ĐỀ BÀI Thời gian: 120 phút Câu 1. (3.0 điểm)  x − x − x −   x +1  P =  − : − ÷  ÷ x +1 x + x + ÷ x+3 x +2 x −2÷     Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm x để −( x + 1) P = x + . c) Tìm m để x=1 x=3 thõa mãn: mP = (m − 1) x − m x + Câu 2. (1.0 điểm) Cho hàm số: y=x2 y=3x+m+1. a) Tìm giao điểm đồ thị hàm số m=-3. b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt. Câu 3. (2.0 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Một bể đựng nước có vòi: Vòi A đưa nước vào vòi B tháo nước ra. Vòi A từ nước cạn đến nước đầy (B khóa) lâu so với vòi B tháo nước từ bể đày tới lúc cạn nước (A đóng). Khi bể chứa 1/3 thể tích nước người ta mở vòi sau bể cạn hết nước. Hỏi sau riêng vòi A chảy đầy bể sau thời gian vòi B tháo bể? Câu 4. (4.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm E. Dựng đường tròn đường kính BE cắt cạnh BC F. CE cắt đường tròn H. Kéo dài CA BH cắt K. a) CM: Góc FHB không phụ thuộc vào vị trí điểm E. b) CM: AC, EF, HB đồng qui K. c) CM: E tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHF d) Tìm vị trí E để: CA.CK = CB 2 ………………….Hết……………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. x ≥ a / x + x + = ( x + 1)( x + 2); DK :  x ≠  x −2 x − x −3   x +1  P =  − : − ÷  ÷ ÷  x+2 ÷  x + ( x + 1)( x + 2)   ( x + 1)( x + 2)  = x −1 ( x + 1)( x + 2) =1− x −1 ( x + 1)( x + 2) . b / − ( x + 1) P = x + ⇔ −( x + 1)(1 − x ) = x + ⇔ (1 − x ) = x + ⇔ x − − x + = ⇔ x + − x + − = t = x + 2(t > 0)  t = −1(lo¹i ) ⇔ ⇔ ⇔ x = 7(t / m) t = ⇒ x + = t − 2t − = c / mP = ( m2 − 1) x − m x + ⇔ m(1 − x ) = ( m − 1) x − m x + ⇔ m2 x − x − m + = 0. Phương trình có nghiệm  m2 − − m + = m2 − m = x = 1, x = ⇔  ⇔ ⇔ m =1 2 3m − − m + = 3m − m − = Câu 2: a) Thay m=-3 vào hàm số ta có: y=3x-2. Tọa độ giao điểm hàm số nghiệm hệ :  x =   y = x y = x y =1 ⇔ ⇔   x =  y = 3x −  x − x + =    y = Vậy đồ thị hàm số cắt điểm (1;1) (2;4). b) ĐS: m>− 13 Câu 3. Gọi thời gian vòi B tháo bể là: x (giờ, x>0) Thời gian vòi A chảy đầy bể là: (x+2) (giờ, x>0) Trong h vòi B tháo được: 1/x (bể) Trong h vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể) 1 − Trong 1h mở vòi lượng nước bể là: x x +  1 8 − ÷ Trong 8h mở vòi nước bể giảm là:  x x +   1 8 − ÷= ⇔ x = x x +   Theo đầu ta có PT: Vậy thời gian để vòi B tháo riêng bể là: giờ. Vòi A chảy đầy bể là: giờ. 0 Câu 4: a / R BFE = 90 ⇒ R EFC = 90 Xét WEACF ta có: R EFC + R EAC = 180 ⇒WEACF nội tiếp ⇒ R ACF = RBEF ( + RAEF = 180 ) Mà R BHF = R BEF nên ⇒ R ACF = RBHF = const b/ Giả sử BH ∩ AC = K Ta có E trực tâm ∆KBC nên ⇒ KE ⊥ BC ( Do : R BFE = 90 ) ⇒ KE ≡ EF hay EF qua K ⇒ EF, BH , AC đồng quy. c/ Do WEACF nội tiếp nên ⇒ ∠ABC = ∠AHC mà ∠EHF = ∠ABC ⇒ ∠AHC = ∠EHF ⇒ HE phân giác R AHF . Ta có HE phân giác góc R AFH. FE ∩ HE=E ⇒ ĐPCM d/ d / ∆CKF ∞∆CBA( g − g ) ⇒ CK CF CB CB = ⇒ CK .CA = CF .CB ⇒ CK .CA = ⇔ CF .CB = CB CA 2 ⇒ CF = CB ⇒ F trung điểm CB ⇔ E giao trung trực CB AB ………………….Hết…………………