Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;) http:megabook.vn Chúc các em học tốt
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ CHỦ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: ( ) a f x =a g( x) a = a > ⇔ 0 < a ≠ ( a − 1) f ( x ) − g ( x ) = f ( x ) = g ( x ) II. VD minh hoạ: ( VD1: Giải phương trình: + x − x ) sin ( = + x − x2 ) − cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: −1 < x < 2(*) 2 + x − x > ⇔ x − x − = 0(1) 2 + x − x − sin x − + cos x = sin x + cos x = 2(2) ( )( Giải (1) ta x1,2 = ) 1± thoả mãn điều kiện (*) π π π π sin x + cos x = ⇔ sin x x + = ⇔ x + = + 2kπ ⇔ x = + 2kπ , k ∈ Z 2 3 Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: π π π π −1 < + k π < ⇔ −1 − < k < − ⇔ k = 0, k ∈ Z ta nhận x3 = 6 2π 6 2π 6 1± π Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = ; x 3= . Giải (2): VD2: Giải phương trình: ( x − 3) x2 −5 x + ( = x2 − x + Giải: Phương trình biến đổi dạng: ( x − 3) ) x2 + x −4 x2 −5 x + = ( x − ) x2 + x − = ( x − 3) 2( x + x − 4) x − =1 x = x = ⇔ 0 < x − ≠ ⇔ x < ≠ ⇔ x = 3 x − x + = x + x − x − x + 10 = Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x=4, x=5. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I. Phương pháp: http://megabook.vn/ Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình: 0 < a ≠ 1, b > f x a ( ) =b⇔ f ( x ) = log a b Dạng 2: Phương trình : a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) = log a b f ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x).log a b log b a f ( x ) = log b b g ( x ) ⇔ f ( x).log b a = g ( x). II. VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x −2 x = Giải: Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x − x = log ⇔ x − x = log − ⇔ x − x + − log = , Ta có ∆ = − + log = log > suy phương trình có nghiệm x = ± log 3. VD2: Giải phương trình: x −1 x .8 = 500. Giải: Viết lại phương trình dạng: x x.8 x −1 = 500 ⇔ x.2 x −1 x = 53.22 ⇔ x −3.2 x −3 x =1 Lấy logarit số vế, ta được: x −3 x −3 x−3 log x −3.2 x = ⇔ log x −3 + log x = ⇔ ( x − 3) .log + log 2 = x x = 1 ⇔ ( x − 3) log + = ⇔ x = − x log Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x = 3; x = − log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hoá. ( ) BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ. Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình α k + α k −1a ( k −1) x .α1a x + α = Khi đặt t = a x điều kiện t>0, ta được: α k t k + α k −1t k −1 α1t + α = http://megabook.vn/ Mở rộng: Nếu đặt t = a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0. Khi đó: a f ( x ) = t , a f ( x ) = t ,. ., a kf ( x ) = t k Và a − f ( x ) = t Dạng 2: Phương trình α1a x + α a x + α = với a.b=1 α Khi đặt t = a x , điều kiện t0, suy b f ( x ) = t x 2x 2x Dạng 3: Phương trình α1a + α ( ab ) + α 3b = chia vế phương trình cho 2x x x a a b x >0 ( a x , ( a.b ) ), ta được: α1 + α + α = b b x a Đặt t = , điều kiện t (hoặc a f , ( a.b ) ) f f a - Đặt t = điều kiện hẹp t>0 b Dạng 4: Lượng giác hoá. Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t = a f ( x ) vì: - Nếu đặt t = a x t>0 điều kiện đúng. Nếu đặt t = x +1 t>0 điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải t ≥ . Điều kiện đặc biệt quan trọng cho lớp toán có chứa tham số. II. Các ví dụ minh hoạ: - VD1: Giải phương trình: 4cot g x + sin x − = (1) Giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z (*) Vì = + cot g x nên phương trình (1) biết dạng: sin x cot g x 4cot g x + 2.2 − = (2) cot g x Đặt t = điều kiện t ≥ cot g x ≥ ⇔ 2cot g x ≥ 20 = Khi phương trình (2) có dạng: t = t + 2t − = ⇔ ⇔ 2cot g x = ⇔ cot g x = t = −3 ⇔ cot gx = ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z thoả mãn (*) http://megabook.vn/ Vậy phương trình có họ nghiệm x = ( + kπ , k ∈ Z ( ) +2=0 Giải: Nhận xét rằng: + = ( + ) ; ( + )( − ) = 1 Do đặt t = ( + ) điều kiện t>0, thì: ( − ) = ( + ) t VD2: Giải phương trình: + ) π x −3 2− x x x x = t2 Khi phương trình tương đương với: t = t − + = ⇔ t + 2t − = ⇔ ( t − 1) t + t + = ⇔ t t + t + = 0(vn) ( ( ⇔ 2+ ) x ) =1⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x=0 Nhận xét: Như ví dụ việc đánh giá: ( 7+4 = 2+ ) ( + )( − ) = Ta lựa chọn ẩn phụ t = ( + ) x cho phương trình Ví dụ ta miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b=1, là: a b a.b = c ⇔ . = tức với phương trình có dạng: A.a x + B.b x + C = c c Khi ta thực phép chia vế phương trình cho c x ≠ , để nhận được: x x x x a b a b A. + B + C = từ thiết lập ẩn phụ t = , t > suy = t c c c c VD3: Giải phương trình: 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + = Giải: Chia vế phương trình cho 22 x + ≠ ta được: 2 22 x − x −1 − 9.2 x − x − + = ⇔ .22 x − x − .2 x − x + = x2 − x x2 − x ⇔ 2.2 − 9.2 +4=0 x2 − x Đặt t = điều kiện t>0. Khi phương trình tương đương với: t = x − x = 22 x2 − x = x = −1 2t − 9t + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ t = x − x = 2−1 x − x = −1 x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=2. http://megabook.vn/ Chú ý: Trong ví dụ trên, toán tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t>0 thấy với t = vô nghiệm. Do toán có chứa tham số cần 2 1 1 xác định điều kiện cho ẩn phụ sau: x − x = x − − ≥ − ⇔ x − x ≥ ⇔ t ≥ 2 4 12 VD4: Giải phương trình: 23 x − 6.2 x − 3( x −1) + x = 2 Giải: Viết lại phương trình có dạng: x 23 x − x − − x = (1) 23 x 3x Đặt t = − x ⇒ − x = − x + 3.2 x x − x = t + 6t 2 Khi phương trình (1) có dạng: t + 6t − 6t = ⇔ t = ⇔ x − x = x Đặt u = , u > phương trình (2) có dạng: u = −1(1) u u − = ⇔ u2 − u − = ⇔ ⇔ u = ⇔ 2x = ⇔ x = u = Vậy phương trình có nghiệm x=1 Chú ý: Tiếp theo quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá. x ( ) VD5: Giải phương trình: + − 22 x = + − 22 x .2 x Giải: Điều kiện − 22 x ≥ ⇔ 22 x ≤ ⇔ x ≤ π Như < x ≤ , đặt x = sin t , t ∈ 0; 2 Khi phương trình có dạng: ( ) + − sin t = sin t + − sin t ⇔ + cos t = (1 + cos t ) sin t ⇔ cos t t 3t t t 3t = sin t + sin 2t ⇔ cos = 2sin cos ⇔ cos 1 − sin = 2 2 2 2 t π x cos = 0(1) t = = x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 2⇔ x 3t x = t = π sin = = 2 Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=0. BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x. http://megabook.vn/ Phương pháp thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ biểu diễn công thức biểu diễn lại phức tạp. Khi thường ta phương trình bậc theo ẩn phụ ( theo ẩn x) có biệt số ∆ số phương. II. VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 32 x − ( x + ) .3x + 9.2 x = Giải: Đặt t = 3x , điều kiện t>0. Khi phương trình tương đương với: 2 t = t − x + t + 9.2 x = 0; ∆ = x + − 4.9.2 x = x + ⇒ x t = Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ t = ( ) ( ) ( ) x 3 + Với t = x ⇔ 3x = x ⇔ = ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2, x=0. ( ) VD2: Giải phương trình: x + x − 3x − x + = Giải: Đặt t = 3x điều kiện t ≥ x ≥ ⇔ 3x ≥ 30 = Khi phương trình tương đương với: t + ( x − 3) t − x + = 2 t = ∆ = x − − −2 x + = x + ⇒ t = − x Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ x = log ⇔ x = ± log ( ) ( ) ( ) + Với t = − x ⇔ 3x = − x ta có nhận xét: VT ≥ VT = 3x = ⇒ ⇔ ⇔ x=0 VP ≥ VP = 1 − x = Vậy phương trình có nghiệm x = ± log 2; x = BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ phương trình khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích. II. VD minh hoạ: 2 VD1: Giải phương trình: x −3 x + + x + x +5 = 42 x +3 x +7 + 2 2 Giải: Viết lại phương trình dạng: x −3 x + + x +6 x +5 = x −3 x + 2.42 x +6 x +5 + u = x −3 x + Đặt , u, v > x2 + x +5 v = Khi phương trình tương đương với: http://megabook.vn/ u + v = uv + ⇔ ( u − 1)(1 − v ) = x = x = x − 3x + = =1 u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 42 x + x + = x + x + v = x = −5 Vậy phương trình có nghiệm. x −3 x + VD2: Cho phương trình: m.2 x −5 x + + 21− x = 2.26−5 x + m(1) a) Giải phương trình với m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt. Giải: Viết lại phương trình dạng: m.2 x −5 x + + 21− x = 27 −5 x + m ⇔ m.2 x −5 x + + 21− x = 2 ( ( x −5 x + 6) + 1− x ) +m ⇔ m.2 x −5 x + + 21− x = x −5 x + 6.21− x + m u = x −5 x + Đặt: , u , v > . Khi phương trình tương đương với: 1− x v = 2 x = x −5 x + = u = mu + v = uv + m ⇔ ( u − 1)( v − m ) = ⇔ ⇔ ⇔ x = 1− x v = m =m 1− x = m(*) 2 Vậy với m phương trình có nghiệm x=3, x=2 a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 21− x = ⇔ − x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Vậy với m=1, phương trình có nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x= ± b) Để (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (*) có nghiệm phân biệt khác 3. m > m > (*) ⇔ ⇔ . Khi điều kiện là: 1 − x = log m x = − log m m > m < m > 1 − log m > 1 ⇔ m ≠ ⇔ m ∈ ( 0; ) \ ; 256 1 − log m ≠ 1 − log m ≠ m ≠ 256 1 Vậy với m ∈ ( 0; ) \ ; thoả mãn điều kiện đầu bài. 256 BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ. http://megabook.vn/ Trong hệ k-1 phương trình nhận từ mối liên hệ đại lượng tương ứng. Trường hợp đặc biệt việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x, ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu tượng phương trình. Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f x, ϕ ( x ) = y = ϕ ( x ) Bước 3: Đặt y = ϕ ( x ) ta biến đổi phương trình thành hệ: f ( x; y ) = II. VD minh hoạ: 2x 18 VD1: Giải phương trình: x −1 + x = x −1 1− x +1 + 2 + + 18 Giải: Viết lại phương trình dạng: x −1 + 1− x = x −1 1− x +1 +1 + + x −1 u = + Đặt: , u, v > 1− x v = + Nhận xét rằng: u.v = ( x −1 + 1) . ( 21− x + 1) = x −1 + 21− x + = u + v Phương trình tương đương với hệ: 18 8 u = v = u + 8v = 18 + = ⇔ u v u + v ⇔ u = 9; v = u + v = uv u + v = uv x −1 + = + Với u=v=2, ta được: 1− x ⇔ x =1 + = x −1 + = 1− x 9⇔ x=4 + = Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=4. Cũng đặt x = t để đưa phương trình ẩn số + Với u=9 v = , ta được: VD2: Giải phương trình: 22 x − x + = Giải: Đặt u = x , điều kiện u>0. Khi phương trình thành: u − u + = Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ ⇒ v = u + Khi phương trình chuyển thành hệ: u = v + u − v = ⇔ u − v = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v ) = ⇔ v = u + u + v + = u = + Với u=v ta được: u − u − = ⇔ ⇔ 2x = ⇔ x = u = −2(1) + Với u+v+1=0 ta được: http://megabook.vn/ −1 + 21 u = 21 − 21 − u2 + u − = ⇔ ⇔ 2x = ⇔ x = log 2 −1 − 21 (1) u = 21 − Vậy phương trình có nghiệm x=8 x= log . BÀI 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ I. Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng toán quen thuộc. Ta có hướng áp dụng: Hướng1: Thực bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: + Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x = x0 nghiệm + Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x ) = k phương trình vô nghiệm + Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k phương trình vô nghiệm. Vậy x = x0 nghiệm phương trình. Hướng 2: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) y=g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) Là đồng biến hàm số y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x = x0 Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3) ⇔ u = v với ∀u , v ∈ D f II. VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x + 2.3log2 x = (1) Giải: Điều kiện x>0. Biến đổi phương trình dạng: 2.3log2 x = − x (2) Nhận xét rằng: + Vế phải phương trình hàm nghịch biến. + Vế trái phương trình hàm đồng biến. Do phương trình có nghiệm nghiệm nhất. Nhận xét x=1 nghiệm phương t rình (2) 2.3log2 x = − Vậy x=1 nghiệm phương trình. VD2: Giải phương trình: log ( ) 1 x − 3x + + + 5 x − x −1 = (1) http://megabook.vn/ x ≤1 Giải: Điều kiện: x − x + ≥ ⇔ x ≥ Đặt u = x − 3x + , điều kiện u ≥ suy ra: x − x + = u ⇔ x − x − = − u 1− u 1 Khi (1) có dạng: log ( u + ) + 5 =2 1− x 1 Xét hàm số: f ( x) = log ( x + ) + 5 + Miền xác định D = [ 0; +∞) = log ( x + ) + .5 x 1 + .2 x.5 x .ln > 0, ∀x ∈ D . Suy hàm số tăng D ( x + ) ln Mặt khác f (1) = log (1 + ) + .5 = 2. Do đó, phương trình (2) viết dạng: 3± f ( u ) = f (1) ⇔ u = ⇔ x − x + = ⇔ x = 3± Vậy phương trình có hai nghiệm x = + Đạo hàm: f = + mx + x + mx +2 −5 = x + 2mx + m a) Giải phương trình với m = − b) Giải biện luận phương trình Giải: Đặt t = x + 2mx + phương trình có dạng: 5t + t = 52t + m− + 2t + m − (1) Xác định hàm số f ( t ) = 5t + t + Miền xác định D=R + Đạo hàm: f = 5t.ln + > 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số tăng D VD3: Cho phương trình: 5x Vậy (1) ⇔ f ( t ) = f ( 2t + m − ) ⇔ t = 2t + m − ⇔ t + m − = ⇔ x + 2mx + m = (2) x = 2 a) Với m = − ta được: x + x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = − 5 5 Vậy với m = − phương trình có 2nghiệm x = 2; x = − 5 b) Xét phương trình (2) ta có: ∆ ' = m − m + Nếu ∆ ' < ⇔ m − m < ⇔ < m < . Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu ∆ ' = ⇔ m=0 m=1. với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0 với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1 10 http://megabook.vn/ t = x = 2y 1 2 t + = ⇔ 2t − 5t + = ⇔ ⇔ t = t y = 2x y =1⇒ x = + Với x=2y ⇒ (2) ⇔ y − y = ⇔ y = −1 ⇒ x = −2(1) 2 + Với y=2x ⇒ (2) ⇔ x − y = vô nghiệm Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1) BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết. Bước 3: Giải hệ nhận được. II. VD minh hoạ: log x + = + log y Ví dụ 1) Giải hệ phương trình: log y + = + log x Giải: Điều kiện x; y>0. Biến đổi tương đương hệ dạng: log ( x + 3) = (1 + log y ) log ( x + 3) = (1 + log y ) ⇔ (I) log ( y + 3) = (1 + log x ) 2 (1 + log x ) = log ( y + 3) ⇒ log ( x + 3) + log x = log ( y + 3) + log y (1) Xét hàm số: f ( t ) = log ( t + 3) + 2log t Miền xác định D = ( 0; +∞ ) . Đạo hàm f ( t ) = + > 0, ∀t ∈ D ⇒ hàm số đồng biến. ( t + 3) ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x = y Khi hệ (I) trở thàmh: log ( x + 3) = (1 + log x ) (2) + Giải (2): ⇔ x + = ⇔ x + = 4. ( x ) log 2(1+ log x ) (II) ⇔ x + = 4.2log3 x ⇔ x + = 4.2log3 2.log2 x ⇔ x + = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x − log3 = (3) Xét hàm số g ( x ) = x1−log3 + 3.x − log3 Miền xác định D = ( 0; +∞ ) Đạo hàm: g ' ( x ) = (1 − log ) .x − log3 − 3log 4.x −1−log3 < 0∀x ∈ D ⇒ hàm số nghịch biến Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương trình bới đó: 11−log3 + 3.11−log3 = ⇔ = 49 http://megabook.vn/ x = y Khi hệ (II) trở thành: ⇔ x = y =1 x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau: log x + − log x − y = x + x + − ) ) 3( 3( log ( x ) + x − x + = − ( x − y) + − x + y − x − xy − Giải: Viết pt thứ hệ thành: ( x + 1) + − ( x + 1) − log3 ( x + 1) = Xét hàm số f ( t ) = Có f ' ( t ) = ( x − y) (t ) + − ( x − y ) − log3 ( x − y ) (*) + − ( t ) − log3 ( t ) với t>0 1 −t + ≤ − 2 ≤ nên f đồng biến. t (t ) + 1 Thế (*) ⇔ x + = x − y (1). Với pt thứ 2, xét hàm f ( x ) = log ( x ) + x − x + với x > 1 Có f ' ( x ) = x − + nên f đồng biến x2 + x 1 Thế f = − nên x = thỏa mãn pt thứ 2. 2 1 3 Kết hợp với (1) cho ta y = − . Vậy ; − nghiệm hệ 2 2 4 x −16 + x + x + = y −8 y + y − + y − y + 17 Ví dụ 3) Giải hệ phương trình: (I ) 2 y x − − x + x − + ln x − x + = Giải: Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 4. Đặt z = y − 4, z ≥ . Khi hệ (I) có dạng: ( ) ( x −16 + x + x + = z −16 + z + z + 2 zx + x − z − 12 + ln x − x + = ( −16 (1) ) −16 (II) ln + t + t > 0, ∀t > t +1 Và hàm f(t) liên tục [ 0; +∞ ) nên f(t) đồng biến [ 0; +∞ ) . Suy (1) có dạng Hàm f (t ) = 4t + t + t + có f '(t ) = 2t.4t (2) ) f(x)=f(z) ⇔ x = z ≥ . Thế z=x vào phương trình (2) ta có: x3 + x − 12 + ln ( x − x + 3) = ( 3) Đặt g ( x) = x + x − 12 + ln ( x − x + 3) , x ≥ 50 http://megabook.vn/ 2x − x2 − 4x + = x + > , x ≥ x − 3x + x − 3x + g(x) đồng biến [ 0; +∞ ) g(2)=0 nên x=2 nghiệm (3) Hệ (II) có nghiệm x=2 t=2 nên hệ (I) có nghiệm nhất(x;y) (2;6). y − x2 x + = e y +1 Ví dụ 4) Giải hệ phương trình: 3log ( x + y + ) = log ( x + y + ) + Ta có g '( x) = x + + x + y + > Lời giải: Điều kiện xác định x + y + > t Xét hàm số f ( t ) = e ( t + 1) , t ∈ [ 0; +∞ ) . Ta có f ' ( t ) = et ( t + 1) + et = et ( t + ) > nên hàm đồng biến. Do 2 2 x2 + ey −x = ⇔ e x x2 + = e y y + ⇔ f x2 = f y ⇔ x2 = y ⇔ x = ± y y +1 Phương trình thứ hai hệ tương đương với: 3log ( x + y + ) = log ( x + y + ) + ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 3 2 ⇔ log x + y + = log ( x + y + ) ⇔ x + y + = ( x + y + ) (*) Xét hai trường hợp: - Nếu x=y thay vào (*), ta ( x + ) = ( x + ) Theo điều kiện ban đầu x + > ⇒ x + > x + > Hơn ( x + ) − ( x + ) = ( x + ) ( 27 x + 46 ) > ⇒ ( x + ) > ( x + ) Do ( x + ) > ( x + ) > ( x + ) nên phương trình vô nghiệm. - Nếu x=-y thay vào (*) ta ( − x + ) = ( ) ⇔ ( − x ) = ⇔ − x = ⇔ x = Suy ra:y=-x=-4 thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 4; −4 ) BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I. Phương pháp: II. VD minh hoạ: e x − e y = ( log y − log x )( xy + 1) (1) VD1: Giải hệ phương trình: 2 x + y − 1(2) Giải: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT(1) > ⇒ (1) vô nghiệm - Nếu x > y ⇔ log x > log y , đó: VP < ( ) 51 http://megabook.vn/ VT(1) < - Nếu x < y ⇔ log x < log y , đó: ⇒ VP(1) > - Vậy x=y nghiệm (1) x = x = y x = y Khi hệ có dạng: ⇔ ⇔ x + y = 2 x = x = 1 Vậy hệ có cặp nghiệm ; . 2 (1) vô nghiệm y ⇔x= y= log ( x + y ) = x + y − VD2: Giải hệ phương trình: log x + y + ( xy + 1) = x + y − x + y > x + y > Giải: Điều kiện: xy + > ⇔ 0 < x + y + ≠ xy + > Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t = t − Đặt u = log t ⇒ t = 2u phương trình có dạng: log t = u = x + y = Bernoulli 2u = u + ← → ⇔ ⇔ u = x + y = log t = x + y = x + y = x + y = x = 0; y = + Với x+y=1 hệ có dạng: ⇔ ⇔ ⇔ log ( xy + 1) = xy + = xy = x = 1; y = x + y = x + y = x + y = + Với x+y=2 hệ có dạng: ⇔ ⇔ log ( xy + 1) = xy + = xy = Khi x; y nghiệm phương trình: t − 2t + = vô nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phần một: PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 1. ( 10 + ) x −3 x −1 = ( 10 − ) x +1 x +3 2. log ( x − 1) + log ( x + 1) − log 3. ĐS: x = ± (7 − x) 1 + log 2 3 log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 ĐS: x = ĐS: x = hay x = − 33 52 http://megabook.vn/ 3 x3 4. log .log x − log3 = + log x x ĐS: x = hay x = ĐS: x = ĐS: x = hay x = 5. log x 2.log x = log16 x 6. log ( x − 1) + log 7. log ( x − 1) + 8. log ( x − 1) = log x +1 + log x + 2 = x + − log ( − x ) − log ( x − 1) = ĐS: x = ĐS: x = + 17 9. x + x +2 +2 =4 x3 2+ x + + 2x 10. ( log x ) = log x.log +4 x−4 ( ( x ∈ ℝ) ĐS: x = 1; x = ) 2x +1 −1 ĐS: x = 1; x = 11. log x + log x = + log x.log x ĐS: x = 4; x = 12. 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + = 13. log 2 + log x = ĐS: x = −2 hay x = ĐS: x = hay x = x 14. log x − 14.log16 x x + 40.log x x = ĐS: x = hay x = hay x = x 15. 4log2 x − x log = 2.3log x ( ) ĐS: x = ( ) ( 16. log x − x − .log x + x − = log 20 x − x − ) ĐS: x = hay x= 17. ( log 20 − log 20 +5 18. 23 x +1 − 7.2 x + 7.2 x − = =1 − log x ĐS: x = hay x = 81 20. log ( 3x − 1) log ( 3x+1 − 3) = ĐS: x = log 10 hay x = log 21. log x + log x = log ĐS: x = =0 ĐS: x = 2x 22. ( log x + 1) log x + log ) x = 10 ĐS: x = 100 x 1010 = x = ĐS: x = x = −1 − lg x = − lg x − 19. ( − log x ) log x − 2 28 27 hay x = 53 http://megabook.vn/ ) ( 23. log x − x − x + = ( 24. + ) log x ( + x. − ) ĐS: x = log x = + x2 − 17 ĐS: x = 25. log x −1 ( x + x − 1) + log x +1 ( x − 1) = ĐS: x = x = 26. log 22 x − 14 log x + = x = ĐS: x = ( 27. 26 + 15 ) ( x +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x ĐS: x = 29. 2.x log x + 2.x −3log8 x − = 30. log x = log ( x +2 ) ĐS: x = 31. 22 x − x + = 32. x + − 3x + x−6 ĐS: x = log = 3x + x −5 x = ĐS: x = log − ĐS: x = hay x = 5 ĐS: x = hay x = 6 − 2x 33. x .5− log x = 5−5 34. x .63 = 6log x log3 ĐS: x = x = ĐS: x = log x x .log x + = 28. =1 x −3 x 35. =1 x −2 36. 3.25 + ( x − 10 ) .5 x − + − x = ĐS: x = ĐS: x = hay x = − log 37. log 22 x + ( x − 1) log x = − x ĐS: x = 38. log ( x + x + 1) − log x = x − x 39. ( 7+4 ) ( x + 7−4 40. log ( x − x − ) = log ( ) )= 41. log x + 3log6 x = log x 42. 2.log ( x ) x + x = log x 43. + = x + x ĐS: x = x (x hay x = 14 x ĐS: x = − x − 3) ĐS: x = ± ĐS: x = 256 ĐS: x = ĐS: x = 0; x = 54 http://megabook.vn/ 44. log 2x −1 = + x − 2x x 45. 22 x +1 + 23− x = 46. − x 47. x +1 ĐS: x = log ( x − x + ) ĐS: x = + ( − 1) sin ( + y − 1) + = x x x + x + x − x2 =3 x 48. log ( ) +1 ( + 92 x − x ) +1 ( x = 34.152 x − x 50. − 21 + + 21 ) x ĐS: x = ĐS: x = − 3; x = + 3; x = 0; x = = x+3 51. x − x −5 − 12.2 x −1− x −5 + = 52. x −1 = log ( x − ) + x = ĐS: (k ∈ ℤ) π y = − − + k π ĐS: x = x − + = log + 8 x −1 49. 252 x − x ĐS: x = 1; x = 53. x = 3log ( x + 1) + x + ĐS: x = 0, x = 54. log 32 x + = 3 3log x − 55. + log ( x − x + ) + − log ( x − x + ) = 56. 3.4 x + ( x − 10 ) x + − x = ĐS: x = − log 3; x = 57. x + x + = x ĐS: x = 58. (1 + x ) ( + x ) = 3.4 x ĐS: x = 0; x = ; x = 59. ( x x −3 −3 x −3 )=3 x − +1 −3 x −3 +1 x+2 + x = 42 + x+2 + 2x + x −4 62. 5.32 x −1 − 7.3x −1 + − 6.3x + x +1 = 63. π sin x − e 4 = tan x 64. xlog = x .3log x − xlog2 65. x (22 x+x + 1) + log x + x = 66. 3x = + x + log (1 + x) ĐS: x = 9; x = ±2 x = ĐS: x = 60. x − ( − x ) x + (1 − x ) = 61. 42 x + + x − 18 ĐS: x = 1; ĐS: x = log ; x = − log 5 ĐS: x = x + 512 x π ĐS: x = + kπ ĐS: x = ĐS: x = 0; x = 55 http://megabook.vn/ ( ) 67. log + 3x + = log (3x + 1) ĐS: x = BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. ( ) +1 2. x −2 x + 3. log x +1 ≥ + 2x ( +3 ) −1 > 22 x −1 − −1 + ĐS: S = ; ∪ (1; +∞ ) 2 x x −1 −2 x ( + 32 2x −1 ) 1 7. log x − x + + log ( x − 1) ≥ 2 8. log x + log ( x − 1) + log ≤ ( 9. log x +1 ( −2 x ) > ĐS: S = −2 + 3;0 4x − 10. log x ≥ x−2 x2 + x 11. log 0,7 log ) −1 − x2 + x log 22 x + log x − > ( log x − 3) < x ≤ −1 + hay < x < hay < x ≤ + ĐS: S = − 2;1 ∪ 2; + 15. log x 64 + log x2 16 ≥ 16. ) ĐS: S = ( −4; −3) ∪ ( 8; +∞ ) 13. log π log x + x − x < − x2 + x ) ĐS: S = ( 3; +∞ ) x − > log ( x + ) 2;3 1 ĐS: S = ;1 2 4. log x − x − + log ( ) ( ĐS: S = − 2; −1 ∪ ĐS: S = ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) 1 ĐS: S = ; ∪ [1; ) 2 2 1 ĐS: S = 0; ∪ ( 8;16 ) 2 56 http://megabook.vn/ x3 32 17. log 42 x − log 21 + log < log 21 x x 2 18. ( log x + log x ) log 2 x ≥ 19. 32 x − 8.3x − ( x+4 − 9.9 ) x+4 ĐS: S = ( 0;1) ∪ (1; +∞ ) ĐS: S = ( 5; +∞ ) >0 ( 20. log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 x 1 1 ĐS: S = ; ∪ ( 4;8 ) 8 4 ) ĐS: x ≥ x 21. 125 x + ≤ 225.32− x ĐS: S = ( −∞; −2 ) ∪ [ log 45; 4] 21− x − x + ≤0 2x −1 23. x + 3log2 x ≥ x log2 ĐS: S = ( −∞; ) ∪ [1; +∞ ) x2 + x + > x − 3x + 2 2x − 2x + 25. log x + x ≥ log 64 x ĐS: S = (1; ) 22. ĐS: S = ( 0; 4] 24. log 26. log 27. ( ( ) ĐS: S = ( 0; 64 ) ) x − + ≤ log + 8 x −1 ĐS: x = 1 ĐS: S = −1; 3 − x − 3x + x > x.3x. − x − 3x + x .3x ( 29. ( 5+2 28. ) 10 + x −1 ) > x −3 x −1 ( > 5+2 ( ) x −1 x +1 5+2 ) ĐS: −2 < x < −1 ∨ − x > x +1 x +3 ĐS: −3 < x < − ∨ < x < x −1 30. x.2 x +1 < 50 + x + x > 32 x + x + x2 + 8x −1 32. log ≤2 x +1 31. 3x −x ĐS: x < − log 10 ∨ −1 < x < ĐS: −2 < x < ∨ < x < ĐS: −4 − 17 < x ≤ −5 ∨ −4 + 17 < x ≤ 33. log x − x + + log x − > log ( x + 3) 1 34. log x − x + − x > − ( x + ) log − x ( ) ĐS: x > 10 ĐS: x < ∨ 1 − ( x + 1) log 0,5 ( − x ) ĐS: x < −2 ∨ < x < 36. log ( x − x + 12 ) < ĐS: log ( x − ) + log x − −1 1 37. log x x − ≥ 4 < x < 3∨ < x < ĐS: < x < 57 http://megabook.vn/ 2x −1 38. log x >1 x −1 3x + 39. log x >1 x+2 40. log x (5x 41. log x − x +1 ĐS: ĐS: < x < ) ( ) x2 − 2x −1 < 42. log x −1 ( x − x ) > x−5 43. log x3 44. log x − 45. 46. < x < 1∨ x > 1− 1+ ĐS: −1 < x < ∨ ≥− ĐS: ĐS: < x < ∨ x ≥ 11 6x > log x − ( x − 1) ( log x − x + log ( − x ) ( log a 35 − x log a ( − x ) 3− 3+ < x < ∨1 < x < 2 ĐS: Vô nghiệm ) ( < a ≠ 1) ĐS: < x < log x−1 ( x −1) 5 3 47. 0,12 ≥ 48. log 3x + 4.log x > ĐS: < x < log x−1 x ĐS: < x < ĐS: ≤ x < ĐS: x > log 10 49. log ( x + ) .log ( 2− x ) − ≥ ( ( ) 50. log x log 3x − ≤ 51. log x log x − 72 ≤ 52. log ( 1 53. 3 54. 55. 56. x+2 − x ) ≤ log ) x +1 x2 log log + 2log x−1 + 3 2 ( ĐS: log 73 < x ≤ ĐS: < x ≤ ≥1 ĐS: ) ≥1 log 3x − x −1 log ( x − 1) − log ( x − 1) x2 − 2x − −3 + ∨x> −1 + 73 −1 + 217 ≤x< 2 ĐS: < x ≤ − log ∨ x > 0 log ( x − 1) log x − x + ĐS: + 13 3+ x < 1∨ x > 58 http://megabook.vn/ 57. x ≤ 3.2 x + x +1 +4 x ( 58. + 11 ) x ( + 5+ ) x −2 ( 3− ) ĐS: ≤ x ≤ x 59. 8.3 x + x + x +1 > x 2 60. 252 x − x +1 + x − x +1 ≥ 34.152 x − x 61. 6.92 x −x − 13.62 x 62. x + x.3 x −x + 31+ x + 6.42 x −x < x .3 x ĐS: < x ≤ + ∨ x ≥ 3 66. log x ( x ) + log 32 x < 11 ( ) ( 67. log9 x + x + + > log3 x + x + 68. log32 x − log3 x + > log3 x − 69. log 21 x + log x > − log16 x ( ) ĐS: − < x ≤ −1 ∨ − ≤ x < 3 ĐS: < x < ∨ < x < ∨ 16 < x < 64 ) ĐS: < x ≤ 70. log x + log a x + > , với a>0 log a x − 2 a ĐS: x > a ( a > 1) ∨ < x < a ( < a < 1) 71. log ( x − 1) .log ( x +1 − ) > −2 ĐS: log 2− x + − 2x ≤0 4x − 73. x − 8.e x −1 > x x 2e x −1 − 72. ( 74. 75. x2 −2 x − x − 7.3 x − x − x −1 ( + x −1 −1 0 3x − + x + 76. x ∨1 ≤ x < 4 ĐS: T = ℝ \ {0;1} x −1 )( + − 2x −1 78. x + x + < 22 x +1 + x + ≤ x ≤ 0∨ x ≥ ) ĐS : ≤ x ≤ 2 ĐS: [ 0;1) 1 ĐS: x ∈ − ; +∞ \ 0; 2 59 http://megabook.vn/ 79. 80. 5x − + 5x − ≥ 52 x + log5 − 2.5 x +1 + 16 ĐS: x=1 x + − x −6 ĐS: x>1 2.5 81. x + + 15.2 x 52 x − x +3 −5 3 1 1 ĐS: ; ∪ ( 2; ) 4 2 x ≥ ĐS: −1 ≤ x ≤ 82. xlog x + x5log x 2−log x − 18 < 83. x + ( x3 − x) ln( x + x + 2) ≥ 86. x 2.6 x − x + 3.12 x − 2.8 x ≥ 2.3x 84. 85. (3.2 x+2 − x − 17)(log ( x + 4) + log ( x + 7) − 2) x2 − (5 x −2 ĐS: x=0 )( + x − x2 + 5x + x−1 − )≥0 [...]... − 1 = 1 ⇔ ⇔ x =1 x − x2 −1 + Với log 2 6. log 3 6. t − 1 = 0 ( ) ( ) ) ( log 2 6. log3 6. log 6 x + x 2 − 1 = 0 ⇔ log 2 6. log 3 x + x 2 − 1 = 1 ( ) ⇔ log 3 x + x 2 − 1 = log 6 2 ⇔ x + x 2 − 1 = 3log6 2 x + x 2 − 1 = 3log6 2 1 ⇔ ⇔ x = 3log6 2 + 3− log6 2 2 x − x 2 − 1 = 3− log6 2 1 Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x = 3log6 2 + 3− log6 2 2 BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG... 1 log 3 x + x 2 − 1 = log 6 x + x 2 − 1 2 2 2 6 3 6 2 3 Khi đó phương trình được viết dưới dạng: ( ) ( ) ( ) x −1) x2 − 1 log 2 6. log 6 x + x 2 − 1 log 3 6. log 6 x + x 2 − 1 = log 6 x + x 2 − 1 2 ) (1) 33 http://megabook.vn/ ( ) t = 0 Đặt t = log 6 x + x 2 − 1 Khi đó (1) có dạng: t ( log 2 6. log 3 6. t − 1) = 0 ⇔ log 2 6. log 3 6. t − 1 = 0 x + x2 − 1 + Với t=0 ⇒ log 6 x + x 2 − 1 = 0 ⇔ x + x... CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phương pháp: Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải ( hệ. .. Kết hợp (3) và (4) ta được nghiệm của hệ là x=2 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phương pháp: Việc lựa chọn đặt ẩn phụ thích hợp cho hệ phương trình mũ, ta có thể chuyển hệ về các hệ đại số đã biết cách giải Cụ thể ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức của hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ cho hệ và điều kiện cho các ẩn phụ Bước 3: Giải hệ nhận được... 2 ≥ 4uv = 4 2 2 Khi đó hệ tương đương với: 2 u 2 − v 2 = 0 2 x = 1 x = 0 x = 0 ⇔ u = v =1⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 u = v y −1 = 1 y −1 = 0 3 y = ±1 uv = 1 Vậy hệ có 2 căp nghiệm (0;1) và (0;-1) CHỦ ĐỀ 4: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Dựa vào các phép toán biến đổi tương đương cho các bất đẳng thức trong hệ bất phương trình, ta... đã biết cách giải ( hệ bậc nhất 2 ẩn, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2) Bước 3: Giải hệ nhận được Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu II VD minh hoạ: 2 x + 2 + 22 y + 2 = 17 3 VD1: Giải hệ phương trình: x +1 (I) y 2.3 + 3.2 = 8 x u = 3 Giải: Đặt điều kiện u, v>0 Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng: y v = 2 9u 2 − 6u + 1 = 0 1 x 1 9u 2 + 4v 2 =... 2 Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2) Cách 2: Nhận xét rằng nếu (u;v) là nghiệm của hệ thì u ≠ 0 v2 − 4 Từ (2) ta được u = (4) Thay (4) vào (1) ta được: 2v 4 − 31v 2 − 16 = 0 (5) 3v t = 16 u = 1 2 2 2 Đặt t = v , t > 0 ta được: (5) ⇔ 2t − 31t − 16 = 0 ⇔ 1 ⇔ v = 16 ⇔ v = 4 ⇒ v = 4 t = − 2 (1) 4 x −1 = 1 x 2 − 1 = 0 x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ y y = 2 2 = 4 y = 2 Vậy hệ phương... = −1 u = 3 = ⇔ ⇔ 3⇔ 3⇔ 8 − 6u y =1 6u + 3v = 8 v = v = 2 2 y = 2 3 Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1) m3 x +1 + 2 y = 2m VD2: Cho hệ phương trình: x +1 + m2 y = m + 1 3 a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 21 http://megabook.vn/ b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên u = 3 x +1 Giải: Đặt điều kiện u ≥ 3 và v>0 Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng: y v = 2... có 2 nghiệm x1,2 = − m ± m 2 − m Vd 4) Giải phương trình: 6 x + 7 x + 555 x 2 − 543 x = 12 x + 13x Giải: Xét hàm số: f ( x ) = 6 x + 7 x + 555 x 2 − 543 x = 12 x + 13x ; f ' ( x ) = 6 x ln 6 + 7 x ln 7 + 1110 x − 543 − 12 x ln x − 13x ln x Và f '' ( x ) = 6 x ln 2 6 + 7 x ln 2 7 + 1110 − 12 x ln 2 12 − 13x ln 2 13 x x 1 2 1110 7 13 ln 6 + ln 2 7 + x = ln 2 12 + ln 2 13 x 2 12 12 ... x < 5 ( ) ( Vậy nghiệm của bất phương trình là: −3; − 5 ∪ 1; 5 ) BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit hoá theo cùng 1 cơ số cả hai vế của bất phương trình mũ Chúng ta lưu ý 1 số trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình mũ: a > 1 f ( x ) < log a b Dạng 1: Với bất phương trình: . VD2: Giải phương trình: 2 2 2 6 6 x x − + = Giải: Đặt 2 x u = , điều kiện u>0. Khi đó phương trình thành: 2 6 6 u u − + = Đặt 6, v u = + điều kiện 2 6 6 v v u ≥ ⇒ = + Khi đó phương trình. 2 2 2 2 2 ( 5 6) 1 5 6 1 7 5 5 6 1 5 6 1 5 6 1 .2 2 2 .2 2 2 .2 2 2 .2 x x x x x x x x x x x x x x x x m m m m m m − + + − − + − − − + − − + − − + − + = + ⇔ + = + ⇔ + = + Đặt: 2 2 5 6 1 2 , ,. 1 sin 1 2 2 , 2 2 3 3 2 6 x x x x x k x k k Z π π π π π π + = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈ Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: 1 1 1 2 2 1 2 0, 6 2 6 2 6 k k k k Z π π π π π π