BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ HONG TUYET Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Trần Văn Bằng Lời cảm ơn Hà Nội, 2014 Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS Trần Văn Bằng, những người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Lời cam đoan Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Hà Nội, tháng 1 năm 2014 Tác giả Mục lục 3 3 Mở đầu Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều 6 Hoàng Thị Hồng Tuyết 1.1.1 Gradient Euclidean của hàm trên Md 1.1.2 Hệ gradient Euclidean 9 11 21 1.1.3 Liên hệ đối với hệ phương trình đại số d 1.1.3 Hệ gradient tổng quát trong R 1.2.1 1.2Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue chiều 2 Không Bochner - Sobolev trên không gian một 1.3.1.Không gian gian Bochner - Lebesgue Tích phân Bochner 21 24 27 Chương 2 Sự tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều 31 31 2.1 Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều 2.1.1 31 Khái niệm gradient 2.1.2 Gradient của dạng toàn phương 3 5 Hoàng Thị Hồng Tuyết 2.1.3 2.1.4 2.2 Không gian Sobolev trên ri Toán tử Dirichlet Laplace 2.1.5 Toán tử Dirichlet - p - Laplace Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gradient 2.2.1 37 40 43 43 Hệ gradient không autonom 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng lồi 45 2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng elliptic 58 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng là một bộ môn quan trọng trong ngành Toán Cũng như các môn khoa học khác, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu của thực tiễn Nó đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Euler, Dalambert, Lagrange, Laplace, Riemann Các nhà toán học đã coi nó là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình Vật lý Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích tôi đã được giới thiệu lý thuyết cơ bản về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, một số cách tiếp cận phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không gian hữu hạn chiều, nhưng chưa có điều kiện nghiên cứu về các phương trình trong không gian vô hạn chiều Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều” Luận văn tìm hiểu về: - Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, trong không gian vô hạn chiều - Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều 6 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều 1.1.1 Gradient Euclidean của hàm trên Rd Kí hiệu Rd = {u = (ui, ,Ud)\uị e M, 1 < ỉ < d} Phần tử của Md được kí hiệu là u hoặc (Uị ) hoặc (Wj)i• M là không gian vectơ và được kí hiệu là c l ( u ) Với u € u , ta nói hàm s có đạo hàm theo hướng h € nếu tồn tại giới hạn Nếu h = e* là vectơ cơ sở chính tắc thì ta goi deị =: ƠUị và goi là đạo hàm riêng của s theo U ị Rõ ràng nếu s khả vi thì s có đạo hàm theo mọi hướng h G Rd tại u và: 8 !^(u) = E'(u)h Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean) Cho u c R d là tập mở, £:[/—>■ M là hàm khả vi Gradient Euclidean của £ là hàm Veuc£ cho tương ứng mỗi điểm u G u với một phần tử duy nhất V e u c E(ù) € sao cho S'(u)v = M ỉà một hàm khả vi Khi đó s là khả vi liên tục nếu và chỉ nếu gradient Euclidean V e u c £ : u —> Md l à liên tục 1.1.2 Hệ gradient Euclidean Định nghĩa 1.7 (Hệ gradient Euclidean) Hệ gradient Euclidean là 9 hệ phương trình vi phân thường có dạng: ù + v e u c £{ù) = 0, trong đó s là một hàm thực khả vi liên tục (1.4) đã cho trênmột tập mở d u cR Ân hàm u của phương trình này là một hàm giá trị, xác định trên một khoảng I c R Nói chung I cũng chưa xác định cụ thể Hệ gradient Euclidean là một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân thường ủ + F(t, u) = 0, trong đó F : D Rd là một hàm xác định trên F(t,u) = Ve u c i u ) với (1.5) tập mở D CM1+d khi (t, ù) G D = R X u Khi viết đầy đủ, hệ gradient có dạng: ủ(t) + v e u c £(u(t)) = 0 Ta gọi hàm u : I —> IRd là một nghiệm của phương trình vi phân (1.5) nếu u liên tục, F(-,u(-)) khả tích địa phương và nếu 1 lựu, r Ự,UỰJJ KiiiA Iiun UỊa, pnuung va, nt í u(t) = U ( S )-Ị F (r,u(r))dr, Vs,tel s Nói riêng, nghiệm của hệ gradient (1.4) là một hàm liên tục u : I —> Rd sao cho: í u(t) = u(s) - I v e u c £(u(r))dr, Vs,t G I s Nếu u là một nghiệm của hệ gradient (1.4), thì đạo hàm theo biến thời gian của u luôn luôn bằng — V£{u) và do đó nó chỉ lượng giảm sâu nhất (Bổ đề L5) Vì thế, một cách tự nhiên ta kì vọng rằng năng lượng s luôn giảm dọc theo nghiệm bất kỳ của hệ gradient Bổ đề 1.8 Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.4) và s là khả vi 1 0 liên tục thì hàm hợp £(u) = s o u là hàm giảm Hơn nữa, nếu hàm hợp £(u) không đổi thì nghiệm u cũng không đổi Chứng minh Vì hàm s và nghiệm u là khả vi liên tục, nên hàm hợp S{ù) cũng khả vi liên tục Ta chỉ cần chứng minh đạo hàm của S{ù) không dương Thật vậy: J t £{u) = £'{u)ù = (Ve„c£(u),ủ}elịC = - (ù,ù)euc < °- Chứng tỏ S(u) là giảm (theo t ), hơn nữa nếu S(u) không đổi thì {ủ, ủ) = 0 nên ủ = 0, vì vậy u không đổi □ Định nghĩa 1.9 Giả sử u c Md là tập mở, F : u —>• Rd liên tục Ta gọi s : u —> M là một hàm năng lượng của phương trình vi phân thường ủ + F(u ) = 0, (1.6) nếu với mỗi nghiệm u của phương trình đó, hàm hợp £(u) = £ o u giảm (theo t ) Theo Bổ đề 1.8, £ là hàm năng lượng của hệ grtadient (1.4) Hàm năng lượng cũng được gọi là hàm Lyapunov và trong một số tài liệu về tối ưu nó còn có tên là hàm chi phí (cost function) Các phương trình vi phân có hàm năng lượng được gọi là hệ tiêu tán Bổ đề 1.10 Mọi điểm giới hạn của một nghiệm toàn cục của hệ gradient Euclidean (1.4) đều là một điểm căn bằng của s Nói cách khác, nếu u : R+ —»• Rd là một nghiệm, và nếu ip = n—>oo lim u(t n) với một dãy số (t n /* 00) và nếu ip G u, thì V e u c S(tp) = 0 Chứng minh Theo Bổ đề 1.8, hàm hợp £{u ) giảm Do lim £{u{t n )) = _ n—¥00 S(tp) nên £{ù) bị chặn dưới Tích phân của đẳng thức —S{ù) = — Ị|w|Ị2 ~b 00 £+1 ta có f ||m||2 hữu hạn Từ đó suy ra lim f ||ủ||2 = 0 Do vậy, 0 *->0° t là không gian Banach với chuẩn ✓ s Anh xạ tuyến tính T : w h p {a , b; X) -> L p {a, 6; X) X ư {a , 6; X), u (u, ĩ/) cho thấy w1,p(a, 6; X) đẳng cấu với một không gian con đóng của L p (a, b; X) X L p (a, ò; X ) Từ đây và Định lý 1.30 và 1.31 ta có được những tính chất sau của không gian Bochner - Sobolev Định lý 1.33 (Xem [HI, Định lý 5.7) a Nếu 1 < p < oo và X tách được, thì w 1 , p (a,b-,x) tách được b Nếu 1 < p < oo và X phản xạ thì không gian w 1 , p (a, b',X) cũng phản xạ c Nếu H là không gian Hilbert thì không gian ö; H) := VK1,2(a, ò; H) là không gian Hilbert với tích vô hướng: b b (u’v)HHa,b-H)'-= J (U’V)H + a u ,v £ H l(a , b ; H) a Bổ đề 1.34 (Xem PJ, Bổ đề 5.8) Cho u e w 1 , p (a, ò; X) sao cho u' = 0 Khi đó u là hằng số hầu khắp nơi Bổ đề 1.35 (Xem [3J, Bố đề 5.9) Cho (a, b) là một khoảng bị chặn, t tũ e [a, b ] , g e L p ( a , b ; X ) v à đ ặ t u ( t ) := f g ( s ) d s , t e [a,b] Khi đó u Gw 1,p to (a : ò; X) và u' = g Định lý 1.36 (Xem [3], Định lý 5.10) Cho (a,b) là một khoảng bị chặn và u £ w 1 , p (a, ò; X) Khỉ đó tồn tại một hàm liên tục ũ : [a,b] X bằng với u hầu khắp nơi và với Vs, t G [a, b], (t) — ủ(s) = Ị u t u'(r)dr s Định lý 1.37 (Định lý nhúng Sobolev, xem [3J, Định lý 5.11) Cho (a, b ) là một khoảng bị chặn Khi đó w 1 , p (a,b',x) chứa trong C ( [ a , b ] ] X ) và tồn tại hằng số c > 0 sao cho I M U » < c\\u\\ w i„, Vu G w 1 , p (a : b ] X ) Định lý 1.38 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [3J, Định lý 5.12) Cho (a, b ) là một khoảng bị chặn, cố định 1 < p < oo và giả sử u e w 1, p (a , b; X ) , V e w 1, p (a , b) Ta c ó a (Dạo hàm của tích) Tích uv thuộc w 1 , p (a,b-, X) và (■uvỴ = u'v + uv' b (Tích phân từng phần) b b u'v = u(b)v(b a Ị ) — u(a)v(a) — J uv' a Với mỗi l < p < o o v à V A ; > 2 , t a định nghĩa quy nạp không gian Bochner Sobolev cấp k w k , p (a , 6; X ) := {u G w h p (a , 6; X) : u ' G 6; X)} Không gian này là không gian Banach với các chuẩn / k y u 11Ti11*,p := ị || ^^Hlp ị nếu 1 < p < oo và Vj=0 / ||M||WI, := sup |ỊỊw||L, I I Ĩ / Ị Ị L S C , ||w(fc)||L• K Phép tương ứng đó xác định một toán tử từ H' —>■ V' là tuyến tính, liên tục và đơn ánh do V trù mật trong H Tuy nhiên nói chung phép nhúng H' —> V' không toàn ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u' G V' đều thác triển được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H Do đó, có thể tồn tại £'{ù) ẽ V' nhưng không thác triển liên tục được lên H Nếu u' G V' có thể thác triển liên tục lên tức là u' G H' thì nó có thể biểu diễn bởi một phần phần tử u G H Theo định lý biểu diễn Riesz (xem PJ, Định lý 2.23 ), phần tử u £ u thuộc miền D ị y H £ ) khi và chỉ khi £'{ù) có thể thác triển liên tục lên H Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa gradient đối với một metric Kí hiệu C 2 {H; R) là không gian tất cả các dạng song tuyến tính bị chặn: a : H tức là: Vw, V, w €E H và VA G M ta có a(Xu + v,w) = Aa(u, w ) + a(v, w),vầ a(u, XV + w) = Xa(u, V ) + a(u, w), và 3C > 0 : \a(u, í;)| < Cllwlltf X H —¥ R, V U , V e H là không gian tuyến tính với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường Hơn nữa, nó là không gian Banach với chuẩn ||a|| := sup ||a(w,v)\\ IMI H00 Với mọi u G u tích vô hướng g(u ) và chuẩn tương ứng cũng được kí hiệu bởi (■, ■)*(„) và ỊỊ • ||s(íl) Định nghĩa 2: Cho hàm khả vi £ : u —¥ R và cho một metric g : ta định nghĩa gradient Vg£ đối với g bởi D (V5£) := e u : 3v G H sao cho £'{u)íp = (v, ^)s(u), Vy? G V I và ) := V Tức là Vg£ (u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo hàm £'{ù) đối với tích vô hướng (•, -) g ( u ) : £ ' ( u ) i p = { V g E { u ) , < p ) g[u) , G V (2.2) Nếu với mỗi u £ u, tích vô hướng (■, -}g^ tương đương với tích vô hướng (•, -} H thì phần tử u G D{y g S) khi và chỉ khi đạo hàm £'{ù) có thác triển liên tục lên H 2.1.2 Gradient của dạng toàn phương Định nghĩa 2.1 Hàm £ : V —»■ M là một dạng toàn phương nếu tồn tại một dạng song tuyến tính, đối xứng a : V X V —> M sao cho: 1 £{u) = ịa(u,u), trong đó a là đối xứng nếu a(u,v ) = a(v,u), Vu,v G V Mệnh đề 2.2 Dạng toàn phương £ : V —> M liên tục khi và chỉ khi dạng song tuyến tính a liên kết với nó liên tục Chứng minh Rõ ràng, nếu a liên tục thì s liên tục Ngược lại, giả sử hàm u ì-» —aiu.u) liên tuc Khi đó: 2 a(u, V ) = —(a(u + V, u + v) — a(u — V, u — v)) nên a(u,v) cũng liên tục □ Từ định nghĩa ta dễ dàng kiểm tra được Mệnh đề 2.3 Nếu s : V — > M là dạng toàn phương liên tục tương ứng với dạng song tuyến tính a : V X V —»■ M thì £ khả vi liên tục và s'{ù)v = a(u,v), Vu,v G V Cho dạng toàn phương £ : V —> M gắn với dạng song tuyến tính a : V X V — >■ M, H là không gian Hilbert với tích vô hướng (•, -) H , sao cho V nhúng liên tục và trù mật trong H Khi đó, ta có thể tính gradient của s đối với tích vô hướng trong bằng cách sử dụng định nghĩa của gradient và Mệnh đề 2^3 ta có Dịy H £) = ịu € V : 3v G H thỏa mãn a(u,v ) = (v,ip) H , \/ip € v} và Vỵ£{ù) = V Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương s đối với tích vô hướng (•5 -)h là một toán tử tuyến tính trên H Miền xác định D{y H S) là một không gian tuyến tính con của H và ánh xạií !->■ Vjị£(u) là tuyến tính Tuy nhiên, gradient của một dạng toàn phương đối với một metric nói chung là không tuyến tính 2.1.3 Không gian Sobolev trên ri Cho c là một tập mở với biên ỡíỉ Với mỗihàm liên tục ip : ri —V M ta định nghĩa giá của ífi là tập: supp 2 ta định nghĩa không gian Sobolev: k p 1,p w ’ (n) := {u G w (fi) với mọi ỉ = 1,d ta có e du ơXi là không gian Banach với chuẩn 1 nếu 1 < p < 00, du du \\u\\ w k ,~ := sup{||u||Loo, 11^—11^-1,\\ị—\\w k -1,«}, nếu p — oo ỜX\ OX& Không gian H k (Q) := W k , 2 (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng 2.1.4 Toán tử Dirichlet — Laplace Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử Laplace Cho íỉ C Md là tập mở và xét không gian Banach V = H Q ( Í Ì ), hàm £ : H Q ( Í Ì ) —»• R cho Hàm này là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính (u,v) — Ị VuVv, a u,v £ H Q ( ÍÌ ) ũ Xét không gian Hilbert H = L 2 (íì), với tích vô hướng thông thường Khi đó V được nhúng liên tục và trù mật trong H Gradient của £ ứng với tích vô hướng thông thường trên L 2 là D ị y L 2S ) = { u €E H q ( í ì ) : 3 v ẽ L 2 ( ri) sao cho Vy? € Hị(n) ta có I VuVv = J n V^2 £ ( U ) = V Ta viết := — Vi2£ và gọi là toán tử Dirichlet - Laplace trên L 2 (Q) Sở dĩ ta gọi như vậy là vì: Thứ nhất, toán tử Laplace là toán tử vi phân Thứ hai, nếu u G H 2 (íì), thì các đạo hàm riêng yếu ỡu Ỡ^U ™ và thuộc L 2 (Q) Nói riêng, Au e L 2 ( ri), nếu ta hiểu Am là tổng các đạo d2u hàm riêng yếu cấp hai Theo đinh nghĩa đao hàm yếu (hoăc theo dxị 1 2 định nghĩa của H và H ), với mỗi (p e cl( ri), r ), với mỗi ip € c]{ ri), /d / r\ r\ /1 OU ơ(p ^ / ơu ơ(p n dxị 1 dxị Í_ Ỉ_1 ũ d rv rv ũ J tồn tại ƠXị ơXị ơXj dxi dxi Do c]{ fỉ) trù mật trong H Q (Q), nên đẳng thức trên đúng với mọi ip G Hì(íì) Từ đây và định nghĩa của toán tử ta có, mỗi u € H 2 (ũ) n H Q (Q) đều thuộc miền D(n A) và Q A u = Au Thứ ba, vì D(n A) c Hị(ỉl) nên mỗi hàm thuộc miền xác định của toán tử Dirichlet - Laplace đều thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet: u lan = 0 theo nghĩa vết Toán tử Dirichlet - Laplace có vai trò quan trọng khi ta nghiên cứu bài toán { biên —Am = / trong ri u = 0 trên díì, 2 với hàm / G L (ũ) Ta gọi hàm u G Hq(Ũ) là một nghiệm yếu của bài toán này nếu với mỗi ip e Hq(íì), Ị vuvip = Ị f(fi ũ ũ Hơn nữa, ta gọi một hàm u € c 2 (fì) là một nghiệm cổ điển nếu nó thỏa mãn phương trình — Au = / trong íĩ và điều kiện biên u = 0 trên ôfĩ tại mọi điểm Theo định lí Gauss, mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm yếu Hơn nữa, ta chứng minh được rằng u là nghiệm yếu khi và chỉ khi = / Nhận xét 2.4 Nói chung, ta không thể chứng minh rằng D(n A) = H 2 (íì) n ÌÍq(íỉ), mà chỉ chứng minh được ổ2(íì)nííi(íì)cũ(ỈA) như trên mà thôi Kể cả khi d = 2, ta cũng không thể suy ra được từ °Au e L2(íì) ỡ^u rằng mọi đạo hàm yếu ^ tồn tại và thuộc L 2 (Q) chứ không nói gì tới ỠXị d2u các đao hàm riêng hỗn hơp yếu ——^— Ta chỉ có hai nhân xét sau: ƠXị ơXj 1) Nếu íỉ7 c thì hạn chế của u e D(n A) trên ri' thuộc H 2 {Q!) (tính chính quy trong miền) 2) Nếu thuộc lớp c 2 (thêm giả thiết về tính chính quy của biên) thì ta có D( Q A) = H 2 (íì) n (tính chính quy toàn cục), chẳng hạn dấu đẳng thức xảy ra khi íì là hình cầu 2.1.5 Toán tử Dirichlet - p - Laplace Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của một hàm khả vi, không toàn phương liên kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử p— Laplace Cho ri C Md là tập mở, p > 1 Xét không gian Banach V = £ : Wv’ p {n) M xác định bởi Ị s(lí) = - |Vw|p, u G Wq’ p {SÌ) p Hàm này không phải là dạng toàn phương (trừ khi p = 2), nhưng ta vẫn có thể chứng minh được rằng nó khả vi liên tục và tính đạo hàm của nó Định lý 2.5 Hàm £ khả vi liên tục và du du Do đó hàm hàm T : L p (íl, Md) M cho bởi T{u) = f F(x , u{x))dx khả F thỏa mãn n các điều kiện của Định lý |2.6| dưới đây Theo Định lý 2.6 vi liên tục và J 7 '{ù)v= ị \u\ p 2 UV, Vm,V G Ư{Q,\ Md) Ta có kết luận của Định lý 2J) với hàm s là hợp của T và ánh xạ tuyến tính liên tục L : Wg (ÍỈ) —»• L p (íì, R d ),u !->■ Vu Tức là £ = T o L Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục đều khả vi liên tục, nên s cũng là khả vi liên tục Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có (2.3) Do T và T' ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn (Định lý 2.6) và c bị chặn, nên s và S' cũng ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn □ Tiếp theo, ta xét không gian Banach V = W01,p(íĩ) n L 2 (Q) với chuẩn và không gian Hilbert H = L 2 (Q) với chuẩn thông thường Khi đó V được nhúng liên tục và trù mật trong L2(íỉ) và trong W01,p(íĩ) Theo Định lý |2.5[ hạn chế của £ lên V là hàm khả vi liên tục, £ và S' ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn và £'{u)v = J\Vu\ p - 2 VuVv, V«,vễ7 ỉí Gradient của £ đối với tích vô hướng thông thường trên L 2 là toán tử D(S7 L 2S) = {u € V : 3v G L 2 (n) sao cho Vy? G V V L 2 £{ù) = V ta có : I |Vm|p 2VwV