B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRN HUY MNH BI TON TA CN BNG HN Hp TNG QUT V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 20 LUN VN THC S Ngi hng dn khoa hc GS.TSKH. NGUYN XUN TAN H NI - 2014 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc s phm H Ni di s hng dn ca GS.TSKH. Nguyn Xuõn Tn. Thy ó hng dn v truyn t cho tỏc gi nhng kinh nghim quý bỏu hc cng nh nghiờn cu khoa hc. Thy luụn quan tõm v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hon thnh lun vn. Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc i vi Thy. Tỏc gi xin cm n Ban giỏm hiu nh trng, phũng Sau i hc, cỏc thy, cỏc cụ trng i hc s phm H Ni ó trang b kin thc v to iu kin thun li cho tỏc gi kt thỳc tt p chng trỡnh o to Cao hc, hon thin lun bo v tt nghip. Tỏc gi xin cm n Ban lónh o tnh Lo Cai, Ban giỏm c S GD &; T Lo Cai, Ban giỏm hiu trng THPT s Huyn Bo Yờn ó to mi iu kin giỳp tỏc gi an tõm hc v hon thnh tt khúa hc. Tỏc gi xin by t lũng bit n ti gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó ng viờn tinh thn tỏc gi hon thin khúa hc v hon thnh lun ny. H N i , t h ỏ n g n m Tỏc gi Trn Huy Mnh LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca GS.TSKH. Nguyn Xuõn Tn. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. Cỏc kt qu trớch dn lun ny ó c ch rừ ngun gc. H N i , t h ỏ n g n m Tỏc gi Trn Huy Mnh Mc lc M du Kin thc chun b 1.1 Mt s khụng gian thng dựng 1 . . 1.1 1.2 1.1.3 Khụng gian metric Khụng gian inh ct lun Khụng gian Hilbert 1.1.4 Khụng gian tuyn tớnh li a phng Hausdorff . . . n.2 Nún 1.3 nh x a tr 1.3.1 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr 1.3.2 Tớnh li ca ỏnh x a tr . 1.4 Mt s nh lý v im bt ng v ỏnh x KKM Bi toỏn ta cõn bng hn hp tng quỏt v ng dng 2.1 Gii thiờu bi toỏn 2.2 Mt s bi toỏn liờn quan 2.3 S tn ti nghim 2.4 ng dng Kt lun Ti liu tham kho M u 1. Lý chn ti T rt xa xa lch s toỏn hc ngi ta ó quan tõm n nhng bi toỏn tỡm cỏc giỏ tr nh nht (cc tiu) hay ln nht (cc i), gi l cỏc bi toỏn ti u. Vo nhng nm 30-40 ca th k 20 nhu cu ca s phỏt trin kinh t, k thut v lý thuyt giỏ tr ca Edgeworth v Pareto ngi ta ó xõy dng lờn lý thuyt ti u vộct. Sau ú nhiu cụng trỡnh v lý thuyt ti u cng nh ng dng ca nú ó xut hin nhiu lnh vc khỏc ca cỏc ngnh khoa hc v k thut, kinh t nh: Lý thuyt trũ chi ca Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyt lu thụng hng húa ca Koopman (1947). Ta bit rng cỏc bi toỏn c bn lý thuyt ti u vụ hng bao gm: 1) Bi toỏn ti u: Cho hm s / : -D -> R. Tỡm X e D cho /(óQ < F ( X ) Y vi mi X thuc D . 2) Bi toỏn bt ng thc bin phõn: Gi X * l khụng gian i ngu ca X . Cho ỏnh x T : D -ằ X * . Tỡm X e D cho { T ( X ) , X X ) > 0, vi mi X thuc D . 3) Bi toỏn cõn bng (Blum-Oettli a nm 1994): Cho / : D X D -ằ R . Tỡm X e D cho f ( x , x ) > vi m i X e D . Bi toỏn im cõn bng c bit n t cỏc cụng trỡnh ca Arrow- Debreu, Nash. Nú l s m rng ca cỏc bi toỏn nh bt ng thc bin phõn, ti u vụ hng ng thi nú cng bao gm cỏc bi toỏn im bt ng, bi toỏn bự, bt ng thc minimax nh nhng trng hp c bit. Do nhu cu phỏt trin ca bn thõn toỏn hc v cỏc lnh vc khoa hc khỏc, bi toỏn cõn bng v cỏc bi toỏn ti u k trờn cng c phỏt trin v m rng cho trng hp vộct v a tr nh: Bi toỏn ta cõn bng vi bin rng buc ph thuc vo tham s, ta bin phõn hoc bao hm thc ta bin phõn ca nhiu ỏnh x a tr. Vi mong mun hiu bit thờm v bi toỏn ta cõn bng a tr nờn tụi chn ti nghiờn cu cho lun l: B i t o ỏ n t a c õ n b n g h n h p t n g q u ỏ t v n g dng. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu s m rng ca bi toỏn cõn bng i vi ỏnh x n tr sang cỏc bi toỏn ta cõn bng loi I , ta cõn bng loi II v bi toỏn ta cõn bng hn hp tng quỏt i vi ỏnh x a tr. Mc ớch ca lun l nghiờn cu s tn ti nghim ca bi toỏn ta cõn bng hn hp tng quỏt cng nh mt s ng dng ca nú lý thuyt ti u a tr. 3. i tng v phm vi nghiờn cu c cỏc ti liu liờn quan ti cỏc bi toỏn lý thuyt ti u vộct v vit lun v s tn ti nghim, mt s ng dng ca bi toỏn ta cõn bng hn hp v mi liờn quan gia nhng bi toỏn quen bit lý thuyt ti u. 4. Nhim v nghiờn cu Cỏc dng khỏc ca nhng loi bi toỏn ta cõn bng, mt s bi toỏn liờn quan khỏc lý thuyt ti u vộct liờn quan ti ỏnh x a tr v mt s ng dng ca chỳng. 5. Nhng úng gúp mi ca ti Mt cỏi nhỡn c th v bi toỏn ta cõn bng, iu kin bi toỏn ta cõn bng tng quỏt cú nghim v cỏc bi toỏn liờn quan lý thuyt ti u a tr cng nh mt s ng dng ca nú. 6. Phng phỏp nghiờn cu chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn ta cõn bng hn hp tng quỏt, chỳng tụi s dng phng phỏp nghiờn cu chớnh l cỏc nh lý im bt ng ca Ky Fan, Fan-Browder v cỏc nh lý dng KKM. Chng Kin thc chun b Trong cuc sng ngi hay cỏc lnh vc khoa hc, toỏn hc, bt kỡ mt bi toỏn no cng phi c t mt hon cnh c th, mt khụng gian nht nh no ú. nghiờn cu cỏc bi toỏn y, trc ht ta phi nghiờn cu cỏc khụng gian v cỏc khỏi nim cú liờn quan. Ta bt u bng vic nhc li mt s khụng gian m ta thng t cỏc bi toỏn lý thuyt ti u vộct a tr. Khỏi nim v nún, ỏnh x a tr v mt s tớnh cht ca ỏnh x a tr; Mt s nh lý v im bt ng v KKM. 1.1 Mt s khụng gian thng dựng 1.1.1 Khụng gian metric Cui Th k 17, u Th k 18 lý thuyt hp i, thay i c bn mc ớch, ng c nghiờn cu v ng dng ca toỏn hc, ngi ta quan tõm ti khỏi nim khong cỏch gia hai phn t mt hp. nghiờn cu sõu hn bn cht cỏc ú, ta nhc li khỏi nim khụng gian metric. nh ngha 1.1.1.1 Mt X (m cỏc phn t cú th l cỏc i tng bt k) c gi l mt K H ễ N G GIAN METRIC nu: a) Vi mi cp phn t X , Y ca X u cú xỏc nh, theo mt quy tc no ú, mt s thc P ( X , Y ) , gi l khong cỏch gia X v ?/; b) Quy tc núi trờn tha cỏc iu kin (tiờn ) sau õy: 3) p { x , y ) < p ( x , z ) + p ( z , y ) vi mi X , Y , z (bt ng thc 1) P ( X , Y ) > nu X y; P { X , Y ) = nu 2) P ( X , Y ) P ( Y , X ) vi mi X, Y X = Y\ (tớnh i xng); tam giỏc). Hm s P { X , Y ) gi l metric ca khụng gian. Cỏc phn t ca X , dự l nhng i tng gỡ, cng thng gi l im ca khụng gian theo cỏch núi ca hỡnh hc. Vớ d 1.1.1.2 1) Tp M c R" l mt khụng gian metric vi khong cỏch gia hai im /n X = (x1,x2, e M v y = (yi,y2, ,yn) Ê M l p(x,y) = 22 (l - Vi) . 2) Tp M c M n l mt khụng gian metric vi khong cỏch gia hai i m X = (xi,x2, .,xn) e M v y = (yi,y2, ,yn) M l p(x,y) = max \x - yi\ l f(aa + (1 a)b) < af(a) + (1 a)/(6); nh ngha 1.1.2.4 Mt K H ễ N G G I A N V ẫ C T N H C H U N (hoc tt: K H ễ N G G I A N N H CHUN) l mt khụng gian vộct X , ú ng vi mi phn t nú, cho vi mi x,y X v mi s A X X, tó cú mt s ||a;||, gi l chun ca cỏc iu kin sau c tha món: 1) ||a;|| > nu X 0; IMI = n u X = 0; 2) ||aa:|| = MIMI (tớnh thun nht ca chun); 3) ||x + Y \ \ < ||x + Z II + Il Z + y|| (bt ng thc tam giỏc). Nhn xột Nu khụng gian X ta t P ( X , Y ) = ||x /|| thỡ ( X , P ) l khụng gian metric. Nh vy khụng gian X cú hai cu trỳc tụpụ v i s. Hai cu trỳc ny phự hp. c gi l bao hm thc o hm. (3) S(xò,yò)-, F ( z ò , X ò , t ò ) n C ( x ò ) 0, Do l na liờn tc trờn vi giỏ tr úng, suy Z vtò e T ( X , Y ) . Vi mi SS tn ti V S S e F ( Z S S , X S S , T S S ) N C ( X S S ) . Theo gi thit F l úng vi giỏ tr compact v l úng, dn n tn ti V e F ( Z , C ( X ) 0, t Z M ( X . Y ) v M l X, T) n C ( X ) vi) F ( Z , X, T) n ỏnh x a tr úng nờn F úng. T iu kin (iii0) suy F tha iu kin (iv) ca nh lớ 2.2.3 Cho A = { z e T ( x , y )|0 e F ( y , z , x , t ) } = { z Ê T ( x , y ) \ F ( z , x , t )C ( x ) 0, Vớ e S(x, y)}. Ly Z\, Z tựy ý thuc j4, ta cú 1,Z2 (, y) v (4) F ( z i , x , t ) n C { x ) 0, (5) Do T ( X , Y ) l li nờn X Z I + (1 A)Z e T ( X , Y ) vi mi e [0,1]. t (4) v (5) suy ra,tn ti e F(zi,x, t) n C(x), U F(z 2,x, t) n C(x), ta cú (6) Aui +(1 - A)u e A(F(2:i,:r,ớ) n C(:e)) + (1 - X)(F(z , X, t) nC(x)), ầ ( X F ( z i , x , t ) + (1 - A) F ( z 2, x , t ) ) n C ( x )) Do F l (C ( X ) ) - li trờn cú c vi Z nờn (7) X F ( z i , x , t ) + (1 - X ) F ( z 2, x , t ) ầ F ( X z i + (1 - ) z , x , t ) - C ( x ) . T ( ) V (7) SUY RA Aiti + (1 - A)u e (^(Azi + (1 - A)z ,x,t) C(x)) n C(x). Do ú { F ( Z I + (1 - ) z , x , t ) - C ( x ) ) n C ( x ) 0- c gi l bao hm thc o hm. iu úchra rng, F ( \ Z \ + (1 - \ ) Z 2, X , T ) n C ( X ) 0. Suy \ Z \ + (1 - X ) Z A . Vy A l li. Tip theo = {x Ê D| (y,x,t), v i m i e = {x e D\G(y,x,t) n C(x) 05 v i m i Ê Q(x,t)}. Ta s ch l úng. Gi s Xò , Xò -ằ X t a c ú G ( y , x ò , t ) n c ( x ò ) vi mi e Q ( X S S , T ) . Do tớnh na liờn tc di ca Q ( . , T ) dn n vi mi e Q ( X , T ) u tn ti Y Q ( X S S , T ) cho Y -ằ Y . Do ú G ( Y , X S S , T ) n C ( X S S ) 0,Vy e Q ( X S S , T ) . Do Q ( . , T ) na liờn tc di, dn n vi mi Ê Q ( X , T ) tn ti Y S S Q { X S S , T ) cho D S S -ằ . Do ú G ( Y S S , X S S , T ) N C ( X S S ) vi mi V Y S S Q ( X S S , T ) D o t n h ú n g c a G(.,.,t) vi giỏ tr compact v l úng. iu ny dn n G ( Y , X , T ) n C ( X ) 0- Do ú l úng. Do G l ỏnh x a tr cú tớnh cht Q - K K M , nờn {ới, .,ớ n } l n n mt hu hn ca D v X = ^ati,a > 0, OL = 1. Ngc li, ta i= i= gi s rng G ( y , x , t i ) vi mi y e Q ( x , t ) , i = G(Y, X, T) iu ny cho thy n C ( X ) = 0, Y Y G Q ( X , T ) , I = , N . Do G l (Q , ) - ging nh ta li di theo ng chộo theo bin th ba, chng t tn ti j {1, cho G ( y , x , x ) ỗ G ( y , x , tj) - C(x),4y e Q(x,tj). c gi l bao hm thc o hm. Gi s ( G(y,x,tj) - (x) C(x)) , V / Q(x,tj) t h ỡ t n c h o a c ' v i u t i c a = c ' . G ( y , x , t j ) , c , c ' i u n y G ( y , x , t j ) r \ C ( x ) n y t ) r \ C ( x ) t r i = v i = C ( x ) d n n , V y e g i t h i t a = s a o c + Q ( x , t j ) . G ( y , X , 0, Vi = , n . Chng t ((/, X, tj) (x)nC(x)) = v G(y, X, x)nC(x)) = 0. iu ny vụ lớ. Do ú, tn ti j e {l, .,n} cho e G(y,x,tj) vi mi e Q(x,tj) v l ỏ n h x a t r Q - K K M . T nh lớ 2.2.3 suy ra, tn ti ( X , ) Ê D X cho X e S(x,)] e T(ợ,); F ( , X , T ) () 0,Vớ e G(2/, ớ) n () 0, Vớ p(x),y e ớ). H qu 2.2.9 Cho T, P ; Y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng, li, úng v INTC(X) 0. Vi mi X e D , : D -> y c xỏc nh bi ( X ) = Y \ INTC(X) l ỏ n h x a t r n a l i n t c t r n ; (ii) F l ỏnh x a tr ( - C ) - liờn tc di vi giỏ tr khỏc rng li compact; (iiia) Vi mi im c nh (x,y) e D X K, tn ti T(x,y) cho F ( z , x , t ) n i n t c ( x ) = , V G S { x , y ) \ c gi l bao hm thc o hm. (ii,) Vi mi im c nh ( X , T ) e D X D , F ( . , X , T ) l (C ( X ) ) - ging nh ta li di; (iv a ) Vi mi im c nh T D , G ( . , . , T ) l ỏnh x a tr (-) - liờn tc di, G cú giỏ tr khỏc rng li compact v G ( Y , X , X ) - I N T C ( X ) = 0, V(x, Y) GD X - 5 (ỡv,) G l ( Q , ) - ging nh ta li trờn theo ng chộo theo bin th ba Thỡ tn ti ( x , ) D X cho X e S(x,)] Ê T(x,)-, F ( , x , t ) i n t c ( x ) = 0,Vớ G S ( x , ) ] G ( y , x , t ) i n t c x ) = 0,Vớ e p ( x ) , y e Q ( x , t ) . Chng minh Ta nh ngha cỏc ỏnh x õ a . t M : D X - ù Z , F : X X D X D - ẽ 2z , N : X Ê> -> , G : X D X D ^ nh sau: M ( x , y ) = { z e T(:r, y)|ớ(z, X, t ) n i n t c ( x ) = 0,Vớ )}, X,t e-D; F ( y , z , x , t ) = z M ( x , y ) , ( y , z , x , t ) X " X Ê) X ệ; N ( Y , X ) = {ớ .D|(/, X, ớ) n I N T C ( X ) = 0},a: D , Y Ê K ; G ( y , x , t ) = t N ( y , x ) , ( y , x , t ) G " X Ê) X Ê). T (iii Q ) suy F tha iu kin (iv) nh lớ 2.2.3 Ta chng minh tớnh úng ca F ta s ch M l úng. Gi s rng X S S -> X , Y S S - Ơ Y , Z S S M ( X S S , Y S S ) , Z S S -> z. T Z G M(xò,yò) t a c ú Zò G T(xò,yò), v F(zò,Xò,t) n i n t c ( x ò ) = , V e S(xò,yò). Do l na liờn tc di suy vi mi t 5(, 2/), tn ti tò e S(xò,yò) s a o c h o t ò - > t . D o ú F ( z ò , X ò , t ò ) - i n t c ( x ò ) = , V t ò e S(xò,yò). i u n y c h r a (8) F(zò,Xò,tò) ầ Y \ - intc(xò) Do T l na liờn tc trờn vi giỏ tr úng, suy Ê T ( X , Y ) . Do F l (-C) - liờn tc di v l liờn tc trờn, suy tn ti ln V ca gc Y , Z ú tn ti òa cho vi mi ò > òo (9) F ( z , x , t ) ầ F ( z ò , X ò , t ò ) + V + C ( x ) , v (10) Y\ intC(xò) Y\ intC(x) + V. T ( ), (9) v (10) suy F(z,x,t) ầ Y\ intC(xò) + V + C(x) ầ Y\ intC(xò) + 2V + C(x) ầ Y\ intc(xò) + 2V. Do tớnh úng ca Y \ I N T C ( X ) v tớnh compact ca F ( Z , X , T ) F(z,x,t) ầ Y\ intC(x), s u y r a F(z,x,t) intC(x) z Ê suy =0. Do õú M(x,y) v M l úng. Cho = { z Ê T ( x , y )|0 Ê F ( y , z , x , t ) } = { z Ê T ( x , y ) \ F ( z , x , t ) n i n t C ( x ) = 1, Vớ e S ( x , y ) } . Ly Z I , Z tựy ý thuc A , ta cú Z 1, Z T ( X , Y ) v F ( z i , x , t ) n i n t c ( x ) = 0, F ( z 2, x , t ) n i n t C ( x ) = , iu ú ch (F(zi,x,t) + C(x) ) n intc(x) = , ( F ( z 2, x , t ) + C ( x ) ) n i n t c ( x ) = , Do T(x, y) l li nờn Z + (1 A)z2 e T(x, y) vi mi e [, 1]. Do F l (-C(x)) - n h l i d i n n F(\zi + ( - x)z2, hoc X, t ) ầ F(z\,x,t) + C(x), g i n g F ( Z I + (1 - x ) z , X , t ) ầ F ( Z , X , t ) + C ( x ) . Do ú, F ( X Z I + (1 X ) Z 2, X , T ) n C ( X ) dn n \ Z I + (1 A)z A . Vy A l li. Tip theo, = { x e -D|0 E G ( y , x , t ) , vi mi y e Q ( x , t ) } = { X e D \ G ( Y , X , T ) I N T C ( X ) = 0, vi mi Y e Q(X,T)}. T a s c h r a l t p ú n g . G i s X ò e B , X ò - > X t a c ú G ( y , X ò , t ) n I N T C ( X S S ) = vi mi Q ( X P , T ) . Do Q ( . , T ) l na liờn tc di, dn n vi m i y e Q ( x , t ) u t n t i y e Q ( x ò , t ) s a o cho y -> y. Do ú G ( y ò , X ò , t ) n I N T C ( X S S ) = 0, Vj/ e Q ( X S S , T ) . Chng minh tng t nh trờn dn n G(y, z, ớ) n C(x) = vi mi Vy G Q ( X , T ) . Do ú s l úng. Hn na, ta khng nh G l ỏnh x a tr cú tớnh cht Q - K K M , n nờn { T I , . . . , T N } l mt hu hn bt k ca D v X = ( X I U I & I > i= n 0; Y ! A I 1- Ta gi s rng G ( Y , i= G(y, X, t) n i n t c ( x ) 0! V y X, T) vi mi , N . iu ny cho thy Do G l (Q , ) - ging nh e ta li trờn theo ng chộo theo bin th ba, chng t tn ti j e {1, .,n} c h o G(y,x,tj) ỗ G(y, X, x) + C(x),Vy e Q(x,tj). T (G ( Y , X , X ) + C ( X )) n I N T C ( X ) 0- iu ny ch G ( Y , X , X ) n I N T C ( X ) 0! mõu thun vi gi thit G ( Y , cho X, X) n INTC(X) 0. Do ú, tn ti J e { , n } s a o e G(Y,X,TJ) v i m i Ê Q(X,TJ) v G l ỏ n h x a t r Q - K K M . T nh lớ 2.2.3 suy ra, tn ti ( X , ) D X cho X e S(x,)] e T(z,); e F(,,x,t),w Ê S(x,); G G(y,x,t),vt e p(x),y e Q(x,t). iu ny cú ngha l X e S ( x , ) ] e T(z,); F ( , x , t ) n i n t C c ) = 0,Vớ Tng S(x,)] G(y,x,t) intCc) = , V t nhh qu 2.2.9 ta cú h qu sau H qu 2.2.10 e p(x),y e Q(x,t). Cho 5, T , P , ging nh h qu 2.2.9. Nu cỏc iu kin sau tha món: (i) Q : D 2^ l na liờn tc di; (ii) n h x a tr F l (-C) - liờn tc vi giỏ tr k h ỏ c r n g l i c o m p a c t . nh x a tr N : X D -ằ y c xỏc nh nh sau: N ( Y , X ) = F ( Y , X , X ) l (-C) - liờn tc di; (iiia) Vi mi im c nh (x,y) D X tn ti z e T(x,y) cho ( F ( z , x , t ) F ( y , x , x ) ) n i n t c ( x ) = , V G S ( x - , y ) - , (iiij) Vi mi im c nh (x,y) D X {z T(x, y)\(F(z, F ( y , x , x ) ) t p n i n t c ( x ) = , V e X, t) ( ; ) } l l i ; (iv a ) Vi mi im c nh X , T Ê D nh x a tr G ( . , . , T ) l (-C) - liờn tc, nh x a tr G ( . , . , X ) l (- C ) - liờn tc di. G C ể giỏ tr khỏc rng li compact v ( G ( Y , X , T ) G ( Y , X , X ) ) n I N T C ( X ) = 0, Y ( X , Y ) D X K ) (iv ) G l ( Q , C ) - ging nh ta li trờn theo ng chộo theo bin th ba Thỡ tn ti (x, ) e D X cho X e S(x,)\ T(x,); (F(,x,t) - F(,x,x)) n - intCc) = , V S(x,)] G(y,x,t) G(y,x,x) intCầx) = , V p(ừừ), y Q(x,t). Chng minh tng t h qu trờn, ta cú c cỏc kt lun sau: 1) Trong h qu 2.2.7 ta thay (i) v (iv) bng cỏc iu kin tng ng (i) v (iv) vi (i ! ) C I , C : D -> y l cỏc ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li compact, Cl : D -> 2y l úng v vi mi X G D ỏnh x a t r : D - ằ r c xỏc nh bi C ( X ) = Y \ ( I N T C ( X )) l úng; (iv'a) nh x a tr G ( . , . , T ) l úng vi giỏ tr khỏc rng li compact v G ( Y , X , X ) n C I ( X ) 0, V(ớc, Y ) D X K ] (iv' ) G l ( Q , C i) - ging nh ta li di theo ng chộo theo bin th ba Thỡ tn ti (x, ) Ê D X cho: X e S(x,)] e T(x,); F(,x,t) ^ intC(x),Vt Ê S(x,); G ( Y , X , T ) n C \ { X ) 0,Vớ e P ( X ) , Y Q(óF, ớ). 2) ( i ! ) , Trong h qu 2.2.7 ta thay (i), (ii) v (iii) bng cỏc iu kin tng n g ( i i ) v ( i i i ! ) v i (i) C , C : D -> Y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li compact, C L : D -ằ r l úng v vi mi X e D ỏnh x a tr : D -ằ y c x ỏ c n h b i C(x) = F\(intC{x)) l úng; (ii) F l ỏnh x a tr úng vi giỏ tr khỏc rng li compact; (iii a ) Vi mi im c nh ( X , Y ) G D X tn ti Z e T ( X , Y ) cho F ( Z , X , T ) n C I ( X ) ^ 0,Vớ e S ( X , Y ) \ (ii,) Vi mi ( X , T ) E D X D , F ( . , X , T ) l (-Ci(x)) - li trờn Thỡ tn ti (x,y) D X cho: X e S ( x , ) ] e T(z,); F ( , X , T ) n I () 0,Vớ e S' (, ) ; G(y,x,t) ^ intC(x),Vt G p(x),y G Q(x,t). 3) Trong h qu 2.2.8 ta thay (i), (ii) v (iii) bng cỏc iu kin tng ng (i), (ii) v (iii) vi (i ! ) C i , : y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li compact, Cl :Ê>-> 2y l úng v vi mi X Ê D ỏnh x a tr : D -ằ Y c x ỏ c b i ế ( x ) = Y \ ( i n t C ( x ) ) l n a n h l i n t c t r n ; (ii) nh x a tr úng F l (Cl) - liờn tc vi giỏ tr khỏc rng li compact; (iii a ) Vi mi im c nh ( X , Y ) G D X tn ti Z e T ( X , Y ) cho F ( Z , X , T ) n I N T C I ( X ) = 0, Vớ S ( X , Y ) ' , (iii,) Vi mi (x,t) E D X D,F(.,x,t) l (-Ci(x)) - ging nh li di Thỡ tn ti (x,) D X cho: X e S(x,)] e T(x,)-, F ( , x , t ) i n t C \ { x ) = 0,Vớ e S ( x , ) ] G ( y , x , t ) n C ( x ) 0,Vớ G p ( x ) , y e Q ( x , t ) . 4) Trong h qu 2.2.8 ta thay (i) v (iv) bng cỏc iu kin tng n g v ( i v ) ( i ) v i (i ! ) C , C : D > Y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li compact, : D -ằ y l úng v vi mi X E D ỏnh x a tr : D -> y c x ỏ c n h bi ế(x) = Y\(intCi(x)) l na liờn tc trờn; (iv'a) Vi mi T Ê D . nh x a tr t p G ( y , x , x ) g i ỏ n t r k h ỏ c i n t C i ( x ) l (Cl) - liờn tc di vi r n g = l i c o m p a c t , ( , ) D X v K \ (iv'b) G l (Q,Ci) - ging nh ta li trờn theo ng chộo theo bin th ba Thỡ tn ti (x,y) D X cho: X e S ( x , ) ] e T(z,); F ( , X , T ) n C(x) 0, Vớ e S ( X , ) ] G ( Y , X , T ) miC'i(x) = 0, Vớ G P ( X ) , Y G Q(óf, ớ). 5) Trong h qu2.2.9 ta thay (i), (ii) v (iii) bng cỏc iu kin ng (i), (ii) v (iii) vi tng (i) C i , : .D y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li c o m p a c t , C l :Ê>-> 2y l úng v vi mi X ÊD ỏnh xatr xỏc nh bi D -ằ 2yc : ế(x) = Y\(intC(x)) l na liờn tc trờn; (ii) nh x a tr úng F l úng vi giỏ tr khỏc rng li compact; (iii a ) Vi mi im c nh ( X , Y ) D X tn ti e T ( X , Y ) cho F ( Z , X , T ) n C \ ( X ) 0J Vớ e S(X,Y)\ (ii,) Vi mi (x,t) e D X D,F(.,x,t) l (Ci(x)) - li trờn Thỡ tn ti (x, ) Ê D X cho: X e S(x,)] T(x,); F ( , X , T ) I () 0>Vớ S ( X , ) ; G(y,x,t) intC) ^ ? , V p(x),y Ê Q(x,t). 6) Trong hqu 2.2.9 ta thay (i) v (iv) bng cỏc iu kin tng ng (i) v (iv) vi (i) C , C : D -ằ Y l ỏnh x a tr nún vi giỏ tr khỏc rng li compact, C L : D -> r l úng v vi mi X e D ỏnh x a tr : D -ằ R c xỏc nh bi ế ( X ) = Y \ ( I N T C i(x)) l na liờn tc trờn; (iv'a) G l ỏnh x a tr úng vi giỏ tr khỏc rng licompact G ( y , x , x ) n C \ ( x ) V(i, /) G D X K \ (iv'b) G l (Q,C\) - ging nh ta li di theo ng chộo theo bin th ba Thỡ tn ti ( X , Y ) D X K cho: X e S ( x , ) ] e T(x,); F ( , x , t ) n i n t c ( x ) = 0,Vớ S ( x , ) ] v G ( y , x , t ) n Ci(^) ^ 0, Vớ e p ( x ) , y . của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cân bằng loại I , tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị. Mục đích của luận văn. cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trị cũng như một số ứng dụng của nó. 6. Phương. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN HUY MẠNH BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG HỗN Hộp TổNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ Người