = = −2 x2 = = 2a 2.2 x1 = Gpt: x2 – 2x + = 0. Ta có: ∆ = (- 2)2 – 4.1.1 = – = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b − ( −2) =1 = 2a 2.1 * Ứng dụng hệ thức Vi-et giải phương trình bậc hai: + Đònh lý Vi-et: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: −b   x1 + x2 = a   x .x = c  a + Gpt: ax2 + bx + c = (a ≠ 0). ( Sử dụng đònh lí Vi-et nhẫm nghiệm) - Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = x2 = c . a VD: a) Gpt: 2x2 + x – = 0. Ta có: + + (- 3) = 0. Phương trình có hai nghiệm x1 = x2 = c −3 = a b) Gpt: x2 – 7x + = 0. Ta có: + (-7) + = 0. Phương trình có hai nghiệm x1 = x2 = c = =6 a - Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = - x2 = −c . a VD: a) Gpt: x2 – 4x + (- 5) = 0. Ta có: – (- 4) + (- 5) = 0. Phương trình có hai nghiệm x1 = - x2 = − c − (−5) = =5 a b) Gpt: 3x2 + 7x + = 0. Ta có: – + + 0. c a Phương trình có hai nghiệm x1 = - x2 = − = −4 * Ứng dụng hệ thức Vi-et tìm hai số biết tổng tích chúng: + Nếu hai số có tổng S có tích Phương trình hai số hai nghiệm phương trình bậc hai có dạng: x2 – Sx + P = 0. + Điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ 0. VD: Tìm hai số biết tổng chúng 10 tích chúng 21. Giải: Hai số cần tìm nghiệm phương trình: x2 – 10x + 21 = 0. Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (- 10)2 – 4.1.21 = 100 – 84 = 16 > 0. Phương trình có hai nghiệm: x1 = −b+ ∆ − (−10) + 16 10 + − b − ∆ − (−10) − 16 10 − = = ; x2 = = =3 = = 2a 2.1 2a 2.1 Vậy: hai số cần tìm 3. * Các phương trình quy phương trình bậc hai: + Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0. Cách giải: - Đặt t = x2 ( t ≥ 0). - Chuyển phương trình cho theo ẩn t đặt. - Giải phương trình theo t, tìm giá trò t. - Giải tìm x theo giá trò t tìm trên. VD: Gpt: 4x4 + x2 – = 0. Đặt t = x2 ( t ≥ 0). Ta có phương trình: 4t2 + t – = 0. Ta có: + + (- 5) = 0, phương trình có nghiệm: t1 = ; t2 = Với t = 1, ta có: x2 = ⇔ x = x = - 1. Vậy: phương trình cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = - 1. Gpt: 3x4 + 4x2 + = 0. Đặt t = x2 ( t ≥ 0). Ta có phương trình: 3t2 + 4t +1 = 0. Ta có: – + = 0, phương trình có nghiệm: t1 = - 1; t2 = −5 < ( loại) −1 . Vì t1 t2 nhỏ 0, nên phương trình cho vô nghiệm. + Phương trình tích: Ta có tính chất: Nếu a. b = a = b = 0. VD: Gpt: (x + 1)(x2 + 2x – 3) = 0. x +1 = Giải: (x + 1)(x2 + 2x – 3) = ⇔  x + 2x − = * x + = ⇔ x = - 1. * x2 + 2x – = ⇔ x = x = - 3. Vậy: phương trình cho có ba nghiệm: x1 = -1; x2 = 1; x3 = - 3. Gpt: x3 + 3x2 + 2x = 0. (Gợi ý: ta phân tích vế trái thành nhân tử, đưa giải phương trình tích) x = x3 + 3x2 + 2x = ⇔ x(x2 + 3x + 2) = ⇔   x + 3x + = * x2 + 3x + = 0. Ta có: – + = 0, phương trình có nghiệm: x = - 1; x2 = - 2. Vậy: phương trình cho có ba nghiệm: x1 = 0; x2 = - 1; x3 = - 2. PHẦN HÌNH HỌC * HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: + Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông: Theo hình vẽ ta có: ∆ ABC vuông A. AB = c; AC = b; BC = a AH = h đường cao ứng với cạnh huyền. HB = c’; HC = b’ tương ứng hình chiếu cạnh AB AC cạnh huyền BC. Ta có hệ thức: b = a . b’ ; c2 = a . c’ h2 = b’. c’ ; bc = ah 1 = 2+ 2 h b c + Bài tập áp dụng: Cho hình vẽ hãy: c h a) Tính c’ b’, biết: c = 6; b = 8. c' b' b) Tính c’ b’, biết: c = 12; a = 20. a c) Tính c b, biết: c’ = 1; b’ = 4. d) Tính h a, biết: c = 5; b = 7. e) Tính b b’, biết: h = 2; c’ = 1. + Tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông: Tam giác ABC vuông A. Ta có tỉ số lượng giác góc nhọn B: AC AB ; cos B = BC BC AC AB tgB = ; cot gB = AB AC sin B = B b A C (Cách tìm: - Tìm “sin” lấy đối chia huyền. - Tìm “cosin” lấy kề chia huyền. - Tìm “tang” lấy đối chia kề. - Tìm “cotang” lấy kề chia đối.) - Hai góc nhọn phụ ( tổng hai góc 900) có tỉ số lượng giác chéo nhau: Sin góc cosin góc ngược lại; tang góc cotang góc ngược lại. Nếu Bˆ + Cˆ = 90° sinB = cosC ; cosB = sinC tgB = cotgC ; cotgB = tgC + Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC vuông A, có Bˆ = α ; Cˆ = β . Hãy: a) Tính tỉ số lượng giác góc B, biết: AB = a; AC = a ; BC = 2a. b) Viết tỉ số lượng giác góc C, biết: AB = AC = a; BC = a . + Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông: A Tam giác ABCvuông A, có: b c AB = c; AC = b; BC = a. Ta có đònh lý: C B a Trong tam giác vuông cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cosin góc kề. b) Cạnh góc vuông nhân với tang góc đối cotang góc kề. b = a.sin B = a. cos C c = a.sin C = a. cos B b = c.tgB = c. cot gC c = b.tgC = b. cot gB - Từ hệ thức ta có: a = - Cho góc nhọn α . Ta có: < sin α AB ⇒ OH < OI. E - OH < OI ⇒ AE > AB. 5) Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn tiếp điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn. * Đường tròn (O; R), a tiếp tuyến ⇒ a ⊥ OI I a * Đường tròn (O; R) tiếp xúc với a I OI ⊥ a R ⇒ a tiếp tuyến đường tròn (O; R) O 6) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: a) Điểm cánh hai tiếp điểm. b) Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tia tiếp tuyến. c) Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm. + Đường tròn (O; R) có: a tiếp tuyến điểm A; b tiếp tuyến điểm B; a cắt b điểm c, ta có: a) CA = CB. b) Tia CO tia phân giác ∠ ACB ⇒ ∠ ACO = ∠ BCO. c) Tia OC tia phân giác ∠ AOB ⇒ ∠ AOC = ∠ BOC. A C O B 7) Nếu hai đường tròn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung. + Đường tròn (O; R) cắt đường tròn (O’; r) có dây AB chung, ta có: OO’ ⊥ AB I IA = IB hay OO’ đường trung trực AB. A I O O' B * GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1) Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Góc tâm chia đường tròn thành hai phần: phần nằm góc (cung bò chắn) gọi cung nhỏ; phần lại gọi cung lớn. Số đo cung nhỏ số đo góc tâm; Số đo cung lớn 360 – sđ cung nhỏ. A Trên hình vẽ: ∠AOB góc tâm. AnB cung nhỏ AmB cung lớn n m O B Giả sử ∠ AOB = 850 ⇒ sđ AnB = 850 sđ AmB = 3600 – 850 = 2750 2) Trong đường tròn (hay hai đường tròn nhau), hai cung chúng có số đo nhau; Trong hai cung, cung lớn có số đo lớn hơn. 3) Góc nội tiếp đường tròn góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn đó. Cung nằm bên góc gọi cung bò chắn. A A B O B C O Trên hình vẽ: ∠BAC góc nội tiếp O C C A BC cung bò chắn B * Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bò chắn. * Trong đường tròn: + Các góc nội tiếp chắn cung nhau. + Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung nhau. + Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung. + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vuông. 4) Cho hình vẽ: + Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bò chắn. Trong hình trên: + Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung nhau. 5) * Cho hình vẽ: + Trong đường tròn, góc có đỉnh bên đường tròn góc nội tiếp chắn cung góc nội tiếp nhỏ hơn. E B E * Cho hình vẽ: C E D A A O B C n O O B m C + Trong hình ∠ BEC gọi góc có đỉnh bên đường tròn. + Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bò chắn. (cung lớn trừ cung nhỏ). + Trong hình trên, ta có: + Trong đường tròn, góc có đỉnh bên đường tròn góc nội tiếp chắn cung góc nội tiếp lớn hơn. 6) + Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn. + Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800. + Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường tròn. ( cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn) 7) Cho đường tròn tâm O bán kính R, ta có: + Công thức tính độ dài đường tròn: C = π R hay C = π d ( d = 2R đường kính) + Công thức tính độ dài cung tròn ( có số đo n0): = πRn 180 VD: Đường tròn (O; 21cm). Tính độ dài đường tròn cung tròn 50 0. Giải: Ta có: C = π R = 3,14 . . 21 = 3,14 . 42 = 131,88 (cm) πRn 3,14.21.50 = 180 = 180 ≈ 18,32(cm) + Công thức tính diện tích hình tròn: S = π R2 + Công thức tính diện tính hình quạt tròn (có số đo cung n0): R πR n S= hay S = (  độ dài cung n0 hình quạt tròn) 360 VD: Diện tích hình tròn (O; 21 cm) S = π R2 = 3,14 . 212 = 1384,74 (cm2) Diện tích hình quạt tròn có số đo 500 (của đường tròn (O; 21 cm)) S= R 18,32.21 = = 192,36 (cm2) 2 * HÌNH TRỤ: Hình trụ có hai đáy hai hình tròn có bán kính ( nhau) Trên hình vẽ, AB gọi đường sinh hình trụ. Đường sinh hình trụ vuông góc với hai mặt đáy hình trụ, độ dài đường sinh gọi chiều cao hình trụ. + Diện tích xung quanh: Sxq = π r h ( r: bán kính đường tròn đáy; h: chiều cao hình trụ) + Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + π r + Thể tích: V = S.h = π r2 h * HÌNH NÓN: + Diện tích xung quanh: Sxq = π r  + Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + π r2 + Thể tích hình nón: A Đường ca o Đường sinh B O C V = π r2 h D Đáy ( r: bán kính đáy; h: chiều cao;  : độ dài đường sinh) * HÌNH CẦU: + Diện tích mặt cầu: S = π R2 hay S = π d2 ( R: Bán kính mặt cầu; d = 2R: đường kính mặt cầu) + Thể tích hình cầu: V= π R3 10 KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN - Biết lắng nghe. - Làm theo bước. - Tn theo quy tắc. - Vượt qua nhãng. - Biết u cầu giúp đỡ. - Chờ đợi đến lượt mình. - Hòa đồng với người. - Bình tĩnh trước người khác. - Chịu trách nhiệm hành vi mình. - Làm việc tốt cho người khác. Chúng ta biết tốn học có vai trò quan trọng phát triển khoa học - kỹ thuật khơng q đáng cho thành tựu khoa học - kỹ thuật tất lĩnh vực khơng thể có khơng có cơng trình tốn học đỉnh cao. Điều khẳng định vai trò Tốn học “chiếc chìa khố”, “ đèn chiếu” để nhân loại mở cửa vào kho tàng văn minh. Vì tốn học có vai trò quan trọng vậy, nên trở thành mơn học từ buổi đầu học. Và hỏi phải học tốn cho tốt? Theo nhà khoa học, muốn học tốt sớm hay muộn phải đạt đến tự giác học tập, say sưa học tập điều đầu tiên. Nhưng tất vấn đề chỗ có tự giác, say sưa học tập. Nhiều học sinh hỏi có suy nghĩ mơn tốn, đa số em cho rằng: mơn học khó khơ khan, học khó nhớ, mau qn. Do dẫn đến nhiều học sinh học Tốn thiếu say mê, học cách gượng ép; em học Tốn học mơn học bắt buộc kỳ thi tốt nghiệp,… chí em sợ học tốn, gặp phải tốn khó nghĩ khơng giải được, mà sợ mơn Tốn. Vậy ngun nhân làm cho mơn Tốn trở nên khó với nhiều học sinh? Phải có người thơng minh, người có khiếu đặc biệt học giỏi Tốn? Như biết hồn tồn khơng phải vậy, phần nhỏ, mà phần lớn định có học giỏi tốn hay khơng kết q trình lao động miệt mài với phương pháp học tập đắn, phù hợp với điều kiện học sinh. Thực tế chứng minh cho ta thấy, nhiều nhà khoa học tiếng giới để có cơng trình Tốn học tiếng ngày họ biết phương pháp học hợp lí, biết tạo cho hứng thú say mê cơng việc để đạt chất lượng cao. Còn em suy nghó nào? Hãy xem lại cách học tìm cho phương pháp học tập thích hợp để có kết tốt nhé! “ Chúc bạn học sinh rèn luyện thành công, chăm ngoan học tốt” [...]... bán kính R, ta có: + Công thức tính độ dài đường tròn: C = 2 π R hay C = π d ( d = 2R là đường kính) + Công thức tính độ dài cung tròn ( có số đo n0): = πRn 180 VD: Đường tròn (O; 21cm) Tính độ dài đường tròn và cung tròn 50 0 Giải: Ta có: C = 2 π R = 3,14 2 21 = 3,14 42 = 131,88 (cm) πRn 3,14.21.50 = 180 = 180 ≈ 18,32(cm) + Công thức tính diện tích hình tròn: S = π R2 + Công thức tính diện tính... PHẦN HÌNH HỌC * HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: + Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: Theo hình vẽ ta có: ∆ ABC vuông tại A AB = c; AC = b; BC = a AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền HB = c’; HC = b’ tương ứng là hình chiếu của cạnh AB và AC trên cạnh huyền BC 2 Ta có các hệ thức: b = a b’ ; c2 = a c’ h2 = b’ c’ ; bc = ah 1 1 1 = 2+ 2 2 h b c + Bài tập áp dụng: Cho hình... và ngược lại ˆ ˆ Nếu B + C = 90 ° thì sinB = cosC ; cosB = sinC tgB = cotgC ; cotgB = tgC + Bài tập áp dụng: ˆ ˆ Cho tam giác ABC vuông tại A, có B = α ; C = β Hãy: a) Tính tỉ số lượng giác của góc B, biết: AB = a; AC = a 3 ; BC = 2a b) Viết các tỉ số lượng giác của góc C, biết: AB = AC = a; BC = a 2 + Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: A Tam giác ABCvuông tại A, có: b c AB = c; AC... 2 3 x = 3 x = 1 y =1 Vậy: (1; 1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho 2 x + 2 y = 9 2 x − 3 y = 4 +Ghpt:  Giải: Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được: (2x + 2y) – (2x – 3y) = 9 – 4 ⇔ 2x – 2x + 2y + 3y = 5 ⇔ 5y = 5 ⇔ y = 1 7  2 x + 2 y = 9 2 x + 2 y = 9 2 x + 2.1 = 9 2 x = 9 − 2 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2  2 x − 3 y = 4 y =1 y =1 y =1 y =1  Vậy: Hệ có nghiệm duy nhất... c = 0 ( Sử dung công thức nghiệm tìm ∆ ) Ta có: ∆ = b2 – 4ac * ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ 2a ; x2 = −b− ∆ 2a * ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a * ∆ < 0, phương trình vô nghiệm VD: Gpt: 2x2 + 5x + 2 = 0 Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4 2 2 = 25 – 16 = 9 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: −b+ ∆ −5+ 9 −5+3 1 = =− = 2a 2.2 4 2 −b− ∆ −5− 9 −5−3 = = −2 x2... C B *ĐƯỜNG TRÒN Hình 1 + Các kiến thức cần nhớ: 1) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông (Hình 1) 2) Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường kính A 3) Trong một đường tròn: (Hình bên) (O; R) có AB là dây R a) Đường kính vuông góc với một dây a) OC ⊥ AB... x − y =1  c)  3 + 4 = 5 x y  Đặt a = 1 a − b = 1 1 ; b = y , ta được:  x 3a + 4b = 5 2 9   a = 7 + 1 a = 7 a − b = 1 a = b + 1 a = b + 1   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3a + 4b = 5 3.(b + 1) + 4b = 5 7b = 5 − 3 b = 2 b = 2   7 7   *a = 9 1 9 7 ⇔ = ⇔x= 7 x 7 9 2 1 2 7 *b = 7 ⇔ y = 7 ⇔ y = 2 7 7 9 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ; ) 2 x + 5 y = 2 2 x + 5 y = 2 2 x + 5 y = 2  ⇔ ⇔... tại A, có: b c AB = c; AC = b; BC = a Ta có đònh lý: C B a Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cotang góc kề b = a.sin B = a cos C c = a.sin C = a cos B b = c.tgB = c cot gC c = b.tgC = b cot gB - Từ các hệ thức trên ta có: a = - Cho góc nhọn α Ta có: 0 < sin α . 11 5 11 5 121 25 121 25 2 2 === ; 10 9 5 6 4 3 6 5 : 4 3 36 25 : 16 9 36 25 : 16 9 =⋅=== 39 111 99 9 111 99 9 === ; 3 2 9 4 117 52 117 52 === + Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. - Đưa thừa. 15) 11 >3 vì 3 = 9 mà 11 > 9 + Căn thức bậc hai : - Người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, với A là một biểu thức đại số. - Điều kiện để A xác đònh ( hay có nghóa) là A phải không âm (A. 0 thì chiều của bất đẳng không đổi. - Nếu nhân hay chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số nhỏ hơn 0 thì chiều của bất đẳng thức thay đổi.) + Các hằng đẳng thức đáng nhớ: (a + b) 2 =