số lợng giác Tích phân dạng hàm 1 Đ ể giúp học sinh có thêm những kiến thức mang tính hệ thống, tôi xin giới thiệu một số lớp tích phân dạng hàm số lợng giác thờng gặp trong các kì thi tốt nghiệp cũng nh thi đại học. Hi vọng qua bài viết này, các em có thể rút ra nhiều điều bổ ích cho bản thân. I. Dạng dxxxf )cos,(sin . 1. Nếu f(sinx, cosx) là hàm hữu tỉ thì đặt t = tg 2 x . 2. Một số hiện tợng cá biệt. - Nếu f(-sinx, cosx) = - f(sinx, cosx) thì đặt x = cost. - Nếu f(sinx, - cosx) = - f(sinx, cosx) thì đặt x = sint. - Nếu f(-sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt x = tgt. Qua các cách đổi biến nh trên, ta có thể tính các tích phân một cách đơn giản và nhanh chóng. Sau đây là một số ví dụ cụ thể. 1. Ví dụ 1. Tính I = x dx sin . Lời giải. Đặt t = tg 2 x 2 2cos 2 dx dt x = , 2 1 2 sin t t x + = . Vậy I = x dx sin = ln ln 2 dt x t c tg c t = + = + 4.Ví dụ 4. Tính I = + x x x x dx 22 coscossin2sin Chú ý: ở đây mọi nguyên hàm đợc hiểu là trên mỗi khoảng của tập xác định. II. Dạng xdxx nm cossin . - Nếu m hoặc n là số nguyên dơng lẻ thì tơng ứng ta đặt t = cosx hoặc t = sinx - Nếu m và n đều là số nguyên dơng chẵn thì chúng ta dễ dàng sử dụng công thức hạ bậc và góc nhân đôi để giải quyết bài toán. - Nếu (m+n) là số nguyên chẵn thì đặt t = tgx hoặc t = cotgx. Tùy theo từng điều kiện của bài toán mà ta có thể chọn lựa cách đặt cho phù hợp. Sau đây là một số ví dụ: 2.Ví dụ 2. Tính I = 3 2 3 cos sin x xdx . Lời giải. Đặt t = cosx xdxdt sin= . Ta có I = - 3 2 2 1 t t dt = 4 2 3 3 t t dt = 7 1 3 7 3 3 3 3 3 3 cos 3 cos 7 7 t t c x x c + = + Các bạn hy tự giải hai ví dụ sau: 3. Ví dụ3. Tính I = dx x x xx + + 42 53 sinsin coscos . 1.Ví dụ1. Tính 4 5 sin cos x xdx . Lời giải. Đặt t = sinx, ta có dt = cosxdx Vậy xdxx 54 cossin = = ( ) ( ) == dttttdttt 864 2 24 21 = cttt ++ 975 9 1 7 2 5 1 = cxxx ++ 975 sin 9 1 sin 7 2 sin 5 1 . 2.Ví dụ 2. Tính 3 3 coscos sin xx xdx . Lời giải. Ta có 3 3 coscos sin xx xdx = 4 3 3 sin cos x xdx www.hsmath.net www.hsmath.net 2 Đặt t = cosx (do m = 3, n = 4 3 ), ta có dt = - sinxdx. Vậy 4 3 3 sin cos x xdx = - ( ) 4 2 3 1 .t t dt = 2 4 3 3 t t dt = 5 1 3 3 3 3 5 t t c + = 5 1 3 3 3 cos 3cos 5 x x c + 3. Ví dụ3. Tính I = xdxx 42 cossin . Lời giải. Ta sử dụng công thức hạ bậc: 1 sinxcosx= sin 2 2 x , 2 1 cos2 cos 2 x x + = và dế dàng giải quyết bài toán. 4.Ví dụ 4. Tính I = 3 11 cossin xx dx . Lời giải. Dễ thấy m = 3 11 , n = 3 1 và m + n = - 4 nên ta đặt t = tgx , ta có ngay dt = (1+tg2x)dx . Vậy: I = 3 1211 cos xxtg dx = 3 114 cos xtgx dx = ( ) ( ) ( ) 2 2 11 2 3 11 2 3 1 1 . 1 . t dt t t dt t t + = + + = 11 5 3 3 t t dt + = 8 2 3 3 3 3 8 2 t t c + = 8 2 3 3 3 3 8 2 tg x tg x c + Để kết thúc bài viết, tôi xin đa ra một số bài tập để các em luyện tập thêm về phơng pháp trên. III. Bài tập. Tính các tích phân sau: a) I 1 = dx x x xx + cossin cossin 2 b) I 2 = + x x xdx sinsin cos 2 3 c) I 3 = 1sincos 2sin 23 x x xdx d) I 4 = 3 2 3 cos sin x xdx e) I 5 = x xdx 2 4 sin cos ./. www.hsmath.net www.hsmath.net . số lợng giác Tích phân dạng hàm 1 Đ ể giúp học sinh có thêm những kiến thức mang tính hệ thống, tôi xin giới thiệu một số lớp tích phân dạng hàm số lợng giác thờng gặp. - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt x = tgt. Qua các cách đổi biến nh trên, ta có thể tính các tích phân một cách đơn giản và nhanh chóng. Sau đây là một số ví dụ cụ thể. 1. Ví dụ 1. Tính I. đa ra một số bài tập để các em luyện tập thêm về phơng pháp trên. III. Bài tập. Tính các tích phân sau: a) I 1 = dx x x xx + cossin cossin 2 b) I 2 = + x x xdx sinsin cos 2 3 c)