BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TĂNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin đình, bạn bè động viên, cổ trình học tập đượcgửi lời cảm ơn chân thành tới gia vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 20lị Tác giả Nguyễn Thị Tăng Lời cam đoan Luận văn kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS. Trần Văn Bằng giúp đỡ thầy, cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội thầy, cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi. Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết đề tài “Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều”, trùng lặp với kết đề tài khác. Hà Nội, tháng năm 201Ậ Tác giả Nguyễn Thị Tăng Mục lục Mở đ ầ u . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Bochner-Sobolev Bochner-Lebesgue 1.1.1. Tích phân Bochner 1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue 1. Không gian Bochner-Sobolev không gian chiều 2. Hệ Gradient không gian vô hạn chiều 1.3 Khái niệm gradient 1.3.1. Gradient dạng toàn phương 1.3.2. . 17 Không gian Sobolev Í2 1.3.3. Toán tử Dirichlet-Laplace 1.3.4. Toán tử Dirichlet-p-Laplace 21 1.3.5. 22 25 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient 41 2. 1. Tập cư-giới hạn hàm liên tục M 42 + 2.2. Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục hệ gradient 2.3. Sự không ốn định cho nghiệm toàn cục hệ gradient 2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon ổn định nghiệm toàn 41 P.11P. Pirn era.difvnt 49 2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon không gian Hilbert 53 Kfit luân 62 • Tài lipii tham khản • 63 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng coi cầu nối toán học ứng dụng toán học lý thuyết. Đã có nhiều phương trình đạo hàm riêng mô hình toán học toán thực tế. Việc nghiên cứu tính chất (định tính, định lượng) nghiệm phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa quan trọng việc quay trở lại áp dụng vào toán thực tế. Đối với phương trình đạo hàm riêng, việc xét tính đặt toán (sự tồn nghiệm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục), cần phải nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm biến thời gian T —¥ oo. Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái mô hình thực tế, nghiên cứu dáng điệu nghiệm ta biết thay đổi mô hình thời gian T —> 00. Trong thực tế, lượng (như nhiệt) mà phục hồi nguyên nhân gây nên tiêu tán. Có vẻ đặc tính tiêu tán tính chất chung hầu hết hệ. Một hệ tiêu tán điển hình hệ gradient. Trong hệ có dạng Ủ + V£(m) = , í G / c M U : I —> R D S : Md —> M hàm lượng. Dễ thấy, £ hàm giảm theo nghiệm trơn hệ. Thật vậy, U nghiệm trơn hệ ta có = (V£(u(í)),ủ(í)) = - ( Ù ( T ), Ủ ( T )) < 0. nên £ giảm theo nghiệm, trừ nghiệm không đổi. Nhờ cấu trúc gradient mà nghiên cứu nhiều tính chất định tính nghiệm, mở rộng nghiên cứu hệ không gian vô hạn chiều. Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng bảo tận tình TS. Trần Văn Bằng, mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều”. Luận văn cấu trúc thành 02 chương. Chương 01 dành để đưa số kiến thức không gian Bochner hệ gradient không gian vô hạn chiều. Trong chương 02 luận văn, trình bày cách có hệ thống dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm suy rộng hệ gradient không gian vô hạn chiều, đặc biệt dáng điệu tiệm cận nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu hệ gradient không gian hữu hạn chiều. Tìm hiểu hệ gradient không gian vô hạn chiều. Tìm hiểu khái niệm nghiệm suy rộng hệ gradient không gian vô hạn chiều, tính chất định tính nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: hệ gradient không gian vô hạn chiều. Phạm vi nghiên cứu: dáng điệu tiệm cận nghiệm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu. Sử dụng số công cụ giải tích hàm như: không gian hàm, lý thuyết toán tử. 6. Đóng góp luận văn Trình bày kiến thức hệ gradient cách hệ thống, bao gồm khái niệm hệ gradient, khái niệm nghiệm suy rộng, số tính chất định tính nghiệm, đặc biệt dáng điệu tiệm cận nghiệm. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Bochner-Sobolev Bochner-Lebesgue Mục giới thiệu ngắn gọn tích phân Bochner hàm giá trị Banach không gian Bochner-Lebesgue, không gian Bochner- Sobolev. Đó khái niệm cần thiết để nghiên cứu phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach, đặc biệt hệ gradient không gian Banach; nghiệm phương trình vi phân trừu tượng tìm không gian Bochner-Lebesgue không gian Bochner-Sobolev hàm giá trị Banach. Trong mục này, ta xét tập mở R d với độ đo Lebesgue. Nhưng hầu hết kết tích phân Bochner không gian Bochner- Lebesgue cho không gian đo tổng quát. 1.1.1. Tích phân Bochner Cho X không gian Banach thực với chuẩn II ■ II, cho c M d tập mở kí hiệu A (7-đại số Lebesgue tập íĩ, nghĩa là, cr-đại số nhỏ chứa cr-đại số Borel (là Ơ đại số sinh tập mở) tất tập có độ đo Lebesgue không. Độ đo Lebesgue kí hiệu Ị I . Hàm / : Q —¥ X gọi hàm bậc thang, tồn dãy (A N ) c A tập đo Lebesgue đôi rời dãy ( X N ) c X cho / = Y LN XN, 1A hàm đặc trưng tập A. Hàm / : ri —► X đo tồn dãy (/ n) hàm bậc thang F N : íĩ —>• X cho FN —> F hầu khắp nơi. Lưu ý trường hợp X = M, định nghĩa tương đương với cách định nghĩa "nghịch ảnh tập đo đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ Đ Ề SAU ĐÂY: Bổđề 1.1 (Xem[IJ,Bổđề5.1). Cho X,Y ỉà hai không gian Banach thực: a) Mọi hàm liên tục f :ÍỈ—>• X hàm đo được. b) Nếu f : íỉ —»■ X đo 11/11 : ri —»■ R đo được. c) Nếu f :íỉ —> X đo g : X —>• Y liên tục hàm hợp g o f :fì Y đo được. d) Nếu f : Q ^ X g : Q —> M đo tích f g : Q ^ X đo được. e) Nếu f : íỉ X g : ri —¥ X' đo tích (g , f ) x , x : íỉ M đ o được. f) Nếu (f n) dãy hàm đo từ X cho /n —> / hầu khắp nơi f đo được. Địnhlý1.1 (Pettis, xem[IJ,Địnhlý5.2). Hàm f : ri —> X đo (x ',/) đo với x' e X' (khi ta nói f đo đ ợ c y ế u ) tồn tập có độ đo Lebesgue không N & A cho /(íỉ\ N) tách được. Ta nói hàm F : N —¥ X ÌẦ khả tích / đo /11/11 < 00, nghĩa là, / đo hàm dương 11/11 : íỉ —> R n khả tích theo nghĩa Lebesgue thông thường. Với hàm bậc thang khả tích / :—> X, F — Ỵ2 N 1-4 X N I ta định nghĩa tích phân (Bochner) / J f dịi := y^fi(A n )x n . n ÍI Chuỗi Ỵ2 AL (A N ) X N hội tụ tuyệt đối có tổng độc lập với dạng biểu diễn ĩl /. Vì vậy, tích phân Bochner hàm bậc thang khả tích xác định tốt; tích phân Ị F DỊ I phần tử X. n Với hàm khả tích F : N X bất kỳ, ta định nghĩa tích phân (Bochner) / ũ ũ (F N ) dãy hàm bậc thang từ Q —>■ X cho Ị|/nỊ| < 11/11 F N -» / hầu khắp nơi. Chú ý dãy (F n) tồn tại; hàm bước nhảy /n khả tích, giới hạn tích phân F FNDFI tồn độc lập với cách chọn dãy (/n). Tích phân Bochner khái quát tự nhiên tích phân Lebesgue hàm giá trị vô hướng. Tích phân Bochner có nhiều đặc tính giống với tích phân Lebesgue. Ví dụ, ta có bất đẳng thức Ị ỉ dụ. < J 11/11 dụ. n số định lý quan trọng sau: cặp (r, 9) nghiệm hệ gradient (trong hệ tọa độ cực). Tuy nhiên, với nghiệm ta có: lim R(T) = lim t-¥ 00 Í-» 00 9{ T ) — 00. Do đó, hàm U : M+ —> M xác định bởi: U(T) = (r(í)cosớ(t), r(t) sin 0{ T )), ( T £ M+) nghiệm toàn cục hệ gradient Euclidean liên kết với £ nhận toàn đường tròn đơn vị làm tập 6ư-giới hạn. Vì vậy, nói chung, nghiệm toàn cục bị chặn hệ gradient không thiết hội tụ. Định lý 2.2 (Lojasiewicz, xem [3], Định lý 12.1). Cho S ', u —»■ M hàm giải tích xác định tập mở u CRd , íp £ u ỉà điểm cân s. Khi tồn số € cho với u E u với \\u —í^ll< ta có: |£(u) -£(¥>)! < c||f'(ii)||(R4) (0,-], >0 z c >0 (2.5) Bất đẳng thức (2.5) viết dạng ||((fW-fM)#)'||(R.y > ^ > , thường gọi bất đẳng thức Lojasiewicz xác bất đẳng thức gradient Lojasiewicz. Định lý ^2 biểu thị dáng điệu quy hàm giải tích nhiều biến gần điểm cân mà C^-hàm nói chung không có. 2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon ổn định nghiệm toàn cục hệ gradient Cho V không gian Banach, cho H không gian Hilbert cho V trù mật nhúng liên tục vào H. Cho c mở, £ : —> M hàm khả vi liên u tục. Cho G : u V u —»■ Inner(H) metric U . Chúng ta giả sử tồn số C ị , c2 > cho, với V ẽ H U e U , CllMI« < ||v||j(.) < C2\\ V \\ H Định lý 2.3 (Xem [5], Định lý 12.2). C HO U (2.6) G wJ’c(M+; H) n Ơ(M+; V) nghiệm hệ gradient (2.7) ii + Vg£{u) = 0. Giả sử u có miền ảnh compact tương đối u, với t GM+ ta có đẳng thức ỉượng ủ s ( )lls(«W) D S + £ ( U ( T )) = £(«(°))- Giả sử thêm rằng, tồn 0 z với V G Ư với ||t>— 0 cho (2.9) Khỉ đó, lim||m(í)—í^lly=0. Hơn nữa, t —> oo, Trong phần tiếp theo, bất đẳng thức (2.9) gọi bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon. Chú ý đẳng thức lượng (2.8) suy hàm hợp £( U ) e Wỉ1ỏc(K+)- Trong phần tiếp theo, đạo hàm hàm hợp hiểu đạo hàm yếu. Từ (2.7), đẳng thức lượng có thể viết dạng t ì Vg£ {u{s))\\ g i u { s ) ) ds + £{u{t)) = £(m(0))hoặc t C H ỨN G ì I Vi, £ ( « 00)11 MINH. s(w(s )) ủ s ( )ll9(U(S))ds + £(w(*)) = £(w(°))- Từ đẳng thức lượng (2.8), hàm £ không giảm dọc theo U , £( U ) hàm U hàm hằng. Theo giả thiết Í P G TẠI DÃY KHÔNG BỊ CHẶN UJ(U) NÊN TỒN (TN) C M+ SAO CHO LIM U(TN) = V5n—>00 Vì £ liên tục nên lim £( U ( T n)) = S ỤP ). Do không tăng dọc theo U , nên £(u(t)) > £{ip) vàlim £{u{t ))= £{ip). í->00 Nếu £( U ( T O )) = £( £( U ( T )) = với T > TO theo đẳng thức lượng (2.8), Ù ( T ) = với hợp này, hàm U hàm với T > TO, T > TO- Trong trường khẳng định hội tụ đánh giá độ giảm hiển nhiên đúng. Vì vậy, giả sử > £{< P ) với T > 0. Với T > 0, đặt H(t) := (£(u(t)) - £(ụ>)) d . Khi % không tăng, 'H{ T ) > với T > lim H( T ) = 0. Lấy TO > cho ||w(to) — ^lly < Ơ định nghĩa ti :=inf {t > to :||u(í)- TO - Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, đẳng thức lượng (2.8), U nghiệm (2.7) giả thiết (2.6) ta nhận với hầu khắp T € -ịnự) = e(£(u(t)) - SMY-^-ịenm = 0(£(u(*)) - £ ( < p ) ) 11 Vp£(w(í)) I \ g { u { t ) ) I\ù(t) \\ g { u { t ) ) > Q C l {£{u{t)) - s^)) - ^ g£(u(t))\\ g { u ụ))\\ủ(t)\\ H . Lại sử dụng giả thiết (2.6), với T e M+, ta thu ước lượng — sup \ VgC{U{Z)) : V) g ^ u ạ^ IMU(t)) 2V3 1-0 cv ,2 C cỉc 92 Bây giờ, ta lấy tích phân hai3 vế bất đẳng thức kết -ịmtmr -ịilogUit)), = I ^ - 29e d t > C c\c\ e (0; |) khoảng ( T O , T ), ta có đánh giá nêu U = H{t) = < 1, Q Ị Ị - E / 1- 20^ D ẽ (0; —). Ái Kết hợp đánh giá với (2.13), ta có ước lượng độ giảm ||w — G U số c > 0. Do đẳng thức khai triển Taylor thứ hai cho ta \\£'{u)\\v, > ^\\u - ip\\v lân cận ÍP . Kết hợp hai bất đẳng thức ta có \E{u)-£{ip)\ì V' đối xứng, nghĩa là, với v,w e V ta có { £ ( w )^5 w ) v ' V (^0^5 v } v ' V ■ = Theo định lý Schwarz, với U , V e V, (P'£”( VÍ и = щ + Щ !-»■ ự — p')£'{ù). Vì £' khả vi liên tục nên hàm G khả vi liên tục. Hơn nữa, G(< P ) G( IF + TP I ) = G'( TP ) = (I — P')£"{ Ỳ ) = £"{ Ỳ ) (xem (2.15) cho đẳng thức cuối). Theo Bổ đề 2.4 , đạo hàm riêng kl СJ lh\ đẳng cấu (khả nghịch liên tục). Do đó, theo Định lý hàm ẩn 1.17 : ^1 tồn lân cận Uo Ç. Vo , lân cận Ui Ç Vi c > cho với u G u n s, với |Ịw— tpịịv < ta có: \£( U )-£( V )\^ [...]... X > 0 sao cho H Gradient trong khụng gian vụ hn chiu Trong mc ny, ta nghiờn cu cỏc hm thc xỏc nh trờn khụng gian Banach vụ hn chiu, gradient ca chỳng v h gradient tng ng Nhiu khỏi nim v h gradient trong khụng gian hu hn chiu s li xut hin õy nh: o hm, tớch vụ hng, v mờtric trờn khụng gian nn, gradient, h gradient, hm nng lng v s tiờu tỏn Tuy nhiờn vic phõn tớch h gradient trong khụng gian vụ hn chiu... l, V H Ê{ ) l phn t duy nht trong H (nu tn ti) biu din o hm Ê'{ ) theo tớch vụ hng trong H Ê'(u)ip = V H Ê{u),(p) H , V^ey (1.1) T "nu nú tn ti" trong nh ngha trờn l quan trng Nú ỏnh du mt s khỏc bit so vi gradient trong khụng gian hu hn chiu Thc t chỳng ta xột hai khụng gian V v H nờn ta cn phi xỏc nh min xỏc nh D(VtfÊ) ca gradient V Ê- Min ny núi chung cha thc s TRONG T/; KHễNG PHI MI O HM DIN... nghim ca h gradient 1.4.1 H gradient khụng ụtụnụm Cho V l mt khụng gian Banach, ỗ V l mt tp m, s : > l mt hm kh vi Gi thit V c nhỳng liờn tc trong khụng gian Hilbert H Khi ú, h gradient khụng ụtụnụm L I ấ N kt vi Ê l phng trỡnh vi phõn cú dng + VHS(u) = f, (1.5) trong ú, / e L 2 L O C (I\H),I c 1 l mt khong (ch s di "loc" cú ngha / l bỡnh phng kh tớch trờn mi khong con compac ca I) Ta gi h gradient. .. nht y ca khụng gian i ngu ca L P (Q,]X ) vi khụng gian Bochner- Lebesgue Tuy nhiờn cỏc kt qu sau õy l ỳng nh lý 1.4 (xem [IJ, nh lý 5.6) T A Cể a) Nu 1 < p < oo v X phn x thỡ L P (Q; X)' = L p '( ri;X') b) Nu 1< p < oo v X phn x thỡ khụng gian Lp(f; X ) cng phn x c) Nu H l khụng gian Hilbert thỡ khụng gian L 2 (Q]H) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng / n f , g Ê L 2( ; H ) 1.2 Khụng gian Bochner-Sobolev... vi mt khụng gian con úng ca Lp(a, 6; X) X L P ( A , B ;X) T õy v nh lý 1.3 v 1.4 ta cú c nhng tớnh cht sau ca khụng gian Bochner-Sobolev nh lý 1.5 (Xem [3J, nh lý 5.7) a) Nu 1 < p < 00 v X tỏch c, thỡ w 1 , p ( a , b - , X) tỏch c b) Nu 1 < p < phn x 00 v X phn x thỡ khụng gian w 1,p (a, b',X) cng c) Nu H l khụng gian Hilbert thỡ khụng gian H 1 (a, 6; H ) := w 1 , 2 { a 6; H ) l khụng gian Hilbert... M gn vi dng song tuyn tớnh A : V X V M, H l khụng gian Hilbert vi tớch vụ HNG (, -) H , sao cho V nhỳng liờn tc v trự mt trong H Khi ú, ta cú th tớnh gradient ca Ê i vi tớch Vễ hng trong H , bng cỏch S dng nh N G H A C A gradient v Mnh L2 ta cú -D(VH Ê) U G V : 3 V G H tha món A ( U , P ) = ( V , IP } H , Vớ^ Ê v v VH Ê{ U ) = V- iu ny cho thy, gradient ca dng ton phng s i vi tớch vụ hng (-,-}... Bochner-Sobolev trờn khụng gian mt chiu Cho X l khụng gian Banach thc, OO < A < B < OOV P Ê [1,00] Khụng gian Bochner-Sobolev T R ấ N ( A , B) L KHễNG GIAN: w 1 , p (a, 6; X) ={u E L p (a, 6; X) : tn ti V E L p (a, 6; X) sao cho vi mi ip Ê c b (a, 66 ) ta cú J MP' a = I Vip} a Rừ rng, hm V c xỏc nh duy nht nu nú tn ti Ta vit U ' : = V v ta gi U' l o hm yu ca U Khụng gian WL,P{A, B; X) l khụng gian Banach vi... khụng gian i ngu ca X Ta núi rng mt dóy (U 'n) C X' l hi t yu* ti mt phn t U ' X' (v vit U ' N -> U ') nu 3 4 VlớGX,lim (u n ,ll) , = (u ,u), ltoo nh lý 1.14 (Xem [j, nh lý 6.3) a ) (Banach - Alaoglu) Cho X l mt khụng gian Banach tỏch c Khi ú mi dóy b chn trong X' u cú mt dóy con hi t yu* b) Mi dy b chn trong khụng gian Hilbert u cú mt dóy con hi t yu B 1.6 (Xem [!J, B 6.4) Cho X l mt khụng gian. .. oo} Tng t nh trong trng hp hm vụ hng ta cú th thy rng Ê p(f;X) l khụng gian vect v II \ \ L P ú l na chun trờn {Ê L ]X) Nu ta t N P := {/ C P (Q;X) : |/|if = 0} = {/ G >cp(ri; X) : / = 0 hu khp ni} thỡ khụng gian thng {Q-X) := X)/N p :={f + N p :fe X)} tr thnh mt khụng gian Banach vi chun II/1IU* :=>, ( l f ] = f + N p ) Chun ca lp tng ng [/] c xỏc nh tt, ngha l, nú c lp vi biu din / trong lp ú Ta... tớnh trờn H Min xỏc nh D I Y H Ê) l mt khụng gian tuyn tớnh con ca H v ỏnh xii 14 V H Ê( U ) l tuyn tớnh Tuy nhiờn, gradient ca mt dng ton phng i vi mt mờtric núi chung l khụng tuyn tớnh 1.3.3 Khụng gian Sobolev trờn ớỡ Cho ớ c l mt tp m vi biờn DF è Vi mi hm liờn tc I P : ớ > M ta nh ngha giỏ ca I P l tp: suppy? := {x Q : ( P X ) trong ú, bao úng c ly trong ớ Vi mi 1 < gión Sobolev cp K : P 0}5 . gradient trong không gian vô hạn chiều, đặc biệt là dáng điệu tiệm cận của nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều. Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian. trong không gian vô hạn chiều. 3 Tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều, tính chất định tính của nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm. 4. Đối tượng. 02 của luận văn, tôi đã trình bày một cách có hệ thống về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ gradient