BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ NGỌC BÍCH VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ NGỌC BÍCH VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, thầy đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè và các đồng nghiệp tại trường Trung học phổ thông Thành Đông đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình và những người thân đã luôn quan tâm, khích lệ và tạo điều kiện cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Vũ Ngọc Bích Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Về sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh và bản thân tác giả. Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Vũ Ngọc Bích Mục lục Mở đầu 1 Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Không gian metric………………………………… ………………… 5 1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach………… ……………… 7 1.3. Toán tử tuyến tính 9 1.4. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 11 1.4.1. Phương trình vi phân cấp một 11 1.4.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 14 1.4.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 15 1.4.4. Nghiệm bài toán Cauchy 17 1.4.5. Phương trình vi phân cấp  18 1.4.6. Phương trình vi phân tuyến tính cấp  với hệ số là các hàm số 20 1.4.7. Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 25 1.4.8. Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 27 1.5. Đạo hàm và vi phân Fréchet 28 1.6. Phương pháp sai phân 30 Chƣơng 2. Sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân 34 2.1. Phương pháp Newton 34 2.2. Phương pháp Newton–Kantorovich 35 2.2.1. Phương pháp Newton–Kantorovich 35 2.2.2. Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton–Kantorovich 37 2.3. Phương pháp Newton–Raphson 45 2.4. Ứng dụng hai phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương trình vi phân cấp một 48 2.4.1. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình vi phân cấp một 48 2.4.2. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương trình vi phân cấp một 51 2.5. Các ví dụ 52 2.6. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên bằng lập trình trên Maple 18 59 2.7. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình vi phân cấp hai 71 2.8. Ứng dụng phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình vi phân cấp hai 73 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật có nhiều bài toán dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình toán tử có dạng tổng quát:     trong đó  là một toán tử từ tập  đến tập  với . Toán tử  có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Phương trình (0.1) có thể là phương trình vi phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,… Phương trình vi phân đã được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ thế kỷ 17. Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường, trong đó việc giải đúng phương trình vi phân nói chung là việc làm khó khăn. Người ta chỉ giải đúng được một số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ. Có hai nhóm phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường là nhóm các phương pháp giải tích và nhóm các phương pháp số. Các phương pháp giải tích là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích, chẳng hạn như phương pháp hệ số bất định. Các phương pháp số như: phương pháp Euler, phương pháp Runge–Kutta,…tìm nghiệm dưới dạng bảng. Với sự phát triển công nghệ thông tin và các công trình nghiên cứu giải gần đúng phương trình vi phân thì phương pháp sai phân và phương pháp lặp thường được sử dụng và có nhiều cải tiến. Phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến được Newton đề xuất để giải gần đúng phương trình     , trong đó  là hàm khả vi liên tục trên không gian một chiều . Sau đó Raphson mở rộng phương pháp Newton giải hệ phương trình n biến trong không gian hữu hạn chiều   . Dựa trên ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến Kantorovich đã xây dựng phương pháp 2 Newton–Kantorovich để giải phương trình (0.1) khi  là toán tử phi tuyến, khả vi trong không gian vô hạn chiều. Bản chất của phương pháp Newton– Kantorovich là thay thế phương trình (0.1) bởi một phương trình toán tử tuyến tính, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm của phương trình (0.1). Phương pháp Newton–Kantorovich được ứng dụng rộng rãi trong giải phương trình toán tử phi tuyến. Với sự hỗ trợ của phần mềm Maple 18 ta có thể lập trình đối với thuật toán của phương pháp Newton–Kantorovich và Newton–Raphson để giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử. Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng của phương pháp kiểu Newton trong giải phương trình toán tử phi tuyến và được sự định hướng của thầy hướng dẫn chúng tôi chọn đề tài “Về sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn gồm hai chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Trong chương 2, phần đầu chúng tôi trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao gồm phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến), phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên, phương pháp Newton–Raphson, tiếp theo chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton– Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một bằng lập trình trên Maple 18. Ở cuối chương 2, chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai. 3 2. Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân. • Nghiên cứu giải phương trình vi phân phi tuyến trên máy tính điện tử bằng lập trình trên Maple 18. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và cách giải một số phương trình vi phân phi tuyến bằng phương pháp sai phân và phương pháp lặp. 4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu • Phương pháp xấp xỉ liên tiếp. • Phương pháp sai phân. • Phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên, Newton–Raphson. • Một số ứng dụng của các phương pháp nói trên vào giải phương trình vi phân phi tuyến và giải số trên máy tính. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu • Chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống các khái niệm và tính chất. • Chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích cổ điển, giải tích hàm, giải tích số, lí thuyết phương trình vi phân và lập trình trên máy tính điện tử. • Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. 4 6. Đóng góp mới của luận văn Luận văn nghiên cứu ứng dụng lập trình trên Maple 18 để tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân phi tuyến theo các phương pháp Newton– Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên và Newton–Raphson. [...]... cơ bản về phƣơng trình vi phân Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân tuyến tính cấp một, phương trình vi phân cấp , phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số là các hàm số, phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng, phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng, bài toán Cauchy, nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và duy... chất của nghiệm phương trình tuyến tính cấp một 1.4.5 Phƣơng trình vi phân cấp Định nghĩa 1.20 Phương trình vi phân thường cấp là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của ẩn số đó: Hàm ( ) ( ) xác định trong một miền ( ) ( )/ nào đấy của không gian ℝ ( ) Cấp của phương trình đã cho là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương 19 trình. .. của bài toán Cauchy Ta có thể tham khảo cách chứng minh các định lý từ 1.4 đến 1.8 trong [5] 1.4.1 Phƣơng trình vi phân cấp một Định nghĩa 1.15 Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát: ( trong đó , là biến số độc lập, ) là hàm số phải tìm, hàm ( ) xác định 12 ℝ trong miền Nếu trong miền , từ phương trình (1.9) ta có thể giải được ( ) ( ) thì phương trình (1.10) được gọi là phương trình vi phân. .. - ( ) Khi áp dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.42) nhiều lúc ta đi đến tính toán phức tạp Trong trường hợp hàm ( ) có những dạng đặc biệt ta có thể áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.42) một cách đơn giản hơn Ví dụ 1.8 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Giải: Xét phương trình đặc trưng có hai nghiệm là và Vậy nghiệm... cấp một đã giải ra đối với đạo hàm ( ) là một nghiệm nào đó của phương trình (1.10) Khi đó tập Giả sử hợp những điểm ( ( )) sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường cong tích phân của phương trình (1.10) ( ) xác định và khả vi trên khoảng Hàm ( ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.10) nếu: ( )( ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )) Nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc hằng số tùy ý Trong thực... tổng quát của phương trình (1.40) ta có khẳng định sau đây: 26 Bổ đề 1: Nếu phương trình (1.40) có nghiệm phức ( ) ( ) ( ) thì phần thực ( ) và phần ảo ( ) là các nghiệm thực của phương trình (1.40) Bổ đề 1 còn đúng khi các hệ số của phương trình tuyến tính thuần nhất là các hàm số thực Hệ thức ( ) được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với (1.40) Như vậy để hàm là nghiệm của phương trình (1.40)... với { trong miền ) phương trình (1.15) tồn tại duy nhất Thật vậy nếu vi t (1.15) dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) liên tục và có đạo hàm riêng theo ( ) thì hàm liên tục trong Do đó theo hệ quả của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta suy ra nhận xét trên Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.15), trước hết ta xét phương trình ( ) ( ) (1.16) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với... tính của với các hệ số là các hàm số được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó Định lý 1.7 Phương trình (1.33) với các hệ số trên khoảng ( ( ) liên tục ) có vô số hệ nghiệm cơ bản Định nghĩa 1.25 Hệ nghiệm ( ) ( ) phương trình (1.33) phụ thuộc tuyến tính trên khoảng ( ( ) ) ( ) của 23 Dựa vào tính chất của toán tử ta có nhận xét sau: + Nếu ( ) là nghiệm của phương trình (1.35) và nào đấy của phương trình. .. tổng quát) Giả sử trong miền của mặt phẳng nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.11) tồn tại duy nhất Hàm số 13 ( ) ( được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) trong biến thiên của và nó có đạo hàm riêng liên tục theo ) nếu trong miền và thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Từ hệ thức (1.12) ta có thể giải được : ( (ii) Hàm ( định từ (1.13) khi ( ) ( ) thỏa mãn phương trình (1.10) với... chia hai vế của (1.31) cho trên khoảng ( ) và ( ) ta được phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) là những hàm liên tục trên khoảng ( ) Nếu trong phương trình (1.32) hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ) , tức là ta có phương trình ( ) 21 thì nó được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp với các hệ số là các hàm số Bấy giờ phương trình (1.32) được gọi là phương trình tuyến . và vi phân Fréchet 28 1.6. Phương pháp sai phân 30 Chƣơng 2. Sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân 34 2.1. Phương pháp Newton 34 2.2. Phương pháp. Newton Raphson vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai. 3 2. Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân. . thức về phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Trong chương 2, phần đầu chúng tôi trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao gồm phương pháp Newton