ặ ẻ ỉ èệề ặ ễẹ ề ừì ề ể ểụề ừì ẹ ì ể ểụề éủ í ề ề ủề ỉểụề ề ề ỉệ ủề ể ểụề ẹủ ề ẹ éủ ủề ỉ ề ề ì éủ í ề ề ủề ỉểụề ề ề ụ ề ề ĩ ỉ ĩ ỉ ễ ề ỉệ ề ỉ ẻ í í ề ề ủề ềủí ẹ é ề ế ề ẹ ỉ ỉ ỉ ề è ề ỉ ì ìỳ ụ ụ ề ẹ ẹ ề ì ể ểụề ẹủ ề ỉ ề ề ề ề ặ éừ ề ề ề ì ụ ủ ỉểụề ì ỉ ề ế ụ ụ ề ẹ ì ể ểụề ề ì ề ề ề ẹ ỉ ỉệ ỉệề ỉ ẹ ỉệểề ỉểụề ề ủ ề ề ẹ é ề ệ ỉ ề í ề ề ủề ụ ỉ ũ ỉ ễ áậ è ễ ề ừề ẹ ề ề ìá ì ể ểụề ề ề ề ẹ é ề ẹ ỉ ỉ ỉ ì ề ì ẹụí ỉ ề ủ è ễ ẻ í ũ ẹ ề ềủí ú ỉệ ề ề ẹ ỉ ễ ề ề ỉ ỉ ỉệểề ụ ề ỉệ ề ủ ể ề ìụ ềủí ề ữẹ ỉ ụ ụ ề ẹ ũề ũ ẹ ề ì ể ểụề ủ ề ì ụ ề ỉ é ề ế ề ỉệểề ì ủ ề ì ỉệ ề ủí ìểề ủề ừề ề ũề ề ỉ ủ ề ề ỉ ề ỉểụề ể ễ ỉ éủ ề ề ú ì ì ủ ỉ ễ ề ỉ ìụ ềủí ẹủ ề ễ ỉ ỉệ ề ềủể ẹ ỉ ề ỉ ề ìụ ềủí ệ ỉ ề ề ề ề ẹ ũề ừí ỉụ ũ ẹ ề ề ì èệ ề ỉ ề ỉ í éủ ề ừì ể ểụề ể ỉệ ề ề ề ề ề ềỉ ì ềỉ ỉ ểẹ ềề ì ẹ ề ề ề ỉ ềủí ề éủ ề ề ềỉ ì ẹ ề ì ể ểụề ụ ìụ ụể ể ì ể ểụề ỉ ề ỉ ẹ ủể ĩ í ề ẹ ỉ é ỉ í ỉ ểủề ề ủề ể ểụề ẹủ ỉ ế ề ỉ ẹ ề ụ ề ề é ề ế ề ềủí éủ ẵ ắ ẹ ỉ ỉệ ề ệ ỉ é ề ể ề ề ề ẹ ề ỉ ẹ ẹ ề ề ì ì ễũ ụ ụể ỉệ ề ểủề ề ì ể ểụề ề ề ề ềỉ ề ề ỉ ỉ ẻ ỉệ ề ủí ìểề ủề ụ ề ỉ ừì ể ểụề ủ ề ì é ề ế ề ề ì ễ ề ì ề ũ ẹ ề ẻ ẹ ỉ ỉ ề ề ìụ ềủí ũề ề ềề ễẹ ề ì ể ểụề ủ ề ừì ềị ẻ ẹ ỉ ề ề ề ìụ ềủí ỉ ể ễ ề ề ìụ ấ ệỉì ểệề ề ì ắặ ỉ ỉ ẹ ũể ỉ ẹ ề ặ ễ ẹ ề ì ể ểụề ấ ậ ệễ ệ ỉ ũềà ủ ụ ề ề ì ẹ ềề ừì ấ ậ ệ ệ ỉ ỉệ ế ềà ặ ẹ ề ỉ ẹ ì ề ỉ ụ ề ìụ ì ể ểụề ì ề ẵ ủ ỉìẹệ í ụ ề ì ụ ề ìụ ề ì ấ ệỉì ểệề ủ ấ ậ ệ ề ìụ ềủí ỉ ề éủẹ ụể ỉệ ề ũề ừí ệ ề ệ ể ẹ ề ì ể ểụề í ẹ ề ề ì ĩ ẹ ẹ ề ề ể ũề ềà ừí ẹ ề ì ể ểụề ũề ề ề ề ỉ ụ ụ ề ẹ ề é ề ế ề èệ ế ề ề ì ễ ề ì ỉ ẹ ụ ụ ề ẹ ì ỉệ ỉ ề ừí ẹ ề ề ì ũề ề ỉ ỉ ì ế ẹủ ề ề ỉ ỉ ễ ũ ếụ ì ụ ề ỉ ừì ề ỉ ỉ ỉ ẹ ụ ề ỉ ềủí ỉệểề ề ìụ ề ỉệ ề ủí ệ ỉ ề ỳề ề ủ ệ ệủề èụ ũ ề ỉ ủề ũẹ ề ẩ ậ ẩ ề ũ ậ è ề ể ậ è ụ ề ề ề ề ễ ủ ề ú ũề ỉ ũể ủ ễ ề ể ỉệ ề ủí ề ìụ ặ ẻ ỉ èệề é ề ẵ ẻủề ỉ ề ắ ề ẵ ề ề ề í ề ỉ ắ ề ề é ề ẹ ề ề é ề ẻủề ỉ ề ụề ĩừ ề ề ệ ề ề í ề ì ề ì ỉ ề ẵẵ ỉừễ ỉ ễ ề ẵậ ẵ ề ề ẵ ụề ĩừ ề ẵ é ệỉ ẵ ỉ ề ẵẳ ề ẵắ é ệỉ ỉ ề ẵẳ ểụ ẵẵẵ ề ẵẵ ề ẵ ề ẵ ẵắ ề ề ĩừ ũề ề ẵ ẵ ẵ ề ẵ ỉừễ ỉ ề ắẳ ủề ủ é ẵẵ ủỉ ễ ẵẵ ề ề ề ề èủ é ỉ ẹ ề ẹ ĩừ ũề ể ũề ề ũể ủ ẵ ẵ ẵ ụề ẹ ẵẵ ề ẵ ẻủề ỉ ề ì éủ ẹ ề ỉểụề ề ụ ề ì ề ề ề éủẹ ềủí ề ỉ ỉ ề ề ụ ễ ề ỉệ ề ỉ ẹ ỉũ ụ ề ề ủ ếí ụ ề ề ề ề ỉ ễề ẹ ụ ễ ề ỉệ ề ỉ ẻ ề ề ểề ỉệ ề ẹ ỉ ễ ứề ỉ ề ể ễ ề ỉệ ề f (x, y) = 0á ỉệểề f (x, y) éủ ỉ ề ỉ ề ểề ề í r ề r éủ éủ ề ểề ì ỉ f (x, y) ỉ ẹ ề r ỳỉ ẹ ỉ ẹ ề ểề ì ề ỉ ứề ỉừ ề ề ỉ r ẹ ề ẹ ề ẹ ề ềủí ỉ ễ ũ ề ẹ ề ễ ề ỉệ ề ề ểề ủ ề ỉ ứề ề ề ỉ r ề ẹ è ỉ ũ ỉ ỉ ễ ề ỉệ ề ề ỉ ứề éủ x = ể ẹ ề ểề ủ ề ỉ ứề ỉ ừề (0, ) éủ ề ẹ ễ ề ỉệ ề f (0, y) = ể f (0, y) éủ ỉ ề ề ể ữề r ề ề ễ ề ỉệ ề f (0, y) = ỉ ề ề ỉ r ề ẹ f (x, y) = x=0 èệểề ề ềề ụ ề ề ỉ ề ể ụ ễ ề ỉệ ề ỉ ề ề ụ ề ẹ ỉ ề ềỉ ề ề ỳ éừ ụ ề ẹ ủề ỉ ẹ ỉ ề ề ẵ ẻủề ỉ ể A éủ ủề ể ểụề ề ủ x éủ ẹ ỉ ề ì è ẹỉ ừề c0 + c1 x + ã ã ã + cr xr c0, c1 , ., cr A éủ ỉ ềx ì ỉệểề Aá ặ cr = ỉ r éủ deg f ủ cr éủ f ặ f = ỉ ỉ ếí deg f = ẻủề ì ỉ A[x] ề x ỉệ ề A éủ ỉ ễ ễ ỉ ỉ ũ ụ ỉ ỉệểề ễ ễ ề ủ ễ ễ ề ề ỉ ềề ỉ ề ỉ ề ẹề ể ụ ễ ễ ỉểụề ỉệểề A[x] ỉ úí ĩ ỉ ỉ ỉ ỉểụề é ẹ ỉ ỉ ỉ í ểẹ ỉ ỉ ề ỉ éủ ẹ ỉ ỉ ì ữề ẵ ỉ f ẵẵ f A[x] ể g A[x] éủ ỉ ề è ừề f = gh + v deg v < deg g ỉ ỉ ẹ ề ẹ ề ỉ r = deg f ủ s = deg g ặ r < s ỉ ỉ ủ v = f ặ r s ỉ ỉ ĩ ỉ ỉ ỉ ỉ ỉh=0 f1 := f cxrs g, ỉệểề ỉ c éủ ì f ấ ệủề éủ deg f1 < r ũ ỉ ỉ f1 = gh1 + v deg v < s ề ếí ềừễ ỉ ể r ỉ f = f1 + cxrs g = g(h1 + cxrs ) + v. ẻủề ỉ n ề ỉệ ề A ề ề ữề ếí ềừễ ề ì A[x1 , ., xn ] := A[x1 , ., xn1 ][xn ], ề éủ A[x1 , ., xn ] éủ ủề ỉ ề xn ỉệ ề ủề A[x1 , ., xn1 ] ậ í ỉ é ề é ề A[X] = A[x1 , ., xn ] A[X] ụ ễ ềỉ éủ ỉ n ề ẻủề k[X] ề ễ ỉ ủể ỉ ỉ ụ ề ẹ ỉ n ề f ừề cr1 , .,rn xr11 ã ã ã xrnn f (X) = r1 +ããã+rn t t éủ ẹ ỉ ì ỉ ề ề ềủể ủ cr , .,r A ụ ễ ề ỉ éủ ì ủ ụ ỉ xr1 ã ã ã xrn ẹ ỉ ể 1 n n cr1 , .,rn = éủ ềỉ ề ẵ ẻủề f ỉ ề ỉ xr1 ã ã ã xrn éủ ỉ ề r1 + ã ã ã + rn ụ ì ẹ f è ỉ f = éủ é ề ề ỉ ụ ềỉ f deg f ặ f = ỉ ỉ ếí ề deg f = ệữề deg f f A è f éủ ủ ỉ ỉí ề ỉ ề ề deg f = ỉ ẹ ỉ ỉ ề ề ề ỉ ỉ ề ĩỳễ ĩ ễ ụ ừề ỉ ỉ ể ẹ ỉ ỉ ỉ ềủể ụ ềỉ è ỉ ỉ ề ì ề ề ỉ éủ r s r s ỉ ỉ x1 ã ã ã xn > x1 ã ã ã xn ề r1 + ã ã ã + rn > s1 + ã ã ã + sn í ề r1 + ã ã ã + rn = s1 + ã ã ã + sn ủ ỉ ụ ề ỉ ề ỉ (r1 s1 , ., rn sn ) ụ ỉệ ề è ỉ ềủí ỉ ề ỉ ề f, g, h éủ ụ ề ỉ f > g ỉ f h > gh ẻ n è ể ỉ ỉ ỉệ ề ỉ ỉ ỉ ỉẹ n n m1 xm x2 > ã ã ã > xm > x1 > ã ã ã > x1 > x2 > ỉ ề m ừề m1 f = cd,0 xm x2 + ã ã ã + c0,m xm + ã ã ã + cm1,1 x1 + c1,0 x1 + c0,1 x2 + c0,0 . ẻủề A éủ ẹ ề ề í ề ề A ề ềá ề éủ cd = ẹ c, d = ỉệểề A ẻ ề ề ẹ ề ề í ề éủ ụ ỉệ ề í ủề ụ ì ề í ề Z ẻủề ỉ ề ề ỉệ ề ẹ ề ề í ề ụ ỉ ề ỉ ũề ì ỉ ẵắ ặ A éủ ẹ ề ề í ề ỉ f, g A[X] deg f g = deg f + deg g ẹ fg ề ẹề ềỉ ừề uv u éủ ề ỉ g umax , vmax é ề é ỉ éủ ụ ủ v éủ ề ỉ ềỉ é ềề ỉ f, g ỉ ể ỉ ỉ ề ỉệ ề ẻ ẹ u = umax ủ v = vmax ỉ uv < umax vmax ủ ể uv = umax vmax c, d A éủ ụ ì ỉ ề umax , vmax ể c, d = ề ề cd = ẻ í cdumax vmax éủ ẹ ỉ ừề ề f g è ỉ f deg uv deg umax vmax = deg umax + deg vmax = deg f + deg g. ẻ í deg f g = deg f + deg g ẵ ặ A éủ ẹ ề ề í ề ỉ A[X] éủ ẹ ề ề í ề ủ ụ ễ ề ỉ A[X] éủ ụ ễ ề ỉ A ũề ũề ề ẵ ẻủề ỉ ề ẹ ề ể f, g éủ ụ ỉ ụ ẳ ỉệểề A[X] ể deg f, deg g ề ề deg f g ủ ể f g = ẻ í A[X] éủ ẹ ề ề í ề è ề ỉ ề f g = ỉ deg f g = è í ìí ệ deg f = deg g = ủ ể f, g A A ẻ í f, g éủ ề ề ễ ề ỉ ũ ề ể k éủ ẹ k[x1 , ., xn ] ỉ ỉệ ề ỉ í ể k éủ ẹ ề ề í ề ề ề ủề ỉ k[X] = ụ ỉề ỉ ỉệểề ỉệ ề ể f k[X] éủ ẹ ỉ ỉ ỉ ừề ề ễ ỉệ ề ề ẹ ẹ a = (1 , ., n ) kn ỉ ụ ỉệ cr1 , .,rn r11 ã ã ã rnn . f (a) := r1 +ããã+rn m ỉ f ề ể f éủ ủẹ ì ỉ kn ủể k ẹ a éủ ề ẹ f (a) = ỉ ề f ỉệ ỉ ỉ ỉừ a ặ k éủ ỉệ ề ừề ừề ễ ề ỉ ỉ ỉ ụ ề ì ểỉ ủẹ ụ ề ỉ í ềủíá ỉ úí ĩ ẹ ềủể ẹ ỉ ỉ ỉệ ỉ ỉ ỉệ ề ỉểủề kn ẵ ụ ể k éủ ỉệ ề ẹề f = ề ề ừề ặ f (a) = ẹ a kn ỉ f = ặ n=1ỉ ềủí éủ ề ề ề ẹ ỉ ẹỉ ề ừề ề ẹ ặ n > ỉ ề ễ ũề ề ũ ì ỉ ỉ ũỉ ỉf ề xn ẻ ỉ f ừề f = f0 + f1 xn + . + fm xm n ỉ f0 , ., fm éủ ũ ỉ ỉ ỉ ề ỉừ ỉ ụ ề x1 , ., xn1 fm = ề ếí ềừễ ỉ ẹ (1 , ., n1 ) kn1 ì ể ể fm(1 , ., n1 ) = f (1 , ., n1 , xn ) = f0 (1 , ., n1 ) + f1 (1 , ., n1 )xn + . + fm (1 , ., n1 )xm n éủ ẹ ỉ ỉ ụ ề ề xn ỉ ềủí ừề ề ềủí ẹ ỉ ề ũ ỉ ỉ f (a) = ẹ a kn ếũ ẵ ỉ ẹúề ể k éủ ỉệ ề ề f (a) = g(a) ừề ặ f, g éủ ỉ n ẹ a k ỉ f = g ẹ ỉệểề k[X] ề ẵ ẻủề ề ẹề è ề ụễ ề ỉ ẵ ể ỉ f g ặ k éủ ỉệ ề ừề ỉ ụ ỉ ề ỉ ỉệ ề ề ề ề ề ẻ ặ k = {1 , ., s } ỉ ỉ f = (x ) ã ã ã (x s ) éủ ỉ ụ ẳ ề ề f éừ ỉệ ỉ ỉ ỉệ ề ỉểủề ká ề éủ ủẹ f = ể ỉ ềá ỉ é ề é ề ũ ỉ ỉ k éủ ỉệ ề ừề ẹ ề ỉ ếũ ỉệểề ề ìụ ềủí ề ề ể ỉệ ề ễ k éủ ỉệ ề ừề ỉ ề ề ề ề ẹ ềề ì éủ ỉ ễ ề ẹ ụ ễ ề ỉệ ề ỉ è ụ ỉ ễ ềủí éủ ỉ ễ ì ề í ề ỳề ề ề éủ ỉ ễ ì ậ í éủ ẹ ỉ ì ỉ ễ ì ỉ è ễ ệ ề éủ ỉ ễ ề ẹ ễ ề ỉệ ề ẹ a = (1 , ., n ) éủ ỉ ễ ề ẹ f =0 ẹ f k, f = ề ỉệ ề xi i = 0á ễ i = 1, ., n. ề ề kn éủ ỉ ễ ề ẹ ễ ề ỉệ ề = ụ ề ẹỉ ễ ì ề ễ ỉ ủể (1 , ., n ) ũì ỉ ĩụ ề ỉ ể ỉ ề ỉ ề ẹ ỉ è ỉ íá (1 , ., n ) = c10 + c11 + ã ã ã + c1n n , ããããããããããããããããããããã n = cn0 + cn1 + ã ã ã + cnn n , S ỉ cij ká i = 1, ., ná j = 0, 1, ., n ặ V ụ ẹ V ỉệểề ỉ ẹ éủ ề éủ ỉ ễ ề ẹ ẹ ỉ ỉ f (c10 + c11 x1 + ã ã ã + c1n xn , ., cn0 + cn1 y1 + ã ã ã + cnn yn ), f S. è ỉ ề ễ ễ ề ỉ ũề ề ẻ ể V = éủ ỉ ễ ề ẹ ẹỉ f1 , ., fd d n è ỉ ề cij ì ể ể ỉ ỉ S ẹ ỉ ừề ề é ễ ỉí ề ỉ ề fi (c10 + c11 x1 + ã ã ã + c1n xn , ., cn0 + cn1 y1 + ã ã ã + cnn yn ) = xi , i = 1, ., d. ẵẳ ề ắẳ ủề ủ é ề ề ủ ỉ ễ ẵ ể f, g ề ề ề ệữề ỉ ề ỉừ ẹ ỉ ỉ ỉ ềy h k[x] ì ể ể ì ỉệểề k[x] ề ẹề h = uf + vg è í ỉ ỉ ìí ệ ễ ề ỉệ ề f = g = ừề ề ẹ ẵ è ề ề ẹ ề ụ ỉ ễ ừề D(f ) éủ ỉ ễ ẹ ỉệểề ỉ ễ é ỉ í ềủí ỉ ề ề ẹ ề ề f (a) = ỉ f (b) = ề |a b| ề ắ ẻ ẹ ỉ f k[x, y] ề ẹ ề ỉ ề ỉừ ì ẹ xr ìể ể xr f = h(xy 1) + v v k[x] ậ ề f IV ề ề ỉ ềủí ệ ỉ ể (xy 1) f ắ ề ẹ ề I = (g) ẹ ỉ ỉ ũ ếí g I 2 ể ỉ x + y ề ẹ ẳ ỉệểề R2 ề ề ỉ ỉ ỉ í x ủ y ữề ụ ỉ g ủ h ỉ ễ ề ề ẹỉ ỉ ỉ ũ ếí ề ẹểề ẹ ề ẵ ặ V = Z(f1, ., fr ) ỉ ỉ ềỉẹẹ ỉ ề ẹ ẳ ệ ỉ f = g(f1, ., fr ) ắ ỉ r ềgì ể ểg ề ẹ ề ỉ ề ỉừ r ì ể ể I : gr = I : gr+1 ậ ệ ệữề I = (I, f ) (I, gr ) ề f g I ề ẹ ề I éủ ể ụ ề ỉ ũ ếí ệ ụễ ề ủ ỉ ễ ắ ẵẵ ẵắ ề ẹ ề IV éủ g g(f1 (t), ., fn (t)) ẵ éủ ụề ắ è ỉ ỉ éủ ữề ẹ ừề ì ề ề ề ủ ỉ ễ k[X] k[f1 (t), ., fn (t)] (V ) W ĩừ ỉ ỉ V ủể W ủ ề ề ẹ ề (T ) éủ ỉ ễ ì ềủí ìí ệ ỉ ĩừ ỉễ ễ ề ỉ ỉ ỉ ếí ẹ ỉ ũ f = x2 + x + y + , f = xy + x + y + . ỉ ụề ĩừ : k[X] k[X] (xi ) = fiá i = 1, ., n ể éủ ứề ề ề ỉ ề ỉừ ụ ỉ g1 , ., gn ì ể ể gi (f1, ., fn ) = xi . í ừể ủẹ ỉ ểẹ ềỉ ì ề ề ẹ ỉ n ễ ề ỉệ ề ỉí ề ỉ ề ề ỉề ề ỉ ẹ ỉệ ề ì éủ fi | i, j = 1, ., n . xj ỉ ỉ ề ụ ẹ ề ểề = M0 M1 ã ã ã Mr = M ì ể ể Mi /Mi1 ề ề í ề ỉ ậ ụễ ề ủ ỉ ễ ắ = A/pi pi éủ ủ ặ M ủ ừề ỉ ỉ ề ề é ẵẳ ề ẹ ề M éủ ẹ ề ệỉ ề ủ ẹ ề ặể ỉ ệ ặ éừ ề M éủ ẹ ề ặể ỉ ệ ỉ é ề M/N éủ ẹ ề ề ỉ ề ỉừ ẹ ề ểề N = M ỉ ề M ề M ề éủ ẹ ề ệỉ ề ềủí ĩ í ề ẹ ỉ ễ ề ỉụ ủể ề ề ĩ ỉ ỉ ề ụ ẹ ề ểề M/N ỉ ề ề N M ỉ ề ụ ẹ ề ểề ẵ ể h f A C ỉ í è ỉ ỉ h = zf z A ề ế ề h ề í ề z ỉệ ề C ỉ í ì ỉ ề ỉừ ẹ ỉ é í ỉ ỉ ểf ỉệểề C è í ìí ệ h f C ủ ể f A C f C ắ ề ề ẹ ề pA C = p ậ ĩ ỉ ỉ ễ S ẹ ỉ ỉ ũ p ỉ ểũ ẹúề ụ ềJ A ề J C = p è ể ểệề ỉ S ẹ ỉ ề ỉ P ề ẹ ề P éủ ề ề í ề ỉ ề ề ẵ ủ ỉ ễ í ề ì ề ỉệ ề ễ q = ủ Q = ậ ụễ ề ủ ỉ ễ ắ ề ẹ ề ụề ĩừ (f1(), ., fn ()) éủ ụề ĩừ ừề ỉ A1 ủể V ẵẳẵ è ỉ ũ ỉ ỉ I éủ ề ề í ề ỉ ề ẹ ỉ éễ ừì ỉ y1 , ., yd ỉệểề A yd I z1 , ., zd1 éủ é ễ ề y1 , ., yd1 ỉệểề A/I ề ẹ ề ẹ é ễ ì ỉ ỉệểề z1 , ., zd1 ề éủ é ễ ì ỉ ỉệểề A/I ẵẳắ èệ ỉ ề ĩ ỉ ỉệ ề ễ A = k[X] ề f I ỉ í f = è ỉ ũ ỉ ỉ f ừề f = xrn + g1 xnr1 + ã ã ã + gr gi k[x1 , ., xn1 ]. ỉ ủề A := k[x1 , ., xn1 ] ủ ề I := I A . ề ếí ềừễ ỉ ể n ỉ ỉ ũ ỉ ỉ ỉ ề ỉừ é ễ ì y1, ., yn1 A ì ể ể ẵà A éủ ẹ ệ ề ề í ề C := k[y1, ., yn1 ]á ắà I C = (ym+1, ., yn1 )C . ỉ yn = f ề ụ ũ ỉ ỉ ỉệ ề ề ẹ ề y1, ., yn éủ éễ ì ỉ ẹúề ủ èệểề ỉệ ề ễ A = k[X]/J éủ ủề ề ỉ í ỉ ẹ ễ ề ỉ éễ ì z1, ., zn ì ể ể k[X] éủ ẹ ệ ề ề í ề B = k[z1 , ., zn ]á J B = (zd+1 , ., zn )B ỉ ủề A := k[z1 , ., zd ] ủ ề I := I A è ẹ éễ ì y1 , ., yd ỉệểề A ì ể ể A éủ ẹ ệ ề ề í ề C = k[y1, ., yd ]á I C = (ym+1, ., yd )C. ề ẹ ề y1, ., yd éủ é ễ ì ỉệểề A ỉ ẹúề ủ ẵẳ ề ề é ĩ ề ể ềạậ ề ệ ỉệ ề ễ A éủ ủề ỉ èệểề ỉệ ề ễ ềủí ỉ ề ề ẹề P ừề ụ ỉ ỉ ũ ếí ẵẵ è ủ ụ ỉ ề ề ẵạẵ é ễ ì ỉệểề ụ ụề ĩừ ỉệ ỉ k[V ] V ủể ụ ề ề ề ẵ ề ề ủ ỉ ễ ẵắắ è í Z(G) ỉệểề ề ẹ ề ề é ẵắ ữề G1 (0) ẵắ ủể ủ ỉ ễ U ủ ỉ ễ ì V ẵắ ể U = A2 \ {0} ũ ì ỉ ề ỉừ ứề ề ẹ ề k[V ] í ìí ệ V ứề A2 ềủí ì = k[x, y] è ề ề ẹ ỉ ề A1 ẵắ ề f k[x] ì ể ể D(f ) = A1 = Z(f y 1) ỉ ể ề ĩừ ề ề A ủ Z(f y 1) ề ứề ỉ ề ẵẵ ẫí ỉệ ề ễ P1 = F1 /G1 ủ P2 = F2 /G2 ẵắ ề ủ ỉ ễ ẵẵ ề ề ủẹ ề ếí ỉệ ề D 2 ẵ ặ ề ểề Z(y x(x 1)) ỉ ề ề ìểề ỉ 2 ỉ ề ỉừ f, g k(t) ì ể ể f = g(g 1) ẵ ậ ề ứề k(V ) ẵẳ = k(W ) ủ ẵ ủể ề é ẵắẵ ẵ ỉ ụề ĩừ : O(V ) aV OV,a ẹ ề éủ ề ủể ỉ ề ỉ ũ ếí ủể ủ ỉ ễ ẵắ (P ) = P V ề ỉệểề ẹề A1 k(V ) éủ ỉểủề ỉ ề ẵ ủể ề ỉ ht I = ht I ẵ è ỉ ếí ỉệ ề ễ W = Ar ữề ụ ĩ ỉ ụề ĩừ ễ ỉ ủề ủ ẹ ỉ ĩừ ừề ỉ W ủể Ar ũ ì i = fi |V i = 1, ., r è (a) = Z(f1 , ., fr r ) ẵ ắ ề x1, ., xr m ì ể ể m/I x1 , ., xr è m = (x1 , ., xr , I) ì ể ể m = (z1 , ., zd ) ậ ề ìề ệ ụ éễ ề ề ẹ ề ì ỉ ề ỉừ zr+1, ., zd I ẹ ề I = (zr+1, ., zd ) ề A/I éủ ủề ề ếí ẵ ủể ứề OV,a ẵ ẵẳà = OW,(a) ẵ èẹ ề ễ ề ỉệ ề f (x) = f (x) = ề ẵ ẵ I éủ ể ụ ề ề í ề ỉ ỉ ỉ ẵ ắ ỉ I = (xixj+1 xi+1 xj | i = 0, ., n 1, ề ẹ ề V = Z+ (I). ậ í ề ẹ ề I j = 1, ., n) k[V ] = k[ud , ud1 v, ., v d1 ] ẹ èệ ỉ ề ẹ ẵ ủ ỉ ễ úí ỉ h I gi k[x0 , x1] ậ í ề ẹ ề g0 = ã ã ã = gn1 = ẵ ỉ I = (xij xrs xisxrj | i, r = 0, ., m, j, s = 0, ., n) èệ ề ẹ ề V = Z+ (I). ậ í ề ẹ ề ỉ ề ỉ ỉề ừề ề IV = I u, v éủ ụ ỉ ẹ ì ề f IV V ề ẹề f = h + g0 + g1 x1 + ã ã ã + gn1 xn1 k[V ] = k[ui vj | i = 0, ., m, j = 0, ., n] ẹ éủ ụ ỉ ẹ ì ỉ ề ỉ ỉ ề ề ỉ f IV ui , vj f =h+ i1 ãããid , j1 ãããjd ừề V ẵ ẵ ẵ ẵ é d d IV = I úí ỉ c(i1 , .,id,j1, .,jd) xi1 j1 ã ã ã xid jd h I c(i , .,i ,j , .,j ) k ậ í ề ẹ ề ẵ ỉ ể ề ẹ ề ề é ẵ ẵẵ ề ẹề c(i1 , .,id ,j1, .,jd) = ẵ è HA/IJ (t) = HA/I (t) + HA/J (t) HA/I+J (t). ắ è ề ủẹ é ệỉ k[V ] = k[ud , ud1 v, ., vd1 ] . deg V = m+n n è ỉ ũ ỉ ỉ V éủ ỉ ễ ỉ ũ ếí dim V > ậ ề ề ịểỉ ỉ ỉ ỉ ẹ ỉ í ì ẹ ỉ H = Z+ (f ) ì ể ể V H éủ ỉ ễ ỉ ũ ếí deg V H = ủ IV H = IV + (f ) ậ í ề ếí ềừễ ề ẹ ề IV ì ề ụ ừề ỉí ề ỉ ề ẵ ắ èệ ỉ ề úí ếí ỉệ ề ễ V ủ W éủ ỉừễ ĩừ ũề ũ ì V = V+ (S) S k[x0 , ., xn ] ủ W = V+ (T ) T k[y0 , ., ym ] èệểề ủề ỉ k[zij | i = 0, ., n, j = 0, ., m] ĩ ỉ ụ ỉ ễ S = {f (z0j , ., znj )| f S, j = 0, ., m}, T = {g(zi0 , ., zim )| g T, i = 0, ., n}. ề ẹ ề (V ì W ) = Z+ (S T ) ẵ è f (x2, y2, xy)y = g(x2 , y2 , xy)x. è í ìí ệ g(x2 , y , xy) ề ặ k éủ ỉệ ề ề ì ỉ f (x2 , y , xy) ềủí ề ề ẹ ẵ (, ) = ề ủ ỉ ễ é ẵ è ề ề ẹ ề (Pn) ứề Pn ỉệ ề ỉ ề ũề ề ẵ è ề ề ẹ ề (V ) éủ ỉ ễ ề ẹ ĩừ ỉ ẹ ỉ ỉ ễ ì ĩừ ũề V ủể ẹ ỉ ề ề ĩừ ũề èệ ỉ ề ỉ ỉ ỉ ẹ ỉ í ẹ ỉ ễ ẹ ừề {Ui } V ì ể ể |U ĩụ ề ụ ỉ ỉ ềề ỉ ề ẹ d ềủí éủ d ủ éủ ụề ĩừ ẻ ệểề ì (V )á U = (U ) ủ V = ỉ Pn ủể Pmá m = n+d ỉ i i d éủ ỉ ễ ỉệ ề V ỉ ễ ỉệ ề Ui ĩụ ề ụ ừề ỉí ề ỉ ề ề ềủí ề ẹ ề (V ) éủ ỉ ễ ề f, g ề ỉ ề ỉệ ỉ ỉ ỉừ ẹ (2 , 2, ) éủ ẹ ỉ i ẹ ấ ỉ é ỉ ề ề ũề ỉ í ề ề ặ ừí ệ í ề ềủể ề ề ừì ụể ỉệ ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ể ũề ề ừí ũ ẹ ề ì ể ểụề ủ ề ì ỉệểề ề ỉ ũề ề ề ề ừí ỉ ể ỉ ỉ ụ ề ề ìụ ụể ỉệ ề ỉ ề ừí ụ ề ẵạẵẵ ủ ẵ ề ệ ẹ ề ì ể ểụề í ẹ ề ề ừì ỉ ềề ẹỉì ề ểễ ễỉ ể ụ ề ẹ í ề é ỉ ề éủ ỉ ế èệểề ỉ ề ề ềề ềỉ ề ừí ẹ ề ì ể ểụề í ụ ề ừí ẹ ề ề ừì ì ể ểụề ẵ ẻủề ỉ ắ ề ề ề í ề ỉ ẻủề ặể ỉ ệ ẻủề ỉ ề ề ệ ề ề í ề ẵẳ ì ỉ ẵẵ ẵ ễ ề ểụ ẵ ề é ề ề ẵ ẻủề ề ếí ẵ ẻủề ễ ề ẵ ệéé ẵ ẵ ụể ỉệ ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ề ì ẵèễ ừì ắ ề ề ề è ễ ỉ ũ ếí ề é ề ẹ é ệỉ ề é ễ ềỉ ẻủề ỉ ụề ĩừ ỉ ụề ĩừ ừề ẵẵ ẵắ ỉừễ ỉ ề ẵ ụề ĩừ ỉ ẵ ẹ ủẹ ề ếí ẵ ậ ề ẵ ẵ ề ề ĩừ ũề ẵ ỉừễ ĩừ ũề ẵ ỉừễ ỉ ĩừ ũề ắẳ ủề ủ é èủ é ỉ ẹ ũể ẵ ì ề ểẹẹỉ ỉ é ệ ỉ ẻ ỉể ệ é ệ ểẹạ ỉệíá ậễệ ề ệá ẵ ắ ấ ệỉì ểệề é ệ ểẹ ỉệíá ậễệ ề ệá ẵ ềịá ềỉệể ỉ ểề ỉể ểẹẹỉ ỉ é ệ ề é ệ ểẹ ỉệíá ệ ì ệá ẵ ỉìẹệ ểẹẹỉ ỉ ấ ề è ểệíá ẹ ệ ề ệì ỉí ẩệ ììá ẵ ấ ậ ệ ì ề é ệ ểẹ ỉệí á ậễệ ề ệá ẵ ấ ậ ệễá ậỉ ễì ề ểẹẹỉ ỉ é ệ ẹ ệ ề ệì ỉí ẩệ ììá ắẳẳẳ ẵ ẵẳ ề ẹ A[x]á A[X]á deg f Zá k[X]á ẵ Z(f ), Z(G)á ẵẳá Z(S), Z(Q)á ẵẵá k[Y ]á ẵẵ An ẵắ D(f ), D(G)á ẵắá Rá ẵ (S)á ẵ SAá ẵ I + Já ẵ IJ ẵ I : Sá ẵ Irá ẵ IV ẵ ẵ I ắẳ Váẵ Q(A)á ắ Cá ẵ degxi f ắ Min(I)á ẵ k[V ]á ẵ ẳ A/I A = Bá (A)á kerá J/I ủ ẵ áẵ ụề ẹ IV,T ẵá ẵ ẵ i á ẵẳẳ V = Wá IM u + Ná M = Lá M/N Ann(M )á Auá :A uá Ass(M )á Ar (M )á ẳ C[z1 , , zn ]á C(z1 , , zn )á tr.degC Aá Min(A)á ẵ dim V ắá ẵ Spec Aá V (S)á I(V )á dim Aá ht I Ua O(U )á ẵ D+ (G)á ẵ F/Gá ẵ k(V )á ẵẳ ẵẳ ẵẵ ẵ ắ ẵắ ẵẳ AS ẵẵẵ MS ẵẵắ MP ẵẵ OU,a ẵẵ ẵ dima V ẵẵ a ẵẵ a ẵ ắ v(I)á ẵắắ TV,a ẵắ ẵẵ TV,a da gá ẵắ ranká ẵẳ Pn ẵ (0 : ã ã ã : n )á ẵ Z+ (S)á ẵ D+ (f )á ẵ C(V )á ẵ mV ẵ ẳ M (s)á ẵ HM (t)á ẵ PM (t)á ẵ min(I)á ẵ deg V ẵ max(V )á ẵ iZ (V, W )á ẵ ẳ i ẵ gh ẵ f dá ẵ M(S) ẵ M(P ) ẵ Oa ẵ ắ O ẵ Ag ẵ A+ ẵ Proj Aá ẵ A(g) ẵ ề ẹ ủ ũề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụề ụ ề ẹ ĩừ ề ếíá ĩừ ề ỉỳ ĩừ ừềá ĩừ ỉ ĩừ ề ĩừ ỉ ẵẳ ĩừ ỉ ỉệ ẵẳ ĩừ ìểề ỉ ẵẳ ĩừ ỉệ ĩừ ỉí ề ỉ ề ĩừ ẻ ệểề ì ẵ ẳ ỉừễ ĩừ ũề ẵ ỉ ì ỉá ũề ềá ẵ ể ề áẵ ũề ỉệ ỉ ễá ẵ ỉệ ỉừễ ỉ ề ủ ỉừễ ỉ ĩừ ũề ẵ ẵ ỉệ ủề ẵ ỉệ ủề ễ ề ẵ ủề ẵ ẵ ặ í ẹ ẵẵ ỉệụề ề í ề ỉ ẵắẳ ểệềá ắ áẵ ểá ẵ ẳ ềá ắẳ ĩừá á ẵ ẵ ĩừ ề ề ủề ẵ ĩừ ỉệ ẵẳẳ ỉá ễ ề ẵẵ ệééá ẹ ềá ề ẹ ỉ ễ ì ắ ỉ ễ ì ĩừ ũề àá ẵ ắ ủề ề ặể ỉ ệá ễ ỉ ủề ỉ ề ỉ ừá ì ỉ ễ ẵắ ểẹễỳ ề ỉ ì ỉ ễá ẵ ừề ễ ềá ẵắ ỉừễ ềá ẵ ỉừễ ì ỉệ ỉ ề ẵ ỉừễ ỉ ềá ỉừễ ỉ ĩừ ũề ẵ ỉừễ ỉí ề ỉ ề ẵẳ ỉ ỉ ềá ỉ ỉ ề ề ỉá ẵ ỉ ỉ ỉ ỉ ỉí ề ỉ ề ừìá ẵ ì ừề ì ề ẵ ứề á ẵẳẵá ẵ ứề ủề ẵ ắ ứề ỉ ứề ề ề ủề ẵ ứề ẹ ềá ễ ề ểụá ẵẵẵá ẵẵắ ễ ề ỉ ề ề ỉá ẵ ẹ ềá ẵắ ẹ ẵắ ề é ệỉ ề ẵ ẵ ề é ịểỉá ẵ ẳ ề é ịểỉ ềá ẵ ẵ ề é ẵắ ề é ề ểụ ặể ỉ ệá ề é ì é ệỉá ắ ủ ẵ ụ ề ẹ ề é éề ề é ĩ ề ể ềạậ ể ềạậ ề é ề é ề ệá ề ệá ề ề ệééá ẵắẳ ề ề ẹ ệề ệééá ẵắắ ề é ề ẹ é ệỉá ề é ề ẹ í é ệỉá ề é ễ ềỉ ểá ủ á ủ ừềá éễ ừìá ề á ềỉ ề ủề ẵ ắ ề ề ỉỳ ề ẹ ềá ề ễ ề áẵ ề ỉ ễ ủề ẵ ẵ ề ủề ề á ề ễ áẵ ề ểề ề ỉ ẵ ề ểề ì ủẹ ề ếíá á ẵ ủẹ ỉ ủẹ é ệỉá ẵ ủẹ ỉ á ẵ ủẹ é ủẹ ỉ ìề á ìề ừìá ẵ ìá ì ẵ ề ẹ ỉ ẹ ì ẵắắ ừề ì ề ềá ẵ ề ỉ ũ ếíá ề ềá ắẵ ề ề áẵ ề ỉ ễ ẹá ẵ ẵ ề ỉ ễ ẹ ĩừ ũề ẵ ề ắẵ ề ề ề ắẳ ề ừề ì ề ề ề áẵ ềẹ áẵ ề ề í ề ì ẳ ề ề í ề ỉ ắ ề ề í ề ỉ é ề ỉá ềìề ẹ ỉỉ ễễ ềỉ áẵ ề ỉ ề ề ỉá ẵ ềỉ ì áẵ ềỉ áẵ ềỉ ề áẵ ề ề ềá ẵắ ề ề ỉ ễ ỉí ềá ẵắ ề ề ủề ẵ ề ề ủề ễ ề áẵ ề ề ĩừ ũề ẵ é ề ềá éề ỉ é áẵ é ềá ẵ é ĩừ ũề ẵ ẹ ỉệ ề ể ẵ ẹ ẹ ủẹ ề ếíá ẵẵ ẹ ẹ ề ụỉ ỳỉá ẵ ắ ẹ ề ề í ềá ủ ụ ề ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ẹ ệề ừìá ệ ề ừề ì ề ệ ề ề í ềá ắ ềá ề ệỉ ềá ẳ ề í ề ẵ ề ểềá ề ềá ề ặể ỉ ệá ề ễ ề ẵ ề ỉ ề ề ỉ ểá ề ề ề ề ề ề ề ẹá ẹ ẵắ ẹ ĩừ ũề ẵ ẵ ẵ ụỉ ỳỉá ẵ ẵ ụỉ ỳỉ ỉểủề ẵ ẵ ề ềá ẵ é ề ỉ ỉệ ềá ẵẵ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ễ ềỉ áắ ề ỉ ỉ ũ ếíá ắ ề ỉ ề ếíá ềỉ ì ề ỉ é í é ề ắẳ ề ỉ ề í ềá ắ ề ỉ ì ỉá ề ỉ ỉ ề ề ỉá ẵ ẵ ễ ễề ề ẵ ễề ề ậ ệ áẵ ỉ ềề ỉ áẵ ĩừ ũề ẵ ẹá ế ề ề í ềá ắ ề ẹ ếí ỉỳ ệ ẹ ệá ì ì ì ì ì ềá ẵẵ ẹ ỉá ẵẳá ẵ ễ ứề ẵẳá ẵ ễ ứề ỉ ề ếụỉá ẵ ẵ ễ ề ỉ í ề ỉá ắ ỉ ễ ỉ ũ ếíá ắ á ẵ ẳ ỉ ễ ì ềàá ỉ ễ ì ĩừ ũề àá ẵ ỉ ễ ề ẵắá ẵ ỉ ễ ẹ ẵắ ỉ ễ ẹ ề ẵắá ỉ ễ ề ềá ẵẵẵ ỉ ủề ễ ề ỉ ũ ếíá ẵ ẳ ỉ ủề ễ ề ỉ ề ề ỉá ẵ ỉ áẵ ắ ỉ ềề ỉ áẵ ỉ ỉ ỉểụề é ỉ ỉ ỉểụề é ẹ ệ ề ẵ ỉ ễ ỉí ềá ẵắ ỉ ề ỳ ẵ ỉ ễ ỉí ề ỉ ề ỉ ễ ệ ì ẵắá ẵ ẵ ỉ ỉ ề ề ỉá ẵ ỉểủề á ỉ ề ỉệ ỉ ễá ỉệ ỉ ỉ ỉệ ềá ẵắ ỉệ ẹ ỉá ẵắ ỉệ ề ụ ủẹ ỉ ẵẳ ỉệ ề ụ ễ ề ỉ ắ ỉệ ề ề ì ẵ ỉ ề ề ìểề ỉ ẵẳ ủề ềá ẳ ủề ụ ễ ề ỉ ẵẵẵ ủ ủề ủề ủề ủề ủề ủề ủề ủề ủề ủề ụ ề ẹ ề ếíá ẵắ ễ ề ẵẵ ẵẵ ề ề áắ ề ềỉ áắ ặể ỉ ệá ễ ề ẵ ệ ỉ ềá ắẵ ỉ ềá ỉ ỉ ỉ ề ề ỉá ẵ ẳ ẵ