ĐỀ ÔN TẬP HỌC KỲ II - MÔN TOÁN KHỐI 11 -----------------------------Bài (1,0 điểm): Tính giới hạn sau đây: a) lim x →−1 x 2x + + 4x + b) lim x →+∞ x − 2x − 1− x2  x + x   x > Bài (1,5 điểm): Cho hàm số f (x ) =  x − x   2m + 12 x ≤    Tìm giá trị tham số m để hàm số liên tục x = Bài (2,0 điểm): Cho hàm số f (x ) = −x + 3x + 9x − a) Giải bất phương trình f ′(x ) > b) Chứng minh phương trình f (x ) = có nghiệm dương. Bài (2,5 điểm): 3x + a) Cho hàm số y = có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến 1−x (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + . b) Giải phương trình f ′(x ) = biết f (x ) = cos x − sin x − Bài (3,0 điểm): sin 3x Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a , SD = a SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N trung điểm SA SB. a) Chứng minh mặt phẳng (MND) vuông góc với (SAD). b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD). c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). (Hình vẽ theo yêu cầu toán 0,5 điểm) --------- Hết ---------BÀI GIẢI CHI TIẾT 2x + 2(x + 1) 2 Bài 1: a) lim = lim = lim = =1 x →−1 x + 4x + x →−1 (x + 1)(x + 3) x →−1 x + −1 +  3 x 1 − −  1− − 2 x − 2x −  x x  x x = lim = lim = −1 b) lim   x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1−x 2  −1 x  − 1 x  x2  x + x   Bài 2: Xét hàm số f (x ) =  x − x   2m + 12    Ta có lim f (x ) = lim x → 0+ x → 0+ x+ x x− x x > x ≤ = lim x → 0+ ( x( x x + 1) x − 1) = lim x → 0+ x +1 = −1 x −1 lim f (x ) = lim (2m + 12) = 2m + 12 = f (0) x →0− x →0− Hàm số y = f (x ) nêu liên tục x = lim f (x ) = lim f (x ) = f (0) ⇔ −1 = 2m + 12 ⇔ m = − x → 0+ x →0− 13 13 hàm số cho liên tục x = Bài 3: Xét hàm số f (x ) = −x + 3x + 9x − có tập xác định D = » Vậy, với m = − f ′(x ) = −3x + 6x + a) f ′(x ) > ⇔ −3x + 6x + > ⇔ x ∈ (−1; 3) Vậy, bất phương trình f ′(x ) > có tập nghiệm S = (−1; 3) b) Hàm số f (x ) = −x + 3x + 9x − hàm số đa thức liên tục » nên liên tục đoạn [−2; 0],[0;1],[1; 5]  f (−2).f (0) = 1.(−1) <    Và ta có  f (0).f (1) = −1.10 < nên phương trình f (x ) = có   f (1).f (5) = 10.(−6) <    đủ ba nghiệm phân biệt x ∈ (−2; 0), x ∈ (0;1), x ∈ (1; 5) Rõ ràng, phương trình f (x ) = có hai nghiệm dương x x Bài 4: a) Hàm số y = 3x + có đồ thị (C ) tập xác định D = » \ {1} 1−x y ′ = f ′(x ) = (1 − x )2 Gọi d tiếp tuyến (C ) song song với ∆ : y = 4x + M (x ; y0 ) tiếp điểm d (C ) d có hệ số góc k = f ′(x ) = 1 − x = x = ⇒ y = 0   ⇔ ⇔ = ⇔ (1 − x ) = 1 − x = −1 x = ⇒ y = −7 (1 − x ) 0   Tiếp tuyến (C ) A(0;1) có phương trình y − = 4(x − 0) ⇔ y = 4x + (trùng với ∆ ) Tiếp tuyến (C ) B(2; −7) có phương trình y + = 4(x − 2) ⇔ y = 4x − 15 (song song với ∆ ) Vậy, tiếp tuyến (C ) thoả mãn yêu cầu đề y = 4x − 15 ⇔ b) Hàm số f (x ) = cos x − sin x − sin 3x có tập xác định D = » Ta có, f ′(x ) = − sin x − cos x − cos 3x sin x + cos x = − cos 3x 2   π π π ⇔ sin sin x + cos cos x = − cos 3x ⇔ cos x −  = cos (π − 3x )  3 3   x − π = π − 3x + k 2π x = π + k π   3 ⇔ x = π + k π (k ∈ ») ⇔ ⇔ x − π = −π + 3x + k 2π x = π − k π   3   π π Vậy, phương trình f ′(x ) = có nghiệm x = + k (k ∈ ») Bài (3,0 điểm): S a) Theo giả thiết MN đường trung bình tam giác SAB ứng với cạnh AB, H M MN || AB (1) K Từ SA ⊥ (ABCD ) ta suy N AB ⊥ SA ⊂ (SAD ) A D Ngoài ta có AB ⊥ AD ⊂ (SAD ) Và SA ∩ AD = A Nên AB ⊥ (SAD ) (2) B C Từ (1) (2) ta suy MN ⊥ (SAD ) Vậy, (MND ) ⊥ (SAD ) MN ⊂ (MND ) f ′(x ) = ⇔ sin x + cos x = −2 cos 3x ⇔ b) Từ giả thiết kết chứng minh câu a, ta có     CD AB CD ⊥ SD ⊂ (SCD ) ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒     AB ⊥ (SAD ) CD ⊥ AD ⊂ (ABCD )     Mà CD = (SCD ) ∩ (ABCD ) tất nhiên SD lẫn AD qua D thuộc vào CD nên góc hai mặt phẳng (SCD ) (ABCD ) góc nhọn ϕ = SDA Trong tam giác SAD vuông A, cos ϕ = AD a 21 = = SD a 21 c) Gọi H K hình chiếu vuông góc S A lên MD SH ⊥ MD SH || AK SH ⊥ MD ⊂ (MND )    Ta có, SH ⊥ CD ⊂ (MND ) (do SH ⊂ (SAD ) vaø CD ⊥ (SAD ))   MD ∩ CD = D   Nên SH ⊥ (MND ) H . Do đó, d (S ,(MND )) = SH Vậy, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) arccos SH SM = = ⇒ SH = AK AK AM 1 4 Và = + = + = + = 2 2 2 2 AK AM AD SA AD SD − AD AD 3a Ta lại có, SH AK ⇒ Vậy, d (S ,(MND )) = SH = AK = a . − + + − a) Giải bất phương trình ( ) 0 f x ′ > b) Chứng minh rằng phương trình ( ) 0 f x = có đúng 2 nghiệm dương. Bài 4 (2,5 điểm): a) Cho hàm số 3 1 1 x y x + = − có đồ thị (. cách từ S đến mặt phẳng (MND). (Hình vẽ đúng theo yêu cầu của bài toán 0,5 điểm) Hết BÀI GIẢI CHI TIẾT Bài 1: a) 2 1 1 1 2( 1)2 2 2 2 lim lim lim 1 ( 1)( 3) 3 1 3 4 3 x x x xx x x x x x →−. tiếp tuyến của ( ) C thoả mãn yêu cầu của đề bài là 4 15 y x = − b) Hàm số 2 ( ) 3 cos sin sin 3 3 f x x x x = − − có tập xác định D =  Ta có, ( ) 3 sin cos 2 cos 3 f x x x x ′ = −