BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS-TS. PHAN NHẬT TĨNH HUẾ 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác. Trần Đức Thịnh ii LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn mình, PGS-TS Phan Nhật Tĩnh. Thầy chọn đề tài, cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn này. Nhân em xin gửi lời cám ơn tời toàn thầy cô giáo khoa Toán học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa. Đồng thời, xin cảm ơn bạn, anh chị lớp Giải Tích K21, khoa Toán nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp trình soạn thảo luận văn này. Trân trọng chân thành cảm ơn! Huế, 2014 Trần Đức Thịnh iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Bài toán tối ưu khái niệm cực tiểu. . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Bài toán tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Các khái niệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Hàm thực khả vi định lý giá trị trung bình. . . . . . . . . . . 1.3. Gradient suy rộng không gian Banach. . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Đạo hàm theo hướng suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Gradient suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Jacobi suy rộng Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Đạo hàm theo hướng Dini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Đạo hàm theo hướng Hardamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.1. Hàm tựa lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.2. Hàm giả lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7. Một số khái niệm tính chất khác. . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp khả vi liên tục 15 2.1. Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Một số khái niệm tính chất liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Điều kiện cần cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4. Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng. . . . . . . 26 2.3. Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. . . . . . 33 2.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Điều kiện đủ cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol. . . . . . . 41 2.4.1. Cực tiểu địa phương parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.2. Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3. Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp Lipschitz địa phương 45 3.1. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương. . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1. Điều kiện cần cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. . . . . . . . . 51 3.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.3. Điều kiện đủ cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.4. Điều kiện cần cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 LỜI NÓI ĐẦU Tối ưu hóa ngành toán học ứng dụng nhiều người quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng vào thực tiễn. Bài toán tối ưu kết việc mô hình hóa vấn đề nảy sinh từ thực tế, chúng diễn đạt dạng toán học tìm biến số thỏa mãn điều kiện định đồng thời làm cho hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại). Năm 1965, A. Ya. Dubovitskii A. A. Mylyutin đưa lý thuyết điều kiện tối ưu ngôn ngữ giải tích hàm cho ta phương pháp giải tích hàm hiệu để nghiên cứu toán tối ưu điều khiển. Công trình tiếng Dubovitskii- Mylyutin đánh dấu bước phát triển quan trọng lý thuyết tối ưu hóa. Do nhu cầu kinh tế kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát triển ngày mạnh mẽ thu nhiều kết quan trọng. Người ta thường quan tâm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2, cấp cao hơn. Nếu điều kiện cần cấp dùng cho việc tìm tập tất điểm dừng điều kiện cần cấp lại hiệu việc loại bỏ điểm dừng không tối ưu. Chúng giúp ta xác định điểm cho cực tiểu (hay cực đại). Cuối nhờ vào điều kiện đủ ta tìm nghiệm toán tối ưu. Do điều kiện tối ưu cấp tỏ hữu ích việc tìm nghiệm toán tối ưu. Sau điều kiện tối ưu cấp kiểu Fritz John Kuhn-Tucker lý thuyết điều kiện tối ưu cấp mở rộng nhiều hướng khác đặc biệt toán với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập hợp. Với mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu thêm điều kiện tối ưu gợi ý, hướng dẫn PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, chọn đề tài: Các điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề tài nghiên cứu cho luận văn. Về mặt cấu trúc, luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương tác giả trích dẫn số khái niệm, định lý, tính chất . tổng hợp lại từ tài liệu tham khảo [1], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Tất kiến thức bổ trợ cho chương chương 3. Cụ thể chương trình bày nội dung sau. 1.1: Bài toán tối ưu khái niệm cực tiểu. 1.2: Hàm số khả vi định lý giá trị trung bình. 1.3: Garadient suy rộng không gian Banach. 1.4: Jacobi suy rộng Rn . 1.5: Đạo hàm theo hướng. 1.6: Hàm tựa lồi, hàm giả lồi. 1.7: Một số khái niệm tính chất khác. Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp khả vi liên tục. Trong chương này, dựa sở tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6], [7], [9], [10], tác giả nghiên cứu nội dung cụ thể sau. 2.1: Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục. 2.2: Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương. 2.3: Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. 2.4: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol. Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp Lipschitz địa phương. Những nội dung nghiên cứu chương chủ yếu dựa sở tài liệu tham khảo [12], [3] cụ thể nghiên cứu vấn đề sau. 3.1: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương. 3.2: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục. 3.3: Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày. Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1.1 Bài toán tối ưu khái niệm cực tiểu. 1.1.1 Bài toán tối ưu. Xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức ràng buộc tập sau   f0 (x) −→     x ∈ X (P) :  fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m      hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q hàm f0 : X → R gọi hàm mục tiêu, hàm fi : X → R, i = 1, 2, . . . , m hj : X → R, j = 1, 2, . . . , q gọi hàm ràng buộc. "x ∈ X " gọi ràng buộc tập, "fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m" gọi ràng buộc bất đẳng thức, "hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q " gọi ràng buộc đẳng thức. Lúc tập chấp nhận C = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m; hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q Với x ∈ C , tập số tích cực I(x), tập số không tích cực J(x) định nghĩa tương ứng sau I(x) = i ∈ {1, 2, . . . , m} fi (x) = J(x) = i ∈ {1, 2, . . . , m} fi (x) < m+1 Hàm Lagarange tổng quát toán L : X × R+ × Rq −→ R, định nghĩa q m L(x, λ0 , λ, µ) = λ0 f0 (x) + λi fi (x) + i=1 µj hj (x) j=1 Trong trường hợp toán (P) ràng buộc đẳng thức ta kí hiệu toán (P ). Ta nói x, λ1 , λ2 , . . . , λm , µ1 , µ2 , . . . , µq điểm dừng (kiểu Kuhn Tucker) toán (P) thõa mãn điều kiện sau   x ∈ C; λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m q m  ∇f (x) + λi ∇fi (x) + µj ∇hj (x) = j=1 i=1 1.1.2 Các khái niệm cực tiểu. Xét toán (P) x ∈ C điểm chấp nhận được. Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1. a) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương toán (P) nến tồn lân cận U x cho f0 (x) ≥ f0 (x), ∀x ∈ C ∩ U . b) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương chặt toán (P) nến tồn lân cận U x cho f0 (x) > f0 (x), ∀x = x, x ∈ C ∩ U . c) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu toàn cục toán (P) f0 (x) ≥ f0 (x), ∀x ∈ C . d) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu toàn cục chặt toán (P) f0 (x) > f0 (x), ∀x = x, x ∈ C . e) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P) tồn lân cận U x số K > cho f0 (x) ≥ f0 (x) + K x − x , ∀x ∈ U ∩ C . f) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương prabol (gọi tắt pl-cực tiểu) toán (P) với d, z ∈ Rn tồn ε = ε(d, z) > cho f0 (x + td + 0.5t2 z) ≥ f0 (x), ∀t ∈ [0, ε) x + td + 0.5t2 z điểm chấp nhận được. g) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp toán (P) với d, z ∈ Rn tồn số thực dương A = A(d, z) ε = ε(d, z) cho f0 (x + td + 0.5t2 z) ≥ f0 (x) + A td + 0.5t2 z , ∀t ∈ [0, ε) x + td + 0.5t2 z điểm chấp nhận được. 1.2 Hàm thực khả vi định lý giá trị trung bình. Định nghĩa 1.2 ([7] Tr. 200). Cho X ⊂ Rn tập mở f hàm nhận giá trị thực xác định X (tức f : X → R, sau để đơn giản ta nói f hàm thực xác định X ). Hàm f gọi khả vi x ∈ X với x ∈ Rn cho x + x ∈ X ta có f (x + x) = f (x) + t(x), x + α(x, x) x t(x) véc tơ n chiều, α hàm thực x cho lim α(x, x) = 0. x→0 Véc tơ t(x) Định nghĩa gọi Gradient f x kí hiệu ∇f (x). Định lý 1.1 (Định lý giá trị trung bình - [7] Tr. 204). Cho f hàm thực khả vi tập lồi mở X ⊂ Rn x, y ∈ X . Khi tồn số thực t ∈ (0, 1) cho f (y) − f (x) = ∇f (x + t(y − x)) , y − x 1.3 Gradient suy rộng không gian Banach. 1.3.1 Đạo hàm theo hướng suy rộng. Cho X không gian Banach trường số thực với chuẩn kí hiệu · . Ta có khái niệm tính chất sau. Định nghĩa 1.3. Hàm f : X → R gọi Lipschitz địa phương x ∈ X tồn lân cận U x số L > cho |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ U (1.1) Nếu bất đẳng thức (1.1) với phần tử tập V ⊂ X L độc lập với biến x ta nói f Lipschitz V . Định nghĩa 1.4. [3] Giả sử f : X → R hàm Lipschitz địa phương x ∈ X với số K (lúc để đơn giản ta nói f Lipschitz gần x với số K ). Với v ∈ X , ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng f x theo hướng v , kí hiệu f (x, v), định nghĩa sau f (x, v) = lim sup y→x,t→0+ f (y + tv) − f (y) t Do tính Lipschitz địa phương hàm f nên giới hạn luôn tồn tại. m λi ∇fi (x) = 0, (2.44) i=0 L (x, d) > 0, (2.45) λi ∇fi (x), d = 0, i ∈ {0} ∪ I(x) (2.46) Với i ∈ {1, 2, . . . , m} \I(x) fi (x) < nên từ (2.43) suy λi = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} \I(x). Với i ∈ {0} ∪ I(x) \I0 (x, d) ∇fi (x), d < nên từ (2.46) suy λi = 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x) \I0 (x, d). Do ta có λi = 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , m} \I0 (x, d), nên từ (2.44) (2.45) suy λi ∇fi (x) = 0, i∈I0 (x,d) λi fi (x, d) > i∈I0 (x,d) Vì λ = nên tồn i0 ∈ I0 (x, d) suy I0 (x, d) = ∅. Xét ma trận A mà dòng {∇fi (x)|i ∈ I0 (x, d)} véc tơ b có thành phần {−fi (x, d)|i ∈ I0 (x, d)}. Do theo giả thiết có hệ sau có nghiệm λ AT λ = 0, bT λ < 0, λ ≥ 0, λ = λ véc tơ với thành phần λi , i ∈ I0 (x, d). Suy toán     bT λ AT λ = 0,  λi = 1, λi ≥ i∈I0 (x,d) ,  λ véc tơ với thành phần λi , i ∈ I0 (x, d), có giá trị tối ưu âm. Do toán đối ngẫu − max y|Az + → y ≤b − có giá trị tối ưu y < 0. Ở → y véc tơ với thành phần y z ∈ Rn . Từ suy hệ bất phương trình tuyến tính Az ≤ b vô nghiệm. Áp dụng Định lý 2.11 ta có x cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2. Chú ý 2.2. Điều kiện (2.42) giả thuyết Định lý 2.9, xuất Định lý 2.6. Thật ra, phần ẩn Định lý 2.10. 44 Chương 3. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG. Trong chương ta xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập sau    f0 (x) → (P ) : x∈X    fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m. X tập mở không gian Banach E fi : X → R, i = 1, 2, . . . m hàm thực xác định X , Lipschitz địa phương. Nếu không nói thêm, chương ta giả sử không gian Banach E vô hạn chiều. Tập chấp nhận S = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m . Định nghĩa 3.1. Xét toán (P ) với fi , i = 0, 1, . . . , m, Lipschitz gần x ∈ S . Một hướng d gọi tới hạn điểm x (fi )0 (x, d) ≤ 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x). Với x ∈ S hướng tới hạn d ta đặt J(x, d) = i ∈ {0} ∪ I(x) (fi )0 (x, d) = . 3.1 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương. 3.1.1 Điều kiện cần cấp 2. Bổ đề 3.1. [12] Cho K tập compact không gian tôpô E . Nếu {xk } dãy vô hạn K {xk } có có điểm tụ K . 45 Bổ đề 3.2 ([3], Proposition 2.1.5). Cho {xi } {ξi } dãy X X ∗ cho ξi ∈ ∂ C f (xi ). Giả sử xi → x ξ điểm tụ {ξi } tôpô yếu∗ ξ ∈ ∂ C f (x). (Hay ∂ C f đóng yếu∗ .) Chứng minh. Lấy v ∈ X , có dãy dãy số ξi , v , ta kí hiệu ξi , v , hội tụ đến ξ, v . Do ξi ∈ ∂ C f (x) nên theo Mệnh đề 1.2 ta có f (xi , v) ≥ ξi , v , ∀i. Theo Mệnh đề 1.1, hàm hai biến f (·, ·) nửa liên tục (x, v) nên lim sup f (xi , v) ≤ f (x, v). Do f (x, v) ≥ ξ, v . Vì v lấy tùy ý nên suy (xi ,v)→(x,v) ξ ∈ ∂ C f (x). Định lý 3.1 (Điều kiện cần cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E tập mở, x cực tiểu địa phương toán (P ). Giả sử hàm fi i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương; hàm fi i ∈ I(x) khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng tới hạn; hàm fi i ∈ / I(x) liên tục x. Khi với hướng tới hạn d ∈ E không tồn z ∈ E nghiệm hệ  (f )0 (x, z) + (f ) (x, d) < ∈ J(x, d) 0 H− (3.1) (fi )0 (x, z) + (fi ) (x, d) < i ∈ J(x, d)\{0}. H Chứng minh. Xét J(x, d) = ∅. Giả sử ngược lại tồn hướng tới hạn d cho hệ (3.1) có nghiệm z ∈ E . Xét trường hợp sau: 0+ , (1.1). Giả sử ∈ J(x, d). Tồn dãy {tk } {dk } cho tk > 0, tk → dk → d (f0 )H− (x, d) = lim inf k→+∞ f0 (x + tk dk ) − f0 (x) − tk (f0 )0 (x, d) . tk Ta chứng minh xk = x + tk dk + 0.5t2k z điểm chấp nhận thỏa mãn f0 (xk ) < f0 (x) với số nguyên dương k đủ lớn. Theo Định lý trung bình Lebourg tồn θk ∈ (0, 1) ηk ∈ ∂ C f0 (x + tk dk + 0.5t2k θk z) cho f0 (xk ) − f0 (x + tk dk ) = 0.5t2k ηk , z . Vì f0 Lipschitz địa phương nên thỏa thỏa điều kiện Lipschitz lân cận x, đó, theo Mệnh đề 1.2 tồn L0 > cho ηk ∗ ≤ L0 với k đủ lớn. Theo Định lý Banach-Alaoglu 1.3 Bổ đề 3.1, không tính tổng quát ta giả sử dãy {ηk } hội tụ yếu∗ ηk w∗ / η0 , lim ηk , z = η0 , z . k→+∞ Theo Bổ đề 3.2 tập ∂ C f0 (·) đóng yếu∗ nên η0 ∈ ∂ C f0 (x) ⇒ η0 , z ≤ (f0 )0 (x, z). 46 Vậy ta có f0 (xk ) − f0 (x) k→+∞ t2 k 2 = lim inf f0 (xk ) − f0 (x + tk dk ) + f0 (x + tk dk ) − f0 (x) − t(f0 )0 (x, d) k→+∞ t tk k lim inf = lim k→+∞ ηk , z + (f0 )H− (x, d) = η0 , z + (f0 )H− (x, d) ≤ (f0 )0 (x, z) + (f0 )H− (x, d) < Do f0 (xk ) < f0 (x) với k đủ lớn. Tiếp theo ta chứng minh xk ∈ S với k đủ lớn. Tức chứng minh fi (xk ) ≤ 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m}, với k đủ lớn. (1.2). Với i ∈ J(x, d) \ {0}. Sử dụng lập luận tương tự ta chứng minh với i ∈ J(x, d) \ {0} tồn ηi ∈ ∂ C fi (x) cho fi (xk ) − fi (x) = ηi , z + (fi )H (x, d) ≤ (fi )0 (x, z) + (fi )H (x, d) < k→+∞ t2 k lim Do fi (xk ) < fi (x) = 0, ∀i ∈ J(x, d)\{0}, với k đủ lớn. (1.3). Với i ∈ I(x) cho i ∈ / J(x, d) ta có (fi )0 (x, d) < 0, lim sup tk →0+ fi (x + tk d) − fi (x) ≤ (fi )0 (x, d) = −2εi < tk Do fi (x + tk d) − fi (x) < −tk εi với k đủ lớn. Vì fi i ∈ I(x) Lipschitz địa phương nên tồn số Li > lân cận x cho fi thỏa điều kiện Lipschitz với số Li lân cận đó. Do ta có fi (xk ) − fi (x + tk d) ≤ |fi (xk ) − fi (x + tk d)| ≤ Li tk dk − d + 0.5tk z fi (xk ) − fi (x + tk d) ≤ Li dk − d + 0.5tk z tk fi (xk ) − fi (x + tk d) =⇒ lim ≤0 tk k→+∞ =⇒ =⇒ fi (xk ) − fi (x + tk d) < tk εi với k đủ lớn. Vậy với i ∈ I(x)\J(x, d), với k đủ lớn ta có fi (xk ) = fi (xk ) − fi (x + tk d) + fi (x + tk d) − fi (x) + fi (x) < tk εi − tk εi + fi (x) = fi (x) = (1.4). Với i ∈ {1, 2, . . . , m}\I(x) ta có fi (x) < 0. Do đó, theo tính liên tục hàm fi , suy fi (xk ) < với k đủ lớn Từ (1.2), (1.3), (1.4) ta có fi (x) ≤ 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} với k đủ lớn. Hay x ∈ S với k đủ lớn. Do số nguyên dương k đủ lớn ta có xk ∈ S f0 (xk ) < f0 (x), điều mâu thuẫn với x cực tiểu địa phương. 47 (2). Xét trường hợp ∈ / J(x, d), ta có (f0 )0 (x, d) < 0. Dùng lập luận (1.3), ta chứng minh f0 (xk ) < f0 (x) với k đủ lớn. Theo lập luận (1.2), (1.3), (1.4) ta có xk ∈ S với k đủ lớn. Điều mâu thuẫn với giả thiết x cực tiểu địa phương. (3). Cuối ta chứng minh J(x, d) = ∅. Nếu J(x, d) = ∅ (fi )0 (x, d) < 0, ∀i. Dùng lập luận (1.3), (1.4) ta chứng mâu thuẫn với x cực tiểu địa phương. Vậy với hướng tới hạn d ∈ E không tồn z ∈ E nghiệm hệ (3.1). 3.1.2 Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. Định lý 3.2 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E tập mở x ∈ S cực tiểu địa phương toán (P ). Giả sử hàm fi i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x; hàm fi (i ∈ I(x)) khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng / I(x) liên tục x. Khi với hướng tới hạn d mà tới hạn; hàm fi i ∈ (f0 )H− (x, d) < +∞ ∈ J(x, d) (fi )H (x, d) < +∞ i ∈ J(x, d)\{0} tồn nhân tử Lagrange không âm λ0 , λ1 , . . . , λm , không đồng thời cho (3.2) λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, λi ∇G fi (x) = 0, (3.3) i∈{0}∪I(x) λi ∇G fi (x), d = 0, i ∈ {0} ∪ I(x), λi (fi )H (x, d) ≥ λ0 (f0 )H− (x, d) + (3.4) (3.5) i∈I(x) Chứng minh. Vì x cực tiểu địa phương nên J(x, d) = ∅. Lấy d hướng tới hạn tùy ý cố định. Xét hệ bất phương trình sau   ∇ f (x), z + (f ) (x, d) < ∈ J(x, d) G H−  ∇G fi (x), z + (fi ) (x, d) < H i ∈ J(x, d)\{0}. Ta loại bỏ tất bất đẳng thức tương ứng với đạo hàm cấp không hữu hạn khỏi hệ này. Xét ma trận A mà dòng ∇G fi (x) i ∈ {0} ∪ J(x, d) véc tơ b mà thành phần −(fi )H (x, d) i ∈ J(x, d) ∈ / J(x, d) −(f0 )H− (x, d), −(fi )H (x, d) i ∈ J(x, d)\{0} 48 ∈ J(x, d). Theo Định lý 3.1 ta có hệ bất phương trình tuyến tính Az < b vô nghiệm. Điều − tương đương với toán quy hoạch tuyến tính max{y|Az + → y ≤ b} có giá → − trị tối ưu y ≤ 0. Ở y véc tơ gồm thành phần y . Do toán đối ngẫu     bT λ AT λ = 0,  λi = 1, λi ≥ ,  i∈J(x,d) có giá trị tối ưu không dương. Điều có nghĩa hệ AT λ = 0, bT λ ≤ 0, λ ≥ 0, λ = (3.6) có nghiệm λ, với λ véc tơ gồm thành phần λi , i ∈ J(x, d). Ta định nghĩa λi = 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x) \ J(x, d) λi = đạo hàm cấp tương ứng không hữu hạn. Ta có (1) Với i ∈ J(x, d)\ {0} i ∈ I(x) nên fi (x) = 0, ∀i ∈ J(x, d)\ {0}. Kết hợp với cách định nghĩa λi ta có λi fi (x) = 0, ∀i = 1, 2, . . . , m. λi ∇G fi (x) = λ0 (f0 )H− (x, d)+ (2) Từ (3.6), ta có λi (fi )H (x, d) i∈J(x,d)\{0} i∈J(x,d) ≥ 0. Kết hợp với cách định nghĩa λi suy λi ∇G fi (x) = i∈{0}∪I(x) λi (fi )H (x, d) ≥ 0. λ0 (f0 )H− (x, d) + i∈I(x) (3) Ngoài với i ∈ J(x, d) (fi )0 (x, d) = 0. Vì fi Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x nên ta có (fi )0 (x, d) = ∇G fi (x), d = 0. Kết hợp với cách định nghĩa λi ta có λi ∇G fi (x), d = 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x). Vậy tồn λ0 , λ1 , . . . , λm không đồng thời thoả mãn (3.2)−(3.5). 3.2 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục. Định lý 3.3 (Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục, [12]). Cho X ⊂ E tập lồi mở, x điểm chấp nhận được. Giả sử hàm fi , i ∈ {0}∪I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gateaux x; hàm f0 giả lồi cấp x; hàm fi , i ∈ I(x) tựa lồi x khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng tới hạn d = 0. Nếu với hướng tới hạn d = tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 . . . , λm , cho λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, ∇G f0 (x) + λi ∇G fi (x) = 0, i∈I(x) 49 λi (fi )H (x, d) ≥ (f0 )H− (x, d) + i∈I(x) x cực tiểu toàn cục toán (P ). Chứng minh. Vì hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x nên ta có (fi ) (x, d) = (fi )0 (x, d) = ∇G fi (x), d , ∀d ∈ E . Giả sử ngược lại x cực tiểu toàn cục toán (P ), tồn x ∈ S cho f0 (x) < f0 (x). Ta chứng minh x − x hướng tới hạn x. Do f0 2-giả lồi nên với f0 (x) < f0 (x) ta có ∇G f0 (x), x − x ≤ 0. Mặt khác fi , i ∈ I(x) tựa lồi fi (x) ≤ = fi (x), ∀i ∈ I(x) nên ta có ∇G fi (x), x − x ≤ 0, ∀i ∈ I(x). Như ta có ∇G fi (x), x − x ≤ 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x) suy x − x hướng tới hạn x. Theo giả thiết tồn nhân tử Lagrange không âm λ0 , λ1 , . . . , λm cho (3.7) λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, ∇G f0 (x) + λi ∇G fi (x) = 0, (3.8) i∈I(x) λi (fi )H (x, d) ≥ (f0 )H− (x, d) + (3.9) i∈I(x) Với i ∈ J(x) ta có fi (x) < nên từ (3.7) suy λi = 0, ∀i ∈ J(x). Sử dụng x − x hướng tới hạn x kết hợp với (3.8) ta có ∇G f0 (x), x − x + λi ∇G fi (x), x − x = (3.10) i∈I(x) Ta có ∇G f0 (x), x − x ≤ λi ∇G fi (x), x − x ≤ 0, ∀i ∈ I(x) nên từ (3.10) suy ∇G f0 (x), x − x = λi ∇G fi (x), x − x = 0, ∀i ∈ I(x), suy ∇G fi (x), x − x = i ∈ I(x), λi > 0. Do có λi (fi )H (x, x − x) = λi i∈I(x),λi >0 i∈I(x) ≤ fi (x + td ) − fi (x) t2 /2 (t,d )→(0+ ,x−x) lim λi lim i∈I(x),λi >0 t→0+ fi (x + t(x − x)) − fi (x) t2 /2 Do fi , i ∈ I(x) tựa lồi x nên fi x + t(x − x) = fi tx + (1 − t)x ≤ fi (x) = với i ∈ I(x) t ∈ [0; 1]. Từ suy λi (fi )H (x, x − x) ≤ 0. Vì f0 i∈I(x) 2-giả lồi x = nên (f0 )H− (x, x − x) < 0, (f0 )H− (x, x − x) + λi (fi )H (x, x − x) < i∈I(x) λi (fi )H (x, x − x) ≤ i∈I(x) 50 điều mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x cực tiểu toàn cục toán (P ). 3.3 Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. 3.3.1 Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. Định lý 3.4 (Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2, [12]). Cho E không gian hữu hạn chiều, X ⊂ E tập mở x điểm chấp nhận được. Giả sử hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x; hàm fi , i ∈ I(x) khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng tới hạn d = 0. Nếu với hướng tới hạn d = tồn nhân tử Lagrange không âm λi , i = 0, 1, . . . , m không đồng thời cho λi ∇G fi (x) = 0, (3.11) i∈{0}∪I(x) (3.12) λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, λi (fi )H (x, d) ≥ λ0 (f0 )H− (x, d) + (3.13) i∈I(x) x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). Chứng minh. Giả sử x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). Do với dãy số dương {εk }+∞ k=1 , εk → 0, tồn dãy {xk }+∞ k=1 ⊂ S cho xk − x ≤ εk f0 (xk ) < f0 (x) + 0.5εk xk − x . xk − x , ta có tk → 0, dk = xk = x + tk dk . Vì tk không gian hữu hạn chiều nên ta giả sử dk → d. Do dk = 1, dk → d Đặt tk = xk − x , dk = nên d = 0. Trước hết ta chứng minh d hướng tới hạn x. Ta có f0 (x + tk dk ) < f0 (x) + 0.5εk t2k , (3.14) fi (x + tk dk ) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m. (3.15) Mặt khác ta có f0 (x + tk d) − f0 (x) f0 (x + tk d) − f0 (x + tk dk ) f0 (x + tk dk ) − f0 (x) = + tk tk tk (3.16) Vì f0 Lipschitz địa phương x nên tồn số L0 > cho |f0 (x + tk d) − f0 (x + tk dk )| ≤ L0 tk dk − d 51 (3.17) với k đủ lớn. Từ (3.14), (3.16) (3.17) với k đủ lớn ta có f0 (x + tk dk ) − f0 (x) f0 (x + tk d) − f0 (x) f0 (x + tk d) − f0 (x + tk dk ) + ≤ tk tk tk ≤ L0 dk − d + 0.5εk tk Cho k → +∞ ta (f0 )0 (x, d) = ∇G f0 (x), d ≤ 0. Tương tự, với i ∈ I(x), fi Lipschitz địa phương x nên tồn số Li > cho |fi (x + tk d) − fi (x + tk dk )| ≤ Li tk dk − d (3.18) với k đủ lớn. Từ (3.15), (3.16) (3.18) với k đủ lớn ta có fi (x + tk dk ) − fi (x) fi (x + tk d) − fi (x + tk dk ) fi (x + tk d) − fi (x) + ≤ tk tk tk ≤ L i dk − d Cho k → +∞ ta (fi )0 (x, d) = ∇G fi (x), d ≤ 0. Do d hướng tới hạn x. Từ (3.11) suy λ0 ∇G f0 (x), d + λi ∇G fi (x), d = (3.19) i∈I(x) Do đó, từ (3.12), (3.14), (3.15) (3.19), ta có λ0 (f0 )H− (x, d) + λi (fi )H (x, d) i∈I(x) ≤ lim inf k→+∞ t2k λ0 f0 (x + tk dk ) − λ0 f0 (x) − tk λ0 ∇G f0 (x), d λi fi (x + tk dk ) − λi fi (x) − tk λi ∇G fi (x), d + i∈I(x) ≤ lim inf k→+∞ ≤ lim inf k→+∞ < lim inf k→+∞ t2k λ0 f0 (x + tk dk ) − f0 (x) + λi fi (x + tk dk ) i∈I(x) λ0 f0 (x + tk dk ) − f0 (x) t2k 2 λ εk t t2k k = lim inf (λ0 εk ) = k→+∞ điều mâu thuẫn với giả thiết (3.13). Vậy x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). 52 3.3.2 Ví dụ. Ví dụ sau cho thấy giả thiết fi , i ∈ {0} ∪ I(x) quy khả vi Gâteaux cần thiết Định lý 3.3 Định lý 3.4. Ví dụ 3.1. Xét toán sau  f (x) −→ f1 (x) ≤ hàm f0 : R → R f1 : R → R định nghĩa sau   x x ≤  x2 x ≤ ; f1 (x) = f0 (x) = 0 x > −x2 x > Xét x = 0. Ta có hàm mục tiêu f0 khả vi liên tục 2-giả lồi x = 0. Hàm ràng buộc f1 Lipschitz địa phương tựa lồi x = 0. Ta có (f0 )0 (x, d) = (f0 )0 (0, d) = 0, ∀d ∈ R  d d ≥ 0 (f1 ) (x, d) = (f1 ) (0, d) = 0 d < . Do tập hướng tới hạn D = d ∈ R (f0 )0 (x, d) ≤ 0, (f1 )0 (x, d) ≤ = {d ∈ R |d ≤ } . Và vi phân Clarke f1 x = ∂ C f1 (0) = [0, 1]. Tính toán ta có tiếp (f0 )H− (0, d) = 2d2 (f1 )H (0, d) = −∞ với hướng tới hạn d < 0. Ta thừa nhận 0.(−∞) = nên bất đẳng thức sau thỏa mãn với hướng tới hạn d = nhân tử Lagrange λ1 = (f0 )0 (x, d) + λ1 (f1 )0 (x, d) ≥ 0; (f0 )H− (x, d) + λ1 (f1 )H (x, d) > Tuy nhiên x = cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục toán. 3.3.3 Điều kiện đủ cấp 2. Định lý 3.5 (Điều kiện đủ cấp 2, [12]). Cho X tập mở không gian hữu hạn chiều E x điểm chấp nhận được. Giả sử hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x; hàm 53 fi , i ∈ I(x) khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng tới hạn d = 0. Nếu với hướng tới hạn d = mà (f0 )H− (x, d) < +∞ ∈ J(x, d) (fi )H (x, d) < +∞ i ∈ J(x, d)\{0} không tồn z ∈ E nghiệm hệ  (f )0 (x, z) + (f ) (x, d) < 0, ∈ J(x, d) H− (fi )0 (x, z) + (fi ) (x, d) < 0, i ∈ J(x, d)\{0}. H x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). Chứng minh. Lấy d = hướng tới hạn tùy ý cố định. Ta chứng minh tồn nhân tử Lagrange λi ≥ không đồng thời cho thỏa mãn điều kiện (3.11), (3.12), (3.13). Xét ma trận A mà dòng ∇G fi (x) i ∈ {0} ∪ J(x, d) véc tơ b mà thành phần −(fi )H (x, d) i ∈ J(x, d) ∈ / J(x, d) −(f0 )H− (x, d); −(fi )H (x, d), i ∈ J(x, d)\{0} ∈ J(x, d). Theo Định lý 3.1 ta có hệ bất phương trình tuyến tính Az ≤ b vô nghiệm. Ta loại bỏ tất bất đẳng thức tương ứng với thành véc tơ b không − hữu hạn khỏi hệ này. Do toán quy hoạch tuyến tính max{y|Az + → y ≤ b} − có giá trị tối ưu y ≤ 0. Ở → y véc tơ gồm thành phần y . Do toán đối ngẫu     bT λ AT λ = 0,  λi = 1, λi ≥ i∈J(x,d) ,  có giá trị tối ưu không dương. Suy hệ AT λ = 0, bT λ ≤ 0, λ ≥ 0, λ = (3.20) có nghiệm λ, λ véc tơ với thành phần λi , i ∈ J(x, d). Ta định nghĩa λi = với i ∈ / J(x, d) λi = đạo hàm cấp tương ứng không hữu hạn. (1) Từ (3.20) ta có AT λ = ⇔ λi ∇G fi (x) = 0, cách định nghĩa λi = i∈J(x,d) ta suy λ0 ∇G f0 (x) + λi ∇G fi (x) = 0. i∈∪I(x) 54 (2) Từ (3.20) ta có bT λ ≤ suy λ0 (f0 )H− (x, d) + λi (fi )H (x, d) ≥ 0, i∈J(x,d)\{0} λi (fi )H (x, d) ≥ 0. kết hợp cách định nghĩa λi = suy λ0 (f0 )H− (x, d) + i∈I(x) (3) Mặt khác với i ∈ J(x, d)\ {0} i ∈ I(x) nên fi (x) = 0, ∀i ∈ J(x, d)\ {0}, λi fi (x) = 0, ∀i ∈ J(x, d)\ {0}, kết hợp cách định nghĩa λi = suy λi fi (x) = 0, ∀i = 1, 2, . . . , m. Như tồn nhân tử Lagrange không âm λ0 , λ1 , . . . , λm , không đồng thời thoả mãn λi ∇G fi (x) = 0, i∈{0}∪I(x) λi fi (x)i (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, λi (fi )H (x, d) ≥ λ0 (f0 )H− (x, d) + i∈I(x) Theo Định lý 3.4 ta có x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). 3.3.4 Điều kiện cần cấp 2. Định lý 3.6 (Điều kiện cần cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E tập mở, x cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P ). Giả sử hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) Lipschitz địa phương, quy khả vi Gâteaux x; hàm fi , i ∈ I(x) khả vi Hardamard cấp theo hướng x theo hướng tới hạn; hàm fi , i ∈ / I(x) liên tục x. Khi với hướng tới hạn d ∈ E không tồn z ∈ E nghiệm hệ  (f )0 (x, z) + (f ) (x, d) ≤ ∈ J(x, d) 0 H− (3.21) (fi )0 (x, z) + (fi ) (x, d) < i ∈ J(x, d)\{0}. H Chứng minh. Xét J = ∅. Giả sử ngược lại tồn hướng tới hạn d cho hệ (3.21) có nghiệm z ∈ E . Lấy ε > tùy ý, ta có hệ  (f )0 (x, z) + (f ) (x, d) < ε ∈ J(x, d) H− (fi )0 (x, z) + (fi ) (x, d) < H i ∈ J(x, d)\{0}. có nghiệm z ∈ E . Ta xét trường hợp sau: 55 (A.1). Giả sử ∈ J(x, d). Khi tồn dãy {tk } {dk } cho tk > 0, tk → 0+ , dk → d (f0 )H− (x, d) = lim inf k→+∞ f0 (x + tk dk ) − f0 (x) − tk (f0 )0 (x, d) . t2k Theo Định lý trung bình Lebourg tồn θk ∈ (0, 1) ηk ∈ ∂ C f0 (x + tk dk + 0.5t2k θk z) cho f0 (xk ) − f0 (x + tk dk ) = 0.5t2k ηk , z ⇔ f0 (xk ) − f0 (x + tk dk ) = ηk , z tk Vì f0 Lipschitz địa phương nên thỏa thỏa điều kiện Lipschitz lân cận x, đó, theo Mệnh đề 1.2 tồn L0 > cho ηk ∗ ≤ L0 , ∀k đủ lớn. Theo Định lý Banach-Alaoglu Bổ đề (3.1), không tính tổng quát ta giả sử dãy {ηk } hội tụ yếu∗ ηk w∗ / η0 , lim ηk , z = η0 , z . Theo k→+∞ Bổ đề 3.2 tập ∂C f (·) đóng yếu∗ nên η0 ∈ ∂C f (x) ⇒ η0 , z ≤ (f0 )0 (x, z). Vậy ta có lim inf k→+∞ f0 (xk ) − f0 (x) t2k = lim inf k→+∞ = lim k→+∞ 2 f0 (xk ) − f0 (x + tk dk ) + f0 (x + tk dk ) − f0 (x) − t(f0 )0 (x, d) tk tk ηk , z + (f0 )H− (x, d) = η0 , z + (f0 )H− (x, d) ≤ (f0 )0 (x, z) + (f0 )H− (x, d) < ε, ∀ε > tùy ý. Do f0 (xk ) < f0 (x) + 0.5εt2k với k đủ lớn. Tiếp theo ta chứng minh xk ∈ S với k đủ lớn. Tức chứng minh fi (xk ) ≤ 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m}, với k đủ lớn. (A.2). Với i ∈ J(x, d) \ {0}. Sử dụng lập luận tương tự ta chứng minh với i ∈ J(x, d) \ {0} tồn ηi ∈ ∂ C fi (x) cho fi (xk ) − fi (x) = ηi , z + (fi )H (x, d) ≤ (fi )0 (x, z) + (fi )H (x, d) < k→+∞ t2 k lim Do fi (xk ) < fi (x) = 0, ∀i ∈ J(x, d)\{0}, với k đủ lớn. / J(x, d) ta có (A.3). Với i ∈ I(x) cho i ∈ lim sup tk →0+ fi (x + tk d) − fi (x) ≤ (fi )0 (x, d) = −2εi < tk Do fi (x + tk d) − fi (x) < −tk εi với k đủ lớn. Vì fi i ∈ I(x) Lipschitz địa phương nên tồn số Li > lân cận x cho fi thỏa điều kiện 56 Lipschitz với số Li lân cận đó. Do ta có fi (xk ) − fi (x + tk d) ≤ |fi (xk ) − fi (x + tk d)| ≤ Li tk dk − d + 0.5tk z fi (xk ) − fi (x + tk d) ≤ Li dk − d + 0.5tk z tk fi (xk ) − fi (x + tk d) ≤0 =⇒ lim tk k→+∞ =⇒ =⇒ fi (xk ) − fi (x + tk d) < tk εi với k đủ lớn. Vậy với i ∈ I(x)\J(x, d), với k đủ lớn ta có fi (xk ) = fi (xk ) − fi (x + tk d) + fi (x + tk d) − fi (x) + fi (x) < tk εi − tk εi + fi (x) = fi (x) = (A.4). Với i ∈ {1, 2, . . . , m}\I(x) ta có fi (x) < 0. Do đó, theo tính liên tục hàm fi , suy fi (xk ) < với k đủ lớn Từ (A.2), (A.3), (A.4) ta có fi (x) ≤ 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} với k đủ lớn. Hay x ∈ S với k đủ lớn. Do số nguyên dương k đủ lớn ta có xk ∈ S f0 (xk ) < f0 (x) + 0.5εt2k , điều mâu thuẫn với x cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. (B). Xét trường hợp ∈ / J(x, d), ta có (f0 )0 (x, d) < 0. Dùng lập luận (A.3), ta chứng minh f0 (xk ) < f0 (x) + 0.5εt2k với k đủ lớn. Theo lập luận (A.2), (A.3), (A.4) ta có xk ∈ S với k đủ lớn. Điều mâu thuẫn với giả thiết x cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. (C). Cuối ta chứng minh J(x, d) = ∅. Nếu J(x, d) = ∅ (fi )0 (x, d) < 0, ∀i. Dùng lập luận (A.3),(A.4) ta chứng mâu thuẫn với x cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. Vậy với hướng tới hạn d ∈ E không tồn z ∈ E nghiệm hệ (3.1). 57 KẾT LUẬN Luận văn tốt nghiệp bao gồm ba phần: Mở đầu, nội dung kết luận. Phần nội dung trình bày ba chương: Chương 1, chương chương 3. Kết luận văn nằm chương chương 3. Nội dung chương là: Trong chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị hỗ trợ cho chương chương 3. Trong chương luận văn trình bày số Định lý điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp khả vi liên tục. Trong chương luận văn trình bày số Định lý điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp Lipschitz địa phương. Luận văn hoàn thành mục tiêu đề làm rõ phần nhỏ lý thuyết toán tối ưu, cụ thể Các điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp khả vi liên tục Lipschitz địa phương. Do hạn hẹp thời gian, hạn chế kiến thức thân nên luận văn trình bày chưa phong phú, đa dạng chắn không tránh khỏi thiếu sót. Làm luận văn hội để ôn lại kiến thức học đồng thời tìm hiểu thêm kiến thức mới. Hy vọng luận văn tài liệu bổ ích cho người đọc. 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Giáo trình giải tích không trơn (dành cho học viên cao học). [2] A. Ben-Tal, J. Zowe (1985), Directional derivatives in nonsmooth optimization, J. Optim. Theory Appl. 47, pp. 483-490. [3] Clarke, F.H. (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York. [4] Ginchev, I., Ivanov, V.I. (2008), Second-order optimality conditions for problems with C data, J. Math. Anal. Appl. 340, pp. 646–657. [5] I. Ginchev, A. Guerraggio, M. Rocca (2006), From scalar to vector optimization, Appl. Math. 51, pp. 5-36. [6] J.-B. Hiriart-Urruty, J.J. Strodiot, V.H. Nguyen (1984), Generalized Hessian matrix and second-order optimality conditions for problems with C 1,1 data, Appl. Math. Optim. 11, pp. 169-180. [7] O.L. Mangasarian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York. [8] Igor V. Konnov, D.T.Luc, A.M. Rubino (2007), Generalized Convexity and Related Topics, Springer. [9] V. Jeyakumar, X. Wang (1999), Approximate Hessian matrices and secondorder optimality conditions for nonlinear programming problems with C data, J. Aust. Math. Soc. B 40, pp. 403-420. [10] V. Jeyakumar, Dinh The Luc (2007), Nonsmooth Vector Functions and Continuous Optimization, Springer. [11] Rudin, W. (1991), Functional Analysis, 2nd edn. McGraw-Hill, Boston. [12] Ivanov Vsevolod I., (2010) Second-order optimality conditions for inequality constrained problems with locally Lipschitz data, Springer. 59 [...]... Chương 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI LIÊN TỤC Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập sau  f0 (x) −→ min   (P ) : x∈X    fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m trong đó X ⊂ Rn và fi , i = 0, 1, , m, là các hàm thực xác định trên X Các kết quả đưa ra ở đây đều thu được từ bài toán không trơn dựa trên đạo hàm cấp 2 theo... t→0 2f0 (td) 2( td)3 = lim = lim (2td3 ) = 0 t2 t2 t→0+ t→0+ Điều kiện đủ cấp 2 của Định lí 2. 1 thỏa mãn nhưng rõ ràng x = 0 không phải là một cực tiểu toàn cục của bài toán ∗ Điều này không mâu thuẫn với Định lý 2. 1 vì f0 không giả lồi cấp 2 tại x = 0 Ta cũng không thể sử dụng Định lý 2. 2 cho bài toán này vì f0 không giả lồi tại x = 0 Định lý 2. 3 Nếu trong giả thiết của Định lí 2. 1 ta thay f0 là 2- giả... nếu nó là một giả 2 Jacobi của f tại x Khi đó ta nói rằng hàm f có giả Hesian ∂∗ f (x) tại x Tính chất 2. 2 [9] 2 2 a) ∂∗ f (x) = ∂ ∗ f (x) và ma trận M ∈ ∂∗ f (x) được gọi là ma trận giả Hessian của f tại x b) Nếu f khả vi 2 lần tại x thì của f tại x 2 f (x) là một ma trận giả Hessian đối xứng 2. 2 .2 Điều kiện cần cơ bản cấp 2 Định lý 2. 5 (Điều kiện cần cơ bản cấp 2, [4] Theorem 5) Cho X ⊂ Rn là tập... lý 2. 2.4 Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng Trường hợp các hàm thuộc lớp C1 Ta thấy rằng các nhân tử Lagrange trong điều kiện cần cấp 2 phụ thuộc vào hướng Trong các ví dụ sau ta so sánh Định lý 2. 6 với Định lý 2. 7 (Định lý 3.1 của Jeyakumar, Wang [9]) mà trong đó các hàm là khả vi liên tục và các nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng Xét bài toán với ràng buộc bất đẳng thức, ... nhỏ ta có x + td + 0.5t2 z ∈ S và f0 x + td + 0.5t2 z < f0 (x) nên x không phải là một cực tiểu địa phương, do đó mâu thuẫn với giả thiết 24 Vậy với mọi hướng tới hạn d ∈ Rn không tồn tại z ∈ Rn thỏa mãn hệ bất phương trình sau (2. 12) 2. 2.3 Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2 Định lý 2. 6 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [4]) Cho X là tập mở trong không gian Rn , fi (i = 0, 1, , m) là các hàm thực xác định... L(x, λ∗ , µ∗ ) sao cho M u, u = max 2 N ∈∂∗ L(x,λ∗ ,µ∗ ) N u, u ≥ 0 Ví dụ 2. 3 Xét bài toán  f0 (x) = −x2 − x2 + x1 − x2 → min  1 2  f1 (x) = √ 1 + 2x2 − x1 − 1 ≤ 0    f2 (x) = x2 − x2 ≤ 0 1 Hình 2. 1: Minh họa Ta có hàm Lagrange L(x) = f0 (x) + λ1 f1 (x) + 2 f2 (x) và x = (0, 0) là một điểm dừng với nhân tử Lagrange λ = (λ1 , 2 ) = (1, 0) Các hàm f0 , f1 , f2 khả vi liên tục trong lân cận điểm... không tối ưu Thật vậy, lấy ε > 0 là số dương đủ nhỏ thì x(ε) = (ε, ε) là điểm chấp nhận được và f0 (ε, ε) = 2 < 0 = f0 (0, 0) Tập các hướng tới hạn tại x = (0, 0) là D = d = (u1 , u2 ) ∈ R2 fi (0, 0), (u1 , u2 ) ≤ 0, i = 0, 1, 2 29 = d = (u1 , u2 ) ∈ R2 u1 − u2 ≤ 0; −u1 + u2 ≤ 0; −u2 ≤ 0 = d = (u1 , u2 ) ∈ R2 u1 = u2 ≥ 0 = d = (u, u) ∈ R2 u ≥ 0 Với mỗi hướng tới hạn d ta có L (x, d) = dT 2 f0 (x)... (x) + λ1 2 f1 (x) + 2 2 f2 (x) d = −5u2 < 0 khi u = 0, nên theo Định lý 2. 6 thì x = (0, 0) không phải là điểm tối ưu Mặt khác F C(1, 0), x = (0, 0), 2 ∂∗ L(x, λ) = (0, 0)T 2 2 L(x, λ) , L(x, λ)(0, 0) = 0 Do đó Đinh lý 2. 7 không thể loại bỏ điểm không tối ưu x = (0, 0) Trường hợp các hàm thuộc lớp C1,1 Trong phần tiếp theo chúng ta so sánh ta so sánh Định lý 2. 6 với Định lý 2. 8 (Định lý 3 .2 được Hiriart-Urruty,... khả vi tại x và khả vi cấp 2 theo mọi hướng hạn d tại x Hàm mục tiêu f0 (x) là 2- giả lồi tại x = 0 Hàm ràng buộc f1 (x) = −x là tuyến tính nên tựa lồi tại x Từ đó với mỗi hướng tới hạn d ta có λf1 (x) = 0, L(x) = 0, L (x, d) = f0 (0, d) = lim t→0+ 2f0 (td) = 2d2 ≥ 0 t2 Do đó theo Định lí 2. 1 suy ra x = 0 là cực tiểu toàn cục của bài toán ∗ Không thể sử dụng Định lý 2. 2 cho bài toán này vì ∀y ∈ R, f0... bất đẳng thức, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập sau  f0 (x) −→ min     x ∈ X ⊂ Rn (P) : fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m      hj (x) = 0, j = 1, 2, , q trong đó fi , i = 0, 1, , m, và hj , j = 1, 2, , q là các hàm thực khả vi liên tục trên X Tập chấp nhận được của bài toán (P) là C = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m; hj (x) = 0, j = 1, 2, , q Định nghĩa 2. 6 Cho x là một điểm . ∈ X 14 Chương 2. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI LIÊN TỤC. Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập sau (P ). ơn! 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu. 1.1.1 Bài toán tối ưu. Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức và ràng buộc tập sau (P) :              f 0 (x). . 15 2. 2. Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. 2.1. Một số khái niệm và tính chất liên quan. . 22 2. 2 .2. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 23 2. 2.3. Điều kiện cần