Đang tải... (xem toàn văn)
Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN TOÁN SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP PHÁT TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tốn Lời cam đoan Tơi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge - Kutta việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Toán Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.1 Định nghĩa phương trình phi tuyến 1.2 Hệ phương trình phi tuyến 1.2.1 Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến 1.2.2 Chuẩn không gian Euclid 1.2.3 Chuẩn ma trận 1.3 Hệ phương trình vi phân thường 10 1.3.1 Bài toán Cauchy 11 1.3.2 Định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân 11 1.4 Đạo hàm Fréchet 12 1.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 12 Chương Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số 17 2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 17 2.2 Phương pháp Runge-Kutta 21 2.2.1 Phương pháp Runge -Kutta cổ điển 21 2.2.2 Phương pháp Runge -Kutta ẩn 23 2.2.3 Một số ví dụ 26 Chương Ứng dụng 41 3.1 Thuật toán phương pháp Runge - Kutta cổ điển 41 3.2 Thuật toán Runge -Kutta ẩn 55 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Bảng kí hiệu R Tập số thực ||x|| Chuẩn x ||A|| Chuẩn ma trận A xrki Nghiệm xấp xỉ thứ i yrki Nghiệm xấp xỉ thứ i zrki Nghiệm xấp xỉ thứ i xi Nghiệm xác thứ i yi Nghiệm xác thứ i zi Nghiệm xác thứ i ∆xi Sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ∆yi Sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ∆yi Sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Mở đầu Lí chọn đề tài Bài tốn giải hệ phương trình phi tuyến tốn dẫn tới từ nhiều tốn: Giải phương trình tốn tử tích phân phi tuyến theo phương pháp cầu phương, Phương pháp sai phân giải Phương trình vi phân phi tuyến Giải phương trình vi phân thường phi tuyến Bài tốn giải hệ phương trình phi tuyến quan tâm nhiều nhà toán học Đã đề xuất số phương pháp giải gần như: Phương pháp lặp đơn, Newton, Thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Runge - Kutta nhà toán học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề nên tơi chọn nghiên cứu đề tài “Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge – Kutta việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số ” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số dựa kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge – Kutta Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số dựa kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge – Kutta Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Hệ phương trình phi tuyến n biến - Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Runge – Kutta Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan.Sử dụng số phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống lại nội dung phương pháp thác triển theo tham số kết hợp phương pháp Runge -Kutta vận dụng vào giải hệ phương trình phi tuyến cụ thể Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.1 Định nghĩa phương trình phi tuyến Định nghĩa 1.1 Phương trình phi tuyến phương trình có dạng f (x) = hàm f : (a, b) ⊂ R → R, f (x) không tuyến tính x Ví dụ 1.1 f (x) := x3 + 3x2 − = f (x) hàm khơng tuyến tính x Phương pháp giải Đối với phương trình phi tuyến ta sử dụng số phương pháp như: phương xấp xỉ liên tiếp, phương pháp Newton, phương pháp dây cung Trong mục ta trình bày cách giải phương trình phi tuyến phương pháp xấp xỉ liên tiếp Trước tiên để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình ta đưa phương trình cho dạng x = g(x) ) hàm g(x) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz 1) |g(x) − g(y)| ≤ q |x − y| ; < q < 1, x, y ∈ S 2) |g(x) − x| ≤ |1 − q| δ; S = x : |x − x| ≤ δ Khi phương trình x = g(x) có nghiệm x∗ dãy lập theo công thức sau: xn+1 = g(xn ), n = 0, 1, 2, , x0 tùy ý thuộc S hội tụ tới x∗ ta có cơng thức đánh giá : qn |g(x0 ) − x0 | , |xn − x | ≤ 1−q ∗ |xn+1 − x∗ | ≤ q |xn − x∗ | từ phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính Ví dụ 1.2 : Tìm nghiệm gần phương trình phương pháp lặp đơn f (x) := x3 + 3x2 − = Ta có f liên tục [−3, −2] f (−3).f (−2) < suy phương trình f (x) = có nghiệm [−3, −2] Trên đoạn [−3, −2] phương trình cho tương đương với: x= Đặt g(x) = −3 x2 − ta có g(x) hàm đơn điệu tăng [-3,-2] có x2 Max|g (x)| = 0.25; g(x) ∈ [ − 3, −2] x∈[−3,−2] suy hàm g ánh xạ co từ [−3, −2] vào điều có nghĩa phương trình g(x) = x có nghiệm [−3, −2] Ta tìm nghiệm xấp xỉ phương trình công thức lặp đơn sau: xk+1 = g(xk ); x0 = −2.5; k = 0, 1, 2, 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 40561962 ) Trước tiên ta khai báo: [> f := (t, x, y, z)− > −((z −2014)x2 y (x+2014/x−y−2014/y)/(3x2 y z −4028x2 y − 4028x2 z −4028y z +4056196x2 +4056196y +4056196z ) −(y −2014)x2 z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z −4028x2 y −4028x2 z − 4028y z +4056196x2 +4056196y +4056196z )−(y − 2014)(z − 2014)x2 (x + y + z − 1)/(3x2 y z −4028x2 y −4028x2 z −4028y z +4056196x2 + 4056196y + 4056196z )) [> g := (t, x, y, z)− > −(2(x2 z − 1007x2 − 1007z ))y (x + 2014/x − y − 2014/y)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y +4056196z )−(x2 −2014)y z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z ) − (x2 − 2014)(z − 2014)y (x + y + z − 1)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z ) [> p := (t, x, y, z)− > −(x2 −2014)y z (x+2014/x−y−2014/y)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z ) + (2x2 y −2014x2 −2014y )z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z −4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 40561962 ) [> h := 0.2 h := 0.2 [> t := n− > nh t := n− > nh xrk := xrk ; yrk := yrk ; zrk := zrk 56 [> xrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); m4 := g(t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); l4 := p(t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); xrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (k1 + ∗ k2 + ∗ k3 + k4)endproc; xrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; 57 optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1) + (1/2) ∗ h, xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); m4 := g(t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); l4 := p(t(n − 1) + h, xrk(n − 1) + h ∗ k3, yrk(n − 1) + h ∗ m3, zrk(n − 1) + h ∗ l3); xrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (k1 + ∗ k2 + ∗ k3 + k4)endproc 58 [> xrk(0) := 0.3; xrk(0) := 0.3 [> yrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); m4 := g(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); l4 := p(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); yrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (m1 + ∗ m2 + ∗ m3 + m4)endproc; yrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; 59 optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); m4 := g(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); l4 := p(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); yrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (m1 + ∗ m2 + ∗ m3 + m4)endproc [> yrk(0) := 0.3; yrk(0) := 0.3 [> zrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); 60 m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); m4 := g(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); l4 := p(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); zrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (l1 + ∗ l2 + ∗ l3 + l4)endproc; zrk := proc(n)localk1, m1, l1, k2, m2, l2, k3, m3, l3, k4, m4, l4; optionremember; k1 := f (t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); m1 := g(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); l1 := p(t(n − 1), xrk(n − 1), yrk(n − 1), zrk(n − 1)); k2 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ 61 m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); m2 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); l2 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k1, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m1, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l1); k3 := f (t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); m3 := g(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); l3 := p(t(n − 1), xrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ k2, yrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ m2, zrk(n − 1) + (1/2) ∗ h ∗ l2); k4 := f (t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); m4 := g(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); l4 := p(t(n−1), xrk(n−1)+h∗k3, yrk(n−1)+h∗m3, zrk(n−1)+h∗l3); zrk(n − 1) + (1/6) ∗ h ∗ (l1 + ∗ l2 + ∗ l3 + l4)endproc [> zrk(0) := 0.3; zrk(0) := 0.3 [> array([seq([t(i), xrk(i), yrk(i), zrk(i)], i = 5)]); Máy tính nghiệm xấp xỉ hệ phương trình vi phân dạng bảng 62 ti xrki yrki zrki 0.3 0.3 0.3 0.2 0.3060422222 0.3060422222 0.3060422222 0.4 0.3109891909 0.3109891909 0.3109891909 0.6 0.3150394391 0.3150394391 0.3150394391 0.8 0.3183555123 0.3183555123 0.3183555123 1.0 0.3210704920 0.3210704920 0.3210704920 Để tìm nghiệm xác hệ phương trình vi phân ta khai báo: [> F := (t, x, y, z)− > −t((z −2014)x2 y (x+2014/x−y−2014/y)/(3x2 y z −4028x2 y − 4028x2 z −4028y z +4056196x2 +4056196y +4056196z ) −(y −2014)x2 z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z −4028x2 y −4028x2 z − 4028y z +4056196x2 +4056196y +4056196z )−(y − 2014)(z − 2014)x2 (x + y + z − 1)/(3x2 y z −4028x2 y −4028x2 z −4028y z +4056196x2 + 4056196y + 4056196z )) + 0.3 : [> G := (t, x, y, z)− > −t((2(x2 z − 1007x2 − 1007z ))y (x + 2014/x − y − 2014/y)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y +4056196z )−(x2 −2014)y z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z ) − (x2 − 2014)(z − 2014)y (x + y + z − 1)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z )) + 0.3 : [> P := (t, x, y, z)− > −(x2 −2014)y z (x+2014/x−y−2014/y)/(3x2 y z − 4028x2 y − 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 4056196z ) + (2x2 y −2014x2 −2014y )z (x+2014/x−z−2014/z)/(3x2 y z −4028x2 y − 63 4028x2 z − 4028y z + 4056196x2 + 4056196y + 40561962 ) x(0) := 0.3; y(0) := 0.3; z(0) := 0.3; x(0) := 0.3 y(0) := 0.3 z(0) := 0.3 [> x := proc(n)if n = 0then.3elseF (t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1), z(n − 1)) endif endproc; x := proc(n)if n = 0then.3elseF (t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1), z(n − 1)) endif endproc [> y := proc(n)if n = 0then.3elseG(t(n−1), x(n−1), y(n− 1), z(n − 1)) endif endproc; y := proc(n)if n = 0then.3elseG(t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1), z(n − 1)) endif endproc [> z := proc(n)if n = 0then.3elseP (t(n−1), x(n−1), y(n− 1), z(n − 1)) endif endproc; z := proc(n)if n = 0then.3elseP (t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1), z(n − 1)) endif endproc [> array([seq([i, xi , yi , zi ], n = 5)]); Khi máy tính in nghiệm xác hệ phương trình vi phân dạng bảng 64 ti xi yi zi 0.3 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.3066666667 0.3066666667 0.3066666667 0.6 0.3106666666 0.3106666666 0.3106666666 0.8 0.3136000000 0.3136000000 0.3136000000 1.0 0.3157866667 0.3157866667 0.3157866667 Để so sánh nghiệm xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình vi phân ta dùng lệnh array([seq([t(i), abs(x(i) − xrk(i)), abs(y(i) − yrk(i)), abs(z(i) − zrk(i))], i = 5)]); Khi máy tính in bảng so sánh nghiệm xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình vi phân dạng bảng ti ∆xi ∆yi ∆zi 0 0 0.2 0.0060422222 0.0060422222 0.0060422222 0.4 0.0043225242 0.0043225242 0.0043225242 0.6 0.0043727725 0.0043727725 0.0043727725 0.8 0.0047555123 0.0047555123 0.0047555123 1.0 0.0052838253 0.0052838253 0.0052838253 Bằng cách làm tương tự với h = 0.1 ta có: Bảng nghiệm xấp xỉ hệ là: 65 ti xrki yrki zrki 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3031720833 0.3031720833 0.3031720833 0.2 0.3060423033 0.3060423033 0.3060423033 0.3 0.3086393859 0.3086393859 0.3086393859 0.4 0.3109893237 0.3109893237 0.3109893237 0.5 0.3131156355 0.3131156355 0.3131156355 0.6 0.3150396022 0.3150396022 0.3150396022 0.7 0.3167804794 0.3167804794 0.3167804794 0.8 0.3183556904 0.3183556904 0.3183556904 0.9 0.3197810003 0.3197810003 0.3197810003 1.0 0.3210706742 0.3210706742 0.3210706742 Bảng nghiệm xác hệ phương trình vi phân 66 ti xi yi zi 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 0.2 0.3033333333 0.3033333333 0.3033333333 0.3 0.3060000000 0.3060000000 0.3060000000 0.4 0.3082000000 0.3082000000 0.3082000000 0.5 0.3100533333 0.3100533333 0.3100533333 0.6 0.3116400000 0.3116400000 0.3116400000 0.7 0.3130160000 0.3130160000 0.3130160000 0.8 0.3142221333 0.3142221333 0.3142221333 0.9 0.3142221333 0.3142221333 0.3142221333 1.0 0.3162399360 0.3162399360 0.3162399360 Bảng so sánh nghiệm xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình vi phân 67 ti ∆xi ∆yi ∆zi 0 0 0.1 0.0031720833 0.0031720833 0.0031720833 0.2 0.0027089700 0.0027089700 0.0027089700 0.3 0.0026393859 0.0026393859 0.0026393859 0.4 0.0027893237 0.0027893237 0.0027893237 0.5 0.0030623022 0.0030623022 0.0030623022 0.6 0.0033996022 0.0033996022 0.0033996022 0.7 0.0037644794 0.0037644794 0.0037644794 0.8 0.0041335571 0.0041335571 0.0041335571 0.9 0.0044920403 0.0044920403 0.0044920403 1.0 0.0048307382 0.0048307382 0.0048307382 Theo bảng giá trị, nghiệm xấp xỉ hệ phương trình vi phân với h = 0.1 tốt so với nghiệm xấp xỉ hệ phương trình vi phân với h = 0.2 Như sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình vi phân phụ thuộc vào h Khi h nhỏ sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình vi phân nhỏ 68 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày số nội dung phương pháp thác triển theo tham số, đưa hệ phương trình phi tuyến hệ phương trình vi phân cấp Trình bày số nội dung phương pháp Runge -Kutta cổ điển phương pháp Runge - Kutta ẩn để giải hệ phương trình vi phân Trình bày kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge - Kutta việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Ứng dụng giải hệ phương trình phần mềm Maple Do lực thân cịn có hạn chế, luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiết sót, tác giả mong nhận góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn 69 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, , Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Hồng Tụy (2005), Hàm Thực Giải Tích Hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer-Verlag-Berlin Heidelberg [6] Jame M Ortega and Werner C Rheinboldt(1970), Iterative solution of nonlinear equation sever, Academic Press, New York and London 70 ... phi tuyến nhiều biến số dựa kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge – Kutta Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số dựa kết. .. tài ? ?Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge – Kutta việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số ” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình. .. Tốn giải tích với đề tài ? ?Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge - Kutta việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số? ?? hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình