BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÚY CÁC PHƯƠNG PHÁP TỰA NỘI SUY SPLINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt qúa trình học tập. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Các phương pháp tựa nội suy spline ứng dụng" hoàn thành nhận thức tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Số gần sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Phương pháp nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Đa thức nội suy Hermitte . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Phương pháp tựa nội suy 19 2.1 Không gian hàm spline B-spline . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Tính chất spline B-spline . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 2.2.1 Sự độc lập tuyến tính đa thức đại diện . . . . . . 21 2.2.2 Phép lấy vi phân tính trơn B-spline . . . . . 26 2.2.3 B-spline làm sở cho đa thức đoạn . . . . . . 30 Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3 Hai sở tựa nội suy phiếm hàm điểm . . . . . 38 Ứng dụng 41 3.1 Tựa nội suy hàm spline bậc . . . . . . . . . . . 41 3.2 Tựa nội suy hàm spline bậc . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thực tế, vấn đề tìm giá trị hàm số, tính tích phân xác định có ý nghĩa quan trọng, nên có nhiều phương pháp khác để giải toán trên. Việc giải tìm nghiệm toán nhiều trường hợp không giải nghiệm ý nghĩa thiết thực, người ta sử dụng nhiều phương pháp gần khác để giải vấn đề trên. Hàm spline đa thức đoạn có nhiều ưu điểm tính toán ứng dụng tính toán gần đúng. Trong phương pháp nội suy, điểm nút mốc nội suy cố định. Người ta sử dụng điểm nút nội suy linh hoạt, phương pháp tựa nội suy. Khi áp dụng hàm spline phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ hàm số, người ta chia khoảng xác định hàm số thành nhiều đoạn, đoạn ta xấp xỉ hàm spline, qua xấp xỉ hàm số cho. Phương pháp có nhiều ưu điểm đó, chọn đề tài : “Các phương pháp tựa nội suy spline ứng dụng”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khái niệm tính chất hàm spline, B-spline. Khái niệm phương pháp tựa nội suy spline số ứng dụng phương pháp tựa nội suy hàm spline, B-spline. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy hàm spline. Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy spline, xấp xỉ hàm số, lập trình Maple để giải toán đặt ra. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp nội suy phương pháp hàm spline trình thực luận văn. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Áp dụng phương pháp tựa nội suy vào xấp xỉ lớp hàm số có ứng dụng thực tế. Làm rõ số tính chất hàm spline phương pháp tựa nội suy. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị, chương trình bày khái niệm kiến thức để sử dụng cho chương sau. Chương 2. Phương pháp tựa nội suy, chương trình bày khái niệm tính chất hàm spline, B-spline, phương pháp tựa nội suy tính chất. Chương 3. Ứng dụng, trình bày ứng dụng phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ lớp hàm cho trước. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Một tập X gọi không gian vectơ, nếu: • Ứng với phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tổng x với y , kí hiệu x + y ; ứng với phần tử x X số thực α ta có, theo quy tắc đó, phần tử X gọi tích x với α kí hiệu αx. • Các quy tắc nói thỏa mãn tiên đề sau: 1. x + y = y + x, ∀x, y ∈ X. 2. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X . 3. Tồn phần tử cho x + = x với x ∈ X ( phần tử gọi phần tử không). 4. Ứng với phần tử x ∈ X , tồn phần tử −x ∈ X cho x + (−x) = (phần tử −x gọi phần tử đối x). 5. 1.x = x, ∀x ∈ X . 6. α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R . 7. (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R. 8. α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R. Trên định nghĩa không gian vectơ thực. Nếu định nghĩa ta thay số thực số phức ta có không gian vectơ phức. Người ta gọi không gian vectơ không gian tuyến tính. Các phần tử không gian vectơ thường gọi vectơ. Ví dụ 1.1. Trong mặt phẳng thực E , tập X = E tập E = {(x1 , x2 ) : x1 x2 số thực}. Với số thực α vectơ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X , phép cộng nhân vô hướng định nghĩa: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) αx = (αx1 , αx2 ) không gian vectơ. Ví dụ 1.2. Xét không gian tuyến tính thực C[a,b] = {x = x(t) : x(t) hàm số liên tục [a, b]}, với số thực α f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng nhân vô hướng định nghĩa: (f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b (αf )(t) = αf (t) không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ x1 , x2 , ., xk ∈ X gọi độc lập tuyến tính tổ hợp tuyến tính vectơ mà không hệ số không, nghĩa là: α1 x1 + α2 x2 + . + αk xk = thiết kéo theo α1 = α2 = . = αk = 0. Các vectơ x1 , x2 , ., xk gọi phụ thuộc tuyến tính chúng không độc lập tuyến tính. Nghĩa tồn số α1 , α2 , ., αk có số khác cho α1 x1 + α2 x2 + . + αk xk = 0. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X không gian tuyến tính trường K , (K = R K = C). Một hệ vectơ X gọi hệ sinh X vectơ X biểu thị tuyến tính theo hệ đó. Nếu X có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử X gọi không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Một hệ vectơ X gọi sở X vectơ X biểu thị tuyến tính theo hệ đó. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Khi X có sở hữu hạn số phần tử sở X nhau. Số gọi số chiều không gian tuyến tính X . Nếu X K - không gian tuyến tính có số chiều n, ta viết dimX = n dimK X = n. Định nghĩa 1.1.5. Giả sử X không gian tuyến tính R. Tập X1 X gọi không gian tuyến tính không gian X X1 hai phép toán cảm sinh X X1 tạo thành không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử X Y hai không gian tuyến tính R. Khi ánh xạ T : X → Y gọi tuyến tính nếu: 1. T (x1 + x2 ) = T (x1 ) + T (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X 2. T (kx) = kT (x), ∀k ∈ R, ∀x ∈ X . 1.2 Không gian metric Định nghĩa 1.2.1. Xét tập hợp X với ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện: 1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 10    f (τ1 ) , j = 1 λj f = . (−f (xj,0 ) + 4f (xj,1 ) − f (xj,2 )) , < j < n   f (τn+1 ) , j = n Xấp xỉ tổng quát sau: n−1 P2 f = f (τ1 ) B1,2 + j=2 −f (τj+1 ) + 4f τj+1 +τj+2 − f (τj+2 ) Bj,2 + f (τj+n ) Bn,2 Từ đó, xấp xỉ địa phương sinh không gian spline. Tựa nội suy hoàn thành sinh không gian spline S2,τ . Ví dụ 2.5. Tựa nội suy bậc ba điểm. n cj Bj,3 | cj ∈ R, j = 1, 2, ., n . Xét không gian spline bậc 3: S3,τ = j=1 Ta chọn I = [τj+1 , τj+3 ], không gian spline địa phương S3,τ,I có số chiều 5, có hàm sở B-spline {Bi }j+2 i=j−2 cần điểm để xác định cj . Chúng ta chọn điểm sau: xj,0 = τj+1 , xj,1 ∈ (τj+1 , τj+2 ) , xj,2 = τj+2 , xj,3 ∈ (τj+2 , τj+3 ) , xj,4 = τj,3 , xác định bi từ hệ phương trình: j+2 bi Bi (xj,k ) = f (xj,k ) , k = 0, 1, ., i=j−2 Dạng ma trận vectơ trở thành  Bj−2 (xj,0 ) Bj−1 (xj,0 ) 0   Bj−2 (xj,1 ) Bj−1 (xj,1 ) Bj (xj,1 ) Bj (xj,1 )   Bj−2 (xj,2 ) Bj−1 (xj,2 ) Bj (xj,2 ) Bj (xj,2 ) Bj (xj,2 )   Bj−1 (xj,3 ) Bj (xj,3 ) Bj (xj,3 ) Bj (xj,3 )  Bj (xj,4 ) Bj (xj,4 )   f (xj,0 )    f (xj,1 )     f (xj,2 ) .      f (xj,3 )  f (xj,4 ) 35         bj−2 bj−1 bj bj+1 bj+2     =    Do cách chọn điểm nội suy, ta thấy tất điểm đường chéo dương ma trận không suy biến. Biểu thức λj f nhìn chung phức tạp, trường hợp, xj,2 xj,4 chọn trung bình cộng hai khoảng, ta có: λj f = f (τj+1 ) − 8f τj+3/2 + 20f (τj+2 ) − 8f τj+2/5 + f (τj+3 ) Trong đó, τj+3/2 = (τj+1 + τj+2 ) /2 τj+5/2 = (τj+2 + τj+3 ) /2, j = 1, 2, n − 1, n. Trong trường hợp đặc biệt ta có khoảng nút x3,1 = τ9/2 x3,3 = τ11/2 ta có λ1 f = f (τ4 ) λ2 f = 18 −5f (τ4 ) + 40f τ9/2 − 36f (τ5 ) + 18f τ11/2 − f (τ6 ) (−f (τn−1 )) + 18f (τn−1/2 ) − 36f (τn ) + 40f (τn+1/2 ) 18 − 5f (τn+1 ). λn−1 f = λn f = f (τn+1 ). 2.3.2 Các tính chất Tựa nội suy toán tử tuyến tính Định nghĩa 2.3.1. Khi xây dựng phương pháp tựa nội suy, hệ số B-spline tính đánh giá phiếm hàm tuyến tính. Phiếm hàm tuyến tính λ ánh xạ từ không gian S vào không gian số thực R với tính chất f g hai hàm số S với số thực α β λ (αf + βg) = αλf + βλg . Tuyến tính tính chất cần thiết phiếm hàm để sử dụng để tính hệ số B-spline xây dựng tựa nội suy. Nếu phiếm hàm hệ số không tuyến tính kết phương pháp xấp xỉ không tựa nội suy. Bổ đề 2.9. Tựa nội suy P toán tử tuyến tính, với hàm số f g số thực α β , 36 P (αf + βg) = αP f + βP g . Phiếm hàm điểm Phiếm hàm hệ số cho dạng l ωi f (xi ). λf = i=0 Phiếm hàm loại sử dụng phương pháp không xuất giá trị tính hàm f giá trị đo hàm f điểm đặc biệt biết. Hầu hết tựa nội suy thuộc loại này. Giả sử không gian spline S2,τ , giớ hạn cj , xét khoảng nút đơn I = [τj+1 , τj+2 ]. Cũng giả sử ta có 10 hàm giá trị điểm (xj,k )9k=0 khoảng này. Với số chiều S2,τ,I 3, nội suy tất 10 điểm. Giải để tìm dạng xấp xỉ bình phương nhỏ địa phương giới hạn xấp xỉ địa phương cách đánh giá tổng bình phương sai số g∈S2,τ,I k=0 (g (xj,k ) − f (xj,k ))2 . Kết cj tổ hợp tuyến tính 10 hàm giá trị cj = λj f = ωj,k f (xj,k ). k=0 Phiếm hàm đạo hàm Ngoài giá trị hàm số, tính toán đạo hàm hàm số điểm. Ta có λf = f (xi ) tuyến tính. Dạng chung phiếm hàm đạo hàm dựa vào điểm mà xem xét r wk f (k) (xi ), λf = k=0 đó, x điểm thích hợp miền f . Chúng ta xây dựng tựa nội suy dựa dạng phiếm hàm hệ số định lí (2.8). Bằng cách kết hợp phiếm hàm đạo hàm dựa điểm khác ta có l ri wi,k f (k) (xi ). λf = i=0 k=0 37 Trong đó, ri số nguyên dương. Một hàm đặc trưng loại tỉ sai phân hàm vài đối số lặp lặp lại. Các hàm số phép nội suy với đa thức. Nếu đối số tương tự xuất r + lần tỉ sai phân thể tất đạo hàm bậc 0, 1, ., r. Chú ý phiếm hàm điểm phiếm hàm đạo hàm với ri = 0, với i. 2.3.3 Hai sở tựa nội suy phiếm hàm điểm Định lý 2.8. (de Boor-Fix) Cho r số nguyên với j = 1, ., n. Xét tựa nội suy r d, cho xj ∈ [τj , τj+d+1 ] với n Qd,r f = λj (f ) Bj,d j=1 λj (f ) = d! r (−1)k Dd−k ρj,d (xj ) Dk f (xj ) k=0 ρj,d (y) = (y − τj+1 ) . (y − τj+d ), đó, Qd,r xác định tất đa thức bậc r Qd,d xác định tất spline Sd,τ . Chứng minh. Để xây dựng Qd,r , ta cho I khoảng nút chứa xj cho xấp xỉ địa phương g I = PrI f đa thức Taylor bậc d điểm xj , I g (x) = PrI f r (x) = k=0 k (x−xj ) k! Dk f (xj ). Để xây dựng phiếm hàm tuyến tính λj f , phải tìm hệ số Bspline đa thức này. Với cách xác định Marsden ta có: (y − x)d = n ρj,d (y) Bj,d (x). j=1 Đặt y = xj , thấy hệ số B-spline bậc j (xj − x)d ρj,d (xj ). Lấy đạo hàm đẳng thức d − k lần. Đặt y = xj lặp lại , ta hệ số B-spline thứ j (x − xj )k /k! 38 γj (x − xj )k /k! = (−1)k Dd−k ρj,d (xj ) /d! với k = 0, ., r. Tóm lại, ta có: λj (f ) = d! r (−1)k Dd−k ρj,d (xj ) Dk f (xj ). k=0 Từ đa thức Taylor bậc r thiết lập đa thức bậc r, biết tựa nội suy làm giống vậy. Nếu r = d, ta thiết lập đa thức bậc d với không gian spline địa phương Sd,τ,I với I khoảng nút đơn. Do đó, trường hợp tựa nội suy thiết lập toàn không gian Sd,τ . Định lý 2.9. Cho Sd,τ không gian spline với d + điểm nút τ = (τi )n+d+1 . Cho (xj,k )rk=0 l + điểm phân biệt [τj , τj+d+1 ] với j = i=1 1, ., n cho wj,k hệ số B-spline thứ j đa thức r Pj,k (x) = r=0,r=k x−xj,r xj,k −xj,r đó, Pd,r f = f với f ∈ πr , r = d, số (xj,k )rk=0 nằm khoảng τj τlj xj,0 < xj,1 < . < xj,r τlj +1 τj+d+1 Pd,d f = f với f ∈ Sd,τ . Chứng minh. Ta có Pj,k (xj,i ) = δk,i , k, i = 0, ., r cho đa thức I Pd,r f (x) = r k=0 I f (xj,r ) = pj,k (x) f (xj,k ) thỏa mãn điều kiện nội suy Pd,r f (xj,k ) với j r. Ví dụ 2.6. Ta thấy Dd ρj,d (y) /d! = 1, Dd−1 ρj,d (y) /d! = y − τj∗ , τj∗ = với r = xj = τj∗ , ta có 39 τj+1 + .+τj+d , d n Qd,r f = j=1 f τj∗ Bj,d Đây xấp xỉ spline giảm dần. Với d = r = ta có n [f (xj ) − (xj − τj+3/2 )Df (xj ) Q2,2 f = j=1 + (xj − τj+1 ).(xj − τj+2 )D2 f (xj )]Bj,2 . Trong với d = r = xj = τj+2 ta có n Q3,3 f = [f (τj+2 + (τj+3 − 2τj+2 + τj+1 )Df (τj+2 ) j=1 − (τj+3 − τj+2 ).(τj+2 − τj+1 D2 f. n Khi Qd,d f = f với f ∈ Sd,τ . Các hệ số spline f = cj Bj,d j=1 viết dạng: cj = d! d (−1)k Dd−k ρj,d (xj ) Dk f (xj ), j = 1, ., n, k=0 Trong đó, xj số [τj , τj+d+1 ]. 40 Chương Ứng dụng Sử dụng kết biểu diễn hàm spline chương định nghĩa tựa nội suy, xây dựng tựa nội suy cho hàm số. 3.1 Tựa nội suy hàm spline bậc Trên đoạn [0, 1], chọn điểm nút cách t = (tj )12 j=1 , (n = 10, d = 1), 12 11 = t1 < t2 < . < t10 = < t11 = 10 < t12 = 10 . Khi Bj,1 = 10x − j + 1, j−1 x 10 j j + − 10x, 10 x< j 10 j+1 10 , j = 1, 2, ., 10 Bj,1 = B(x, j), j = 1, 2, ., 10. Các hàm B1,j sở không gian S1 . Để tựa nội suy B1,j trên, ta sử dụng công thức: 10 H (x) = f j=1 j 10 B (x, j). Ví dụ 3.1. Cho hàm f = ex , đó, H(x) biểu diễn trang 43 Chương trình tính xây dựng cụ thể sau: > with(plots) : > f : exp(x); 41 f := ex > restart; > with(linalg) : > with(student) : > f := x → exp (x) ; f := x → ex > for j from to 10 > B := (x, j) → j j piecewise j−1 x 10 , 10.x − j + 1, 10 10 1 j − 10 B := (x, j) → piecewise( 10 1 and x < 10 j + 10 , j + − 10x, 0) > > g := (x, j) → f 10i B (x, j) ; x x and x i 10 g := (x, j) → f B (x, j) > H := x → sum (g (x, k) , k = 10) ; 10 H :→ g (x, k) k=1 > expand (H (x)) ; 42 j+1 10 , j + − 10.x, 1 10 j, 10x − j + 1, 10 j ; x   10x x and x   10   10 e  − 10x 10 x and x < 15  +   otherwise    1 10x −  x and x  10   e  − 10x x and x < 10  +   otherwise   10x −  x and x  10   e 10  − 10x 10 x and x < 25  +   otherwise    10x − x and x  10   e  − 10x x and x <  +   otherwise    x and x  10x −    e  − 10x x and x <  +   otherwise   x and x  10x −    e  − 10x 35 x and x < 10 +   otherwise    x and x 10x −  10   10 e  − 10x 10 x and x < 45  +   otherwise    10x − x and x  10   e  − 10x x and x < 10  +   otherwise    10x − x and x  10   e 10  10 − 10x 10 x and x <  +   otherwise    10x − x and x  10  11  e  11 − 10x x and x < 10    otherwise 43 > a := array (1 11, 5) : a [1, 1] := T T : a [1, 2] := Bien : a [1, 3] := Ham : a [1, 4] := T uaN S : a [1, 5] := SSo : for i from to 10 a [i + 1, 1] 2.i − := i : a [i + 1, 2] := evalf 20 2.i − : a [i + 1, 3] := evalf f , : a [i + 1, 4] 20 2.i − , : a [i + 1, 5] := evalf f 20 2.i − 2.i − := evalf abs f −H , : od : 20 20 print (a) ; TT Bien Ham T uaN S SSo 0.05000000000 1.051271096 0.5525854590 0.4986856370 0.1500000000 1.161834243 1.63286838 0.0014525950 0.2500000000 1.284025417 1.285630783 0.0016053660 0.3500000000 1.419067549 1.420841753 0.0017742040 > 0.4500000000 1.568312185 1.570272984 0.0019607995 0.5500000000 1.733253018 1.735420036 0.0021670175 0.6500000000 1.915540829 1.917935754 0.002394925 0.7500000000 2.117000017 2.119646818 0.002646801 0.8500000000 2.339648652 2.342572020 0.002925168 10 0.9500000000 2.585709659 2.588942470 0.003232811 Ví dụ 3.2. Cho hàm p = x3 sin (2x − 1), chương trình tính xây dựng cụ thể sau: > p := x → x3 sin (2x − 1) ; p := x → x3 sin (2x − 1) ; > g1 := (x, j) → p j .B (x, j) : 10 > H1 := x → sum (g1 (x, k) , k = 10) ; 44 10 H1 := x → g1 (x, k) k=1 > b := array (1 11, 5) : b [1, 1] := T T : b [1, 2] := BL : b [1, 3] : = GT p : b [1, 4] := GT H1 : b [1, 5] := SS : for i from to 10 2.i − : b [i + 1, 3] := b [i + 1, 1] := i : b [i + 1, 2] := evalf 20 2.i − 2.i − evalf p : b [i + 1, 4] := evalf H1 : 20 20 2.i − 2.i − b [i + 1, 5] := evalf abs p − H1 , : od : 20 20 print (b) ; TT BL GT p GT H1 SS 0.05000000000 −0.0000979158 −0.0003586780 0.000260 0.1500000000 −0.0021742346 −0.0026172479 0.000443 0.2500000000 −0.0074910240 −0.0075157175 0.000024 0.3500000000 −0.0126704288 −0.0116145662 0.001055 > 0.4500000000 −0.0097097320 −0.0063574185 0.002739 0.5500000000 0.0166097847 0.0214562877 0.004846 0.6500000000 0.0811572367 0.0882415334 0.007086 0.7500000000 0.2022576491 0.2113337189 0.00908 0.8500000000 0.3956301872 0.4060247683 0.01040 10 0.9500000000 0.6716049091 0.6822117875 0.01061 3.2 Tựa nội suy hàm spline bậc Chúng ta xấp xỉ hàm số phương pháp tựa nội suy với hàm spline bậc 2. Giả sử t = (tj )13 j=1 điểm nút cách đều: < t1 < t2 < . < t10 = < t11 < t12 < t13 , tj − tj−1 = Sử dụng hàm spline bậc ta có: 45 10 Bj,1 = 10x − j + 1, j−1 x 10 j j + − 10x, 10 x < j 10 j+1 10 , j = 1, 2, .10 Theo kiến thức trình bày chương 2, từ hàm spline bậc 1: Bj,1 , j = 1, 2, ., 10 ta xây dựng 10 hàm spline bậc 2, kí hiệu B2 (x, j) = Bj,2 sau: B2 (x, k) = 10x−k+1 B (x, k) + k+2−10x B (x, k + 1) Trong đó, B (x, k) = Bk,1 , k = 1, 2, ., 10 Cho f = ex , ta có công thức tựa nội suy f : g= g1 + j=2 −f j 10 + 4f 2j+1 20 −f j+1 10 B2 (x, j) + f 11 10 B2 (x, 10) Chương trình tính cho đây: > with(plots) : > restart; > with(linalg) : > with(student) : > f := x → exp (x) ; f := x → ex > for j from to 10 > B := (x, j) → j j piecewise j−1 x 10 , 10.x − j + 1, 10 10 x j+1 10 , j + − 10.x, 1 10 j, 10x − j + 1, 10 j ; 1 B := (x, j) → piecewise( 10 j − 10 x and x x 1 and x < 10 j + 10 , j + − 10x, 0) > od : (k + − 10.x) 10.x − k + .B (x, k) + B (x, k + 1) : > B2 := (x, k) → 2 > B2 (x, 1) ; 46   10x x and x   10   5x  − 10x 10 x and x < 51  +   otherwise    1 10x −  x and x <  10   (1 − 5x)  − 10x x and x < 10    otherwise > evalf B2 , ; 0.4591836735 > B2 (x, 9) ;    x and x  10x − 10   5x −  10 − 10x 10 x and x <  +   otherwise    10x − x and x  10 11  11  − 5x  11 − 10x x and x < 10    otherwise > g1 := x → f (0) .B2 (x, 1) + f 11 10 B2 (x, 10) ; g1 := x → f (0) .B2 (x, 1) + f 11 10 B2 (x, 10) 1 2∗l+1 l+1 > g := x → sumf ( (−f ( ) + 4f ( )−f ( ))B2(x, l) 10 20 10 , l = 9) + gl(x) : > evalf g ; 0.6936009405 47 > b := array (1 11, 5) : b [1, 1] := T T : b [1, 2] := Bien : b [1, 3] : = GT f : b [1, 4] := GT g : b [1, 5] := SS : for i from to 10 i : b [i + 1, 3] := evalf b [i + 1, 1] := i : b [i + 1, 2] := evalf 20 i : b [i + 1, 4] := evalf g : b [i + 1, 5] 20 i i −g , : od : := evalf abs f 20 20 print (b) ; TT Bien GT f GT g SS 0.05000000000 1.051271096 0.1250000000 0.926270 0.1000000000 1.105170918 0.5000000000 0.605170 0.1500000000 1.161834243 0.9103025063 0.251530 0.2000000000 1.221402758 1.141210026 0.080185 > 0.2500000000 1.284025417 1.263976707 0.020045 0.3000000000 1.349858808 1.349856698 −0.000005 0.3500000000 1.419067549 1.419066439 −0.000004 0.4000000000 1.491824698 1.491822365 0. 0.4500000000 1.568312185 1.568310957 −0.000004 10 0.5000000000 1.648721271 1.648718692 0.000010 48 i 20 Kết luận Quá trình nghiên cứu tìm hiểu hàm spline phương pháp tựa nội suy spline, luận văn đạt kết sau: Trình bày khái niệm tính chất spline B-spline. Trên sở kết luận đó, tiếp tục nghiên cứu trình bày số ứng dụng phương pháp tựa nội suy hàm spline B-spline vào xấp xỉ hàm số. Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, luận văn chắn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt hơn. 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục. [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội. [3] Francoise Foucher and Pau Sablonniere (2009), Quadric spline quasiinterpolants and collocation methods, Preprint submitted to Elsevier. [4] Tom lyche and Knut Morken (2005), Spline methods, http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/INFMAT5340/v10/ ./book.pdf. 50 [...]... = bj n Spline P f = cj Bj sẽ là một xấp xỉ của f j=1 Vậy tựa nội suy spline là lấy xấp xỉ địa phương bằng hàm spline để suy ra xấp xỉ toàn cục Bổ đề 2.8 Giả sử mọi phương pháp xấp xỉ địa phương được sử dụng trong bước 2 của thuật toán trên, sinh ra tất cả các đa thức bậc d1 d Thì phương pháp chung xấp xỉ P sẽ sinh ra những đa thức bậc d1 Nếu tất cả những phương pháp địa phương sinh ra mọi spline. .. trên I Sử dụng phép nội suy, ta tìm một đa thức bậc I I µ d nội suy cho f , kí hiệu là g = bi Bi i=µ−d Chọn một trong d hệ số bi vừa tìm được, để đơn giản, ta kí hiệu là bj , n cj Bj là một xấp xỉ của hàm f lấy bj = cj , j = 1, n Khi đó hàm g = j=1 trên đoạn [a, b] Phương pháp xác định hàm g xấp xỉ cho hàm f như trên gọi là phương pháp tựa nội suy Thuật toán 2.1 (Xây dựng phương pháp tựa nội suy) Cho... xạ từ không gian S vào không gian số thực R với tính chất nếu f và g là hai hàm số bất kì trong S và với mọi số thực α và β thì λ (αf + βg) = αλf + βλg Tuyến tính là tính chất cần thiết của phiếm hàm để sử dụng để tính hệ số B -spline trong xây dựng tựa nội suy Nếu một phiếm hàm hệ số là không tuyến tính thì kết quả của phương pháp xấp xỉ không là một tựa nội suy Bổ đề 2.9 Tựa nội suy P là một toán... , và f (xi ), H2n+1 (xi ) tương ứng là đạo hàm của hàm số f (x) và H2n+1 (x) tại xi Đa thức: H2n+1 (x) = n f (xi ) 1 − i=0 ω ω n+1 (xi ) n+1 (xi ) (x − xi ) + f (xi ) (x − xi ) ωn+1 (x) (x−xi )ω n+1 (xi ) là đa thức nội suy Hermitte Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy Lagrange là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy và hàm số đã cho tại các mốc nội. .. f (τj+2 ) Bj,2 + f (τj+n ) Bn,2 Từ đó, xấp xỉ địa phương sinh ra không gian spline Tựa nội suy hoàn thành sẽ sinh ra không gian spline S2,τ Ví dụ 2.5 Tựa nội suy bậc ba 5 điểm n cj Bj,3 | cj ∈ R, j = 1, 2, , n Xét không gian spline bậc 3: S3,τ = j=1 Ta chọn I = [τj+1 , τj+3 ], không gian spline địa phương S3,τ,I có số chiều là 5, có các hàm cơ sở B -spline {Bi }j+2 chúng ta cần 5 điểm để xác định i=j−2... , , mn ) Thay thế các mi vừa tìm được vào S(x) thì ta có đa thức spline S(x) thỏa mãn điều kiện bài toán đặt ra 18 Chương 2 Phương pháp tựa nội suy 2.1 Không gian các hàm spline và B -spline Định nghĩa 2.1.1 Cho đoạn thẳng [a, b], giả sử chia đoạn thẳng [a, b] thành n − 1 đoạn bởi các điểm chia a = t1 t2 tn = b Kí hiệu n các điểm chia đó là t = (tj )j=1 , ti là các điểm nút Giả sử trên mỗi đoạn [tj... địa phương I = [τj , τj+1 ] Vì vậy S1,τ,I là không gian đa thức tuyến tính hai chiều Một cơ sở của không gian này được cho bởi hai B -spline tuyến tính Bj−1 và Bj hạn chế trên khoảng I Phương pháp xấp xỉ địa phương ở đây là nội suy tại τj và τj+1 Trong khoảng I , B -spline Bj−1 là đường thẳng với giá trị 1 tại τj và giá trị 0 tại τj+1 Trong khi Bj là đường thẳng với giá trị 0 tại τj và 1 tại τj+1 Nội. .. trường hợp đặc biệt ta có các khoảng nút đều và x3,1 = τ9/2 và x3,3 = τ11/2 ta có λ1 f = f (τ4 ) λ2 f = 1 18 −5f (τ4 ) + 40f τ9/2 − 36f (τ5 ) + 18f τ11/2 − f (τ6 ) 1 (−f (τn−1 )) + 18f (τn−1/2 ) − 36f (τn ) + 40f (τn+1/2 ) 18 − 5f (τn+1 ) λn−1 f = λn f = f (τn+1 ) 2.3.2 Các tính chất Tựa nội suy là toán tử tuyến tính Định nghĩa 2.3.1 Khi xây dựng phương pháp tựa nội suy, mỗi hệ số B -spline được tính bằng... sinh ra mọi spline S1,τ Ví dụ 2.4 Tựa nội suy bậc hai 3 điểm Điểm bắt đầu của chúng ta là không gian spline bậc 2: n cj Bj,2 | cj ∈ R, j = 1, , n S2,τ = j=1 Dựa trên các điểm nút đều với phần trong riêng và hàm f được xấp xỉ bằng kí hiệu P2 Giả sử B -spline Bj xác định trên [τj , τj+3 ] và chọn khoảng địa phương [τj+1 , τj+2 ] Khi I là một khoảng nút, chúng ta cần một phương pháp xấp xỉ địa phương sinh... (τj+2 ) , j = 1, 2, , n 2 = τj+1 +τj+2 2 Các biểu thức bj−1 và bj+1 phức tạp hơn và liên quan đến các nút τj và τj+3 Dạng của Bj xuất phát từ việc chọn xj,1 ở giữa τj+1 và τj+2 Ở đây, τj+1 < τj+2 trừ trường hợp j = 1 và j = n khi τ1 = τ2 = τ3 và τn+1 = τn+2 = τn+3 Ta đặt c1 = f (τ1 ) , cn = f (τn+1 ), ta sẽ có tất cả các thành phần cần thiết để xây dựng tựa nội suy P2 f = n λj f Bj , với j=1 34   . Các phương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng . 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khái niệm và các tính chất của hàm spline, B -spline. Khái niệm phương pháp tựa nội suy spline và một số ứng dụng. Trong phương pháp nội suy, các điểm nút là các mốc nội suy được cố định. Người ta có thể sử dụng các điểm nút nội suy linh hoạt, đó là phương pháp tựa nội suy. Khi áp dụng hàm spline và phương pháp. trình bày khái niệm và các tính chất của hàm spline, B -spline, phương pháp tựa nội suy và các tính chất. Chương 3. Ứng dụng, trình bày ứng dụng phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ các lớp hàm cho trước. 7 Chương