BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ NỤ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO MIỀN HARTOGS TRONG KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Lê Tài Thu HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, thầy tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô khoa Toán, phòng Sau đại học giúp đỡ suốt trình nghiên cứu học tập. Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho trình học tập hoàn thành luận văn. Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới người thân gia đình, luôn quan tâm, khích lệ tin tưởng vào trưởng thành tác giả. Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Dương Thị Nụ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức” hoàn thành hướng dẫn TS. Lê Tài Thu thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận văn. Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Dương Thị Nụ Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1. Khái niệm độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Tính chất độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Hàm nửa liên tục hàm đa điều hoà . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2. Hàm đa điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1. Định nghĩa tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2. Tính chất tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5. Điều kiện lồi - đĩa yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình với giá trị miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Một số tính chất thác triển miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . 28 29 2.2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs qua tập đa cực đóng có độ đo Hausdorff không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức. Những kết lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà toán học Hartogs, Riemann, Cartan, Oka, Grauert,. . . Ngày nay, nhiều nhà toán học giới tiếp tục quan tâm đến vấn đề cách tiếp cận khác nhằm giải toán đặt lĩnh vực đó. Trong năm trước việc thác triển ánh xạ chỉnh hình khảo sát theo hướng thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình. Thác triển ánh xạ qua tập mỏng, chẳng hạn qua siêu mặt qua tập đa cực. Cùng với phát triển mạnh mẽ lý thuyết đa vị nhà toán học quan tâm đến toán thác triển ánh xạ chỉnh hình tách biến, mở đầu theo hướng nghiên cứu Shiffman, sau Alehyane, Lê Mậu Hải,. . . Sau Kobayashi xây dựng giả khoảng cách Kobayashi không gian phức đưa khái niệm không gian hyperbolic nhiều nhà toán học chứng minh định lý quan trọng thác triển qua tập mỏng, kể Kobayashi, Kwack, Riermann, Sibony, Noguchi, Đỗ Đức Thái,. . . Trong đề tài này, tập trung vào nghiên cứu tính chất thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức. Giả sử ϕ hàm nửa liên tục trên không gian phức X. Miền Ωϕ (X) xác định bởi: Ωϕ (X) = {(z, ω) ∈ X × C : |ω| < e−ϕ(z) } ⊂ X × C gọi miền Hartogs. Việc nghiên cứu tính chất thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs đạt nhiều kết quả. Tuy nhiên nghiên cứu theo hướng sau đây. Tìm điều kiện ϕ X cho ánh xạ chỉnh hình từ ∆n \S vào Ωϕ (X) thác triển chỉnh hình lên ∆n , S tập giải tích tập đa cực tập cực đóng đa đĩa đơn vị ∆n Cn . Trong đề tài đặt vấn đề khác đi. Giả sử ta cho ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \S vào miền Ωϕ (X), S tập đóng với độ đo Hausdorff chiều d không. Chúng muốn tìm điều kiện thân ánh xạ f để ánh xạ f thác triển lên ∆n . Với mong muốn tìm hiểu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình định hướng thầy hướng dẫn. Chúng chọn đề tài “Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức ” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn gồm chương: Chương Trình bày khái niệm hàm chỉnh hình, độ đo Hausdorff, khái niệm hàm liên tục trên, hàm đa điều hoà dưới, tập đa cực đa đĩa đơn vị điều kiện đĩa lồi - yếu. Chương Nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức. Nội dung chương nghiên cứu điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình cho trước với giá trị thuộc miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều thác triển được. 2. Mục đích nghiên cứu • Đưa điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \S vào miền Hartogs Ωϕ (X) không cgian phức hữu hạn chiều S tập đóng với độ đo Hausdorff chiều d không thác triển lên ∆n . • Đưa ví dụ để điều kiện đủ đặt bỏ “gần như” đòi hỏi cần thiết. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài đưa điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \S vào miền Hartogs Ωϕ (X), S tập đóng với độ đo Hausdorff chiều d không thác triển lên ∆n . 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức. • Phạm vi nghiên cứu đề tài thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều. 5. Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đề tài vận dụng cách linh hoạt kiến thức biết hàm chỉnh hình, giải tích phức hyperbolic. Nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs không gian phức. 6. Đóng góp luận văn Đề tài đưa điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \S vào miền Hartogs Ωϕ (X), S tập đóng với độ đo Hausdorff chiều d không thác triển lên ∆n . Sau đưa ví dụ để điều kiện đủ đặt đòi hỏi cần thiết. Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương trình bày số kiến thức để phục vụ cho nội dung luận văn. Trong chương này, trình bày số khái niệm hàm chỉnh hình, độ đo Hausdorff, hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hoà dưới, tập đa cực điều kiện đĩa lồi - yếu không gian phức. Các kết sử dụng chủ yếu tài liệu sau: ([1], [2], [4], [5], [7]). 1.1. Hàm chỉnh hình Giả sử D miền Cn . Hàm f : D → C gọi khả vi điểm z ∈ D theo nghĩa giải tích thực (R2n - khả vi) tức tồn vi phân df = ∂f ∂f dx1 + . + dx2n ∂x1 ∂x2n Khi đưa vào biến phức zν z ν theo công thức xν = zν − z ν zν + z ν , xn+ν = 2i Khi (1.1) viết dạng df = ∂f ∂f ∂f ∂f dz1 + . + dzn + dz n + . + dz n , ∂z1 ∂zn ∂z ∂z n ν = 1, , n. Đặt: ∂f = ∂zν ∂f ∂f −i ∂xν ∂xn+ν ∂f = ∂z ν ∂f ∂f +i ∂xν ∂xn+ν (1.1) Định nghĩa 1.1. Hàm f xác định lân cận điểm z ∈ Cn gọi khả vi điểm theo nghĩa giải tích phức (Cn - khả vi), R2n - khả vi điểm này. ∂f = 0, (ν = 1, ., n) ∂z ν (1.2) tức vi phân có dạng: df = ∂f ∂f dz1 + . + dzn ∂z1 ∂zn (1.3) Định nghĩa 1.2. Hàm Cn - khả vi lân cận cuả điểm z ∈ Cn gọi hàm chỉnh hình điểm z . Hàm chỉnh hình điểm tập mở Ω ⊂ Cn gọi chỉnh hình Ω. Tổng tích hai hàm Cn - khả vi điểm z ∈ Cn Cn - khả vi điểm đó, tập hợp tất hàm khả vi điểm lập thành vành. Đặc biệt hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn lập thành vành, kí hiệu H (D). Dưới nhắc lại số tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến. Xét điều kiện (*) sau đây: Hàm f liên tục miền D ⊂ Cn theo tập hợp biến điểm z ∈ D, hàm f chỉnh hình theo tọa độ. (*) Chú ý: Sau chứng minh định lý Hartogs cổ điển tính liên tục hàm f suy từ tính chỉnh hình theo biến. Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (*) đa tròn đóng U = {z ∈ Cn : |zν − aν | ≤ rν }, điểm z ∈ U hàm f biểu diễn dạng tích phân bội Cauchy f (z) = (2πi)n f (ζ) dζ1 . . . dζn , (ζ1 − z1 ) . . . (ζn − zn ) Γ (1.4) 33 Theo giả thiết: < r2 < 1, ta có tập hợp sau compact ∆2 K = ∆2 \Ω1 ∩ |z2 | ≤ + r2 Do r1 = max |z1 | < (z1 ,z2 )∈K tập: δε (z) = ε|z1 |2 − |z2 |2 Tồn điểm z0 = z10 , z20 cho δε z = maxK δε với ε đủ nhỏ ta có: |ε| r12 − + r2 < −r22 , z ∈ K\ |z2 | = + r2 Khi đó tồn lân cận V z0 cho V ∩ Ω1 = V \K. Với f (0) ∈ K f (D (0, r) \ {0} ⊂ V \K) với r > đủ nhỏ. Chúng tổng quát lại sau: f (z) = z10 + z 20 ζ, z20 + εz 01 ζ (2.8) Bằng tính toán sơ cấp cho ta được: δε (f (ζ)) = δε z + ε|ζ|2 z20 − ε z10 > δε z (2.9) Với ε > đủ nhỏ (z10 , z20 không phụ thuộc vào ε r22 − εr12 > 0). Như bổ đề chứng minh. Bổ đề 2.3. Nếu Ωϕ (X) có tính chất ∆∗ − EP ϕ ∈ / P SH (X) tồn Ω ⊂ C2 có tính chất ∆∗ − EP Ω không giả lồi. Kí hiệu không gian Ha (∆) hàm đa điều hoà đĩa. Chứng minh. ¯ X với điều Trên thực tế, ϕ ∈ P SH (X). Nếu ∀f ∈ Hol ∆, ¯ cho: kiện ∀u ∈ Ha (∆) ∩ C0 ∆ ϕ ◦ f eiθ ≤ u eiθ , ∀θ ∈ R (2.10) 34 Thì ϕ ◦ f (0) ≤ u (0) (2.11) Theo kết sử dụng định lý J. E. Fornaess R. Narasimhan tính chất hàm đa điều hoà không gian phức có đầy đủ tính chất giải tích thực (xem ví dụ [2]. Định lý 1.6.3, Tr 16). ¯ X , ∀u ∈ Ha (∆) ∩ C0 ∆ ¯ Giả sử ϕ ∈ / P SH (X) ∀f ∈ Hol ∆, cho: ϕ (f (0)) > u (0) , ϕ f eiθ ≤ u eiθ , ∀θ ∈ R (2.12) Cho: Ω = {(z, w) ∈ ∆ × C : (f (z) , w ∈) ∈ Xϕ } = (z, w) ∈ ∆ × C : |w| < eϕ◦f (z) = ∆ϕ◦f (2.13) ϕ ◦ f không đa điều hoà, theo kết cổ điển miền Hartogs Ω giả lồi. Như ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.1. Ω có tính chất ∆∗ − EP . Chứng minh. . Cho h ∈ Hol (∆∗ , Ω) , h (ξ) = (h1 (ξ) , h2 (ξ)). Ta có h1 (ξ) ∈ ∆ với ξ, h1 (ξ) thác triển lên h1 ∈ Hol (∆, ∆). Ánh xạ ξ → (f ◦ h1 (ξ) , h2 (ξ)) chỉnh hình từ ∆∗ đến Ωϕ (X), ξ thác triển lên F ∈ Hol (∆, Ωϕ (X)). Cho F (ξ) = (F1 (ξ) , F2 (ξ)). F2 tác động lên h2 . Xem xét lại ta có h = f h1 (0) h1 , F2 ∈ Hol (∆, Ω) < e−ϕ(F2 (0)) . Tại : f h1 (0) = lim |f (h1 (ξ))| = ε→0 lim |F (ξ)| = |F1 (0)| < e−ϕ(F (0)) ε→0 (2.14) 35 Vì F ∈ Hol (∆, Ωϕ (X)). Như ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.2. Giả sử X không gian phức. X gọi có tính chất n − P EP (n − P P EP , (n, d) − EP ) với tập đóng A ⊂ ∆n cực (tập đa cực, độ đo Hd hữu hạn địa phương), với ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \A đến X tồn ánh xạ f ∈ Hol (∆n , X) (trong ∆ = {z ∈ C : |z| < 1}) cho f ∆n \A = f , với n ≥ d thoả mãn 2n − < d < 2n − 1. Định lí 2.2. Giả sử Ωϕ (X) có tính chất n − P EP (n − P P EP , (n, d) − EP ) X có tính chất n − P EP (n − P P EP , (n, d) − EP ), ϕ ∈ P SH (X) ϕ (z) > −∞, ∀z ∈ X. Chứng minh. . Được suy trực tiếp định lý (2.1), ý tính chất thác triển định nghĩa có tính chất ∆∗ − EP (trong trường hợp n ≥ 2, cho ánh xạ f ∈ Hol (∆∗ , X)), xác định đơn giản F ∈ Hol (∆n \ {z1 = 0} , X) cho F = (z1 , ., zn ) = f (z1 ) Để chứng minh điều ngược lại ta mở rộng kết thác triển sau (xem [11], Định lý 1, (d)) Định lí 2.3. Giả sử A tập đóng tập mở Ω ∈ Gn f ∈ Hol (Ω\A). Cho < p < ∞ p có số mũ liên hợp p + p = . Nếu f ∈ Lploc (Ω) H2n−d (A) hữu hạn địa phương, f ∈ Hol (Ω). Với n ≥ 1, 2n − < d < 2n − 1, đặt p = 2n − d p số mũ liên hợp p . Cho ánh xạ h = (h1 , h2 ) ∈ Hol (∆n \A, Ωϕ (X)), h1 thác triển lên h1 ∈ Hol (∆n , X) tính chất thác triển X. Mà pϕ ◦ h1 36 hàm đa điều hoà hữu hạn. Vì khả tích địa phương, |h2 | ≤ e−ϕ◦h1 thoả mãn tất giả thuyết định lý Harvey Polking. Nếu A tập cực, theo kiến thức cổ điển Hd (A) = với d > 2n − 1. Chúng ta có kết mở rộng sau (xem [12]): Định nghĩa 2.3. Không gian phức X gọi tính chất thác triển qua tậ p đa cực đóng (viết tắt X- có tính chất (P EP )) ánh xạ chỉnh hình f : Z\S → X thác triển ánh xạ chỉnh hình Z, S tập đa cực đóng miền Z không gian phức. Định lí 2.4. Giả sử X không gian giải tích phức ϕ : X → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên X. Miền Ωϕ (X) có tính chất (P EP ) X có tính chất (P EP ) ϕ (z) > −∞ với z ∈ X. Chứng minh. Giả sử Ωϕ (X) có tính chất (P EP ). Vì X đẳng cấu với không gian đóng Ωϕ (X) nên X có tính chất (P EP ). Do X không chứa đường thẳng phức nên ϕ (z) > −∞ với z ∈ X. Bây ta chứng tỏ ϕ hàm đa điều hoà X. Thật vậy, giả sử σ ∈ Hol (∆, X) g = (g1 , g2 ) ∈ Hol (∆∗ , Ωϕ◦σ (X)) ∆∗ = ∆\ {0}. Do ∆ có tính chất thác triển ∆∗ - thác triển nên g1 ∈ Hol (∆∗ , ∆) thác triển thành ánh xạ chỉnh hình g1 : ∆ → ∆. Ánh 37 xạ chỉnh hình θ : Ωϕ◦σ (∆) → Ωϕ (X) cho bởi: θ (x, λ) = (σ (x) , λ), với (z, λ) ∈ Ωϕσ (∆) Mặt khác, giả thuyết Ωϕ (X) có tính chất (P EP ) nên Ωϕ (X) có tính chất ∆∗ thác triển, f = θ ◦ g thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f = f1 , f2 : ∆ → Ωϕ (X). Dễ thấy f1 |∆∗ = σ ◦ g1 Điều chứng tỏ f1 = σ ◦ g1 . Vì vậy: g (x) = g1 (x) , f2 (x) , với z ∈ ∆ thác triển chỉnh hình g. Vì Ωϕ◦σ (∆) miền C2 . Vì Ωϕ◦σ (∆) miền giả lồi. Theo kết J. E. Fornaess R. Narasimhan (xem [4]) ta có ϕ ◦ σ ∈ SH (∆), ϕ hàm đa điều hoà X. Ngược lại, giả sử X có tính chất (P EP ) ϕ đa điều hoà với ϕ (x) > −∞ với x ∈ X. Giả sử rằng: f = (f1 , f2 ) : Z\S → Ωϕ (X) ánh xạ chỉnh hình, Z tập mở không gian phức S tập đa cực đóng Z. Theo kết S.Dineen (xem [3]) giả sử B ∼ = Cn , X có tính chất (P EP ) nên f1 : Z\S → X thác triển thành ánh xạ f1 : Z → X Cho z0 điểm tuỳ ý S. Do ϕ f1 (z0 ) > −∞ nên theo kết L. H¨omander (xem [6]) e−aϕ khả tích f1 (z0 ) với a > 0. Chọn lân cận U z0 cho: e−3ϕ◦f1 (x) dz < +∞ U 38 Từ |f2 (z)|3 < e−3ϕ◦f1 (z) với z ∈ U \S. Suy f2 ∈ L3loc (U ). Mặt khác, H2n− 32 (S) = (xem [8]), f2 thác triển chỉnh hình f2 U . Do f thác triển lên hàm chỉnh hình f = U → X × C. Do f = (f1 , f2 ) ∈ Hol (Z\S, Ωϕ (X)) nên log |f2 (z)| + ϕ (f1 (z)) < với z ∈ U \S. Theo nguyên lý môđun cực đại có: log f2 (z) + ϕ f1 (z) < 0, với x ∈ U Vì f : U → Ωϕ (X). Do z0 điểm tuỳ ý nên f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ Z vào Ωϕ (X). 2.2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs qua tập đa cực đóng có độ đo Hausdorff không Trong phần trình bày điều kiện đủ để thác triển ánh xạ chỉnh hình từ ∆n \S vào miền Hartogs Ωϕ (X) S tập đóng đa đĩa mở ∆n Cn với Hd (S) = 0. Định nghĩa 2.4. Giả sử ∆n đa đĩa mở Cn d số thực cho < d < 2n − 1. Không gian phức X gọi có tính chất d- thác triển (viết tắt X có tính chất d − EP ) với tập đóng S ∆n với Hd (S) = ánh xạ chỉnh hình f : ∆n \S → X tồn ánh xạ chỉnh hình f : ∆n → X cho f ∆n /backslashS =f Định nghĩa 2.5. . (i) Miền Ω ∈ Cn gọi siêu lồi tồn hàm vét cạn đa điều hoà liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) (tức tồn hàm đa điều hoà liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) cho {z ∈ Ω; ρ (z) < c} tập compact tương 39 đối Ω với c ∈ (−∞, 0)) (ii) Miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi siêu lồi chặt tồn miền bị chặn Ω hàm đa điều hoà liên tục ρ : Ω → (−∞, 1) cho Ω = z ∈ Ω; ρ (z) < , ρ hàm vét cạn Ω với số thực c ∈ [0, 1] tập mở Ω = z ∈ Ω; ρ (z) < c liên thông Dưới lớp không gian có tính chất d − EP . Mệnh đề 2.2. Mỗi miền siêu lồi chặt CN có tính chất d − EP . Đặc biệt đĩa đơn vị mở ∆ C có tính chất d − EP . Chứng minh. Giả sử Ω miền siêu lồi chặt CN f : ∆n \S → Ω ánh xạ chỉnh hình, S tập đóng ∆n với Hd (S) = 0. Đặt f = (f1 , f2 , ., fN ). Khi theo đinh lý (1.7), fj thác triển thành hàm chỉnh hình fj : ∆n → C. Khi ánh xạ f = f1 , f2 , ., fN ∈ Hol ∆n , Ω . Giả sử ρ hàm vét cạn đa điều hoà liên tục Ω cho Ω = z ∈ Ω : ρ (z) < Ω lân cận bị chặn Ω CN . Ta đặt h = ρ ◦ f h đa điều hoà ∆n . Do ρ liên tục Ω nên ρ ≤ Ω, h ≤ ∆n . Giả sử tồn z0 ∈ S cho f (z0 ) ∈ ∂Ω. Khi h (z0 ) = theo nguyên lý cực đại suy h ≡ ∆n . Do mâu thuẫn nên ta có f ∈ Hol (∆n , Ω). Như định lý chứng minh. Định lí 2.5. Giả sử d số thực cho < d < 2n − 1. Giả sử X không gian phức có tính chất d − EP , ρ mêtric Hermitian 40 ϕ hàm đa điều hoà X. Giả sử S tập đóng ∆n với Hd (S) = 0. Giả sử f = (f1 , f2 ) : ∆n \S → Ωϕ (X) ánh xạ chỉnh hình thoả mãn: (i) lim sup (ε log ρ (z, a) − ϕ (z)) < ∞ với a ∈ X ε > 0; z→a (ii) Ánh xạ f1 không ∆n \S. Khi f thác triển chỉnh hình lên ∆n . Chứng minh. Do giả thuyết, f1 thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f1 ∈ Hol (∆n , X). Chúng ta cần chứng minh f2 thác triển thành ánh xạ ∆n . Giả sử z0 ∈ S điểm bất kì. Chọn lân cận đủ nhỏ U f1 (z0 ) X cho U đẳng cấu với tập giải tích hình cầu mở Cm . Không tính tổng quát, giả sử U ⊂ Cm . Đặt W = f1−1 (U ), h (z) = f1 (z) − f1 (z0 ) = (h1 (z) , ., hm (z)) , ∀z ∈ W (2.15) hj chỉnh hình W . Do f1 khác nên h ≡ W . Không làm tính tổng quát giả sử h1 ≡ W . Khi theo ([9]), tồn C p > cho: |h1 (z)| ≥ Cρ (z, Zerh1 )p (2.16) với z thuộc lân cận z0 W , Zerh1 tập không điểm h1 . Do giả thuyết d < 2n − nên tìm r > cho 2n − p+r p+r−1 ≥ d. Lấy ε > cho εp (p + r) < 1. 41 Mặt khác từ giả thuyết, tồn δ > cho ε log ρ z, f1 (z0 ) − ϕ (z) < +∞ với z ∈ U ρ z, f1 (z0 ) < δ. Không giảm tính tổng quát, giả sử ε log ρ z, f1 (z0 ) −ϕ (z) < với z ∈ U ρ z, f1 (z0 ) < δ. Điều tương đương với: e−ϕ(z) < (2.17) ε ρ z, f1 (z0 ) với z ∈ U cho ρ z, f1 (z0 ) < δ. Chọn lân cận W1 z0 W cho: ρ f1 (z) , f1 (z0 ) < δ, ∀z ∈ W1 (2.18) Khi đó, với z ∈ W1 \S, có: |f2 (z)| < e−ϕ(f1 (z)) < ε ρ f1 (z) , f1 (z0 ) ≤ 1 ε ≤ |h1 (z)| C ε ρ (z, Zerh1 )εp (2.19) Từ bất đẳng thức suy f2 ∈ Lp+r loc (W1 ). Giả sử p số mũ liên hợp p + r, điều có nghĩa p+r + p = 1. Khi 2n − p = 2n − p+r ≥ d. p+r−1 Do Hd (S) = nên theo tính chất độ đo Hausdorff ta có H2n−p (S) = 0. Mặt khác, theo kết R. Harvey J. Polking, f2 W1 \S thác triển chỉnh hình lên W1 . Như f2 thác triển thành hàm chỉnh hình f2 với f2 : ∆n → C. Khi ánh xạ f = (f1 , f2 ) : ∆n \S → Ωϕ (X) 42 thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f = f1 , f2 : ∆n → X × C (2.20) Cuối phải chứng minh f (∆n ) ⊂ Ωϕ (X). Bởi bất đẳng thức giá trị trung bình hàm đa điều hoà log f2 + ϕ f1 , có bất đẳng thức sau: log f2 (z) + ϕ f1 (z) < 0, với z ∈ ∆n . Điều kéo theo f (∆n ) ⊂ Ωϕ (X). Bây trình bày phản ví dụ để • Từ tính thác triển chỉnh hình ánh xạ f ∆n không suy điều kiện (i) định lý (2.5). • Điều kiện (ii) bỏ định lý (2.5). Mệnh đề 2.3. Tồn hàm điều hoà ϕ ∆ cho Ωϕ (∆) có tính chất thác triển d−EP ∆ (0 < d < 1), lim sup (ε log |z| − ϕ (z)) = z→0 ∞ với ε > đủ nhỏ. Chứng minh. Giả sử − 2αk zk = 2−k , αk = k −3 , δk = e Đặt k , với k ≥ ∞ αk . log δk2 + |z − zk |2 ϕ (z) = k=1 Khi hàm ϕ (z) xác định điều hoà ∆. Thật vậy, số hạng chuỗi điều hoà ∞ log δk2 + |z − zk | − log < 0, αk log < ∞ k=1 (2.21) 43 Do để ϕ (z) ∈ SH (∆) ∪ {−∞} giới hạn dãy giảm hàm điều hoà dưới. n αk log k=1 ∞ δk2 + |z − zk |2 αk + log (2.22) k=1 Từ ∞ ∞ δk2 αk log ϕ (0) = + |zk | αk log |zk | ≥2 k=1 k=1 = −2 (log 2) k≥1 k2 > −∞, (2.23) nên ϕ ≡ −∞. Điều chứng tỏ ϕ ∈ SH (∆). Mặt khác, với k ≥ có αj log δj2 + |zj − zk |2 ϕ (zk ) = αk log δk2 + j=k ≥ −k + αj log |zj − zk | j=k   ≥ −k +  αj  log j=k 2k+1 > −∞ (2.24) Lấy z ∈ ∆∗ = ∆\ {0} cho z = zk với k ≥ 1. Thế ∞ αk log δk2 + |z − zk |2 ϕ (z) = k=1 ∞ ≥2 αk log |z − zk | k=1 ∞ ≥2 αk log C > −∞ (2.25) k=1 Ở C = inf |z − zk | > 0. Vì ϕ ∈ SH (∆) với ϕ (z) > −∞, ∀z ∈ ∆. k≥1 Bởi ∆ có tính chất thác triển d − EP (xem[11]) Ωϕ (∆) có tính chất d − EP . 44 Cuối cùng, chứng tỏ lim sup (ε log |z| − ϕ (z)) = ∞ với ε > z→0 đủ nhỏ. Thật với k > 2, có αj log δj2 + |zj − zk |2 −ϕ (zk ) = −αk log δk2 − j=k ≥ −αk log δk2 = k. (2.26) Do − ϕ (zk ) + ε log |zk | = −ϕ (zk ) − (ε log 2) k ≥ (1 − ε log 2) k. (2.27) Điều chứng tỏ lim (−ϕ (zk ) + ε log |zk |) = ∞ với ε ∈ 0, log1 k→∞ Như mệnh đề chứng minh. Mệnh đề 2.4. Tồn hàm điều hoà ϕ ∆ cho lim sup (ε log |z − a| − ϕ (z)) < ∞ z→a (2.28) với a ∈ ∆ ε > 0, Ωϕ (∆) tính chất d − EP với < d ≤ 1. Chứng minh. Giả sử u hàm lồi tăng [−∞, 0] cho u −k = −k, ∀k ≥ u hàm tuyến tính −k , −(k − 1)2 , ∀k ≥ 1. Theo kết L. H¨omander, hàm ϕ (z) = u (log |z|) điều hoà ∆. Dễ thấy lim sup (ε log |z − a| − ϕ (z)) < ∞ z→a (2.29) với a ∈ ∆ ε > 0. Nhưng ϕ (0) = −∞. Xét ánh xạ chỉnh hình σ : ∆∗ = ∆\ {0} → Ωϕ (∆) (2.30) 45 cho σ (z) = 0, z1 , với z ∈ ∆∗ . Khi σ không thác triển chỉnh hình ∆. Sử dụng lập luận tương tự chứng minh định lý (2.5) chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 2.5. Giả sử d số thực cho < d ≤ 2n − 1. Giả sử X không gian phức với mêtric Hermitian ρ ϕ : X → [−∞, ∞) hàm đa điều hoà X. Giả sử S tập đóng ∆n với Hd (S) = 0. Giả sử f = (f1 , f2 ) : ∆n \S → Ωϕ (X) ánh xạ chỉnh hình thoả mãn: (i) lim sup (ε log p (z, a) − ϕ (z)) < ∞ với a ∈ X ε > 0. z→a (ii) Ánh xạ f1 thác triển tới ánh xạ chỉnh hình không f1 : ∆n → X. Khi f thác triển chỉnh hình ∆n . Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: 1. Hệ thống lại khái niệm hàm chỉnh hình trình bày định lý Hartogs cổ điển. 2. Hệ thống lại số tính chất thác triển miền Hartogs. 3. Trình bày điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n \S vào Ωϕ (X) S tập đóng với độ đo Hausdorff chiều d không thác triển lên ∆n điều kiện đủ đặt bỏ được. Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận cộng tác, góp ý giúp đỡ người quan tâm. 46 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] B.V. Sabat, Nhập môn giải tích phức, phần II nhiều biến, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1979. [B] Tài liệu tiếng Anh [2] E. M. Chirka, Complex Analytic sets, Kluwer Academie Published, 1989. [3] S. Dineen, Complex Analytic on Locally convex space, North- Holland. 57(1981). [4] J. E. Fornaess and R. Narasimhan, The Levi problem on complex space with singularities, Math. Ann. 248 (1980), 47-72. [5] R. Harvey and J. Polking, Extending analytic objects, Comm. Pure Appl. Math. 28(6) (1975), 701 - 727. [6] L. H¨omander, An introduction to complex analytic in several variables, Amsterdam (1990) [7] M. Klimek, Pluripotential theory, London Mat. Soc, Oxford Sclence Publications, (1991). [8] N. S. Landkof, Foundations of Modern Potential Theory, Springer. Verlag 1972 [9] S. Lojasiewicz, Emsembles Semi-analytiques, I.H.E.S, Bures-surYvette, 1965. 47 48 [10] D. D. Thai and Le Tai Thu, Extending holomorphic maps into Hartogs domains, Vietnam Jour. of Math. 32:4 (2004), 433-439 [11] D. D. Thai and P. J. Thomas, D*- Extention property without hyperbolicity, Indiana Univ. Math. J. 47 (3), (1998), 1125 - 1130. [12] Le Tai Thu, Some geometric properties of special domains in a complex space, Acta Math. Vietnamica 27. (2004), 175 – 183. [...]... ánh xạ chỉnh hình với giá trị trong miền Hartogs Trong chương này, chúng tôi tập trung vào nghiên cứu tính chất thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs trong không gian phức Giả sử ϕ là hàm nửa liên tục trên trên không gian phức X Miền Ωϕ (X) được xác định bởi: Ωϕ (X) = {(z, ω) ∈ X × C : |ω| < e−ϕ(z) } ⊂ X × C được gọi là miền Hartogs Trong thời gian gần đây một số tác giả đã nghiên cứu việc thác. .. việc thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs Ωϕ (X) Tuy nhiên những nghiên cứu đó đều theo hướng sau đây: Tìm điều kiện đối với ϕ và X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình từ ∆n \S vào Ωϕ (X) đều thác triển chỉnh hình lên ∆n , ở đó S là tập con giải tích hoặc tập đa cực hoặc tập cực đóng trong đa đĩa đơn vị ∆n của Cn Trong chương 2 chúng tôi muốn đặt vấn đề khác đi giả sử ta đã cho ánh xạ chỉnh hình f... vào miền Hartogs Ωϕ (X), trong đó S là tập con đóng với độ đo Hausdorff chiều d = 0 Chúng tôi muốn tìm điều kiện trên bản thân ánh xạ f để ánh xạ f thác triển được lên ∆n Kết quả chính của chương 2 là định lý (2.5) Các phản ví dụ được xây dựng sau đó chỉ ra rằng những điều kiện đủ đã được đặt ra là không thể bỏ được 28 29 2.1 Một số tính chất thác triển của miền Hartogs Định nghĩa 2.1 Không gian phức. .. Một không gian giải tích phức X được gọi là thoả mãn điều kiện là lồi - đĩa yếu nếu mọi dãy {fn } ⊂ H (∆, X) hội tụ trong H (∆, X) khi dãy {fn |∆∗ } ⊂ H (∆∗ , X) hội tụ trong H (∆∗ , X) Ở đây ∆ và ∆∗ lần lượt là đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng trong C Mệnh đề 1.9 Nếu không gian giải tích phức X thoả mãn điều kiện là lồi - đĩa yếu thì nó có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Chương 2 Thác triển ánh. .. | ≤ R} tùy ý và theo zn trong U n đối với z ∈ U tùy ý Theo Bổ đề 1.3, f bị chặn, tức là chỉnh hình trong đa tròn nào đó W = W × U n trong đó W ( a, r) ⊂ U 2 Xét đa tròn V = V × Un , trong đó V = U ( a, R) Rõ ràng V ⊂ 3 U (0, R), do đó f chỉnh hình theo z trong V đối với zn ∈ U n tùy ý, mà theo điều vừa chứng minh, f chỉ chỉnh hình theo z trong W Từ đó f 14 chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm... Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận U của điểm a ∈ Cn và f (a) = 0, nhưng f ( a, zn ) ≡ 0 Khi đó trong lân cận V nào đó của điểm này f (z) = (zn − an )k + c1 ( z) (zn − an )k−1 + + ck ( z) ϕ (z) (1.16) trong đó k ≥ 1 là cấp của không điểm của f ( a, zn ) tại điểm zn = an , các hàm cν chỉnh hình trong V và cν ( a) = 0, còn ϕ chỉnh hình trong V và không triệt tiêu trong đó Chứng minh Không mất tính... Chứng minh ¯ Cho Φ là một chỉnh hình nhúng trong song đĩa đơn vị đóng ∆2 vào Cn Gọi thác triển hình Hartogs được biểu diễn bởi tập hợp sau: H0 = {|z1 | < 1, z = 0} ∪ {|z1 | = 1, |z2 | ≤ 1} (2.7) Nhớ lại rằng Ω là giả lồi khi và chỉ khi với mọi hình Hartogs chứa trong Ω và Φ ∆2 cũng chứa trong Ω Do đó, ta giả sử Ω không là giả lồi, chúng ta có điều sau đây Tồn tại một chỉnh hình nhúng Φ thoả mãn: Ω1... X có tính chất thác triển ∆∗ −EP , nếu h ∈ Hol (∆∗ , X) thì ánh xạ H được cho bởi H (ξ) = (h (ξ) , 0) là chỉnh hình từ ∆∗ đến 32 Ωϕ (X) và do đó H thác triển lên H sao cho H (∆) ⊂ X × {0} ⊂ Ωϕ (X) Ta có thể viết H = h, 0 , trong đó h thác triển lên h Nếu tồn tại z0 ∈ X sao cho ϕ (z0 ) = −∞ thì ta thu được đường phức {(z0 , w ∈ C)} ⊂ Ωϕ (X), như vậy Ωϕ (X) không có tính chất ∆∗ − EP (trong đó h (ξ)... chất thác triển ∆∗ - thác triển (viết tắt là X có tính chất ∆∗ − EP ) nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : ∆∗ = {z ∈ C : 0 < |z| < 1} → X thì tồn tại ánh xạ f : Hol (∆, X) (trong đó ∆ = {z ∈ C : |z| < 1}) sao cho f |∆∗ = f Đỗ Đức Thái và Pascal J Thomas (xem [11]) đã chứng minh được định lý sau: Định lí 2.1 Nếu X có tính chất ∆∗ − EP , ϕ ∈ P SH (X) và ϕ (z) > −∞, ∀z ∈ X thì Ωϕ (X) có tính chất thác triển. .. tại miền G trong đó |f ( z, zn )| ≤ M đối với zn ∈ Un tùy ý 0 Bây giờ ta chọn trong G đa tròn W = { z : |zν − zν | < r}, và khi đó trong W = W × Un ta có |f | ≤ M Bây giờ ta sử dụng các kí hiệu V = U ( a, R), W = U ( a, r), r < R, Un = {|zn | < R}, V = V × Un , W = W × Un Bổ đề 1.4 Giả sử hàm f ( z, zn ) chỉnh hình theo z trong V với zn ∈ Un tùy ý và chỉnh hình theo z trong W thì nó chỉnh hình trong . qua siêu mặt cũng như qua tập đa cực. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết đa thế vị các nhà toán học quan tâm đến bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình tách biến, mở đầu theo hướng nghiên. để ánh xạ f thác triển được lên ∆ n . Với mong muốn được tìm hiểu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình và được sự định hướng của thầy hướng dẫn. Chúng tôi chọn đề tài “Thác triển ánh xạ chỉnh. đó. Trong những năm trước đây việc thác triển ánh xạ chỉnh hình đã được khảo sát theo các hướng như thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình. Thác triển ánh xạ qua tập mỏng, chẳng hạn như