BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ THUẦN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thuần Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Bài toán tựa cân tổng quát loại II” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thuần Mục lục Mở đầu Kiến thức 1.1 1.2 1.3 1.4 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 18 Nón ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Các tính chất ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Tính liên tục tính liên tục theo nón . . . . . . . . 24 1.3.2 Tính lồi tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 29 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị . . . . . 32 1.4.1 Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Định lý Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Định lý Browder-Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . 35 Bài toán tựa cân tổng quát loại II 37 2.1 Phát biểu toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Sự tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Sự tồn nghiệm số toán liên quan . . . . . . 49 2.3.1 Bài toán tựa cân vô hướng loại II . . . . . . . 49 2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II . . . . . . . . . 50 2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II . . . . . . . . 52 2.4 Bài toán tựa cân Pareto tựa cân yếu . . . . . 54 2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ . . . . . . . . . 67 2.6 Sự ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập tập hợp đó. Sự đời tạp chí quốc tế "Set-Valued Analysis" vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển giải tích đa trị. Vai trò giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học công nhận rộng rãi. Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý, toán kinh tế. Có thể nói ứng dụng mà giải tích đa trị đem lại vô to lớn, đặc biệt toán kinh tế. Bài toán điểm cân hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edgeworth Pareto đề xướng từ cuối kỷ 19. Sau nhiều nhà toán học Debreu, Nash, . sử dụng để xây dựng mô hình kinh tế mà năm cuối kỷ 20, nhiều nhà kinh tế giới quan tâm khai thác. Để chứng minh tồn điểm cân mô hình kinh tế, người ta thường sử dụng định lý điểm bất động kiểu Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder, . Sau này, người ta Định lý điểm bất động Browder tương đương với Định lý tương giao hữu hạn tập compắc, Định lý không tương thích Hoàng Tụy Định lý KKM. Như vậy, người ta tìm nhiều phương pháp khác để chứng minh tồn nghiệm toán điểm cân bằng. Năm 1972 Ky Fan năm 1978 Browder-Minty phát biểu toán điểm cân cách tổng quát chứng minh tồn nghiệm với giả thiết khác nhau. Kết Ky Fan nặng tính nửa liên tục trên, kết Browder-Minty nặng tính đơn điệu hàm số. Năm 1991, Blum Oettli phát biểu toán cân tổng quát tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung cho hai. Bài toán phát biểu ngắn gọn là: tìm x¯ ∈ K cho f (¯ x, x) ≥ với x ∈ K , K tập cho trước không gian, f : K × K → R hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ 0. Các tác giả chứng minh tồn nghiệm toán dựa Nguyên lý KKM. Đầu tiên người ta nghiên cứu vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa nón orthant dương. Sau mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển nhu cầu phát triển Toán học lĩnh vực khác. Từ người ta tìm cách chứng minh kết thu từ đơn trị sang đa trị. Nếu cho thêm ánh xạ ràng buộc, toán cân trở thành tựa cân bằng. Bài toán tựa cân nhiều nhà nghiên cứu năm gần đây. Với lý kể chọn đề tài:"Bài toán tựa cân tổng quát loại II" làm luận văn Thạc sĩ mình. 2. Mục đích nghiên cứu Để tìm nghiệm toán trước hết người ta phải biết toán có nghiệm hay không, sau tìm phương pháp tiếp cận nghiệm. Ví dụ, xét toán tối ưu, thông thường người ta đưa điều kiện tổng quát cho việc tồn nghiệm, sau tìm thuật toán để giải. Chính vậy, việc xét tồn nghiệm toán vấn đề quan trọng nghiên cứu toán. Mục đích luận văn trình bày mô hình, nghiên cứu tồn nghiệm ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán dựa yêu cầu thực tế khách quan. Sau tìm điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm nghiên cứu ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tựa cân tổng quát loại II: Sự tồn nghiệm, ổn định tập nghiệm số ứng dụng nó. Sau đó, trình bày mối liên hệ toán với số toán khác lý thuyết tối ưu đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder Định lý KKM việc nghiên cứu toán tựa cân bằng. 6. Giả thuyết khoa học Luận văn nhìn cụ thể lớp toán lý thuyết tối ưu. Trình bày chi tiết tồn nghiệm, ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II ứng dụng toán liên quan. Chương Kiến thức Chương trình bày số không gian thường dùng như: Không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, khái niệm nón, ánh xạ đa trị, tính chất ánh xạ đa trị để phục vụ chứng minh chương sau. Ngoài ra, chương trình bày định lý điểm bất động ánh xạ đa trị, định lý để chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát. Các khái niệm ta tìm thấy Nguyễn Phụ Hy [1], Nguyễn Xuân Tấn [3]. Các khái niệm khác nhắc đến có trích dẫn kèm theo. 1.1 1.1.1 Các không gian thường dùng Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric tập hợp X = ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi metric X , số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần B = {x ∈ D|0 ∈ / F (y, x, t)} = {x ∈ D|G (y, x, t) ⊆ −intC (y, x)} tập mở D. Thật vậy, lấy x0 ∈ B . Vì G (y, x0 , t) compắc −intC (y, x0 ) mở, tồn lân cận V0 gốc Y cho G (y, x0 , t) + V0 ⊆ −intC (y, x0 ) . Từ tính −C (y, .)-liên tục G(y, ., t) nửa liên tục C(y, .) kéo theo tồn lân cận U x0 X cho G (y, x, t) ⊆ G (y, x0 , t) + V0 − C (y, x0 ) ⊆ −intC (y, x0 ) ⊆ −intC (y, x), với x ∈ U . Điều chứng tỏ U ⊆ B B tập mở. n Cho {t1 , ., tn } tập hữu hạn D x = αi ti , αi ≥ i=1 n αi = 1. Ta giả sử, tồn y ∈ K, ∈ / F (y, x, ti ), với i = 0, i=1 1, ., n. Dẫn đến G (y, x, ti ) ⊆ −intC (y, x) với i = 1, ., n. Từ tính C(y, .)-liên tục theo đường chéo biến thứ hai, hay C(y, .)tựa giống lồi theo đường chéo biến thứ hai G(y, ., .) dẫn đến G (y, x, x) = G (y, x, thuẫn với G (y, x, x) n αi ti ) ⊆ −intC (y, x) ta có mâu −intC (y, x). Do đó, tồn j = {1, ., n} cho ∈ F (y, x, tj ) F (y, ., .) ánh xạ KKM, hay F ánh xạ QKKM. Cuối cùng, theo Định lý 2.2.1 với D, P = Pi , i = 1, 2, Q F dẫn đến tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) ∈ F (y, x¯, t) với t ∈ P (¯ x) y ∈ Q (¯ x). Chứng tỏ x¯ ∈ M (y, t) với t ∈ P (¯ x) G (y, x¯, t) −intC (y, x¯) với t ∈ P (¯ x) y ∈ Q (¯ x). Hệ chứng minh. Cho D, K, P, Q xác định Hệ 2.4.1, G : K×D×D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : K × D → 2Y ánh xạ đa trị 64 nón. Trong phần lại, ta chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát Pareto: Tìm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) cho G (y, x ¯, t) −C (y, x¯) \ {0}, với t ∈ P (¯ x), y ∈ Q (¯ x). Trước tiên, ta chứng minh hệ sau. Hệ 2.4.6. Giả sử D, K, P, Q xác định Hệ 2.4.1, G : K ×D ×D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : K ×D → 2Y ánh xạ nón đa trị với G (y, x, x) ∩ C (y, x) = ∅ với x ∈ D. Hơn nữa, giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với t ∈ D, y ∈ K cố định, tập A = {x ∈ D|G (y, t, x) ⊆ −C (y, t)} tập đóng D. (ii) G(y, ., .) C(y, .)-giả đơn điệu mạnh; (iii) G(y, ., .) C(y, .)-lồi theo đường chéo (hay, C(y, .)-tựa giống lồi theo đường chéo) biến thứ ba. Khi đó, tồn x ¯ ∈ D với x¯ ∈ P (¯ x) G (y, t, x¯) ⊆ −C (y, t), với t ∈ P (¯ x) y ∈ Q (¯ x). Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2D F : K × D × D → 2X sau M (y, t) = {x ∈ D|G (y, t, x) ⊆ −C (y, t)} , (y, t) ∈ K × D, F (y, x, t) = x − M (y, t) , (y, x, t) ∈ K × D × D. Với t ∈ D, y ∈ K cố định, A đóng, B = {x ∈ D|0 ∈ F (y, x, t)}. 65 n αi ti , αi ≥ Cho {t1 , ., tn } tập hữu hạn D x = i=1 n αi = 1. Ta giả sử với y ∈ T (x) , ∈ / F (y, x, ti ), với 0, i=1 i = 1, ., n. Dẫn đến G (y, ti , x) −C (y, ti ), với i = 1, ., n. Từ tính C(y, .)-giả đơn điệu mạnh G(y, ., .) kéo theo G (y, x, ti ) ⊆ −C (y, x) \ {0}, với i = 1, ., n. Từ tính C(y, .)-lồi theo đường chéo biến thứ ba, hay C(y, .)-tựa giống lồi theo đường chéo n biến thứ ba G(y, ., ) kéo theo G (y, x, x) = G y, x, αi ti ⊆ −C (y, x) \ {0} ta có mâu thuẫn với G (y, x, x) ∩ C (y, x) = ∅. Do đó, tồn y ∈ Q (x) số j ∈ {1, ., n} cho ∈ F (y, x, tj ). Điều có nghĩa điều kiện (iv) Hệ 2.4.1 thỏa mãn. Theo Hệ 2.4.1, tồn x ¯ ∈ D với x¯ ∈ P (¯ x) cho ∈ F (y, x¯, t) với t ∈ P (¯ x) y ∈ Q (¯ x). Điều chứng tỏ, tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) G (¯ y , t, x¯) ⊆ −C (¯ y , t), với t ∈ P (¯ x) y ∈ Q (¯ x). Hệ chứng minh. Kết hợp Hệ 2.4.6 Bổ đề 2.4.1, ta có tồn nghiệm cho toán tựa cân tổng quát Pareto sau. Hệ 2.4.7. Cho D, K, P, Q xác đinh Hệ 2.4.1, G : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị với G (y, x, x) ∩ C (y, x) = ∅ với x ∈ D y ∈ K . Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với (y, t) ∈ K × D cố định, G (y, ., t) : D → 2Y C(y, .)-hemi liên tục trên; (ii) Với t ∈ D, y ∈ K cố định, tập A = {x ∈ D|G (y, t, x) ⊆ −C (y, t)} tập đóng D; (iii) G(y, ., .) C(y, .)-giả đơn điệu mạnh; 66 (iv) G(y, ., .) C(y, .)-lồi theo đường chéo (hoặc, C(y, .)-tựa giống lồi theo đường chéo) biến thứ ba. Khi đó, toán tựa cân tổng quát Pareto có nghiệm. 2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ Trong phần ta sử dụng kết có phần trước cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ tổng quát với ánh xạ đa trị. Ta biết lý thuyết bất đẳng thức biến phân vectơ bắt đầu Giannessi lên công cụ mạnh cho lớp toán tối ưu vectơ, mở rộng tổng quát theo nhiều hướng khác cách sử dụng phương pháp ý tưởng sáng tạo. Cho L(X, Y ) tập tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y < l, x > kí hiệu giá trị l x, l ∈ L (X, Y ) , x ∈ X . Rõ ràng ta có l, x ∈ Y . Hơn nữa, cho K tập lồi, khác rỗng compắc không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Z , cho D ⊆ X C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị, P : D → 2D Q : D → 2K , G : K × D → 2L(X,Y ) ánh xạ đa trị θ : K × D × D → X ánh xạ phi tuyến. Trong phần này, ta xét toán tựa cân vectơ yếu tổng quát toán tựa cân vectơ Pareto sau đây: 1) Tìm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) G (y, x¯) , θ (y, x¯, t) −C (y, x¯) \ {0} , với t ∈ P (¯ x) , y ∈ Q (¯ x); 2) Tìm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) G (y, x¯) , θ (y, x¯, t) −intC (y, x¯) , với t ∈ P (¯ x) , y ∈ Q (¯ x). Định nghĩa 2.5.1. (i) Với y ∈ K cố định, G (y, .) : D → 2L(X,Y ) (C (y, .) , θ (y, ., .))-giả đơn điệu với x, t ∈ D G (y, x) , θ (y, t, x) −intC (y, x) ⇒ G (y, t) , θ (y, x, t) ⊆ −C (y, t). 67 (ii) Với y ∈ K cố định, G (y, .) : D → 2L(X,Y ) (C (y, .) , θ (y, ., .))-giả đơn điệu mạnh với x, t ∈ D G (y, x) , θ (y, t, x) − (C (y, x) \ {0}) ⇒ G (y, t) , θ (y, x, t) ⊆ −C (y, t). Dễ dàng thấy với y ∈ K , G(y, .) (C (y, .) , θ (y, ., .))-giả đơn điệu (mạnh) ánh xạ F (y, ., .) : D × D → 2Y xác định F (y, x, t) = G (y, x) , θ (y, x, t) C(y, .)-giả đơn điệu (mạnh) phần trước. Các hệ sau tìm thấy [25]. Hệ 2.5.1. Giả sử D tập lồi, compắc, khác rỗng X , P : D → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Hơn nữa, giả sử T : D → 2K ánh xạ semi liên tục với giá trị khác rỗng, θ : K × X × X → X G : K × D → 2L(X,Y ) ánh xạ đa trị C : K×D → 2Y ánh xạ nón đa trị với G (y, x) , θ (y, x, x) ∩C (y, x) = ∅ với x ∈ D thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với t ∈ D cố định, ánh xạ G (y, .) , θ (y, ., t) : D → 2Y C -hemi liên tục trên. (ii) Với x ∈ D, y ∈ K cố định, tập A = {t ∈ D| G (y, x) , θ (y, x, t) ⊆ −C (y, x)} tập đóng D; (iii) Với y ∈ K , G(y, .) (C (y, .) , θ (y, ., .))-giả đơn điệu mạnh; (iv) Với y ∈ K cố định, ánh xạ F (y, ., .) : D × D → 2Y xác định F (y, x, t) = G (y, x) , θ (y, x, t) C(y, .)-lồi theo đường chéo (hay, C(y, .)-tựa giống lồi theo đường chéo) biến thứ hai. Khi đó, tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) 68 G (y, x¯) , θ (y, x¯, t) − (C (y, x¯) \ {0}), với t ∈ P (¯ x) , y ∈ Q (¯ x) . Chứng minh. Chứng minh hệ tương tự Hệ 2.4.2 cách lấy F (y, x, t) = G (y, x) , θ (y, x, t) , (y, x, t) ∈ K × D × D. Hệ 2.5.2. Giả sử D tập compắc, lồi, khác rỗng X , P : D → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị đóng, lồi, khác rỗng. Hơn nữa, giả sử G : K × D → 2L(X,Y ) ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, θ : K × D × D → X ánh xạ phi tuyến C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị với G (y, x) , θ (y, x, x) ∩ C (y, x) = ∅ với x ∈ D, y ∈ K thỏa mãn điều kiện sau (i) Với t ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ G (y, .) , θ (y, ., t) : D → 2Y C -hemi liên tục trên; (ii) Với x ∈ D, y ∈ K cố định, tập A = {t ∈ D| G (y, x) , θ (y, x, t) ⊆ −C (y, x)} tập đóng D; (iii) Với y ∈ K , G(y, .) (C (y, .) , θ (y, ., .))-giả đơn điệu; (iv) Với y ∈ K , ánh xạ F (y, ., .) : D × D → 2Y xác định F (y, x, t) = G (y, x) , θ (y, x, t) C(y, .)-lồi theo đường chéo biến thứ hai. Khi đó, tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) G (y, x¯) , θ (y, x¯, t) −intC (y, x¯), với t ∈ P (¯ x) , y ∈ Q (¯ x). Chứng minh. Chứng minh hệ tương tự Hệ 2.4.4 cách lấy F (y, x, t) = G (y, x) , θ (y, x, t) , (y, x, t) ∈ K × D × D. Chú ý 2.5.1. 1) Nếu với x ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ θ (y, x, .) : D → X liên tục, điều kiện (ii) Hệ 2.4.2 Hệ 2.4.3 thỏa mãn. 69 2) Nếu với x ∈ D, y ∈ K cố định, ánh xạ θ (y, x, .) : D → X tuyến tính, điều kiện (iv) Hệ 2.4.2 Hệ 2.4.3 thỏa mãn. 3) Nếu Y = X ∗ với y cố định, G (.) : D → X ∗ ánh xạ đơn trị hemi liên tục đơn điệu P = D ánh xạ đa trị hằng, Hệ 2.4.2 trở thành: Tồn x ¯ ∈ D cho G (¯ x) , t − x¯ ≥ (tương đương với: G (t) , x¯ − t ≥ 0), với t ∈ D. 2.6 Sự ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát Cho X, Z, D, K, Y, C mục trước. Cho Λ, Γ, Σ không gian tôpô Hausdorff. Cho Pi : D × Λ → 2D , i = 1, 2, Q : D × D × Γ → 2K F : K × D × D × Σ → 2Y . Ta xét toán tựa cân tổng quát phụ thuộc tham số: Tìm x ¯ ∈ P1 (¯ x, λ) cho ∈ F (y, x¯, t, µ) với t ∈ P2 (¯ x, λ), y ∈ Q(¯ x, t, γ). Với λ ∈ Λ, µ ∈ Γ, γ ∈ Σ, ta đặt E(λ) = {x ∈ P1 (x, λ)}; M (λ, γ, µ) = {x ∈ D | x ∈ E(λ) | ∈ F (y, x, t, µ) với t ∈ P2 (x, λ), y ∈ Q(x, t, γ)}. (2.9) Ta tìm điều kiện đủ để M (λ, γ, µ) = ∅. Dưới đây, ta tìm điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm có tính chất ổn định như: Tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục theo nghĩa Berge biến (λ, γ, µ). Định lý 2.6.1. Cho (λ0 , γ0 , µ0 ) ∈ Λ × Γ × Σ giả sử 1) P1 ánh xạ nửa liên tục E(λ0 ) tập compắc; P2 ánh xạ nửa liên tục dưới; 70 2) Q ánh xạ nửa liên tục với ảnh compắc; 3) Tập A = {(y, x, t, λ, γ, µ) | x ∈ E(λ), ∈ F (y, x, t, γ) với t ∈ P2 (x, λ), y ∈ Q(x, t, µ)} đóng. Khi đó, ánh xạ M nửa liên tục đóng (λ0 , γ0 , µ0 ). Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh M đóng (λ0 .γ0 , µ0 ). Ta giả sử M không đóng, tức tồn dãy (xα , λα , γα , µα ) → (x0 , λ0 , γ0 , µ0 ), với xα ∈ M (λα , γα , µα ), x0 ∈ / M (λ0 , γ0 , µ0 ). Ta có xα ∈ E(λα ) với tính đóng E ta suy x0 ∈ E(λ0 ). Do xα ∈ M (λα , γα , µα ) nên ∈ F (yα , xα , tα , µα ) với tα ∈ P2 (xα , λα ), yα ∈ Q(xα , tα ). Mặt khác, (yα , xα , tα ) ∈ D tập compắc nên không tính tổng quát, ta giả thiết yα → y0 , xα → x0 , tα → t0 . Ta có (yα , xα , tα , λα , γα , µα ) ∈ A (yα , xα , tα , λα , γα , µα ) → (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ) nên (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ) ∈ A. Từ đó, ta suy x0 ∈ M (λ0 , γ0 , µ0 ). Ta có mâu thuẫn. Vậy ánh xạ M đóng (λ0 , γ0 , µ0 ). Bây giờ, ta chứng minh ánh xạ M : Λ × Γ × Σ → 2D nửa liên tục (λ0 , γ0 , µ0 ). Thật vậy, giả sử ngược lại, M không nửa liên tục (λ0 , γ0 , µ0 ). Khi đó, tồn tập mở U chứa tập M (λ0 , γ0 , µ0 ) cho dãy {(λα , γα , µα } hội tụ đến (λ0 , γ0 , µ0 ) tồn xα ∈ M (λα , γα , µα ), xα ∈ / U. Do tính nửa liên tục P1 tính compắc E(λ0 ), ta giả thiết xα → x0 x0 ∈ E(λ0 ). Nếu x0 ∈ / M (λ0 , γ0 , µ0 ) tồn t0 ∈ P2 (x0 , λ0 ), y0 ∈ Q(x0 , t0 , γ0 ) để 0∈ / F (y0 , x0 , t0 , µ0 ). (2.10) Vì (xα , λα ) → (x0 , λ0 ), P2 nửa liên tục (x0 , λ0 ), ta suy tồn tα ∈ P2 (xα , λα ), tα → t0 . Vì Q nửa liên tục (x0 , t0 , γ0 ) nên tồn 71 yα ∈ Q(xα , tα , γα ), yα → y0 . Vì xα ∈ M (λα , γα , µα ) nên ta suy ∈ F (yα , xα , tα , µα ). Vì (yα , xα , tα , λα , γα , µα ) → (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ), xα ∈ E(λα ), tα ∈ P2 (xα , λα ), yα ∈ Q(xα , tα , µα ) ∈ F (yα , xα , tα , µα ) A đóng nên ta suy (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ) ∈ A. Điều chứng tỏ x0 ∈ E(λα ); ∈ F (y0 , x0 , t0 , µ0 ), t0 ∈ P2 (x0 , λ0 ), y0 ∈ Q(x0 , t0 , µ0 ). Điều mâu thuẫn với (2.10). Vậy ta suy M nửa liên tục dưới. Vậy định lý chứng minh. Định lý 2.6.2. Ta giả thiết: 1) E ánh xạ đa trị nửa liên tục λ0 ; 2) Q nhận giá trị compắc; 3) Tập A = {(y, x, t, λ, γ, µ) ∈ D×D×D×Λ×Γ×Σ | x ∈ P1 (x, λ), ∈ / F (y, x, t, λ, γ, µ), t ∈ P2 (x, λ), y ∈ Q(x, t, µ)} tập đóng. Khi đó, M ánh xạ đa trị nửa liên tục (λ0 , γ0 , µ0 ). Chứng minh. Ta giả sử M không nửa liên tục (λ0 , γ0 , µ0 ). Tức là, tồn dãy (λα , γα , µα ) → (λ0 , γ0 , µ0 ), tồn x0 ∈ M (λ0 , γ0 , µ0 ) để với xα ∈ M (λα , γα , µα ), xα → x0 . Vì E nửa liên tục dưới, x0 ∈ E(λ0 ), λα → λ0 nên tồn xα ∈ E(λα ), xα → x0 , xα ∈ / M (λα , γα , µα ) (vì ta thấy, dãy thuộc M (λα , γα , µα ) hội tụ tới x0 ). Từ đó, ta suy tồn tα ∈ P2 (xα , λα ), yα ∈ Q(xα , tα , µα ) để 0∈ / F (yα , xα , tα , λα , γα , µα ). 72 Vì Q nửa liên tục với ảnh compắc nên {tα } ⊆ D, {yα } ⊆ K compắc. Ta giả thiết yα → y0 , tα → t0 y0 ∈ Q(x0 , t0 , µ0 ), t0 ∈ P2 (x0 , λ0 ). Ta có (yα , xα , tα , λα , γα , µα ) ∈ A, (yα , xα , tα , λα , γα , µα ) → (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ). Vậy (y0 , x0 , t0 , λ0 , γ0 , µ0 ) ∈ A, tức 0∈ / F (y0 , x0 , t0 , µ0 ), x0 ∈ P1 (x0 , λ0 ), t0 ∈ P2 (x0 , λ0 ), y0 ∈ Q(x0 , t0 , µ0 ). Điều mâu thuẫn với x0 ∈ M (λ0 , γ0 , µ0 ). Vậy định lý chứng minh. Ví dụ 2.1. Ta xét toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số (Phần 7) Mục 2.1): Cho Ω miền mở, giới nội Rn , n ≥ 2, với biên ∂Ω thuộc lớp C . Ta xét toán: Tìm hàm điều khiển (u, γ, µ) ∈ Lp (Ω)×Γ×Σ, < p < +∞ trạng thái tương ứng (y, γ, µ) ∈ W 1,r (Ω) × Γ × Σ làm cực tiểu hàm mục tiêu J(y, u, µ) = L(x, y(x), u(x), µ)dx (2.11) Ω với phương trình trạng thái n − (Dj (aij (x)) .Di y) + h(x, y, γ) = u Ω, y = Γ (2.12) i,j=1 với ràng buộc sau 1) Loại 1: Ràng buộc hỗn hợp gi (x, y(x), u(x), γ) ≤ 0, h.k.n x ∈ Ω, i = 1, ., n; (2.13) 2) Loại 2: Ràng buộc g(x, y(x), γ) ≤ 0, với x ∈ Ω, u(x) ∈ U h.k.n x ∈ Ω; (2.14) 3) Loại 3: Ràng buộc hỗn hợp g(x, y(x), γ) ≤ 0, với x ∈ Ω; fi (x, y(x), u(x), γ) ≤ 0, h.k.n x ∈ Ω, i = 1, ., n. 73 (2.15) Giả sử ta có 1 1 > ≥ − . n r p n (2.16) (u, γ) ∈ W 1,r (Ω) × Γ, (y, γ) ∈ W01,r (Ω) × Γ nghiệm (2.12)  n h(x, y, γ)ϕdx = u, ϕ ∀ϕ ∈ W01,r (Ω). aij Di yDj ϕdx +  Ω  i,j=1 Ω Theo (2.16) Định lý Sobolev Rellich, ta có Lp (Ω) → W 1,r (Ω). Do đó, (u, γ) ∈ Lp (Ω × Γ, phương trình (2.12) có nghiệm (y, γ), y ∈ ¯ W 1,r (Ω) → C(Ω) Ta định nghĩa ánh xạ K(y, u, γ) = Ay + h(., y, γ) − u, Gi (y, u, γ) = gi (., y, u, γ). ¯ , ta định nghĩa ánh xạ Khi gi (., y, u, γ) ∈ C(Ω) φi (y, u, γ) = max gi (x, y(x), u(x), γ). x∈Ω Bài toán (2.13)-(2.15) qui toán: J(y, u, µ), với ràng buộc K(y, u, γ) = 0, φ(y, u, γ) ≤ 0. Ta đặt F (y, u, z, w, µ) = J(y, u, µ) − J(z, w, µ) + R+ ; G(y, u, z, w, γ) = n K(y, u, γ), Π Φi (y, u, γ) − R+ . i=1 Bài toán tương đương với toán: Tìm (¯ y , u¯, γ¯ , µ ¯) ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω) × Γ × Σ cho n y , u¯, γ¯ ), Π Φi (¯ ∈ F (¯ y , u¯, z, w, µ ¯) × K(¯ y , u¯, γ¯ ) − R+ . i=1 74 Tức J(¯ y , u¯, µ ¯) ≤ J(z, w, µ ¯), với z, w ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω), K(¯ y , u¯, γ¯ ) = 0, Φi (¯ y , u¯, γ¯ ) ≤ 0, i = 1, ., m. Ta giả thiết P1 , Q ánh xạ đầu Mục 2.6. Gọi M : Λ × Γ × Σ → W01,r (Ω) × Lp (Ω) ánh xạ nghiệm toán điều khiển tối ưu: Tìm (¯ y , u¯, γ¯ , µ ¯) ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω) × Γ × Σ cho J(¯ y , u¯, µ ¯) ≤ J(z, w, µ ¯), với z, w ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω), K(¯ y , u¯, γ¯ ) = 0, Φi (¯ y , u¯, γ¯ ) ≤ 0, i = 1, ., m, ¯ z ∈ Q(¯ với w ∈ P1 (¯ x, λ), x, w). Muốn M nửa liên tục (hay ) (¯ γ, µ ¯), ta việc tìm điều kiện để tập A Định lý 2.6.1, 2.6.2 đóng. Ví dụ, J hàm số liên tục theo ba biến P1 , Q Định lý 2.6.1, ta dễ dàng A tập đóng. Kết luận chương Trong chương ta nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II, tồn nghiệm số toán liên quan ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát. Các kết có chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [9] [25]. 75 Kết luận Luận văn đưa cách nhìn quán vị trí toán tựa cân tổng quát lý thuyết tối ưu đa trị. Cụ thể, cho thấy điều kiện đủ để toán có nghiệm, ổn định tập nghiệm toán tựa cân tổng quát quan hệ với toán khác lý thuyết tối ưu vectơ. Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thuần 76 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật. [2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục. [3] Nguyễn Xuân Tấn - Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, NXB Giáo dục. [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh [6] J. P. Aubin, A. Cellina (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, Berlin, Germany. [7] C. Berge, Topological Spaces (1997), Dover Publications, NY. [8] M. Bianchi and R. Pini, Coercivity conditions for equilibrum problems, J. Optim. Theory Appl., 124 (2005), 79-92. [9] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2011), On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrum problems of type II and related problems, Adv. Nonlinear Var. Inequal., 13 (2011), 29-47. 77 [10] Truong Thi Thuy Duong - Nguyen Xuan Tan (2012), On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrum problems, Journal of Global Optimization 52(4), 711-728. [11] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2010), On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrum problems of type I and related problems, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13(1), 29-47. [12] K. Fan, A minimax inequality and application in Inequalities III, O. Shisha (Ed), Acad. Press, New-York, 1972. [13] Y.P. Fang and N.J. Huang, Existence results for generalized implicit vector variational inequalities with multivalued mappings, Indian J. Pure Appl. Math., 36(2005), 629-640. [14] F. Ferro (1991), Minimax Type Theorem for Vector-Valued Functions, Part 2, Journal of Optimization Theory and Application, 68, 35-48. [15] K. Fan, A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem, Math. Ann. 142(1961), 305-310. [16] N. Hadjisavvas, Continuity and maximality properties of pseudomonotone operators, J. Covex Anal., 10(2003), 465-475. [17] S. Park, Fixed points and quasi-equilibrum problems, Nonlinear Oper. Theory. Math. and Com. Model., 32(2000), 1297-1304. [18] L.J.Lin and N.X. Tan, On quasivariational inclusion problems of type I and related problems, J. Global Optim., 39(2007), 393-407. [19] D.T. Lục, Theory of vector optimization, Lect. Notes in Eco. and Math. Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, 319(1989). 78 [20] D.T. Luc and N.X. Tan, Existence conditions in variational inclusion with constraints, Optimization, 53(2004), 505-515. [21] D.T.Luc, An abstract problem in variational analysis, J. optim. Theory Appl., 138(2008), 65-76. [22] N.B.Minh and N.X.Tan, Some sufficient conditions for the existence of equilibrum points concerning multivalued mappings, Vietnam J. Math., 28(2000), 295-310. [23] N.B. Minh and N.X. Tan, On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type, Adv. Nonlinear Var. Inequal., 8(2005), 1-16. [24] B. Knaster, K. Kuratowski and S. Mazurkiewicz, EinBeweis des Fixpunktsatzes fur n-Dimensionale Simplexe, Fund. Math. 14(1929). [25] Nguyen Xuan Tan - Nguyen Thi Quynh Anh (2011), Generalized Quasi-Equilibrium Problems of Type II and Their Application, Vietnam Journal of Mathematics 39:2 (2011) 191-215, Vietnam. [26] N.X. Tan, On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems, J. Optim. Theory Apply., 123(2004), 619-638. [27] N. X. Tan (1985), Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff spaces, Math. Nachrichten, 122, 231-245. [28] N.C. Yannelis and N.D. Prabhaker, Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces, J. Math. Eco., 12(1983), 233-245. 79 [...]... tính Từ khái niệm ấy ta đưa ra các định nghĩa về điểm hữu hiệu của một tập hợp, 19 tính liên tục, tính lồi và tính Lipschitz của ánh xạ theo nón, điểm tối ưu của bài toán tối ưu véctơ, điểm cân bằng của bài toán cân bằng véctơ và nhiều bài toán khác nhau liên quan đến hàm véctơ Định nghĩa 1.2.1 [3] Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu: tc ∈ C với... (αx1 + (1 − α) x2 ) ⊆ F (x2 ) − C Các khái niệm C -lồi trên (dưới) hay C -tựa giống như lồi trên (dưới) là dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được nói đến trong một số tài liệu Ferro [14, Mệnh đề 4.2] đã đưa ra ví dụ 30 để chỉ ra rằng, ánh xạ đa trị C -lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C -tựa giống như lồi trên (dưới) Dưới đây cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón với... A Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục Định lý 1.1.6 Cho f là ánh xạ đi từ không gian metric X vào không gian metric Y , ba điều sau tương đương: (i) f liên tục; (ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong X ); (iii) Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X ) Định nghĩa 1.1.13 A được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu ∃k > 0 : d (A(x), A(y)) ≤ kd(x, y) • k = 1: f... điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được ký hiệu là IM in(A|C) hoặc IM inA ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C) Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là P M in(A|C) hoặc đơn giản hơn là M in(A|C) hoặc M inA iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi intC = ∅ và C = Y ) của A 21 đối với nón... là liên tục trên, dưới thay vì nói 0-liên tục trên, dưới Và F là liên tục khi và chỉ khi nó đồng thời liên tục trên và liên tục dưới; (ii) Nếu F đồng thời là C -liên tục trên và C -liên tục dưới tại (¯, x, t), ta y ¯ ¯ nói rằng F là C liên tục tại (¯, x, t); y ¯ ¯ (iii) Nếu F là C -liên tục trên, dưới, tại mọi điểm thuộc domF , ta nói rằng nó là C -liên tục trên D Mệnh đề 1.3.4 [11] Cho F : K × D ×... từ D ⊂ X vào 2Y , Y là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C (i) F được gọi là C -tựa giống như lồi trên (upper C -quasi-convex-like) trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1], hoặc F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α) x2 ) + C , hoặc F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α) x2 ) + C (ii) F được gọi là C -tựa giống như lồi dưới (lower C -quasi-convex-like) trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1],... Hausdorff Định nghĩa 1.1.27 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ ⊆ P(X) các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ; (iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô Định nghĩa 1.1.28 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực... xạ đa trị Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị Ta nói rằng: (i) F là (Q, C) -tựa giống như lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với mọi tập hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , , xn } tồn tại chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C (y, x), với mọi y ∈ Q (x, xj ); (ii) F được gọi là (Q, C) -tựa giống như lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với mọi tập hữu... hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , , xn } , x = n n αj xj , αj ≥ 0, j=1 αj = 1, sao cho j=1 n αj F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C (x) , j=1 n (tương ứng, F (x, x) ⊆ αj F (x, xj ) − C (x) ) j=1 (ii) F được gọi là C -tựa giống như lồi trên theo đường chéo (tương ứng, dưới) đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ n co {x1 , , xn } , x = n αj xj , αj ≥0, j=1 αj = 1, tồn tại chỉ số... (α) = F (αx + (1 − α) t) là nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) Khái niệm của C -hemi liên tục đã được giới thiệu bởi Bianchi và Pini [8] và bởi Hadjisavvas [16] với ánh xạ đơn trị trong nội dung của bài toán bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.3.6 [11] Cho F : K × D × D → 2Y là ánh xạ đa trị và C là ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là nón) (i) F được gọi là C -liên tục trên (hoặc C -liên . trở thành tựa cân bằng. Bài toán tựa cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài:" ;Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II& quot; làm. của một số bài toán liên quan . . . . . . 49 2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II . . . . . . . 49 2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II . . . . . . . . . 50 2.3.3 Bài toán tựa quan. 50 2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II . . . . . . . . 52 2.4 Bài toán tựa cân bằng Pareto và tựa cân bằng yếu . . . . . 54 2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ . . . . . . . .