TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHÔNG GIAN VECTOR Giáo viên hướng dẫn ThS. Trang Văn Dể Sinh viên thực Nguyễn Thị Linh Chi MSSV: 1100009 Lớp: SP Toán K36 Cần Thơ 5/2014 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiên cứu em hoàn thành luận văn mình. Đó kết cố gắng thân em năm tháng giảng đường đại học, hướng dẫn tận tình quý Thầy Cô năm vừa qua. Để ghi nhớ công ơn em xin chân thành cảm ơn tất Thầy Cô trường Đại học Cần Thơ, Khoa Sư phạm môn Toán học truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Trang Văn Dể tận tình dẫn cho em suốt trình thực luận văn. Em chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp anh chị trước bạn bè đặc biệt bạn lớp sư phạm Toán học khóa 36 giúp em nhiều trình nghiên cứu đề tài. Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô bạn dồi sức khỏe công tác tốt. Mặc dù cố gắng nhiều không tránh khỏi hạn chế thiếu sót. Em mong nhận ý kiến đóng góp quí báo quý Thầy Cô bạn bè để đề tài phong phú hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Trân trọng Sinh viên thực Nguyễn Thị Linh Chi Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Mục lục MỤC LỤC MỞ ĐẦU . 1. Lý chọn đề tài 2. Đối tượng nghiên cứu . 3. Mục đích nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Các bước nghiên cứu 6. Nội dung nghiên cứu NỘI DUNG Chương 1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR . 1.1 Nhận xét mở đầu . 1.2 Định nghĩa 1.3 Các ví dụ 1.4 Các tính chất đơn giản 10 Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR CON VÀ KHÔNG GIAN THƯƠNG 12 2.1 Không gian vector 12 2.1.1 Định nghĩa . 12 2.1.2 Định lí 12 2.1.3 Các ví dụ 12 2.2 Tổ hợp tuyến tính vector . 16 Ví dụ 2.14. Trong không gian ma trận vuông cấp hai M ( ) , cho vector sau 17 2.3. Không gian sinh tập 20 2.4 Tổng tổng trực tiếp không gian 21 2.5 Không gian thương . 22 Chương 3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH. 24 3.1 Định nghĩa 24 3.1.1 Định nghĩa hệ phụ thuộc tuyến tính 24 3.1.2 Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính 24 3.1.3 Các ví dụ 24 3.2 Các tính chất . 41 3.2.1 Các tính chất đơn giản 41 3.2.2 Các định lí . 42 3.3 Hệ tương đương 44 3.3.1 Định nghĩa . 44 3.3.3 Định lí 45 3.3.4 Hệ . 46 Chương 4. HẠNG CỦA HỆ VECTOR . 48 4.1 Định nghĩa 48 4.2 Các tính chất phận độc lập tuyến tính tối đại 48 4.3 Định lí 49 4.4 Định lí (Kronecker – Capelli) 50 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Mục lục Chương 5. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 53 5.1 Cơ sở không gian vector . 53 5.1.1 Định nghĩa . 53 5.1.2 Sự tồn sở 56 5.2 Số chiều không gian vector . 57 5.2.1 Định nghĩa . 57 5.2.2 Định lí 58 5.2.3 Số chiều không gian tổng . 65 5.2.4 Số chiều không gian thương . 72 Chương 6. TỌA ĐỘ VÀ ĐỔI CƠ SỞ . 73 6.1 Tọa độ vector . 73 6.1.1 Định lí 73 6.1.2 Định nghĩa . 73 6.1.3 Mệnh đề . 76 6.2 Ma trận chuyển . 77 6.2.1 Định nghĩa . 77 6.2.2 Định lí 79 6.3 Công thức đổi tọa độ . 79 KẾT LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Mở đầu MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Không gian vector kiến thức thuộc lĩnh vực đại số, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học lĩnh vực khác. Đây đề tài nhắc đến nghiên cứu đại số tuyến tính chưa đưa nhiều ví dụ giải cụ thể. Vì em định chọn đề tài “không gian vector” để nghiên cứu từ đưa ví dụ giải cụ thể để em khóa sau hiểu rõ không gian vector. 2. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn không gian vector số tính chất có liên quan. 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn giúp em nâng cao kiến thức, đặc biệt không gian vector. Bên cạnh đó, việc nghiên cứu thúc đẩy tinh thần học hỏi, từ giúp em có đam mê toán học nhiều hơn. Ngoài ra, qua việc thực luận văn này, giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tạo tảng kiến thức cần thiết cho việc học tập sau này. 4. Phương pháp nghiên cứu * Sưu tầm, tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài; * Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày kiến thức dạng định lí, mệnh đề; * Phương pháp hệ thống hóa sử dụng để xếp kiến thức theo trình tự phù hợp. 5. Các bước nghiên cứu Bước 1: Chọn đề tài Bước 2: Sưu tầm tài liệu từ GVHD thư viện Bước 3: Tham khảo tài liệu có Bước 4: Xây dựng đề cương Bước 5: Viết nháp hướng dẫn GVHD Bước 6: Hoàn chỉnh đề tài chuẩn bị báo cáo 6. Nội dung nghiên cứu Chương 1. Khái niệm không gian vector Trong chương nêu định nghĩa không gian vector số tính chất đơn giản không gian vector. Đưa số ví dụ không gian vector. Chương 2. Không gian vector không gian thương Trong chương nghiên cứu không gian vector con, không gian thương, tổ hợp tuyến tính, không gian sinh hệ vector, tổng tổng trực tiếp. Trong phần có ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn. Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Mở đầu Chương 3. Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Trong chương nghiên cứu hệ độc lập tuyến hệ phụ thuộc tính đưa số ví dụ hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính. Từ nêu tính chất đơn giản hệ. Trong chương nghiên cứu vấn đề hai hệ tương đương. Và chương đưa nhiều ví dụ cụ thể để hiểu rõ đặc biệt có thêm toán kì thi Olympic sinh viên. Chương 4. Hạng hệ vector Trong chương nghiên cứu hạng hệ vector trước hết nghiên cứu phận độc lập tuyến tính tối đại hệ vector. Trong chương đưa số ví dụ để hiểu rõ hơn. Chương 5. Cơ sở Số chiều không gian vector Trong chương nói khái niệm sở chiều không gian vector. Đặc biệt số chiều không gian tổng số chiều không gian thương. Và đưa nhiều ví dụ cụ thể. Chương 6. Tọa độ đổi sở Trong chương nghiên cứu tọa độ vector hệ cách đổi tọa độ vector từ hệ sang hệ khác. Để làm điều ta có thêm khái niệm ma trận chuyển. Và đưa nhiều ví dụ cụ thể. Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 1. Khái niệm không gian vector NỘI DUNG Chương 1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 1.1 Nhận xét mở đầu Có nhiều tập hợp mà phần tử “cộng” với “nhân” với số. Sau số ví dụ: Tập vector hình học Tập hàm số liên tục Tập đa thức Tập ma trận cỡ Để nghiên cứu chúng theo quan điểm thống người ta xây dựng khái niệm không gian vector tổng quát. Sau tập trường hợp cụ thể, có tất tính chất không gian vector tổng quát. 1.2 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Giả sử K trường. Một tập V khác rỗng gọi không gian vector K (hoặc K – không gian vector) V xác định phép toán cộng  : V V  V  x, y   x  y có ánh xạ (gọi phép nhân vô hướng) : K  V  V  a, x   a.x cho thỏa điều kiện sau: (i): Tập V với phép cộng nhóm Abel. Với x, y, z  V 1)  x  y   z  x   y  z  ; 2) có phần tử   V thỏa mãn điều kiện: x    x ; 3) với x V có phần tử, kí hiệu  x thuộc V thỏa mãn điều kiện: x  x   ; 4) x  y  y  x ; (ii): Với a, b,1 K x, y V , ta có: 5) a  x  y   ax  ay ; 6)  a  b  x  ax  bx 7)  ab  x  a  bx  ; 8) 1x  x . Nếu V không gian vector trường K phần tử V gọi vector, phần tử K gọi vô hướng. Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 1. Khái niệm không gian vector Nhận xét: Với x V gọi vector,  V gọi vector không,  x V gọi vector đối x . Một không gian vector K gọi K – không gian vector; hay đơn giản không gian vector, K rõ. Khi K   , V gọi không gian vector thực. Khi K   , V gọi không gian vector phức. Không gian vector gọi không gian tuyến tính. 1.3 Các ví dụ Ví dụ 1.1. (1) Gọi  tập vector hình học mặt phẳng có chung gốc tập vector hình học tự mặt phẳng ta đồng vector (tức vector phương, hướng, độ dài ta xem một). Trong  ta xét phép cộng vector theo quy tắc tam giác phép nhân vector theo số thực thông thường không gian vector.    (2) Tập  vector OA, OB, OC … chung gốc O không gian (mà ta học trường phổ thông) hay vector hình học tự không gian (trong ta đồng vector nhau) với phép cộng hai vector phép nhân vector với số thực không gian vector thực. (3) Giả sử K trường tùy ý. Khi K không gian vector phép cộng nhân K. (4) Trường số thực  không gian vector trường số thực  không gian vector trường số hữu tỉ  . (5) Trường số phức  không gian vector trường số phức  trường số thực  không gian vector trường số hữu tỉ  . (6) Tập hợp   gồm vector không không gian vector trường K, với phép toán tầm thường     , a.   , a  K (7) Giả sử K trường số, tập hợp K  x  đa thức ẩn x với hệ số K , với phép cộng hai đa thức phép nhân đa thức với số, K - không gian vector. (8) Tập hợp M m,n  K  tất ma trận cấp m  n trường K với phép toán cộng ma trận phép nhân phần tử thuộc K với ma trận không gian vector trường K. (9) Giả sử K trường. Tập hợp K n   a1 , a2 , ., an  a1  K , i  1, 2, ., n với hai phép toán định nghĩa sau: Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 1. Khái niệm không gian vector  a1 , a2 , ., an    b1 , b2 , ., bn    a1  b1 , a2  b2 , ., an  bn  r  a1 , a2 , ., an    ra1 , ra2 , ., ran  , r  K K n không gian vector trường K. Từ trở đi, nói đến không gian K n ta hiểu hai phép toán định nghĩa trên. Ví dụ 1.2. Dùng định nghĩa không gian vector để chứng tỏ rằng: a) Trên tập số thực dương   ta xác định hai phép toán sau Phép cộng: x  y  xy Phép nhân: r  x  x r x, y    , r   . Chứng minh tập    , ,  lập thành  - không gian vector. b) Tập     a  b  a , b   , với phép cộng phép nhân xác định sau:  a  b    c  d    a  c   b  d  r  a  b    rb 2, r    - không gian vector. Giải Kiểm tra thỏa tiên đề a) 1) x, y, z    : x  x  y   z   x. y   z  x. y.z   y.z   y x .z x  y x  z x  x. y  x.z  x.  y  z   x   y  z  2)   1   : x   x.1  x x 3) x '     : x  x '  x  1  x.    x x 4) x, y    : x  y  x. y  y.x  y  x 5) a  , x, y    : a a a.  x  y    x  y    x. y   x a . y a  x a  y a  a.x  a. y 6) a, b  , x    :  a  b  .x  x a b  x a .xb  x a  xb  a.x  b.x 7) a, b  , x    :  ab  .x  x ab   xb  a    a. xb  a.  bx  8) x    ta có: 1.x  x1  x Vậy tập    , ,  lập thành  - không gian vector. Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 1. Khái niệm không gian vector      2:    c  d    e  f    a  c    b  d   b) 1)  a  2b , c  2d , e  f    ab    e f   a  c  e  b  d  f    a  c  e  b   d  f        a  b   c  e    d  f    a b   cd  e f        2: 0     a  b     a   0  b   a  b 3)   a   b      :  a  b     a   b     a  a    b  b      4)   a  2b  ,  c  2d      :  a  b   c  d    a  c   b  d   c  a    d  b   c  d    a  b  5) k  ,   a  2b  ,  c  2d      : k .  a  b    c  d    k .  a  c    b  d    k .  a  c   k .  b  d     k .a  k .c  k .b  k .d  k.  a  b   k .  c  d  6) k , r  ,   a  2b      :  k  r   a  b    k  r  .a   k  r  .b  k .a  r.a  k .b  r.b  k .  a  b   r.  a  b  7) k , r  ,   a  2b      :  kr  .  a  b    kr  .a   kr  .b  k .    k .  rb   k .   rb   k .  r  a  b     8)   a  2b      , ta có: 1.  a  b   1.a  1.b  a  b Vậy Tập     a  b a, b    - không gian vector. 2)      Ví dụ 1.3. Giả sử V W K – không gian vector. Khi đó, ta xét V  W với hai phép toán định nghĩa sau:  v, w   v ', w '   v  v ', w  w ' , a  v, w    av, aw  , v, v '  V ; w, w '  W a  K , v  V , w W Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 5. Cơ sở Số chiều không gian vector   1  A   1  1  1    1    0 0  1 3 2 1 3 1 1 2 3     1 1     1        1 2     2    1 1 3 2 2 1 2 3 0 0   2  2    2  2   r  A   dim U  W   r  A    dim U  W   dim U  dim W  dim U  W      Ví dụ 5.20. Trong không gian  , cho không gian sau:  x1  x2  x3  x4   A   x1 , x2 , x3 , x4   x1  x2  x3  x4    B  L 1, 2,1,  ,  2, 1, 0,1 ,  1,1,1,1 , 1,1,1,1 Tìm sở số chiều không gian A  B A  B Giải *Tìm sở số chiều không gian A. Xét hệ phương trình:  x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  Lập ma trận 1 2   1 2  1 2  1 0  C      2 1   0     0 1   0 1  x   x2   x3   x4 A    x2 , x2 ,  x4 , x4  x2 , x4     x2  1,1, 0,   x4  0, 0, 1,1 x2 , x4     1,1, 0,  ,  0, 0, 1,1  S1 Vậy A không gian con. Suy S1 sở A. Vậy dim A  dim r  S1   dim r  C   Ta có: A  B  L  S1  S  với A  L  S1  , B  L  S  Xét ma trận vector dòng L  S1  S2  70 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 5. Cơ sở Số chiều không gian vector  1  0 1 D  1  1  1 0   1   1   0 0   0 1  0   1    1 0   1    0 1  0 0 3  0    0 1   0 1  0     0  1   dim  A  B   r  D   0   1   1   0 0  1 0 1  0   1   0  1 0  1 1 1  1  0   1   1  0  3   0 2 0 0 4 0   0   0  1  3  0 2 0 0  0  B  L 1, 2,1,  ,  2, 1, 0,1 ,  1,1,1,1 , 1,1,1,1 Xét ma trận vector dòng 1  1 E  1  1  1    1  1   1   1   1 1   0  0 0  r E   1   1    0    0  1   1  0  1  0   1  0  1    1    0   1   0 0   1 4  2 0   1 2  0  dim  B   r  E   Dựa vào phép biến đổi sơ cấp ta thấy B  1, 2,1,  ,  0,1, 0, 1 ,  0, 0,1,  B   x1 1, 2,1,   x2  0,1, 0, 1  x3  0, 0,1,  x1 , x2 , x3   B   x1 , x1  x2 , x1  x3 ,  x2  x3  x1 , x2 , x3   Theo công thức ta có: dim  A  B   dim A  dim B  dim  A  B   23 1 x  A  * x  B Gọi x  A  B   Giả sử x   a1 , a2 , a3 , a4  Ta có: x  A  a1   a2 , a3   a4 ; a2 , a4   71 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 5. Cơ sở Số chiều không gian vector a1  x1 a2  x1  x2  3 x1 a  x  x a  x  x   x1  x1  x2    2 xB        x1  x3   x2  x3 a3  x1  x3 a4  x1  x3  x3   x1 a4   x2  x3 a4   x2  x3 a1  x1 a  x  x   x    a3   x1   a4  x1   1   1   A  B   x1 ,  x1 ,  x1 , x1  x1     L  1, 1,  ,  3  3     1  Vậy 1, 1,  ,   sở A  B  3  5.2.4 Số chiều không gian thương Định lí 5.8 Giả sử A không gian không gian vector V trường K. Khi đó, dim V / A  dim V  dim A . Chứng minh. Giả sử dim A  m S1   y1 , y2 , ., ym  sở A. Khi tồn vector x1 , ., xr V cho hệ S   x1 , ., xr , y1 , ., ym  sở V. Ta   xét hệ   x1 , ., xr gồm r vector không gian V/A. Với x  V , ta có x  a1 y1  .  am ym  b1 x1  .  br xr với a j , bi  K Vì y j  A nên a j y j  A với j  1, 2, ., m . Do x  b1 x1  .  br xr , suy T hệ sinh V/A. Giả sử c1 x1  .  cr xr   với ci  K , i  1, 2, ., r c1 x1  .  cr xr  A . Vì S1 sở A nên tồn d1 , ., d m  K cho ta có c1 x1  .  cr xr  d1 y1  .  d m ym hay c1 x1  .  cr xr  d1 y1  .  d m ym   . Do S sở nên ta có c1  .  cr  . Suy T sở V/A dim V / A   r . 72 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở Chương 6. TỌA ĐỘ VÀ ĐỔI CƠ SỞ 6.1 Tọa độ vector 6.1.1 Định lí Định lí 6.1 Giả sử V không gian vector K S   x1 , x2 , ., xn  hệ gồm n vector V. Khi S sở V với x V biểu thị tuyến tính cách qua hệ S. Chứng minh Nếu S sở V x  V biểu diễn dạng x  a1 x1  a2 x2  .  an xn với a1 , a2 , ., an  K Giả sử có biểu diễn vector x dạng x  b1 x1  b2 x2  .  bn xn với b1 , b2 , ., bn  K  a1  b1  x1   a2  b2  x2  .   an  bn  xn   Vì S độc lập tuyến tính nên  bi  hay  bi với i  1, ., n Vậy x biểu diễn qua hệ S . Ngược lại, x V biểu diễn dạng x  a1 x1  a2 x2  .  an xn với a1 , a2 , ., an  K S hệ sinh V. Giả sử b1 x1  b2 x2  .  bn xn   , ta có x1  x2  .  xn   . Vì vector   V có dạng biểu diễn qua hệ S nên b1  b2  .  bn  . Do S độc lập tuyến tính. Vậy S sở V. 6.1.2 Định nghĩa Định nghĩa 6.1 Giả sử S   x1 , x2 , ., xn  sở không gian V K x vector tùy ý thuộc V. Khi theo định lí 6.1. tồn phần tử a1 , a2 , ., an  K cho x  a1 x1  a2 x2  .  an xn . Ta gọi tọa độ vector x sở S a1 , a2 , ., an kí hiệu  a1 , a2 , ., an  hay  x  S   a1 , a2 , ., an  . Khi gọi tọa độ thứ i  i  1, 2, ., n  vector x theo sở S.  a1  a  Ma trận   gọi ma trận cột tọa độ vector x sở S. Như tọa  .     an  độ vector không gian V phụ thuộc vào sở chọn V. Ngay sở S chọn tọa độ x V phụ thuộc vào thứ tự vector S. Nếu Vn không gian vector n chiều K S sở Vn  x  S vector thuộc không gian Kn K với x  V ta có song ánh: 73 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở Vn  K n x   x S Ví dụ 6.1. Biết tọa độ vector sở S sau : x1   0, 5, 4,1 , x2   2, 7, 0,9  , x3   4, 0,1,  Tìm tọa độ vector sau sở S x  x1  x2  x3 , y   x1  x2  x3 , z  x1  x2  x3 Giải Ta có : x  x1  x2  x3   0, 5, 4,1   2, 7, 0,9    4, 0,1,   18, 22,17,   x  18, 22,17,  y   x1  x2  x3    0, 5, 4,1   2, 7, 0,9    4, 0,1,   16,19, 2,39   y  16,19, 2,39  z  x1  x2  x3   0, 5, 4,1   2, 7, 0,9    4, 0,1,   10, 69, 22, 47   z  10, 69, 22, 47  Ví dụ 6.2. Trong không gian vector   cho vector x   3, 4,5  a) Tìm tọa độ x sở tắc 3 . b) Tìm tọa độ x sở S   x1 , x2 , x3  x1  1,1,1 , x2  1,1,  , x3  1, 2,3  . c) Hãy tìm tọa độ vector y sở tắc  có tọa độ hệ S  y S   1, 3,  Giải a) Ta có x  1,0,    0,1,    0, 0,1  3e1  4e2  5e3 . Như tọa độ x sở tắc  x    3, 4,5  . b) Giả sử x  a1 x1  a2 x2  a3 x3 với a1 , a2 , a3   . Khi ta có hệ phương trình:  a1  a2  a3   a1     a1  a2  2a3    a2   a  2a  3a   a    Vậy tọa độ x sở S  x  S   2, 0,1 c) Theo định nghĩa ta có: y  1x1  x2  x3  11,1,1  1,1,   1, 2,3    4, 6,11 Vậy  y    4, 6,11 2 3 Ví dụ 6.3. Trong  - không gian vector M    , cho A    . Tìm tọa độ  7  A sở E . 74 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở      0   0   E   , , ,   0   0       Giải 1 0  1  0 0 0 2    a2    a3    a4    ; a1 , a2 , a3 , a4   . Khi 0 0  0  0    7  Giả sử a1  ta có  a1   a3 2  a1  a  a2        a4   7   a3   a4  7 3 Vậy tọa độ X    sở S  X  S   2,3,   .  7   f1  x   f2  5x  Ví dụ 6.4. Trong  - không gian vector   x  , cho hệ sở S :  Tìm tọa độ f  3x  sở S. Giải Giả sử  f S   a1 , a2   f  a1 f1  a2 f  x   a1  x    a2  x    x    2a1  5a2  x  3a1  a2  2a  5a2  a  46   3a1  a2  5 a2  19 Vậy  f  S   46,19  Ví dụ 6.5. Trong  - không gian vector M    , chứng minh hệ vector 1   1  1     ,  , ,   sở M    . Tìm tọa độ vector 1     0   0   2  X   sở đó.  7  Giải 1 1  1   1     , , ,  1 1    0   0   Đặt S   *Chứng minh hệ vector S sở M    .  Chứng minh hệ vector S độc lập tuyến tính.  1  1   1   0  0   a3    a4    ; a1 , a2 , a3 , a4   0 0   0  0 Giả sử a1    a2   1 1 a  a  a   a1  a2 a1  a2  a3   0    a1  0 0 75 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở  a1  a3  a4  a1  a  a  a     a2     a1  a2  a3   a1  a4  Vậy hệ vector S độc lập tuyến tính.  Chứng minh S hệ sinh a b Lấy    M    . Chứng minh tồn a1 , a2 , a3 , a4   : c d   1  1   1   0  a b  a1   a2   a3   a4        1 1  0   0  c d  a  a  a a a  a  a b   3  a1  a1  a2  c d   a1  a3  a4  a a1  d a1  d  a  c  a   a1  a2  a3  b  a  c  d     a1  a2  c a3  a1  a2  b a3  b  c  2d  a1  d a4  a  a1  a3 a4  a  b  c  3d a b Vậy với    M    biểu thị tuyến tính qua hệ S . Vậy S hệ c d  sinh M    . Vậy hệ vector S sở M    . 2 3 *Tìm tọa độ vector X   .  7   1  1   1  1 0     a3    a4    ; a1 , a2 , a3 , a4   . Khi 0 0   0   7  Giả sử a1    a2   1 1 ta có:  a1  a3  a4   a1  a2 a1  a2  a3      a1   7   a1  a3  a4   a1  7 a1  7  a   a   a1  a2  a3   a2  11     a1  a2   a3  a1  a2  a3  21  a1  7  a4   a1  a3 a4  30 2 3 Vậy tọa độ X    sở S  X  S   7,11, 21,30  .  7  6.1.3 Mệnh đề Định lí 6.2 Giả sử S   x1 , x2 , ., xn  sở không gian vector V K, vector x y thuộc V có tọa độ cở sở S tương ứng là: 76 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở  x S   a1 , a2 , ., an  ,  y S   b1 , b2 , ., bn  Khi đó: (i) Tọa độ vector x  y sở S  x  y  S   a1  b1 , a2  b2  .  an  bn  (ii) Với k  K  kx S   ka1 , ka2 , ., kan  . có tọa độ sở S vector kx Chứng minh (i) Ta có: x  a1 x1  a2 x2  .  an xn , y  b1 x1  b2 x2  .  bn xn  x  y   a1  b1  x1   a2  b2  x2  .   an  bn  xn Vậy  x  y  S   a1  b1 , a2  b2  .  an  bn  (ii) Ta có: x  a1 x1  a2 x2  .  an xn  kx  ka1 x1  ka2 x2  .  kan xn   ka1  x1   ka2  x2  .   kan  xn Vậy  kx  S   ka1 , ka2 , ., kan  6.2 Ma trận chuyển 6.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.2 Trong không gian vector V trường K cho sở   S   x1 , x2 , ., xn  sở S '  x1' , x2' , ., xn' . Giả sử vector S’ có biểu diễn qua S sau: x1'  a11 x1  a21 x2  .  an1 xn x2'  a12 x1  a22 x2  .  an xn (với aij  K , i, j  1, 2, ., n ) xn'  a1n x1  a2 n x2  .  ann xn  a11 . a1n  Khi ma trận vuông (cấp n) A   . . .  gọi ma trận chuyển sở  an1 . ann  từ sở S sang sở S’. Như n cột A n ma trận cột tọa độ vector x1' , x2' , ., xn' sở S. Ví dụ 6.6. Xét không gian vector  với hai sở S   x1 , x2 , x3  x1   0, 0,1 , x2  1, 1,  , x3  1,1,1  S '  x1' , x2' , x3' x1'   3,3,3 , x2'   0, 2,  , x3'   0, 0,1 . a) Tìm ma trận chuyển sở từ S sang S’. b) Tìm ma trận chuyển sở từ S’ sang S. Giải a) Ta có: 77 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)  Chương 6. Tọa độ đổi sở  x1'  a11 x1  a21 x2  a31 x3   3,3,3   a11  0, 0,1  a21 1, 1,0   a31 1,1,1  a21  a31  a11      a21  a31   a21  a  a  a   11 31  31  x2'  a12 x1  a22 x2  a32 x3   0, 2,   a12  0, 0,1  a22 1, 1,   a32 1,1,1  a22  a32   a12      a22  a32   a22  1 a  a  a   12 32  32  x3'  a13 x1  a23 x2  a33 x3   0, 0,1  a13  0, 0,1  a23 1, 1,   a33 1,1,1  a23  a33  a12      a23  a33  a22   a  a  a   13 33  32 0 Vậy ta có ma trận chuyển sở từ S sang S’ là: A  0  3 1   b) Ta có:  x1  a11 x1'  a21 x2'  a31 x3'   0, 0,1  a11  3,3,3  a21  0, 2,   a31  0, 0,1 3a11   a11     3a11  2a21    a21  3a  2a  a   a   11 21 31  31 ' ' '  x2  a12 x1  a22 x2  a32 x3  1, 1,   a12  3,3,3  a22  0, 2,   a32  0, 0,1  a11  3a12     3a12  2a22  1   a21  1 3a  2a  a   a   12 22 32 31   x3  a13 x1'  a23 x2'  a33 x3'  1,1,1  a13  3,3,3  a23  0, 2,   a33  0, 0,1 a11  3a13     3a13  2a23   a21  3a  2a  a  a  31  13 23 33  1  0 3  Vậy ma trận chuyển sở từ S’ sang S là: B  0      1  78 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở 6.2.2 Định lí Định lí 6.3 Nếu A ma trận chuyển từ sở S sang sở S’ không gian vector V trường K thì: (i) A ma trận không suy biến (ii) A-1 ma trận chuyển sở từ S’ sang S. Chứng minh (i) Ta có hệ S’ hệ vector cột ma trận A. Theo định lí 4.3 ta có r  S '   r  A  . Do hệ S’ độc lập tuyến tính nên r  S '   n , r  A   n , suy det A  . Vậy A ma trận không suy biến. (ii) Vì A ma trận không suy biến nên tồn ma trận A-1 tính công  A11 . An1   thức A   . . .  . Để chứng minh A1 ma trận chuyển sở từ S’ sang A  A1n . Ann  1 sở S ta phải chứng minh xi  1 Ai1 x1'  .  Ain xn' , i  1, 2, ., n A A Hay Ai1 x1'  .  Ain xn'  A xi với i  1, 2, ., n Thật vậy, ta có: Ai1 x1'  .  Ain xn'  Ai1  a11 x1  .  an1 xn   .  Ain  a1n x1  .  ann xn    a11 Ai1  .  a1n Ain  x1  .   an1 Ai1  .  ann Ain  xn   ai1 Ai1  .  ain Ain  xi  A xi  A , j  i 0, j  i Bởi a j1 Ai1  .  a jn Ain   6.3 Công thức đổi tọa độ Giả sử S   x1 , x2 , ., xn  S '   x1' , x2' , ., xn'  hai sở không gian vector V trường K A   aij n ma trận chuyển sở từ S sang S’. Gọi  b1 , b2 , ., bn   b , b , ., b  tọa độ x V ' ' ' n sở S S’. Khi ta có công thức:  x S  A  x S ' hay  x S '  A1  x S Chứng minh n n i 1 j 1 Ta có x   bi xi   b 'j x'j . Vì A   aij n ma trận chuyển sở từ S sang S’ nên n n  n  n  n  x 'j   aij xi . Do x   b 'j   aij xi      b 'j aij xi . Vì x biểu thị tuyến tính i 1 j 1  i 1  j 1  i1  n cách qua hệ S nên ta có bi   b 'j aij với i  1, 2, ., n j 1 Hay 79 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở b1  a11b1'  a12b2'  .  a1nbn' b2  a21b1'  a22b2'  .  a2 nbn' . bn  an1b1'  an 2b2'  .  ann bn' b1'  b1   ' b  b 2  Vậy  A   hay  x S  A  x  S ' hay  x  S '  A 1  x  S  .  .     bn'  bn  Ví dụ 6.7. Cho hệ S   x1 , x2 , x3    0, 1,1 , 1,1,1 ,  2, 0,  sở  . Giả sử x   2, 3,1 S. Tìm tọa độ x sở tắc  . Giải Cách : Gọi sở tắc  E  1, 0,  ,  0,1,  ,  0, 0,1 *Lập ma trận chuyển sở từ  sang S. Ta có : x1   0, 1,1  0. 1, 0,   1.  0,1,   1.  0, 0,1 x2  1,1,1  1. 1, 0,   1.  0,1,   1.  0, 0,1 x3   2,0,   2. 1, 0,0   0.  0,1,   2.  0, 0,1  2 Vậy A   1   1 2   *Tìm tọa độ x sở tắc  Ta có :  x   A.  x  S      1         1  .  3    5   1  1  1       Vậy tọa độ  x    1, 5,1 Cách : Theo định nghĩa tọa độ ta có : x  x2  x2  x3   0, 1,1  1,1,1   2, 0,    1, 5,1 Vậy tọa độ  x    1, 5,1 Ví dụ 6.8. Cho sở không gian  sau : S1   0, 0,1 , 1, 1,  , 1,1,1 S   3,3,3 ,  0, 2,  ,  0, 0,1 a) Tìm ma trận chuyển sở từ S1 sang S2 ngược lại. 80 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở b) Giả sử x   4, 6,8  cở sở S 1. Tìm tọa độ x S 2. c) Giả sử y   4, 6,8  cở sở S 2. Tìm tọa độ y S1. Giải a) Tìm ma trận chuyển sở từ S1 sang S2 ngược lại.  S1   x1 , x2 , x3  ' ' '  S  x1 , x2 , x3 Gọi    Ta có :  x1'  a11 x1  a21 x2  a31 x3 a21  a31   a11      3,3,3   a11  0, 0,1  a21 1, 1,   a31 1,1,1  a21  a31    a21  a  a  a   31  11 31  x2'  a12 x1  a22 x2  a32 x3 a22  a32   a12      0, 2,   a12  0, 0,1  a22 1, 1,   a32 1,1,1   a22  a32    a22  1 a  a  a   32  12 32  x3'  a13 x1  a23 x2  a33 x3 a23  a33   a13      0, 0,1  a13  0, 0,1  a23 1, 1,   a33 1,1,1   a23  a33    a23  a  a  a   13 33  33  1 Vậy ta có ma trận chuyển sở từ S1 sang S : A   1   0   Ma trận chuyển sở từ S2 sang S A1  1 0   0 1     A I3    0     0   0 1  1 0       0 1  1      1 0    0 1  0    0  Vậy A1    1  1 3  0 1  11  00  3     b) Giả sử x   4, 6,8  cở sở S 1. Tìm tọa độ x S 81 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở Ta có :  x  S  A1  x  S  10  0    1 1   1  10    3            6      12         Vậy  x  S   , 6,12    c) Giả sử y   4, 6,8  cở sở S 2. Tìm tọa độ y S1 Ta có :  y S  A  y  S  1    14         1      6      18       Vậy  y S  14, 6,18  . Ví dụ 6.9. Gọi P3 không gian vector gồm đa thức đa thức f  x     x  có bậc f  x   . Cho hai sở không gian vector P3 . S : x1  1, x2  x, x3  x , x4  x S ' : y1  1, y2  x  1, y3   x  1 , y4   x  1 a) Tìm ma trận chuyển từ sở S sang sở S’ b) Tìm tọa độ vector f  x   x  x  sở S’. Giải a) Tìm ma trận chuyển từ sở S sang sở S’.  y1  a11 x1  a21 x2  a31 x3  a41 x4  a11   a    a11.1  a21.x  a31.x  a41.x3   21  a31   a41   y2  a12 x1  a22 x2  a32 x3  a42 x4 a12  1 a   22  x   a12 .1  a22 .x  a32 .x  a42 .x   a32  a42   y3  a13 x1  a23 x2  a33 x3  a43 x4   x  1  a13 .1  a23.x  a33 .x  a43 .x3 a13   a23  2  x  x   a13 .1  a23 .x  a33 .x  a43 .x3   a33  a43  82 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Chương 6. Tọa độ đổi sở  y4  a14 x1  a24 x2  a34 x3  a44 x4   x  1  a14 .1  a24 .x  a34 .x  a44 .x  a14  1 a   2  x  x  x   a14 .1  a24 .x  a34 .x  a44 .x   24  a34  3  a44   1  Vậy ma trận chuyển cở sở từ S sang S’ : A   0  0 1   2   3  1 b) Tìm tọa độ vector f  x   x  x  sở S’. Ta có f  x   x3  x   x4  x3  1.x2  x1  Tọa độ vector f  x   x3  x  sở S :  f  x   S   5, 1,0,  Ma trận chuyển từ sở S’ sang sở S A1 1  1  1 0  2 A I4   0 3 0  0 0 0 1  0  00  0 0  0 0 1  1 Vậy A   0  0  1  1 0   0 0  0  0 0 0   1  0 0 1   3 3      1 0 1 1     3 0 0   3  0 0     0   0 0  1 1  3 3  0 1 Vậy tọa độ vector f  x   x  x  sở S’ :  f  x S'  A1  f  x   S 1   0  0 1  5  6       1    .  3   6      0    2 Vậy  f  x   S '   6,5, 6,  . 83 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Kết luận KẾT LUẬN Luận văn “ không gian vector” trình bày rõ khái niệm, tính chất quan trọng không gian vector, từ cho thấy tổng quát kiến thức. Trong luận văn chủ yếu em cho ví dụ từ dễ đến khó, có số ví dụ em lấy từ đề thi Olympic sinh viên. Mặc dù mong muốn thân nhiều hạn chế thời gian kiến thức, luận văn trình bày không gian vecto mức độ đại cương. Vậy nên hướng nghiên cứu thân nghiên cứu định lí, tính chất quan trọng khác không gian vector. Vì lần thân làm quen với việc nghiên cứu khoa học, nên thiếu sót tránh khỏi, em mong nhận nhận xét, bảo quý thầy cô góp ý bạn sinh viên. Em tin tưởng ý kiến quý báo hỗ trợ em nhiều trình nghiên cứu khoa học em sau này. 84 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bình – Th.S Nguyễn Hoàng Xinh, Giáo trình đại số tuyến tính, Khoa Sư Phạm trường Đại học Cần Thơ, 2006. [2] PGS.TS Đậu Thế Cấp, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2008. [3]Trần Lưu Cường – Nguyễn Nam Bắc – Tô Anh Dũng – Huỳnh Bá Lân, Toán Olympic cho sinh viên (tập 2), NXB Giáo dục, 2000. [4] Bùi Xuân Hải (chủ biên), Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2001. [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2000. [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – Tạ Văn Đỉnh – Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (tập một), NXB Giáo dục, 2008. [7] Một số đề thi Olympic Toán sinh viên, 2004 – 2014. 85 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) [...]... gian vector trên trường K Không gian con A của V được gọi là bao tuyến tính của tập hợp S nếu S  A và A là không gian con bé nhất (theo quan hệ bao hàm của V chứa S) Bao tuyến tính của tập S, kí hiệu là L(S) hay và còn được gọi là không gian con sinh bởi tập S Định lý 2.3 Với mọi tập con S của không gian vector trên trường K đều tồn tại bao tuyến tính L(S) Chứng minh Giao A của tất cả các không... Nếu V  A  B thì ta cũng nói V phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian con A và B Hệ quả Không gian vector V trên K phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian A và B của nó khi và chỉ khi V  A  B và A  B    2.5 Không gian thương Định nghĩa 2.6 Giả sử V là không gian vector trên K và A là không gian con của V Trong V ta xác định một quan hệ  như sau: Với mọi x, y V... lập tuyến tính Định nghĩa 3.2 Hệ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính; nói cách khác, nếu a1 x1  a2 x2   an xn   thì a1  a2   an  0 Trong trường hợp hệ S   xi i là hệ vô hạn các vector xi  V , với mọi i   , thì hệ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn  0   , hệ  xi i là hệ 0 độc lập tuyến tính Hệ S được gọi là phụ thuộc tuyến... y khi và chỉ khi x  y  A Quan hệ  là một quan hệ tương đương Thật vậy, với mọi x  V , x  x và x  x    A , tức là  phản xạ Giả sử x, y V và x  y , khi đó y  x vì y  x    x  y   A , tức là  đối xứng Với mọi x, y, z V , nếu x  y và y  z thì x  z vì x  z   x  y    y  z   A , như vậy  bắc cầu Kí hiệu x là lớp tương đương chứa x đối với quan hệ tương đương  Khi đó x ... , xn  là một hệ (hay một tập) hữu hạn các vector xi V , i  1, 2, , n 3.1.1 Định nghĩa hệ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 3.1 Hệ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các phần tử a1 , a2 , , an  K , không đồng thời bằng không sao cho: a1 x1  a2 x2   an xn   Ví dụ 3.1 Cho S  1,3 ,  2, 6    2 Ta thấy 2 x1  x2  0 Vậy S phụ thuộc tuyến tính 3.1.2 Định nghĩa hệ độc lập tuyến... tính Hệ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính, nghĩa là tồn tại một tập con hữu hạn  0   sao cho hệ vector  xi i là hệ phụ 0 thuộc tuyến tính Dưới đây ta chỉ xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính đối với hệ hữu hạn vector  Đặt biệt: Trong  - không gian vector  n , cho hệ S   x1 , x2 , , xm  trong đó: x1   a11 , a12 , , a1n  x2   a21 , a22 , , a2n... a2  0 Vậy hệ  x, y độc lập tuyến tính trong  2 Ví dụ 3.4 Trong không gian 3 xét 3 vector sau: x1  1, 2, 3  , x2   3, 4, 1 , x3   5,8, 7  Hệ vector  x1 , x2 , x3  là phụ thuộc tuyến tính vì ta có 2x1  x2  x3   Hệ vector  x1 , x2  là hệ độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử ta có a1 x1  a2 x2   , thế thì:  a1  3a2  0   2a1  4 a2  0  3a  a  0  1 2 Hệ trên xảy ra... 0  Xét hệ  x2 , x3  , giả sử a1 x2  a2 x3   , nghĩa là: a1  0,1, 0,0   a2  2, 5, 0, 0    0, 0, 0,0   2a  0 a  0  2  1  a1  5a2  0  a2  0  Xét hệ  x1 , x3  , giả sử a1 x1  a2 x3   , nghĩa là: a1 1, 0, 0,0   a2  2, 5, 0, 0    0, 0, 0, 0  a  2a2  0  a1  0  1   5a2  0  a2  0 Ví dụ 3.8 Xét xem các hệ vector sau hệ nào là độc lập tuyến tính, hệ nào... vector và hệ u , v, w  V Chứng minh rằng hệ u, v, w độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ u  v, v  w, w  u độc lập tuyến tính Giải    Ta có hệ u, v, w độc lập tuyến tính Cần chứng minh hệ u  v, v  w, w  u độc lập tuyến tính Giả sử có: a1  u  v   a2  v  w   a3  w  u      a1  a3  u   a1  a2  v   a2  a3  w   Vì hệ u , v, w độc lập tuyến tính nên ta có: ... Tương tự như thế ta tìm được an  0 Vậy hệ  x , x , , x 1 2 2014  độc lập tuyến tính Ví dụ 3.21 Trong không gian các hàm số liên tục cho I  sin x,sin 2 x,sin 3 x,  Chứng minh rằng khi đó mọi hệ con gồm hữu hạn phần tử của I là hệ độc lập tuyến tính Giải Lấy A là một hệ con của I Giả sử: A  sin a1 x,sin a2 x, ,sin ak x Đặt max a1 , a2 , , ak   n Xét hệ A '  1,sin x,sin 2 x, ,sin nx  . độ của vector 73 6.1.1 Định lí 73 6.1.2 Định nghĩa 73 6.1.3 Mệnh đề 76 6.2 Ma trận chuyển 77 6.2.1 Định nghĩa 77 6.2.2 Định lí 79 6.3 Công thức đổi tọa độ 79 KẾT LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM. vector 57 5.2.1 Định nghĩa 57 5.2.2 Định lí 58 5.2.3 Số chiều của không gian tổng 65 5.2.4 Số chiều của không gian thương 72 Chương 6. TỌA ĐỘ VÀ ĐỔI CƠ SỞ 73 6.1 Tọa độ của vector 73 6.1.1. PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH. 24 3.1 Định nghĩa 24 3.1.1 Định nghĩa hệ phụ thuộc tuyến tính 24 3.1.2 Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính 24 3.1.3 Các ví dụ 24 3.2 Các tính chất 41 3.2.1 Các tính chất