NGUYỄN NGỌC HƯNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHAT VỚI HỆ số HẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHAT VỚI HỆ số HẰNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc PGS. TS Hà Tiến Ngoạn; thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, toàn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập vừa qua. Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân gia đình, tập thể lớp K16 Toán Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận bạn bè giúp đỡ, động viên nhiều suốt thời gian học tập nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 201ị Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Lời cam đoan Dưới hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng” hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với luận văn khác. Trong trình làm đề tài, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 20lị Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Mục lục BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG Chương 2. TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHÁT VỐI HỆ SỐ HẰNG Toán2. tử hyperbolic chặt 1. Bài toán Cauchy Phát biểu toán Cauchy tắc 2.2 Phát biểu toán Cauchy tổng quát . . Đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc 2. Bài 2. toán Cauchy tắc Bài toán Cauchy tắc với kiện ban đầu sóng phẳng 2.3. 2 2.3.2 .Bài toán Cauchy tắc với kiện ban đầu hàm 24 2.3.3 .Nhân toán tử nghiệm . 26 Việc biểu diễn nhân toán tử nghiệm qua tích phân mặt 2. nghiệm đặc trưng Trường 2. hợp phương trình truyền sóng cổ điển KẾT LUẬN 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với hệ số nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn nghiệm trường hợp số chiều không gian N 1,2,3 công thức D’Alembert, Poisson Kirchoff tương ứng. Kết mở rộng cho trường hợp N số chẵn, sau phương pháp hạ bậc kết thiết lập cho trường hợp số chiều N bất kỳ. Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. Với mong muốn nghiên cứu vấn đề tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng". Bố cục luận văn gồm chương Chương 1. Trình bày khái niệm sóng phẳng số tính chất. Phát biểu chứng minh công thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng. Ngoài luận văn nghiên cứu tính chất mặt đặc trưng đa thức hyperbolic. Chương 2. Phát biểu toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc. Luận văn đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc. Trình bày lời giải toán Cauchy tắc với kiện sóng phẳng. Biểu diễn nhân toán tử nghiệm qua tích phân mặt nghiệm đặc trưng, áp dụng kết thu cho phương trình truyền sóng cổ điển. Luận văn trình bày sở chương sách: "Fritz John (1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S , SpringerVerlag, New York Heidelberg Berlin". 2. Mục đích nghiên cứu Đưa công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm sóng phẳng công thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng, sau dẫn dắt công thức mô tả nghiệm tường minh cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tổng quan kết công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 6. Dự kiến đóng góp đề tài Tổng quan công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. Chương SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1. Một số ký hiệu • Rn = { X = (xi, X 2, ., X N ) \ X Ị e K. , Ỉ = , N } . • Các chữ X , Y , Z , X , Y , Z , ^ , R } , C đ ợ c thay cho vectơ ( X Ị , . . . , X N ) , ( Y X , . . . , Y N ) , . . . , ( ( Ị , . . . , ( N ) không gian N chiều, 71 > 2. Tất chữ khác thay cho biến vô hướng. n • Tích vô hướng vectơ у ж kí hiệu Y . X = Y I X Ị . i =1 • Độ dài ( X . X ) Z vectơ X |xỊ. • Phần tử thể tích D X , . , D X N viết tắt D X , D S X kí hiệu phần tử diện tích mặt siêu mặt không gian N chiều. • Mặt cầu đơn vị có bán kính với tâm gốc tọa độ không gian X • kí hiệu Í Ì X , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị D U J X , Thể tích hình cầu đơn vị không gian N chiều ( — ị J N . \nj đ ó F Ữ = ( X — Y).Ĩ] . S ố h n g l o g | F j f c | l đ ộ c l ậ p đ ố i v i K, F O — khô ng có đón g góp lấy tổng theo K mà đượ c suy từ (2.1 3). Đặt — EQ = (x y).£ — ta có — — — — (-1 ) NNE (27ĩi) n (m — n — )\K(x — y,t) = —2 J O(f,l)= với N < M — chẵn. Tpm — n lo |grandQ(£, 1)1 E _ d □ — Nhận xét 2.2. Công thức (2.28), (2.29) Herglotz đưa với N < M — theo giả thiết mặt đặc trưng bị chặn (và M chẵn). Nếu ta đưa £ i , . . . ,£n-i biến phép tính tích phân ta có — ■ • ■ £n— — dS — = ±— |grandQ(£, 1)1 Qí„(£, 1) — Ta chia miền lấy tích phân thành miền với E > E < 0, — ta cho biến phép tính tích phân giá trị phức thu — biểu thức cho F. — Bây ta chuyển sang xét trường hợp N > M — 1. — Định lý 2.5. Giả sử n > m — 1. Khi hàm số — — — Cm — m +1 r = d t n-m+ J f ( y ) K ' ( X - y ^ d y ( - 31 ) lầ nghiệm củã Bầi toấn 2.1. Trong nhân K'(x — y,t) biểu diễn qua tích phân mặt đặc trưng sau Í (—1) signE — K'(x -y,t) = — — với n > m — lẻ, — í (2?TI) N — (2.32 J |grad m — chẵn. — Chứng minh. Ta giả thiết N > M — 1. Chúng ta phải hạn chế trường hợp Q ( R ) , 0) Ỷ M chẵn. Với giả thiết này, mặt đặc trưng bị chặn, X k ( ĩ ] ) ^ với 77 Q R Ị . — Ta sử dụng cho / G lớp c đồng thức sau — m d — dy J — dt \n, \ (/ — — \ J [ J Qx{v, Afc ( » 7) ) v V«- / = /(A„/(»)) — — \n, — •________„_*•* J-Ằ X J 1__x'. _ V — dy • _ 7. d d — S Ử dụng lặp lại đồng thức này, giả sử / thuộc lớp C N + Q — triệt tiêu bên tập bị chặn, biến đổi biểu thức (2.16) cho U vào W — (M) = J f{y)Z'{x - y,t)dy — V/, ^ _ V- f { F k ) X ~ k n ~d u9 } r . — Z ( x - y , t ) = 2^ / n f \ f \\ > — Qx{v,h{n)) — (ở sử dụng ^ ). — Bây — — Fk = ( x - y ) . T Ị + t\k(TỊ) triệt tiêu đồng theo biến 77 , trường hợp thừa số, mặt đặc Q ( T H phải chứa hàm tuyến tính (x — Y ) . I + t x trưng chứa mặt phẳng mở rộng đến vô cực, trái với giả thiết. Do tập hợp điểm Q V với F K = tạo — thành tập hợp điểm chiều thấp hơn. Suy Z ' ( X — Y , T ) với G cho — (2.17), (2.18) có đạo hàm T liên tục có bậc < M — + Q . Khi — Q n —m + l — fịn— m+1 r = — Qtn-m+l J f ( y ) K ’ ( X - y ^ ) d y ( - 34 ) — — — — Q m- l + q K'{x -y,t)= - y, Qịm-l + q — — t) +, { m ~ l + , \Fk). QÁvMv)) — sign — 4(27T Ỉ ) — (27TĨ) — N — log (m-Ịs| + c (s) — n với N lẻ với N chẵn c số định. Hằng số c đóng góp tới K ' , t r o n g đ ó s ẽ bị triệt tiêu đạo hàm theo t mà có mặt biểu thức u (với n chẵn m giá trị 71 — 777, + 1). — Đối với trường hợp ta thay log \ F K \ log — — rữ đóng góp log |F0| không phụ thuộc vào T . Như ta dẫn đến biểu thức — — — — — — — — ' K (x y - ’ t) = Priỹ Ỷ ị 't ^ _ V- í K {x — y,f) = £ Ar1-nsignF k V — K Í1 , J tUM) ẽu> ” — với N chẵn. k n. — Biến đổi tích phân qua tích phân mặt đặc trưng, cuối ta — (—l^sign E —------------------------K'(x — y,t) = —7 T—- [ vy — ’ ’ 2(27X2(2 I ) N Tã)”~L J J |gradQ(£, 1)1 d Qit, 1)=0 — với n lẻ, — K'(x -y,t) = — — 2.5. / ­2 (27XỈ) N Q(Í,1)=0 với n chẵn. E _ J |gradQ(^,l)| d □ Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển — Xét phương trình truyền sóng cổ điển — — A x u = UỊỊ (2.35) X = ( x i , x , ■ ■ ■ , x n ) Ẽ i v ẽK. Trong trường hợp cấp toán tử M = ta có số biến độc lập n + lớn m . Do ta áp dụng Định lý 2.5 để nghiên cứu Bài toán — Cauchy tắc cho phương trình (2.35) — Bài toán 2.4. Bài toán Cauchy tắc cho phương trình truyền sóng cổ điển có dạng — U ( X , 0) = — (2.36) — Đặt I ( X , R ) đại lượng trung bình mặt cầu tâm điểm X bán kính R / xác định công thức — I ( x , r ) = — í f { y ) r l n d S y. (2.37 — \x-y\ = r — Định lý 2.6. Nghiệm toán Cauchy tắc cho phương trình truyền — — — — — — — sóng cổ điển biểu diễn qua cồng thức t n 1d u (M) = I I(x:r)r(t2 — r2)^dr (n — 2)! dtn~2 với n lầ chẵn, n— dkI(x:t) k+1 u ( x , t ) = ckt k=0 dtk v i n > l ẻ . (2.38 (2.39 Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh công thức (2.38) nghiệm — phương trình (2.36) N lẻ. — Ta có mặt đặc trưng trùng với mặt cầu đơn vị — Q(í, 1) = - líl2 = 0. — — Trên tầng đơn mặt N = |grandQ(£, 1)1 = 2. Sau từ (2.32) (1.1) với N lẻ, suy — K'(x - y , t ) = — 4(27r .)„_1 J s i g n [ O r - y ) .ị + iịdUỊ — — +1 = 4(2frĩ)“-‘ / (1 - í'2)”ilsign d p ­1 —trong R = \X — Y\. Khi — N FÍ I _1 ( — í )" với R > T — với r < t. — — —Từ (2.34) Ị f { y ) - Q ị K' { x — y, t ) d y — n dt — d~n2~|2 iúnUn-l í J, , ,2 _ ^ — M j d — [ n / n dt ~ 2(2 KỈ) ~ J — —trong I(X,R ) đại lượng trung bình mặt cầu tâm điểm £ bán kính R — / xác định theo công thức — = / ỉ( V y-"dS y . — \x-y\ = r — — đây, từ (Ịl.61) — 2nn_n—1 — (2.40 (n — — Ta nhận thấy — 00 — J I(x, r)r(r — í2 )^dr — — đa thức theo T có bậc N — 3, nên ta nhận công thức cổ điển — dn~2 — J I(x,r)r(t — r )^dr. U(X , í) — (N — 2)! n — — Ta chứng minh tiếp công thức (2.38) nghiệm phương trình —(2.36) 77, chẵn. Đế nhận công thức cho N chẵn từ (2.33) — khó hơn. Ta có từ (Ị2.33D (Ịl.ip — — r2 r2 í — K {x ' -v't) = ^ì{1-pr lo -1 p - log bl d — — — — số hạng log ỊpỊ bỏ qua, đóng góp cho OK' \ ^ * ——. Ta có thê viêt K môt tích phân măt phăng phức p lây d t qua đường đóng c K ' { x - y , t ) = ^n~)nRe/ (1 -p2)^log (p+ — d (2-41) — P• c — Hàm (1 — p2)^ xác định bên đường cắt từ —1 đến — — + có giá trị thực dương biên đường cắt. Giả sử log s có nhánh xác định mặt phẳng s chia đường cắt theo — trục ảo dương. Đặt P o = — ta lấy c đường đóng qua điểm P o , mà — r — không qua đường cắt từ —1 đến +1 đường cắt từ P ũ đến P o + i o o mặt phẳng p (xem Hình 2.2). — Tích phân (2.41) có dạng H p o ) = j > g ( p ) log( p - P ữ ) d p — (2.42) — — c hàm g ( p ) giải tích thông thường bên đường cắt hữu hạn theo trục thực liên tục từ hai phía bên điểm đường cắt. (Ta giả thiết n > 4). Ta sử dụng đường lấy tích phân vòng tròn bán kính M với tâm điểm P o với đường cắt từ p đến P o + Ỉ M . Sử dụng thực tế log p thay đổi số 2tĩỉ qua trục ảo, ta tới biểu thức — — Po + iM h(po) = Ị g{p + p0)ỉogpdp-2ĩĩi Ị g{p)dp. — \p\ = M Po — Khi — t í ị p ò ) = J g'(p + P ữ ) logpdp - 2ĩĩi(g(p ữ + ỈM) - g ( p o ) ) . — \p\=M — Phép tính tích phân phần áp dụng cho tích phân theo công thức H ' ( P Ữ ) = - g { p + P ữ ) — + ĩ i g ( p ữ ) (2.43) Hình — — ịp\=M có tính tới tính đa trị. — Trong trường hợp đặc biệt — g(p) = ( l - p y — ta — h ' { p ữ ) = - J (1 - (p + po)2)^— + 2ttì(1 - p ị ) ^ . — \p\=M — V L — 1r Tích phân công thức phần dư hàm - — ( P + P Q Ỵ tạ — P = 00 . dễ dàng thấy đa thức P ( P O ) có bậc < N — 3. Khi — d rW/ . I d K ' ^ - K (J x — y t ) = — — „ d t v y’ rd P o — — — — —a2 \ ^n — — Re 2r(27TĨ) n—3 Đa thức p không tạo đóng góp vào — Qn-2 r Q — = aỹTT J ~ — — r n(í — R ) '2' 2(27r)n_1 v ^dy- — d Phần lai — K ' ( x — Y , T ) có giá tri r > í, giá tri D T — — r < T (sau quan sát P Ũ < — 1). — Lập luận tương tự thiết lập trước, công thức (2.38) — với N > chẵn. Chứng minh tương tự cho thấy giá trị công thức — (2.38) N = đúng. — Công thức (2.38) thiết lập giả thiết — — — — — — — F ( X ) có đạo hàm cấp cao. Cho N lẻ ta chuyển hàm theo T dấu tích phân ký hiệu đóng góp từ giới hạn phép tính tích phân. Còn lại phép tính vi phân tạo biểu thức có dạng n —3 — — — phép đạo u ( x , t ) = ỵ kt k=0 c với số C F C biết . k+1 d k I{x,t ) dt k — Bây I ( X , T ) có lớp F ( X ) . Suy U biểu — biểu diễn nghiệm toán biên ban đầu phương trình sóng cho / đủ trơn. Ta kết luận cách xấp xỉ toán đ ợ c giải / c n+1 ■ Đây toán với giá trị ban đầu đặc biệt u = 0, U ị = / cho t = 0. Đối với giá trị tổng quát u = g , u t = f hàm G phải giả thiết thuộc lớp C N ± . Giả thiết / thuộc lớp Cn+1 n ó i c h u n g k h ô n g t h ể l l m c h o y ế u đ i , v ì I ( x , t ) c ó t h ể c ù n g l p v i F { X ) . Vì trường hợp F ( X ) hàm đối xứng cầu F ( X ) = H (|a;|), — ta có ( , T ) = H ( T ) , số đạo hàm theo biến T I với — _ 2 7/.— —----------------------------------------------------------------------lớp /. Cho N chăn ta chuyển ngoài------------------------------------các phép tính vi — phân dấu tích phân ký hiệu công thức (2.38) thấy U đại diện cho nghiệm phương trình sóng cho / lớp C N + . □ — KET LUẠN —Luận văn trình bày vấn đề sau • Khái niệm hàm sóng phẳng công thức biểu diễn hàm số qua hàm sóng phẳng. • Khái niệm đa thức hyperbolic chặt theo biến thời gian t cấu trúc hình học mặt đặc trưng nghiệm nó. • Phát biểu toán Cauchy tổng quát, toán Cauchy tắc việc đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. • Trình bày công thức n g h i ệ m toán Cauchy tắc với kiện ban đầu bất kỳ, đồng thời cách biểu diễn hàm nhân toán tử nghiệm thông qua tích phân mặt đặc trưng. Sau áp dụng trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển. —Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót. Vì tác giả mong quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy cô để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này. [...]... (1.27) số □ (1.2 ra rằng các số dương Àjfc là như nhau với mọi R J Theo — dương Afc(77 ) bằng số âm Afc(— Ĩ ] ) Từ đó theo giả thiết (1.28) số dương — và số âm X K là bằng nhau với mọi Ĩ ] Điều kiện (1.28) chỉ có thể được thỏa mãn với M chẵn — — Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ số HẰNG 2.1 Toán tử hyperbolic chặt — Xét toán tử Q ( D X, D Ị ) thuần nhất. .. là đa thức hyperbolic chặt 2.2 2.2.1 — Q(f, A) = + 2A E B Ì I Ì - X 2 TI Bài toán Cauchy Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc — n Bài toán 2.1 Bài toán Cauchy chính tắc bao gồm tìm nghiệm U của phương trình — L [«] = Q(D I ,D t )u = 0 (2.5 với (x , t ) e R" X R, thỏa mãn các điều kiện ban đầu với t = 0 và mọi ĩ ễ I " (2 2.2.2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát — Bài toán 2 2 Bài toán Cauchy tổng... đến cấp S Nghiệm U của bài toán chính tắc sẽ tồn tại duy nhất nếu toán tử L là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng T = 0 — Do mọi hàm F I X ) đều có thể phân tích qua sóng phẳng, nên trong Mục 2.3.1 dưới đây sẽ xét trường hợp khi dữ kiện ban đầu là sóng phẳng 2.3 Bài toán Cauchy chính tắc 2.3.1 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng — Bài toán 2.3 Bài toán Cauchy đ ư ợ c xét ở đây... m l ẻ — L — — sao cho \M2 t1-25) — với m chẵn — I2 — = Chứng minh Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặt phương trình đặc trưng (1 21 ) với 7 ] Ỷ 0 có đúng M nghiệm thực phân biệt X Ị , , Am — Ta đánh số theo một dạng duy nhất Ai > À 2 > > A m (1.26) — Cho 77 là vectơ đơn vị, khi đó Àfc bị chặn đềudo hệ số của Am trongliên tục vào các hệ số, và do (1.26) đúng với mọi 77 trên Í L... thức đặc trưng của toán tử Q ( D X , D T ) Định nghĩa 2.1 Toán tử Q ( D X , D T ) được gọi là hyperbolic đối với mặt phẳng T = 0 nếu đa thức Q ( R ] , A) là hyperbolic đối với biến A — Định nghĩa 2.2 Toán tử Q { D X , D Ị ) được gọi là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng T = 0 nếu đa thức k Q(t?, , A) ^ hyperbolic Q ( Ĩ 7 A) =là a a t Jì“\ chặt đối với biến A — Ví dụ 2.1 Toán tử thuần nhất cấp hai sau... tìm nghiệm U của phương trình — L [u] — w(x, t ) — 3 (2.7 thỏa mãn các điều kiện ban đầu với T = 0 và với mọi X & W ' — — u Qk — (x,0) = ft(x) — dtk — — với k = 0 , 1 , , m — 1 (2 2.2.3 Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc — Từ phương trình (2.7), (2.8) Đặt U = U ' + U " , trong đó — m—11 — U ' = J2 k\ ĩ k W t k k=0 — và U " được xác định là nghiệm của phương trình sau — L ịu"]... được từ (1.9) cho trường hợp N chẵn công thức sau — p= + oc — (2ĩĩỉ) n f(z) = (A z ) r ^ Ẵ Jduj x Ị d J ^' Ấ — t ìx — — P=-00 n — 3=1 d2 trong đó A Z = > —là toán tử Laplace theo biến ■ *— 1 ' D Z I j □ 1.4 Hình học các siều mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng 1.4.1 Đa thức hyperbolic — Với 77 = (771 ,772 , , T ] N ) e A ẽ E , xét đa thức thuần nhất bậc M Q{n,X)... A) € Rn X R, khi — đó đa thức Q ( Ĩ ] , X ) được gọi là hyperbolic chặt đối với biến À nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau • Nó là hyperbolic đối với biến À • Khi 77 7 ^ 0 thì phương trình (|1.19|) có M nghiệm thực theo A đôi một khác nhau — Ví dụ 1.1 Đa thức thuần nhất bậc hai sau đây — n - x * (1.22) — 3 =1 là hyperbolic chặt Thật vậy, từ phương trình Q ( R ] , A) — n — x 2 = ỉ, ni — 3 =1 từ đó suy ra... y)-rì)ĩ( 2, Q + N chẵn Khi đó đây I „19 — với N lẻ — n 1 0("*-i)(sì = J 4 g l ( 2 7 T Ì ) (2.22 1 -s«(log |s| + c) — - với n chăn — q\ — với một hằng số c nhất định — — Sau đó từ công thức (1.8Ị), (ỊOỊ) đối với / thuộc CỊ — n d m... Ổ |£|2, ổ > 0 — j,k=i 71 — Khi đó đa thức Q(£, A) là hyperbolic chặt, do 1.4.2 Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất — Định nghĩa 1.4 Giả sử Q ( R ] , A) là một đa thức hyperbolic chặt thuần nhất Khi đó tập hợp — E = {( 77, A) e M n X M; 77 ^ 0, Q ( r ] , A) = 0} — được gọi là mặt đặc trưng — Nhận xét 1.4 Ta thấy . Hưng Mục lục BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHÁT VỐI HỆ SỐ HẰNG Toán tử hyperbolic chặt Bài toán Cauchy Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc Phát biểu bài toán Cauchy tổng. HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHAT VỚI HỆ số HẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN. hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 9 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. Chương