Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết; Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức Giả sử hàm số y f ( x) có tập xác định D. Hàm số f đồng biến D y 0,x D y xảy số hữu hạn điểm thuộc D. Hàm số f nghịch biến D y 0,x D y xảy số hữu hạn điểm thuộc D. Nếu y ' ax2 bx c (a 0) thì: a + y ' 0, x R a + y ' 0, x R Định lí dấu tam thức bậc hai g( x) ax2 bx c ( a 0) : + Nếu < g( x) dấu với a. b ) 2a + Nếu > g( x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g( x) dấu với a. + Nếu = g( x) dấu với a (trừ x So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x) ax2 bx c với số 0: + x1 x2 P + x1 x2 P + x1 x2 P S S g( x) m,x ( a; b) max g( x) m ; g( x) m, x ( a; b) g( x) m ( a; b) ( a; b) B. Bài tập DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ PP: -Tìm TXĐ hàm số. -Tính đạo hàm f’(x). Tìm điểm xi mà đạo hàm không xác định. -Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập BBT. -Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số. Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên hàm số sau: a ) y 2x + 3x + b) y = x x c) y 3x x 1 d) y x 2x + x 1 Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu hàm số sau: a ) y 25 x b) y a) y x sin x, x 0;2 x 16 x c) y x3 x2 5 b) y x 2cos x, x ; 6 d) y x x 100 Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a) f x cos2 x x nghịch biến R. b) f x x cos2 x đồng biến R. Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên hàm số: a) y = 2x + 3x - x - 3x + 9x + c) y = Ví dụ 1. Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La -x + 2x - x + d) y = -x + 2x - 5x + b) y = 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên a) y = c) y = Chuyên đề Hàm số x+1 x x - 2x 1-x 3x + b) y = 1-x -x - 2x + d) y = x+2 DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ PP: Sử dụng kiến thức sau đây: 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K. Nếu f '( x ) 0, x K f(x) đồng biến K. Nếu f '( x ) 0, x K f(x) nghịch biến K. 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức b2 4ac . Ta có: a f ( x) 0, x R a f ( x) 0, x R 3. So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai x1 x2 P S g ( x) ax bx c x1 x2 P S với số 0: x1 x2 P 4. Xét toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến K”. Ta thực theo bước sau: f ( x ) g ( m), x K max f ( x) g (m) xK f ( x ) g ( m), x K f ( x ) g (m ) xK Chú ý: để xét tính đơn điệu dạng hàm số chứa tham số vận dụng tam thức bậc nhiên ko năm chương trình dạy HÀM ĐA THỨC Ví dụ 1. Cho hàm số a. Đồng biến R b. Nghịch biến R y x 3(m 1) x 3m( m 2) x . Tìm m để hàm số Giải y ' 3x 6(m 1) x 3m(m 2) a. Hàm số đồng biến R y ' 0, x a ' 6m TXĐ: D = R. m b. Hàm số nghịch biến R a ' 6m y ' 0, x (vô nghiem) Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Ví dụ 2. Cho hàm số Chuyên đề Hàm số y mx mx x . Tìm m để hàm số cho nghịch biến Giải TXĐ: D = R y ' mx 2mx Trường hợp 1: m y ' 1 m = thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m Hàm số cho nghịch biến R y ' 0, x mx 2mx 0, x a m ' m m m 0 m Ví dụ 3. Cho hàm số y x x ( m 1) x m . Tìm m để hàm số đồng biến R Giải TXĐ: D = R. y ' x2 x m y ' 0, x x x m 0, x Hàm số đồng biến R a ' 3m m Ví dụ 4. Cho hàm số y x ( m 1) x (m 3) x . Tìm m để hàm số luôn giảm Giải y ' x 2(m 1) x m Hàm số luôn giảm y ' 0, x x 2(m 1) x m 0, x TXĐ: D = R. a 1 ' m m (vô nghiem) Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu toán Ví dụ 5. Cho hàm số y x ( m 1) x 2(m 1) x . Tìm m để hàm số tăng R Giải TXĐ: D = R y ' x 2(m 1) x 2(m 1) Hàm số tăng R y ' 0, x Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số x 2( m 1) x 2(m 1) 0, x a ' (m 1)( m 3) 1 m Vậy: Với m điều kiện toán thỏa 1 m x 2(2 m) x 2(2 m) x Ví dụ 6. Định m để hàm số y luôn giảm Giải TXĐ: D = R y ' (1 m) x 4(2 m) x 2m Trường hợp 1: m y ' 4 x x Trường hợp 2: m 1 Hàm số giảm Ví dụ 7. Cho hàm số nên m = không thỏa yêu cầu toán a m m 2m3 2 m ' m 10 m 12 y ( m 5m) x 6mx x . Tìm m để hàm số đồng biến R Giải TXĐ: D = R y ' 3(m 5m) x 12mx m 5m m 0, m 5 m y ' m = thỏa yêu cầu toán m 5 y ' 60 x m = - không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 1: + + Trường hợp 2: m 5m Hàm số đồng biến R y ' 0, x 3(m 5m) x 12mx 0, x a m 5m ' 2m 10m ko có giá trị HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Ví dụ 8. Tìm m để hàm số y mx x m3 đồng biến Giải TXĐ: D R \ 3 m y' m 3m ( x m 3) Hàm số đồng biến y ' 0, x m m 3m m 1 m Ví dụ 9. Cho hàm số y x2 m2 x m . Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x 1 Giải Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên TXĐ: Chuyên đề Hàm số D R \ 1 x2 2x m2 m y' ( x 1) y ' 0, x 1 x x m2 m 0, x 1 Hàm số đồng biến tập xác định a m m ( 1) 2( 1) m m 13 13 m 2 2 x Ví dụ 10. Cho hàm số y . Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định xm m Giải D R \ m m y' ( x m)2 TXĐ: Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' 0, x m m m0 Ví dụ 11. Cho hàm số mx (m 2) x m 2m y . Xác định m để hàm số nghịch biến x 1 khoảng xác định Giải TXĐ: D R \ 1 mx 2mx m 3m y' ( x 1) Trường hợp 1: m y ' chưa xác định tính đơn điệu hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ' 0, x mx 2mx m 3m 0, x a m ' m3 m m12 2m.1 m 3m m m m 0, m m0 Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số Ví dụ 12. Cho hàm số y ( m 1) x 2mx (m m 2) . Tìm m để hàm số đồng biến R xm Giải TXĐ: D R \ m (m 1) x 2( m2 m) x m3 m2 y' ( x m) 2 Trường hợp 1: m 1 y ' 0, x 1 x 1 Trường hợp 2: m 1 Hàm số đồng biến R y ' 0, x m m = - thỏa yêu cầu toán (m 1) x 2(m m) x m3 m2 0, x m a m 2 m ( m 1)m 2( m2 m).m m3 m m 1 m 1 2 m 1 Nâng cao Ví dụ 13. (A-2013) Cho hàm số y x 3x 3mx (1) , với m tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + ) Giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện toán thỏa Ví dụ 14. Cho hàm số m y x x mx . Với giá trị m hàm số đồng biến / ;0 Giải TXĐ: D = R y ' 3x x m Hàm số đồng biến ;0 y ' 0, x (,0) Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số 3x x m 0, x (,0) m x x g ( x), x ( ,0) m g ( x) ( ,0) g '( x) x x 1 Vẽ bảng biến thiên ta có m g ( x ) g ( 1) 3 Ta có: ( ,0) Kết luận: Với m 3 Ví dụ 15. Cho hàm số điều kiện toán thỏa y x x mx . Với giá trị m hàm số đồng biến 0;2 Giải TXĐ: D = R y ' 3 x x m Hàm số đồng biến (0, 2) y ' 0, x (0,2) 3 x x m 0, x (0,2) m x x g ( x ), x (0,2) m max g ( x ) (0,2) g '( x) x x Vẽ bảng biến thiên ta có m max g ( x ) Ta có: (0,2) Vậy: m0 điều kiện toán thỏa Ví dụ 16. Cho hàm số biến y m x m 1 x m x . Với giá trị m hàm số đồng 3 2; Giải TXĐ: D = R y ' mx 2( m 1) x 3( m 2) Trường hợp 1: m y ' x x nên không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m Hàm số đồng biến 2; y ' 0, x [2, ) y ' mx 2( m 1) x 3( m 2) 0, x [2, ) 2x m g ( x ), x [2, ) x 2x m max g ( x ) [2, ) Ta có: g '( x) x 12 x x 3 ( x x 3) Vẽ bảng biến thiên ta m max g ( x ) g (2) [2, ) Ví dụ 17. Tìm m để hàm số y x ( m 1) x (m 3) x đồng biến (0; 3) Giải TXĐ: D = R Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số y ' x 2(m 1) x m Hàm số đồng biến (0; 3) y ' x 2( m 1) x m 0, x (0;3) m(2 x 1) x x x2 x g ( x) (*) 2x x2 2x g '( x ) 0, x (0;3) (2 x 1) m Ta có: g(x) hàm số đồng biến (0; 3) g (0) g ( x ) g (3) 3 g ( x) Vậy điều kiện (*) thỏa Ví dụ 18. Tìm m để hàm số m 12 12 1 y mx (1 3m) x (2m 1) x 3 db [1; 5] Giải y ' mx 2(1 3m) x m Trường hợp 1: m y ' 2x x Trường hợp 2: m0 Hàm số đồng biến [1; 5] thoa nãm y ' mx2 2(1 3m) x 2m 0, x [1;5] 2x g ( x ), x [1;5] x 6x m max g ( x) m [1;5] 1 21 x 2( x x 5) Ta có: g '( x ) 0 ( x x 2) 1 21 x 11 Vẽ bảng biến thiên ta có m max g ( x ) m=0 [1;5] mx 6m x 1 3m Ví dụ 19. Tìm m để y x 1 nghịch biến [1, ) Giải y mx 2mx2 x x 1 2 mx 2mx m x x 7 x u x 7 m x x 2x Min u x m . Ta có: u x 22 x 2 x x1 ( x x) u(x) đồng biến [1, ) m Min u x u 1 7 x 1 Hàm số nghịch biến [1, ) Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số Ví dụ 20. Tìm m để hàm số y mx (1 m) x 2m 2x đồng biến 4; Giải y' 2mx 6mx m (2 x 3) 2mx 6mx m 0, x 4; (2 x 3) 2mx 6mx m 0, x 4; Hàm số đồng biến 4; y' g ( x ), x 4; 2x 6x m max g ( x ) m x 4; 6(2 x 3) 0, x 4; g(x) hàm số nghịch biến 4; (2 x x 1) m max g ( x ) f (4) x 4; mx Ví dụ 21. Cho ham số y . Với giá trị m hs nghịch biến ( ;1) xm Ta có: g '( x) nên Giải Ta có y, m 4 vs x (,1) ( x m) Để thỏa mãn yêu cầu toán m y 0, x (,1) x m (,1) , 2 x 2 m m Nếu tham số mẫu làm Ví dụ 22. Định m để hàm số y 2 x 3x m 2x nghịch biến khoảng ; Giải 1 D R \ 2 4 x x 2m y' (2 x 1) TXĐ: Hàm số nghịch biến ; y' Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 4 x x 2m 0, x ; (2 x 1) 01649802923 GV: Nguyễn Đức Kiên m 2 x x Chuyên đề Hàm số g ( x ), x ; m max g ( x ) ; g '( x ) 4 x 0, x ; 1 m max g ( x) g 1 2 ; Ta có: Vậy: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hàm số y ( m 1) x3 mx2 (3m 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m . 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định nó. Tập xác định: D = R. y ( m 1) x2 2mx 3m . Câu 1. (1) đồng biến R y 0, x m Câu 2. Cho hàm số y x3 3x2 mx (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m . 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (;0) . Tập xác định: D = R. y 3x2 6x m . y có 3( m 3) . + Nếu m 3 y 0,x hàm số đồng biến R m 3 thoả YCBT. + Nếu m 3 PT y có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 x2 ) . Khi hàm số đồng biến khoảng (; x1),( x2; ) . m 3 Do hàm số đồng biến khoảng ( ;0) x1 x2 P m (VN) S 2 Vậy: m 3 . Câu 3. Cho hàm số y 2x3 3(2m 1) x2 6m( m 1) x có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; ) Tập xác định: D = R. y ' 6x2 6(2m 1) x 6m( m 1) có (2m 1)2 4( m2 m) x m y' . Hàm số đồng biến khoảng (; m), (m 1; ) x m1 Do đó: hàm số đồng biến (2; ) m m Câu 4. Cho hàm số y x3 (1 2m) x2 (2 m) x m . 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K (0; ) . Hàm đồng biến (0; ) y 3x2 2(1 2m) x (2 m) với x ( 0; ) f ( x) 3x2 2x m với x ( 0; ) 4x 6(2x2 x 1) Ta có: f ( x) 2x2 x x 1; x 2 (4x 1) Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 10 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số (1) x 2(m 1) x 3m Yêu cầu toán phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1 .x2 ' (m 1) 2(3m 1) m 3 3m m . Vậy kết Ví Dụ toán m 3 m . Ví Dụ 8: Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) m tham số. Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos . 26 Giải Gọi k hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có véctơ pháp n1 ( k ;1) d: có véctơ pháp n (1;1) k1 k 1 Ta có cos 12k 26k 12 26 k 1 n1 n k Yêu cầu Ví Dụ toán thỏa mãn hai phương trình: y / k1 (1) y / k (2) có nghiệm x có nghiệm 3x 2(1 m) x m / / có nghiệm 3x 2(1 m) x m 1 8m m m ; m 1 m m m ; m 4m m Ví Dụ 9. Cho hàm số y x x C n1 .n Gọi d đường thẳng qua điểm A(-1;0) với hệ số góc k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích 1. Giải Đường thẳng d qua A(-1;0) với hệ số góc k , có phương trình : y=k(x+1)=kx+k . x3 x kx k 1 , có ba nghiêm phân biệt y kx k - Nếu d cắt (C) : x 3x kx k x 1 x x k có hai nghiệm phân biệt . x 1 ' k k k 9(*) Vậy g ( x; k ) x x k g (1; k ) k x 4x k Với điều kiện : (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A,B,C .Với A(-1;0) , B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình : - Gọi B x1 ; y1 ; C x2 ; y2 với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x x k . Còn y1 kx1 k ; y2 kx2 k . - Ta có : BC x2 x1 ; k x2 x1 BC Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La x2 x1 1 k x x1 1 k 01649802923 73 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số - Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : h k 1 k k 1 1 - Vậy theo giả thiết : S h.BC . k 1 k k k3 k3 k 2 1 k 4 Đáp số : k , thỏa mãn yêu cầu Ví Dụ toán . x4 3x . Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến 2 Ví Dụ 10. Cho hàm số y = (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M. Giải a4 5 Vì M (C ) M a ; 3a . Ta có: y’ = 2x3 – 6x y ' ( a ) 2a 6a 2 Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình : y (3a 6a )( x a ) a4 3a . 2 x4 a4 3x (3a 6a)( x a) 3a ( x a) ( x 2ax 3a 6) 2 2 x a 2 g ( x) x 2ax 3a + Xét pt : a | a | ' a g (a ) a 1 YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a Ví Dụ 11. Cho hàm số y x 1 (C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B x 1 cho tiếp tuyến (C) A B song song với nhau. Giải g(x) 2x (m 3)x m (1) x 1 2x m x 1 x 2 (m 3) 8(m 1) (m 1) 16 0, m Ta có: → phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác g(1) 2 phương trình hoành độ giao điểm: d luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A B. Gọi x1, x2 (x1 ≠ x2) hoành độ A B x1 , x2 nghiệm phương trình (1). Ta có: (3 m) . Tiếp tuyến ∆1, ∆2 A, B có hệ số góc là: k1 y '(x1 ) (x1 1) 2 2 . 1 / / k1 k k y '(x ) 2 (x 1) (x1 1) (x 1) x1 x x1 x x1 x (3 m) m 1 . (x1 1) (x 1) x1 x x1 x Ví Dụ 12: Cho hàm số y 2x 1 .Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) x 1 M lớn . Giải Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 74 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số 3 (C ) tiếp tuyến M có phương trình y Nếu M x0 ; ( x x0 ) hay x0 ( x0 1) x0 3( x x0 ) ( x0 1)2 ( y 2) 3( x0 1) 3( 1 x0 ) 3( x0 1) Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến d Theo bất đẳng thức Côsi x0 1 x0 ( x0 1) ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1) , vây d . Khoảng cách d lớn ( x0 1) . ( x0 1) x0 1 x0 1 . ( x0 1) Vậy có hai điểm M : M ;2 Ví Dụ 13: Cho hàm số y M ;2 2x có đồ thị (C). Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai x2 tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn . Giải Lấy điểm M m; . C . Ta có : y ' m m2 m 2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình : y m 2 Giao điểm (d) với tiệm cận đứng : A 2; x m m2 m2 Giao điểm (d) với tiệm cận ngang : B(2m – ; 2) Ta có : AB2 m . Dấu “=” xảy m = m Vậy điểm M cần tìm có tọa độ : (2; 2) Ví Dụ 14. Cho hàm số y x 3 có đồ thị (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục hoành A, cắt trục tung B cho OA = 4OB Giải OB 1 Tiếp tuyến AB có hệ số góc k = OA 4 x3 Phương trình y’ = k . ( x 1) x 5 +) x = y=0, tiếp tuyến có phương trình y ( x 3) 1 13 +) x= -5 y= 2, tiếp tuyến có phương trình y ( x 5) y x 4 OA =4OB nên OAB có tan A Ví Dụ 15. Cho hàm số: y x 1 Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa 2( x 1) độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = 0. Giải Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 75 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số x0 Gọi M( x0 ; ) (C ) x0 1 điểm cần tìm. Gọi tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình. 2( x0 1) x 1 x 1 : y f ' ( x0 )( x x0 ) y ( x x0 ) 2( x0 1) 2( x0 1) x0 1 x02 x0 ;0) x x0 B = oy B(0; ). Khi tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: 2( x0 1) Gọi A = ox A( x02 x0 x02 x0 ; . 6( x0 1) G( Do G đường thẳng:4x + y = 4. 4 x0 1 x02 x0 x02 x0 0 6( x0 1)2 (vì A, B O nên x02 x0 ) 1 x0 x0 x 1 x 2 1 3 Với x0 M ( ; ) ; với x0 M ( ; ) . 2 2 2 Bài tập tương tự Câu 1. Cho hàm số y 2x3 3x2 1. Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ 8. ĐS: M(1; 4) thị (Cm) tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x 2y . Câu 2. Cho hàm số y f ( x) mx3 ( m 1) x2 (4 3m) x có đồ thị (Cm). Tìm giá trị m cho đồ ĐS: m hay m Câu 3. Cho hàm số y x3 3x . Tìm đường thẳng d : y điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C). ĐS: ( 1;4) ; ;4 ; (2;4) . Câu 4. Cho hàm số y x3 2x2 (m 1) x 2m (Cm).Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm). 109 ĐS: A(1;4 3m), B ; 3m 27 Câu 5. Cho hàm số y x3 3x2 (C). Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). m 1 m ĐS: m Câu hỏi tương tự: Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 76 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số a) y x3 3x2 2, d Ox . m ĐS: M ( m;0) với 1 m Câu 6. Cho hàm số y x 2mx2 m (1) , m tham số. Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ 3 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B ; 1 đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn . 4 ĐS: m = 2x Câu 7. Cho hàm số y .Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến x 1 . ĐS: x y x y 2x (C).Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối x2 xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn nhất. ĐS: y x y x . Câu hỏi tương tự: x a) Với y . ĐS: y x; y x . x 1 Câu 8. Cho hàm số y Câu 9. Cho hàm số y 2x . Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm x 1 A(2; 4), B(4; 2). ĐS: y Câu 10. Cho hàm số y x ; y x 1; y x 4 (2m 1) x m2 .Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x . x 1 ĐS: m x2 . Gọi I giao điểm đường tiệm cận, tiếp tuyến đồ thị (C). d x 1 khoảng cách từ I đến . Tìm giá trị lớn d. Câu 11. Cho hàm số y = ĐS: x . Chứng minh với m, đường thẳng d : y x m cắt (C) 2x điểm phân biệt A, B. Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B. Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất. ĐS: m 1 x2 Câu 13. Cho hàm số y (1).Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt 2x trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O. ĐS: y x Câu 12. Cho hàm số y 2x .Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, x 1 Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB. 2x Câu 15. Cho hàm số y (C).Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm x2 Câu 14. Cho hàm số y = Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 77 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số cận đứng tiệm cận ngang A, B cho côsin góc ABI , với I giao tiệm cận. 17 ĐS: y x ; y x 4 Câu hỏi tương tự: 3x ;cos BAI a) y . x 1 26 ĐS: : y 5x : y 5x . 2x có đồ thị (C). Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai x2 tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn nhất. ĐS: M(3;3) M(1;1) Câu 16. Cho hàm số y 2mx . Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C). Tìm m để tiếp tuyến diểm bất xm kì (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S 64 . Câu 17. Cho hàm số y ĐS: m 58 2x có đồ thị (C). Gọi I giao điểm hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) cho x 1 tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 18. Cho hàm số y ĐS: M1 1 3;2 , M2 1 3;2 2x . Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N x 1 cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang. x3 Câu 20. Cho hàm số y .Cho điểm Mo ( xo; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận x 1 (C) điểm A B. Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB. x2 Câu 21. Cho hàm số : y (C) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận x 1 tam giác có diện tích không đổi. Câu 19. Cho hàm số y Câu hỏi tương tự: 2x a) y x 1 ĐS: S = 12. 2x . Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hoành độ a. Tiếp 1 x tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q. Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ. ĐS: 2x Câu 23. Cho hàm số y . Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C). Tìm đồ thị (C), điểm M có x 1 Câu 22. Cho hàm số y hoành độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2 IB2 40 . ĐS: M(2; 1). x 1 Câu 24. Cho hàm số y (C). Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C). x 1 Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y kx yo (d) ĐS: M(0; 1) M(0; –1). Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 78 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số x3 Câu 25. Cho hàm số y (C). Tìm đường thẳng d : y 2x điểm từ kẻ tiếp x 1 tuyến tới (C). CHUYÊN ĐỀ 11 MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT Dạng 1: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) PP Cách 1: Gọi M(x0; y0) điểm cố định (nếu có) họ (Cm). M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m), m (1) Biến đổi (1) dạng sau (ẩn m) Dạng 2: (1) Am2 Bm C , m Dạng 1: (1) Am + B = 0, m A B A B C (2a) (2b) Giải hệ (2a) (2b) ta tìm toạ độ (x0; y0 ) điểm cố định. Chú ý: Các hệ (2a), (2b) hệ phương trình có ẩn x0, y0. Các ví dụ minh họa Ví Dụ 1. Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm) có phương trình sau: b) y mx2 2(m 2) x 3m a) y (m 1) x 2m c) y ( m 1) x3 2mx2 ( m 2) x 2m d) y (1 2m) x2 (3m 1) x 5m e) y x3 mx2 9x 9m f) y (m 2) x3 mx g) y 2mx x2 4m h) y x4 mx2 m Ví Dụ 2. Chứng minh họ đồ thị (Cm) có điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định đó: a) y (m 3) x3 3(m 3) x2 (6m 1) x m b) y (m 2) x3 3(m 2) x2 4x 2m c) y (m 4) x3 (6m 24) x2 12mx 7m 18 d) y ( m 1) x3 (2m 1) x m Dạng 2. Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Pp 1: A, B đối xứng qua d d trung trực đoạn AB Phương trình đường thẳng vuông góc với d: y = ax +b có dạng: : y xm a Phương trình hoành độ giao điểm (C): f(x) = x m (1) a Tìm điều kiện m để cắt (C) điểm phân biệt A, B. Khi xA, xB nghiệm (1). Tìm toạ độ trung điểm I AB. Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìm m xA, xB yA, yB A, B. Pp 2: Ta sử dụng điều kiện sau (C ) (d ) ( ) B A I k AB .kd 1 kết hợp với viet m xA, xB yA, yB A, B. I d x xB Chú ý: A, B đối xứng qua trục hoành A yA yB Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 79 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số x xB A, B đối xứng qua trục tung A yA yB x xB A, B đối xứng qua đường thẳng y = b A yA yB 2b xA xB 2a yA yB A, B đối xứng qua đường thẳng x = a Các ví dụ minh họa Ví dụ 1, Cho hàm số C : y x2 . Tìm (C) hai điểm A,B đối xứng qua đường thẳng y=x+1 (d) x 1 Giải A, B đối xứng qua(d) nên AB ( d ) . Phương trình (AB) có dạng y=-x+m Hoành độ A,B nghiệm phương trình x2 x m g ( x ) x m 1 x m x 1 x 1 (1) Để có giao điểm A,B (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 m 3 2 m 6m g 1 m 3 2 m 1 m 1 xA xB xI Gọi xA;xB hoành độ giao điểm A,B, ta có: vaI trung điểm AB m x x y 3m A B I 1 I thuộc (d):y=x+1 cho ta m=1. Từ taoc tọa độ A ;1 ;1 , B 2 2 Ví Dụ 2. Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: a) (C) : y x3 x; c) (C) : y x2 ; x 1 x4 ; d : x 2y x2 x2 x d) (C) : y ; d : y x 1 x 1 d : x 2y b) (C) : y d : y x 1 Dạng 3: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua điểm I(a;b)” PP : + Lấy A(xA;yA) B(xB;yB) thuộc (C) x A xB a tọa độ A,B (hoặc đk tham số) y A yB 2b + A,B đối xứng qua I Chú ý: - x xB A, B đối xứng qua gốc toạ độ O A - Qua phép đối xứng tâm I x0 ; y0 điểm M x; y có ảnh M ' x '; y ' yA yB x ' x0 x y ' y0 y Ví dụ 1. ( ĐH-GTVT-97) Cho hàm số y x mx x . Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O. Giải Giả sử M x0 ; y0 N -x ; y0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có : Chuyên luyên thi Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 80 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số y0 x03 mx02 x0 1 y0 x0 mx0 x0 Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02 3 Để (3) có nghiệm m[...]... 2k 2 3 Hàm số đạt cực đại tại các điểm x DẠNG 2: CỰC TRI TRONG NHỮNG BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 3 2 Hàm bậc ba y ax bx 1 Hàm số bậc 3 ko có cực trị TH1: a=0 => cx d y , 2bx c 0 y , 3ax 2 2bx c 0 Vậy để hàm số ko có cực trị cần b=0, c #0 TH2: a#0 Vậy để hàm số ko có cực trị cần 0 2 Hàm số có cực trị TH1: Nếu a=0 => y ' 2bx c 0 Vậy để hàm số ko có cực trị cần... BBT của hàm số g( x), x (; 1] ta suy ra m 1 Vậy m 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) CHUYÊN ĐỀ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: TÌM CỰC TRI CỦA HÀM SỐ *) Điểm tới hạn là điểm mà tại đó y, =0 hoặc không xác định *) Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y f (x) có cực trị khi y’ đổi dấu PP: Tìm điểm cực trị PP: Cách 1: - Tính đạo hàm y’ = f’(x) Tìm các điểm tới hạn xi : - Lập bảng xét dấu của. .. Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn a) b) c) trên đoạn trên đoạn Ví dụ 2 Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn a) b) trên đoạn c) d) trên đoạn Ví dụ 3 Tìm GTLN,GTNN của hàm số a) b) c) Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 34 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số CHUYÊN ĐỀ 4 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT lim y x x0 lim y x x 1 Tiệm cận đứng: Hàm y = f(x) thỏa... Cho hàm số y 4x3 mx2 3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 4x2 ĐS: m Câu 10 Cho hàm số y 1 3 x ax2 3ax 4 3 9 2 (1) (a là tham số) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12 2ax2 9a a2 a2 x22 2ax1 9a 2 (2) ĐS: a 4 3 2 2 Câu 11 Cho hàm số y 2x 9mx 12m x 1 (m là tham số) .Tìm các giá trị của m để hàm số có... không đổi Câu 20 Cho hàm số y 2 x3 3( m 1) x 2 6mx m3 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2 ĐS: m 0; m 2 Câu 21 Cho hàm số y x3 3mx2 3( m2 1) x m3 4m 1 (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O ĐS: m=-1, m=2 Câu 22 Cho hàm số y 2x2 3(m 1) x2 6mx m3 (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm... 4 3 Câu 30 Cho hàm số y x mx2 (1)Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại 2 2 ĐS: m 0 Câu 31 Cho hàm số y f ( x) x4 2( m 2) x2 m2 5m 5 (Cm) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân ĐS: m=1 Câu 32 Cho hàm số y x4 2(m 2) x2 m2 5m 5 Cm Với những giá trị nào của m thì đồ thị... sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) Câu 9 Cho hàm số y Tập xác định: D = R \ {–m} y m2 4 ( x m)2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định y 0 2 m 2 (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) thì ta phải có m 1 m 1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: 2 m... qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân 3 ĐS: m 2 1 3 Câu 28 Cho hàm số : y = x mx2 (m2 m 1) x 1 (1) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1; ) 3 ĐS: 1 m Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 26 GV: Nguyễn Đức Kiên Câu 29 Cho hàm số : y = Chuyên đề Hàm số 1 3 x mx2 ( m2 m 1) x 1 (1) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,... 3 P 0 0 m1 Vậy: Với 1 m 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; ) Câu 6 Cho hàm số y x3 3x2 mx m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Ta có y ' 3x2 6x m có 9 3m + Nếu m ≥ 3 thì y 0, x R hàm số đồng biến trên R m ≥ 3 không thoả mãn + Nếu... điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y 2x m2 m Ví dụ 4 (B-2013 ) Cho hàm số y 2 x3 3(m 1) x 2 6mx (1) , với m là tham số thực.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 17 GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số Giải Ta có: y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)), Để hàm số có 2 cực . min ( ) B. Bài tập DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ PP: -Tìm TXĐ của hàm số. -Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác. Chuyên đề Hàm số Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 1 CHUYÊN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y f x ( ) có tập xác định D. Hàm số f. m y x Trường hợp 1: 0 ' 0 m y chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 0 m Hàm số nghịch biến trên từng