B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH HIN PHNG PHP S GII BI TON QUY HOCH TON PHNG Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS. TS. T Duy Phng H NI, 2014 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS. T Duy Phng. S hng dn giỳp rt tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi. Tỏc gi xin by t lũng bit n lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy. Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy Cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp. Tỏc gi xin cm n S GD-T tnh Vnh Phỳc, Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ ng nghip Trng trung hc ph thụng Liờn Bo cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny. H Ni, ngy.thỏng 02 nm2014 Hc viờn Nguyn Th Hin LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca PGS.TS. T Duy Phng. Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n. Tụi xin cam oan nhng thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc. H Ni, ngythỏng 02 nm 2014 Hc viờn Nguyn Th Hin Mc lc Li núi u Chng 1. Bi toỏn quy hoch ton phng 1.1. Bi toỏn ti u . 1.2. Mt s khỏi nim c bn . 1.3. nh lớ tn ti nghim ca bi toỏn quy hoch ton phng. 10 1.4. Cỏc iu kin cc tr . 16 Chng 2. Mt s phng phỏp s gii bi toỏn quy hoch ton phng 21 2.1. Phng phỏp hn ch tớch cc 21 2.2. Phng phỏp hn ch gi nh . 29 2.3. Phng phỏp Gradient i ngu. 33 2.4. Phng phỏp im trong. 38 Kt lun 50 Ti liu tham kho 51 BNG Kí HIU Tp s t nhiờn. * Tp s t nhiờn khỏc khụng. Tp s thc. Tp s thc dng. Tp s phc. K Tp s thc hoc phc n Khụng gian Euclide n chiu. C a;b Khụng gian cỏc hm s thc liờn tc trờn on [a;b]. L2 a;b Khụng gian cỏc hm bỡnh phng kh tớch trờn [a;b]. L X ,Y Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t X vo Y. M U 1. Lý chn ti Trong nhng nm gn õy, cỏc phng phỏp ti u ó c ỏp dng sõu rng v hiu qu vo cỏch ngnh kinh t k thut, cụng ngh thụng tin v cỏc ngnh khoa hc khỏc. Nh cỏc cụng c tớnh toỏn ngy cng hon thin m cỏc cụng trỡnh nghiờn cu lý thuyt v thc hnh ca Ti u húa ngy cng m rng v phỏt trin. Ngy nay, i vi cỏc k s v cỏc nh nghiờn cu khoa hc, k thut, kinh t, cụng ngh thụng tin, s hiu bit v cỏc phng phỏp ti u cng cn thit nh cỏc kin thc c s ca Gii tớch, Vt lý, Húa hc, Bi toỏn quy hoch ton phng ó c nhiu ngi nghiờn cu, nhng cho n nú l bi toỏn mang tớnh thi s. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nghiờn cu v phng phỏp s gii bi toỏn quy hoch ton phng nờn tụi ó chn ti: Phng phỏp s gii bi toỏn quy hoch ton phng 2. Mc ớch nghiờn cu Lun nghiờn cu mt s phng phỏp s gii bi toỏn quy hoch ton phng, ng dng vo gii mt s bi toỏn c th. 3. Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu mt s phng phỏp s. Phõn tớch cỏc u im, nhc im ca tng phng phỏp. Nờu cỏc ng dng ca cỏc phng phỏp vo gii mt s bi toỏn c th. 4. i tng v phm vi nghiờn cu Phng phỏp hn ch tớch cc. Phng phỏp hn ch gi nh. Phng phỏp Gradien i ngu. Phng phỏp im trong. 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc v cụng c ca i s tuyn tớnh, Gii tớch, Gii tớch hm, Lý thuyt ti u, Gii tớch s v lp trỡnh cho mỏy tớnh tip cn v gii quyt . Su tm nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v m lun cp ti. Suy lun logic, phõn tớch, tng hp v h thng húa cỏc kin thc v ti u. 6. D kin úng gúp mi ti nghiờn cu mt cỏch cú h thng mt s phng phỏp s gii bi toỏn quy hoch ton phng. Nờu nờn cỏc ng dng ca phng phỏp im vo gii mt s bi toỏn quy hoch ton phng. Chng Bi toỏn quy hoch ton phng 1.1 Bi toỏn ti u Ti u húa l mt lnh vc toỏn hc nghiờn cu lớ thuyt v cỏc thut toỏn gii bi toỏn cc tr. Nhiu thc t khỏc dn ti vic gii bi toỏn cc tr sau: Tỡm c tiu ca phim hm f x (1) vi cỏc iu kin: gi x 0, i 1,2, ., m1 h j x 0, j 1, 2, ., m2 x X n ú f , g i , h j : n i 1,2, ., m1; j 1,2, ., m2 Bi toỏn (1) - (4) c gi l bi toỏn quy hoch toỏn hc. Hm f ( x) c gi l hm mc tiờu, cũn cỏc hm gi , h j gi l cỏc hm rng buc (cỏc hn ch). Tp hp cỏc vect x X n tha cỏc rng buc (2), (3) gi l phng ỏn hay chp nhn c (min rng buc) bi toỏn trờn. Phng ỏn x* tha f x* f x vi mi phng ỏn chp nhn x gi l phng ỏn ti u hay li gii ca bi toỏn, f x* c gi l giỏ tr ti u. Nu hm mc tiờu f(x) v cỏc hm rng buc gi x , h j x u l cỏc hm tuyn tớnh v X n , ta cú bi toỏn quy hoch tuyn tớnh, ngc li l cỏc bi toỏn quy hoch phi tuyn. Nu X l hp ri rc ta cú bi toỏn quy hoch ri rc. Trong cỏc bi toỏn quy hoch phi tuyn thỡ bi toỏn quy hoch ton phng ó c nghiờn cu y nht. Lun ca tụi trung nghiờn cu: Bi toỏn quy hoch ton phng l bi toỏn vi hm mc tiờu l mt dng ton phng f x x, Ax c, x , ú A l ma trn xỏc nh dng, l hng s, cũn cỏc hm rng buc gi x , h j x , i 1, m1 , j 1, m2 u l cỏc hm tuyn tớnh. i vi quy hoch ton phng ó cú nhng thut toỏn rt ni ting ca Beale, Frank-Wolfe,. Bi toỏn quy hoch ton phng c xột õy l trng hp c bit ca bi toỏn quy hoch li. Bi toỏn quy hoch li l bi toỏn: f x vi cỏc iu kin: g i x 0, i 1, ., m, x X n ú cỏc hm f x , gi x , i 1, m u l cỏc hm li v X l li. Bi toỏn quy hoch li cng ó c nhiu nh toỏn hc nghiờn cu v cỏc thut toỏn hu hiu. Tuy nhiờn n cũn rt nhiu cn c nghiờn cu tip. 1.2 Mt s khỏi nim c bn 1.2.1 Hm ton phng Hm f : n gi l hm ton phng nu cú dng T x Dx cT x x, Dx c, x 2 n n n dij xi x j ci xi , i j i f x ú D l mt ma trn cp nìn, c l mt vect n chiu, l mt s. Nhn xột Vỡ xT Dx T x D D T x , x n nờn ta cú th gi thit ma trn D l ma trn i xng D T D. 1.2.2 Bi toỏn quy hoch ton phng Xột bi toỏn quy hoch ton phng: f x : x , (P) ú f l hm ton phng v hn ch x : x n , Ax b l a din (polyhedral set). Nu f li thỡ (P) c gi l bi toỏn quy hoch ton phng li. nh ngha Ma trn D c gi l xỏc nh dng nu vT Dv 0, v 0. Ma trn D c gi l xỏc nh khụng õm (na xỏc inh dng) nu vT Dv 0. Nhn xột Nu D l ma trn i xng, na xỏc nh dng thỡ f l hm li. 1.3 nh lớ tn ti nghim ca bi toỏn quy hoch ton phng Xột bi toỏn (P): 10 Bc Nu I PJ f x k thỡ x k l nghim ca bi toỏn (EP). Dng thut toỏn. Bc Tớnh d k I PJ f x k d k , ú k I PJ f x k I PJ f x k . Bc Thay k=k+1 chuyn v bc 1. 2.3.3 Phng phỏp gradient i ngu cho trng hp hn ch bt ng thc Xột bi toỏn T T f x x Dx c x Ax b (PQ) Thut toỏn GC Gi s x l mt im chp nhn c Ax b v AI0 l ma trn cú cỏc ct l vi i I , ú I i :1 i m, aiT x0 bi . t PI0 AIT0 AI0 AIT0 Bc AI0 v v0 AI0 AIT0 AI f x0 . Nu I P f x thỡ chuyn sang Bc 3. Nu I PI0 f x thỡ chuyn sang Bc 2. I0 36 Bc Nu vi0 vi mi i I0 thỡ x l nghim ca bi toỏn (PQ). Nu ngc li, tn ti j I cho v 0j . Khi ú ta t I I \ j v chuyn sang Bc 3. Bc S dng thut toỏn gradient i ngu gii bi toỏn (EP) T T f x x Dx c x aT b 0, i I i i a/ Ly im x lm im xut phỏt v t d I PI0 f x0 . b/ Ti bc th k bit x k ta tớnh x k nh sau: Tớnh d k I PI0 f x k k d k 1, ú: k I P f x k I P f x k k , f x k T d k Dd k bi aiT x k , T : i J , d k * k ú J i : aiT d k . Nu k k* thỡ x k x k k d k . t k=k+1 tr v b/ cho ti nhn c x* ca (EP). Sau ú chuyn sang Bc 4. Nu k k* thỡ xk x k k*d k . t x* x k ri chuyn qua Bc 4. Bc t x x* , I i m : aiT x bi v tr v Bc 1. 37 2.4 Phng phỏp im Phng phỏp im gii bi toỏn quy hoch toỏn phng trỡnh by mc ny c trỡnh by ch yu da theo Lun ỏn Tin s ca Thomas Reslow Krỹth [4]. 2.4.1 í tng c bn S dng phng phỏp im gii bi toỏn quy hoch ton phng li cha rng buc bt ng thc dng: T T minn f x x Dx c x x T A xb (2.4.1) õy x l mt vect cp n , n l mt s bin thiờn, D l ma trn cp n n , c l mt vect cp n 1, A l ma trn cp n m, m l s rng buc bt ng thc, b l mt vect cp m . 2.4.2 iu kin ti u Xột hm Lagrange cho bi toỏn (2.4.1) L x, m T x Dx cT x i aiT x bi i (2.4.2) õy i l nhõn t Lagrange ca rng buc bt ng thc, aiT l dũng th i AT v bi l phn t th i vect b. iu kin ti u c c vit di dng (2.4.3) di õy: x L x, 0. Suy Dx c A (2.4.3a) AT x b (2.4.3b) i AT x b i 0, i 1, ., m (2.4.3c) (2.4.3d) 38 iu kin trờn c vit li (2.4.4) di dng ng thc bng cỏch a thờm vo vect yu (slackvector) s AT x b, s : Dx c A (2.4.4a ) s AT x b (2.4.4b) si i (2.4.4c) , s (2.4.4d ) Bõy gi ta i xỏc nh hm F x, , s cho nghim ca hm ny l li gii ca ba iu kin ti u u tiờn (2.4.4). Cỏc vect d rd , rp v rs cng c nh ngha cỏc phng trỡnh ny. Ta chỳ ý rng thnh phn th ba F l phi tuyn v S diag s1 , s2 , ., sm l ma trn ng chộo vi cỏc phn t ca vect yu s trờn ng chộo, diag 1, , ., m l mt ma trn ng chộo vi cỏc T phn t ca vect nhõn t Lagrange trờn ng chộo v e 1,1, .,1 l mt vect cp m Dx A c rd F x, , s s AT x b rp S e rs (2.4.5) Bi vỡ chỳng ta ch xột bi toỏn li nờn ta bit rng D l ma trn na xỏc n dng v hn na cỏc hn ch l affine. iu ny cú ngha l cỏc iu kin cn cc tr phỏt biu trờn cng l iu kin . Thờm vo ú vect nghim cng l nghim ton cc. p dng phng phỏp Newton gii h phng trỡnh F ( x, , s ) 0, ta nhn c cỏc hng tỡm kim (a seach direction) t v trớ xk , k , sk ti bc k , nh cụng thc (2.4.6) di õy: 39 x J x , , s F x , , s . s 2.4.6 õy J x, , s l Jacobian ca hm F x, , s . Hng tỡm kim x, , s nhn c bng cỏch gii h phng trỡnh tuyn tớnh (2.4.6). Vit li Jacobian, ta thu c h phng trỡnh (2.4.7): D AT A x rd I rp . rs S s (2.4.7) Gii h ny theo thut toỏn truy hi, ta s tỡm c mt dóy tin ti im ti u. Tuy nhiờn thc t vic xp x thụ ny khụng c s dng. Thay cho vic tỡm kim mt hng theo phng phỏp Newton nờu trờn, ta tỡm mt dóy lp mi nh (2.4.8), ú k l bc lp li hin ti v 0,1 l tham s tỡm kim hng ( di bc): xk , k , sk xk , k , sk x, , s . (2.4.8) Mt nhng im yu ca phng phỏp Newton l cỏc hn ch khụng õm , s khụng th tớnh toỏn trc tip c. Khú khn ny c khc phc thut toỏn nờu trờn nh ch di õy. 2.4.3 Phng phỏp d bỏo-hiu chnh Nh tờn gi, thut toỏn d bỏo-hiu chnh gm hai pha: d bỏo v hiu chnh. T tng c bn ca phng phỏp d bỏo-hiu chnh l gii h (2.4.7), sau ú gii li h phng trỡnh th hai hiu chnh bc ny nh ci biờn v phi 40 ca (2.4.7). gii thớch mc ớch ca mi pha ny, u tiờn ta cn gii thớch mt s khỏi nim, ú cú khỏi nim ng trung tõm. 1. ng trung tõm v mt s khỏi nim khỏc ng trung tõm c nh ngha bi (2.4.9) F x , , s , , s 0. e (2.4.9) õy l mt ng cong ca cỏc im chp nhn c vi du bt ng thc ngt, ng cong ny c tham s húa bi mt tham s vụ hng . Ta chỳ ý cỏc im trờn ng trung tõm l cỏc im chp nhn c vi du bt ng thc ngt m rd v rp ti nhng im ny. í tng õy l ta cú mt dóy lp x k , k , sk dc theo ng trung tõm v gim ti mi bc. Khi tin ti 0, phng trỡnh (2.4.9) s xp x iu kin ti u ngy cng tt hn. iu ny cú ngha l ng trung tõm cho phộp tỡm mt ng i ti nghim cho , s v cho tớch si i gim v vi cựng mt t l. Cựng vi ng trung tõm ta cng nh ngha o bự (the complementarity measure) (2.4.10) v mt tham s trung tõm 0;1 : sT m (2.4.10) Trong thc hnh, ta bt u bng cỏch gii h (2.4.11) nhn c hng affine x aff , aff , s aff v sau ú xỏc nh di bc aff cho bc ú. Nhn xột rng chỳng ta s s dng hng affine nhn c cỏc vect v cỏc s thc tng ng theo cỏc hng affine. Tớnh toỏn cng c coi l bc d bỏo. 41 x aff , aff , s aff D AT A xaff rd I aff rp rs S s aff (2.4.11) Tip theo ta tớnh o bự aff cho bc hin ti c tớnh theo o bự trc ú theo bc Newton nh (2.4.12): aff s aff T s aff aff aff m (2.4.12) kt hp cỏc giỏ tr ca v aff ta cn xỏc nh xem hng affine ó c tớnh ó l hng tỡm kim tt cha. Nu, thớ d, aff thỡ hng tỡm kim l hng tt, ú ta cn i theo ng trung tõm vi bc nh. Tham s trung tõm c tớnh bng cỏch s dng cụng thc (2.4.13). Cụng thc ny ó c chng minh l tt cỏc tớnh toỏn thc t. aff . (2.4.13) Giỏ tr trờn õy ca tham s trung tõm c chn cho phộp chỳng ta m rng hng tỡm kim ti trung tõm m ta ó nhn c bc d bỏo. Nu thỡ ta ó s dng bc Newton truyn thng. Nu thỡ bc ó c s dng i ti trung tõm, ngha l bc lp gn ti ng trung tõm hn hoc khụng cú tin b no c thc hin theo o bự. Nhng iu ny khụng cho phộp chỳng ta ly di bc di hn bc lp tip theo. sp xp mt bc trung tõm cho thut toỏn, ta t ( õy bc Newton dn n im m si i ) v nhn c h (2.4.14) 42 D AT A x cen rd . I cen rp rs e S s cen (2.4.14) Trc bt u bc hiu chnh ta xột s lc cỏch tớnh di bc. 2. Tớnh toỏn di bc Sau tớnh hng tỡm kim bc d bỏo, v sau ú ti bc hiu chnh, chỳng ta cn xỏc nh chn di bc l bao nhiờu tớnh toỏn hng tỡm kim tip theo cho iu kin , s khụng b vi phm. Ta cú mt s cỏch tớnh di bc vi mc ớch thut toỏn s hi t nhanh. Di õy chỳng ta trỡnh by cỏch chn tham s cho c hai bc d bỏo v hiu chnh. bt u ta s dng cỏch chn bc hng tỡm kim bng cỏch s dng tham s n gin 0,1 cho c ba hng x, , s nh ch (2.4.15): xk , k , sk xk , k , sk x, , s (2.4.15) Tip theo chỳng ta s chn tham s aff 0,1 cho hng affine nh l mt vớ d. c bit, ta mun chn aff 0,1 ln nht cho (2.4.16) v (2.4.17) c tha món. aff aff 0; (2.4.16) s aff s aff 0. (2.4.17) Ta thy rng cỏc phng trỡnh trờn l riờng bit v thun li ta s dng hai tham s t l riờng bit, aff t (2.4.16), v saff t (2.4.17) cho aff aff , saff . Vi mi phng trỡnh ny ta cú ba trng hp da trờn du ca aff v s aff tng ng. Ta cú cỏc trng hp c ch (2.4.18) t (2.4.16): 43 aff : aff 1; (2.4.18a) aff : aff 1; (2.4.18b) iaff : i aff iaff aff i . i (2.4.18c ) Nu tt c cỏc phn t ca vect aff l dng hoc bng thỡ (2.4.16) c tha vỡ v aff 0;1. Trong trng hp ny bc max c phộp nhn c bng cỏch t aff . Nu mt s cỏc phn t ca aff l õm thỡ ta cn chn aff cho giỏ tr ca nú c ly l giỏ tr nh nht vect aff . T cỏc trng hp trờn ta thy aff cú th c chn nh (2.4.19): aff 1,min affi . i:i i (2.4.19) Lớ lun tng t cú th c s dng thc hin tớnh toỏn cho c ba trng hp cho (2.4.17) v saff c chn tng ng aff nh (2.4.20) s saff 1,min affi i:si si . (2.4.20) Nu aff cú th c chn trc thỡ ta cú th chn aff aff , saff . Cỏch chn di bc mụ t nh trờn cho bc d bỏo cng cú th s dng xỏc nh di bc cho bc hiu chnh. Di õy chỳng ta s xột trng hp nu s dng nhiu hn mt tham s thỡ thut toỏn s c ci tin tt hn. 3. Bc hiu chnh Cú mc ớch l xut phỏt t ng trung tõm, vi o bự v tham s hng tõm, ta s ci biờn v phi (2.4.7) thc hin bc hiu chnh. 44 Ta bt u thut toỏn bng cỏch gii (2.4.21): D AT A x aff rd I aff rb S s aff rs (2.4.21) Bc y hng ny l kim soỏt c (bi dũng th ba (2.4.21) s aff i i i aff i (2.4.22) si i si iaff i siaff siaff .iaff siaff iaff . (2.4.23) Hng t siaff iaff , ú bng cỏch chn bc affine ta a vo mt sai s tuyn tớnh. n bự cho sai s ny ta s dng bc hiu chnh v gii h (2.4.24), ú S aff diag s1aff , ., smaff v aff diag 1aff , ., maff : D AT A x cor rd cor I rp rs S aff aff S s cor e (2.4.24) nhn c kt qu cui cựng ta thu c mt hng t l affine bng cỏch gii h (2.4.21). Bc d bỏo c s dng tớnh tham s hng tõm v xỏc nh v phi cho bc hiu chnh v bc hng tõm tip theo. Trong thc t, gii h (2.4.21) ta nhn c hng tỡm kim cha c hai thnh phn hng tõm v hiu chnh, nh ch (2.4.25): D AT A x rd . I rp rs S aff aff e e S s (2.4.25) Chỳ ý Ma trn h s t nghim ca h phng trỡnh c gii bc d bỏo v ma trn h s ca h gii bc hiu chnh l ng nht, ú ta 45 ch cn tớnh toỏn mt ln phõn ró ca ma trn ny. õy l mt c im ct yu ca phng phỏp d bỏo-hiu chnh. Hn na, chỳng ta nhn thy rng bc d bỏo lm cc tiu tớch bự v bc hiu chnh tỏch bc lp hin ti biờn ca chp nhn c v tin gn ti ng trung tõm. 4.Tiờu chun dng ca phng phỏp im kt thỳc quỏ trỡnh lp, chỳng ta cn tỡm nh ngha tiờu chun dng phng phỏp ó t c nghim xp x. Trong Lun ny chỳng ta s dng tiờu chun dng n gin c ngh bi Jứrgensen. Trc ht chỳng ta a vo mt s ti a M bc lp m bo dng thut toỏn. Ta chn s phm vi 50-200 v hi vng thut toỏn hi t nhanh, bi vỡ mi phộp lp cú th chn tc tin ti nghim nhanh mt cỏch ỏng k. Thờm vo ú, ta a vo mt biờn di theo chun ca vect rd v rp : rd Dx c A , rp s AT x b, rd , (2.4.26) rp . (2.4.27) Mc ớch xỏc nh sai s thp cho cỏc vect d l ta mun chng trỡnh dng nu tỡm c mt cp vect x, hoc mt vect s tha iu kin ti u (2.4.28) vi sai s chp nhn c: Dx c A 0, s AT x b 0. (2.4.28a) (2.4.28b) Chỳng ta cng a vo mt chn di t lờn giỏ tr tuyt i ca o bự nhm m bo dng thut toỏn nu tớch bự c lm nh n hoc mt giỏ tr gn 0. 46 sT , m (2.4.29) Cú th s dng tiờu chun dng thut toỏn mnh hn mt s trng hp c bit v cỏc tiờu chun mnh hn cn thit chng minh s hi t ca thut toỏn. Ta thy tiờu chun dng a trờn l cho yờu cu ny. 5. Thut toỏn Thut toỏn y c trỡnh by sau õy. Chỳ ý rng thut toỏn ũi hi mt im xut phỏt x0 , , s0 . im xut phỏt khụng nht thit phi nm chp nhn c. iu ny tng ng vi iu kin , s0 v v phi cha vect d rd v rp thay cho cỏc s 0. a vo x0 , , s0 v D,A,c,b Tớnh toỏn cỏc vect d v o bự rd Dx0 c A0 , rp s0 AT x0 b, rs S0 e, s0T . m Bt u vũng lp while (kt thỳc nu tiờu chun dng c tha món). Bc d bỏo: Gii (2.4.30 ) nhn c mt hng t l affine x aff , aff , s aff v bt u ci thin v phi cho bc hiu chnh v nhn c mt giỏ tr tt ca tham s hng tõm . 47 D AT A x aff rd I aff rp rs S s aff (2.4.30) Tớnh aff : aff aff 0, s aff s aff 0. Tớnh aff : aff s aff T s aff aff aff m . Tớnh toỏn tham s hng tõm : aff . Bc hiu chnh v hng tõm: Gii (2.4.31) ta thu c hng tỡm kim x, , s : D AT A x rd . I rp rs S aff aff e e S s Tớnh 0, s s 0. Cp nht x, , s Cp nht cỏc vect d v o bự 48 (2.4.31) rd Dx c A , rp s AT x b, rs S e, sT . m Kt thỳc vũng lp while. 49 Kt lun Bi toỏn quy hoch ton phng l mt lp bi toỏn hay v mt toỏn hc, vỡ nú l mt lp bi toỏn cú cu trỳc. ng thi lp bi toỏn ny cng nhiu ng dng thc tin. Mt nhng phng phỏp mi gii bi toỏn quy hoch ton phng l phng phỏp im trong. Lun ó trỡnh by mt s phng phỏp c bn gii s bi toỏn quy hoch ton phng, ú trng tõm l phng phỏp im trong. 50 Ti liu tham kho 1. G. M. Lee, N.N.Tam and N. D. Yen (2003), Quadratic Programming and affine variational inequalities. A qualitative study, Nonconvex Optimization and its Applications, 78. Spring-Verlag, New York, 2005.xiv+345 pp. Chng 2-3, trang 34 - 66. 2. Abderrahim Kadiri (2001), Analyse numộrique des mộthodes de points interieurs pour les problộmes de complộmentaritộ lineaire et la programmation quadratique convexe, Lun ỏn Tin s, Institut National des Sciences Appliquees de Rouen (ting Phỏp). 3. Jean-Jacques Strodiot (2002), Numerical Methods in Optimization, Bi ging (ting Anh) ti trng i hc Quc gia Thnh ph H Chớ Minh. 4. Thomas Reslow Krỹth (2008), Interior-Point Algorithms for Quadratic Programming, Lun ỏn Tin s, Technical University of Denmark Informatics and Mathematical Modelling, Kongens Lyngby. 51 [...]... địa phương duy nhất của bài toán (P2) thì 2 tồn tại   0,   0 sao cho f  x   f  x    x  x , x    B  x ,   , trong đó    x   n : Ax  b, Cx  d  Chứng minh Xem [1], trang 61 - 62 20 Chương 2 Một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương Trong chương này chúng tôi trình bày bốn phương pháp số giải bài toán qui hoạch toàn phương: Phương pháp hạn chế tích cực, Phương pháp. .. không tích cực, Phương pháp Gradient đối ngẫu theo tài liệu [2], Phương pháp điểm trong theo tài liệu [4] 2.1 Phương pháp hạn chế tích cực 2.1.1 Bài toán quy hoạch toàn phương Xét bài toán quy hoạch toàn phương (PQ) 1  min f ( x )  xT Dx  cT x,  2  T  i  I,  ai x  bi ,  T i  E,  ai x  bi ,   (PQ) trong đó D là ma trận đối xứng nửa xác định dương; I , E là tập các chỉ số tự nhiên; ai...  2.2 Phương pháp hạn chế giả định Phương pháp hạn chế giả định trình bày trong mục này được đề xuất trong luận án tiến sĩ của S Tricot Ở đây chúng tôi trình bày phương pháp hạn chế giả định theo [2] Nội dung của phương pháp này là kết hợp hai phương pháp 29 hạn chế tích cực và phương pháp đơn hình tại mỗi bước lặp nhằm bổ sung thêm một số hạn chế giả định 2.2.1 Định nghĩa và ký hiệu Xét bài toán (P)... những giả thiết tương đối tổng quát, thuật toán ACF hội tụ sau hữu hạn bước 2.3 Phương pháp gradient đối ngẫu Phương pháp gradient đối ngẫu (GC) đầu tiên được đề nghị bởi Hestenes (1969) để giải hệ phương trình tuyến tính Lần đầu tiên nó được ứng dụng cho bài toán tối ưu phi tuyến bởi Fletcher và Reeves (1991) 2.3.1 Tối ưu hàm toàn phương không có hạn chế Xét bài toán min f  x   1 T x Dx  cT x, 2 trong... 1 áp dụng cho bài toán (PQ) Điều kiện cực trị Giả sử x* là điểm chấp nhận được (thỏa mãn hạn chế) của bài toán (PQ) Khi ấy x* là nghiệm của bài toán (PQ) khi và chỉ khi tồn tại i* với i  I  E sao cho 21  Dx*  c   i*ai  0,  iI  E  * T *  i (bi  ai x )  0, i  I ,  * i  I  i  0,  2.1.2 Tối ưu hàm toàn phương trên đa tạp affine Phương pháp phân rã vuông góc Xét bài toán 1 T  T ... : x   n : Ax  b , ta đi giải bài toán  Ps  :  min f  x   d s    A x   ds   b  Ps  Khác với bài toán qui toán tuyến tính, điểm tối ưu có thể đạt được tại điểm thuộc miền trong của tập chấp nhận được Tư tưởng cơ bản của phương pháp hạn chế giả định là ta bổ xung thêm hạn chế tương ứng với chỉ số r>m là kiểm tra trên siêu mặt f T  x  d s  0 Xét chỉ số r>m ar  Dd s , br  cT... hạn chế thứ p là tích cực (active) và do đó p được đưa vào Ak 1 Sau khi giải bài toán ( EP k ) ta nhận thấy: Nếu s k  0 là nghiệm của bài toán ( EP k ) thì x k là nghiệm của bài toán ( PQ k ) Trong các tính toán tiếp theo, nhân tử Lagrange ik , i  Ak tương ứng với x k Để các vectơ x k và ik thỏa mãn điều kiện tối ưu của bài toán (PQ) thì ta phải có ik  0 với mọi i  I Nhận xét rằng ik  0 với... , i  J 34 Đưa vào biến y xác định bởi x  x 0   I  Py  y và xác định hàm toàn phương   g  y   f  x   f x 0   I  Py  y Khi ấy g  y    I  Py  f  x  Dễ dàng nhận thấy rằng bài toán (EP) tương đương với bài toán tối ưu hàm toàn phương g  y  không có hạn chế min g  y  n y  Bổ đề 1 Xét bài toán PQ2   min g  y    n  y  (PQ2 )    S  x   Giả sử y* là nghiệm... của không gian nhân của A,   N ( A) : x   n : Ax  0 có số chiều là n  m Giả sử x 0   n , x 0  Q1 ( RT ) 1 b thì T Ax0  (Q1 R)T Q1 ( RT )1 b  RT Q1 Q1 ( RT )1 b  b Giả xử x là điểm chấp nhận được của bài toán (EP), tức là Ax  b Khi ấy A( x  x 0 )  0, do đó x  x 0  N ( A) Bài toán (EP) được đưa về bài toán tối ưu toàn phương không hạn chế:   min f ( z ),   nm z  ,  (P) trong... hạn chế bổ xung có chỉ số r ta cho nhân tử Lagrange yr  0 Nhận xét Đưa thêm hạn chế bổ xung không làm thay đổi điều kiện tối ưu của bài toán (P) Thật vậy, các hệ thức (2.7) và (2.8) không thay đổi khi thêm yr  0 đối với tất cả các hạn chế bổ xung Giải bài toán  Ps  Giả sử  * là giá trị sao cho x   *d s là nghiệm của bài ˆ toán  Ps  Khi ấy  * là giá trị nhỏ nhất trong hai số  và  xác định bởi: . một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương. Nêu nên các ứng dụng của phương pháp điểm trong vào giải một số bài toán quy hoạch toàn phương. 8 Chương 1 Bài toán quy hoạch. về phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương nên tôi đã chọn đề tài: Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp. lại là các 9 bài toán quy hoạch phi tuyến. Nếu X là tập hợp rời rạc ta có bài toán quy hoạch rời rạc. Trong các bài toán quy hoạch phi tuyến thì bài toán quy hoạch toàn phương đã được nghiên