TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN TRUNG TÂM ĐÀO TẠO BẰNG HAI TIỂU LUẬN MÔN: TOÁN CAO CẤP C1 ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ GVHD: ThS. Nguyễn Tấn Huy NHÓM THỰC HIỆN 1. Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN 2. Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT 3. Trần Thị Thanh Hà – B20 KDN Đà Nẵng, Tháng 06/2015 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU . PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. NGUYÊN HÀM: . 1.1. Định nghĩa: 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM) 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng hàm khả tích . 2.2. Phương pháp đổi biến số 2.3. Phương pháp tích phân phần . 3. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . 3.1. Định nghĩa . PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 1. BÀI TẬP DẠNG . Bài tập . Bài tập : . 2. BAI TẬP DẠNG . Bài tập : . Bài tập 4: 10 Bài tập 5: 11 3. BAI TẬP DẠNG . 12 Bài tập 6: 12 Bài tập 7: 14 4. BAI TẬP DẠNG . 15 Bài tập 8: 15 5. BAI TẬP DẠNG . 16 Bài tập 9: 16 Bài tập 10 : . 17 Bài tập 11: 18 KẾT LUẬN . 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 20 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy LỜI MỞ ĐẦU Những vấn đề thường gặp hoạt động kinh tế đa dạng phức tạp. Toán học công cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề cách chặt chẽ hợp lý, mang lại lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả vấn đề kinh tế dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng phương pháp toán học để giải chúng, phân tích giải kiểm nghiệm kết đạt cách logic yêu cầu cấp bách chuyên gia làm việc lĩnh vực phân tích kinh tế. Hiểu tầm quan trọng toán học kinh tế, nhóm chúng em chọn đề tài “Tích phân ứng dụng kinh tế”. Qua đó, đề tài tìm hiểu cụ thể định nghĩa, công thức tích phân ứng dụng quan trọng tích phân nhằm giải toán kinh tế học. Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm: 1.1. Định nghĩa: Trong phần học đạo hàm hàm số, ta biết: Nếu hàm chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm Cሺxሻ, hàm chi phí cận biên MCሺxሻ = C′ሺxሻ. Đảo lại, biết trước hàm chi phí cận biên MCሺxሻ cần tìm hàm chi phí ta phải làm gì? Ta phải giải toán ngược: Tìm hàm số Cሺxሻ cho C ᇱ ሺxሻ = MCሺxሻ. Đó toán tìm nguyên hàm. ĐỊNH NGHĨA: Cho K khoảng ℝ (tức K dạng: ሺa, bሻ, ሺa, bሿ, [a, bሻ [a, bሿ). Hàm Fሺxሻ gọi nguyên hàm hàm fሺxሻ K F ᇱ ሺxሻ = fሺxሻ, ∀x ∈ K. Ở đây, K có chứa đầu mút đạo hàm hiểu đạo hàm phía. Như vậy, khoảng f′ሺxሻ đạo hàm fሺxሻ ngược lại fሺxሻ gọi nguyên hàm f′ሺxሻ. Ví dụ 1: i) Hàm ‫ ݔ = ݕ‬+ có nguyên hàm hàm ‫= ݕ‬ ௫మ ଶ + ‫ ݔ‬trên ‫ = ܭ‬ሺ−∞, ∞ሻ. ii) Hàm ‫ = ݕ‬ଶ√௫ có nguyên hàm ‫ ݔ√ = ݕ‬trên miền ‫ = ܭ‬ሺ0, +∞ሻ. ଵ ĐỊNH LÝ: Nếu fሺxሻ có nguyên hàm Fሺxሻ K fሺxሻ có vô số nguyên hàm nguyên hàm sai khác số. Nghĩa Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ∫ ݂ ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫݂ = ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ + ‫ܥ‬ 2. Các phương pháp tính phân bất định (Nguyên hàm) Ở đây, tìm hiểu ột số phương pháp chung để tìm tích phân bất định bao gồm dạng toán sau: 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng hàm khả tích Dựa vào tính chất tuyến tính tích phân bất định bảng tích phân bản, ta tìm tích phân bất định hàm số cách phân tích thành tổng hàm có tích phân tìm sẵn. Ví dụ: x2   ∫ + x dx = ∫ 1 − + x  dx = ∫ dx − ∫ + x dx = x − arctan x + C 2.2. Phương pháp đổi biến số dx vi phân nên ta viết sau ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ ∫ f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt = F ( x ( t ) ) + C a) Phép biến đổi thuận: Đặt x = x ( t ) để chuyển việc tính ∫ f ( x ) dx thành ∫ f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt . Ví dụ: Tính I = ∫ − x dx Đặt x = 5sin t , với t ∈  − ,  , ta được:  2 π π t = arcsin x ; dx = cos tdt; − x = cos t Nên Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy I =∫ cos t cos tdt = 5∫ cos tdt = = Thế t = arcsin (1 + cos 2t ) dt 2∫  sin 2t  t + +C 2  x vào kết trên, ta 5 x  x  I =  arcsin + sin  2arcsin  + C 2   b) Phép biến đổi ngược: Đặt x ' ( t ) dt = dx để chuyển việc tính f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt thành ∫ f ( x ) dx . Ví dụ: Tính 2x + dx = ∫ x + 4x − = ln x + x − + C I =∫ (x + x − 5) ' x + 4x − dx 2.3. Phương pháp tích phân phần Giả sử u ( x ) v ( x ) hai hàm số có đạo hàm u ' ( x ) v ' ( x ) , hàm liên tục khoảng K . Khi đó, ( uv ) ' = u ' v + uv ' Lấy tích phân hai vế, ta uv = ∫ u ' vdx + ∫ uv ' dx Hay ∫ udv = uv = ∫ vdu Ví dụ: Tính I = ∫ ‫ݔ݀ ݔ݈݊ݔ‬ Trang Tích phân ứng dụng Đặt GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy u = lnx du = dv = xdx Vậy: v= I = ௫మ ݈݊‫ ݔ‬− ∫ ௫మ ଵ = ௫మ ݈݊‫ ݔ‬− +‫ܥ‬ = ௫మ ௫మ ସ ଶ ௫ ଵ ௫ ݀‫ݔ‬ ௫మ ݀‫ݔ‬ ሺ2݈݊‫ ݔ‬− 1ሻ ൅ ‫ܥ‬ 3. Tích phân xác định 3.1. Định nghĩa Đặt vấn đề: Giả sử f ( x ) liên tục [ a, b] f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ a, b] . Gọi S hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f ( x ) ; hai đường thẳng đứng x = a, x = b ; trục hoành. S minh họa hình sau đây: Tính diện tích hình S ? Để tính diện tích hình S , ta chia đoạn [ a, b] thành n phần với cách chia: a = x0 < x1 < x2 < . < xn = b . Tại khoảng ( xi , xi +1 ) , ta xét diện tích Si +1 minh họa hình vẽ sau: Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Khi giá trị ∆xi = xi − xi −1 đủ nhỏ, ta xấp xỉ giá trị diện tích Si diện tích hình chữ nhật với độ dài cạnh là: ∆xi f ( xi −1 ) . Kết diện tích S xấp xỉ sau n S ≈ ∑ f ( xi −1 ) ∆xi i =1 Như vậy, ta khẳng định: n S = lim n →+∞ ∑ f ( x ) ∆x i −1 i i =1 Phương pháp xác định giá trị diện tích hàm tổng quát hóa phương pháp tích phân xác định. Theo đó, ĐỊNH NGHĨA: Tích phân xác định hàm số y = f ( x ) miền [ a, b] ký hiệu b ∫ f ( x ) dx a Được định nghĩa sau: Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ∫ b a n f ( x ) dx = lim n →+∞ ∑ f ( x ) ∆x i −1 i i =1 Với a = x0 < x1 < x2 < . < xn = b . ĐỊNH LÝ 1: Điều kiện khả tích đủ để hàm số y = f ( x ) khả tích miền [ a, b] bao gồm điều kiện sau: • f ( x ) liên tục có số điểm gián đoạn hữu hạn [ a, b] ; • f ( x ) đơn điệu bị chặn [ a, b] ĐỊNH LÝ Hàm y = f ( x ) khả tích miền [ a, b] bị chặn đoạn đó. Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 1. Bài tập Dạng 1. Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) biết. Tính lượng thay đổi Q(t) t thay đổi từ a → b Bài tập 1: Sau t làm việc người công nhân sản xuất với tốc độ 100 + e −0.5t đơn vị/ giờ. Giả sử người bắt đầu làm việc từ lúc sáng. Hỏi người sản xuất đơn vị sáng 11giờ trưa Giải : Gọi Q(t) số đơn vị người sản xuất sau t tính từ lúc sáng. Ta có : Q’ ( t ) = 100 + e −0.5t Số đơn vị người sản xuất từ sáng ( t = ) đến 11 trưa ( t = ) : Q ( 3) – Q (1) = ∫ Q '(t )dt = ∫ 100 + e −0.5t dt = 200,76 (đơn vị) Bài tập : Tại nhà máy đó, giả sử chi phí cận biên q đơn vị sản xuất 4(q − 5) đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất tăng lên lượng sản phẩm sản xuất tăng từ đơn vị đến 10 đơn vị ? Giải : Ta có : C’ ( q ) = ( q − ) Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Chi phí tăng lên lượng sản phẩm sản xuất tăng từ đơn vị đến 10 đơn vị : 10 10 C ( 10) – C ( ) = ∫ C '( q)dq = ∫ 4( q − 5)3dq = 609 ( đô la ) 2. Bài tập Dạng Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) điều kiện ban đầu Q (a) =Q . Tính Q (b) ? Bài tập : Qua điều tra nhà phân tích kinh tế nhận định tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004 30 + + t tỷ USD/năm. Biết GDP quốc gia vào đầu năm 2004 100 tỷ USD. a) Hãy dự đoán GDP quốc gia vào đầu năm 2015. b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP quốc gia vào tháng cuối năm năm 2015 Giải : a) Gọi f(t) GDP quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có : f ’ ( t ) = 30 + + t ; f ( 0) = 100 ( tỷ USD ) GDP quốc gia vào đầu năm 2015 : f (11) = f (11) – f ( 0) + f ( ) 11 f(11) = ∫ 11 f ' (t ) dt + 100 = ∫ 30 + + t dt + 100 = 447,6 ( tỷ USD ) b) Ta có : Trang Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy f’(t) = 30+ ⇒ f(t) = ∫ f ' (t ) dt = ∫ 30 + 5+t + t dt = 30t + (5 + t ) +C Sử dụng ĐKBĐ : f(0) = 100 (5) + C = 100 ⇒ C= 96,27 Vậy, f(t) = 30t + (5 + t ) + 96,27 phần trăm GDP quốc gia vào tháng cuối năm năm 2015 thay đổi : f ' (t ).∆t f ' (11,5).0,5 ≈ 0,034 = 3,4% = f (t ) f (11,5) Bài tập 4: Hưởng ứng phong trào “Ngày người nghèo” Đài truyền hình Việt Nam tổ chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay người nghèo” tổ chức điểm cầu truyền hình 03 thành phố lớn đất nước là: Hà Nội, Đà Nẵng, TP. Hồ Chí Minh truyền hình trực tiếp kênh VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam. Trong chương trình này, cá nhân, tổ chức nước có dịp chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo cách nhắn tin quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp thay đổi với tốc độ 300teି଴,ଵ୲ (triệu đồng/giờ). Hãy xác định số tiền có sau 05 quyên góp? Trang 10 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Giải Gọi ݂(‫ݐ‬ሻ số tiền quyên góp sau ‫( ݐ‬giờ) quyên góp. Ta có: ݂’(‫ݐ‬ሻ = 300‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ , ‫ ݃݊݋ݎݐ‬đó: ݂(0ሻ = ⇒ ݂(‫ݐ‬ሻ = ‫ ݂ ׬‬ᇱ (‫ݐ‬ሻ ݀‫ ׬ = ݐ‬300‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ ݀‫ݐ‬ Đặt: ‫ = ݑ‬300‫ = ݑ݀ ⇒ ݐ‬300 ݀‫ݐ‬ ቄ ݀‫ି ݁ = ݒ‬଴,ଵ௧ ݀‫ = ݒ ⇒ ݐ‬−10݁ ି଴,ଵ௧ Do đó, ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = −3000‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ − න −3000‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ ݀‫ݐ‬ = −3000‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ − 30000݁ ି଴,ଵ௧ + ‫ܥ‬ Mà ݂ሺ0ሻ = ⇒ ‫ = ܥ‬30000 ⇒ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = −3000‫ି ݁ݐ‬଴,ଵ௧ − 30000݁ ି଴,ଵ௧ + 30000 Sau (t = 5), số tiền quyên góp là: ݂ሺ5ሻ = = −3000.5. ݁ ି଴,ଵ.ହ − 30000݁ ି଴,ଵ.ହ + 30000 = 2706,12 Vậy số tiền quyên góp sau quyên góp 2706,12 triệu đồng. Bài tập 5: Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng: MP (Q ) = − 5Q + 500 Trang 11 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Biết bán 50 sản phẩm bị lỗ 13.500 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận P (Q ) ? Giải Ta có: −5ܳଶ ܲ(ܳሻ = න ‫ܳ(ܲܯ‬ሻ ݀ܳ = ൅ 500ܳ ൅ ‫ܥ‬ Mà, ܲ(50ሻ = −13.50 ⇒ ‫ = ܥ‬−32.250 Vậy, −5ܳଶ ܲ(ܳሻ = ൅ 500ܳ − 32.250 3. Bài tập Dạng Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Chi phí tăng thêm số sản phẩm SX tăng từ a tới b : ௕ ௕ C(b) –C(a) = ‫׬‬௔ ‫ݍ(ܥܯ‬ሻ ݀‫׬ = ݍ‬௔ ‫ܥ‬′(‫ݍ‬ሻ ݀‫ݍ‬ Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) hàm lợi nhuận P(q) Bài tập 6: Giả sử máy công nghiệp hoạt động sau t tính từ tốc độ sinh doanh thu máy R’(tሻ = 24000 – 40t ଶ triệu đồng/năm chi phí hoạt động chi phí bảo dưỡng máy tăng với tốc độ C’(tሻ = 10500 + 20t ଶ triệu đồng/năm. Trang 12 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy a. Hỏi lâu sinh lãi máy bắt đầu giảm. b. Tính tiền lãi thực sinh máy khoảng thời gian xác định câu (a). Giải a. Ta có: ܲ(‫ݐ‬ሻ = ܴ(‫ݐ‬ሻ– ‫ݐ(ܥ‬ሻ ⇒ ܲ’(‫ݐ‬ሻ = ܴ’(‫ݐ‬ሻ – ‫ݐ(’ܥ‬ሻ ܲ’(‫ݐ‬ሻ = 24000 – 40‫ ݐ‬ଶ − 10500 − 20‫ ݐ‬ଶ = 13500 − 60‫ ݐ‬ଶ Cho ܲ’ሺ‫ݐ‬ሻ = ⇔ 13500 − 60‫ ݐ‬ଶ = ⇔ ‫ ݐ‬ଶ = 225 ‫ = ݐ‬25 ⇔ ൜ ‫ = ݐ‬−25(݈‫݋‬ạ݅ሻ ‫ݐ‬ ܲ’ -∞ -25 25 + +∞ - ܲ Vậy sau 25 năm sinh lãi máy bắt đầu giảm. b) Tiền lãi thực sinh khoảng thời gian là: Trang 13 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ଶହ ܲ(25ሻ– ܲ(0ሻ = න ܲ ଴ ᇱ (‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ ଶହ = න (13500 − 60‫ ݐ‬ଶ ሻ݀‫ݐ‬ = 13500 ‫ – ݐ‬20‫ ݐ‬ଷ ଴ = 135000 (triệu đồng) Vậy tiền lãi thực sinh máy khoảng thời gian 135000 (triệu đồng) Bài tập 7: Tại cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh doanh thu với tốc độ ܴ′(‫ݐ‬ሻ = 7250 − 18‫ ݐ‬ଶ (triệu/năm) sau ‫ ݐ‬năm. Chi phí kinh doanh cửa hàng tăng với tốc độ ‫ ܥ‬ᇱሺ௧ሻ = 3620 ൅ 12‫ ݐ‬ଶ (triệu /năm). Sau năm lợi nhuận cửa hàng bắt đầu giảm lợi nhuận sinh khoảng thời gian xác định bao nhiêu? Giải Ta có: ܲ(‫ݐ‬ሻ = ܴ(‫ݐ‬ሻ– ‫ݐ(ܥ‬ሻ ⇒ ܲ’(‫ݐ‬ሻ = ܴ’(‫ݐ‬ሻ – ‫ݐ(’ܥ‬ሻ ܲ’(‫ݐ‬ሻ = 7250 − 18‫ ݐ‬ଶ − 3620 − 12‫ ݐ‬ଶ = 3630 − 30‫ ݐ‬ଶ ܲ’(‫ = )ݐ‬0 ⇔ 3630 − 30‫ ݐ‬ଶ = ⇔ ‫ ݐ‬ଶ = 121 ‫ = ݐ‬11 ⇔ ൜ ‫ = ݐ‬−11(݈‫݋‬ạ݅) Trang 14 Tích phân ứng dụng t -∞ GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy -11 11 + ܲ’ +∞ - ܲ Vậy sau 11 năm sinh lãi cửa hàng bắt đầu giảm. ଵଵ ܲ(11ሻ– ܲሺ0ሻ = න ܲ ଴ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ −30‫ ݐ‬ଷ = න ቆ + 3620‫ݐ‬ቇ ݀‫ݐ‬ ଴ ଵଵ ௧ୀଵଵ = ൫3620 ‫ – ݐ‬10‫ ݐ‬ଷ ൯௧ୀ଴ = 26510 (triệu đồng) Vậy tiền lãi thực sinh cửa hàng khoảng thời gian 26510 (triệu đồng) 4. Bài tập Dạng Hàm f(x) liên tục [a,b]. Giá trị trung bình f(x) [a,b] ௕ න ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ ሺܾ − ܽሻ ௔ Bài tập 8: Sau t tháng làm việc xưởng may, nhân viên cắt may cắt ܳ(‫ݐ‬ሻ = 700 − ݁ ି଴.ହ௧ quần dài giờ. Tính tốc độ xếp trung bình nhân viên cắt may tháng làm việc. Giải Tốc độ xếp trung bình nhân viên cắt may tháng làm việc là: Trang 15 Tích phân ứng dụng ଵ ଷ GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ଵ ଷ ଵ ‫ݐ(ܳ ׬‬ሻ݀‫ = ݐ‬ଷ ‫׬‬଴ (700 − ݁ ି଴.ହ௧ ሻ݀‫ = ݐ‬ଷ (700 × (3ሻ ൅ 2݁ ି଴.ହ×ଷ ሻ − ଷି଴ ଴ ଵ ଷ (700 × (0ሻ ൅ 2݁ ି଴.ହ×଴ ሻ = 699,41 ( chiếc/tháng) Vậy tháng nhân viên cắt 699,41 chiếc/tháng. 5. Bài tập Dạng Bài tập 9: Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên. Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save) phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y −0 , , với Y thu nhập S = S(Y) hàm tiết kiệm. Cho điều kiện ban đầu S = Y = 81. Tìm hàm tiết kiệm. Giải : Ta có: dS = 0,3 − 0,1Y −0,5 ⇒ dS = (0,3 – 0,1Y −0,5 )dY dY ⇔ S (Y ) = ∫ (0, − 0,1Y −0,5 )dY = 0, 3Y – 0, 2Y +C Sử dụng đkbđ : S ( 81) = 0, 3.81 − 0, 2.81 + C = ⇒ C = − 22,5 Vậy, S (Y ) = 0,3Y – 0, 2Y –22,5 Trang 16 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Bài tập 10 : Bài toán đầu tư hình thành vốn. Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây khái niệm tích trữ – stock concept) hàm I = I(t), cường độ đầu tư (đây khái niệm dòng –flow concept). Vốn tích trữ K cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho phương trình vi phân dK = I (t ) . Vế dt trái tốc độ biến thiên vốn tích trữ, vế phải cường độ đầu tư. Biết hàm I ( t ) = t . Xác định vốn tích trữ sau tháng ? Giải : Gọi K ( 0) vốn tích trữ t = : K ( t ) = ∫ t dt = 2t 3/2 +C , C = K(0). Do đó, K ( t ) = 2t 3/2 + K (0) Vốn tích trữ sau tháng K (t ) = ∫3 tdt =2(3)3/2 − 2(0)3/2 = 10,39 ( tỷ USD ) Chú ý : Nếu cho I ( t ) = 100000 USD / tháng = const vốn tích trữ sau tháng là: K = ∫ I (t )dt = ∫ 100000dt = 300000 Trang 17 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Bài tập 11: Cho tốc độ thay đổi đầu tư ‫ݐ(ܫ‬ሻ = 60‫ ݐ‬ଵ/ଷ thời điểm ‫(ܭ‬1ሻ = 85. Hãy tìm nguồn vốn ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ? Giải: Ta có: ‫ݐ(ܭ‬ሻ = ‫ݐ(ܫ ׬‬ሻ ݀‫ ׬ = ݐ‬60‫ ݐ‬ଵ/ଷ ݀ = 45‫ ݐ‬ସ/ଷ ൅ ‫ܥ‬ Mà, ‫(ܭ‬1ሻ = 85 ⇒ 85 = 45. 1ସ/ଷ + ‫ = ܥ ⇒ ܥ‬40 Vậy nguồn vốn ‫ݐ(ܭ‬ሻ tính toán hàm: ‫ݐ(ܭ‬ሻ = 45‫ ݐ‬ସ/ଷ ൅ 40 Trang 18 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy KẾT LUẬN Có thể nói rằng, ứng dụng Tích phân Kinh tế, tìm lời giải quan trọng cho toán kinh tế đề ra. Đó là: - Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) biết. Tính lượng thay đổi Q(t) t thay đổi từ a → b - Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) điều kiện ban đầu Q(a) = Q0. Tính Q (b). - Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Ta tính chi phí tăng thêm số sản phẩm SX tăng từ a tới b [Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) hàm lợi nhuận P(q)] - Hàm f(x) liên tục [a,b]. Ta tính giá trị trung bình f(x) [a,b] - Bài toán đầu tư hình thành vốn… Trong phạm vi tiểu luận, giới thiệu số ứng dụng tích phân ứng dụng đa dạng tích phân kinh tế… Kính mong thầy cô chân thành góp ý để nhóm hoàn thiện lần thực tiếp theo. Trang 19 Tích phân ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Toán cao cấp I & II dành cho khối ngành kinh tế - Nguyễn Văn Bắc [2] Tiểu luận toán cao cấp C – Trần Thị Phượng [3] Giáo trình toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung; ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích [4] Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy [5] Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences – Raymond A. Barnett; Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen Trang 20 [...]... số sản phẩm SX tăng từ a tới b [Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)] - Hàm f(x) liên tục trên [a,b] Ta tính được giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] - Bài toán đầu tư và hình thành vốn… Trong phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu một số các ứng dụng của tích phân trong vô vàn ứng dụng đa dạng của tích phân trong kinh tế Kính mong các thầy cô chân thành... chúng tôi có thể hoàn thiện hơn trong những lần thực hiện tiếp theo Trang 19 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Toán cao cấp I & II dành cho khối ngành kinh tế - Nguyễn Văn Bắc [2] Tiểu luận toán cao cấp C – Trần Thị Phượng [3] Giáo trình toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung; ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích [4] Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy [5]... dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy KẾT LUẬN Có thể nói rằng, khi ứng dụng Tích phân trong Kinh tế, chúng ta đã có thể tìm được các lời giải quan trọng cho các bài toán kinh tế đã đề ra Đó là: - Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết Tính lượng thay đổi của Q(t) khi t thay đổi từ a → b - Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q(a) = Q0 Tính Q (b) - Cho chi phí... 16 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy Bài tập 10 : Bài toán đầu tư và hình thành vốn Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I = I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept) Vốn tích trữ K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân dK = I (t ) Vế dt trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, còn vế phải.. .Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy Chi phí tăng lên khi lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị là : 10 10 7 7 C ( 10) – C ( 7 ) = ∫ C '( q)dq = ∫ 4( q − 5)3dq = 609 ( đô la ) 2 Bài tập Dạng 2 Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q (a) =Q 0 Tính Q (b) ? Bài tập 3 : Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng... ׬‬ሻ ݀‫ݍ(′ܥ ׬ = ݍ‬ሻ ݀‫ݍ‬ ௔ ௔ Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q) Bài tập 6: Giả sử một máy công nghiệp hoạt động sau t giờ tính từ bây giờ thì tốc độ sinh doanh thu của máy là R’(tሻ = 24000 – 40t ଶ triệu đồng/năm và chi phí hoạt động và chi phí bảo dưỡng của máy tăng với tốc độ là C’(tሻ = 10500 + 20t ଶ triệu đồng/năm Trang 12 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy a... vốn tích trữ sau 3 tháng ? Giải : Gọi K ( 0) là vốn tích trữ được tại t = 0 thì : K ( t ) = ∫ 3 t dt = 2t 3/2 +C , trong đó C = K(0) Do đó, K ( t ) = 2t 3/2 + K (0) Vốn tích trữ sau 3 tháng 3 K (t ) = ∫3 tdt =2(3)3/2 − 2(0)3/2 = 10,39 ( tỷ USD ) 0 Chú ý : Nếu cho I ( t ) = 100000 USD / tháng = const thì vốn tích trữ sau 3 tháng là: 3 3 0 0 K = ∫ I (t )dt = ∫ 100000dt = 300000 Trang 17 Tích phân và ứng. .. và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy Bài tập 11: Cho tốc độ thay đổi đầu tư là ‫ݐ(ܫ‬ሻ = 60‫ ݐ‬ଵ/ଷ và tại thời điểm ‫1(ܭ‬ሻ = 85 Hãy tìm nguồn vốn ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ? Giải: Ta có: ‫ݐ(ܭ‬ሻ = ‫ݐ(ܫ ׬‬ሻ ݀‫ ݐ06 ׬ = ݐ‬ଵ/ଷ ݀ = 45‫ ݐ‬ସ/ଷ ൅ ‫ܥ‬ Mà, ‫1(ܭ‬ሻ = 85 ⇒ 85 = 45 1ସ/ଷ + ‫04 = ܥ ⇒ ܥ‬ Vậy nguồn vốn ‫ݐ(ܭ‬ሻ được tính toán bởi hàm: ‫ݐ(ܭ‬ሻ = 45‫ ݐ‬ସ/ଷ ൅ 40 Trang 18 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy KẾT LUẬN... truyền hình Việt Nam Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300teି଴,ଵ୲ (triệu đồng/giờ) Hãy xác định số tiền có được sau 05 giờ quyên góp? Trang 10 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn... trên là: Trang 13 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths Nguyễn Tấn Huy ଶହ ܲ(25ሻ– ܲ(0ሻ = න ܲ ଴ ᇱ (‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ ଶହ = න (13500 − 60‫ ݐ‬ଶ ሻ݀‫ݐ‬ = 13500 ‫ ݐ02 – ݐ‬ଷ ଴ = 135000 (triệu đồng) Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian trên là 135000 (triệu đồng) Bài tập 7: Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ ܴ′(‫ݐ‬ሻ = 7250 − 18‫ ݐ‬ଶ (triệu/năm) sau ‫ ݐ‬năm Chi phí kinh doanh của . chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế. Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọn đề tài Tích phân và ứng dụng trong kinh tế . Qua đó, đề tài. hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng của tích phân nhằm giải các bài toán trong kinh tế học. Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Trang. tìm tích phân bất định bao gồm các dạng toán như sau: 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân