Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7) Bài toán 1 : So sánh giá trị biều thức 3 8 15 9999 4 9 16 10000 A = + + + + với các số 98 và 99. Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 9 16 10000 2 3 4 100 A                 = − + − + − + + − = − + − + − + + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                 = 2 2 2 2 1 1 1 1 99 99 2 3 4 100 B   − + + + + = −  ÷   với B = 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 4 100 + + + + > 0 Nên A < 99. Ta có ( ) 1 1 1 1 1k k k k = − + + với mọi k 1≥ nên 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 100 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 3 4 99 100 100 B = + + + + < + + + + = − + − + − + + − = − < Do đó 99 99 1 98A B= − > − = . Vậy 98 99A< < Tổng quát: ( ) ( ) 2 2 3 8 15 1 2 1 4 9 16 n n n n − − < + + + + < − Bài toán 2 : Viết số 2 3 4 999 1000 1 2 3 4 999 1000+ + + + + + trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó? Giải: Ta có 2 3 4 999 1000 1 2 3 4 999 1000A = + + + + + + ; Đặt 1000 3000 3000 1000 10 100000 0000B = = = 1 44 2 4 43 gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1) Đặt C 2 3 999 1000 3 6 2997 3000 1000 1000 1000 1000 1000 10 10 10 10= + + + + + = + + + + = 100100100 1000 gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100. Bài toán 3: Cho ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 14 29 1877 1 2 A n n n = + + + + + + + + + . Chứng minh rằng 0,15 0,25A< < . Giải : Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 14 29 1877 1 2 A n n n = + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 24 25 26 1 2n n n = + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 6 5B n n n n n= + + + + = + + . (1) • Với 1n ≥ từ (1) ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 9 6 3 3 2 3 1 2B n n n n n n< + + = + + = + + . Từ đó : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 3 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 3 A C n n   > + + + + + + =  ÷  ÷ + +   Với C = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2 3 3 4 25 26 2 26 13n n + + + + + + = − + − + + − = − = + + . Suy ra 1 6 2 . 0,15 3 13 13 A > = > . • Với 1n ≥ từ (1) ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 4 2 3 2 2 1 2B n n n n n n> + + = + + = + + . Từ đó : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2 A C n n   < + + + + + + =  ÷  ÷ + +   Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Với C = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2 3 3 4 25 26 2 26 13n n + + + + + + = − + − + + − = − = + + . Suy ra 1 6 3 . 0,25 2 13 13 A < = < . Vậy 0,15 0,25A< < Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 6 3 2 1 2 3 2 3 4 4 2 2 1 2 k k k k k − < + + + < − + + + + + + + + + + Bài toán 4: Tính A B biết : ( ) 1 1 1 1 2.32 3.33 30 1979.2009 A n n = + + + + + + ; ( ) 1 1 1 1 2.1980 3.1981 1978 31.2009 B n n = + + + + + + . Giải: Với các số nguyên dương n và k ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 n k n k n n k n n k n n k n n k + − = − = + + + + . Với k = 30 ta có : 30 30 30 1 1 1 1 1 1 30 2.32 3.33 1979.2009 2 32 3 33 1979 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) 2 3 1979 32 33 2009 2 3 31 1980 1981 2009 A = + + + = − + − + + − =         = + + + − + + + = + + + − + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         Với k = 1978 ta có : 1978 1978 1978 1 1 1 1 1 1 1978 2.1980 3.1981 31.2009 2 1980 3 1981 31 2009 B = + + + = − + − + + − 1 1 1 1 1 1 (2) 2 3 31 1980 1981 2009     = + + + − + + +  ÷  ÷     . Từ (1) và (2) suy ra 1978 989 30 1978 30 15 A A B B = ⇒ = = . Bài toán 5 : Tính tổng sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 5 4017 1 2 2 3 2008 2009 n S = + + + × × × . Giải: Với 1n ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + − + + + + − = = = − = − + + + + + + Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 5 4017 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 9 2008 2009 2009 1 2 2 3 2008 2009 n S = + + + = − + − + + − = − × × × . Bài toán 6 : Tính các tổng sau: ( ) 1.2 2.3 . 1 98.99A n n= + + + + + + (*) ; ( ) 1.99 2.98 100 98.2 99.1B n n= + + + − + + + Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1.2.3 2.3.3 3 1 3.98.99 1.2. 3 0 2.3. 4 1 98.99. 100 97A n n= + + + + + + = − + − + + − . ( ) 970200 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 970200 323400 3 A= + + + − + + + = = ⇒ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.99 2. 99 1 3. 99 2 98. 99 97 99. 99 98 1.99 2.99 3.99 99.99 1.2 2.3 3.4 98.99 B = + − + − + + − + − = = + + + + − + + + + ( ) ( ) 99 99 1 2 3 99 99. 99 1 . 99.99.50 323400 166650 2 A A= + + + + − = + − = − = Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Từ bài toán (*) suy ra 98.99.100 3 98.99.100 3 A A= ⇒ = . Nếu ( ) 1.2 2.3 3.4 1A n n= + + + + + . Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n = 100 ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 1 .3 0.1 1.2 2.3 3.4 1 .3B n n n n= + + + + − = + + + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 0 2 3. 2 4 5. 4 6 97. 96 98 99 98 100 .3   = + + + + + + + + + + =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1.1.2 3.3.2 5.5.2 7.7.2 99.99.2 .3 2.3. 1 3 5 7 99= + + + + + = + + + + + ( ) 2 2 2 6 1 3 99= + + + . Do đó ( ) 2 2 2 2 6 1 3 5 99 99.100.101+ + + + = hay 2 2 2 99.100.101 1 3 99 166650. 6 + + + = = Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 3 1 3 2 1 6 n n n P n + + + = + + + + = Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 6 n n n P n + + = + + + + = Bài toán 7: Tính B A biết: ( ) 1 1 1 1 1.2 2.3 1 2008.2009 A n n = + + + + + + . ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010 B n n n = + + + + + + + . Ta có ( ) 1 1 1 1 1n n n n = − + + và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2n n n n n n n = − + + + + + Nên: ( ) 1 1 1 1 1 2008 1 1.2 2.3 1 2008.2009 2009 2009 A n n = + + + + + = − = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2019044 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010 B n n n = + + + + + + = − = + + 1 2019044 1009522 . 2 2009.2010 2009.2010 B⇒ = = . Do đó 1009522 2008 1009522.2009 5047611 : 2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040 B A = = = 1011531 2 2018040 = Bài toán 8 :Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không? Giải: Ta có: 1.2.3.4 1001A = và 1002.1003.1004 2002B = . Ta viết B dưới dạng: ( ) ( ) ( ) 2003 1001 2003 1000 2003 1B = − − − . Khai triển B có một tổngngoài số hạng 1001.1000 2.1− . Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên 2003. 1001.1000 2.1 2003B n n A= − = − với n là số tự nhiên. Do đó: 2003A B n+ = là một số chia hết cho 2003. Cách giải khác: Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ; ( ) ( ) ( ) 1002; 1001 ; 1003;1000 ; 2002;1− . Do đó 1002.1003 2002B = và 1001.1000 2.1A − = − có cùng số dư khi chia cho 2003. Nên ( ) A B B A+ = − − chia hết cho 2003 Nếu a và 1 2 ; ; ; n a a a là các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . . n n a a a a a a a a a a+ − − − M Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x y y z z x x y y z z x + + − − − − − − với ; ;x y y z z x ≠ ≠ ≠ . Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x y x z z y x z x y y z = + − − − − − − (*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau. Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau: Bài toán 1 : Cho ; ;a b b c c a≠ ≠ ≠ chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A a b c a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − Áp dụng hằng đẳng thức (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 A a b b c a b a c b c c a a c b a c a c b = + + + − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b b c b c a b b c a b a c a b a c b c c a b c c a a b a c b c c a + − + − = − + − = + − − − − − − − − − − − − 1 a b b c a b b c a c c a a c a c + + + + = + = − = − − − − Bài toán 2 : Cho ; ;a b b c c a≠ ≠ ≠ . Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b x c x c x a x a x b B a b a c b c b a c a c b − − − − − − = + + − − − − − − Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b x c x c x a x a x b B a b a c b c b a c a c b − − − − − − = + + = − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b x c x c x a x c x a x a x b a b a c b c c a a c b a c a c b − − − − − − − − = + + + − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b x c x c x a x c x a x a x b a b a c b c c a a c a b a c c b x b x c x c x a x c x a x b x a x c a b x a b c a b a c b c c a a b a c a b a c − − − − − − − − = + − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + = + − − − − − − − − 1 x c x a x c x a a c a c a c − − − − + = − = = − − − Bài toán 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c x a b a c x a b a b c x b c a c b c x x a x b x c + + = − − − − − − − − − − − − Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Biến đổi vế trái, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a c x a b a b c x b c a c b c x + + − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c a b a c x a b a a c x b c a b c x b c a c b c x = + + + − − − − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) a b b c a b a c x a x b c a b c x b x c     = − + −     − − − − − − − −     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 . . bx cx ax bx x x a b a c x a x b c a b c x b x c a c x a x b c a x b x c − − = + = + − − − − − − − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x a c x x a c x b x a x c a c x b x c x a x b x c x a −   = − = =   − − − − − − − − − − −   . Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh. Bài toán 4: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a − − − + + = + + − − − − − − − − − Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1b c b a a c a b a c a b a c a b a c c a a b − − − = + = + − − − − − − − − (1) Tương tự ta có: ( ) ( ) 1 1c a b c b a b c a b − = + − − − − (2) ( ) ( ) 1 1a b c b c a b c c a − = + − − − − (3) Từ (1) ;(2) và (3) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1b c c a a b a b a c b c b a c a c b c a a b b c a b b c c a − − − + + = + + + + + − − − − − − − − − − − − 2 2 2 a b b c c a = + + − − − (đpcm) Bài toán 5 : Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a bc b ac c ab a b a c b c b a c a c b − − − + + + + + + + + với ; ;a b b c c a≠ − ≠ − ≠ − Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( )a bc a ab bc ab a a b b c a a b a b a c a b a c a b a c a c a b − + − − + − + = = = − + + + + + + + + (1) Tương tự: ( ) ( ) 2 b ac b c b a b c a b b c − = − + + + + (2) ( ) ( ) 2 c ab c a c a b c c b c a − = − + + + + (3) Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a bc b ac c ab a b b c c a a b a c b c b a c a c b a c a b a b b c c b c a − − − + + = − + − + − = + + + + + + + + + + + + Bài toán 6: Cho ba phân thức 1 a b ab − + ; 1 b c bc − + ; 1 c a ca − + . Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của chúng. Giải: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Ta có : 1 1 1 b c b a a c bc bc bc − − − = + + + + nên 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b a a c c a ab bc ca ab bc bc ca − − − − − − − + + = + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b bc ab c a bc ac a b c a ab bc ac bc ab bc ac bc − + − − − + − −     = − − + − − = +     + + + + + + + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a b c a c c a b a a b c a a b c a b c b c ab bc ac bc bc ab ac ab bc ac − − − − − − − − −   = + = − =   + + + + + + + + + +   (đpcm). Bài toán 7 : Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không? a b c a b b c c a + + + + + Giải: Ta có 1 a b c a b c a b c M a b b c c a a b c a b c a b c a b c + + = + + > + + = = + + + + + + + + + + + hay M > 1 . 1 1 1 3 3 1 2 b c a b c a M a b b c c a a b c b c a c a b         = − + − + − < − + + = − =  ÷  ÷  ÷  ÷ + + + + + + + + +         hay M < 2 Vậy 1 < M <2 . Do đó M không thể là số nguyên dương. Bài toán 8 : Đơn giản biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1004 2 1004 2 1004a a b b c c A a a b a c b b a b c c c b c a − − − − − − = + + − − − − − − Giải: MTC là : ( ) ( ) ( ) abc a b b c a c− − − Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1004 2 1004 2 1004bc b c a a ac a c b b ab a b c c A abc a b b c a c abc a b b c a c abc a b b c a c − − − − − − − − − = + + − − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2008 2008 2008 2008 2008 2008b c ac a b bc a c ab abc a b b c a c + + − − − = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2008 2008 2008 c a c b a b a c b a b c a b b c a c abc a b b c a c abc a b b c a c abc   − + − + − − − −   = = = − − − − − − Với 0abc ≠ Bài toán 9 : Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) 2 2003 2013 31 2004 1 2003 2008 4 2004 2005 2006 2007 2008 P × + × − × + = × × × × Giải: Đặt a = 2004 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 9 31 1 1 4 4 1 2 3 4 a a a a a P a a a a a     − × + + × − − + +     = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 9 31 1 3 4 4 1 2 3 4 a a a a a a a a a a a     − + + + − + − +     = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 9 2 18 9 31 1 3 7 14 8 3 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − − + + + − + + + + + = = + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 2 3 4 a a a a a a a a a a + + + + = = + + + + . Vậy P = 1 . Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7) Bài toán 1 : So sánh giá trị biều thức 3 8 15 9999 . 2 3 99 99. 99 1 . 99.99.50 323400 166650 2 A A= + + + + − = + − = − = Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Từ bài toán (*) suy ra 98.99.100 3 98.99.100 3 A A= ⇒ = . Nếu ( ) 1.2 2.3 3.4. + + Bài toán 6: Cho ba phân thức 1 a b ab − + ; 1 b c bc − + ; 1 c a ca − + . Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của chúng. Giải: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8 Ta