BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI **************** NGUYỄN THỊ KIM THÚY BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH ĐA TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Đình Kế Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo - tiến sĩ Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc thầy. Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu, động viên để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nông nghiệp Khoa Khoa học tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập hoàn thành tốt luận văn. Tác giả xin chân thành cảm gúp đỡ động viên gia đình, bạn bè, thành viên lớp cao học Toán giải tích khóa 2012 - 2014 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Kim Thúy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển cho lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Kim Thúy Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Nửa nhóm toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Nửa nhóm phần tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Nửa nhóm compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Bài toán điều khiển tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Bài toán điều khiển phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Kết bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Tính điều khiển xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đơn trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính với hai trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đa trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết điều khiển toán học hệ vi phân chủ đề nghiên cứu lớn. Bài toán điều khiển hệ vi phân không gian hữu hạn chiều quan tâm nghiên cứu từ năm đầu kỷ 20 trước đòi hỏi thực tiễn ứng dụng. Theo hướng này, toán điều khiển tuyến tính giải tương đối trọn vẹn. Nhiều lớp toán phi tuyến nhà toán học quan tâm nghiên cứu cách sử dụng phương pháp tuyến tính hóa. Trong năm gần đây, toán điều khiển hệ vi phân không gian vô hạn chiều (ví dụ hệ vi phân thường có trễ hệ phương trình đạo hàm riêng) nghiên cứu rộng rãi. Một khác biệt so với toán hữu hạn chiều tính điều khiển xác cho hệ vô hạn chiều khó thực với phương trình tuyến tính (ví dụ toán điều khiển với phương trình parabolic). Do vậy, người ta thường đặt vấn đề tính điều khiển xấp xỉ trường hợp này. Luận văn đặt mục tiêu tìm hiểu lý thuyết điều khiển vô hạn chiều thông qua lớp toán điều khiển với phương trình vi phân nửa tuyến tính chứa đa trễ không gian Hilbert: N N A1i y(t − hi ) + y (t) = A0 y(t) + i=1 (s)A2i y(t + s)ds i=1 −hi + G(t, yt ) + (Bu)(t), ≤ t ≤ b, y(θ) = ξ(θ), −h ≤ θ ≤ 0. Các kết nghiên cứu trình bày báo [19] nội dung nghiên cứu luận văn. Trong đó, lý thuyết điểm bất động sử dụng để chứng minh tính điều khiển xấp xỉ hệ vi phân nói giả thiết hợp lý toán tử hàm phi tuyến xuất phương trình. Đề tài luận văn chọn là: “ Bài toán điều khiển cho lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết điều khiển hệ vi phân vô hạn chiều thông qua lớp toán điều khiển với phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán điều khiển với phương trình vi phân tuyến tính; Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động; Chứng minh chi tiết kết tính điều khiển xấp xỉ hệ vi phân nửa tuyến tính đa trễ. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: toán điều khiển phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ không gian Hilbert. Phạm vi: tính giải tính điều khiển xấp xỉ toán nói trên. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Đóng góp Chứng minh chi tiết kết tính điều khiển xấp xỉ cho hệ vi phân nửa tuyến tính đa trễ báo [19]. Cố gắng mở rộng kết cho trường hợp không nghiệm. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Nửa nhóm toán tử tuyến tính Trong mục này, trình bày gắn gọn khái niệm kết nửa nhóm liên tục mạnh mà sử dụng luận văn. Phần chứng minh mệnh đề tìm thấy tài liệu [5]. 1.1.1. Nửa nhóm phần tử sinh Định nghĩa 1.1. Cho X không gian Banach. Một họ toán tử tuyến tính bị chặn (T (t))t≥0 X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 -nửa nhóm) X thỏa mãn (i) T (0) = I; (ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0; (iii) T (.)x : [0, +∞) → X, t → T (t)x liên tục với x ∈ X. Nếu tính chất thỏa mãn với t, s ∈ R (T (t))t∈R nhóm liên tục mạnh X. Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa hàm sinh). (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach X. Đặt D(A) = x ∈ X : ∃ lim h↓0 T (h)x − x . h Toán tử A : D(A) ⊆ X → X, x → Ax = lim h↓0 T (h)x − x gọi hàm sinh h nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Mệnh đề 1.1. Hàm sinh nửa nhóm liên tục mạnh toán tử tuyến tính đóng, có miền xác định trù mật không gian Banach X xác định nhất. A toán tử tuyến tính đóng. • Tập giải thức A ρ(A) = {λ ∈ C : λI − A song ánh }. • Phổ A σ(A) = C − ρ(A). • Giải thức R(λ, A) = (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A). Bổ đề 1.1. (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh có hàm sinh A, T (t) ≤ M eωt . Nếu Reλ > ω λ ∈ ρ(A) ∞ e−λs T (s)ds. R(λ, A) = ∞ Công thức R(λ, A) := e−λs T (s)ds gọi công thức biểu diễn tích phân giải thức. Định lý 1.1 (Định lí Hille -Yosida). Điều kiện cần đủ để toán tử tuyến tính đóng A với miền xác định trù mật không gian Banach X sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 tồn số thực M, ω cho với số thực λ > ω λ ∈ ρ(A) R(λ, A)n ≤ M , n = 1, . (λ − ω)n Trong trường hợp T (t) ≤ M eωt . Định nghĩa 1.3. A toán tử tuyến tính đóng, D(A) trù mật X. D(A∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ : ∃y ∗ ∈ X ∗ :< y ∗ , x >=< x∗ , Ax >, ∀x ∈ D(A)}. Khi ta định nghĩa toán tử liên hợp A∗ sau: A∗ x∗ = y ∗ . Định lý 1.2. A toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật không gian Banach X. Khi A sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 X thỏa mãn T (t) ≤ eωt , ∀t ≥ với λ > ω ta có (λI − A)x (λI − A∗ )x∗ X ≥ (λ − ω) x X, x ∈ D(A). X∗ ≥ (λ − ω) x∗ ∗ X∗, x ∈ D(A∗ ). Đặc biệt X không gian Hilbert, điều kiện viết lại sau β x β x ≥ Re{< Ax, x >}, x ∈ D(A). ≥ Re{< A∗ x, x >}, x ∈ D(A∗ ). Cho A ∈ L(X). Xét ∞ tA T (t) = e = k=0 tk A k . k! Dễ thấy vế phải hội tụ điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn, etA nửa nhóm liên tục mạnh. 1.1.2. Nửa nhóm compact Định nghĩa 1.4 (Nửa nhóm liên tục tức theo chuẩn). Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 gọi liên tục tức theo chuẩn T (.) : (0, ∞) → L(X) liên tục theo chuẩn. Chứng minh. Từ (2.15) có số R đủ lớn số dương c < cho g (t, x) ≤ c x , x ≥ R. (2.16) Đặt L1 := max g (t, x) : t ∈ [0, b] x ≤ R . Chọn số r0 cho r0 ≥ L1 r0 ≥ R. Với x ≤ r0 t ∈ [0, b], x ≤ R, ta có g (t, x) ≤ L1 ≤ r0 . Ngoài ra, R < x ≤ r0 , từ (2.16) ta có g (t, x) ≤ c x < x ≤ r0 . 2.3. Tính điều khiển xấp xỉ Để khảo sát tính điều khiển xấp xỉ (2.1), ta cần thêm giả thiết (H3 ) sau (được giới thiệu lần đầu Naito [14]). Xét toán tử ϕ từ L2 (0, b; X) vào X xác định b S (b − s) p (s) ds với p (·) ∈ L2 (0, b; X) . ϕp = Kí hiệu kerϕ = N , tức N = {p : ϕp = 0}. Khi đó, N không gian đóng L2 (0, b; X). Giả sử không gian trực giao N L2 (0, b; X) N ⊥ , gọi Q toán tử chiếu L2 (0, b; X) lên N ⊥ R[B] miền giá trị toán tử B. Ta thêm giả thiết sau 37 (H3 ) Với p (·) ∈ L2 (0, b; X), tồn hàm q (·) ∈ R[B] cho b b S (b − s) p (s) ds = S (b − s) q (s) ds. Nhận xét 2.1. (H3 ) tương đương với L2 (0, b; X) = N ⊕ R[B]. Nhiều hệ điều khiển thỏa mãn (H3 ); xem Naito [14], Jeong et al. [8], tài liệu tham khảo kèm theo trường hợp cụ thể. Từ giả thiết (H3 ) ta có {x + N } ∩ R[B] = ∅ với x ∈ N ⊥ . Do đó, ánh xạ P từ N ⊥ lên R[B] xác định P x = x∗ , x∗ ∈ {x + N } ∩ R[B] x∗ = y : y ∈ {x + N } ∩ R[B] xác định bị chặn; xem Naito [14]. Bây giờ, ta đến định lý chính. Định lý 2.1. Giả sử (2.10) thỏa mãn với γ1 γ2 đủ nhỏ. Ngoài ra, giả sử (H1 ) (H3 ) thỏa mãn. Khi đó, Rb (L) ⊂ Rb (N ). Do đó, hệ (2.1) điều khiển xấp xỉ [0, b] hệ tương ứng tuyến tính (2.2) điều khiển xấp xỉ. Chứng minh. Ta xb ∈ Rb (N ) xb ∈ Rb (L). Theo định nghĩa Rb (L), tồn hàm điều khiển u (·) ∈ L2 (0, b; X) cho b xb = S (b) ξ (0) + S (b − s) (Bu) (s) ds. 38 Đặt z0 = QBu. Khi đó, z0 ∈ N ⊥ . Xây dựng toán tử J từ N ⊥ lên N ⊥ sau v ∈ N ⊥. Jv = z0 − QΓP v, (2.17) Chú ý v ∈ N ⊥ kéo theo P v ∈ L2 (0, b; X) , ΓP v ∈ L2 (0, b; X), QΓP v ∈ N ⊥ . Do đó, J xác định compact theo Bổ đề 2.5. Từ (2.12) Bổ đề 2.6, với x (t) := x (t; z) , z (·) ∈ L2 (0, b; X) ta có G (t, xt ) ≤ c1 |xt |C + c2 + [c1 (|xt |C + x (t + s) ) +c2 ]ds −h ≤ (1 + h + b) c1 H( z L2 (0,b;X) ) + c1 h|ξ|C + c2 + c2 h. Đặc biệt, với z = P v, v ∈ N ⊥ , theo Bổ đề 2.6 ta có z0 − QΓP v L2 (0,b;X) ≤ z0 ≤ z0 L2 (0,b;X) L2 (0,b;X) + QΓP v  b L2 (0,b;X) 1/2 G (t, xt ) dt + √ + (1 + h + b) c1 bH( P √ + (c1 h|ξ|C + c2 + c2 h) b. ≤ z0 L2 (0,b;X) v L2 (0,b;X) ) Do đó, lim sup [ z0 v L2 (0,b;X) →∞ √ + (1 + h + b) c bH( P L2 (0,b;X) √ + (c1 h|ξ|C + c2 + c2 h) b]/ v v L2 (0,b;X) ) L2 (0,b;X) ≤ c1 M b (1 + h + b) P eM (1+h+b)bc1 . Chú ý γ1 γ2 đủ nhỏ (2.10), ta chọn số c1 (2.12) đủ nhỏ cho c1 M b (1 + h + b) P eM (1+h+b)bc1 < 1. 39 Do đó, theo Bổ đề 2.7, tồn số thực r0 > cho z0 − QΓP v L2 (0,b;X) ≤ r0 với v L2 (0,b;X) ≤ r0 . Cho nên, J ánh xạ biến tập đóng bị chặn D (r0 ) = {v : v L2 (0,b;X) ≤ r0 } N ⊥ vào D (r0 ). Theo định lý điểm bất động Schauder tồn điểm bất động v ∗ J D (r0 ), tức Jv ∗ = z0 − QΓP v ∗ = v ∗ . (2.18) Từ định nghĩa P, ta có P x∗ ∈ (v ∗ + N ) ∩ R[B]. Do đó, b b S (b − s) (P v ∗ ) (s) ds = S (b − s) v ∗ (s) ds. (2.19) Chú ý Q phép chiếu từ L2 (0, b; X) vào N ⊥ , ta có b b S (b − s) p (s) ds, p (·) ∈ L2 (0, b; X) . (2.20) S (b − s) Qp (s) ds = Từ (2.18), (2.19), (2.20), ta có b b S (b − s) [G (s, xs ) + (P v ∗ ) (s) ]ds. S (b − s) (Bu) (s) ds = Do đó, b xb = S (b) ξ (0) + S (b − s) (Bu) (s) ds 40 b S (b − s) [G (s, xs ) + (P v ∗ ) (s) ]ds = = x (b; P v ∗ ) . Chú ý P v ∗ ∈ R (B), dãy un (·) ∈ L2 (0, b; U ) cho lim Bun − P v ∗ n→∞ L2 (0,b;X) = 0; Từ tính liên tục W ta có lim WBun − WP v ∗ n→∞ C([0,b];X) = 0, đó, x (b; Bun ) → x (b, P v ∗ ) = xb , n → ∞. Chú ý x (b; Bun ) → y (b, un ) ∈ Rb (N ), ta có xb ∈ Rb (N ). Hệ 2.1. Giả sử (H1 ) (H3 ) thỏa mãn. Ngoài ra, tồn số K > α, β ∈ [0, 1) cho f (t, η) ≤ K (1 + |η|αC ) , g (t, s, η, x) ≤ K + |η|αC + x β , (2.21) với (t, s) ∈ [0, b] × [ − h, 0] (η, x) ∈ C ([ − h, 0]; X) × X. Khi đó, Rb (L) ⊂ Rb (N ). Nhận xét 2.2. Nếu A1i , A2i = 0, i = 1, 2, ., N, (H3 ) kéo theo điều khiển xấp xỉ (2.2) [0, b]; xem Naito [14]. Trong trường hợp này, Hệ 2.1 bảo đảm tính điều khiển xấp xỉ (2.1) [0, b] ta giả thiết (H1 ), (H3 ) (2.21). Do đó, Hệ 2.1 hoàn thiện [8, Định lý 4.1]. Định lý 2.1 hoàn thiện kết Naito [14], [16, Định lý 2], kết Wang [19]. 41 Chương Ứng dụng 3.1. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đơn trễ Xét phương trình ∂y (t, x) ∂ y (t, x) = + y (t − 1, x) + f (y (t, x)) ∂t ∂x2 +Bu (t, x) , < t < 2, < x < π, ≤ t ≤ 2, y (t, 0) = y (t, π) = 0, −1 ≤ t ≤ 0, y (t, x) = 0, (3.1) ≤ x ≤ π. Đặt X = L2 (0, π) A0 = d2 /dx2 với D(A0 ) = {y ∈ H (0, π) : y(0) = y(π) = 0}. Khi đó, giá trị riêng hàm riêng A0 λn = −n2 en (x) = sin (nx) , n = 1, 2, Như biết, {en : n = 1, 2, .} sở trực giao X, nên ∞ λn y, en en , y ∈ D (A0 ) A0 y = n=1 toán tử A0 sinh nửa nhóm compact T (t) X xác định ∞ eλn t y, en en , y ∈ X. T (t) y = n=1 ∞ Đặt U = ∞ un en : n=2 u2n ∞ cho f (x) − f (y) ≤ L x − y , với x, y ∈ X. ∞ Đặt x = ∞ y= xn en với x1 = n=1 yn en với y1 = √ 2kπ + π/2 ; xn = với n ≥ đặt 2kπ ; yn = với n ≥ . Ta có n=1 f (x) − f (y) = √ x1 sin x21 − >L √ y1 sin y12 = (2kπ + π/2) √ 2kπ + π/2 − 2kπ = L x − y , với k đủ lớn. Chú ý (H3 ) thỏa mãn hệ tuyến tính tương ứng (3.2) điều khiển xấp xỉ [0, 2]. Do đó, hệ (3.1) điều khiển xấp xỉ [0, 2] theo Hệ 2.1. Rõ ràng, [8, Định lý 4.1] không áp dụng hệ (3.1) f không liên tục Lipschitz đều. 3.2. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính với hai trễ Xét phương trình ∂y (t, x) ∂ y (t, x) = + y (t − 1, x) + y (t − 2, x) + f (y (t, x)) ∂t ∂x2 +G (t, yt ) + Bu (t, x) , < t < 3, < x < π, y (t, 0) = y (t, π) = 0, y (t, x) = 0, ≤ t ≤ 3, −2 ≤ t ≤ 0, ≤ x ≤ π. 44 (3.3) Với giả thiết giống ví dụ 1. Khi đó, hệ (3.3) có dạng rút gọn phương trình trừu tượng sau y (t) = A0 y (t) + y (t − 1) + y (t − 2, x) + G (t, yt ) + (Bu) (t) , < t ≤ 3, y (t) = 0, −2 ≤ t ≤ 0. (3.4) Để sử dụng Định lý 2.1, ta cần kiểm tra tính điều khiển xấp xỉ hệ tuyến tính tương ứng với (3.4) giả thiết (H3 ). Ta sử dụng kỹ thuật kiểm tra Naito [14] Jeong et al. [8] sau: ∀g ∈ L2 (0, 3; X), xét phương trình y (t) = A0 y (t) + y (t − 1) + y (t − 2, x) + g (t) , < t < 3, −2 ≤ t ≤ 0. y (t) = 0, Bằng cách thực bước, ta thu nghiệm  t    T (t − s) g (s) ds , < t ≤ 1,      t     T (t − s) g (s) ds      t−1 y (t) = + (t − s − 1) T (t − s − 1) g (s) ds, < t ≤ 2,     t t−1    T (t − s) g (s) ds + (t − s − 1) T (t − s − 1) g (s) ds    0   t−2     (t − s) (t − s − 2) T (t − s − 2) g (s) ds, , < t ≤ 3.  +2 Do đó, T (3 − s) g (s) ds + y (3) = (2 − s) T (2 − s) g (s) ds + (3 − s) (1 − s) T (1 − s) g (s) ds. 45 Giả sử ξ ∈ D (A0 )   0, < s ≤ 2, g (s) =  ξ − (s − 2) A ξ, < s ≤ 3. Rõ ràng, y (3) = ξ. Do đó, R3 (L) = X, S (3 − s) g (s) ds : g ∈ L2 (0, 3; X)} R3 (L) = { ={ T (3 − s) g (s) ds + (2 − s) T (2 − s) g (s) ds + (3 − s) (1 − s) T (1 − s) g (s) ds :g ∈ L2 (0, 3; X)}. Do đó, hệ tuyến tính tương ứng (3.4) điều khiển xấp xỉ [0, 3]. ∞ bn (s) en . Chú ý Đặt b (s) = n=1 S (3 − s) b (s) ds ∞ = bn (s) {e(3−s)λn + (2 − s) e(2−s)λn + [ i=1 bn (s) {e(3−s)λn + (2 − s) e(2−s)λn }ds + + (3 − s) (1 − s) e(1−s)λn }ds bn (s) e(3−s)λn ds]en , chứng tỏ S (3 − s) b (s) ds = 0 46 bn (s) {e(3−s)λn + (2 − s) e(2−s)λn + (3 − s) (1 − s) e(1−s)λn }ds bn (s) {e(3−s)λn + (2 − s) e(2−s)λn }ds + + bn (s) e(3−s)λn ds = 0, với n. Do đó, bn trực giao tương đương với    eλn s + (2 − s) eλn (s+1) + 21 (3 − s) (1 − s) eλn (s+2) , < s ≤ 1,     ψn (s) = eλn s + (2 − s) eλn (s+1) , < s ≤ 2,       eλn s , < s ≤ với n. Giả sử {ψ1 } {ψ1 , ψ2 } không gian sinh ψ1 ψ1 , ψ2 tương ứng. Khi đó, {ψ1 }⊥ = {ψ2 }⊥ = (ψ1 , ψ2 ) ψ1 ψ2 (ψ1 , ψ2 ) ψ1 − ψ2 ψ2 ψ2 − ⊕ {ψ1 , ψ2 }⊥ , ⊕ {ψ1 , ψ2 }⊥ . Do đó, {ψ1 }⊥ + {ψ2 }⊥ = L2 (0, 3). Giả sử p ∈ L2 (0, 3; X) p = ⊥ ⊥ (3.5) ∞ pn (s) en . Từ (3.5) tồn hàm b1 ∈ n=1 {ψ1 } b2 ∈ {ψ2 } cho p1 − 2p2 = a1 − 2a2 . Đặt u2 = p2 − a2 ∞ un = pn , n = 3, ., ta có p = a + Bu b (s) = bn (s) en thỏa mãn n=1 bn = 0, n = 3, 4, ., suy p1 = a1 + 2u2 pn = an + un , n = 2, 3, Do đó, ta L2 (0, 3; X) = N ⊕ R [B] (H3 ) thỏa mãn. Theo Định lý 2.1 hệ (3.3) điều khiển xấp xỉ [0, 3] hạng tử phi tuyến G (t, yt ) thỏa mãn (H1 ) (2.10). 47 3.3. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đa trễ Xét phương trình N ∂y (t, x) ∂ y (t, x) = + y (t − i, x) ∂t ∂x2 i=1 +G (t, yt ) + Bu (t, x) , < t < N + 1, < x < π, y (t, 0) = y (t, π) = 0, y (t, x) = 0, (3.6) ≤ t ≤ N + 1, −N ≤ t ≤ 0, ≤ x ≤ π. Nếu giả sử X A0 ứng dụng 3.1, ta viết lại (3.6) dạng N y (t − i) + G (t, yt ) + (Bu) (t) , y (t) = A0 y (t) + < t ≤ N + 1, i=1 y (t) = 0, −N ≤ t ≤ 0. (3.7) Ở đây, giả sử U = X định nghĩa toán tử B : L2 (0, N + 1; X) → L2 (0, N + 1; X) sau   0, (Bu) (t) =  u (t) , ≤ t < 1, ≤ t ≤ N + 1. Khi đó, B thỏa mãn (H3 ); xem [14, ví dụ 2]. Sử dụng lý luận tương tự ứng dụng trước, ta chứng minh (3.7) hệ tuyến tính tương ứng (3.6) điều khiển xấp xỉ [0, N + 1]. Do đó, theo Định lý 2.1 hệ (3.6) điều khiển xấp xỉ [0, N + 1] G (t, yt ) thỏa mãn (H3 ) (2.10). 48 Kết luận Luận văn nghiên cứu toán điều khiển thông qua mô hình xác định phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ không gian Hilbert. Cụ thể là: Chứng minh tính điều khiển xấp xỉ lớp phương trình nói trình bày vài ứng dụng với lớp phương trình đạo hàm riêng. Trong thời gian nghiên cứu thực luận văn, cố gắng chứng minh chi tiết kết báo [19] làm nội dung luận văn. Tuy nhiên, thời gian hạn chế nên không tránh khỏi số thiếu sót, mong nhận đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [1] K. Balachandran, J.P Dauer, Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey, J. Op-tim. Theory Appl. 115, 7-28 (2002). [2] J.R. Choi, Y.C. Kwun, Y.K. Sung, Approximate controllability for nonlinear integrodifferential equation, J. Korea Soc. Math. Educ.2, 173-181 (1995). [3] J.P. Dauer, N.I. Mahmudov, Approximate controllability of semilinear functional equation in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl. 273, 310-327 (2002). [4] J.P. Dauer, N.I. Mahmudov, Controllability of some nonlinear systemsin Hilbert spaces, J.Math. Anal. Appl. 123, 319-329 (2004). [5] K. J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, With Contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli, R. Schnaubelt, in: Graduate Texts in Mathematics, vol. 194, Springer-Verlag, New York, 2000. [6] C. Fabre, J.P. Puel, E. Zuazua, Approximate controllability of semilinear heat equation, Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A Math. 125, 31-61 (1995). 50 [7] L.A. Fernandez, E. Zuazua, Approximate controllability for semilinear heat equation involving gra-dient terms, J. Optim. Theory Appl. 101, 307-328 (1999). [8] J.M. Jeong, Y.C. Kwun, J.Y. Park, Approximate controllability for semilinear retarded functional differential equation, J. Dyn. Control Syst.5, 329-346 (1999). [9] J.M. Jeong, H.H. Roh, Approximate controllability for semilinear retarded systems, J. Math. Anal. Appl. 321, 961-975 (2006). [10] J. Klamka, Constrained controllability of semilinear systems, Nonlinear Anal. 47, 2939-2949 (2001). [11] J. Klamka, Constrained exact controllability of semilinear systems, Syst. Control Lett. 47, 139-147 (2002). [12] X. Li, J. Yong, Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems, Birkhauser, Basel (1994). [13] N.I. Mahmudov, Approximate controllability of semilinear deterministic and stochastic evolution equation in abstract spaces, SIAM J. Control Optim. 42, 1604-1622 (2003). [14] K. Naito, Controllability of semilinear systems dominated the linear part, SIAM J. Control Optim.25, 715-722 (1987). [15] K. Naito, J.Y. Park, Approximate controllability for trajectories of a delay Volterra control systems, J. Optim. Theory Appl. 61, 271-279 (1989). 51 [16] J.W. Ryu, J.Y. Park, Y.C. Kwun, Approximate controllability of delay Volterra control systems, Bull. Korean Math. Soc. 30, 277284 (1993). [17] R. Triggiani, A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces, SIAM J.Control Optim. 15, 407-411 (1977). [18] H.X. Zhou, Approximate controllability for a class of semilinear abstract equation, SIAM J. Control Optim. 21, 551-565 (1983). [19] L. Wang, Approximate controllability of delayed semilinear control systems, J. Appl. Math. Stoch. Anal. 11, 67-76 (2005). [20] L. Wang, Approximate controllability and approximate null controllability of semilinear systems, Commun. Pure Appl. Anal. 5, 953-962 (2006). 52 [...]... nửa tuyến tính là điều khiển được xấp xỉ dưới giả thiết về tính điều khiển được xấp xỉ của hệ tương ứng tuyến tính Với hệ điều khiển nửa tuyến tính đa trễ, một số kết quả về tính điều khiển được xấp xỉ đã được thiết lập Jeong và Roh [9] đã thảo luận tính điều khiển được xấp xỉ với một lớp hệ điều khiển có trễ dưới một vài điều kiện dạng bất đẳng thức Jeong et al [8] đã xem xét tính điều 20 khiển được... xấp xỉ cho một lớp hệ nửa tuyến tính có trễ dưới với điều kiện về miền giá trị của toán tử điều khiển Naito và Park [15], Ryu et al [16] đã nghiên cứu tính điều khiển được xấp xỉ cho một hệ Volterra có trễ Dauer và Mahmudov [3] đã thảo luận tính điều khiển được xấp xỉ của hệ nửa tuyến tính trong đó yếu tố điều khiển xuất hiện cả trong hàm nhiễu phi tuyến Wang [19] cũng nghiên cứu tính điều khiển được... tính điều khiển chính xác là rất hạn chế với nhiều phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính điều khiển được xấp xỉ là thích hợp hơn thay cho điều khiển chính xác với nhiều hệ điều khiển Sự điều khiển được xấp xỉ với hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ được nghiên cứu trong nhiều công trình (xem [2, 18]) Hầu hết trong số đó đều tập trung vào vi c tìm kiếm điều kiện nhiễu phi tuyến sao cho hệ nửa tuyến. .. được xấp xỉ với một lớp các hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ Luận văn trình bày một nghiên cứu về tính điều khiển được xấp xỉ của hệ (2.1) theo một số giả thiết tự nhiên liên quan đến độ tăng trưởng của hạng tử phi tuyến và tính compact của nửa nhóm T (t) Tính điều khiển được xấp xỉ của hệ (2.1) được chứng minh nếu hệ tuyến tính tương ứng là điều khiển được xấp xỉ Kết quả về tính điều khiển được xấp... nếu Rb (L) = X Phương trình vi tích phân phi tuyến có trễ là mô hình trừu tượng cho các hệ vi phân hàm hoặc phương trình đạo hàm riêng Nghiên cứu 19 tính điều khiển được với hệ này có rất nhiều ứng dụng quan trọng Balachandran và Dauer [1] đã tóm tắt nhiều kết quả về tính điều khiển chính xác của các hệ điều khiển khác trong không gian Banach Ngoài ra, tính điều khiển chính xác địa phương được nghiên... điều khiển được về 0 của hệ (1.4) Định lý 1.8 Giả sử X và U là các không gian Banach phản xạ và 1 < p < +∞ Khi đó hệ (1.4) điều khiển được về 0 trên [0, t1 ] nếu và chỉ nếu tồn tại γ > 0 sao cho γ B ∗ T ∗ (·)z ∗ Lq (0,t1 ;U ∗ ) ≥ T ∗ (t1 )z ∗ 17 Z∗ , trong đó 1 1 + = 1 p q Chương 2 Bài toán điều khiển phi tuyến 2.1 Đặt vấn đề Xét tính điều khiển được xấp xỉ với hệ điều khiển cho bởi phương trình vi tích... 0 là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2) trên [0, t] 1.2 Bài toán điều khiển tuyến tính Ta xét bài toán điều khiển sau   z(t) = Az(t) + Bu(t), t > 0, ˙ (1.4)  z(0) = z , 0 trong đó A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh {T (t)} trong không gian Banach Z, B là toán tử bị chặn từ không gian Banach U vào Z, u được gọi là yếu tố điều khiển, u ∈ Lp (R+ , U ), p ≥ 1 loc Xét nghiệm tích phân của (1.4) t... Z, tồn tại điều khiển u ∈ Lp (0, t1 ; U ) sao cho nghiệm tích phân z(., z0 , u) thỏa mãn z(t1 ) − z1 < ε Định nghĩa trên tương đương với RgB = Z Định nghĩa 1.11 Hệ (1.4) gọi là điều khiển được chính xác về 0 nếu ∀z0 ∈ Z tồn tại điều khiển u sao cho z(t1 , z0 , u) = 0 Tính điều khiển được về 0 của (1.4) tương đương với RgB ⊃ RgT (t1 ) Sau đây ta đi tìm các điều kiện cần và đủ cho tính điều khiển được... là điều khiển được chính xác trên [0, t1 ] nếu với mọi z0 , z1 ∈ Z, tồn tại một điều khiển u ∈ Lp (0, t1 ; Z) sao cho nghiệm tích phân tương ứng thỏa mãn z(t1 ) = z1 Kí hiệu B(u) = t1 0 T (t1 − s)Bu(s)ds, u ∈ Lp (0, t1 ; U ) Dễ dàng thấy rằng (1.4) điều khiển được chính xác trên [0, t1 ] nếu và chỉ nếu RgB = Z Mệnh đề sau đây cho ta một phản ví dụ về tính điều khiển được chính xác Mệnh đề 1.2 Nếu toán. .. các điều kiện về tính Lipschitz đều hoặc bị chặn đều của hàm phi tuyến được thay thế bằng điều kiện Lipschitz địa phương và điều kiện về độ tăng trưởng dưới tuyến tính Ngoài ra, ta cũng bỏ qua điều kiện phép nhúng D (A0 ) ⊂ V là compact và hệ (2.1) tổng quát hơn hệ xét trong [8] khi hạng tử phi tuyến G (t, yt ) là tổng quát hơn G (t, x) của [8] Do đó phương pháp sử dụng để chứng minh tính điều khiển . thuyết điều khiển đối với các hệ vi phân vô hạn chiều thông qua một lớp bài toán điều khiển với phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu bài toán điều khiển với phương. thiết hợp lý của các toán tử và hàm phi tuyến xuất hiện trong phương trình. Đề tài luận văn được chọn là: “ Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ . 2. Mục đích. tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: bài toán điều khiển đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ trong không gian Hilbert. Phạm vi: tính giải được và tính điều khiển được