MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Bùi Hải Vân - 54A Toán Người hướng dẫn: TS. Phạm Xuân Chung 1. Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài: Phương trình nội dung kiến thức quan trọng chương trình toán phổ thông. Phương pháp giải phương trình đa dạng, nhiều học sinh lúng túng tìm cách giải phương trình, đặc biệt phương trình vô tỉ. Vì vậy, có nhiều tài liệu, sách tham khảo, sáng kiến kinh nghiệm giáo viên dạy trường phổ thông viết “ phương pháp giải phương trình vô tỉ”. Tuy nhiên, hầu hết tài liệu trình bày theo cấu trúc: phương pháp giải, ví dụ, lời giải, tập tương tự mà chưa ý tới định hướng cho học sinh cách tìm lời giải, lý giải cho học sinh lại làm cách tạo toán tương tự. Tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu:Trong nãm gần đây, phương trình vô tỉ xuất nhiều đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng mức độ khó dễ khác nhau. Việc tìm hiểu kĩ thuật giải thường sử dụng kì thi không người giáo viên vào nghề, mà người giáo viên nào. Đặc biệt sinh viên ngành Sư phạm Toán, từ học trường đại học quan tâm đến vấn đề vừa nâng cao lực giải toán thân, vừa tìm cách thức dẫn dắt học sinh tìm tòi lời giải biết cách để tạo toán từ kĩ thuật đó, đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh khá, giỏi sau trường. Vì vậy, việc nghiên cứu kĩ thuật giải phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi Tỉnh đề thi đại học, cao đẳng cần thiết. Mục tiêu:Tìm hiểu, định hướng cho học sinh kĩ thuật giải phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi Tỉnh, đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng vận dụng kĩ thuật để xây dựng toán mới. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận. Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các kĩ thuật giải phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi Tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh (2009 – 2015), đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng (2008 – 2012). 38 2. Nội dung nghiên cứu kết nghiên cứu đạt 2.1 Một số kỹ thuật giải phương trình vô tỷ đề thi 2.1.1 Kĩ thuật nhân lượng liên hợp a. Liên hợp với số Khi giải phương trình chứa thức, thông thường ta nghĩ đến việc làm dấu cách nâng lên lũy thừa. Nhưng phương trình vừa chứa bậc hai vừa chứa bậc ba chứa nhiều dáu bậc hai việc nâng lên lũy thừa để khử dấu phức tạp không dễ dàng. Hõn nữa, cho dù làm hết dấu đưa phương trình bậc cao việc tìm nghiệm không đơn giản. Khi đó, ta nghĩ đến việc làm hết dấu cách nhân lượng liên hợp phù hợp, không làm hoàn toàn thức lại rút nhân tử chung để đưa phương trình tích để giải. Chúng tôi, xin đưa ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An – Năm 2011 √ √ Giải phương trình: 2( x − 2)( x + + 2x − 5) = 3x − 1. √ √ Lời giải: Điều kiện xác định : x ≥ 52 ;2 ( x − 2) x + + 2x − = 3x − 1. Phương trình tương đương √ √ ( x − 2) x − − + 2x − − + = 3x −   (2x − 6)  x−3 ⇔2 ( x − 2)  +√ + ( x − 2) = 3x − √ 2x − + ( x + 5) + x + +   ( x − 2) ( x − 2) ⇔ ( x − 3)  +√ + 5 = √ 2x − + ( x + 5)2 + x + + ⇔ x − = ⇔ x = ( thỏa mãn ĐĐKXĐĐ )   do x ≥ ⇒ x − ≥ > ⇒ 2 ( x − 2) ( x − 2) √ + + > 0 . √ 2x − + ( x + 5) + x + + Vậy nghiệm phương trình cho x = 3. Bình luận: Ta thấy lời giải trên, bước biến đổi tương đương hoàn toàn dễ hiểu. Nhưng câu hỏi đặt ta lại thêm bớt lượng liên hợp mà số khác? Việc thêm ngẫu nhiên mà lý giải sau: Đầu tiên ta nhẩm nghiệm phương trình x=3. Như vậy, đưa phương trình dạng tích vế trái chứa nhân 39 tử ( x − 3) . Do ban đầu ta chưa biết thêm bớt lượng liên hợp bao nhiều nên ta √ √ giả sử lượng α β. Khi đó, ta có : x + − α 2x − − β sau nhân liên hợp xong tử số x + − α3 8x − 20 − β2 . Mà ta muốn làm xuất nhân tử ( x − 3) đó: α=2 x + − α3 = x − ⇔ β = . Như vậy, ta đưa lời giải. 8x − 20 − β = 8( x − 3) Qua lời giải phân tích trên, xin đề xuất, bước làm kĩ thuật sau: (i) Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có). Nhẩm nghiệm x0 phương trình; (ii) Bước 2: Tìm lượng liên hợp phù hợp phương pháp hệ số bất định; (iii) Bước 3: Nhân liên hợp rút nhân tử chung ( x − x0 ), đưa phương trình tích; (iv) Bước 4: Giải kết luận nghiệm. b. Liên hợp với nhị thức Tương tự với cách nhân liên hợp với số toán nhẩm nghiệm ta nhân lượng liên hợp với nhị thức. Ví dụ 2: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An – năm 2010 √ √ √ Giải phương trình: x − + x + + − x = x2 + 2. Lời giải: Điều kiện xác định: −1 ≤ x ≤ 2. √ √ √ √ √ 2−1 x+1 + 2−x− 1− x+ = ⇔ x − x2 + x + − √ √ − x − x2 − x − x2 ⇔ x − x2 + √ +√ √ √ =0 √ x+1+ 2−1 x+1 2−x+ 1− x+   √ √ 3− 3− ⇔ x − x 1 + √ +√ √ √ √ =0 x+1+ 2−1 x+1 2−x+ 1− x+ ⇔ x − x2 = ⇔ x = (thỏa mãn ĐĐKXĐĐ) x = (thỏa mãn ĐĐKXĐĐ) √ √ (3−√ 2) (3− √2) √ (do + √ +√ > 0, với ∀ x ∈ [−1; 2]). x +1+ ( 2−1 ) x +1 2− x + (1− ) x + Vậy nghiệm phương trình cho x = x = 1. Bình luận: Trong lời giải trình bày trên, ta cảm thấy lời giải không tự nhiên. Làm thêm bớt lượng liên hợp mà hệ số đứng trước x lại rắc rối đến vậy? Việc thêm bớt lại may mắn mà có? Sau lí giải cho lời giải trên. Rõ ràng ta nhẩm x = x = nghiệm 40 phương trình trên, đưa phương trình dạng phương trình tích để giải chắn có nhân tử chung x ( x − 1) . Khi giá trị làm cho biểu thức vế trái 0. Để làm dấu thức xuất nhân tử x ( x − 1) (bậc 2) ta nhân chúng với lượng liên hợp số bời sau làm thức, biểu thức nhận dạng bậc 1. Do đó, ta nghĩ đến nhân liên hợp với nhị thức, hi vọng làm xuất nhân tử chung bậc 2. Giả sử lượng nhân liên hợp ax + b, ( a = 0) . √ Ta có giá trị x + − ( ax + b) giá trị nghiệm x = b√ =1 1−b = ⇔ . x = 1. Tức là: √ a = 2−1 2−a−b = Như vậy, ta có liên hợp để làm dấu thức thứ nhất. Tương tự cách làm dấu thức thứ cho lời giải xong, toán giải quyết. Từ lời giải phân tích này, đưa bước làm cụ thể sau: (i) Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có). Nhẩm nghiệm x1 ; x2 phương trình; (ii) Bước 2: Đặt nhị thức cần nhân liên hợp ax + b, tìm hệ số a; b thích hợp; (iii) Bước 3: Nhân biểu thức liên hợp rút nhân tử chung ( x − x1 ) ( x − x2 ), đưa phương trình tích; (iv) Bước 4: Giải phương trình kết luận nghiệm. 2.1.2. Kĩ thuật dùng tính đơn điệu hàm số Trong kĩ thuật ta sử dụng tính chất sau đây: (i) Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x ) đơn điệu khoảng K R phương trình f ( x ) = có không nghiệm K. (ii) Tính chất 2: Nếu y = f ( x ) đơn điệu khoảng K R phương trình f (u) = f (v) ⇔ u = v vi ∀ u; ; v ∈ K. Nếu toán áp dụng Tính chất 1, ta thực bước sau: (i) Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có), chuyển hết phần tử vế trái, vế phải 0; 41 (ii) Bước 2: Đặt biểu thức thu vế trái f ( x ), xét tính đơn điệu f ( x ) tập xác định K (K khoảng R); (iii) Bước 3: Nhẩm nghiệm phương trình, áp dụng tính chất để khẳng định nghiệm nhẩm nhất. Ví dụ 3: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An – năm 2009. √ Giải phương trình: 2009x x2 + − x = 1. Nếu áp dụng Tính chất 2, ta có bước giải sau: (i) Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có). Biến đổi phương trình dạng f (u) = f (v), với u, v biểu thức biến x; u, v ∈ K, (K khoảng R); (ii) Bước 2: Xét tính đơn điệu hàm số y = f (t) với t ∈ K; (iii) Bước 3: Áp dụng tính chất 2, giải phương trình u = v kết luận nghiệm phương trình cho. Ví dụ 4: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An - Năm 2013. Giải phương trình: √ x+1−2 √ = . x+2 2x + − Ví dụ 5: Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh - Năm 2015. √ Giải phương trình: 8x3 + 10x − 17 = −24x2 + 30x − 7. 2.1.3. Kĩ thuật đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ kĩ thuật thường dùng, quen thuộc giải phương trình đặc biệt phương trình vô tỉ. Việc đặt ẩn phụ giúp ta đơn giản hóa toán với biến số bước giải dễ dàng hõn. Các bước làm sau: (i) Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có) phương trình. Chọn ẩn phụ thích hợp đặt điều kiện (nếu có) cho ẩn phụ; (ii) Bước 2: Biểu diễn yếu tố lại theo ẩn phụ, lập phương trình với ẩn phụ vừa đặt; (iii) Bước 3: Nếu đặt ẩn phụ ta giải phương trình với biến suy nghiệm phương trình; đặt từ ẩn phụ trở lên ta tìm cách biểu thị mối quan hệ ẩn phụ với từ tìm nghiệm phương trình; 42 (iv) Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình. Sau số ví dụ cụ thể giải phương trình sử dụng kĩ thuật này: Ví dụ 6: Đề thi tuyển sinh đại học Khối A – Năm 2009. √ √ Giải phương trình: 3x − + − 5x − = 0. Ví dụ 7: Đề chọn học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh – Năm 2010. √ Giải phương trình: x2 + 2x + = x3 + 4x. Ví dụ 8: Đề thi tuyển sinh đại học khối B – Năm 2011. √ √ √ Giải phương trình: + x − − x + 4 − x2 = 10 − 3x. 2.2. Vận dụng kĩ thuật để xây dựng toán Từ kĩ thuật trình bày phần I, ta tạo số toán với lời giải tương tự. 2.2.1. Xây dựng từ kĩ thuật nhân liên hợp Với kĩ thuật này, ta tạo toán xuất phát từ biểu thức chứa cãn, sau thay giá trị x = α ta coi nghiệm phương trình mà ta nhẩm được. Sau thay xong ta cần thêm bớt lượng số biểu thức tất triệt tiêu biến đổi phương trình dạng gọn hõn. Các bước biến đổi, thêm bớt làm cho độ khó phương trình tăng lên. Chúng xin đề xuất số toán sau: Bài toán 1.1: Giải phương trình: √ √ 2x + + x − + 2x2 − 5x − = 0. ( x − 5) Bài toán 1.2: Giải phương trình: √ 2x + + √ x−3 = 2x2 − 5x − . x−5 Bài toán 1.3: Giải phương trình: √ √ √ 3x + 22 + 2x − − − x = −2. Bài toán 1.4: Giải phương trình: √ √ √ 3x + 22 + 2x − − − x = x3 + 7x2 − 14x − 32. Bài toán 1.5: Giải phương trình: √ √ √ √ √ x + − x + + − x − + x + x2 − x = 0. 43 Bài toán 1.6: Giải phương trình: √ √ √ x2 + 4x + + − x − x2 − 3x + = + x − x2 . x+3 2.2.2. Xây dựng toán từ kĩ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số Muốn xây dựng toán sử dụng phương pháp ta làm sau. Trước hết ta chọn hàm f (t) đơn điệu khoảng đó, sau chọn u, v biểu thức biến x cho phương trình u = v giải cho f (u) = f (v) rút gọn ta toán mới. Có thể đề xuất số toán sau: Bài toán 2.1: Giải phương trình: √ 1 −√ + x − = x2 + 3x + 4. x+2 x−1+1 Bài tập 2.2: Giải phương trình: √ √ 3x − − (11 − 2x ) − 2x + 9x − 24 = 0. 2.2.3. Xây dựng toán từ kĩ thuật đặt ẩn phụ Trong Ví dụ 10 (mục I) ta giải chúng đặt ẩn phụ đưa phương trình tích với ẩn phụ (hoặc đưa phương trình đẳng cấp, đưa phương trình dạng bậc hai sau ta tính biệt thức denta ẩn, ẩn lại tham số). Như muốn tạo tập giải phương trình ta xuất phát từ đa thức đưa dạng nhân tử biến u, v sau ta khai triển đa thức thay u, v biểu thức biến x. Chẳng hạn ta có ví dụ sau: Bài tập 2.3: Giải phương trình: √ √ x + − − x − + x − x2 = x − 8. √ √ {Chọn u = x + 2; ; v = − x đa thức đa thức (u − 2v) (u − v + 3)} Và cách tương tự ta thêm toán dạng tương tự đề luyện tập cho học sinh. Từ toán ta nhân thấy rằng, mục đích cuối việc sử dụng kĩ thuật đưa phương trình dạng phương trình tích để giải. Vậy ta thay dấu “=” dấu >, ≥, + x − x2 ( x ∈ R) . √ √ √ (iv) x + − − x − + x − x2 < x − ( x ∈ R) . 3. Kết luận kiến nghị Các kĩ thuật nghiên cứu kĩ thuật thông dụng giải phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi Tỉnh thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Nó không giúp người giáo viên định hướng học sinh đưa lời giải cho toán khó mà phát huy tính chủ động, sáng tạo em để suy luận, tự tạo phương trình mới. Những kĩ thuật cần phổ biến rộng rãi đặc biệt học sinh giáo viên bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (năm 2014), Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, Nhà xuất tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh. [2] Phạm Kim Chung, Đào Văn Trung, Dương Văn Sơn (năm 2015), Rèn luyện kĩ tư giải toán Hệ phương trình, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội. [3] TS. Lê Xuân Sơn, ThS. Lê Khánh Hưng (năm 2014), Phương pháp hàm số giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội. [4] Ngô Long Hậu, Trần Thanh Phong, Nguyễn Đình Thọ (năm 2011), Giới thiệu đề tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng toàn quốc từ nãm học 2002 – 2003 đến nãm học 2011-2012 Môn Toán, Nhà xuất Hà Nội. [5] Các đề thi học sinh giỏi môn Toán,Tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh từ nãm 2009 – 2015. Điện thoại liên hệ: 01675903252 Địa email: buihaivan.2508@gmail.com. 45 . về các kĩ thuật giải phương trình vô tỉ trong các đề thi học sinh giỏi Tỉnh và đề thi đại học, cao đẳng là rất cần thi t. Mục tiêu:Tìm hiểu, định hướng cho học sinh các kĩ thuật giải phương trình. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Bùi Hải Vân - 54A Toán Người hướng dẫn:. Kết luận và kiến nghị Các kĩ thuật được nghiên cứu là những kĩ thuật thông dụng nhất khi giải các phương trình vô tỉ trong đề thi học sinh giỏi Tỉnh và thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Nó