Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy  Câu 1. Cho hàm số           32 1 2 1y x m x m x . Tìm m để hàm số nghịch biến trên   1; 3  Lời giải. TXĐ : x . Ta có :          2 ' 3 2 1 2y x m m x Để hàm số đã cho nghịch biến trên   1; 3 khi và chỉ khi :                                  2 2 2 ' 0 1; 3 3 2 1 2 0 1; 3 3 2 2 3 2 2 2 1 0 1; 3 12 y x x m x m x xx x x m x m x x Xét hàm số      2 3 2 2 12 xx fx x trên   1; 3 , có :                 2 13 15 '0 10 2 x f x x xx Do đó                              2 1;3 3 2 2 1 5 1; 3 min ; 1 ; 3 1 2 2 xx m x m f x f f f x là giá trị cần tìm   Câu 2. Giải phương trình với x :   5 sin 3 2 cos3 4 cos 0x x x  Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với :                                                        33 2 3 3 2 5 3 sin 4 sin 2 4 cos 3 cos 4 cos 0 15 sin . cos 5 sin 6 cos 2 cos .sin 0 sin 3 cos sin 3 cos 5 sin 2 cos 0 2 tan 3 3 2 2 tan arctan 2 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x xk x k x xk Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm kể trên   Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn           22 : 2 1 9C x y và điểm   0; 4A . Đường thẳng  đi qua điểm   1;1M và cắt đường tròn   C tại N .Xác định tọa độ điểm N biết khoảng cách từ tâm của đường tròn   C đến đường thẳng  bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng  .  Lời giải.               22 : 2 1 9 2;1 ; 3C x y I R Vì  đi qua   1;1M nên gọi phương trình  có dạng :         22 00ax by a b a b BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Hướng dẫn giải đề số 1 Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy Theo giả thiết , ta có :                  23 ; ; 3 3 43 ab d I d A a a b ab TH1. Với 23ab suy ra phương trình    : 3 2 1 0xy do đó tọa độ điểm N thỏa mãn :                         22 3 2 1 0 11 23 ,; 13 13 2 1 9 xy xy xy TH2. Với 43ab suy ra phương trình    : 3 4 7 0xy do đó tọa độ điểm N thỏa mãn :                       22 3 4 7 0 71 97 ,; 25 25 2 1 9 xy xy xy Mỗi trường hợp trên đều loại một điểm N là do nó đã trùng với điểm   1;1M   Câu 4. Giải phương trình :                  1 3 1 2 1 3 11 2 x x x x x x x  Lời giải. Điều kiện :  0x Phương trình đã cho được viết lại thành :                                                                     2 2 22 3 2 2 1 2 1 6 22 3 2 6 2 1 2 1 6 22 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 12 20 0 1 2 1 1 2 1 2 5 2 0 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x Vậy  4x là nghiệm duy nhất của phương trình   Câu 5. Giải hệ phương trình :                     22 2 10 3 6 7 , 2 3 2 2 1 x y x y xy xy y x xy y y x y  Lời giải. Điều kiện :  1 2 xy Xử lý phương trình hai chúng ta có :             2 1 2 1 3x y y y x y Phương trình một của hệ biểu diễn dưới dạng :                2 2 3 5 0 53 xy x y x y xy  Với  2xy thế vào    ta được :       2 1 2 1 3y y y y  Với 53xy thế vào    ta được :          4 3 2 1 2 1 4 3 3y y y y Hai hàm số trên thu được đều là những hàm đồng biến trên      1 ; 2 oo và      3 ; 4 oo do đó đều có nghiệm duy nhất       1 ; 2;1y x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy  Câu 6. Cho ,xy là hai số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :           22 20 9 2 34 4 x y y xy x y y xy x y  Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :               2 2 2 2 22 20 10 2 3 4 2 2 2 34 y x y xy x y y y x y xy x y y                             22 2 99 4 4 4 4 4 4 4 xy x y xy x y x y x y xy x y x y x y Từ đó suy ra :                           22 10 9 10 9 0 22 4 4 x y t f t t x y x y t tt x y x y Xét hàm số       2 10 9 2 4 t ft t tt với 0t , có :                  22 2 18 2 8 ' 0 2 2 4 t f t t t tt Do đó suy ra được      9 2 4 f t f hay              9 1 2 4 xy Max x y xy  . nghiệm duy nhất của phương trình   Câu 5. Giải hệ phương trình :                     22 2 10 3 6 7 , 2 3 2 2 1 x y x y xy xy y x xy y y x y  Lời giải. Điều kiện :  1 2 xy . điểm   1;1M   Câu 4. Giải phương trình :                  1 3 1 2 1 3 11 2 x x x x x x x  Lời giải. Điều kiện :  0x Phương trình đã cho được viết lại thành. 2 xx m x m f x f f f x là giá trị cần tìm   Câu 2. Giải phương trình với x :   5 sin 3 2 cos3 4 cos 0x x x  Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với :           