Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 Công thức lượng giác Bài 1.1. Tính 2(sin6 x + cos6 x) − 3(sin4 x + cos4 x) Bài 1.2. Tính (1 − tan2 x)2 − 2 tan x sin x cos2 x − sin x + sin x tan x + tan y Bài 1.4. Chứng minh tan x tan y = cot x + cot y Bài 1.3. Rút gọn + sin x − − sin x Bài 1.5. Chứng minh đẳng thức sin x + cos x 1. tan3 x + tan2 x + tan x + = cos3 x 2. tan x − sin x = cos x(1 + cos x) sin x Bài 1.6. Chứng minh sin2 x − cos4 x + cos2 x = Bài 1.7. Chứng minh sin2 x − sin2 x + + sin x cos x + sin2 x cos2 x + cot x + tan x sin x + cos x − cos x = − cos x sin x − cos x + Bài 1.8. (THPTQG 2015) Tính giá trị biểu thức P = (1 − cos 2α)(2 + cos 2α) biết sin α = . 3 3π Bài 1.9. Cho sin x = − π < x < . Tính tan3 x + cot3 x? Bài 1.10. Cho cos x = − < x < π. Tính (sin x + tan x)(cos x + cot x)? Bài 1.11. Cho tan x + cot x = 3. Tính sin4 x + cos4 x? Bài 1.12. Cho sin x + cos x = . Tính sin8 x + cos8 x? Bài 1.13. Cho tan x = 2. Tính giá trị biểu thức P = sin3 x + cos x cos3 x + sin3 x 3π 25π Bài 1.14. Cho sin α = − π < α < . Tính tan α − 4 . Bài 1.15. Cho cos x + cos y = sin x + sin y = . Tính cos(x − y)? Bài 1.16. Chứng minh đẳng thức 1. sin4 x = 1 − cos 2x + cos 4x 8 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. + sin x π x = cot( − ) cos x 3. + cos 4x = cot2 x + tan2 x − cos 4x 4. sin2 3x cos2 3x − = cos 2x cos2 x sin2 x Bài 1.17. Chứng minh sin6 x cos2 x + sin2 x cos6 x = (1 − cos4 2x) Bài 1.18. Chứng minh sin4 x + cos4 x − = . sin6 x + cos6 x Bài 1.19. Chứng minh đẳng thức sau − cos 2α + cos 4α 1. = tan4 α + cos 2a + cos 4a 3. cot α − tan α − tan 2α − tan 4α = cot 8α tan(x − 2. 4. sin2 2α + sin2 α − 4 = cot α − sin2 α − cos 4α 3π 7π π ) cos( + x) − sin3 ( − x) 2 = sin2 x π 3π cos(x − ) tan( + x) 2 Bài 1.20. Tính sin 12◦ √ + Bài 1.21. Tính P = cos 650◦ sin 250◦ Bài 1.22. Tính P = sin 5◦ sin 15◦ sin 25◦ sin 35◦ . sin 85◦ +√ =√ Bài 1.23. Chứng minh ◦ cos 290◦ sin 250 Bài 1.24. Tính S = tan 9◦ − tan 63◦ + tan 81◦ − tan 27◦ , P = cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦ ? Bài 1.25. Rút gọn A = + cos x (1 − cos x)2 1+ sin x sin2 x π . Tính giá trị A cos x = − < x < π. 2 Bài 1.26. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x. 1. A = cos4 x − sin4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x 2. B = cot x + + tan x − cot x − b a b−a sin a = tan . Chứng minh tan = 2 − cos a sin 5x Bài 1.28. Cho sin x = 0. Chứng minh = cos 4x + cos 2x + 1. sin x sin 2α + sin 4α Bài 1.29. Cho tan α = 2, tính P = + cos 2α + cos 4α Bài 1.27. Cho tan Bài 1.30. Chứng minh P = 27 sin3 9◦ + sin3 27◦ + sin3 81◦ + sin3 243◦ = 20 sin 9◦ Bài 1.31. Tính P = (1 − cot 1◦ )(1 − cot 2◦ ) .(1 − cot 44◦ ) Bài 1.32. Cho A, B,C ba góc tam giác. Chứng minh đẳng thức sau: 1. sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sinC B C A 2. cos A + cos B + cosC = + sin sin sin 2 3. tan A + tan B + tanC = tan A tan B tanC 4. cot A cot B + cot B cotC + cotC cot A = Bài 1.33. Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = cos B + cosC ABC tam giác vuông. Bài 1.34. Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = sin B cosC ABC tam giác cân. Bài 1.35. Cho tam giác ABC. Chứng minh A = 2B ⇔ a2 = b2 + bc Bài 1.36. Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A + sin B + sinC = sin 2A + sin 2B + sin 2C ABC tam giác đều. facebook.com/breakallrulez 1.2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1.37. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm GTNN biểu thức P = tan A tan B tanC. √ √ Bài 1.38. Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d = 1. Chứng minh − ≤ a(c + d) + b(c − d) ≤ Bài 1.39. Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh a2 + a2 + b2 + b2 ≥ 25 Bài 1.40. [IMO1985] Cho x, y, z ∈ R cho x + y + z = xyz. Chứng minh x(1 − y2 )(1 − z2 ) + y(1 − z2 )(1 − x)2 + z(1 − x2 )(1 − y2 ) = 4xyz (x + y)(1 − xy) Bài 1.41. Chứng minh rằng, với số thực x, y ta có − ≤ ≤ (1 + x2 )(1 + y2 ) Bài 1.42. [USA MO 2002] Tìm GTLN S = (1 − x1 )(1 − y1 ) + (1 − x2 )(1 − y2 ) với x12 + x22 = y21 + y22 = c2 , c > Bài 1.43. Cho x + y + z = xyz x, y, z ∈ R, chứng minh x √ + + x2 √ 3 +√ ≤ + z2 + y2 y z Bài 1.44. Cho < x, y, z < xy + yz + zx = 1, chứng minh x √ + − x2 1.2 √ z 3 +√ ≥ − z2 − y2 y Phương trình lượng giác Bài 1.45. Giải phương trình lượng giác sau 1. sin 4x = 2. cos x = 3. cot x = − √ √ π 4. sin(x − ) = Bài 1.46. Giải phương trình lượng giác sau π = cos 2x 1. cos 5x + π π 2. sin − x − sin 3x + =0 3. sin(30◦ − x) = cos 2x 4. cos x + π + sin 5x = 5. − sin2 2x = 6. (1 − cos x)(1 + cos x) = 7. (3 − sin x)(1 − sin x) = 5. cos(π − x) = −1 √ 6. tan(2x + 20◦ ) + = 7. tan(2x + 1) − tan(3x − 1) = π π + sin x + 4 8. cos 2x − 8. sin2 x = =0 2π π = cos2 3x − π 10. cos 2x + = cos x π 11. cos x = sin 3x + 9. sin2 5x + 12. sin 2x + π 13. sin 3x + 2π −x √ √ = 6+ = sin π Bài 1.47. Tìm nghiệm phương trình lượng giác sau khoảng cho trước √ 1. sin 2x = [0, 2π] 3. tan x − = (0, 3π) 2. cos(x − π ) = [−π, 3π] 4. cot(2x + π ) = −1 (0, 5π) Bài 1.48. Tìm x ∈ (0; 3π) cho:sin x − π3 + cos x + π6 = 0. facebook.com/breakallrulez CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Bài 1.49. Giải phương trình 4x3 − − x2 − 3x = 0. √ Bài 1.50. Giải phương trình x3 − 3x = x + √ Bài 1.51. [VMO 1984] Giải phương trình + − x2 1.3 (1 + x3 ) − √ (1 − x)3 = + − x2 Phương trình lượng giác thường gặp 1.3.1 Bài tập Bài 1.52. Phương trình: . √ 1. cos(2x + π3 ) = − 9. sin2 x − cos2 x − sin x = −2 2. sin(2x + 500 ) = −1 3. − = tan x + cot x cos x 10. cos 2x + cos3 x − cos 3x = 11. sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x 4. sin 2x + cos 2x − = 12. sin 5x sin 3x = sin 9x sin 7x 5. sin 3x + cos 12x = 14 6. sin4 x + 12cos2 x = 13. cos2 x − sin2 x = sin 3x + cos 4x 7. sin 2x + cos x = 14. sin2 2x + sin2 4x = sin2 6x 8. tan x − cot x = 12 15. cos 2x − cos x = sin2 3x Bài 1.53. Phương trình: . √ 4. sin2 2x + sin 4x = √ 5. cos x − sin x = cos( π3 − x) 1. sin x − cos x = 2. sin x − cos x = √ 3. sin 2x + cos 2x = √ 13 sin 4x 6. cos(x + π6 ) + cos(x − π3 ) = Bài 1.54. Phương trình: . 1. sin2 x − 10 sin x cos x + 21 cos2 x = 6. = cos x + sin x sin x 2. sin2 2x − sin 2x cos 2x + cos2 2x = 7. sin3 x + cos3 x = sin x √ 3. cos2 x − sin2 x − sin 2x = 8. 2cos3 x + cos x − 8sin3 x = 4. cos2 x − sin x cos x + = 9. cos3 x − sin3 x − cos x sin2 x + sin x = √ 5. sin x cos x + cos2 x − sin2 x = 10. sin2 (x − π2 ) − cos( π2 − 2x) + cos2 (2x + 3π )=1 Bài 1.55. Phương trình: . 1. (sin x + cos x)4 − sin 2x − = 7. = sin x cos x sin x + cos x √ 2. 3(sin x + cos x) − sin 2x − = 8. 2(sin3 x + cos3 x) + sin 2x(sin x + cos x) = 3. 2(sin 4x + 21 sin 2x) + cos 2x = −3 9. (sin 2x + cos 2x)(sin3 2x + cos3 2x) = √ 4. sin 2x − 3(sin x + cos x) = −8 10. sin x + cos x + + tan x + cot x + 5. sin 2x − 4(cos x − sin x) − = 11. (tan x + cot x) − tan2 x + cot2 x − = 6. sin 2x + sin(x − π4 ) = 12. tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 1 + =0 sin x cos x Bài 1.56. Cho phương trình cos3 x − sin3 x = m. Xác định m để phương trình có nghiệm. facebook.com/breakallrulez 1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 1.4 Phương trình lượng giác khác Bài 1.57. Giải phương trình (1 + sin x) (1 − sin x) + (1 + sin x) cos x = Bài 1.58. Giải phương trình (1 + sin x) (1 − sin x) + (1 + sin x) cos x = Bài 1.59. Giải phương trình cos 5x − sin 2x = sin 4x − cos 3x Bài 1.60. Giải phương trình sin x sin 2x + sin 3x = cos3 x Bài 1.61. Giải phương trình lượng giác sau: 1. sin 2x + sin 6x − sin 8x = 8. cos 5x + sin 5x − sin 3x + sin x − cos x = 2. sin x + sin 3x = cos x + cos 3x 9. 3. (1 + tan x)(1 − sin 2x) = − tan x 10. cos6 x + sin6 x = (5 + cos 7x cos 3x) 4. + sin x + cos x + sin 2x = 11. sin 5x = cos x tan 3x 5. cos 2x + sin 2x + = cos x + sin x 6. tan2 x = cos 2x + 20 cos 3x cos 2x − 10 cos 5x − √ =0 sin x + cos x − sin x 12. 7. sin2 x − cos2 2x = sin2 3x − cos2 4x − sin 2x − sin x + cos x √ =0 cos x − 13. cos 2x + cos x 2tan2 x − = Bài 1.62. Giải phương trình sin x(1 + cos x) = + cos x + cos2 x Bài 1.63. Giải phương trình sin2 2x + sin 7x − = sin x Bài 1.64. Giải phương trình cos 10x + cos2 4x + cos 3x. cos x = cos x + cos x cos3 3x √ Bài 1.65. Giải phương trình tan x. cos 3x + cos 2x − = (1 − sin x) (sin 2x + cos x) π π Bài 1.66. Giải phương trình sin4 x + cos4 x + tan(x + ) tan(x − ) = Bài 1.67. Giải phương trình 2(cot x − cos x) − 3(tan x − sin x) = Bài 1.68. Giải phương trình sin2 x − sin 2x + sin x + cos x − = Bài 1.69. Giải phương trình cos3 x − 3sin2 x cos x + sin x = sin 2x π Bài 1.70. Giải phương trình √ cot x + = sin x + sin x + cos x 2 cos 4x Bài 1.71. Giải phương trình cot x = tan x + sin 2x (cos 2x + cot 2x) π π Bài 1.72. Giải phương trình = sin + x cos −x cot 2x − cos 2x 4 Bài 1.73. Giải phương trình tan2 x tan2 3x tan 4x = tan2 x − tan2 3x + tan 4x Bài 1.74. Giải phương trình x x 1. + cos2 = sin2 2 2. cos2 x = cos 4x 3. 32cos6 x + π − sin 6x = √ π 17π x ) + 16 = sin x cos x + 20sin2 ( + ) 2 12 Bài 1.76. Giải phương trình (1 + tan x) cos 5x − sin x − cos x − cos 4x + cos 2x = Bài 1.75. Giải phương trình sin(2x + sin x + cos x = cos 5x cot x − π π Bài 1.78. Giải phương trình cos2 x + − sin 2x = (sin 7x − sin 3x) cos 5x − 12 Bài 1.79. Giải phương trình lượng giác sau Bài 1.77. Giải phương trình facebook.com/breakallrulez CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. cos 3x − cos 2x + cos x − = √ 2. cos3 x + sin 2x = cos x 9. sin( 10. 3. (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x 4. sin4 (3x + π π ) + sin4 (3x − ) = . 4 sin4 x + cos4 x 1 = cot 2x − sin 2x sin 2x 11. cot x = tan x + 6. cos 8x + cos 4x + cos 2x = cos x cos3 x − cos 4x sin 2x 12. sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x − 1) + sin3 x = 5. sin2 x(1 + tan x) = sin x(cos x − sin x) + 7. tan x + cot x = sin 2x + √ π + 2x) cot 3x + sin(π + 2x) − cos 5x = 13. sin3 x + cos3 x = 2(sin x + cos x) − sin 2x 14. √ π + = 2 cos(x + ) cos x sin x 15. sin x + cos 2x + sin 2x = sin x cos2 8. sin x − cos3 x = sin 2x cos x x Bài 1.80. Giải phương trình lượng giác sau: 1. cot x − = cos 2x + sin2 x − sin 2x + tan x 13. cot x + sin x + tan x tan 14. sin2 2x + sin 7x − = sin x 2. cos2 3x. cos 2x − cos2 x = 3. 4. (1 + sin 5. √ √ 15. sin3 x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x √ =0 − sin x + sin x x) cos x + (1 + cos2 x) sin x sin x + 3π = sin √ 16. sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin2 x) = + sin 2x 17. (1 + sin2 x) cos x = + sin x + cos x 7π −x 18. sin2 √ 6. sin 3x − cos 3x = sin 2x 7. x =4 x π x tan2 x − cos2 = − 19. (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) 20. sin4 x + cos4 x + cos (x − π4 ) sin (3x − π4 ) − 32 = 8. (1 + sin x)2 cos x = + sin x + cos x 21. cos 3x + cos 2x − cos x − = 9. sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x 22. 10. cot x − tan x + sin 2x = sin 2x x x sin + cos 2 √ + cos x = 23. sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x √ cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = 11. sin x − = 3(1 − sin x) tan2 x 24. 12. + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 25. (1 + sin x)2 cos x = + sin x + cos x Bài 1.81. [Học Viện Ngân Hàng] cos3 x + cos2 x + sin x − = Bài 1.82. [ĐH Mỏ Địa Chất] tan x sin2 x − sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x) √ √ √ √ Bài 1.83. Giải phương trình: sin 2x (cos x + 3) − cos3 x − 3 cos 2x + cos x − sin x − 3 = 0. sin 3x − cos(x − Bài 1.84. Giải phương trình sin 3x − π )−3 =0 Bài 1.85. Giải phương trình 2(1 + cos x)(cot2 x + 1) = sin x − cos x + sin x Bài 1.86. Giải phương trình cos3 x − 3sin2 x cos x + sin x = π Bài 1.87. Giải phương trình cos x = sin3 x + 1 Bài 1.88. Giải phương trình sin4 x + cos4 x = facebook.com/breakallrulez 1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1.89. Giải phương trình sin 3x cos 2x = + sin x − sin3 x √ Bài 1.90. Giải phương trình sin x + cos x = 2(2 − sin 3x) Bài 1.91. Giải phương trình cos x + cos 2x + cos 4x = −7 √ Bài 1.92. Giải phương trình cos 4xcos2 2x + − cos 3x + = Bài 1.93. Giải phương trình: sin 3x cos 2x = + sin x − 8sin3 x Bài 1.94. Giải phương trình cos 3x + sin x − = Bài 1.95. Giải phương trình cot x + sin x = cos x + − cos x sin x Bài 1.96. Giải phương trình sin 3x + sin 2x + sin x + = cos 3x + cos 2x − cos x Bài 1.97. Giải phương trình sin 2x + tan 2x + sin 4x =2 tan 2x − sin 2x Bài 1.98. Giải phương trình (2 cos x − 1)(sin x + cos x) = Bài 1.99. Một số đề thi BDG. √ 1. (CĐ08) sin 3x − cos 3x = sin 2x 2. (CĐ09) (1 + sin x)2 cos x = + sin x + cos x 3. (CĐ10) cos 5x 3x cos + 2(8 sin x − 1) cos x = 2 4. (CĐ11) cos 4x + 12 sin2 x − = 5. (A02) Tìm nghiệm thuộc (0; 2π) PT: 5(sin x+) 6. (A03) cot x − = cos 3x + sin 3x = cos 2x + + sin 2x cos 2x + sin2 x − 21 sin 2x + tan x 7. (A05) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 8. (A06) 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x √ − sin x 9. (A07) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = − sin 2x 10. (A08) 7π + = sin( − x) sin x sin(x + 3π ) 11. (A09) (1 − sin x) cos x =3 (1 + sin x)(1 − sin x) (1 + sin x + cos 2x) sin(x + π4 ) = √ cos x + tan x + sin 2x + cos 2x √ 13. (A11) = sin x sin 2x + cot2 x √ 14. (A12) sin 2x + cos 2x = cos x − √ 15. (A13) + tan x = 2 sin(x + π4 ) 12. (A10) 16. (A14) sin x + cos x = + sin 2x 17. (B02) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x 18. (B03) cot x − tan x + sin 2x = sin 2x 19. (B04) sin x − = 3(1 − sin x) tan2 x facebook.com/breakallrulez CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 20. (B05) + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 21. (B06) cot x + sin x(1 + tan x tan 2x ) = 22. (B07) sin2 x + sin 7x − = sin x √ √ 23. (B08) sin x cos2 x − sin2 x cos x = sin3 x − cos3 x √ 24. (B09) sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) 25. (B10) (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x 26. (B11) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x √ √ 27. (B12) 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + 28. (B13) sin 5x + cos2 x = √ 29. (B14) 2(sin x − cos x) = − sin 2x 30. (D02) Tìm x thuộc [0; 14] thỏa mãn PT: cos 3x − cos 2x + cos x − = x π x 31. (D03) sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 32. (D04) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x 33. (D05) cos4 x + sin4 x + cos(x − π π ) sin(3x − ) − = 4 34. (D06) cos 3x + cos 2x − cos x − = √ x x 35. (D07) (sin + cos )2 + cos x = 2 36. (D08) sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x √ 37. (D09) cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = 38. (D10) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = 39. (D11) sin 2x + cos x − sin x − √ =0 tan x + 40. (D12) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = √ cos 2x 41. (D13) sin 3x + cos 2x − sin x = √ √ Bài 1.100. Giải phương trình 2x + (4x2 − 1) − x2 = 4x3 + − x2 ĐÁP SỐ 1.26. A = 2, B = −1. 4. x = − π π + kπ; + k2π; k2π 5. x = − π π 5π + kπ; − + kπ; + kπ 8 1.80. Đáp số. π 1. x = + kπ 2. x = kπ 3. x = 5π + k2π 6. x = π 4π 2π + k2π; +k 15 7. x = − π 2π +k 18 facebook.com/breakallrulez 1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC π 5π π + k2π; + kπ; + kπ 12 12 kπ kπ x= ; π x = ± + k2π 5π π + k2π x = + k2π; 6 π 2π x = − + kπ; ± + k2π π 5π x= + kπ; + kπ 12 12 π kπ π 2π 5π 2π x = + ; +k ; +k 18 18 π π π x = + k ; − + kπ π π 2π x = − + k2π; + k 42 π π 5π x = − + k2π; + kπ; + kπ 12 12 8. x = − 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. π + kπ π π 19. x = ± + k2π; − + kπ π 20. x = + kπ 18. x = π + k2π; − 2π + k2π π π 22. x = + k2π; − + k2π 21. x = kπ; ± 2π π + k2π; + kπ π π π π 24. x = +k ;− +k 18 23. x = ± 25. x = − π π 5π + k2π; + kπ; + kπ 12 12 1.81. x = k2π; x = π + n2π 1.82. x = − π4 + kπ; x = ± π3 + n2π HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI Bài 1.6. Ta có V T = sin2 x + cos2 x + cos2 x(1 − cos2 x) = + sin2 x cos x sin2 x + cot x cos2 x + sin x cos x + sin2 x cos x + cot x sin x sin3 x + cos3 x = + sin x cos x + sin2 x cos x sin x + cos x sin x VP = = − sin x cos x + sin x cos x + sin2 x cos x = + sin2 x cos x Như V T = V P ta có điều phải chứng minh. 3π 1 tính tan α = √ . Bài 1.14. Từ sin α = − π < α < 15 π tan α − tan Lại có tan α − 25π = tan α − π4 = = Do . + tan α tan π4 Bài 1.16. 1. Có sin4 x = − cos 2x 2. Biến đổi VT= + cos( π2 − x) = . sin( π2 − x) = . 3. Có VP=(cot x + tan x)2 − = − = . sin2 2x = sin 5◦ sin 10◦ sin 15◦ sin 20◦ sin 25. sin 85◦ Bài 1.22. Xét Q √ √ 2 Từ có PQ = Q ⇒ P = . 2 √ = sin 10◦ sin 20◦ sin 30◦ . sin 80◦ . facebook.com/breakallrulez 10 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ sin(60◦ − 20◦ ) cos 20◦ − sin 20◦ √ −√ = √ = = √ = V P. Bài 1.23. Có V T = ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 sin 40 + cos x Bài 1.25. A = sin x sin2 x + − cos x + cos2 x sin2 x √ = . Khi . A = . sin x tan 2b − tan a2 b b−a 3t a = t tan = 4t, tan = = b a 2 + 4t + tan tan 2t 1+t sin a 3t Mà = . Từ suy điều phải chứng minh. = − cos a − 1−t 22 + 4t 1+t Bài 1.27. Đặt tan Bài 1.28. Nhân chéo, áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Bài 1.30. Từ sin3 x = (3 sin x − sin 3x) ta có P = 27 81 sin 9◦ − sin 729◦ 81 sin 9◦ − sin 9◦ sin 9◦ − sin 27◦ + . = = = 20 sin 9◦ . 4 Bài 1.31. Ta có cos 2◦ cos 44◦ (sin 1◦ − cos 1◦ )(sin 2◦ − cos 2◦ ) .(sin 44◦ − cos 44◦ ) . − = ◦ ◦ sin sin 44 sin 1◦ sin 2◦ . sin 44◦ √ Dùng đẳng thức sin a − cos a = sin(a − 45◦ ) ta đưa √ √ √ sin(1◦ − 45◦ ) sin(2◦ − 45◦ ) . sin(44◦ − 45◦ ) = 222 . sin 1◦ sin 2◦ . sin 44◦ P = 1− Bài 1.35. Có cos 1◦ sin 1◦ 1− a b c = = = 2R nên a2 = b2 + bc ⇔ sin2 A − sin2 B = sin B sinC ⇔ . sin A sin B sinC Bài 1.37. Có A + B = π −C nên tan(A + B) = tan(π −C) ⇔ tan A tan B tanC = tan A + tan B + tanC. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương có √ √ √ 3 tan A + tan B + tanC ≥ tan A tan B tanC ⇔ P ≥ P ⇔ P ≥ 3 Bài 1.38. Đặt a = sin u, b = cos u c = sin v, d = cos v S = sin u(sin v + cos v) + cos u(sin v − cos v) = sin(u + v) − √ √ √ √ √ π cos(u + v) = sin (u + v) + . Suy − ≤ S ≤ ⇔ − ≤ a(c + d) + b(c − d) ≤ 2. Bài 1.39. Đặt a = cos α, b = sin α với ≤ α ≤ 2π ta có a2 + a2 + b2 + b2 = cos2 α + cos2 α = cos4 α + sin4 α = − sin2 α + sin2 α + 1+ 1+ sin2 α cos4 α sin4 α 16 sin4 2α +4 ≥ +4 25 (vì sin 2α ≤ 1.) Bài 1.40. Rõ ràng đẳng thức với xyz = 0, nên cần chứng minh với x, y, z = 0. Chia hai vế cho 4xyz ta có − y2 − z2 − z2 − x2 − x2 − y2 + + =1 2y 2z 2z 2x 2x 2y Từ điều kiện x + y + z = xyz ta nghĩ đến việc lượng giác hóa toán cách đặt x = tan A, y = tan B, z = tanC với A, B,C góc tam giác, ta đưa toàn trở thành: cot 2B cot 2C + cot 2C cot 2A + cot 2A cot 2B = ⇔ tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C Đây rõ ràng đẳng thức tan(2A + 2B + 2C) = tan 2π = 0. Bài toán chứng minh. facebook.com/breakallrulez 1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 11 Bài 1.41. Đặt x = tan a, y = tan b ta có −1 ≤ sin 2(a + b) ≤ Bài 1.42. Nhận thấy hai điểm có tọa độ (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) nằm đường tròn (O, c) nên đặt (x1 , x2 ) = (c cos φ , c sin φ ) (y1 , y2 ) = (c cos ψ, c sin ψ). Khi S = − c(cos φ + sin φ + cos ψ + sin ψ) + c2 (cos φ cos ψ + sin φ sin ψ) √ π π = + c − sin φ + − sin ψ + + c2 cos(φ − ψ) 4 √ √ Do S ≤ + 2c + c2 = c + √ . Nên GTLN S c + √ đạt x1 = x2 = y1 = y2 = c. Bài 1.43. Đặt x = tan A, y = tan B, z = tanC với A, B,C góc tam giác, toán trở thành √ 3 sin A + sin B + sinC ≤ Bài 1.44. Nhân hai vế với 2x √ + − x2 √ 2z ≥3 +√ − z2 − y2 2y Từ điều kiện < x, y, z < xy + yz + zx = ta đặt x = tan A2 , y = tan B2 , z == tan C2 với A, B,C ba góc tam giác nhọn. Bài toán trở thành √ tan A + tan B + tanC ≥ 3 π Bài 1.49. Điều kiện −1 ≤ x ≤ nên đặt x = cost với t ∈ [0, π] phương trình cos 3t = sint. Đáp số x = cos , x = 5π cos . √ Bài 1.50. Điều kiện x ≥ −2. Có nhận xét: Nếu x > x3 − 3x > 4x − 3x = x > x + nên x ≤ 2. Vậy −2 ≤ x ≤ đặt x = cos α với α ∈ [0, π]. Phương trình trở thành cos 3α = Giải phương trình tìm α = 0, 2(1 + cos α) = cos α 4π 4π , . √ 1+ 4π Vậy nghiệm phương trình cho x = 2, x = − , x = cos . Bài 1.51. Điều kiện x ∈ [−1, 1] nên đặt x = cos α với α ∈ [0, π] phương trình 1+ − cos2 α  √ ⇔ + sin α  (1 + cos α)3 − + cos α − (1 − cos α)3 = + − cos2 α  − cos α  = + sin α √ α α α α ⇔2 sin + cos cos − sin 2 2 √ ⇔ cos α(2 + sin α) = + sin α 1 + sin α = + sin α 1 ⇔ cos α = √ ⇒ x = √ . 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = √ . Bài 1.57. Biến đổi thành (1 + sin x)(1 − sin x + cos x) = Bài 1.58. Biến đổi 1+sin x−2 sin x−2 sin2 x+2 cos x+2 sin 2x = ⇔ cos 2x+2 sin 2x = sin x−2 cos x ⇔ √ sin(x + β ) √ sin(2x+α) = facebook.com/breakallrulez 12 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1.62. Biến đổi thành (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = Bài 1.63. Biến đổi (1 − sin2 2x) = sin 7x − sin x ⇔ cos 4x = cos 4x sin 3x Bài 1.64. Hạ bậc nhóm (cos 10x + cos 8x) + = cos x + cos x(4 cos3 3x − cos 3x) ⇔ cos x = ⇔ x = k2π. Bài 1.65. sin x − 4sin2 x + − 4sin2 x = √ cos x − 4sin2 x ⇔ − 4sin2 x √ sin x − cos x + = π Bài 1.66. PT ⇔ − sin2 x cos2 x − tan(x + ) cot(x + π6 ) = ⇔ sin 2x = Bài 1.67. Tách nhóm thành 2(cot x − cos x + 1) − 3(tan x − sin x + 1) = sau qui đồng . Bài 1.68. Biến đổi sin x + cos x = sin 2x + − sin2 x ⇔ sin x + cos x = sin 2x + cos 2x ⇔ sin x + π = sin 2x + π Bài 1.69. cos3 x − sin2 x cos x + sin x − sin2 x cos x = ⇔ cos x cos2 x − sin2 x + sin x(cos x − sin x)2 =  cos x = cos x sin x cos x ⇔ Bài 1.70. √ + = cos x ⇔  sin x √ =2 + sin x sin x + cos x sin x sin x + cos x Bài 1.71. cos2 x − sin2 x cos 4x = ⇔ cos 2x = cos 4x sin x cos x sin x cos x Bài 1.72. 3(cos 2x + cot 2x) 3(sin 2x + 1) = sin 2x + ⇔ = 2(sin 2x + 1) cot 2x − cos 2x − sin 2x cos x = √ sin x − 2 sin x cos x + cos x = Bài 1.74. x 1. Đặt t = . Bài 1.75. Biến đổi thành cos(2x + 2. Đặt t = 2x 3. Đặt t = x + π4 π π ) + cos(x + ) + = sau áp dụng công thức nhân đôi. Bài 1.76. Biến đổi thành (cos 5x−cos x)(sin x+cos x) = −2 cos x(cos 4x−cos x) ⇔ −2 sin 3x sin 2x(sin x+cos x) = cos x(−2 sin 3x sin x) Bài 1.77. Biến đổi (sin x+cos x)(cos x−3 sin x) = sin x cos 5x ⇔ cos 2x−2 sin2 x = sin 2x+sin 6x−sin 4x ⇔ cos 2x−1 = sin 4x(2 cos 2x − 1) Bài 1.78. (2 cos(2x + π6 ) + 1) sin 2x = cos 5x sin 2x cos(5x − π3 ) ⇔ sin 2x( .) = sin 2x(cos(10x − π3 ) + cos π3 ) Bài 1.79. 1. Đưa phương trình bậc ba . √ π π 3π 2. cos x(2 cos2 x + sin x − 4) = 0. Đáp số + kπ, + k2π, + k2π. 4 π π 3. Biến đổi (2 cos x − 1)(sin x + cos x) = 0. Đáp số ± + k2π, − + kπ. π 4. Hạ bậc, đưa góc 6x. Đặt t = sin 6x, phương trình (1 + t)2 + (1 − t)2 = 2. Đáp số x = k . π π 5. Chia hai vế cho cos2 x t + t − 3t − = 0. Đáp số − + kπ, ± + kπ. 6. Biến đổi thành cos 8x + cos 4x + cos 2x = cos x(cos 9x + cos 3x) − ⇔ cos 8x + cos 4x + cos 2x = cos 8x + cos 10x + cos 4x + cos 2x − ⇔ cos 10x = 1/2 π π π 7. Đặt t = tan x phương trình . Đáp số + k , ± + kπ. π 8. Đẳng cấp bậc ba. Đáp số k . facebook.com/breakallrulez 1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 13 √ π π π π 9. Qui đồng, nhóm thành cos 5x(1 − sin 3x) = 0. Đáp số + k2p3, + k2p3, + k . 12 10 10. Đặt t = cos 2x. Đáp số ± π + kπ. 11. Đưa phương trình bậc hai cos 2x. Đáp số kπ, ± 12. Đưa phương trình bậc hai cos x. Đáp số − π + kπ. π π 5π + k2π, + k2π, + k2π. 6 13. Phương trình đối xứng. 14. Qui đồng, biến đổi thành (sin x − cos x)(1 + sin 2x) = 0. Đáp số − 15. Hạ bậc, đưa phương trình bậc hai sin x. Đáp số π π + kπ, + kπ. 4 π π 7π + k2π, − + k2π, + k2π. 6 Bài 1.82. Chia hai vế cho sin2 x Bài 1.83. Biến đổi thành √ √ √ √ sin 2x(cos x + 3) − 3.cos3 x − 3. cos 2x + 8( 3. cos x − sin x) − 3 = √ √ √ √ √ ⇔2 sin x.cos2 x + sin x. cos x − 3.cos3 x − 3cos2 x + 3 + 8( 3. cos x − sin x) − 3 = √ ⇔( cos x − sin x)(−2cos2 x − cos x + 8) = Bài 1.84. Điều kiện sin 3x = 1. Biến đổi cos(3x − π π π π ) − cos(x − ) − = ⇔ cos3 (x − ) − cos(x − ) − = 6 Bài 1.85. 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1) sin2 x ⇔ 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1)(1 − cos x)(1 + cos x) Bài 1.86. Phương trình đẳng cấp bậc ba. √ Bài 1.87. Biến đổi thành cos x = ( sin x + cos x)3 phương trình đẳng cấp bậc ba. Bài 1.88. sin4 x + 1 − sin2 x = ⇔ sin4 x − sin2 x + = Bài 1.89. Nhận xét cos x = không nghiệm nên nhân hai vế phương trình với cos x sin 3x(4 cos2 −3) cos x = π cos x ⇔ sin 3x cos 3x = cos x ⇔ sin 6x = sin( − x) √ Bài 1.90. Nhận xét V T ≤ ≤ V P. Phương trình vô nghiệm. Bài 1.91. Phương trình tương đương với (cos x + 1)+2 (cos 2x + 2)+(cos 4x + 1) = 0. Đánh giá, phương trình vô nghiệm. √ Bài 1.92. Biến đổi thành (2 cos 4x + 1)2 + − cos 3x = 0. Bài 1.93. PT ⇔ sin 5x + sin x = + sin 3x Kiểm tra thấy cos x = không thỏa mãn phương trình cho. Nhân hai vế PT với cos x ta PT ⇔ sin 5x cos x + sin 2x = cos x + sin 3x cos x ⇔ sin 6x = cos x Từ tìm nghiệm phương trình π k2π π k2π + + 14 10 Bài 1.94. cos x(1 − sin2 x) − (1 − sin x) = 0. facebook.com/breakallrulez 14 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1.95. Ta có cos x cos x − ) + (sin x − )=0 sin x − cos x sin x cos x − − )=0 ⇔ cos x( sin x − cos x sin x − cos x + cos x ⇔ cos x( − )=0 sin x − cos2 x ( ⇔ cos x(sin x(1 − cos x) − (1 + cos x)) = Đáp số ± π + k2π. Bài 1.96. (sin 3x+sin x)+(1+sin 2x)−(cos 3x−cos x) = cos 2x ⇔ sin 2x(sin x+cos x)+(sin x+cos x)2 +sin2 x−cos2 x = 2π −π 3π 0. Đáp số: ± + k2π, k2π, π + k2π, + k2π, + k2π. 4 Bài 1.97. sin 2x cos 2x + sin 2x + tan 2x = ⇔ sin 2x(2 cos2 2x + cos 2x + 1) = 0. Đáp số: ± π π π Bài 1.98. sin 2x + cos2 x − − (sin x + cos x) = ⇔ sin 2x + cos 2x = sin x + cos x ⇔ sin(2x + ) = sin(x + ). Đáp số: 4 2π π k2π, + k π π Bài 1.100. Đặt x = sint với t ∈ [− , ] phương trình sint +(4 sin2 t −1). cost = sin3 t +cost ⇔ (sin 2t −1)(sint + 2 cost) = facebook.com/breakallrulez [...]... 2 Bài 1.43 Đặt x = tan A, y = tan B, z = tanC với A, B,C là 3 góc của một tam giác, bài toán trở thành √ 3 3 sin A + sin B + sinC ≤ 2 Bài 1.44 Nhân hai vế với 2 được 2x √ + 1 − x2 √ 2z ≥3 3 +√ 1 − z2 1 − y2 2y Từ điều kiện 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1 ta đặt x = tan A , y = tan B , z == tan C với A, B,C là ba góc của một tam giác 2 2 2 nhọn Bài toán trở thành √ tan A + tan B + tanC ≥ 3 3 π Bài. ..1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 11 Bài 1.41 Đặt x = tan a, y = tan b ta có ngay −1 ≤ sin 2(a + b) ≤ 1 Bài 1.42 Nhận thấy hai điểm có tọa độ (x1 , x2 ) và (y1 , y2 ) nằm trên đường tròn (O, c) nên có thể đặt (x1 , x2 ) = (c cos φ , c sin φ ) và (y1 , y2 ) = (c cos ψ, c sin ψ) Khi đó S = 2 − c(cos φ + sin φ + cos ψ + sin ψ) + c2... 2 Bài 1.57 Biến đổi thành (1 + sin x)(1 − 2 sin x + 2 cos x) = 0 Bài 1.58 Biến đổi 1+sin x−2 sin x−2 sin2 x+2 cos x+2 sin 2x = 0 ⇔ cos 2x+2 sin 2x = sin x−2 cos x ⇔ √ 5 sin(x + β ) √ 5 sin(2x+α) = facebook.com/breakallrulez 12 CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1.62 Biến đổi thành (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = 0 Bài 1.63 Biến đổi (1 − 2 sin2 2x) = sin 7x − sin x ⇔ cos 4x = 2 cos 4x sin 3x Bài. .. 1.64 Hạ bậc và nhóm (cos 10x + cos 8x) + 1 = cos x + 2 cos x(4 cos3 3x − 3 cos 3x) ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π Bài 1.65 sin x 1 − 4sin2 x + 1 − 4sin2 x = √ 3 cos x 1 − 4sin2 x ⇔ 1 − 4sin2 x √ sin x − 3 cos x + 1 = 0 7 π 1 Bài 1.66 PT ⇔ 1 − 2 sin2 x cos2 x − tan(x + ) cot(x + π ) = 0 ⇔ sin 2x = 6 8 6 2 Bài 1.67 Tách và nhóm thành 2(cot x − cos x + 1) − 3(tan x − sin x + 1) = 0 sau đó qui đồng Bài 1.68 Biến... là π k2π π k2π + và + 14 7 10 5 Bài 1.94 cos x(1 − 4 sin2 x) − (1 − 2 sin x) = 0 facebook.com/breakallrulez 14 CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1.95 Ta có cos x cos x 1 − ) + (sin x − )=0 sin x 1 − cos x sin x 1 cos x 1 − − )=0 ⇔ cos x( sin x 1 − cos x sin x 1 − cos x 1 + cos x ⇔ cos x( − )=0 sin x 1 − cos2 x ( ⇔ cos x(sin x(1 − cos x) − (1 + cos x)) = 0 Đáp số ± π + k2π 2 Bài 1.96 (sin 3x+sin... cos3 (x − ) − 7 cos(x − ) − 3 = 0 2 6 6 6 Bài 1.85 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1) sin2 x ⇔ 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1)(1 − cos x)(1 + cos x) Bài 1.86 Phương trình đẳng cấp bậc ba √ Bài 1.87 Biến đổi thành cos x = ( 3 sin x + cos x)3 là phương trình đẳng cấp bậc ba Bài 1.88 sin4 x + 1 1 − sin2 x 2 2 = 1 3 1 ⇔ sin4 x − sin2 x + = 0 3 2 6 Bài 1.89 Nhận xét cos x = 0 không là nghiệm... sin 2x + cos 2x ⇔ sin x + π 4 = sin 2x + π 2 Bài 1.69 cos3 x − sin2 x cos x + sin x − 2 sin2 x cos x = 0 ⇔ cos x cos2 x − sin2 x + sin x(cos x − sin x)2 = 0  cos x = 0 cos x 2 sin x cos x ⇔ Bài 1.70 √ + = 2 cos x ⇔  2 sin x 1 √ =2 + 2 sin x sin x + cos x 2 sin x sin x + cos x Bài 1.71 cos2 x − sin2 x cos 4x = ⇔ cos 2x = cos 4x sin x cos x sin x cos x Bài 1.72 cos x = 0 √ sin x − 2 2 sin x cos x +... sin 3x(4 cos2 −3) cos x = π cos x ⇔ 2 sin 3x cos 3x = cos x ⇔ sin 6x = sin( − x) 2 √ Bài 1.90 Nhận xét V T ≤ 2 ≤ V P Phương trình vô nghiệm Bài 1.91 Phương trình tương đương với 4 (cos x + 1)+2 (cos 2x + 2)+(cos 4x + 1) = 0 Đánh giá, phương trình vô nghiệm √ Bài 1.92 Biến đổi thành (2 cos 4x + 1)2 + 1 − cos 3x = 0 Bài 1.93 PT ⇔ 2 sin 5x + 2 sin x = 1 + 2 sin 3x Kiểm tra thấy cos x = 0 không thỏa mãn... sin 2x + 2 ⇔ = 2(sin 2x + 1) cot 2x − cos 2x 1 − sin 2x Bài 1.74 x 1 Đặt t = 3 Bài 1.75 Biến đổi thành cos(2x + 2 Đặt t = 2x 3 3 Đặt t = x + π 4 π π ) + 5 cos(x + ) + 3 = 0 sau đó áp dụng công thức nhân đôi 3 6 Bài 1.76 Biến đổi thành (cos 5x−cos x)(sin x+cos x) = −2 cos x(cos 4x−cos x) ⇔ −2 sin 3x sin 2x(sin x+cos x) = 2 cos x(−2 sin 3x sin x) Bài 1.77 Biến đổi (sin x+cos x)(cos x−3 sin x) = 2 sin... Đáp số x = cos , x = 8 5π cos 8 √ Bài 1.50 Điều kiện x ≥ −2 Có nhận xét: Nếu x > 2 thì x3 − 3x > 4x − 3x = x > x + 2 nên x ≤ 2 Vậy −2 ≤ x ≤ 2 do đó đặt x = 2 cos α với α ∈ [0, π] Phương trình trở thành 2 cos 3α = Giải phương trình này tìm được α = 0, 2(1 + cos α) = 2 cos α 2 4π 4π , 7 5 √ 1+ 5 4π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2, x = − , x = 2 cos 2 7 Bài 1.51 Điều kiện x ∈ [−1, 1] nên