BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN XUÂN TRƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN XUÂN TRƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn tới Tiến sĩ Nguyễn Hữu Thọ, Bộ môn Toán học- Trường Đại học Thủy Lợi đã có những góp ý quý báu cho tác giả trong quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các đồng nghiệp, gia đình, người thân, các bạn trong lớp cao học K16 TGT Đợt 2 -ĐHSP Hà Nội 2 đã động viên , tương trợ và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Trường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tâm của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình trình truyền sóng trong miền không trơn" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Trường Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Các kí hiệu. . . . . . . . . 4 1.2. Trung bình hóa . . . . . . . . 5 1.3. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . 6 1.3.1. Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . 6 1.3.2. Không gian L ∞ (Ω) . . . . . . . 6 1.3.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . 7 1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . 8 Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn . . . . 12 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 12 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 13 2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 15 2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 18 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 21 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 21 3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 22 3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 22 v 3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 25 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng chúng ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplate, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại Eliptic, Hypebolic, Parabolic. Ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với phương trình trên những miền bất kỳ hoặc với những bài toán của phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là những nghiệm "thô" lúc đầu là nghiệm "khá gần" với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm suy rộng gần đến nghiệm thông thường.Vì vậy, phương trình đạo hàm riêng là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự khám phá của những người yêu thích nó. Để góp phần giúp đỡ cho người học, những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: "Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn" 1 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn. Kết quả nhận được là các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong miền không trơn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng trong luận văn là sử dụng các công cụ của giải tích hàm, phương pháp Galerkin. 2 6. Những đóng góp mới của đề tài Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặc xét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải. 3 Chương 1 Không gian Sobolev 1.1. Các kí hiệu Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω. Kí hiệu: Ω b a = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞} là trụ trong R n+1 ; Mặt xung quanh của nó là: S b a = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} ; Ω ∞ h là hình trụ Ω × (h, ∞); S ∞ h = ∂Ω × (h, ∞); Ω T = Ω × (0, T ) ; S T = Ω × (0, T ) ; Ω b h = Ω × (h, b) = {(x, t)|x ∈ Ω, t ∈ (h, b)} . Nếu (a, b) = R thì ta viết: Ω R = Ω +∞ −∞ ; S R = S +∞ −∞ ; Giả sử u là hàm vector phức với các thành phần u 1 , , u n . Ta kí hiệu u = (u 1 , , u n ) và D p u = ∂ |p| u/∂x p 1 1 ∂x p n n = u x p 1 1 x p n n là đạo hàm suy rộng cấp p theo biến x = (x 1 , x n ); u t k = ∂ k u/∂t k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t. Ở đây p = (p 1 , , p n ) là kí hiệu đa chỉ số với p i là các số nguyên không âm, |p| = p 1 + + p n . 4 [...]... Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Trong chương này, luận văn nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn, kết quả nhận được là tính giải được của bài toán trong trụ Ω∞ với đáy có biên không trơn h 2.1 Đặt bài toán Xét toán tử vi... trong W 1,1 (Ω∞ ) nên (2.6) đúng cho mọi η ∈ h W 1,1 (Ω∞ ) Như vậy, u(x, t) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.3)-(2.5) h Định lý được chứng minh 20 Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Trong chương này luận văn trình bày về tính duy nhất và sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối. .. với x ∈ Ω theo biến t ∈ [h, ∞) và n aij (x, t) ξi ξj ≥ µ1 |ξ|2 i,j=1 ∞ với mọi ξ ∈ Rn \ {0} và (x, t) ∈ Ωh , ở đây µ1 = const > 0 12 (2.2) Xét bài toán sau trong trụ Ω∞ h L (x, t, D) u − utt = f (x, t) , (2.3) u|t=h = ut |t=h = 0, (2.4) ∞ u|Sh = 0 (2.5) với điều kiện ban đầu với điều kiện biên Bài toán (2.3)-(2.5) gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong. .. uxi (., t) i,j−1 21 Ω ,t ∈ R trong đó B (., ) (t) thỏa mãn điều kiện Eliptic đều, tức là ∃µo > 0 sao cho ta có: B (u, u) (t) ≥ µo u (., t) 2 W 1 (Ω) với hầu khắp t ∈ R Xét bài toán sau trong trụ ΩR L (x, t, ∂) u − utt = f (x, t) (3.2) u|SR = 0 (3.3) Bài toán (3.2)-(3.3) gọi là bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 3.2 Định nghĩa nghiệm... là nghiệm suy rộng của bài toán (3.1) − (3.2) thỏa mãn: u 2 0 W 1,1 (e−γt ,Ω ≤C f R) 28 2 L2 (e−γt ,ΩR ) Kết luận Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Kết quả chính mà đạt được trong quá trình nghiên cứu là: 1 Trình bày nghiệm suy rộng của bài toán 2 Trình bày sự tồn tại... thoả mãn điều kiện (2.2) và thoả mãn điều kiện sau: sup (x,t)∈Ω∞ h ∂aij ∂t ≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0 15 Khi đó bài toán (2.3) − (2.5) có không quá một nghiệm suy rộng trong W 1,1 (e−γt , Ω∞ ) với γ > 0 h Chứng minh Giả sử bài toán (2.3) − (2.5) có hai nghiệm suy rộng u1 và u2 trong W 1,1 (e−γt , Ω∞ ) với γ > 0 .Với T > h, b tùy ý , b ∈ (h, T ) h Đặt: u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) 0 Ta có u ∈... ≤ C −∞ Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman ta có: 1 1 J (t) ≡ 0 trên −∞, 2γ ln C ⇒ u ≡ 0 hầu khắp nơi với t ≤ 1 1 2γ ln C kết hợp với tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán có điều kiện ban đầu đã xét trong Chương 2 ta suy ra : u1 (x, t) = u2 (x, t) hầu khắp t ∈ R Định lý đã đuợc chứng minh 3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng của bài toán (3.1) − (3.2) có thể được đánh giá xấp... rộng 3 Trình bày được tính duy nhất của nghiệm suy rộng Đặc biệt việc trình bày nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất của bài toán với biên trong miền không trơn là một kết quả mới Một số vấn đề được mở ra sau những kết quả đạt được của luận văn: 1 Tính trơn theo biến thời gian và không gian của nghiệm suy rộng 2 Dáng điệu của nghiệm suy rộng Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn,... một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không gian Banach Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (f, g) = f (x) g (x)dx Ω 1.3.2 Không gian L∞ (Ω) Định nghĩa 1.3.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi đó L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo 6 Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn : u L∞ (Ω) = esssup |u|X < ∞ x∈Ω 1.3.3 Không. .. đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 3.1 Đặt bài toán Ta đưa vào các không gian hàm: W 1,1 (e−γt , ΩR ), L2 (e−γt , ΩR ) Xét toán tử vi phân cấp hai sau: n L (x, t, D) = ∂ ∂xi i,j=1 aij (x, t) ∂ ∂xj trên ΩR (3.1) ở đây aij ≡ aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên ΩR , aij = aji (i, j = 1, , n) Hơn nữa giả sử rằng aij , i, j = 1, , n là liên tục đều với x ∈ Ω theo biến . (2.3) với điều kiện ban đầu u| t=h = u t | t=h = 0, (2.4) với điều kiện biên u| S ∞ h = 0 (2.5) Bài toán (2.3)-(2.5) gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng. ngành Toán giải tích với đề tài: " Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình trình truyền sóng trong miền không trơn& quot; được hoàn thành bởi sự nhận thức và. trình truyền sóng trong miền không trơn Trong chương này, luận văn nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng