Đang tải... (xem toàn văn)
tìm hiểu về random walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng
Bài tập lớn quá trình ngẫu nhiên Đề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng mục lục Random Walk (Nguyễn Trí Quân) Chuyển động Brown Brown motion (Nguyễn Anh Tuấn) Quá trình Winer (Phí Bá Thành) nhiễu nhiệt tổng quan ( Việt Hà ) Định lý NYQUYT (Nguyễn Tiến Đông) 1. Random Walk, Brownian motion,Thermal noise a) Định nghĩa. Ta tung một đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung chúng ta ngay lập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, lên trên nếu tung được mặt ngửa (h)), đi xuống nếu được mặt sấp(t). Quá trình bắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t là một hàm bậc thang với các điểm gián đoạn ở thời điểm t = nT. (Figure 11.1). Do đó chúng ta đã tạo được một quá trình ngẫu nhiên rời rạc x(t) mà có các mẫu x(t, ζ ) phụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ngửa. Quá trình này được gọi là random walk(Bước ngẫu nhiên). Định nghĩa: Bước ngẫu nhiên là quá trình ngẫu nhiên rời rạc mà có các mẫu độc lập với nhau. Giả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k mặt ngửa và n-k mặt sấp. Trong trường hợp này, bước đi của chúng ta bao gồm k bước lên trên và n-k bước xuống dưới. Do đó vị trí của chúng ta ở thời điểm t = nT là : x(nT) = ks – (n-k)s = ms m= 2k –n Do đó x(nT) là một RV (Radom Variable) tamg giá trị ms, với m = n, n-2, …, -n. Hơn thế nữa: Đó là xác suất của k mặt heads trong n lần tung. Chúng ta để ý rằng x(nT) có thể được viết lại như là một tổng: x(nT) = x 1 + … + x n trong đó x i là kích thước ở bước thứ i. Do đó biến ngẫu nhiên x i là không phụ thuộc vào việc mang giá trị +- s và E(x i 2 ) = s 2 . Từ đó ta có: E{x(nT)} = 0 E{x 2 (nT)} = ns 2 (11-2) Large t. Như chúng ta biết, nếu n lớn và k nằm trong khoảng và lân cận np,ta có: Từ điều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì Do đó ta có: Trong đó G(x) là một phân phối chuẩn N(0,1) Chú ý rằng nếu thì các gia số x(n 4 T) – x(n 3 T) và x(n 2 T) – x(n 1 T) là độc lập b) Quá trình Winner: Chúng ta se xét giới hạn của bước ngẫu nhiên khi n tiến tới vô cùng hay tương đương với T-> 0. Như chúng ta đã biết: Do đó để kết quả có nghĩa chúng ta giả sử s hội tụ về 0 tương đương với Giới hạn của hàm x(t) khi T-> 0 là một quá trình liên tục (Fig 11.1 b) được gọi là quá trình Winner. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm mật độ f(w, t) của w (t) là thông thường với nghĩa 0 và không đúng (11-4) c)Tổng quát về bước ngẫu nhiên: Bước ngẫu nhiên có thể viết thành một tổng: Trong đó biến ngẫu nhiên mang giá trị s hoặc –s với xác suất như nhau. Trong trường hợp tổng quát thì biến ngẫu nhiên c k nhận giá trị s hoặc –s với xác suất tương ứng là p và q. Trong trường hợp này thì: Từ đó ta có: Với n lớn và quá trình x(t) là không thông thường với 2. Chuyển động Brown Thuật ngữ “Brownian motion” được dùng để mô tả chuyển động của 1 hạt trong 1 chất lỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác. Trong vĩ mô, vị trí x(t) của hạt có thể mô hình hóa như 1 quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn 1 phương trình vi phân bậc 2: "( ) '( ) ( ) ( )mx t fx t cx t F t + + = 0c > (11.9) F(t) là lực va chạm (tác động), m là khối lượng của hạt, f là hệ số ma sát, cx(t) là lực bên ngoài mà ta giả sử tỉ lệ với x(t). Trên mô hình vĩ mô, quá trình F(t) có thể nhìn như 1 quá trình nhiễu trắng chuẩn với trung bình = 0 và phổ công suất (11.10) Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối của môi trường và là hằng số BoltZman. Chúng ta sẽ xác định các thuộc tính thống kê của x(t) trong các trường hợp khác nhau. a) Chuyển động ràng buộc (bound motion): đầu tiên ta giả sử lực phục hồi cx(t) ≠ 0. Với t đủ lớn, vị trí x(t) của hạt tiến về 1 trạng thái tĩnh với trung bình =0 và phổ công suất: (11.11) Để xác định các thuộc tính thống kê của x(t), nó cũng đủ để tìm hàm tự tương quan của nó. Chúng ta sẽ làm như vậy theo giả định rằng nghiệm của phương trình là phức: Ta đã biết lời giải cho phương trình: có dạng: Với thay b, c và q lần lượt bằng , và (11.12) Như vậy với 1 t cụ thể, x(t) là một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình =0 và phương sai . Do đó hàm mật độ là : (11.13) Hàm mật độ có điều kiện của x(t) giả sử là 1 đường cong với trung bình là và phương sai P, với : b) Chuyển động tự do: ta nói 1 hạt chuyển dộng tự do nếu như lực tác động vào nó bằng 0. Trong trường hợp này thì phương trình trong 11.9 có dạng (11.14) Giải pháp cho phương trình này không phải là 1 quá trình tĩnh. Chúng ta sẽ diễn tả no trong thuật ngữ của vận tôc v(t) của hạt. Với ta có : (11.15) Lời giải của phương trình này là 1 quá trình ngẫu nhiên với (11.16) Từ đó v(t) là 1 quá trình chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai , hàm mật độ là : (11.17) Hàm mật độ có điều kiện của v(t) giả sử là chuẩn với trung bình và phương sai P thỏa mãn : Trong vật lí (11.15) được gọi là định lí Langevin, lời giải của nó là quá trình Ornstein-Uhlenbeck, và phổ của nó là Lorenzian. Vị trí x(t) của hạt là tích phân vận tốc của nó : (11.18) Từ đó ta tính được : Do đó : (11.19) Như vậy vị trí của 1 hạt trong chuyên động tự do là 1 quá trình chuẩn nhưng không tĩnh với trung bình bằng 0 và phương sai là vế phải của 11.19 Với t >> m/f, 11.19 trở thành : (11.20) Tham số D là hằng số khuếch tán. c) Qúa trình Wiener : Bây giờ chúng ta giả thiết rằng đại lượng mx''(t) của một hạt chuyển động tự do là nhỏ so với đại lượng ma sát fx'(t), nếu f>>m/t. Bỏ qua đại lượng mx'' (t) ở mục (11-14), ta kết luận rằng : Vì F(t) là nhiễu trắng với phổ là 2kTf, từ (10-36) cùng với v(t) = F(t)/f và q(t)=2kT/f ta có: Do đó, x(t) là một qúa trình chuẩn tĩnh với mật độ: Chúng ta thấy rằng đó là một quá trình với gia tốc độc lập.Nó là quá trình tiêu chuẩn,là quá trình với gia tốc trực giao: (11-21) với 1 2 3 4 t t t t < < < . Thực tế là x(ti) – x(tj) chỉ phụ thuộc vào giá trị của F(t) trong khoảng ( , ) i j t t và F(t) là nhiễu trắng. Sử dụng nó ta thấy rằng: 1 2 1 2 ( , ) min( , ) x R t t t t α = (11-22) Từ (11-22), nếu 1 2 t t < thì: Do đó vị trí của một hạt chuyển động với gia tốc không đáng kể có các thuộc tính sau đây: + Nó là quá trình chuẩn với trung bình bằng 0, phương sai t α và tự tương quan 1 2 min( , )t t . Đó là một quá trình với gia số độc lập. + Một quá trình với các đặc tính như vậy gọi là quá trình Wiener. Như vậy, nó là mẫu giới hạn vị trí của một hạt trong chuyển động tự do khi t → ∞ ,và là mẫu giới hạn của quá trình chuyển động ngẫu nhiên khi n → ∞ . + Cuối cùng, chú ý rằng mật độ có điều kiện của x(t) ,giả định x(t)= x( 0 t ), là chuẩn tắc với 0 ax và phương sai P ở ( 8-11): Do đó: (11-23) Phương trình khuếch tán: Vế phải của công thức(11-23) là một hàm phụ thuộc vào 4 biến x, x 0, t và t 0. Biểu thị hàm này bởi π(x,x 0 ; t,t 0 ) ta rút ra được bằng cách lấy vi phân liên tiếp của: = D 2 = -D 2 (11-24) tại D 2 =α/2. Phương trình này được gọi là phương trình khuếch tán. Nó được thiết lập lại ở Sec. 16-4 trong phạm vi quá trình Markoff. 3. nhiễu nhiệt (Thermals noise) a) tổng quan nhiễu nhiệt là loại nhiễu gây ra bởi hiện tượng chuyển động của các electron do nhiệt độ trong vật dẫn. Loại nhiễu này có trong mọi thiết bị điện tử và các môi trường truyền dẫn. Nó là một hàm của nhiệt độ. Nhiễu nhiệt được phân bố một cách đồng đều trên toàn bộ trải phổ tần số và do đó người ta gọi nó là “nhiễu trắng” (white noise). Không thể nào loại trừ hay hạn chế được loại nhiễu này và do đó nó nằm phía ngoài biên của hiệu năng của các hệ thống truyền thông. Lượng nhiễu nhiệt có trong 1 Hz dải thông của bất kỳ một vật dẫn nào đều được tính theo công thức: N0 = kT Trong đó: N0 là độ đo cường độ nhiễu, đơn vị: watts/hertz. k là hằng số Boltzmann = 1.3803 x 10-23 J/0K T là nhiệt độ, tính bằng độ đo Kelvin. Theo công thức trên, ta thấy nhiễu nhiệt phụ thuộc vào tần số. Do đó, đối với một tín hiệu có dải thông là W (Hz) thì cường độ nhiễu nhiệt tác động vào tín hiệu sẽ là: N=k T W (watts/Hz) Nếu tính theo đơn vị decibel-watts thì: N = 10log k +10logT +10logW = −228.6 dBW+10logT +10logW Tiếp theo ta thảo luận về các đặc tính thống kê của nhiễu nhiệt bỏ qua các tính chất vật lý cơ bản. Phân tích được dựa trên một mô hình bao gồm các phần tử phản kháng không có nhiễu và các điện trở có nhiễu. Một điện trở có nhiễu được mô hình hóa bởi một dãy điện trở không nhiễu R mắc nối tiếp với một nguồn điện áp n e (t) hoặc mắc song song với nguồn hiện tại n i (t)=n e (t)/R như trong hình 11-2. Nó được giả định rằng n e (t) là một quá trình bình thường không định nghĩa và phổ dẹt(không đổi). S ne ()=2kTR S ni ( S ne ()/R 2 =2kTG (11-25) Với k là hằng số Botlzmann( k = 1,38(24).10 -23 J/K = 8,617(15).10 -5 eV/K). T là nhiệt độ tuyệt đối của điện trở và G=1/R là độ dẫn của nhiệt của nó. Hơn nữa, nguồn nhiễu của các mạng lưới điện trở khác nhau là những quá trình độc lập với nhau. Lưu ý sự giống nhau giữa phổ (11- 25) của nhiễu nhiệt và phổ (11-10) của các lực va chạm trong chuyển động Brown. Sử dụng những điều trên và các thuộc tính của hệ thống tuyến tính, chúng ta sẽ lấy được phổ các thuộc tính của đáp ứng hệ thống bắt đầu với một ví dụ Ví dụ: Mạch điện trong hình dưới đây bao gồm một điện trở và một tụ điện. Chúng ta sẽ quan tâm đến phổ của điện áp v(t) trên tụ điện gây bởi nhiễu nhiệt. Điện áp v(t) được xem như đầu ra của một hệ thống với đầu vào là điện áp nhiễu n e (t) và hàm hệ thống: H(s)= Áp dụng công thức (10-136) ta có 222 2 1 2 |)(|)()( TR kTR HSS e nv ω ωωω + == RC v e C KT R /|| )( τ τ − = (11-26) Kết quả tiếp theo đây là minh họa của định lý Nyquist sẽ được thảo luận ngay sau đây: chúng ta biểu thị Z(s) là trở kháng trên các thiết bị đầu cuối a, b và z(t) là phép biến đổi nghịch đảo của nó RCs R sZ + = 1 )( )( 1 )( /1 tUe C tz RC − = Hàm Z(t) là điện áp trên tụ C gây ra bởi một dòng điện xung trong hình (11-3). So sánh với công thức (11-26), ta có: )(Re2)( ωω jZkTS v = 222 1 )(Re CR R jZ ω ω + = )()( ττ kTzR v = 0 > τ )0()0( + = kTzR v { } C kT RtvE v == )0()( 2 )( 1 lim ωω ω jZj C ∞→ = [...]... diễn bởi một điện trở không nhiễu mắc song song với một nguồn điện ni(t) và các mạch còn lại chỉ bao gồm các phần tử phản kháng( Hình 11-5a) Do đó v(t) 11 là đầu ra của hệ thống với đầu vào ni(t) và hàm hệ thống H(I(là biên độ của một sóng dạng sin từ a tới b ( hình 11-5b) và V( là biên độ của điện áp qua R Năng lượng vào bằng Re|Z(j và năng lượng truyền cho giá trị điện trở bằng /R Giả định rằng việc... |2 | H (ω ) | = = R Re Z ( jω ) 2 | I (ω ) | 2 Và (11-27) là kết quả, bởi vì: Sv (ω ) = S ni (ω ) | H (ω ) | 2 2kT S ni (ω ) = R Hệ quả 1: sự tự tương quan của v(t) bằng: Rv (τ ) = kTz (τ ) với Với z(t) là biến đổi ngược của Z(s) Chứng minh: khi Z(-j : Sv (ω ) = kT [ Z ( jω ) + Z (− jω )] Và ta được kết quả là (11-28) bởi vì nghịch đảo của Z(-j z(-t) và z(-t)=0 với t>0 Hệ quả 2: 12 Năng lượng trung... displacement: vector % ngẫu nhiên kích thước 1*N plot(displacement); • % N là số lượng mẫu Biểu đồ histogram cho hàm phân phối của chuyển động trên là :Code: hist(displacement, 25); 14 • Chuyển về dạng biểu đồ vị trí: từ vector displacement ta sẽ chuyển về vị trí của x trên biểu đồ Vị trí thứ i của x bằng tổng tích lũy từ 0 i các độ dời của x (tại 0 là vị trí gốc) hàm cumsum sẽ trả về tổng tích lũy của... rộng ra chuyển động 2 chiều: ta sẽ mô phỏng chuyển động 2 chiều của 1 hạt: tương đương với chuyển động 1 chiều, mọi thứ ta cần là 2 vector chuyển vị ngẫu nhiên, các vector này được lưu trong 1 mathlab struct gọi là particle.x và particle.y (2 vector ngẫu nhiên) được lưu trong structure Nó có thể coi là 1 vector 2*N code: particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N,... thiết bị đầu cuối a,b tùy ý; và Z(s) là trở kháng từ a đến b ( hình 11-4) b) ĐỊNH LÝ NYQUIST: Phổ năng lượng của v(t) bằng: Sv (ω ) = 2kT Re Z ( jω ) (11-27) (Hình 11-5) 2kT S ni (ω ) = R V (ω ) H (ω ) = I (ω ) | H (ω ) |2 Re Z ( jω ) = R Chứng minh: chúng ta sẽ giả sử rằng chỉ có 1 điện trở trong mạch Trường hợp tổng quát có thể được thiết lập tương tự nếu chúng ta sử dụng một nguồn nhiễu độc lập... Z(-j z(-t) và z(-t)=0 với t>0 Hệ quả 2: 12 Năng lượng trung bình của v(t) bằng: E{v 2 (t )} = kT C 1 = lim jω Z ( jω ) C ω →∞ với (11-29) Với C là điện dung đầu vào Chứng minh: Như ta biết ( giá trị định lý ban đầu): z (0 + ) = lim sZ ( s ) s→ ∞ và công thức (11-29) được suy ra từ (11-28) bởi vì: E{v 2 (t )} = Rv (0) = kTz (0+ ) Dòng hiện hành: Theo định lý Thévenin, cuối cùng, một mạng lưới bị nhiễu... biến thể của định lý Nyquist: Phổ năng lượng của dòng i(t) ngắn mạch từ a đến b gây ra bởi nhiễu nhiệt bằng: Υ ( s) = Si (ω ) = 2kT Re Υ ( jω ) (11-30) Chứng minh: Từ định lý Thévenin : Si (ω ) = Sv (ω ) | Υ ( jω ) |2 = 2kT Re Z ( jω ) | Z ( jω ) |2 Và ta thu được kết quả là (11-30) 4 Mô phỏng với Mathlab 13 1 Z ( s) Phần này ta sẽ mô phỏng dao động của 1 hạt trong chuyển động Brown a) Chuyển động Brown . Bài tập lớn quá trình ngẫu nhiên Đề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng mục lục Random Walk (Nguyễn Trí Quân) Chuyển động Brown Brown. các mẫu x(t, ζ ) phụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ngửa. Quá trình này được gọi là random walk( Bước ngẫu nhiên). Định nghĩa: Bước ngẫu nhiên là quá trình ngẫu nhiên rời rạc mà có các mẫu. của w (t) là thông thường với nghĩa 0 và không đúng (11-4) c)Tổng quát về bước ngẫu nhiên: Bước ngẫu nhiên có thể viết thành một tổng: Trong đó biến ngẫu nhiên mang giá trị s hoặc –s với