Đang tải... (xem toàn văn)
phần mở đầu luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào 1 số bài toán biên phi tuyến
1 PHẦN MỞ ĐẦU Các toán biên phi tuyến xuất Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) phong phú đa dạng Đây nguồn đề tài mà nhiều nhà Toán học từ trước đến quan tâm nghiên cứu Hiện công cụ Giải tích hàm phi tuyến xâm nhập vào toán biên phi tuyến cụ thể mức độ Tổng quát, phương pháp toán học chung để giải cho toán biên phi tuyến Các yếu tố phi tuyến xuất toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa phương pháp toán học để giải Do toán biên phi tuyến chưa giải giải phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể Bởi vậy, cho đề tài nghiên cứu cần thiết, có ý nghóa lý luận thực tiển Trong luận án nầy muốn sử dụng phương pháp Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với định lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát số toán biên có liên quan đến vấn đề Khoa học ứng dụng Chẳng hạn phương trình sóng phi tuyến liên kết với loại điều kiện biên khác xuất toán mô tả dao độâng vật đàn hồi với ràng buộc phi tuyến bề mặt biên, mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tựa đàn nhớt Trong luận án nầy trình bày nội dung tương ứng với toán phân bố theo chương Sau phần giới thiệu toán nói 2 Bài toán thứ đề cập đến phương trình sóng phi tuyến dạng tương đối tổng quát: u tt − u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không ⎧ u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g (t ), ⎨ ⎩ u x (1, t ) + h1u (1, t ) = g1 (t ), (0.2) điều kiện đầu ~ ~ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.3) Bài toán nầy có nhiều ý nghóa Cơ học, Vật lý học, đề cập nhiều công trình nghiên cứu nhiều tác giả từ trước đến tài liệu tham khảo (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41, D2]) Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến f ( x, t , u, u x , u t ) có dạng khác dạng điều kiện biên khác khảo sát nhiều khía cạnh khác nhiều tác giả Chẳng hạn, nêu sau: Ficken Fleishman [16] thiết lập kết tồn tại, ổn định nghiệm phương trình u tt − u xx + 2α 1u t − α u = ε u + b, ε > laø tham số bé (0.4) Rabinowitz [41] chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình u tt − u xx + 2α 1u t = ε f ( x, t , u , u x , u t ), (0.5) ε > tham số bé f hàm tuần hoàn theo thời gian Trong [8], Caughey Ellison hợp trường hợp trước để bàn tồn tại, ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho lớp hệ động lực liên tục phi tuyến Alain P.N Định [11] Ortiz, Alain P.N Định [37] nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận ε → nghiệm yếu toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet (0.6) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, số hạng phi tuyến có dạng (0.7) f = ε f (t , u ) Bằng tổng quát hóa [11, 37], [12] xét toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng (0.8) f = ε f (t , u , u t ) Neáu f1 ∈ C N ( [0, ∞) × IR ) thoûa f1 (t ,0,0) = ∀t ≥ 0, tác giả [12] thu khai triển tiệm cận nghiệm toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp N + theo ε , với ε đủ nhỏ Kết nầy nới rộng kết từ phương trình vi phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]) Đối với toán giá trị biên ban đầu (0.1)-(0.3), nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều dạng khác tương ứng với dạng số hạng phi tuyến f ( x, t , u, u x , u t ) Thậm chí điều kiện biên (0.2) thay dạng điều kiện biên khác phức tạp Chẳng hạn, kể số trường hợp sau: Trong [2], Đ.Đ Áng, Alain P.N Định nghiên cứu tồn tại, nghiệm toàn cục toán (0.1), (0.3) tương ứng với f = f (u t ) = − u t α −1 u t , < α < 1, (0.9) điều kiện biên u x (0, t ) = g (t ), u (1, t ) = (0.10) Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động đàn hồi nhớt Trong [21], N.T Long, Alain P.N Định nới rộng nghiên cứu [2] cách xét toán (0.1), (0.3) tương ứng với f = f (u, ut ), (0.11) điều kiện biên u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g (t ), u (1, t ) = 0, (0.12) maø (0.9) trường hợp riêng Alain P.N Định, N.T Long [13], cách xét toán (0.1), (0.3) với điều kiện biên phi tuyến u x (0, t ) − H (u (0, t )) = g (t ), u (1, t ) = 0, (0.13) tương ứng với f có dạng (0.9) (0.11) Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) nghiên cứu nhiều tác giả khác tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác có ý nghóa học định, chẳng hạn Trong [1], N.T An N.Đ Triều [23] N.T Long, Alain P.N Dinh xét toán (0.1), (0.3) với f = f (u, u t ) liên kết với điều kiện biên u x (0, t ) = P(t ), u (1, t ) = 0, (0.14) ẩn hàm u ( x, t ) giá trị biên chưa biết P(t ) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau P // (t ) + ω P (t ) = h0 u tt (0, t ), < t < T , (0.15) P ( ) = P0 , P / ( ) = P1 , (0.16) ω > 0, h ≥ 0, P0 , P1 số cho trước.[1, 23] Trong [1] nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (0.1), (0.3), ~ ~ (0.14)-(0.16) với u = u1 = P0 = f (u, u t ) = Ku + λu t , (0.17) K , λ số cho trước Trong trường hợp nầy toán (0.1), (0.3), (0.14) -(0.17) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Chú ý từ (0.15), (0.16), P(t ) biểu diễn theo P0 , P1 , ω , h, u tt (0, t ) sau tích phân phần, P(t ) có dạng t P (t ) = g (t ) + h0 u (0, t ) − ∫ k (t − s)u (0, s)ds, (0.18) sin ω t ⎧ ~ ~ , ⎪ g (t ) = ( P0 − h0 u (0)) cos ω t + ( P1 − h0 u1 (0)) ω ⎨ ⎪ k (t ) = h0ω sin ω t ⎩ (0.19) Bằng cách khử bớt ẩn hàm P(t ) điều kiện biên (0.2) có dạng t u x (0, t ) = g (t ) + h0 u (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s )ds, u (1, t ) = (0.20) Trong [5], Bergounioux, N.T Long, Alain P N Định xét toán (0.1), (0.3), (0.17) liên kết với điều kiện bieân t u x (0, t ) =h u (0, t ) + g (t ) − ∫ k (t − s )u (0, s)ds, (0.21) u x (1, t ) + h1u (1, t ) + λ1u t (1, t ) = 0, (0.22) K , λ , λ1 , h0 , h1 laø số không âm Trong trường hợp nầy, toán mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tựa đàn nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính bề mặt, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Trong [9], N.T Long, T.N Diễm, xét toán (0.1)-(0.3) với g (t ) = g1 (t ) = 0, (0.23) vaø f ∈ C ([0,1] × [0,+∞) × IR ) Trong trường hợp nầy, sử dụng sơ đồ xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin compact để thiết lập nghiệm yếu toán (0.1) - (0.3), (0.23) Nếu số hạng phi tuyến f ( x, t , u , u x , u t ) vế phải (0.1) thay (0.24) f ( x, t , u , u x , u t ) = f ( x, t , u , u x , u t ) + ε f1 ( x, t , u , u x , u t ), với f ∈ C ([0,1] × [0,+∞) × IR ), f1 ∈ C ([0,1] × [0,+∞) × IR ) thu [9] khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε toán (0.1)-(0.3), (0.23), (0.24) đến cấp theo ε sau: uε = u + ε u1 + O(ε ), với ε đủ nhỏ, theo nghóa uε − u0 − ε u1 L∞ ( ,T ; H ) & & & + uε − u − ε u1 L∞ ( ,T ; L2 ) (0.25) ≤ Cε , với C số độc lập với ε Kết nầy công bố [9] Kết [9] nới rộng cho toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp g ≡ 0, / g1 ≡ Nếu với f ∈ C N +1 ([0,1] × [0,+∞) × IR ), f1 ∈ C N ([0,1] × [0,+∞) × IR ), chúng / thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε toán (0.1) - (0.3), (0.24) đến cấp N + theo ε sau: N uε = ∑ ε i u i + O(ε N +1 ), với ε đủ nhỏ, (0.26) i =0 theo nghóa N uε − ∑ ε i u i i =0 N ∞ & & + uε − ∑ ε i u i i =0 L ( 0, T ; H ) ≤ Cε ∞ N +1 , (0.27) L ( 0, T ; L ) với C số độc lập với ε Kết nầy công bố [D2] Bài toán thứ hai mà muốn đề cập toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22) với f (u, u t ) = K u α −2 u + λ ut β −2 ut , (0.28) α ≥ 2, β ≥ 2, K , λ số không âm cho trước Trong trường hợp nầy toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt phi tuyến tựa đàn hồi nhớt[1] Chúng thu tồn nghiệm toàn cục toán Kết nầy mở rộng kết Bergounioux, N.T Long, Alain P N Định [5] với trường hợp α = β = Mặt khác, α = β = 2, thu tính trơn nghiệm tùy thuộc vào tính trơn kiện khảo sát Phần cuối chương nầy chứng minh nghiệm (u , P) toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) với α = β = 2, có khai triển tiệm cận cấp N + theo theo hai tham số K , λ sau: u= ∑ γ γ uγ ,γ K γ λ γ2 ∑ γ γ Pγ ,γ K γ λ γ2 1+ ≤N P= 1+ ≤N + O⎛ ⎜ ⎝ (K +λ (K +λ + O⎛ ⎜ ⎝ ) N +1 ⎞, ⎟ ⎠ (0.29) N +1 ⎞, ⎟ ⎠ (0.30) ) theo nghóa u− ∑ γ γ uγ ,γ K γ λ γ2 1+ ≤N ∑ γ γ & + u− ∑ γ γ ≤ C1 (K +λ L∞ ( ,T ; L2 ) & uγ ,γ (1,⋅) K γ λ 1+ ≤N γ2 1+ ≤N L∞ ( ,T ; H ) & + u (1,⋅) − & uγ ,γ K γ λ ) N +1 (0.31) γ2 L2 ( ,T ) , vaø P− ∑ γ γ 1+ ≤N Pγ ,γ K γ λ γ2 ≤ C2 (K +λ ) N +1 , (0.32) ∞ C ([ ,T ]) với C1 , C số độc lập với K , λ Kết thu mở rộng chứa đựng kết [1, 2, 5, 25] trường hợp riêng Kết nầy công bố [D3] 8 Bài toán thứ ba mà muốn đề cập phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier (0.33) u tt − B ( ∇u ) Δu = f ( x, t , u , ∇u , u t ), x ∈ Ω, < t < T , u = treân ∂Ω, (0.34) ~ ~ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.35) đó, số hạng phi tuyến B ( ∇u ) hàm phụ thuộc vào tích phân ∇u (t ) N = ∫ ∇u ( x, t ) dx = ∫ ∑ Ω Ω i =1 ∂u ( x, t ) dx ∂xi (0.36) Phương trình (0.33) tổng quát hoá từ phương trình mô tả dao động phi tuyến dây đàn hồi L ⎛ ⎞ ⎜ P + Eh ∂u ( y, t ) dy ⎟ u , < x < L, < t < T , ρ h u tt = ⎜ ⎟ xx L ∫ ∂y ⎝ ⎠ (0.37) u độ võng, ρ khối lượng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây trạng thái ban đầu, E môđun Young P0 lực căng lúc ban đầu Xem[18, Kirchhoff] Về nguồn gốc phương trình (0.37), tìm báo công bố năm 1876 Kirchhoff [18] Kirchhoff thiết lập phương trình mô tả dao động phi tuyến dây đàn hồi có dạng (0.37) Trong tìm báo [7] công bố năm 1945 Carrier [7] phương trình thuộc dạng (0.37), mà dạng L ⎛ ⎞ ⎜ P0 + P1 ∫ u ( y, t )dy ⎟ u xx , < x < L, < t < T , u tt = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0.38) P0 , P1 số dương Tuy nhiều tài liệu sau nầy[15, 17, 27, 34, 44, D1] gọi (0.37) phương trình sóng chứa toán tử Carrier ghép tên chung gọi phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 9 Khi f = 0, toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.33) nghiên cứu nhiều tác giả; chẳng hạn như: + Ebihara, Medeiros Miranda[15]; + Pohozaev[38]; + Yamada[44]; + Medeiros [34] nghiên cứu toán (0.33) - (0.35) với f = −bu , b số dương cho trước, Ω tập mở bị chận IR , tài liệu tham khảo Gần báo tổng quan kết khía cạnh toán học liên quan đến mô hình Kirchhoff tìm thấy [35, 36] L.A Medeiros, J Limaco, S.B Menezes, [43] T.N Rabello, M.C.C Vieira, C.L Frota, L.A Medeiros α + Hosoya vaø Yamada[17] xét (0.33) với f = f (u ) = −δ u u , δ > 0, α ≥ số dương cho trước; + Dmitriyeva[10] nghiên cứu toán hai chiều ⎧ u tt + λ Δ2 u − ∇u Δu + ε u t = F ( x, t ), ⎪ x ∈ (0, π ) × (0, π ), < t < T , ⎪ ⎪ 2 ⎨ ∂ u treân ∂Ω, ⎪ u = ∑ νi = i =1 ∂x i ⎪ ~ ~ ⎪ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), ⎩ (0.39) đó, ν pháp tuyến đơn vị biên ∂Ω hướng ngoaøi, ν i = cos(ν , oxi ), λ = π h / 6, với h, ε số dương Trong trường hợp nầy, toán mô tả dao động phi tuyến hình vuông có tải trọng tónh + N.T Long tác giả [22] nghiên cứu tồn nghiệm toán 10 ⎧ u tt + λ Δ2 u − B ( ∇u )Δu + ε u t α −1 u t = F ( x, t ), ( x, t ) ∈ Ω × (0, T ), ⎪ ∂u ⎪ = 0, treân ∂Ω, ⎨ u= ∂ν ⎪ ~ ~ ⎪ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), ⎩ (0.40) λ > 0, ε > 0, < α < số cho trước + Bằng tổng quát hoá [22], N.T Long T.M Thuyết [24] nghiên cứu toán ⎧ u tt + λ Δ2 u − B ( ∇u )Δu + f (u , u t ) = F ( x, t ), ( x, t ) ∈ Ω × (0, T ), ⎪ ∂u ⎪ = 0, treân ∂Ω, ⎨ u= ∂ν ⎪ ~ ~ ⎪ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), ⎩ (0.41) Trong [D1], dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng minh tồn nghiệm yếu toán ⎧ u tt − B ( u x ) u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , ⎪ ⎪ ⎨ u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ~ ~ ⎪ u ( x,0) = u ( x), u ( x,0) = u ( x), t ⎪ ⎩ (0.42) ~ ~ u ∈ H (0,1), u1 ∈ H (0,1), B ∈ C ( IR+ ), B ≥ b0 > 0, f ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × IR ), thỏa điều kiện ∂f ∂f ∂f ∂f , , , ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × IR ) số điều kiện phụ & ∂x ∂u ∂u x ∂u Điều nầy không cần phải giả thiết f ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × IR ) số công trình trước làm, chẳng hạn B0 ∈ C ( IR+ ), B1 ∈ C ( IR+ ), B0 ≥ b0 > 0, B1 ≥ 0, nhö [9, 12] Sau đó, f ∈ C ( [0,1] × [0, ∞) × IR ), neáu f1 ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × IR ), số điều kiện phụ cho f , f , thu từ toán bị nhiễu 11 ⎧ u tt − [ B0 ( u x ) + ε B1 ( u x ) ]u xx = f ( x, t , u , u x , u t ) ⎪ ⎪ + ε f1 ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , ⎨ ⎪ u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ~ ~ ⎪ u ( x,0) = u ( x), u ( x,0) = u ( x), t ⎩ (0.43) nghiệm yếu uε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp theo ε , với ε đủ nhỏ, theo nghóa uε − u0 − ε u1 L∞ ( ,T ; H ) & & & + uε − u0 − ε u1 L∞ ( ,T ; L2 ) ≤ Cε , với C số độc lập với ε Kết nầy công bố [D1] Mặt khác kết nầy phát triển quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem[27-30, 32, 33, 39, 40, 43] Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, chương bổ túc công cụ (chương 0), chương (chương 1-3), chương kết luận, cuối danh mục công trình tác giả luận án tài liệu tham khảo Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát toán luận án nêu kết trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt nội dung chương Chương nhằm giới thiệu số kết chuẩn bị, ký hiệu không gian hàm thông dụng Một số kết phép nhúng compact nhắc lại Ba chương luận án bao gồm Chương 1: Chương chia làm hai phần Phần 1: Trong phần khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: u tt − u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , (0.44) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g (t ), u x (1, t ) + h1u (1, t ) = g1 (t ), điều kiện đầu (0.45) 12 ~ ~ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.46) với h0 , h1 số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f hàm cho trước thuộc lớp C ([0,1] × [0, ∞) × IR ) Trong phần này, ta thiết lập định lý tồn nghiệm yếu toán (0.44) – (0.46) phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin phương pháp compact yếu Các kết phần nầy tổng quát hóa kết [9,11, 12, 37] công bố [D2] Ta lưu ý phương pháp tuyến tính hoá sử dụng không áp dụng cho [13, 14, 21, 22] Phần 2: Trong phần nghiên cứu khai triển tiệm cận theo tham số bé ε nghiệm toán sau u tt − u xx = Fε ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , (0.47) u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g (t ), u x (1, t ) + h1u (1, t ) = g1 (t ), (0.48) ~ ~ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.49) Fε ( x, t , u , u x , u t ) = f ( x, t , u , u x , u t ) + ε f1 ( x, t , u , u x , u t ), (0.50) Neáu g , g1 ∈ C ([0, ∞)), f ∈ C N +1 ( Ω × [0, ∞) × IR ) vaø f1 ∈ C N ( Ω × [0, ∞) × IR ) thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (0.47)- (0.50) đến cấp N + theo tham số bé ε sau N uε = ∑ ε i u i + O(ε N +1 ) i =0 theo nghóa N uε − ∑ ε i u i i =0 N L∞ ( ,T ; H ) & & + uε − ∑ ε i u i i =0 ≤ Cε N +1 L∞ ( ,T ; L2 ) Kết phần nầy mở rộng kết [6, 9,11, 12] công bố [D2] 13 Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: utt − u xx + F (u, u t ) = f ( x, t ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , (0.51) liên kết với điều kiện biên t u x (0, t ) = hu (0, t ) + g (t ) − ∫ k (t − s )u (0, s )ds, (0.52) u x (1, t ) + K 1u (1, t ) + λ1u t (1, t ) = 0, (0.53) điều kiện đầu u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), F (u, u t ) = K u α −2 u + λ ut β −2 ut , (0.54) (0.55) f , k , g , u , u1 hàm cho trước; α ≥ 2, β ≥ 2, h, λ , K , λ1 , K số không âm cho trước Chúng thu tồn nghiệm toàn cục toán cho trường hợp phi tuyến( α ≥ 2, β ≥ ) Trong trường hợp α = β = 2, thu tính trơn nghiệm tùy thuộc vào tính trơn kiện f , k , g , u , u1 khảo sát Phần cuối chương nầy với α = β = 2, chứng minh nghiệm (u , P) toán (0.51)- (0.55) có khai triển tiệm cận đến cấp N + theo theo hai tham số K , λ có đánh (0.31), (0.32) Một phần kết chương nầy mở rộng kết [5] công bố [D3] Chương 4: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier utt − B( ∇u )Δu = f ( x, t , u, ∇u, ut ), x ∈ Ω = (0,1), < t < T , u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ~ ~ u ( x,0) = u ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), đó, B( ∇u ) số hạng phi tuyến vế trái phụ thuộc vào tích phân (0.56) (0.57) (0.58) 14 ∇u (t ) N = ∫ ∇u ( x, t ) dx = ∫ ∑ Ω Ω i =1 ∂u ( x, t ) dx ∂xi (0.59) Trong chương này, phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin phương pháp compact yếu, thu định lý tồn nghiệm yếu toán (0.56)–(0.59), sau đó, B0 ∈ C ( IR+ ), B1 ∈ C ( IR+ ), B0 ≥ b0 > 0, B1 ≥ 0, f ∈ C ( [0,1] × [0, ∞) × IR ), f1 ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × IR ) số điều kiện phụ cho f , f1 , thu từ toán bị nhiễu (0.43) nghiệm yếu uε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp theo ε , với ε đủ nhỏ Các kết chương nầy tổng quát kết [9,11, 12, 37] công bố [D1, D2] Các kết luận án công bố ([D1]-[D4]) tham gia báo cáo hội nghị - Tối ưu điều khiển, Qui Nhơn (27/5 - 1/6/1996), - Hội thảo Toán Học Việt-Pháp, Thành phố Hồ Chí Minh (3 - 8/3/1997), - Hội nghị Toán Học Việt Nam toàn quốc lần 5, Hà Nội (17 20/9/1997) - Hội nghị Toán Học Việt Nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002 - Hội nghị Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000 - Hội nghị Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 24/10/2002 - Hội Nghị Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp HCM, 22/12/2000 - Hội Nghị Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp HCM, 21-22/ 12/2002 15 Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 0.1 Các ký hiệu không gian hàm Chúng ta bỏ qua định nghóa không gian hàm thông dụng (xem [4]) sử dụng ký hiệu gọn lại sau: W m, p = W m, p (Ω), W m, = H m = H m (Ω) W 0, p = L p = L p (Ω), Ω = (0,1), m m H = H (Ω), C m = C m (Ω), QT = Ω × (0, T ) = (0,1) × (0, T ), T > Các ký hiệu 〈⋅,⋅〉 dùng để tích vô hướng chuẩn sinh tích vô hướng tương ứng L2 Ký hiệu 〈⋅,⋅〉 dùng để cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục phần tử không gian hàm L2 Ta ký hiệu X chuẩn không gian Banach X Gọi X / đối ngẫu X Ta ký hieäu L p (0, T ; X ),1 ≤ p ≤ ∞ không gian Banach hàm u : (0, T ) → X , đo cho u Lp ( 0,T ; X ) ⎛T = ⎜ ∫ u (t ) ⎜ ⎝0 1/ p p X ⎞ dt ⎟ ⎟ ⎠ < +∞, với ≤ p < ∞, vaø u L∞ ( ,T ; X ) = ess sup u (t ) < t : a(v, v) ≥ α v V V v V ∀u, v ∈ V ∀v ∈ V Khi ta có kết sau: Bổ đề 0.3 Dưới giả thiết (3), (4) Khi đó, tồn sở trực chuẩn Hilbert {w j } H gồm hàm riêng w j tương ứng với giá trị rieâng λ j cho lim λ j = +∞, (5) ~ ~ a ( w j , v) = λ j 〈 w j , v〉 ∀v ∈ V , ∀j = 1,2 (6) < λ1 ≤ λ ≤ ≤ λ j ≤ , j →∞ ~ Hơn nữa, dãy {w j / λ j } sở trực chuẩn Hilbert V tích vô hướng a (⋅,⋅) Chứng minh bổ đề 0.3 tìm thấy [42, Định lý 6.2.1, p.137] Ta dùng bổ đề đánh giá sau mà chứng minh không khó khăn 18 Bổ đề 0.4 Cho dãy {η m } thỏa mãn η = 0, ≤ η m ≤ σ η m −1 + δ , m = 1,2, , (7) ≤ σ < 1, δ ≥ số cho trước Khi ηm ≤ δ 1−σ , với m ≥ (8) ... phương pháp Galerkin phương pháp compact yếu Các kết phần nầy tổng quát hóa kết [9 ,11 , 12 , 37] công bố [D2] Ta lưu ý phương pháp tuyến tính hoá sử dụng không áp dụng cho [13 , 14 , 21, 22] Phần 2:... cách xét toán (0 .1) , (0.3) với điều kiện biên phi tuyeán u x (0, t ) − H (u (0, t )) = g (t ), u (1, t ) = 0, (0 .13 ) tương ứng với f có dạng (0.9) (0 .11 ) Bài toán (0 .1) , (0.3), (0 .11 ) nghiên... liệu tham khảo (xem [1, 2, 8, 9, 11 -13 , 16 , 19 , 21, 25, 32, 37, 41, D2]) Phương trình (0 .1) với số hạng phi tuyeán f ( x, t , u, u x , u t ) có dạng khác dạng điều kiện biên khác khảo sát nhiều![nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn hồi nhớt[1] - phần mở đâu luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào 1 số bài toán biên phi tuyến](https://media.store123doc.com/figures/000/137/nay-cham-dan-nhot-tuyen-dan-hoi-nhot-137378.png)