BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =============== LÊ HỒNG PHÚC ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP CHO CÁC TẬP LỒI ĐA DIỆN VỚI NHIỄU TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quang Huy HÀ NỘI, NĂM 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu. Hà Nội, ngày tháng Tác giả Lê Hồng Phúc năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy. Tác giả xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu thông tin trích dẫn luận văn trung thực. Hà Nội, ngày tháng Tác giả Lê Hồng Phúc năm 2012 BẢNG KÝ HIỆU Rn không gian Euclid n-chiều F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF tập xác định F gphF đồ thị F Limsup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich Ω x¯ N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∂f (x) vi phân Mordukhovich f x ∂ ∞ f (x) ˆ (x) ∂f vi phân suy biến f x vi phân Fréchet f x Ω x → x¯, x ∈ Ω f x → x¯, f (x) → f (¯ x) x −→ x¯ x −→ x¯ Mục lục Mở đầu Đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp Đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp 13 Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân aphin 21 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Xét tập lồi đa diện có nhiễu ánh xạ tuyến tính có dạng Θ(w) := {x ∈ Rn | Cx ≤ Dw}, (0.1) C = (cij )m×n ∈ Rm×n , D = (dij )m×p ∈ Rm×p ma trận cho w = (w1 , . . . , wp ) ∈ Rp vectơ tham số. Với (x, w) ∈ Rn × Rp , nón pháp tuyến Θ(w) x theo nghĩa giải tích lồi xác định N (x; Θ(w)) =    x∗ ∈ Rn | x∗ , u − x ≤    ∀u ∈ Θ(w)     ∅ x ∈ Θ(w). x ∈ Θ(w), Ánh xạ đa trị F : Rn × Rp → Rn có dạng F(x, w) := N (x; Θ(w)) (0.2) gọi ánh xạ nón pháp tập lồi đa diện phụ thuộc tham số. Sự cần thiết việc tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến F vừa trình bày thảo luận [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Trong trường hợp ma trận D ma trận đơn vị, Yen Yao [19, 20] lần thiết lập vài đánh giá đánh giá đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến F. Sau điều kiện độc lập tuyến tính liên quan đến ràng buộc hoạt, Nam [13] cho công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F. Gần kết [13] vừa phát triển Qui [15, 16, 17] Trang [18], điều kiện độc lập tuyến tính thay điều kiện độc lập tuyến tính dương. Hơn nữa, Qui [16] trình bày công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet F, sau công thức xác tính đối đạo hàm Mordukhovich F thiết lập [6] mà không đòi hỏi giả thuyết quy nào. Gần đây, công thức tính xác đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F thiết lập [7] điều kiện độc lập tuyến tính đặt ma trận A D. Trên sở khảo sát số ví dụ cụ thể, ta thấy dường điều kiện độc lập tuyến tính đặt ma trận A D không cần thiết. Với lý đó, chọn đề tài “Đối đạo hàm ánh xạ nón pháp cho tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính” nhằm tìm hiểu lý thuyết đối đạo hàm, tiếp tục nghiên cứu thiết lập công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F mà không cần điều kiện đặt ma trận A D. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu tìm công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F. Áp dụng kết đạt để thiết lập điều kiện cần đủ đặc trưng tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, cụ thể lý thuyết đối đạo hàm Mordukhovich. Thiết lập công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F. Đưa đặc trưng cần đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, bất đẳng thức biến phân aphin, tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi lý thuyết tối ưu. 6. Giả thiết khoa học Nếu thiết lập công thức xác tính đối đạo hàm Mordukhovich F đóng góp có ý nghĩa cho lý thuyết vi phân bậc hai. Từ giúp thiết lập đặc trưng cần đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số. Chương Đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp Trong chương thiết lập công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp cho tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. 1.1 Một số kiến thức kết bổ trợ Cho F : Rm ⇒ Rn ánh xạ đa trị. Ký hiệu Limsupx→¯x F (x) giới hạn theo nghĩa Kuratowski-Painlevé F x → x¯: Lim sup F (x) := x∗ ∈ Rn ∃ xk → x¯ x∗k → x∗ với x→¯ x x∗k ∈ F (xk ) ∀ k = 1, 2, . . . . Cho Ω ⊂ Rn , nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∈ Ω xác định x∗ , x − x¯ ≤0 , N (¯ x; Ω) := x ∈ R lim sup x − x¯ Ω x− →x¯ ∗ Ω n x − → x¯ có nghĩa x → x¯ với x ∈ Ω. Nón pháp tuyến Mordukhovich N (¯ x; Ω) thu từ N (x; Ω) cách lấy giới hạn theo nghĩa Kuratowski-Painlev x → x¯ sau N (¯ x; Ω) := Lim sup N (x; Ω). x→¯ x Miền xác định đồ thị F xác định dom F := {x ∈ Rm | F (x) = ∅}, gph F := {(x, y) ∈ Rm × Rn | y ∈ F (x)}. Đối đạo hàm Mordukhovich D∗ F (¯ x, y¯) : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị F (¯ x, y¯) ∈ gphF định nghĩa sau D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ Rm (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gph F ) , y ∗ ∈ Rn . Tương tự, đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) ∈ gph F xác định D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ Rm | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gph F ))}, y ∗ ∈ Rn . Chúng ta có mối quan hệ hai khái niệm D∗ F (¯ x, y¯)(¯ y ∗ ) = Lim sup D∗ F (x, y)(y ∗ ). (x,y)→(¯ x,¯ y) y∈F (x) ∗ ∗ y →¯ y Cho C = (cij )m×n ∈ Rm×n , D = (dij )m×p ∈ Rm×p ma trận. Xét tập lồi đa diện có nhiễu Θ(w) := {x ∈ Rn | Cx ≤ Dw} phụ thuộc tham số w = (w1 , . . . , wp ) ∈ Rp . Đặt T := {1, 2, . . . , m}. Với ω ∈ Rp x ∈ Θ(ω), tập số tương ứng cặp phần tử (x, ω) ∈ Rn × Rp định nghĩa I(x, ω) := {i ∈ T | Ci x = Di w}. 16 Giả sử {(Ci , −Di ) ∈ Rm × Rm | i ∈ I} hệ độc Mệnh đề 2.1. lập tuyến tính. Khi đó, với Q ⊂ I, pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q} mặt N ((¯ x, ω ¯ ); gphΘ−1 ). Chứng minh. Ta cần chứng minh, với ∅ = Q ⊂ I, pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q} mặt N ((¯ x, ω ¯ ); gphΘ−1 ). Thật vậy, lấy u∗ , v ∗ ∈ N ((¯ x, ω ¯ ); gphΘ−1 ) = pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ I} t ∈ (0, 1) cho z ∗ := (1 − t)u∗ + tv ∗ ∈ pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q}. Ta cần u∗ , v ∗ ∈ pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q}. Ta thấy z ∗ = (z1∗ , z2∗ ) = γi (CiT , −DiT ), γi ≥ 0, i ∈ I, γj = 0, j ∈ I \ Q. i∈I Bởi u∗ , v ∗ ∈ pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ I}, nên ta có u∗ = (u∗1 , u∗2 ) = αi (CiT , −DiT ), αi ≥ 0, i ∈ I, i∈I v ∗ = (v1∗ , v2∗ ) = βi (CiT , −DiT ), βi ≥ 0, i ∈ I. i∈I Bởi z ∗ = (1 − t)u∗ + tv ∗ , ta có z∗ = (1 − t)αi + tβi (CiT , −DiT ). i∈I Từ tính độc lập tuyến tính (C, −Di ), i ∈ I, suy = γj = (1 − t)αj + tβj , ∀ j ∈ I \ Q. Do đó, αj = βj = với j ∈ I \ Q. Vì u∗ , v ∗ ∈ pos {(CiT , −DiT ) |i ∈ Q}. Mệnh đề chứng minh. 17 2.2 Đối đạo hàm Mordukhovich F Đặt P ⊂ Q ⊂ T P ∈ I(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ). Đặt Γk := {Sk,j | j = 1, 2, . . . , lk }, với lk ∈ N k ∈ {1, 2, . . . , rP + 1} định nghĩa (2.1). Đặt k E((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )|P ) := S := lj=1 Q \ Sk,j Sk,j ∈ Γk , ξ¯∗ ∈ cl ∆k , k = 1, 2, . . . , rP . Định lý 2.1. Cho ω ¯ ∈ Rm , x¯ ∈ Θ(¯ ω ), ξ¯∗ ∈ N (¯ x, Θ(¯ ω )). Đặt I := I(¯ x, ω ¯ ), I := I(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ) E(P ) := E((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )|P ). Khi N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F) = {(x∗ , ω ∗ , ξ) | (x∗ , ξ) ∈ AQ,P × BQ,P P ⊂Q⊂I P ∈I, S∈E(P ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q \ S} + pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ S}}. Chứng minh. Lấy tùy ý (x∗ , ω ∗ , ξ) ∈ N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F). Khi tồn dãy {(xk , ωk , v ∗ )} ⊂ gph F, (xk , ωk , v ∗ ) → (¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ), (x∗ , ω ∗ , vk ) → k ∗ ∗ (x , ω , ξ) cho vk∗ k k k ∈ N (xk ; Θ(ωk )) (x∗k , ωk∗ , vk ) ∈ N ((xk , ωk , vk∗ ); gph F). Dễ dàng kiểm tra I(xk , ωk ) ⊂ I với k đủ lớn. Bằng cách lấy dãy cần thiết ta giả sử I(xk , ωk ) = Q với k. Từ vk∗ ∈ N (xk ; Θ(ωk )) suy tồn λik ≥ cho vk∗ = λik Ci . i∈Q Nếu vk∗ = với k, ξ¯∗ = 0. Tức P = ∅, ∆ = {0}, rP = 1, Γ1 = {S1,1 } = ∅ ∆1 = ∆. Do đó, E(P ) = {Q} I1 (xk , ωk , vk∗ ) = Q = Q \ S1,1 . Chúng ta giả sử rằng, lấy dãy cần thiết vk∗ = với k. Từ [16, Lemma 2.1] tồn P ⊂ Q cho Ci , i ∈ P , độc lập tuyến tính vk∗ ∈ ri pos {CiT | i ∈ P }. Khi 18 ξ¯∗ ∈ pos {CiT | i ∈ P }, và, P ∈ I. Bằng cách lấy dãy cần thiết, giả sử tồn m ∈ {1, 2, . . . , rP }, cho vk∗ ∈ ∆m với k Γm = Sm,j | Sm,j ∈ M((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )|P ), j ∈ {1, 2, . . . , lm }, với lm ∈ N} . Rõ ràng, ξ¯∗ ∈ cl ∆m . Từ Bổ đề 2.1, m I1 (xk , ωk , vk∗ ) = ∪lj=1 (Q \ Sm,j ), Sm,j ∈ Γm . m Đặt S := ∪lj=1 (Q \ Sm,j ), ta có S ∈ E(P ). Áp dụng Định lý 1.1 ta thu (x∗k , vk ) ∈ AQ,P × BQ,P (x∗k , ωk∗ ) ∈ span {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q \ S} + pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ S}. Tức (x∗ , ξ) ∈ AQ,P × BQ,P (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q \ S} + pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ S}. Do đó, N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F) ⊂ (x∗ , ω ∗ , ξ) | (x∗ , ξ) ∈ AQ,P × BQ,P P ⊂Q⊂I P ∈I, S∈E(P ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q \ S} + pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ S} . (2.2) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, lấy tùy ý (x∗ , ω ∗ , ξ) thuộc vào vế phải (2.2). Lấy cố định (ˆ x, ω ˆ ) ∈ gphΘ−1 cho I(ˆ x, ω ˆ ) = Q. (2.3) Chọn (xk , ωk ) := (1 − k1 )(¯ x, ω ¯ ) + k1 (ˆ x, ω ˆ ), ta có xk ∈ Θ(ωk ) I(ˆ x, ω ˆ ) = I(xk , ωk ) = Q. Bởi S ∈ E(P ), nên tồn n ∈ {1, 2, . . . , rP } cho n S = ∪lj=1 (Q \ Sn,j ), Sn,j ∈ Γn , j = 1, 2, . . . , ln , với ln ∈ N. (2.4) 19 n ∆n := ∆ ∩ ∩lj=1 ri pos {CiT | i ∈ Sn,j } = ∅. Cố định z ∗ ∈ ∆n = ri pos {CiT | i ∈ P } n ∩lj=1 ri pos {CiT | i ∈ Sn,j } , với n ∈ {1, 2, . . . , rP }. Đặt vk∗ := (1 − k1 )ξ¯∗ + k1 z ∗ , ta thấy vk∗ ∈ ri pos {CiT | i ∈ P } limk→∞ vk∗ = ξ¯∗ . Do ξ¯∗ ∈ cl ∆n , suy ln vk∗ ri pos {CiT | i ∈ Sn,j } ∈∆∩ ∀ k. j=1 Từ Bổ đề 2.1, ln I1 (xk , ωk , vk∗ ) = (Q \ Sn,j ). j=1 Nên, I1 (xk , ωk , vk∗ ) = S với k. Áp dụng Định lý 1.1, thu (x∗ , ω ∗ , ξ) ∈ N ((xk , ωk , vk∗ ); gph F). Vì vậy, (x∗ , ω ∗ , v) ∈ N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F). Định lý hoàn toàn chứng minh. Bây xét trường hợp đặc biệt tập lồi đa diện phụ thuộc tham số có dạng Θ(ω) := {x ∈ Rn | a∗i , x ≤ ωi , i ∈ T }, {a∗i ∈ Rn | i ∈ T } họ vectơ cho. Lấy e∗i (i ∈ {1, 2, . . . , m}) vectơ đơn vị có tọa độ thứ i Rm . Hệ 2.1. Lấy ω ¯ ∈ Rp , x¯ ∈ Θ(¯ ω ), ξ¯∗ ∈ N (¯ x, Θ(¯ ω )). Đặt I := I(¯ x, ω ¯ ), I := I(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ) E(P ) := E((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )|P ). Khi N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F) = (x∗ , ω ∗ , ξ) | (x∗ , ξ) ∈ AQ,P × BQ,P P ⊂Q⊂I P ∈I, S∈E(P ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(a∗i , −e∗i ) | i ∈ Q \ S} + pos {(a∗i , −e∗i ) | i ∈ S} . 20 Kết sau suy từ định nghĩa đối đạo hàm Mordukhovich F. Định lý 2.2. Cố định (¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ) ∈ gph F. Đặt I := I(¯ x, ω ¯ ), I := I(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ) E(P ) := E((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )|P ). Giả sử {(Ci , Di ) ∈ Rm × Rm | i ∈ I} hệ độc lập tuyến tính. Khi D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(ξ) = (x∗ , ω ∗ ) | (x∗ , −ξ) ∈ AQ,P × BQ,P P ⊂Q⊂I P ∈I, S∈E(P ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(CiT , −DiT ) | i ∈ Q \ S} + pos {(CiT , −DiT ) | i ∈ S} . Chương Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân aphin Xét toán bất đẳng thức biến phân aphin tập lồi đa diện: Tìm x ∈ Θ(ω) cho M x − q, u − x ≥ for all u ∈ Θ(ω), (3.1) M ∈ Rn×n , (q, ω) ∈ Rn × Rp , Θ(ω) cho (0.1). Khi đó, ánh xạ nghiệm S(q, ω) (3.1) biểu diễn dạng hàm ẩn đa trị S : Rn × Rp ⇒ Rn , S(q, ω) := {x ∈ Rn | ∈ M x − q + F(x, ω)} (3.2) với F(x, ω) = N (x; Θ(ω)) cho (0.2). Chúng ta nhắc lại từ [11, Definition 4.10] S Lipschitz kiểu Aubin (hoặc có có tính chất Aubin) (¯ q, ω ¯ , x¯) ∈ gph S tồn > lân cận U x¯, V (¯ q, ω ¯ ) cho S(q, ω) ∩ U ⊂ S(q , ω ) + ¯ Rn (q, ω) − (q , ω ) B ¯Rn ký hiệu hình cầu đơn vị đóng với (q, ω), (q , ω ) ∈ V , B Rn . 22 Áp dụng kết đạt Chương 2, thiết lập đặc trưng cần đủ đặc trưng Lipschitz kiểu Aubin S điểm cho. Định lý 3.1. Lấy (¯ q, ω ¯ , x¯) ∈ gph S đặt ξ¯∗ := q¯ − M x¯. Khi đó, S có tính chất Lipschitz kiểu Aubin (¯ q, ω ¯ , x¯) (M T q ∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(−q ∗ ) =⇒ (q ∗ , ω ∗ ) = (0, 0). Chứng minh. Đặt f (q, x) := M x − q. Ta suy từ [18, Lemma 4.2] gph S tập đóng lân cận (¯ q, ω ¯ , x¯). Ta quan sát gph S = {(q, ω, x) | − f (q, x) ∈ F(x, ω)} = {(q, ω, x) | (x, ω, −f (q, x)) ∈ gph F} = g −1 (gph F), g(q, ω, x) = (x, ω, −f (q, x)). Từ tính chất tràn ∇q f (¯ q , x¯) ta suy ∇g(¯ q, ω ¯ , x¯) tràn ∇g(¯ q, ω ¯ , x¯)∗ (x∗ , ω ∗ , ν) = (−∇q f (¯ q , x¯)∗ ν, ω ∗ , x∗ − ∇x f (¯ q , x¯)∗ ν). Bởi [11, Theorem 1.17], ta có N ((¯ q, ω ¯ , x¯); gph S) = ∇g(¯ q, ω ¯ , x¯)∗ N (g(¯ q, ω ¯ , x¯); gph F). Lấy (q ∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ S(¯ q, ω ¯ , x¯)(x∗ ). Khi (q ∗ , ω ∗ , −x∗ ) ∈ N ((¯ q, ω ¯ , x¯); gph S) = ∇g(¯ q, ω ¯ , x¯)∗ N (g(¯ q, ω ¯ , x¯); gph F). Suy (q ∗ , ω ∗ , −x∗ ) = (∇q f (¯ q , x¯)∗ ν, ω ∗ , x∗ + ∇x f (¯ q , x¯)∗ ν) với (x∗ , ω ∗ , −ν) ∈ N (g(¯ q, ω ¯ , x¯); gph F). Điều suy q ∗ = −ν, ω ∗ = ω ∗ , −x∗ = x∗ + M T ν. 23 Do (q ∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ S(¯ q, ω ¯ , x¯)(x∗ ) (M T q ∗ − x∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ F(¯ x, ω ¯ , −f (¯ q , x¯)(−q ∗ ). Vì vậy, [11, Theorem 4.10], S Lipschitz kiểu Aubin (¯ q, ω ¯ , x¯) D∗ S(¯ q, ω ¯ , x¯)(0) = {0}. Điều tương đương, (M T q ∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(−q ∗ ) =⇒ (q ∗ , ω ∗ ) = (0, 0). Định lý chứng minh. Phần cuối chương trình bày ví dụ để minh họa việc tính đối đạo hàm F mà trình bày Chương 3. Đồng thời sử dụng kết tính toán để khảo sát tính chất Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số. Xét toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số (3.1) với M ma trận đơn vị R2×2 , q ∈ R2 , Θ(ω) tập lồi đa diện có tham số xác định C1 = (0, 1), C2 = (−1, 0), D1 = (1, 1), D2 = (2, 2). ω ∈ R2 vectơ tham số. Lấy q¯ = (0, 2), ω ¯ = (0, 0) x¯ = (0, 0). Ta có (¯ q, ω ¯ , x¯) ∈ gph S. Bây ta khảo sát tính chất Lipschitz kiểu Aubin S at (¯ q, ω ¯ , x¯). Trước tiên cần phải tính đối đạo hàm Mordukhovich F. Lấy ξ¯∗ = q¯ − M T x¯ = (0, 2). Khi (¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ) ∈ gph F. Ta thấy 24 n = 2, m = 2, p = 2, T = {1, 2}, Θ(¯ ω ) = {x ∈ R2 | x2 ≤ ω1 + ω2 , −x1 ≤ 2ω1 + 2ω2 }, I(¯ x, ω ¯ ) = {i ∈ T | CiT , x¯ = DiT , ω ¯ } = {1, 2}, F(¯ x, ω ¯ ) = N (¯ x, Θ(¯ ω )) = pos {C1T , C2T } = R− × R+ . Hiển nhiên, {C1T , C2T } độc lập tuyến tính, nhiên ta áp dụng Theorem 3.3 Theorem 4.3 [13] để tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F. Rõ ràng, ma trận D := {D1 , D2 } ma trận nghịch đảo. Khi đó, áp dụng Theorem 3.3 [16] để tính đối đạo hàm Fréchet F Theorem 3.4 [6] để tính đối đạo hàm Mordukhovich F. Ta có K = {1}, I1 = {2}, {ξ¯∗ }⊥ = {(0, 2)}⊥ = R × {0}, ∗ T (¯ x; Θ(¯ ω )) = N (¯ x, Θ(¯ ω )) = R + × R− , BI,K = T (¯ x; Θ(¯ ω )) ∩ {¯ x∗ }⊥ = R+ × {0}, AI,K = T (¯ x; Θ(¯ ω )) ∩ {¯ x∗ }⊥ ∗ = R− × R, − D1 = (−1, −1), −D2 = (−2, −2). 25 Bởi Định lý 1.1 ta có N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F) = (x∗ , ω ∗ , ξ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(C1 , −D1 )} + pos {(C2 , −D2 )}, (x∗ , ξ) ∈ AI,K × BI,K = (x∗ , ω ∗ , ξ) x∗ = λ1 C1T + λ2 C2T , ω ∗ = −λ1 D1T − λ2 D2T , λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, (x∗ , ξ) ∈ (R− × R) × (R+ × {0}) = (x∗ , ω ∗ , ξ) x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = −(λ1 + 2λ2 , λ1 + 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, ξ ∈ R+ × {0} . Khi đó, Định lý 1.2, D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(ξ)    (x∗ , ω ∗ , ξ)    =     ∅ x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = −(λ1 + 2λ2 , λ1 + 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ ξ ∈ R− × {0}, trường hợp khác. Bây tính đối đạo hàm F. Hiển nhiên I = {{1}, {1, 2}}. Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: P = {1}. Khi M((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); P ) = {1}, rP = 1, Γ1 = {P }, ∆1 = ∆ Q ∈ {{1}, {1, 2}}. Trường hợp 1a: Q = {1}. Khi E(P ) = ∅ AQ,P × BQ,P = ({0} × R) × (R × {0}), span {(C1T , −D1T )} = (x∗ , ω ∗ )|x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R , C1a :={(x∗ , ω ∗ , ξ) | x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R, ξ ∈ R × {0}}. 26 Trường hợp 1b: Q = {1, 2}. Khi đó, E(P ) = {2} AQ,P × BQ,P = (R− × R) × (R+ × {0}), span {(C1T , −D1T )} + pos {(C2T , −D2T )} = (x∗ , ω ∗ )|x∗ = (−λ2 , λ1 ) ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ , C1b :={(x∗ , ω ∗ , ξ) | x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, ξ ∈ R+ × {0}}. Trường hợp 2: P = {1, 2}. Khi đó, M((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); P ) = {{1, 2}}, rP = 1, Γ1 = {{1, 2}}, ∆1 = ∆ Q ∈ {{1, 2}}. Ta có E(P ) = ∅ AQ,P × BQ,P = (R × R) × ({0} × {0}), span {(C1T , −D1T ), (C2T , −D2T )} = (x∗ , ω ∗ ) | x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ), λ1 , λ2 ∈ R , C2a :={(x∗ , ω ∗ , ξ) | x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ) λ1 , λ2 ∈ R, ξ = (0, 0)}. Ta suy từ Định lý 2.1 N ((¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ ); gph F) = (x∗ , ω ∗ , ξ) | x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R, ξ ∈ R− × {0} ∪ (x∗ , ω ∗ , ξ) |x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, ξ ∈ R+ × {0} . 27 Vì vậy, Định lý 2.2, D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(ξ)   (x∗ , ω ∗ ) | x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R        ξ ∈ R+ × {0},    = (x∗ , ω ∗ ) |x∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ),      λ1 ∈ R, λ2 ≥ ξ ∈ R− × {0},      ∅ trường hợp khác. Tiếp theo, lấy q ∗ = (q1∗ , q2∗ ) ∈ R2 ω ∗ = (ω1∗ , ω2∗ ) ∈ R2 vectơ cho (M T q ∗ , ω ∗ ) ∈ D∗ F(¯ x, ω ¯ , ξ¯∗ )(−q ∗ ). Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: −q ∗ ∈ R+ × {0}. Khi M T q ∗ = q ∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R. Điều suy λ1 = 0. Hence, q ∗ = (0, 0), ω ∗ = (0, 0). Trường hợp 2: −q ∗ ∈ R− × {0}. Khi q ∗ = (−λ2 , λ1 ), ω ∗ = (−λ1 − 2λ2 , −λ1 − 2λ2 ), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0. Điều suy λ2 = and λ1 = 0. Do đó, q ∗ = (0, 0) ω ∗ = (0, 0). Từ hai trường hợp sau vừa xét ta khẳng định từ Định lý 3.1 S Lipschitz kiểu Aubin (¯ q, ω ¯ , x¯). 28 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, cụ thể lý thuyết đối đạo hàm Mordukhovich, bất đẳng thức biến phân aphin. Thiết lập công thức xác tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich cho ánh xạ nón pháp tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. Đưa đặc trưng cần đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số. Tài liệu tham khảo [1] L. Ban, B. S. Mordukhovich and W. Song (2011), Lipschitzian stability of parametric variational inequalities over generalized polyhedra in Banach spaces, Nonlinear Anal. 74, 441–461. [2] A. L. Dontchev and R.T. Rockafellar (1996) Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J. Optim. 6, 1087–1105. [3] R. Henrion, B. S. Mordukhovich and N. M. Nam (2010), Secondorder analysis of polyhedral systems in finite and infinite dimensions with applications to robust stability of variational inequalities, SIAM J. Optim. 20, 2199–2227. [4] R. Henrion and J. Outrata (2008), On calculating the normal cone to a finite union of convex polyhedra, Optimization. 57, 57–58. [5] R. Henrion, J. Outrata and T. Surowiec (2009), On the co-derivative of normal cone mappings to inequality systems, Nonlinear Anal. 71, 1213–1226. [6] N. Q. Huy and J.-C. Yao (2012), Exact formulae for coderivatives of normal cone mappings to perturbed polyhedral convex sets, J. Optim. Theory Appl., accepted for publication. 30 [7] N. Q. Huy, D. S. Kim, N. T. Q. Trang (2013), Coderivatives of normal cone mappings to polyhedral convex sets with linear perturbations, submitted. [8] G. M. Lee and N. D. Yen (2011), Fréchet and normal coderivatives of implicit multifunctions, Applicable Analysis. 90, 1011–1027. [9] S. Lu, (2010), Variational conditions under the constant rank constraint qualification, Math. Oper. Res. 35, 120–139. [10] S. Lu and S. M. Robinson (2008) , Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Math. Oper. Res. 33, 689–711. [11] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer, Berlin. [12] B. S. Mordukhovich and R. T. Rockafellar, Second-order subdifferential calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J. Optim, submitted. [13] N. M. Nam (2010) Coderivatives of normal cone mappings and Lipschitzian stability of parametric variational inequalities, Nonlinear Anal. 73, 2271–2282 . [14] R. T. Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton Mathematical Series, No. 28 Princeton University Press, N.J. Princeton. [15] N. T. Qui (2011), Linearly perturbed polyhedral normal cone mappings and applications, Nonlinear Anal. 74, 1676–1689. [16] N. T. Qui (2011), New results on linearly perturbed polyhedral normal cone mappings, J. Math. Anal. Appl. 381, 352–364. [17] N. T. Qui, Nonlinear Perturbations of Polyhedral Normal Cone Mappings and Affine Variational Inequalities, J. Optim. Theory Appl, DOI: 10.1007/s10957-011-9937-9. 31 [18] N. T. Q. Trang (2011) Lipschitzian stability of parametric variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Optim. Lett, DOI: 10.1007/s11590-011-0299-x. [19] J.-C. Yao and N. D. Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality. I. Basic calculations, Acta Math. Vietnam. 34, 157–172. [20] J.-C. Yao and N. D. Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality. II. Applications, Pac. J. Optim. 5, 493–506. [...]... nhằm tìm hiểu về giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là lý thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich, và bất đẳng thức biến phân aphin Thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich cho ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính Đưa ra được một đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân... nghĩa đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯, ω , ξ ∗ ), ta x ¯ ¯ có D∗ F(¯, ω , ξ ∗ )(ξ) = (x∗ , ω ∗ ) x ¯ ¯ (x∗ , ω ∗ , −ξ) ∈ N ((¯, ω , ξ ∗ ); gph F) x ¯ ¯ 12 Khi đó, kết luận của định lý ngay lập tức được suy ra từ Định lý 1.1 Chương 2 Đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp Trong chương này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối đạo Mordukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện. .. {C1 , C2 } là độc lập tuyến tính, tuy nhiên ta không thể áp dụng Theorem 3.3 và Theorem 4.3 trong [13] để tính các đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F Rõ ràng, ma trận D := {D1 , D2 } không có ma trận nghịch đảo Khi đó, chúng ta không thể áp dụng Theorem 3.3 trong [16] để tính đối đạo hàm Fréchet của F và Theorem 3.4 trong [6] để tính đối đạo hàm Mordukhovich của F Ta có K = {1}, I1... một ví dụ để minh họa việc tính các đối đạo hàm của F mà đã được trình bày trong Chương 2 và 3 Đồng thời sử dụng các kết quả tính toán để khảo sát tính chất Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số Xét bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số (3.1) với M là ma trận đơn vị trong R2×2 , q ∈ R2 , Θ(ω) là một tập lồi đa diện có tham số được xác... Chương 3 Áp dụng cho các bất đẳng thức biến phân aphin Xét bài toán bất đẳng thức biến phân aphin trên tập lồi đa diện: Tìm x ∈ Θ(ω) sao cho M x − q, u − x ≥ 0 for all u ∈ Θ(ω), (3.1) ở đó M ∈ Rn×n , (q, ω) ∈ Rn × Rp , và Θ(ω) được cho bởi (0.1) Khi đó, ánh xạ nghiệm S(q, ω) của (3.1) có thể biểu diễn dưới dạng hàm ẩn đa trị S : Rn × Rp Rn , S(q, ω) := {x ∈ Rn | 0 ∈ M x − q + F(x, ω)} (3.2) với F(x, ω)... ((x, ω); gphΘ−1 ) = pos {(CiT , −Di ) | i ∈ I(x, ω)} Bổ đề 1.2 [3, Lemma 3.3] Nếu P ⊂ Q ⊂ T , thì (BQ,P )∗ = AQ,P với (BQ,P )∗ := {u∗ ∈ Rn | u∗ , x ≤ 0 ∀ x ∈ BQ,P } 1.2 Đối đạo hàm Fréchet của F Trong mục này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet của F ¯ Định lý 1.1 Cho ω ∈ Rp , x ∈ Θ(¯ ), và ξ ∗ ∈ N (¯, Θ(¯ )) Đặt I := ¯ ¯ ω x ω I(¯, ω ) và I1 := I1 (¯, ω , ξ ∗ ) Lấy λ = (λi... lập công thức chính xác tính đối đạo Mordukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính 2.1 Bổ đề về tập các chỉ số Các khái niệm và kí hiệu trong chương này vẫn được sử dụng như ở chương trước Cho Ω ∈ Rn Ta định nghĩa ri (Ω) và cl Ω lần lượt là phần trong tương đối và bao đóng của Ω Cho P ∈ I(¯, ω , ξ ∗ ) Định nghĩa x ¯ ¯ ∆ := ri pos {CiT | i ∈ P } và M((¯, ω , ξ ∗ )|P ) =... z∗ = T (1 − t)αi + tβi (CiT , −Di ) i∈I Từ tính độc lập tuyến tính của (C, −Di ), i ∈ I, suy ra 0 = γj = (1 − t)αj + tβj , ∀ j ∈ I \ Q Do đó, αj = βj = 0 với mọi j ∈ I \ Q Vì vậy T u∗ , v ∗ ∈ pos {(CiT , −Di ) |i ∈ Q} Mệnh đề được chứng minh 17 2.2 Đối đạo hàm Mordukhovich của F Đặt P ⊂ Q ⊂ T và P ∈ I(¯, ω , ξ ∗ ) Đặt x ¯ ¯ Γk := {Sk,j | j = 1, 2, , lk }, với lk ∈ N và k ∈ {1, 2, , rP + 1} được... x = 0 ∀i ∈ P, CiT , x ≤ 0 ∀i ∈ Q \ P }, trong đó span {vj | j ∈ J} := i∈J µj vj | µj ∈ R ∀j ∈ J và span ∅ = {0} Với mỗi u∗ ∈ Rn , ta sử dụng kí hiệu {u∗ }⊥ := {x ∈ Rn | u∗ , x = 0} Nón tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω được định nghĩa như sau ¯ ¯ T (¯; Ω) = {λ(x − x) | x ∈ Ω, λ ≥ 0} x Ánh xạ Θ−1 : Rn Rm được xác định bởi Θ−1 (x) := {ω ∈ Rp | x ∈ Θ(ω)} (1.2) 8 Khi đó T gph Θ−1 = {(x, ω) ∈ Rn × Rm |... dãy con nếu cần ∗ thiết vk = 0 với mọi k Từ [16, Lemma 2.1] chỉ ra tồn tại P ⊂ Q sao ∗ cho Ci , i ∈ P , là độc lập tuyến tính và vk ∈ ri pos {CiT | i ∈ P } Khi đó 18 ¯ ξ ∗ ∈ pos {CiT | i ∈ P }, và, P ∈ I Bằng cách lấy một dãy con nếu cần ∗ thiết, giả sử tồn tại m ∈ {1, 2, , rP }, sao cho vk ∈ ∆m với mọi k và Γm = Sm,j | Sm,j ∈ M((¯, ω , ξ ∗ )|P ), j ∈ {1, 2, , lm }, với lm ∈ N} x ¯ ¯ ¯ Rõ ràng, . 2 Đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp Trong chương này chúng ta thiết lập công thức chính xác tính đối đạo Mordukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. 2.1. thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. 1.1 Một số kiến thức cơ bản và kết quả bổ trợ Cho F : R m ⇒ R n là một ánh xạ đa trị. Ký. không cần thiết. Với những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính nhằm tìm hiểu về lý thuyết đối đạo hàm, tiếp tục nghiên