Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN HUY MẠNH BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học. Thầy quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, thầy, cô trường Đại học sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai, Ban giám đốc Sở GD & ĐT Lào Cai, Ban giám hiệu trường THPT số Huyện Bảo Yên tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Một số không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . 15 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Tính lồi ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Một số định lý điểm bất động ánh xạ KKM . . . . . . . . . 31 Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng 33 2.1 Giới thiệu toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Một số toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Sự tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Từ xa xưa lịch sử toán học người ta quan tâm đến toán tìm giá trị nhỏ (cực tiểu) hay lớn (cực đại), gọi toán tối ưu. Vào năm 30-40 kỷ 20 nhu cầu phát triển kinh tế, kỹ thuật lý thuyết giá trị Edgeworth Pareto người ta xây dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ. Sau nhiều công trình lý thuyết tối ưu ứng dụng xuất nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế như: Lý thuyết trò chơi Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa Koopman (1947). Ta biết toán lý thuyết tối ưu vô hướng bao gồm: 1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số f : D → R. Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), với x thuộc D. 2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X ∗ không gian đối ngẫu X . Cho ánh xạ T : D → X ∗ . Tìm x ∈ D cho T (x) , x − x ≥ 0, với x thuộc D. 3) Bài toán cân (Blum-Oettli đưa năm 1994): Cho f : D ×D → R. Tìm x ∈ D cho f (x, x) ≥ với x ∈ D. Bài toán điểm cân biết đến từ công trình ArrowDebreu, Nash. Nó mở rộng toán bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời bao gồm toán điểm bất động, toán bù, bất đẳng thức minimax trường hợp đặc biệt. Do nhu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác, toán cân toán tối ưu kể phát triển mở rộng cho trường hợp véctơ đa trị như: Bài toán tựa cân với biến buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân bao hàm thức tựa biến phân nhiều ánh xạ đa trị. Với mong muốn hiểu biết thêm toán tựa cân đa trị nên chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng toán cân ánh xạ đơn trị sang toán tựa cân loại I, tựa cân loại II toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ánh xạ đa trị. Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân hỗn hợp tổng quát số ứng dụng lý thuyết tối ưu đa trị. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đọc tài liệu liên quan tới toán lý thuyết tối ưu véctơ viết luận văn tồn nghiệm, số ứng dụng toán tựa cân hỗn hợp mối liên quan toán quen biết lý thuyết tối ưu. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Các dạng khác loại toán tựa cân bằng, số toán liên quan khác lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị số ứng dụng chúng. 5. Những đóng góp đề tài Một nhìn cụ thể toán tựa cân bằng, điều kiện để toán tựa cân tổng quát có nghiệm toán liên quan lý thuyết tối ưu đa trị số ứng dụng nó. 6. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân hỗn hợp tổng quát, sử dụng phương pháp nghiên cứu định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder định lý dạng KKM. Chương Kiến thức chuẩn bị Trong sống người hay lĩnh vực khoa học, toán học, toán phải đặt hoàn cảnh cụ thể, không gian định đó. Để nghiên cứu toán ấy, trước hết ta phải nghiên cứu không gian khái niệm có liên quan. Ta bắt đầu việc nhắc lại số không gian mà ta thường đặt toán lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Khái niệm nón, ánh xạ đa trị số tính chất ánh xạ đa trị; Một số định lý điểm bất động KKM. 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric Cuối Thế kỷ 17, đầu Thế kỷ 18 lý thuyết tập hợp đời, thay đổi mục đích, động nghiên cứu ứng dụng toán học, người ta quan tâm tới khái niệm khoảng cách hai phần tử tập hợp. Để nghiên cứu sâu chất vấn đề đó, ta nhắc lại khái niệm không gian metric. Định nghĩa 1.1.1.1 Một tập X (mà phần tử đối tượng bất kỳ) gọi không gian metric nếu: a) Với cặp phần tử x, y X có xác định, theo quy tắc đó, số thực ρ(x, y), gọi “khoảng cách x y”; b) Quy tắc nói thỏa mãn điều kiện (tiên đề) sau đây: 1) ρ(x, y) > x = y ; ρ(x, y) = x = y ; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y (tính đối xứng); 3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với x, y, z (bất đẳng thức tam giác). Hàm số ρ(x, y) gọi metric không gian. Các phần tử X, dù đối tượng gì, thường gọi điểm không gian theo cách nói hình học. Ví dụ 1.1.1.2 1) Tập M ⊆ Rn không gian metric với khoảng cách hai điểm n x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ M y = (y1 , y2 , ., yn ) ∈ M ρ(x, y) = (xi − yi )2 . i=1 2) Tập M ⊆ Rn không gian metric với khoảng cách hai điểm x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ M y = (y1 , y2 , ., yn ) ∈ M ρ(x, y) = max |xi − yi | 1≤i≤n Như vậy, tập hợp xây dựng nhiều metric khác nhau, từ ta có không gian metric khác nhau. Nhờ có khái niệm khoảng cách, ta đưa vào không gian metric khái niệm giới hạn, tập mở, tập đóng, lân cận, từ ta xác định cấu trúc tôpô không gian metric. Định nghĩa 1.1.1.3 1) Tập S(a, r) = {x ∈ X : ρ(a, x) < r} gọi hình cầu mở tâm a, bán kính r; 2) Tập S[a, r] = {x ∈ X : ρ(a, x) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm a, bán kính r; 3) Ta gọi lân cận (r−lân cận) điểm x ∈ X hình cầu mở S(x, r) với r đó. Định nghĩa 1.1.1.4 1) Một tập A không gian metric X gọi tập mở với x điểm thuộc tập A, có lân cận x nằm trọn A. 2) Một tập A không gian metric X gọi tập đóng phần bù tập mở X. Định nghĩa 1.1.1.5 Dãy {xn } ⊆ X gọi hội tụ tới x ∈ X lim ρ(xn , x) = 0. n→∞ Ví dụ 1.1.1.6 Trong không gian Rk , dãy {xn }, với xn = (xn1 , xn2 , ., xnk ) hội tụ tới x = (x1 , x2 , ., xk ) nghĩa xni → xi , (i = 1, 2, ., k), (n → ∞) hội tụ theo tọa độ. Định nghĩa 1.1.1.7 Dãy {xn } không gian metric X gọi dãy lim ρ(xn , xm ) = 0, tức ∀ε > 0, ∃N cho với ∀n ≥ N, ∀m ≥ N, ta n,m→∞ có ρ(xn , xm ) < ε. Một không gian metric X dãy hội tụ (tới phần tử X ) gọi không gian metric đủ. Ví dụ 1.1.1.8 Khoảng (0, 1) không gian số thực R với metric thông thường ρ(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R không gian metric không đầy đủ, dãy Cauchy { n1 } giới hạn (0, 1). (Dãy { n1 } dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃N > 2ε , cho với n, m ≥ N, n − m < n + m < ε). Nhận xét Bốn khái niệm lân cận, tập đóng, tập mở, hội tụ tạo X cấu trúc. Người ta gọi cấu trúc cấu trúc tôpô. Từ đó, người ta 10 Ta định nghĩa ánh xạ M : D × K → 2K , F˜ : K × K × D × D → 2Z , N : ˜ : K × D × D → 2X sau: K × D → 2D G M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|F (z, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y)}, (x, y) ∈ D × K; F˜ (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D; N (y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅}, x ∈ D, y ∈ K; ˜ x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. G(y, Đầu tiên ta F˜ đóng. Giả sử xβ → x, yβ → y, zβ ∈ M (xβ , yβ ), zβ → z ta z ∈ M (x, y). Từ zβ ∈ M (xβ , yβ ) ta có zβ ∈ T (xβ , yβ ), F (zβ , xβ , t) ∩ C(xβ ) = ∅, ∀t ∈ S(xβ , yβ ). Do S nửa liên tục suy với t ∈ S(x, y), nên tồn tβ ∈ S(xβ , yβ ) cho tβ → t. Do (3) F (zβ , xβ , tβ ) ∩ C(xβ ) = ∅, ∀tβ ∈ S(xβ , yβ ); Do T nửa liên tục với tập giá trị đóng, suy z ∈ T (x, y). Với β tồn vβ ∈ F (zβ , xβ , tβ )∩C(xβ ). Theo giả thiết F đóng với tập giá trị compact C đóng, dẫn đến tồn v ∈ F (z, x, t) ∩ C(x) v ∈ F (z, x, t) ∩ C(x) = ∅, từ z ∈ M (x.y) M ánh xạ đa trị đóng nên F đóng. Từ điều kiện (iiia ) suy F˜ thỏa mãn điều kiện (iv) định lí 2.2.3 Cho A = {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F˜ (y, z, x, t)} = {z ∈ T (x, y)|F (z, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y)}. Lấy z1 , z2 tùy ý thuộc A, ta có z1 , z2 ∈ T (x, y) (4) F (z1 , x, t) ∩ C(x) = ∅, (5) F (z2 , x, t) ∩ C(x) = ∅, Do T (x, y) lồi nên λz1 + (1 − λ)z2 ∈ T (x, y) với λ ∈ [0, 1]. từ (4) 49 (5) suy ra, tồn u1 ∈ F (z1 , x, t) ∩ C(x), u2 ∈ F (z2 , x, t) ∩ C(x), ta có (6) λu1 + (1 − λ)u2 ∈ λ(F (z1 , x, t) ∩ C(x)) + (1 − λ)(F (z2 , x, t) ∩ C(x)), ⊆ (λF (z1 , x, t) + (1 − λ)F (z2 , x, t)) ∩ C(x)) Do F (−C(x)) - lồi có với z nên λF (z1 , x, t) + (1 − λ)F (z2 , x, t) ⊆ F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) − C(x). (7) Từ (6) (7) suy λu1 + (1 − λ)u2 ∈ (F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) − C(x)) ∩ C(x). Do (F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) − C(x)) ∩ C(x) = ∅. Điều rằng, F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) ∩ C(x) = ∅. Suy λz1 + (1 − λ)z2 ∈ A. Vậy A tập lồi. Tiếp theo tập ˜ x, t), với y ∈ Q(x, t)} B = {x ∈ D|0 ∈ G(y, = {x ∈ D|G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, với y ∈ Q(x, t)}. Ta B tập đóng. Giả sử xβ ∈ B, xβ → x ta có G(y, xβ , t)∩C(xβ ) = ∅ với y ∈ Q(xβ , t). Do tính nửa liên tục Q(., t) dẫn đến với y ∈ Q(x, t) tồn yβ ∈ Q(xβ , t) cho yβ → y . Do G(y, xβ , t) ∩ C(xβ ) = ∅, ∀y ∈ Q(xβ , t). Do Q(., t) nửa liên tục dưới, dẫn đến với y ∈ Q(x, t) tồn yβ ∈ Q(xβ , t) cho yβ → y . Do G(yβ , xβ , t) ∩ C(xβ ) = ∅ với ∀yβ ∈ Q(xβ , t) Do tính đóng G(., ., t) với tập giá trị compact C đóng. Điều dẫn đến G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅. Do B tập đóng. ˜ ánh xạ đa trị có tính chất Q - KKM, nên tập {t1 , ., tn } Do G n n αi ti , αi ≥ 0, tập hữu hạn D x = i=1 αi = 1. Ngược lại, ta i=1 ˜ x, ti ) với y ∈ Q(x, ti ), i = 1, ., n. Điều cho thấy giả sử ∈ / G(y, G(y, x, ti ) ∩ C(x) = ∅, ∀y ∈ Q(x, ti ), i = 1, ., n. Do G (Q, C ) - giống tựa lồi 50 theo đường chéo theo biến thứ ba, chứng tỏ tồn j ∈ {1, ., n} cho G(y, x, x) ⊆ G(y, x, tj ) − C(x), ∀y ∈ Q(x, tj ). Giả sử (G(y, x, tj ) − C(x) ∩ C(x)) = ∅, ∀y ∈ Q(x, tj ) tồn a ∈ G(y, x, tj ), c, c ∈ C(x) cho a−c = c . Điều dẫn đến a = c+c G(y, x, tj )∩C(x) = ∅, ∀y ∈ Q(x, tj ). Điều trại với giả thiết G(y, x, ti )∩C(x) = ∅, ∀i = 1, ., n. Chứng tỏ (G(y, x, tj )−C(x)∩C(x)) = ∅ G(y, x, x)∩C(x)) = ∅. điều ˜ x, tj ) với y ∈ Q(x, tj ) vô lí. Do đó, tồn j ∈ {1, ., n} cho ∈ G(y, ˜ ánh xạ đa trị Q - KKM. G Từ định lí 2.2.3 suy ra, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). Hệ 2.2.9 Cho S, T, P, Q giống hệ 2.2.7. Giả sử (i) C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng ˜ intC(x) = ∅. Với x ∈ D, C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \ − intC(x) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên; (ii) F ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với điểm cố định (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C(x)) - giống tựa lồi dưới; (iva ) Với điểm cố định t ∈ D, G(., ., t) ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục dưới, G có tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K; 51 (ivb ) G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D × K → 2Z , F˜ : K × K × D × D → ˜ : K × D × D → 2X sau: 2Z , N : K × D → 2D , G M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|F (z, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y)}, x, t ∈ D; F˜ (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D; N (y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅}, x ∈ D, y ∈ K; ˜ x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. G(y, Từ (iiia ) suy F˜ thỏa mãn điều kiện (iv) định lí 2.2.3 Ta chứng minh tính đóng F˜ ta M đóng. Giả sử xβ → x, yβ → y, zβ ∈ M (xβ , yβ ), zβ → z . Từ zβ ∈ M (xβ , yβ ) ta có zβ ∈ T (xβ , yβ ), F (zβ , xβ , t) ∩ −intC(xβ ) = ∅, ∀t ∈ S(xβ , yβ ). Do S nửa liên tục suy với t ∈ S(x, y), tồn tβ ∈ S(xβ , yβ ) cho tβ → t. Do F (zβ , xβ , tβ ) ∩ −intC(xβ ) = ∅, ∀tβ ∈ S(xβ , yβ ). Điều (8) F (zβ , xβ , tβ ) ⊆ Y \ − intC(xβ ) Do T nửa liên tục với tập giá trị đóng, suy z ∈ T (x, y). Do F (-C ) - liên tục C˜ liên tục trên, suy tồn lận V gốc Y, 52 tồn β0 cho với β ≥ β0 F (z, x, t) ⊆ F (zβ , xβ , tβ ) + V + C(x), (9) Y \ − intC(xβ ) ⊂ Y \ − intC(x) + V. (10) Từ (8), (9) (10) suy F (z, x, t) ⊆ Y \ − intC(xβ ) + V + C(x) ⊆ Y \ − intC(xβ ) + 2V + C(x) ⊆ Y \ − intC(xβ ) + 2V. Do tính đóng Y \ − intC(x) tính compact F (z, x, t) suy F (z, x, t) ⊆ Y \ − intC(x), suy F (z, x, t) ∩ −intC(x) = ∅. Do z ∈ M (x, y) M đóng. Cho A = {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F˜ (y, z, x, t)} = {z ∈ T (x, y)|F (z, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y)}. Lấy z1 , z2 tùy ý thuộc A, ta có z1 , z2 ∈ T (x, y) F (z1 , x, t) ∩ −intC(x) = ∅, F (z2 , x, t) ∩ −intC(x) = ∅, Điều (F (z1 , x, t) + C(x)) ∩ −intC(x) = ∅, (F (z2 , x, t) + C(x)) ∩ −intC(x) = ∅, Do T (x, y) lồi nên λz1 + (1 − λ)z2 ∈ T (x, y) với λ ∈ [0, 1]. Do F (−C(x)) - giống lồi nên F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) ⊆ F (z1 , x, t) + C(x), F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) ⊆ F (z2 , x, t) + C(x). 53 Do đó, F (λz1 + (1 − λ)z2 , x, t) ∩ C(x) = ∅ dẫn đến λz1 + (1 − λ)z2 ∈ A. Vậy A tập lồi. Tiếp theo, tập ˜ x, t), với y ∈ Q(x, t)} B = {x ∈ D|0 ∈ G(y, = {x ∈ D|G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, với y ∈ Q(x, t)}. Ta B tập đóng. Giả sử xβ ∈ B, xβ → x ta có G(y, xβ , t) ∩ −intC(xβ ) = ∅ với y ∈ Q(xβ , t). Do Q(., t) nửa liên tục dưới, dẫn đến với y ∈ Q(x, t) tồn yβ ∈ Q(xβ , t) cho yβ → y . Do G(yβ , xβ , t) ∩ −intC(xβ ) = ∅, ∀y ∈ Q(xβ , t). Chứng minh tương tự dẫn đến G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅ với ∀y ∈ Q(x, t). Do B tập đóng. Hơn nữa, ta khẳng định G ánh xạ đa trị có tính chất Q - KKM, n nên tập {t1 , ., tn } tập hữu hạn D x = n 0, αi ti , αi ≥ i=1 ˜ x, ti ) với i = 1, ., n. Điều cho thấy αi = 1. Ta giả sử ∈ / G(y, i=1 G(y, x, ti ) ∩ −intC(x) = ∅, ∀y ∈ Q(x, ti ), i = 1, ., n. Do G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba, chứng tỏ tồn j ∈ {1, ., n} cho G(y, x, tj ) ⊆ G(y, x, x) + C(x), ∀y ∈ Q(x, tj ). Từ (G(y, x, x) + C(x)) ∩ −intC(x) = ∅. Điều G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, mâu thuẫn với giả thiết G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅. Do đó, tồn j ∈ {1, ., n} ˜ x, tj ) với y ∈ Q(x, tj ) G ˜ ánh xạ đa trị Q - KKM. cho ∈ G(y, 54 Từ định lí 2.2.3 suy ra, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); ∈ F˜ (y, y, x, t), ∀t ∈ S(x, y); ˜ x, t), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). ∈ G(y, Điều có nghĩa x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). Tương tự hệ 2.2.9 ta có hệ sau Hệ 2.2.10 Cho S, T, P, C giống hệ 2.2.9. Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) Q : D → 2K nửa liên tục dưới; (ii) Ánh xạ đa trị F (-C ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact. Ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y xác định sau: N (y, x) = F (y, x, x) (-C ) - liên tục dưới; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho (F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x; y); (iiib ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập {z ∈ T (x, y)|(F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x; y)} tập lồi; (iva ) Với điểm cố định x, t ∈ D Ánh xạ đa trị G(., ., t) (-C ) - liên tục, Ánh xạ đa trị G(., ., x) (-C ) - liên tục dưới. G có tập giá trị khác rỗng lồi compact (G(y, x, t) − G(y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (ivb ) G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); (F (y, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) − G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 55 Chứng minh tương tự hệ trên, ta có kết luận sau: 1) Trong hệ 2.2.7 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC(x)) đóng; (iv a ) Ánh xạ đa trị G(., ., t) đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ C1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) −intC(x), ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 2) Trong hệ 2.2.7 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC(x)) đóng; (ii’) F ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - lồi 56 Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) −intC(x), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 3) Trong hệ 2.2.8 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC(x)) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F (−C1 ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - giống lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 4) Trong hệ 2.2.8 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC1 (x)) nửa liên tục trên; (iv a ) Với t ∈ D. Ánh xạ đa trị G(., ., t) (−C1 ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba 57 Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 5) Trong hệ 2.2.9 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC(x)) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅?, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 6) Trong hệ 2.2.9 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y ˜ xác định C(x) = Y \(−intC1 (x)) nửa liên tục trên; (iv a ) G ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ C1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba 58 Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t). 2.4 Ứng dụng Trong mục ta giới thiệu số toán có ứng dụng toán tựa cân tổng quát hỗn hợp. 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu Cho Ω tập mở, bị chặn Rn , n ≥ với biên Γ thuộc C . Xét toán tìm hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω), < p < +∞ tương ứng với y ∈ W 1,p (Ω) hàm tiện ích (1.1) L(x, y(x), u(x))dx J(y, u) = Ω tương ứng với phương trình sau: n − (1.2) (Dj (aij (x)) .Dj (y)) + h(x, y) = u, Ω, y = 0, Γ. i,j=1 với ràng buộc sau: 1) Trường hợp 1: Ràng buộc hỗn hợp gi (x, y(x), u(x)) ≤ hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, ., n. (1.3) 2) Trường hợp 2: Ràng buộc đồng (1.4) g(x, y(x)) ≤ với x ∈ Ω. u(x) ∈ U hầu khắp nơi, x ∈ Ω. 3) Trường hợp 3: Ràng buộc hỗn hợp (1.5) g(x, y(x)) ≤ với x ∈ Ω. fi (x, y(x), u(x)) ≤ hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, ., n. (1.6) Giả sử 1 1 > ≥ − , u ∈ W1,r (Ω) , y ∈ W01,r (Ω) nghiệm (1.2) n r p n n ai,j Di yDj ϕ Ω i,j=1 h(y, x)ϕdx = u, ϕ , ∀ϕ ∈ W01,r (Ω) dx + Ω Sử dụng bất đẳng thức (1.6) định lý Sobolev Rellich, ta kết luận Lp (Ω) → W 1,r (Ω). Do đó, u ∈ Lp (Ω). Phương trình (1.2) cho ta nghiệm y ∈ 59 W01,r (Ω) → C(Ω). Ta định nghĩa K(y, u) = Ay + h(., y) = u; Gi (y, u) = gi (., y, u). Nếu gi (., y, u) ∈ C(Ω), ta định nghĩa φi (y, u) = max gi (x, y(x), u(x)). x∈Ω Bài toán (1.1)-(1.3) có dạng min(y, x), với buộc K(y, u) = 0, φ(y, u) ≤ Đặt F (y, u, z, w) = J(y, u) − J(z, w) + R+ ; n G(y, u, z, w) = (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ). i=1 Bài toán tương đương với toán tìm (y, u) ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω) cho n ∈ F (y, u, z, w) × (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ). i=1 Điều có nghĩa J(y, u) ≤ J(z, w) với z, w ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω); K(y, u) = 0; φ(y, u) ≤ 0, i = 1, ., m. 4.2 Cân Nash trò chơi không hợp tác Cho Xi , i ∈ I, Y không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, I tập hữu hạn số (số lượng người chơi), C ⊆ Y nón nhọn lồi. Với i ∈ I, Di ⊆ Xi tập khác rỗng (tập người huy người chơi thứ i). Đặt n D = Π Di . i=1 Với i ∈ I ánh xạ đa trị Sij : D → 2Di , j = 1, ràng buộc người chơi thứ i. Hàm số fi : D → Y hàm tổn thất người chơi thứ i. Hàm 60 phụ thuộc vào người huy toàn trò chơi. Với x = (xi )i∈I ∈ D. Ta ký hiệu xi = (xj )j∈I\{i} . x = (xi )i∈I gọi điểm cân trò chơi (Di , fi , Si1 , Si2 )i∈I i ∈ I / −(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I. ta có xi ∈ Si1 fi (xi , yi ) − fi (x) ∈ Ta đặt n G(x, t) = (fi (xi , ti ) − fi (x)); i=1 M (x) = {t ∈ D|G(x, t) ∈ / −(C\{0})} F (x, t) = t − M (x), (t, x) ∈ D × D. n Nếu x ∈ S (x) = Π Si (x) cho ∈ F (x, t) với ti ∈ Si2 (x), i ∈ I . Ta có i=1 xi ∈ Si1 G(x, t) ∈ / −(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I. Khi ta có xi ∈ Si1 (x), ∀i = 1, ., n; n fi (xi , ti ) − fi (x) ∈ / −(C\{0}). i=1 Lần lượt thay t = (xi , ti ) ∈ Si2 (x), ta suy fi (xi , ti ) ∈ / fi (x) − (C\{0}), với ti ∈ Si2 (x). Do x = (xi )i∈I điểm cân Pareto trò chơi Nash. 61 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống kết báo Mixed generalized quasi-equilibrium problems ứng dụng nó. Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: Các kiến thức cần dùng cho toán tựa cân hỗn hợp tổng quát. Các điều kiện đủ để toán tựa cân tổng quát có nghiệm. Tám toán liên quan đến toán tựa cân hỗn hợp tổng quát như: Bài toán tựa cân vô hướng tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng tổng quát; Bài toán tựa cân lý tưởng tổng quát; Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II; Quan hệ biến phân hỗn hợp Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng. Hai ứng dụng toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Bài toán điều khiển tối ưu Cân Nash trò chơi không hợp tác. Mặc dù tác giả cố gắn, xong khản kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn đọc. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh 62 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị. NXB Giáo dục. [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực & giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Truong Thi Thuy Duong - Nguyen Xuan Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J. Global Optim. 52 (2012), no. 4, 711–728. [5] Truong Thi Thuy Duong (2012), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems",J. Global Optim. 56 (2013), no. 2, 647–667. [6] Nguyen Xuan Tan (1985), "Quasi-variational inequa lities in topological linear locally convex Hausdorff space", Math. Nachrichten, 122, 231-245. [7] Aubin,J.P., Cellina, A. (1994),"Differential Inclusion", Springer Verlag, Berlin, Gemany. 63 [8] Fan, K. (1972), "A Generalization of Tychonoffs Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310. [9] S. Park (2000), "Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems", Nonlinear Operator Theory. Mathematical Methods and Computer Modelling, 32, 12971304. [10] Yannelis, N. C., and Prabhaker, N. D. (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", Jour. of Math. Eco., 12, 233-245. 64 [...]... Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Ta thấy rằng trong các bài toán tối ưu đơn trị có rằng buộc, nghiệm của chúng phụ thuộc vào nhiều điều kiện khác nhau, điều này cũng có thể xảy ra với ánh xạ đa trị Chương này ta sẽ nghiên cứu bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, một số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, định lí về sự tồn tại nghiệm và một số ứng dụng. .. bày trên cơ sở bài báo [5] 2.1 Giới thiệu bài toán Trong mục này ta giới thiệu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát 2.1.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử rằng D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , và F : K × K... 2D (i = 1, 2), Q : D × D → 2K và F : K × D × D → 2Y Bài toán tìm x ∈ D sao cho: 1) x ∈ P1 (x); 2) 0 ∈ F (y, x, t) với mọi t ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Bài toán này đã được T.T.T Dương và N.X Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên tạp chí J.Global Optim 2.1.3 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát Cho X, Y1 , Y2 , Z là các... và F : K × K × D × D → 2Y Ta xét bài toán sau: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y) Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 33 Bài toán này đã được T.T.T Dương và N.X Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên tạp chí J.Global Optim 2.1.2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Cho X, Y, Z là các không... → 2K và F : K × K × D × D → 2Y1 , G : K × D × D → 2Y2 Ta xét bài toán sau Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y); 3) 0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và được T.T.T Dương và N.X Tấn công bố trong bài báo [5] đăng trên tạp chí J.Global Optim 34 2.2 Một số bài toán. .. số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng 2.2.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng tổng quát Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng S : D×K → 2D ; T : D×K → 2K ; Pi : D → 2D , i = 1, 2; Q : D×D → 2K R(R+ ) là tập số thực (số thực không âm) và Φi : K × D × D → R, i = 1, 2 là hàm thỏa mãn Φi (y, x, x) = 0, i = 1, 2 với mọi y ∈ K, x ∈ D Bài. .. mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) 2.2.5 Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II Cho D, K, Pi , i = 1, 2 như trên và R(y, x, t) là quan hệ giữa y ∈ K, x ∈ D và t ∈ E Bài toán tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và R(y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) được gọi là bài toán quan hệ biến phân Định nghĩa M : K × D → 2X ; F : K × D × D → 2Y như sau M (y, x) = {t ∈ D|R(y, x, t) xảy ra } và F (y, x, t)... ⊆ Hi (y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D và Fi (y, x, t) = t − Mi (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D thì 1) 0 ∈ F1 (y, x, t), x ∈ P1 (x) với mọi t ∈ S(x, y); 2) 0 ∈ F2 (y, x, t), với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) 2.2.4 Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát Cho D, K, Y, S, T, Pi , i = 1, 2 và Q như trên Ánh xạ nón C : K × D → 2Y , Gi : K × D × D → 2Y Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) G1 (y,... = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Bài toán tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và 0 ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) bài toán trở thành t ∈ M (y, x), ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) hoặc tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và R(y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t) 2.2.6 Bao hàm thức đạo hàm Cho C[a, b] và C 1 [a, b] là không gian của các hàm số liên tục và đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],... K, là Q-KKM Hơn vậy, nếu ta định nghĩa quan hệ ba ngôi R(y, x, t) nếu và chỉ nếu 0 ∈ F (y, x, t) Ta chứng minh ngay được R là quan hệ Q-KKM 30 1.4 Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM Mục này trình bày một số định lý về điểm bất động và ánh xa KKM, nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng chương 2 Định lý 1.4.1(KyFan) [9] Cho X là không gian tôpô tuyến . là: Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cân bằng loại I, tựa cân. I, tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị. Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát cũng. động và ánh xạ KKM . . . . . . . . . 31 2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng 33 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Một số bài toán