Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• PHAN ĐÌNH CƠNG NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc P G S T S H T i ế n N g o n ; thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành Luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phịng Sau Đại học, tồn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Cơng Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập vừa qua Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân gia đình, tập thể lớp K16 Tốn Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm Cơng Bình bạn bè giúp đỡ, động viên nhiều trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn ! H N ộ i , t h n g n ă m Ậ Tác giả Phan Đình Cơng\ Lời cam đoan Dưới hướng dẫn P G S T S H T i ế n N g o n , tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài “ N g h i ệ m c b ả n c ủ a p h n g t r ì n h e l l i p t i c t u y ế n t í n h v i h ệ s ố l c c h m g i ả i t í c h ” hồn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với luận văn khác Trong trình làm đề tài, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn H N ộ i , t h n g n ă m í Tác giả Phan Đình Cơng Mục lục MỞ ĐẦU Chương SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA SÓNG PHANG Một số ký hiệu Khái niệm sóng phẳng Cơng thức biểu diễn hàm số Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng 1 1 Biểu diễn hàm số qua tích phân siêu phẳng Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng với vế phải hàm sóng phẳng 1.4.1 Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski Bài toán Cauchy trường hợp vế phải đồng 1.4.2 Bài toán Cauchy với vế phải hàm sóng phẳng 14 Chương NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL- LIPTIC TUYẾN TÍNH 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Nghiệm 2.1 Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính Định nghĩa nghiệm 2 2.1.3 Xây dựng nghiệm cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đối với số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm chúng nhà tốn học tìm công thức biểu diễn dạng tường minh Luận văn đặt vấn đề mô tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích việc sử dụng cơng cụ sóng phẳng không gian nhiều chiều Với mong muốn tìm hiểu s â u v ề vấn đ ề tác giả chọn đ ề t i : “ N g h i ệ m c b ả n c ủ a p h n g trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích” Bố cục luận văn gồm chương Chương Luận văn trình bày khái niệm hàm sóng phẳng số tính chất Phát biểu chứng minh số định lý công thức biểu diễn hàm số qua hàm sóng phẳng Cũng chương Luận văn trình bày tốn Cauchy cho phương trình elliptic với kiện Cauchy cho siêu phẳng Chương Luận văn trình bày cách xác định nghiệm phương trình elliptic tuyến tính thơng qua việc giải toán Cauchy Chương Đồng thời đưa cơng thức nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Cũng chương Luận văn ứng dụng nghiệm phương trình elliptic tuyến tính để trình bày ma trận nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Luận văn trình bày với sở nội dung chương sách: "Fritz John (1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S , Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin." Mục đích nghiên cứu Đưa cơng thức mơ tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích sở sử dụng phép biểu diễn hàm số qua sóng phẳng khơng gian nhiều chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm sóng phẳng cơng thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng, sau dẫn dắt công thức mô tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tổng quan kết nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Dự kiến đóng góp luận văn Tổng quan nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích cách sử dụng cơng cụ hàm sóng phẳng Chương SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1 Một số ký hiệu • Rn = { X = (xi, X , , X N ) \ X Ị e K , Ỉ = 1, N } • Các chữ X , Y , Z , X , Y , Z , ^ , R } , C thay cho vectơ ( X Ị , , X N ) , ( Y X , , Y N ) , , ( ( Ị , , ( N ) khơng gian N chiều, 71 > Tất chữ khác thay cho biến vơ hướng n • Tích vơ hướng vectơ у ж kí hiệu Y X = yiXị • Độ dài ( X X ) Z vectơ X |xỊ • Phần tử thể tích D X 1, , D X N viết tắt D X , D S X i =1 kí hiệu phần tử diện tích mặt siêu mặt khơng gian N chiều Mặt cầu đơn vị có bán kính với tâm gốc tọa độ không gian X kí hiệu Í Ì X , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị D U J X , • Thể tích hình cầu đơn vị không gian N chiều — ị J N ( \nj • Các phép tính tích phân thực tồn miền biến thiên biến đó, trừ hạn chế khác • Chứng minh hồn thành kí hiệu □ 1.2 Khái niệm sóng phẳng Định nghĩa 1.1 Cho G ( S ) hàm liên tục biến vô hướng S , vectơ Y = ( Y I , , Y N ) ^ cố định thuộc không gian R n Hàm số G ( Y X ) hàm theo biến X = ( X I , , X n) nhận giá trị số siêu phẳng mà vectơ Y pháp tuyến Hàm G ( Y X ) gọi sóng phẳng Định lý 1.1 G i ả s n > , g ( s ) l m ộ t h ầ m l i ê n t ụ c c ủ ã b i ế n v ô h n g s Ta c ó c n g t h ứ c +1 J g { y x ) d u j x = U } n _ J { l - p ) ^ g { \ y \ p ) d p = u j n h { \ y \ ) , (1 ) nx -1 t ro n g đ ó h ( s ) đ ợ c x ấ c đ ị n h b i (1 ), rỉa: l m ặ t c ầ u đ n v ị t ro n g Rn C h ứ n g m i n h Ta tính tích phân G ( Y X ) tồn hình cầu c ó bán kính R với tâm gốc tọa độ cách phân tích hình cầu thành phần thiết diện vng góc với hướng Y Trên mặt phẳng Y X = \ Y \ P có khoảng cách từ gốc \ P \ , hàm G (X Y ) có giá trị G (\ Y \ P ) Phần giao ( N — 1) chiều mặt phẳng với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1) U!n_ -v) n —1 ■ Suy +r J g { y x ) d x = —зуУ { r - p ) ^ g ( \ y \ p ) d p —r |x| K h i c ó đ( cơng thức sau /| í* J \ y x \ h l o g ị y x ị d U a 2^_1Г (*±ỉ) x\k r(*±±) lĩ 2v^_1r ( ^ ) r(s±i) t ro n g đ ó c n ỵ l h ằ n g s ố , T ( t ) l h m M (los Ivl + C « T ) (1.3 ) C h ứ n g m i n h Với G ( S ) = C O N S T = ta có H = 1, từ (1.1) ta suy công thức sau ^ n Í Í - \ _ „2\ — „ = / (1­P ) ’ r (g)r (ầ) r(|) d (1.5 Từ công thức (1.5) suy công thức tiếng 2y/ĩfĩ (1 “”'ĩ(ĩĩ diện tích mặt cầu đơn vị khơng gian N chiều Cho G ( S ) = E I S ta h ( s ) = U } n ~ í ( — p2 )^e i s p d p = 2"I> + 1) ^n J -1 (1 J„ hàm Bessel với số V = Với g(s) = |sỊfc #(s) = Ịs|fclogỊs|, từ (-L1) ta nhận kết tương ứng sau dw 2vy-1r(í±i) t *=- r - - l»l Ị \ Y X \ K log |ỉ/.x| Đ U , = lí/l + □ C N Ỵ số N h ậ n x é t Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên K = N— 1.3 Công thức biểu diễn hàm số 1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng Định lý 1.3 G i ả s f ( x ) ỉ ầ m ộ t h m t h u ộ c l p c \ v ầ b ằ n g k h n g n g o ầ i t ậ p b ị c h ặ n n o đ ó K h ỉ đ ó t ã c ó c ô n g t h ứ c b i ể u d i ễ n sau (A*) ^ J Ị j f ( y ) \ ( y - z ) x \ h d y = 4(2?ĩ i ) n ~ k \ f ( z ) (1.8) với n lẻ vầ k = , , , (Aa)"í* j (/ f { y ) [ { y - z ) x f log |(ỉ/ - z).i| d u j x j d y = - ( i r i Ỵ k \ ị ( z ) (1.9) với n c h ẵ n v ầ k = 0,2,4, ( c h o c ầ n = ) , t ro n g đ ó _n í)2 j =1 J ỉầ toẩn tử Lãpỉace theo biến z C h ứ n g m i n h Ta xét hàm F ( X ) tùy ý thuộc lớp C Ị khơng ngồi tập bị chặn Khi I |2 —n / I I , dy (2 ĩ i ) U J n u ( L °) hàm 2: thuộc lớp Ơ2, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson AZ u ( z ) = f ( z ) Laplace biến Zi, ,z n (1 1 ) Với N = hàm nhân (1.10) thay — log IY — Z \ 2ĩĩ Thật vậy, từ (ỊTTTTỊ) ta có A z u = — ^ w ~ Ị f ( y ) { y i - Zi) I y - z \ ~ n d y ỞZị J i = !r ~ìimnĩ2 / “1 y \ ~ n f ( y + z ) d S v ~ Ị f { y + z ) ^ - { y i \ y \ ~ n ) d y n r — J T J O ĩ Ị ị Ị[ĩ/|=r |ĩ/|>r = — limr [ f(y + z)d S y u n r- > J I y\ = r 1_n = m Việc chứng minh công thức Poisson đưa cách chi tiết, quan trọng cho phần sau, tất phép tính đạo hàm tích phân kỳ dị thực việc đưa đến cơng thức Nó đề cập đến cho phương trình dạng xác định với giả thiết F ( X ) thỏa mãn điều kiện Hổlder Bây ta chọn N chẵn cho đồng thức (1.4), N lẻ cho đồng thức (1.3), thay Y Y — Z , nhân hai vế với F ( Y ) lấy tích phân theo Y (ta giả thiết / thuộc lớp C Ị khơng ngồi tập bị chặn đó) Ta chọn số nguyên K không âm cho N + K số chẵn, áp toán tử A Z vào hai vế đẳng thức cuối N ^ lần Ta k A* \ y - z \ = k ( k + n - ) \ y - z thấy, k N > ta nhận công thức sau on+ỉ-lr f k + \ -p f k + n \ T ' í n \ \y - z\' = - — ( A [2 — n) 7Ĩ (1.12) I , *1 với N lẻ, (AO^Iy-^logly-*! = 2n+fc~2r (***) r (*y) r (f) ( - n) ^_ K 2— ) \y n với N chẵn Từ công thức (|1.3|), (|1.4Ị), (|1.11|) ta có (A.) f(y)\(y - z).x\k dujx j dy= 4(2m)n 1k\f(z) \ với n lẻ K = 1,3, , (A f ( y ) [ ( y - z ) x ] k log I( y - z ) x I d u j x \ d y = - ( ĩ r i ) n k \ f ( z ) với n chẵn K = 0,2, , (cho N = 2), _n í)2 j= tốn tử Laplace theo biến Z 1J □ N h ậ n x é t Về mặt hình thức ta kết hợp cơng thức cho N chẵn N lẻ công thức sau n R f ( y ) [ { y - z)-x\k • \{y z).x i - duix \ dy (1.14) log S kí hiệu nhánh hàm log xác định mặt phẳng phức S với đường cắt dọc theo trục thực âm Công thức fll.8|), (ỊL9Ị) việc biếu diễn hàm F ( Z ) tổ hợp tuyến tính hàm sóng phẳng Z Các hàm sóng phẳng Ở có hai dạng \ ( Y — Z ) X \ K [ ( Y — Z ) X \ K log I(y — Z ) X \ 1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân siêu phẳng Định lý 1.4 G i ả s f ( x ) l ầ m ộ t h ằ m t h u ộ c ỉ p C ị v ầ b ằ n g k h ô n g n g o i t ậ p b ị c h ặ n n ầ o đ ó V i X ẽ Rn, |rc Ị = v p ẽ M t a đ ặ t J{x,p)= Ị f(y)dSy y x = p (1.1 ỉầ tích phẵn f siêu phẳng với phấp tuyến đơn vị X vầ có khoảng cách p (có tính tới dấu) từ gốc Khi ta có cấc cơng thức biểu diễn sau 2(2?ĩ i ) n f ( z ) = ( A z ) " z J J ( x , x z ) d ù j với n lẻ, (1.1 (2ĩri)nf(z) = (Az)r^ẴJdujx Ị dJ p= + oc ^p) (1.1 íĩ* P = - 00 v i n c h ẵ n , t ro n g đ ó p h ẫ n t í c h f ( z ) t h n h c ấ c h ầ m s ó n g p h ẳ n g Chứng minh Theo công thức (1.15) J ( X , P ) = Sử dụng công thức (1.8) cho N lẻ với K = ta có JJf (y)\ (y- z).x\d U l d y = Jd u>, J + 00 |p| dp J" f( y)d S y iỵz fi* (y — z).x=p —oo + 00 = J d ü J x J \ p \ J ( x , p + z x ) d p (1-18) f2 x -00 Ta nhận thấy |x| = + 00 A* J \ p \ J { x , p + z x ) d p — — — Ta nhận từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau — 2(27T Ỉ Ỵ f ( z ) = ( A z ) n z J J ( x , x z ) d u j x — — íL tích phân biểu diễn (ngoại trừ hệ số khơng đổi U )n) đại lượng trung bình tích phân phẳng / mặt phẳng qua điểm Một cơng thức tương tự suy cho N chẵn từ (1.9) — — — với K = Ta ý \ X \ = 1, + 00 +00 Az J log \ p \ J ( x , p + z x ) d p = / (log \p\)Jpp{x,p + z.x)dp — — 00 —00 + 00 = / (log \ p - z x \ ) J p p ( x , p ) d p — 00 + 00 = - —Jp(x,p)dp — — — — — — — J p - z.x 00 p= + 00 = _ f dJ(x,p) J p- x.z — — — p= — oo Hai tích phân cuối hiểu theo nghĩa giá trị Cauchy Giá trị Cauchy tích phân hiểu + — 00 — — — J f { z ) d p = lim J f ( z ) d p ■00 \ p — z x \ > e Khi ta nhận từ (1.9) cho trường hợp N chẵn công thức sau p= + oc (2ĩĩỉ)nf(z) = (Az)r^ẴJdujx Ị dJ^'Ấ — — — — — tìx P=-00 n d2 A Z = > —là toán tử Laplace theo biến ■ * — ' D Z I — 3=1 j □ 1.4 Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng với vế phải hàm sóng phẳng 1.4.1 Bài tốn Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski — Gọi L [ U \ toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp M có dạng "L — — — = , ,71 — k =0 i u - , i k k « (1.19) = X = ( x i , x , ■ ■ , £ n ) € K n — Với £ = (£i, £2J • • • J £n) £ ta xét bậc m sau theo biến £ — đa thức m — — k=0 ỉivíH — = E E ^, 2R , nghiệm cho ^ ^ _ \x-y\ (-l)rr(f-r), i ,y)= n o |2r K x — (2.7) n 22rĩĩn/2r{r) — b) Trường hợp N số chẵn N < R , nghiệm cho — — X K { x , y )- y \ 2r n — (_1)(n-2)/2 ỉog\x - y\ (2.8) 22r_17rn/2(r — 1)! (r — l)! — n với n > K ( x , y ) = ị (2 - n ) w n —- log \ x — y I với n = Z7T — Ví dụ 2.3 Với L = A + A2, A số, ta có 71 — K(X — 'V) = \ \ Ĩ Ị H Ĩ \ ) N V hàm Neumann hay hàm Bessel loại — — — — — 2.1.3 Xây dựng nghiệm cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích — — Trong phần ta xây dựng công thức nghiệm K ( X , Y ) — — — phương trình (2.2) Ta chọn hàm G ( S ) sau — — — g{s) = — s k log( — với N 4/c! (27ri)n_1 is) k\(2pi)n — (2.9 A;!(27rz)r với N chẵn — — — K số nguyên dương K + N số chẵn Chẳng hạn K = với N lẻ K = với N chẵn — — Với hàm G tương ứng với V cho (1.39) ta đặt — — — — — — — — (a-J/)Ễ = - Ị d u j Ệ Ị v p ( x , £ , t + y £ ) g ( t ) d t , õị \ * / I n (2.10 T -iAn hàm V P ( X , £ , P ) xác định Mục 1.4.3 Khi W (X , Y ) xác định với X Y lân cận E điểm gốc tọa — — — — độ, thuộc lớp C M theo X , thỏa mãn phương trình L[W\ = J g({x y).C)du)Ị (2.11 — Khi ta có định lý sau — Định lý 2.1 N g h i ệ m c b ả n c ủ a p h n g t r ì n h (2.2) đ ợ c cho K(x,y) = (n+k) (2.12 W(x,y — t ro n g đ ó k = n c h ẵ n k = n l ẻ , w ( x , y ) đ ợ c xấc định — t ro n g (2 ) — — Để chứng minh định lý trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1 H ằ m W ( x , y ) x ấ c đ ị n h t ro n g (2.10) l h ầ m g i ả i — t í c h t h e o X y v ó i M< — M < §, X ^ Y (2.13) C h ứ n g m i n h Cho X — Y = với ICI = 1, R > — Lấy tích phân phần tích phân bên (2.10), đưa vào biến số S với — T = R S , sử dụng (1.37) ta — — W ( x , y ) = / I v { x , £ , t + y Z ) g ' ( t ) d t — — — =r ,m I rC-ỉ — C-Ỉ d c o , Ị (C.£ - s ) m w { x , £ , r s + y £ ) g ' { r s ) d s — — Ta lấy giới hạn tích phân địa phương độc lập với biến X Y phép — — — — trực giao Cho 77 véc tơ đơn vị cho véc tơ c hạn chế với nửa không gian ( Ĩ ] > Trong trường hợp tương tự (1.31) ta tạo biến số tích phân £' thay cho £ cơng thức — i = í+ - ,20), £'• (C + lcl»ỉ) icr I C K I C I + c.»ĩ) (C + IClr?) = r(í',C) (2.14 — — Đối với c phép trực giao |T(£',£)| = |£'| — Thêm = |£| £'.77 Với |£| = biểu thức W trở thành — W(x,y) = r ())g'(rs)ds — m+1 ev Ị d í ú ự J ( g T Ị - s ) m w ( x , T ( £ ' , ( ) , r s + y T ( g , — — — (2.15) giới hạn không phụ thuộc vào X Y , với X — Y hạn chế nửa không gian (a? — Y ) ] > Hàm W ( X , £ , P ) chứng minh hàm giải tích đối số nó, đối số số thực thỏa mãn Ị;cỊ < £ , IP \ / Ị£| < £ Hàm số T(£', £) hàm giải tích ( (2.14) với £.77 > 0, c số thực, thỏa mãn \ T \ = với — £' ÍỈ£/ Hơn cho S khoảng ước lượng tích — phân \ R S + Y T ( £ ' X ) \ < Ị R G T Ị Ị + \ Y T { £ ' , ( ) \ /2 Như A ' khai triển theo chuỗi lũy thừa r — — 00 A (y + r C : V: r , C) = XI c« (2/’ r“ — a=0 hệ số hàm giải tích y, ( Vì C A dạng việc đạo — — hàm R vế phải (2.28), phụ thuộc vào Ĩ ) , điều dẫn — đến C A ( Y , C) phụ thuộc vào 77 hàm giải tích y, c với \ Y — Z \ đủ nhỏ tất c với ỊC1 = Như với số N lẻ có khai triển K có dạng — 00 m K ( x , y ) = r - " Y í c a ( y, C , ) r \ — — a=0 Trường hợp n chẵn — — Từ ([2^9]), (Ị2.10D, (Ị2.12Ị) với K = ta có (x-y)4 — — K ( x , y ) = (A„) '4"h‘ í — V p { x , £ , t + y £ ) t log d \ t \ (27Ti Ỵ (x-v)-t { Ay ) n / Ị d u ỉ Ị Ị v p { x , £ , t + y O(| + log \ t \ ) ÍÌỊ d (27T Ĩ ) n — — — Dễ thấy số 3/2 đóng góp vào nghiệm quy nghiệm — phương trình vi phân L Ị U ] = 0, bỏ Thực tích phân phần với biến T ta — K(x,y) = Kị(x,y) + K2{x,y) — — (2.2 { ĩ i ) n K { x , y ) = - { A y ) n / Ị v ( x , £ , t + y £) log|(z - y).£\dui( (2.30) — 33 — {x-y)-ỉ ( ĩ r i ) n K { x , y ) = - (Ay Ỵ J d u j ^ Ị — — x , t , t + y -0 - v { x , t , y - Odt t (2.31) K ( X , Y ) hàm giải tích quy theo X Y chí với X — = Y , cho Kị chứa phần kỳ dị K (Hàm K không thiết nghiệm phương trình vi phân L Ị U ] = 0) Đặt X — Y = r£, ta thấy hệ số logr biểu thức K cho — w ( x , y ) = -(2ttỉ) n { A y ) n / J v ( x , £ , y £ ) d u j ị : (2.32) — v ^ n \ x ^ ^ p ) d n v ( x , £ , p ) / d p n — — Nó làm sáng tỏ từ biểu diễn W ( X , Y ) nghiệm quy L [ W ] = 0, hàm lấy tích phân hàm giải tích quy thỏa mãn phương trình vi phân với £, P Phần cịn lại K Ị K khai triển theo chuỗi lũy thừa R với hệ số hàm giải tích quy c Y Như tương tự trường hợp N lẻ, K ( X , Y ) có dạng — — 00 — K ( x , y ) = r m n y ^ c a ( ỵ , ( ) r a + w ( x , y ) l o g r — □ N h ậ n x é t Trong trường hợp N lẻ, từ (1.37) ta có — V P { X , £ , Y Osign[(a; - Y ) G \ — = - |(z - y ) r_ ( m w ( x : £, y £ ) - ( x - y ) £ w p ( x : £, y — £)) — Như có đóng góp cấp R M ~ N sinh việc bỏ qua — hệ số với w việc đặt X — y w (X, £, y.£) Kết hợp với p (2.25) thấy số hạng K với cấp thấp cho J № = — — íì^ Đây hệ số K trường hợp này, L chứa — đạo hàm cấp M có hệ số 2.2 Nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số — Trong phần ta xây dựng cơng thức nghiệm phương trình elliptic (2.2) Trong phần với việc sử dụng kết — ta tìm cơng thức nghiệm K ( X , Y ) xây dựng L C Ó hệ số Cho L có hệ số hằng, ta viết L dạng — (í P đa thức bậc M với hệ số Nghiệm V ( X , £ , P ) L [ V ] = với kiện Cauchy không siêu phẳng X £ = P xác định — — L =p ■■■'£> (2 34) — trường hợp — — — — — (2.35 27T I J A P ( A £ ) c c phần mặt phẳng phức A, bao tất nghiệm mẫu Vì hệ V (x,£,p) số Àm+1 đa thức \ P (À£) dạng đặc trưng Q (£), mà khơng triệt tiêu — — — ÍỈỆ, nghiệm mẫu bị chặn theo £ với Ị£Ị = Như ta chọn c đường trịn |A| = M, M không phụ thuộc vào £ — — — Như biết dạng K ( X , Y ) với N lẻ N chẵn khác Do để thuận tiện ta xét riêng trường hợp N lẻ N chẵn — — — — 2.2.1 Trường hỢp n lẻ — — — Định lý 2.3 C h o L ỉ toấn tử eỉỉiptic tuyến tính với hệ số hằng, với số chiều n lẻ Nghiệm L cho — — K {x,y) (A (n- /r e K x ~y) -ỉ sign [(z - Y ) £] D U S Ỷ P ( dX — (2.36 ) — — H n n ữ a n ế u n < m t h ì v i z = r£ t a c ó — — — K ( x y ) = —7 T7T [ n K ì V> { 227XỈỈ)Ỵ JJ 'K dz Ậ Jĩ (À,z) Ằnd\ p — — Chứng minh Ta có (2.36) hiến nhiên suy từ (2.27) — K (x,y) = (A (n- /r e Kx-y).ị sign [ ( x - y ) ] d ^ ỷ p d — — — Ta chứng minh (2.37) Tích phân chu tuyến (2.36) triệt tiêu cấp M — với ( X — Y ).£ = Theo với N < M phép lấy vi phân tiến hành đưới dấu — tích phân, khơng có đóng góp hàm bước nhảy sign ( X - Y ) Do với N lẻ, N < M ta có — — K {x v) = ’ ĩĩầĩr — sign [(x Ị» -Ị ■ y) -i] ỷ nà íĩị — — — \ ( x - y ) t, Ị» ^ |A|=M Tích phân khơng thay đổi dạng £ À thay — £ —À Theo hai bán cầu ( X — Y ) £ > ( X — Y ) £ < cho ta đóng góp Do — — ’ = K{x v) — 2(ừf ị ** f TẸÕ ŨỊ — — (a:-y).£>0 gA(a : - y ) |A|= — An_1dA Ta viết biểu thức thành dạng, mà bất biến biến đổi — affine — Với N < M ta có gA(a:-y)4 — — — / * ( x - y ) Ẹ f ————A n_1 í/A = ị p (A£) / \X\=M — — e }Ịr : An-1c/A \\\ = M 00 — — — e r gA(s-j/).£ _ ị n X dX p (Af) !/(*-»)■{W = M = I r~2dr ỷí ỉ frr — Gi\ c I \ — 7l/f — 00 — — I V/ /{x-y)-t ^ ldr / ĩ4ĩĩf dx \\\ = M/r - (2 38) — Vì 1/r < I ( X — Y ) £1 < \ X — Y \ , nên ta lấy tích phân c h u tuyến đường trịn bán kính M \ X — Y \ Đặt z = r £, d z = r n ~ d r d u j £ Bằng cách ta thu biểu — diễn — - K ( x , y ) — —7 7—- X n d X v yj ' — 2(27x i ) n — r^r J ( x - y ) z > [ dz Ậ ĩ P{\z) |A| = M — ịx-yị tích phân nửa khơng gian lấy tích phân bán cầu — □ — Hệ 2.1 G i ả s p ỉà t h u ầ n n h ấ t v n ỉầ số l ẻ t h ì t ã có — — K (X , Y ) = — (A ,(n_1)/2 (27T Ỉ ) N (ra — 1)! -Hơn 77, < M T H Ì T Ã C Ĩ íKx-y).^-1 m l(s - ỳ) ■rj\7 71 í K (x,y) = ( M — nì! J (27XỈỴ (m - N ) \ J Ị G R A D Q (77) I — — — — — (2.39 (2.4 Q(TJ)=1 — C h ứ n g m i n h Vì P bậc 771, P = Q — nên ta đánh giá tích phân theo chu tuyến (2.36), thu — '(n—1)/2 f \ ( x - y ) \ m - K ( X , Y ) = — -—p (27Tỉ) (m — 1)! vJ — - (A„) / — Với N < M quy — — K (x'y) = 4(777, - n)!(27Tỉ)n_1 / — [( 3- Y ) - Ữ " "sign(a; - Ị / ) - ĩ Q(í) c/cưí — (2.41) — — Như t (2.37), việc đánh giá tích phân chu tuyến ta K {27ĩi) n ~ (m — n — 1) — í dz (2.4 — ( x - y ) z> Với X — y = r( trở thành — — K{x,y) = —t (2 ' K Ỉ Ỵ ( m — n — 1)! y Q (2) — z.£>l/r Ta lấy vi phân vế theo r Vì bậc K m — n theo r nên ta — — d K / d r — ( m — n ) \ K / r Suy — 2{2iĩi)n~1 (m-n)\K {x,y) = - Ị — (2.43) ( x - y ) z= l — Như K có chất tích phân phẳng hàm / Q Ta — biến đổi thành tích phân mặt Q (77) = Để đạt mục đích ta đặt Z = T Ĩ ) , Ở Q ( T Ị ) = 1, T > Khi = ( x - y ) z = t ( x - y ) ] , = Q (7 ) = t ~ m Q (z ) — Nếu D S Z D S N phần tử mặt tương ứng có góc khối — D U : từ điểm gốc, ta có — du) d S z = \ x — y \ Ị,zỊn d ù ú , d S v = — ị g r a d Q (7 )! |?7 |n 777/ — Do — — dSz _ mtn — \ x - y \ Q ( z ) ị g r a d Q (7 ) — — — v m _ m [(x - y).rị\m ị g r a d Q (7 ) - V Dẫn đến (2.43) thành — — _ — — v, y > (27ú Ỵ - U m - n Ỵ Q { v )=1 K ( X Ỵ ) = _m, Í Kĩ - Ệ J \ g r a d Q ( tj)| - (x-y).ri>0 — — — — m í i Ỵ ~ l ( m — nì! J 4(2ĩ ĩ i Ỵ ( m - n ) \ J ị g r a d Q ( r ] ) \ Q{ 7j)=l l(^ - y ) - — M — N số nguyên lẻ □ N h ậ n x é t Với nghiệm K (X , Y ) cho (2.40), từ — (2.4) với hàm tùy ý F ( Y ) thuộc lớp C \ triệt tiêu bên tập bị chặn, ta có — — — — L (V) / JF — — [ \(X-Y).VRN J Ị G R A D Q (tị)\ Q(V)=1 — — — — — V (2.44) — = — (27T Ì ) N (m — N ) \ F (a:) M — — D Y — — — — Đẳng thức (1.8) xem trường hợp đặc biệt (2.44) — tương ứng với L = A(n+fc)/2 — N h ậ n x é t Cũng biến đỗi biểu thức (2.40) với K thành tích phân khối phần Q ( Ĩ ] ) = 1, sử dụng đặc điểm hàm dấu tích phân, ta m Ị \{x-y)-v\r — K (x,y) — dĩ (27T Ỉ Ỵ ( M — (2.45 QM — — — — 2.2.2 Trường hợp n chẵn Định lý 2.4 C h o L l t o n t e l l i p t ỉ c v i h ệ s ố h ằ n g , v i b i ể u — — — — trưng p lầ vầ số chiều n chẵn Nghiệm L cho K ( x , y ) = - (Ay y — I (2ĩTỈ)n Q - (2.46 — — với m < n, — — — K {x,y) với m > n -I [(X-Y) f l m - " l o g | ( s - ị / ) 4\ (M - N)\ ( XI)N Q ( £ ) (2.47 Chứng minh Theo (2.29),(2.30), (2.31) ta có — K(x,y) = K^x.y) + K2{x,y) — Mặt khác P nên P = Q ta có — — — íĩl - P t v ( x ỉ p ) = ( í,p> ' m\Q(0 — Khi phần quy K K cho — = ^" — ■ l2 J ỉSX rnềf^ I (1 - t ) m - V ì K đa thức bậc < 771, nghiệm L [ K ] — , có — — thể bỏ qua Do từ (Ị2.30D ta có — — m! (27T Ỉ ) n K ( x , y ) = - (Ay ) n / J — d (2.48 < 3( — Trường hợp M < N , với kết (bỏ qua nghiệm quy) ta — K { X , Y ) = - (A„y — (n —m)/2 Í log|(z - Y ) £1 / (2?T Ỉ ) N Q - — — Trong trường hợp ngược lại 777, > N , từ (Ị2.48D phạm vi nghiệm quy — — ta có — — K (.x , y ) = - Ị [ ( x - y ) ■ Z } m - n \ o g \ ( x - y ) g| (m - n ) \ { ' K Ì ) n Q { Ì ) du — — □ N h ậ n xét 2.6 T r o n g ( ) n ế u t a đ ặ t X — y = r ( h ệ s ố c ủ a l o g r triệt tiêu K trường hợp theo X — y có bậc m — n — Nhận xét 2.7 Biểu thức (2.47) viết dạng [ m — n ) \ (27ĩ i Ỵ K [ x , y ) — — r m J — — n log r (ar dù Q ( («r~" — _ r ™—nỊ — log\ u \ Q(ỉ) du (2.49 số hạng log r dạng bậc 777,- 77, X — y nghiệm — quy phương trình vi phân số hạng cịn lại bậc m — n X — y Định lý 2.5 C h o L l t o ấ n t e ỉ ỉ i p t i c v i h ệ s ố h ằ n g , v i — b i ể u t r n g p k h ô n g n h ấ t t h i ế t t h u ầ n n h ấ t số c h i ề u n c h ẵ n , n < m Phần kỳ dị của, nghiệm L cho -2 í D Z , (2.50) KI (27ũ ) n + (x-y).z> [|A| = M |:r —y| — — — AV d — — t ro n g đ ó R (£) l ầ h m t h u ầ n n h ấ t b ậ c - , d n g v i £ Ỷ c h ẵ n đ ố i v i £ ( c h ẳ n g h n R (£) = Q ~ / m (£), v i Q l ầ b i ể u t r n g c h í n h c ủ a L ) v ầ z = r£ P(Xz) — — Chứng minh Khi dựa vào (2.30) ta có phần kỳ dị K cho K (x,y) = — v{n) { x , ^ y £ ) \ o g \ { x - y ) (27r i ) J — — (Các hệ số xuất từ việc lấy vi phân log I( X — Y ) £Ị theo Y — quy kết hợp với K ) - Theo (2.35) ta có A {x-y).£ K1(x,y) = - J l o g \ { x - y ) £ \ Ị |A| = M — — (2ĩ ri ) n + — e x p ^ X^dẰd^ — (2.51) Thay số hạng — log |(ж — У ) £| log IR (£) ( X — Y ) | Vì tích phân khơng thay đổi dạng — £ Л thay — £ —Л, mặt khác điểm với (x — y) £ > tạo đóng góp tương tự trường hợp ( X — — y) £ < Mặt khác n — số nguyên lẻ n — < m — — Do ta có — (2 tti ) n + K ị ( x , y ) /г — е X^dXdco, { х - у ) £> log [ R (0 ( x - у ) £] J — — Цх-у)4 _ — p — |A| = M Với ( X — Y ) £ >0 ta có — — Л J E X / R [log ( R (r£))] R ~ D R — 00 /{x-y)-ỉ — 00 = A J r ~ e x / r ( — logr + log R (£)) d r — — / (x -y) -t — - = (EX{X~Y)4 - l) log [ R (£) ( X - У ) £] - J - — D R — -lds, = e _ l) log [Д ( Ị ) (x - y ) ] - J — — — Như — — (2*)- *, y) = - /