B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI HONG TH HONG TUYET S TN TI V TNH DUY NHAT NGHIM CA H GRADIENT TRONG KHễNG GIAN Vễ HN CHIU Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS. Trn Vn Bng H Ni, 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo, c bit l TS. Trn Vn Bng, nhng ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n sõu sc n ban lónh o, cỏc thy cụ giỏo, cỏn b, nhõn viờn trng i hc S phm H Ni ó to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng. Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Li cam oan Lun ny l kt qu ca bn thõn tụi t c quỏ trỡnh hc v nghiờn cu, di s hng dn ca TS. Trn Vn Bng v s giỳp ca cỏc Thy, Cụ khoa Toỏn Trng i hc S phm H Ni v ca cỏc Thy, Cụ ó trc tip ging dy chỳng tụi. Trong nghiờn cu, hon thnh bn Lun ny tụi ó tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho. Tụi xin khng nh kt qu ca ti S tn ti v tớnh nht nghim ca h Gradient khụng gian vụ hn chiu khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Mc lc M u . Chng 1. Kin thc chun b 1. H gradient khụng gian hu hn chiu d 1.1.1. Gradient Euclidean ca hm trờn M 1.1.2. H gradient Euclidean 1.1.3. Liờn h i vi h phng trỡnh i s 1.1.3. H gradient tng quỏt R d 1.2.Khụng gian Bochner-Sobolev v Bochner-Lebesgue 1.2.1 Tớch phõn Bochner . Khụng gian Bochner - Lebesgue Chng 2. 1. Khụng gian Bochner - Sobolev trờn khụng gian mt chiu S tn ti v nghim ca h gradient khụng gian vụ hn chiu 2.1 H Gradient khụng gian vụ hn chiu 2.1.1 Khỏi nim gradient . Gradient ca dng ton phng 31 2.1.3. Khụng gian Sobolev trờn ri . 2.1.4. Toỏn t Dirichlet Laplace . 2.1.5. Toỏn t Dirichlet - p - Laplace 2.S tn ti v nht ca nghim ca h gradient H 2.2.gradient khụng autonom 2.2. S tn ti v nht nghim ton cc ca h gradient vi nng lng li 2.2. S tn ti v nht nghim ton cc ca h gradient vi nng lng elliptic Kt lun Ti liu tham kho M u Phng trỡnh o hm riờng l mt b mụn quan trng ngnh Toỏn. Cng nh cỏc mụn khoa hc khỏc, nú xut hin trờn c s phỏt trin ca khoa hc k thut v nhng yờu cu ca thc tin. Nú úng vai trũ l chic cu ni gia toỏn hc v ng dng. Phng trỡnh o hm riờng c nghiờn cu theo nhiu hng khỏc v gn lin vi tờn tui ca nhiu nh toỏn hc ni ting nh: Euler, Dalambert, Lagrange, Laplace, Riemann . . Cỏc nh toỏn hc ó coi nú l mt cụng c quan trng mụ t cỏc mụ hỡnh Vt lý. Trong chng trỡnh o to thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch tụi ó c gii thiu lý thuyt c bn v phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh, mt s cỏch tip cn phng trỡnh o hm riờng phi tuyn khụng gian hu hn chiu, nhng cha cú iu kin nghiờn cu v cỏc phng trỡnh khụng gian vụ hn chiu. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lnh vc ny, di s hng dn, giỳp tn tỡnh ca TS. Trn Vn Bng, tụi chn ti: S tn ti v tớnh nht nghim ca h gradient khụng gian vụ hn chiu. Lun tỡm hiu v: - H gradient khụng gian hu hn chiu, khụng gian vụ hn chiu. - Khỏi nim nghim suy rng ca h gradient khụng gian vụ hn chiu. S tn ti v tớnh nht nghim ca h gradient khụng gian vụ hn chiu. Chng Kin thc chun b 1.1. H gradient khụng gian hu hn chiu 1.1.1. Gradient Euclidean ca hm trờn Rd Kớ hiu Rd = {u = (ui, .,Ud)\u e M, < < d}. Phn t ca Md c kớ hiu l u hoc (U ) hoc (Wj)i M l khụng gian vect v c kớ hiu l c l ( u ) . Vi u u , ta núi hm s cú o hm theo hng h nu tn ti gii hn Nu h = e* l vect c s chớnh tc thỡ ta goi de =: U v goi l o hm riờng ca s theo U . Rừ rng nu s kh vi thỡ s cú o hm theo mi hng h G Rd ti u v: !^(u) = E'(u)h. nh ngha 1.3 (Gradient Euclidean). Cho u c R d l m, Ê:[/> M l hm kh vi. Gradient Euclidean ca Ê l hm VeucÊ cho tng ng mi im u G u vi mt phn t nht V e u c E(ự) cho S ' ( u ) v = M mt hm kh vi. Khi ú s l kh vi liờn tc nu v ch nu gradient Euclidean V e u c Ê : u > Md l liờn tc. 1.1.2. H gradient Euclidean nh ngha 1.7 (H gradient Euclidean). H gradient Euclidean l h phng trỡnh vi phõn thng cú dng: ự + veucÊ{ự) = 0, ú u c Rd. s l mt hm thc kh vi liờn tc (1.4) ó cho trờnmt m n hm u ca phng trỡnh ny l mt hm giỏ tr, xỏc nh trờn mt khong I c R. Núi chung I cng cha xỏc nh c th. H gradient Euclidean l mt trng hp c bit ca phng trỡnh vi phõn thng + F(t, u) = 0, (1.5) ú F : D Rd l mt hm xỏc nh trờn m D CM1+d F ( t , u ) = Ve u c i u ) vi ( t , ự ) G D = R X u . Khi vit y , h gradient cú dng: (t) + veucÊ(u(t)) = 0. Ta gi hm u : I > IRd l mt nghim ca phng trỡnh vi phõn (1.5) nu u liờn tc, F(-,u(-)) kh tớch a phng v nu lu, r ,UJJ KiiiA Iiun Ua, pnuung va, nt u(t) = U(S)-F (r,u(r))dr, Vs,tel. s Núi riờng, nghim ca h gradient (1.4) l mt hm liờn tc u : I > Rd cho: u(t) = u(s) - I veucÊ(u(r))dr, Vs,t G I. s Nu u l mt nghim ca h gradient (1.4), thỡ o hm theo bin thi gian ca u luụn luụn bng VÊ{u) v ú nú ch lng gim sõu nht (B L5). Vỡ th, mt cỏch t nhiờn ta kỡ vng rng nng lng s luụn gim dc theo nghim bt k ca h gradient. B 1.8. Nu u mt nghim ca h gradient (1.4) v s l kh vi liờn tc thỡ hm hp Ê(u) = s o u l hm gim. Hn na, nu hm hp Ê (u) khụng i thỡ nghim u cng khụng i. Chng minh. Vỡ hm s v nghim u l kh vi liờn tc, nờn hm hp S{ự) cng kh vi liờn tc. Ta ch cn chng minh o hm ca S{ự) khụng dng. Tht vy: J t Ê{u) = Ê'{u)ự = (VecÊ(u),}elC = - (ự,ự)euc < - Chng t S(u) l gim (theo t ), hn na nu S(u) khụng i thỡ {, ) = nờn = 0, vỡ vy u khụng i. nh ngha 1.9. Gi s u c Md l m, F : u > Rd liờn tc. Ta gi s : u > M l mt hm nng lng ca phng trỡnh vi phõn thng + F(u ) = 0, (1.6) gian Hilbert v cỏc khụng gian H dt L(0,T ]V) L1(0,T-, V'y v L (0,T;V) L1(0 ,T;V (do tớnh phn x ca V (v V') v theo nh lý 1.31). Hn na, theo nh lý 1.30 cỏc khụng gian Lx(0,T;V ') v L (0, (2.16) T; V) l tn ti u E W , (0,T; H),v e tỏch c. Vỡ vy, theo nh lý 2.10 v theo gi thit, V c nhỳng compact vo v H, theo B 2.15 L( 0, T ; V), w G C([0, T]; X H ), e L(0, T ; V') v dóy ca (u m) (vn kớ H dt (2.16) hiu l (u m)) cho ^ u w , ( 0, T ; H) : Ur yờu^ V L (0,T;V), (2.31) H dt u um ^ w C([0,T]; H), v Ê'{um) y^ X L(0, T]V'). Chỳng ta coi nú nh mt bi ch rng u W , (0, T', H) n (2.16) L (0,T;V) v u = V = w. Hn na, mi toỏn t tuyn tớnh liờn tc H dt (2.16) gia hai khụng gian Hilbert u ỏnh H dt x cỏc dóy hi t yu thnh cỏc dóy hi t yu. Vỡ toỏn t w 1,2 (0 : T; H) Ơ L (0 : T; H), u I'Lt l, liờn tc v tuyn tớnh, v theo (2.31) ự L { 0, T ; H ), U (2.16) u m (T) u(T) H. S hi t yu v s hi t yu* cỏc khụng gian hm trờn cú ngha l / (v ,u m) v, v>/ (v ,u )y ,y v i m i V G L^ o, T; 1/' ), H dt (2.16) Phn (Ch gii hn u l mt nghim) : Trc ht, ta ó thy wm(0) > m(0) H. Mt khỏc, theo (| 2.25|)Mm (0) = u v u ằ u V (cỏch chn dóy (w)). Vỡ V c nhỳng H dt (2.16) liờn tc vo H nờn ta cú u( 0) = UQ, ngha l, u tha iu kin ban u (2.23). Phn cũn li ta ch rng u cng tha phng trỡnh vi phõn. Ly w V m v L2(0, T). Vi H dt (2.16) mi n > m, chỳng ta nhõn phng trỡnh (2.26) vi ớp(-)w theo tớch vụ hng )p(u ) r i tớch phõn trờn (0, T) ta cú [ { n { t ) , p ( t ) w H dt (2.16) } g ( u n ( t ) ) d t + ( Ê ' { u n { t ) ) , ( p { t ) w ) V ' ỡ V d t J " ' = [ (/(*), dớ. J H dt (2.16) Cho n > oo bt ng thc trc v s dng (2.32), tớnh liờn tc ca g, ta cú [ ( ự n { t ) , < p { t ) w } g i u { t ) ) d t + (x{t),(p{t)w) v , v dt= ( f { t ) , < p { t ) w } g { u [ t ) ) d t J0 J0 Do : w e \JV m , ớfi J0 L2(0,T) l khụng gian sinh bi mt trự mt ca L (0,T-,V ) (nh lý 1.30) nờn vi mi V Ê L (0,T-,V ) ta cú v )g(u) + (x,v)y, ỡ V = [ (f,v) g { u ) J0 J0 J0 T õy ta ch cn ch rng X = S'(u). Tht vy, nhõn phng trỡnh (2.33) (2.26) vi u m theo tớch vụ hng (, ) ( y ly tớch phõn kt qu va nhn c trờn (0,T), ta cú {Ê { u n) u n ) v ' , v ~ [ (f , U n \{u n )~ {^n u n} 5(ớln) J0 J0 J0 Theo (2.22) v tớnh liờn tc ca g ta cú (2.34) [ 0, ta cú: *7 (Ê'{u ) - Ê'(v), u - v)y,y > u)\\u - v\\ H 2.9 Gi s U v u l hai nghim ca (2.23). Khi ú, vi hu ht t [0,T], ta cú: \\ U l {t) - u mi = = (U(t ) w2(ớ), i{t) (t)) H (o hm ca chun bỡnh phng) (Ui(t ) u (t), V VH^{u 2{t)))H (Chun ca h gradient) = (Ui(t) u (t), Ê'(U(t)) Ê/(w2(ớ)))yy/ (nh ngha ca gradient) < w\\u (t) - u {t) II2. p dng B 2.13 vi >(t) = IIU(t) u (t)\\ H ta cú vi hu ht te[ 0,T], ||ui(t) - u (t)\{ < ||Ul(0) - u (0)||^.ewớ = 0, v ú Ui = u . Bt ng thc nng lng Chng minh. (Chng minh nh lý 2.12 - Bt ng thc nng lng) Ta s dng cỏc khỏi nim phn chng minh v s tn ti nghim. c bit (u m) l dóy nghim ca cỏc bi toỏn xp x (2.26) m ta cú c sau trớch mt dóy con, v u l nghim ca h gradient (2.23) m ta cú c nh mt gii hn yu ca dóy (u m ). Theo [ \\ỹ m {s)\\ H ds +Ê(u m (t)) - Ê(u) = Jo = / (f{s),ỹ m {s)) H ds. Jo vửi moi m ta cử dang thỹc nọng ludng t t J \\ỹ m {s)\\ H ds + Ê(u m (t)) = Ê(u) + J (f(s),ỹ m (s)) H ds. 0 Vi lim u = u V vọ S lien tue nen ta cử: TO> OO (2.36 lim Ê{u) = Ê(u ). TO> OO Sii hoi tu yeu ỹ m ỹ L2(0, T; H) suy rang vửi moi t G [0, T], t t lim / (f(s),ỹ m (s)) H ds = m->oo J J (f(s),ỹ(s)) H ds. t vửiAp X L2(0,T; dung Bo deH ) vọ2.J-{v) = J | M | ^ , sii hoi tu o yeu, ta suy vửi moi t G [0,T], F{u) < lim inf T(u m ) m-Ơ oo hay t t /||ỹ(s)||^ds < lim inf / \\ỹ m ( S ) \ \ H ds. mtoo J 0 Sii hoi tu yeu u m u W , (0,T; H) suy vửi moi t G [0,T] ta cử u m (t ) u(t ) H. Mat khọc, vi (u m) bi chan L(0,T; V), nen vửi hau het t G [0,T] ta cử u m (t ) ^ u(t ) V. Theo Bo de chon X = V vọ T = Ê, tỹ dọy suy Vi G [0, T], Ê(u(t)) < lim inf Ê(u m (t)). m>oo 2.1 Ly lim inf (khi m > 00) hai v ca (2.36) ta cú: ớớ / l | w ( s ) | & d s + Ê(ô(*)) < lim inf I \\ự m (s)\\ H ds + lim inf Ê{u m {t)) J m>00 J m>00 00 < J \\(s)\\ H ds + Ê(u(t)) < ^ ( w ) + (f{s),(s))ds. Suy bt ng thc nng lng (2.24). nh lớ 2.12 hon ton c chng minh. Kt lun Lun ó trung nghiờn cu mt cỏch h thng v h gradient khụng gian vụ hn chiu, bao gm khỏi nim v cỏc tớnh cht ca h gradient, gradient ca dng ton phng, khụng gian Sobolev trờn ớ, toỏn t Dirichlet Laplace v toỏn t Dirichlet - p- Laplace. c bit, lun ó trỡnh by c mt s kt qu nh tớnh liờn quan nh s tn ti v tớnh nht nghim ca h gradient i vi nng lng li v i vi nng lng elliptic. [...]... gradient trong khụng gian vụ hn chiu 2.1 H Gradient trong khụng gian vụ hn chiu Trong phn ny, ta nghiờn cu cỏc hm thc xỏc nh trờn khụng gian Banach vụ hn chiu, gradient ca chỳng v h gradient tng ng Nhiu khỏi nim v h gradient trong khụng gian hu hn chiu s li xut hin õy nh: o hm, tớch vụ hng, v metric trờn khụng gian nn, gradient, h gradient, hm nng lng v s tiờu tỏn Tuy nhiờn vic phõn tớch h gradient trong. .. nghim ca cỏc phng trỡnh vi phõn tru tng c tỡm trong khụng gian Bochner - Lebesgue hoc khụng gian Bochner - Sobolev cỏc hm giỏ tr Banach Trong c mc ny, ta ch xột tp con m trong vi o Lebesgue Nhng hu ht cỏc kt qu v tớch phõn Bochner v khụng gian Bochner - Lebesgue vn ỳng cho cỏc khụng gian o tng quỏt 1.2.1 Tớch phõn Bochner nh ngha 1.25 Cho X l mt khụng gian Banach thc vi chun II II, cho ớỡ c Kd l... giỏ tr (1.17) compact tng i trong u Kh ú tn ti u Ê u sao cho F() = 0 1.2 Khụng gian Bochner-Sobolev v Bochner-Lebesgue Mc ny gii thiu ngn gn v tớch phõn Bochner ca cỏc hm giỏ tr Banach v v cỏc khụng gian Bochner - Lebesgue, khụng gian Bochner - Sobolev ú l nhng khỏi nim cn thit nghiờn cu cỏc phng trỡnh vi phõn tru tng trong khụng gian Banach, c bit l h gradient trong khụng gian Banach; nghim ca cỏc... Bochner - Sobolev trờn khụng gian mt chiu nh ngha 1.32 Cho X l khụng gian Banach thc, oo < a < b < oo v p G [1,00] Khụng gian Bochner-Sobolev trờn (a, 6) l khụng gian: w 1 , p (a, 6; X) :={m G {a , 6; X), 3v G L p {a , 6; X) b b sao cho vi mi ( p G Rừ rng, hm V c xỏc nh duy nht nu nú tn ti Ta vit u' := V v ta gi u' l o hm yu ca u Khụng gian w 1 , p {a^ b ] X ) l khụng gian Banach vi chun a a s Anh... nht y ca khụng gian i ngu ca L P (Q; X) vi khụng gian Bochner - Lebesgue Tuy nhiờn cỏc kt qu sau õy l ỳng nh lý 1.31 (xem [3], nh lý 5.6) Ta cú a) Nu 1 < p < oo v X phn x thỡ Lp(ớ; b) Nu 1 < p < oo v X phn x thỡ khụng gian Lp(ri; X) cng phn x c) Nu H l khụng gian Hilbert thỡ khụng gian xy Lp'(ớỡ; X ' ) L 2 {L]H) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng J,9)H> 1.3 f,gsL2(-,H) (/> Khụng gian Bochner -... T "nu tn ti" trong nh ngha trờn l quan trng Nú ỏnh du mt s khỏc bit so vi gradient trong khụng gian hu hn chiu Thc t chỳng ta xột hai khụng gian V v H nờn ta cn phi xỏc nh min xỏc nh D ( v H S ) ca gradient VÊ- Min ny núi chung cha thc s trong u ; khụng phi mi o hm Ê'{ự) u cú biu din bi mt phn t thuc H (vỡ Ê'{ự) V' D H' = H ) Khi V nhỳng liờn tc v trự mt trong H , thỡ H' nhỳng liờn tc trong V'\ hn... {fe(ớl-,X):\\f\\LP=0} = { f Ê ( S l - , X ) : f = 0 h.k.n} thỡ khụng gian thng X ) := { S è - X ) / N p : = { f + N p : f Ê X )} tr thnh mt khụng gian Banach vi chun l l [ / ] I U - = l l / I U > , ( l f ] = f + N p ) Chun ca lp tng ng [/] c xỏc nh tt, ngha l, nú c lp vi biu din / trong lp ú Ta gi khụng gian L p ( X ) l khụng gian Bochner - Lebesgue Nh trong trng hp vụ hng, ta ng nht cỏc hm / e C p ( ớ l ] X... 6; X) ng cu vi mt khụng gian con úng ca L p (a, b; X) X L p (a, ũ; X ) T õy v nh lý 1.30 v 1.31 ta cú c nhng tớnh cht sau ca khụng gian Bochner - Sobolev nh lý 1.33 (Xem [HI, nh lý 5.7) a Nu 1 < p < oo v X tỏch c, thỡ w1,p(a,b-,x ) tỏch c b Nu 1 < p < oo v X phn x thỡ khụng gian w1,p(a, b',X) cng phn x c Nu H l khụng gian Hilbert thỡ khụng gian ử; H) := VK1,2(a, ũ; H) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ... tớnh, i xng, xỏc nh dng bt kỡ trờn Rd Kớ hiu: Ê2(I^d;đ0 l khụng gian tt c cỏc dng song tuyn tớnh a : Md X Md R Khụng gian ny l khụng gian vecto vi phộp cng v phộp nhõn vi vụ hng thụng thng v nú l khụng gian Banach vi chun ||a|| := sup \\a(u, f)|| H . chiều, trong không gian vô hạn chiều. - Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. Chương. tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều . Luận văn tìm hiểu về: - Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, . ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều không có sự trùng lặp với kết quả của